【试题】初中数学竞赛专题复习第一篇代数第4章方程组试题1新人教版

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第4章方程组
§4．1方程组的解法
4．1．1★已知关、的方程组
分别求出当为何值时，方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解，
解析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程的形式进行讨论，但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．
由①式得
，③
将③代入②得
．④
当，即且时，
方程④有唯一解，将此值代入③有
，
因而原方程组有唯一一组解．
当，且时，即时，方程④无解，因此原方程组无解．
当且时，即时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有
无穷多组解．
评注对于二元一次方程组，（、、、为已知数，且与，与中都至少
有一个不为零）．
（1）当时，方程组有唯一的解
（2）当时，原方程组有无穷多组解．
（3）当时，原方程组无解．
4．1．2★对、的哪些值，方程组至少有一组解？
解析由原方程可得．即
．
（1）当时，方程有唯一解，从而原方程组有唯一解．
（2）当，时，方程有无穷多个解，从而原方程组也有无穷多组解．
综上所述，当且为任意数，或且时，方程组至少有一组解．
4．1．3★已知关于、的二元一次方程
．
当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．
解析1根据题意，可分别令，代入原方程得到一个方程组：
解之得
将，代入原方程得
．
所以对任何值
都是原方程的解．
评注取为的是使方程中，方程无项，可直接求出值；取的道理类似．
解析2可将原方程变形为
．
由于公共解与无关，故有
解之得公共解为
4．1．4★★已知，且，，求的值．
解析已知代数式中含有、、三个字母，而等式只有2个，在一般情况下是不可能求出、、的具体值来的．因此，可以把已知条件中的视为常数，得到关于、的方程组，从而找出、与的关系，由此可求出其值． 把已知等式视作关于、的方程，视作常数，得关于、的方程组
解得
因为，所以，于是
．
4．1．5★若、的值满足方程组
求的值．
解析由①+②得，即
．③
由③得：42x y =-．④
把④代入①得：
()323424571103y y -+=．
解得1y =，把1y =代人④得：2x =，所以方程组解为
原式422424215137=+⨯⨯+⨯=．
4．1．6★★当a 取何值时，关于x 、y 的方程组
5,232x y a x y a
+=+⎧⎨-=-⎩有正整数解． 解析解方程组得223,12.3a x a y a -⎧=+⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩
所以，a 是被3除余2的整数． 由221,31213a a a -⎧+⎪⎪⎨+⎪++⎪⎩
≥≥得15a -≤≤．所以1a =-，2，5． 4．1．7★k 为何值时，方程组
（1）当163k -≠，即2k ≠-时，原方程组有唯一解0,1;3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
（2）当1
13631k -
-==，即2k =-时，原方程组无穷多组解； （3）由于1
331-
-1=，故方程组不可能无解． 4．1．8★若方程组344,12322
x y m x y m +=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足0x y +=，求m 的值． 解析将x y =-代入原方程组，得 所以，5312302m m -++=，192
m =．
4．1．9★甲、乙二人同时求7ax by -=的整数解．
甲求出一组解为3,4,x y =⎧⎨=⎩而乙把7ax by -=中的7错看成1，求得一组解为1,2,x y =⎧⎨=⎩
求a 、b 的值． 解析 把3x =，4y =代入7ax by -=，得347a b -=．
把1x =，2y =代入1ax by -=，得21a b ==．
解方程组347,21,a b a b -=⎧⎨-=⎩得5,2.a b =⎧⎨=⎩
4．1．10★甲、乙两人解方程组
由于甲看错了方程①中的以而得到方程组的解为3,1;x y =-⎧⎨=-⎩
乙看错了方程②中的b 而得到的解为5,4.x y =⎧⎨=⎩ 假如按正确的a 、b 计算，求出原方程组的解．
解析因为甲只看错了方程①中的a ，所以甲所得到的解3,1x y =-⎧⎨=-⎩
应满足无a 的正确的方程②，即 ()()4312b ⨯--⨯-=-．②
同理，5,4x y =⎧⎨=⎩
应满足正确的方程①，即 55413a ⨯+⨯=．④
解由③、④联立的方程组得
所以原方程组应为
解之得20,8.2.
