高考数学临门一脚.docx

（第3题图）
开始 输入p n =1 n <p ？
输出S S =0
结 束
S =S +2−n
n =n +1
是
否
江苏省苏州市2015届高考数学临门一脚
(满分160分 时间 120分钟)
一、填空题（本大题共14题，每小题5分，满分70分）
1．已知全集R U =，集合{}
0322>--=x x x A ，则=A C U ． 2．已知i 是虚数单位，a ∈R ．若复数22a i
a i
+-的虚部为1，则a ＝ ． 3．执行如图所示的程序框图，若输入
p 的值是7，
则输出S 的值是 ． 4．为了解1000名学生的学习情况，现采用系统抽样的方法从中抽取容量为40的样本，则抽样中分段的间隔为 ．
5．已知),2(ππ
α∈，
53sin =α，则)
4tan(π
α-的值等于 ． 6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，cos A ＝3
4
，b ＝5，则△ABC 的面积为 ．
7．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ．
8．在△ABC 中，B (10，0)，直线BC 与圆Γ：x 2＋(y －5)2＝25相切，切点为线段BC 的中点．若△ABC 的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A 的坐标为 ． 9．已知函数()sin(2)(0)6
f x x π
ωω=-
>在区间2π0,
3⎛
⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，则ω的最大值为
P F E
D
C
B
A ________．
10．已知()
3,3A ，O 是原点，点P 的坐标为（x ，y ）满足条件30320
0x y x y y ⎧-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩， 则
||OA OP z OP ⋅=u u u r u u u r u u u
r 的取值范围是________．
11．已知两个不相等的平面向量α，β(0≠α)满足|β|＝2，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的最大值是 ．
12．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，两焦点为21,F F ，过2F 作x 轴的垂线交双曲线于
B A ,两点，且1ABF ∆内切圆的半径为a ，则此双曲线的离心率为 .
13．设有一个4⨯4网格，其各个最小的正方形的边长为4cm ，现用直径为2cm 的硬币投掷到此网格上，设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点，则硬币落下后完全在最大的正方形内的概率 ．
14．已知函数()y f x =满足对于任意的0x >恒有(3)3()f x f x =成立，当13x ≤≤时，
()12f x x =--，则集合{}()(33)x f x f =中最小的元素为 ．
二、解答题（本大题共6题,满分90分）
15．(本题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且
()f A =2cos
sin()22A A π-22sin cos 22
A A +-． （1）求函数()f A 的最大值；
（2）若()0,,612
f A C a 5π
===，求b 的值． 16．（本题满分14分）如图,在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形， 侧面PAD ⊥
底面ABCD ，且2
22
PA PD AD ==
=，E 、F 分别为PC 、BD 的中点． （1）求证：//EF 平面PAD ； （2）求三棱锥P BCD -的体积；
（3）在线段AB 上是否存在点,G 使得CD EFG ⊥平面？说明理由．
17．（本题满分14分）为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角三角形EFH ，其中FE FH ⊥．为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD （不计损耗），将点A ，B 放在弧EF 上，点C 、D 放在斜
边EH 上，且////AD BC HF ，设AOE θ∠=.
（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；
（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．
18．（本题满分16分）已知椭圆)0(1:22
221>>=+b a b
y a x C 的离心率为33，直线
2:+=x y l 与以原点为圆心、椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；
（3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0=⋅RS QR ，求||QS 的取值范围．
19．（本题满分16分）已知函数2()ln f x ax x
=+(a ∈R )．
（1）当1
2
a =
时，求f (x )在区间[]1,e 上的最大值和最小值； （2）如果函数12(),(),()g x f x f x ，在公共定义域D 上，满足)()()(21x f x g x f <<，那么
就称)(x g 为)x (f ),x (f 21的“活动函数”；
已知函数22
21211()()2(1)ln ,()222
f x a x ax a x f x x ax =-++-=+．若在区间
()1+∞，
上，函数()f x 是12(),()f x f x 的“活动函数”，求a 的取值范围． 20．(本题满分16分) 已知数列}{n a ，}{n b 对任意的正整数*
∈N n ，都有
12123121b a b a b a b a b a n n n n n +++++---Λ221--=+n n 成立．
（1）若}{n a 是等差数列，且首项和公差相等，求证：}{n b 是等比数列； （2）若}{n a 是等差数列，且}{n b 是等比数列，求证：1
2-⋅=n n n n b a ．
参 考 答 案
1．]3,1[-；2;3.6463
;4.25; 5.-7;6.157
4 ; 7.17;8.(0，15) 或 (－8，－1);9.2
1;
10．[]3,3- ;11.
433;12. 152
+;13.196
320π+;14. 15.
A
B
C
D
E
F
P
O
G
15.（1）22()2cos
sin sin cos 2222A A A A f A =+-sin cos 2sin()4
A A A π=-=-. 因为0A <<π，所以444
A ππ3π
-<-<.
则所以当42A ππ-=，即34
A π
=时，()f A 取得最大值，且最大值为2.
（2）由题意知()2sin()04f A A π=-=，所以sin()04
A π
-=．
又知444A ππ3π-<-<，所以04A π-=，则4A π=.