x y =⎧⎨=⎩ 4．1．11★★已知方程组35,4x my x ny +=⎧⎨+=⎩
无解，m 、n 是绝对值小于10的整数，求m 、n 的值． 解析因为方程组1112220,0
a x
b y
c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩无解的条件是111222a b c a b c =≠参照这个条件问题便可解决． 原方程组可化为350,40.x my x ny +-=⎧⎨+-=⎩
因为方程组无解，所以有 3514
m n =≠， 所以3m n =，且45m n ≠，因为310m n =<，所以，101033
n -<<，又因为n 是整数，所以3n =-， 2-，1-，0，1，2，3，相应地9m =-，-6，-3，0，3，6，9．
所以，当9,3,m n =-⎧⎨=-⎩6,2,m n =-⎧⎨=-⎩3,1,m n =-⎧⎨=-⎩0,0,m n =⎧⎨=⎩3,1,m n =⎧⎨=⎩6,2,m n =⎧⎨=⎩9,3m n =⎧⎨=⎩
时，原方程组无解．
4．1．12★已知关于x 和y 的方程组
有解，求22m n +的值．
解析首先解方程组
得到3x =-，1y =，代入原方程组中后两个方程，得到
86,5 3.m n m n -=⎧⎨+=⎩
① 再解上面关于m 和n 的方程组，得到913m =，613n =-，22117916913m n +==． 4．4．13★已知2ab a b =+，5ac a c =+，4bc b c
=+，求a b c ++的值． 解析根据题意有
（①+②+③）2÷，得
1111940
a b c ++=．④ ④-①得
1140
c =-，40c =-． ④-②得
11140b = ，4011
b =． ④-③得
1940a =，409
a =． 所以()404031604091199
a b c ++=++-=-． 4．1．14★如果方程组,5311x y m x y +=⎧⎨+=⎩
的解是正整数，求整数m 的值． 解析解方程组得
因为x 、y 都是正整数，所以 解得
1335
m ≤≤． 因为m 是整数，所以3m =．
将3m =代入①和②式，x 、y 的值均为正整数． 故3m =．
4．1．15★★解方程组 解析因为423232x y y z -+==表示两个方程，即423x y -=和2322y z +=，或者42332x y y z -+=和423x y -=，或者42332x y y z -+=和2322
y y +=，所以原方程组实际上是由三个方程组成的三元一次 方程组，将原方程组改写为
由方程②得64x y =+，代入①化简得
11419y z -=-．④
由③得234y z +=．⑤
④3⨯+⑤4⨯得
3385716y y +=-+，
所以，1y =-．
将1y =-代入⑤，得2z =．将1y =-代入②，
得2x =．所以
为原方程组的解．
评注本题解法中，由①、②消去x 时，采用了代入消元法；解④、⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消去y 还是消去z ，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z 的系数是一正一负，且系数的绝对值较小这一特征，采用加减消元法较简单．
4．1．16★已知 求x y z y x x
++的值． 解析①-②消去x 得
880y z +=，即1y z =-．①3⨯+②消去y 得440x z +=，即1z x =-．①5⨯+②3⨯消去z 得880x y -=，即1x y
=．所以，1111x y z y z x ++=--=-即为所求． 4．1．17★解方程组
解析将①+②+③，得
9x y z ++=．④
由④+①得214x =，7x =．
由④+②得210y =，5y =．
由④+③得26z =-，3z =-．
所以，原方程组的解为
4．1．18★解方程组1,2,3,4,5.x y z y z u z u v u v x v x y ++=⎧⎪-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪⎪-+=⎩①②③④⑤
解析注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：
①+②得3x u +=，⑥
②+③得5y v +=，⑦
③+④得7z x +=，⑧
④+⑤得9u y +=．⑨
又①+②+③+④+⑤得
15x y z u v ++++=．⑩
⑩一⑥一⑦得7z =，把7z =代入⑧得0x =，把0x =代入⑥得3u =，把3u =代入⑨得6y =，把6y =代入⑦得1v =-．所以
为原方程组的解．
4．1．19★解方程组
解析①2⨯+②得
313x y
+=，④ 由③得125x y
=-，⑤
代入④得
1125y =， 代入⑤得115
x =． 再把115x =，1125y =代入①得13310
z =，所以 为原方程组的解．
解析2令1A x =，1B y =，1C z
=，则原方程化为 解得15A =，125B =，3310
C =，即 为原方程组的解，
评注解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代人消元（此时的“元”是一个含有未知数
的代数式，如1x 、1y 等）；解法2称为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整 体元”，从而简化方程组的求解过程．
4．1．20★★解方程组
解析原方程组可化为
④+⑤+⑥得
()2169x y z ++=，
故13x y z ++=±．⑦
将⑦分别代入④、⑤、⑥，得原方程组的解为
4．1．21★★解方程组
解析①2⨯+②-③消去y 、z ，得142x a b c =+-，所以214
a b c x +-=
． 由②2⨯+③-①，得
214
b c a y +-=
． 由③2⨯+①-②，得 214
c a b z +-=
． 所以，原方程组的解为
4．1．22★★解方程组 解析有原方程得52,82,112,62.x y y z z u u x =-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩①②③④ 所以()525282x x y z =--=--
1516x =-+，
即1516x x =-+，解之得1x =，将1x =代入④得4u =.将4u =代入③得3z =.将3z =代入②得2y =．所以原方程组解为
4．1．23★★解方程组
解析先把各方程左边通分，再对每个方程两边取倒数，并设x y z k ++=，则原方程可化为 ①+②+③，得
92
xy yz zx k ++=．④ 用④分别减去①、②、③，可得
显然0x ≠，0y ≠，0z ≠，0k ≠.
由上面三式易得3515x y z =∶∶∶∶，又x y z k ++=，所以
323x k =，523y k =，1523
z k =． 则有35123232k k k ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2
2330
k =． 所以，原方程组的解为（经检验）
4．1．24★★解方程组
解析原方程可变形为 解得1724x =，15124y =+，11224
z =+． 所以，方程组的解为
4．1．25★★解方程组
解析①-③得0y zx z yz +--=， 则1y z y x
=+-． 把式④代入①、②，整理分别得
22232221y y x xy x y +++-=，⑤
2223221y y x x xy ++-+=．⑥
⑤-⑥得()()10y x xy x -+-=．
若y x =，由式⑤得
22410x x +-=，
解得x =
将x y ==代入式④，得z =． 若10xy x +-=，同理，10yz y +-=． 将11x y =-，1y z y
-=代入式①得 3223320y y y --+=．
分解因式得
()()()21120y y y -+-=．
故（x ，y ，z ）为（1-，2，12）、（2，12，1-）（12
，1-，2） 综上，共有5组解
⎝⎭，⎝⎭
，（1-，2，12）（2，12，1-） （
12
，1-，2）． 4．1．26★解方程组
解析②2⨯-①3⨯得
4960x y +-=． 解方程组24960,3630x y x xy x y +-=⎧⎨+-+=⎩
得 4．1．27★解方程组
解析②()2⨯-+①得
23360y y +-=，
所以11y =，22y =-．
解方程组
与222,2240,y x xy y x y =-⎧⎨--+-+=⎩
得原方程组的解
4．1．28★解方程组
解析由②得
()()220x y x y +-=，
所以20x y +=或20x y -=．
因此，原方程组可化为两个方程组
与225,20.x y x y ⎧+=⎨-=⎩
解两个方程组得原方程组的解为
评注方程组至少有一个方程可以分解为一次方程时，可用因式分解法解．
4．1．29★解方程组
解析由①-②2⨯得
22230x xy y --=，
即()()30x y x y +-=，
所以0x y +=或30x y -=．
所以0x y +=或30x y =-=．
分别解下列两个方程组
得原方程组的解为
评注如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解．
4．1．30★解方程组
解析原方程组可变形为
①2⨯+②得
()()2
210x y x y +++=+
令u x y =+，则
22100u u +--=，
所以12u =24u =--，
即2x y +=+4x y +=-
当2x y +=+xy =
可得12x =，1y =2x =22y =．
当4x y +=-时，代入①得6xy =+．
而方程组
无实数解．
综上所述，方程组的解为
评注由于一般的二元对称式总可以用基本对称式x y +和xy 表示，因此在解二元对称方程组时，一定可以用x y +和xy 作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组．
4．1．31★★解方程组