因为12C 5π=，所以712A B π+=，则3
B π
=.
由sin sin a b A B =得，6sin
sin 33sin sin 4
a B
b A π⋅==
=π． 16.（1）证明：连结AC BD F =I ，ABCD 为正方形，F 为AC 中点，E 为PC 中点，
∴在CPA ∆中，EF //PA ，且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴//EF PAD 平面； （2）解：如图，取AD 的中点O ，连结OP ， ∵PA PD =，∴PO AD ⊥， ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，
PAD ABCD AD ⋂=平面平面，
∴PO ABCD ⊥平面，
又2
2,2
PA PD AD ==
=所以PAD ∆是等腰直角三角形， 且1
22,2,2
AD PO AD === 在正方形 ABCD 中，11
2222422
BCD ABCD
S S ==⨯⨯=V 正方形， 1142
42.333
P BCD BCD V S PO -∆=
=⨯⨯=g （3）存在点G 满足条件，理由如下：设点G 为AB 中点，连接,.EG FG 由F 为BD 的中点，所以FG //AD ，
由（1）得EF //PA ，且,,FG EF F AD PA A ⋂=⋂= 所以EFG PAD 平面//平面，
∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，PAD ABCD AD ⋂=平面平面， CD AD ⊥，
CD PAD ∴⊥平面，
所以CD EFG ⊥平面，
所以AB 的中点G 为满足条件的点．
17. 解：（1）连接OB ，根据对称性可得AOE BOF θ∠=∠=且1OA OB ==， 所以1cos sin AD θθ=-+，1cos sin BC θθ=++，2cos AB θ=……………4分 所以()2(1sin )cos 2
AD BC AB S θθ+⋅=
=+，其中02π
θ<<.……………7分
（2）记()2(1sin )cos ,02
f π
θθθθ=+<<
，
22'()2(cos sin sin )f θθθθ=--=2(2sin 1)(sin 1)(0)2
π
θθθ--+<<
.………10分
当06
π
θ<<
时，'()0f θ>，当
6
2
π
π
θ<<
时，'()0f θ<
所以min 33()()6
2f f π
θ==
，即6
π
θ=时，max 332S =……………14分 18. 解：（1）由3
3=
e 得2
232b a =，又由直线2:+=x y l 与圆222b y x =+相切，得2=b ，3=a ，∴椭圆1C 的方程为：12
32
2=+y x . 4分 （2）由2MF MP =得动点M 的轨迹是以1:1-=x l 为准线，2F 为焦点的抛物线，∴点M 的轨迹2C 的方程为x y 42
=. 8分
（3）)0,0(Q ，设),4(),,4(22
2
121y y S y y R ， ∴),4
(),,4(122
12
2121y y y y RS y y QR --==， 由0=⋅RS QR ，得
0)(16
)
(121212
221=-+-y y y y y y ，∵21y y ≠ ∴化简得1
1216
y y y -
-=， 10分
∴6432256232256
21
2
122=+≥++
=y y y (当且仅当41±=y 时等号成立)， ∵64)8(4
1)4(||22
222222-+=+=y y y QS ，
又∵6422≥y ，∴当642
2=y ，即82±=y 时58||min =QS ， ∴||QS 的取值范围是),58[+∞ 16分 19.解：（1）当12a =
时，2
1()ln 2
f x x x =+Q ， 211
()x f x x x x
+'∴=+=；
对于[]1,x e ∈，有()0f x '>， ∴()f x 在区间[1, e]上为增函数，
∴2max ()()12e f x f e ==+，min 1
()(1)2
f x f ==.
（2）①在区间（1，+∞）上，函数()f x 是12(),()f x f x 的“活动函数”，则12()()()f x f x f x <<， 令2
21
()()()()2ln 2
p x f x f x a x ax x =-=--+<0，对(1,)x ∈+∞恒成立， 且1()()()h x f x f x =-=2
212ln 2
x ax a x -
+-<0对(1,)x ∈+∞恒成立， ∵21(21)21(1)[(21)1]
()(21)2a x ax x a x p x a x a x x x
--+---'=--+==
(*) 1）若12a >
，令()0p x '=，得极值点11x =，21
21
x a =-， 当211x x >=，即1
12
a <<时，在（2x ，+∞)上有()0p x '>，
此时)(x p 在区间(2x ，+∞)上是增函数，并且在该区间上有()p x ∈(2()p x ，+∞)，不合题意； 当211x x <=，即1a ≥时，同理可知，)(x p 在区间(1，+∞)上，有)(x p ∈()1(p ，+∞)，也不合题意； 2） 若1
2
a ≤
，则有210a -≤，此时在区间(1，+∞)上恒有()0p x '<， 从而)(x p 在区间(1，+∞)上是减函数；
要使0)(<x p 在此区间上恒成立，只须满足1(1)02p a =--≤1
2
a ⇒≥-， 所以21
-
≤a ≤2
1. 又因为2()2a h x x a x '=-+-=222
2()x ax a x a x x
-+---=<0, ()h x 在(1, +∞)上为减函数， 1()(1)202h x h a ∴<=-
+≤， 14a ∴≤. 综合可知a 的范围是11,24⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.。