解析本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式．
由①得
5
2
=．③
4，所以
16xy =．④
由②、④可得基本对称方程组
于是可得方程组的解为
4．1．32★解方程组
解析本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得到一个方程 0x y -=，从而使方程降次化简．
①-②，再因式分解得
()()100x y x y -+-=，
所以0x y -=或100x y +-=．
解下列两个方程组
得原方程组的四组解为
4．1．33★★★解方程组
解析1 用换元法．设
45x A +=，45y B +=，
则有
54A x -=，54B y -=，4
A B x y --=．
即12,12.⎪⎩③④
③-④并平方得
459A B =+-+，
整理得
4A B -=， 所以
45959AB A AB B A B --+-=
化得 ())
360A B
-
=， 360>，
因此0A B -=．
解方程组
得9,9.A B =⎧⎨=⎩
经检验，9A B ==适合方程③、④，由此得原方程的解是1,1.x y =⎧⎨
=⎩
解析2①
-②得
=
即
=．
所以
1x -与1y -
同号或同为零．由方程①得
))330+
=，
51410x y --=，
所以1x -与1y -不能同正，也不能同负．从而 10x -=，10y -=． 由此解得1,
1.x y =⎧⎨=⎩
经检验，1x =，1y =是方程组的解．
4．1．34★★★解方程组：
解析 本例各方程中，未知数的出现是循环对称的．若用消元法求解将十分困难．故而采用不等式求解．
显然方程组的解1x ，2x ，⋯，n x 都同号，且若1x ，2x ，⋯，n x 是方程组的解，则1x -，2x -，⋯，n x -也是方程组的解．故不妨先设()01i x i n >≤≤．
因为122n x x x =+≥
1x
2x ，⋯
，n x ． 把方程组的所有方程相加，整理，得 1212222
n n x x x x x x ⋯⋯+++=+++
．① 但
12n x x x ⋯+++≥
12222n n x x x ⋯+++=≤ 因此要等式①成立，只能
12n x x x ⋯====
容易检验，12n x x x ⋯=== 因此，原方程组有两组解，它们是
12n x x x ⋯====
4．1．35★★★解方程组：
解析1首先有()01i x i n ≥≤≤．再由2
211x x +≤（x 为实数）得21212121x x x x =+≤，32x x ≤，⋯，1n n x x -≤， 1n x x ≤；所以11321n n x x x x x x -⋯≤≤≤≤≤≤．只能12n x x x ⋯===．进而求得本题的两组解1270n x x x ⋯===或121n x x x ⋯====．
解析2若1x ，2x ，⋯，n x 中有一个为零，则由方程组可推出其余1n -个未知数都是零，则 120n x x x ⋯====是原方程组的解．下设()1i x i n ≤≤都不是零，则
将所有方程相加，并整理、配方，得
2
22121111110n x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⋯-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为2
110i x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭≥，所以只能
12111
1110n x x x ⋯-=-==-=， 121n x x x ⋯====．
易知它确实原方程组的解．
因此，原方程组的解由两组：120n x x x ⋯====，或121n x x x ⋯====． 4．1．36★★★★已知原方程组： 它的系数满足下列条件： （1）11a 、22a 、33a 都是正数； （2）所有其他系数都是负数； （3）每一方程中系数之和是正数．
求证：1230x x x ===是已知方程组的唯一解．
解析 本例是一个三元线性齐次方程组，1230x x x ===，显然是它的解，因而只要证明已知方程组不存在不全为零的解集即可．
用反证法．若方程组有不全为零的解11x k =，22x k =，33x k =，由对称性不设防1k 、2k 、3k 中以1k 为最大，则10k >．于是由110a >，120a <，130a <，1112130a a a ++>，得
()11121310a a a k =++>．
上面的不等式显然是矛盾的．故已知方程组只有唯一解： 1230x x x ===．
4．1．37★★解方程组
解析将这个5个方程相加，得 2108550d e e -+-+=，
所以()()()()()22222
321540a b c d e -+-+-+-+-=，
故（a ，b ，c ，d ，e ）=（3，2，1，5，4）． 经检验知，（a ，b ，c ，d ，e ）=（3，2，1，5，4）是方程组的解．
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