高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战21579

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔或圆珠笔、签字笔写在答卷上。

2．第I 卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、本大题共12小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的． (1)设全集为R,
函数()f x =
的定义域为M, 则R C M 为（）
A ．(2,)+∞
B ．(,2)-∞
C ．(,2]-∞
D ．[2,)+∞
（2）已知点(1,0),(1,3)A B -，向量(21,2)a k =-，若AB a ⊥，则实数k 的值为( )
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
（3）若复数z 满足(1)i z i -=，则复数z 的模为（ ）
A ．
12
B
C
D ．2
（4）在某次测量中得到的A 样本数据如下：41,44,45,51,43,49，若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都减5后所得数据，则A ，B 两样本的下列数据特征对应相同的是
A ．众数
B ．中位数
C ．平均数
D ．标准差
（5）过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线l 交该抛物线于,A B 两点，点A 在第一象限，若
||3AF =，则直线l 的斜率为（ ）
A ．1 B
C
D
．
（6）如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形. 如果三棱柱的体积为312，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为
A ．π12
B ．π14
C ．π16
D ．π18
（7） 已知{}n a 为等比数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，若21n n S a =-，则
6a =（）
A ．32
B ．31
C ．64
D ．62
（8） 如图给出的是计算111
135
2015
+
+++
的值的 程序框图，其中判断框内应填入的是（） A ．2012i ≤ B ．2014i ≤ C ．2016i ≤ D ．2018i ≤
（9）已知实数0a <，函数22,1
(),1x a x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩
，
若(1)(1)f a f a -≥+，则实数a 的取值范围是（ ）
.A (,2]-∞-B ．[2,1]-- C ．[1,0)-D ．(,0)-∞
（10）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<的最小正周期是π，将函数()f x 图象向左平移3
π
个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则函数()sin()f x x ωϕ=+ （ ） A.在区间[,]63ππ
-
上单调递减 B.在区间[,]63
ππ
-上单调递增 C.在区间[,]36ππ
-
上单调递减 D.在区间[,]36
ππ
-上单调递增 （11）某几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形，侧视图为等边 三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其外接球的表面积为（ ）
A ．π5
B ．
π320
C ．π8
D ．π3
28
． （12）已知定义在R 上的函数()y f x =满足：函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<('
()f x 是函数()f x 的导函数)成立.若
11
(sin )(sin )22a f =⋅，(2)b ln =⋅121(2),()4f ln c log =⋅121()4
f lo
g ,则,,a b c 的大小关系是
（ ）
A ． a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．a c b >>
第Ⅱ卷
本卷包括必考题与选考题两部分，第（13）至（21）题是必考题，每个试题考生必须做答，第（22）至（24）是选考题，考生根据要求做答。

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）． （13）等差数列{}n a 中，21a =,69a =,则{}n a 的前7项和7S = .
（14）已知实数,x y 满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
，则24z x y =+的最大值为 .
（15） 函数3
2
()6910f x x x x =-+-的零点个数为 个.
G
F
E
D
C
B
A （16） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂
直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、
、成等差数列，且BF 与FA 同向．则双曲线的离心率为______________.
三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． （17）（本小题满分12分）
已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，若sin 2sin a C A =. （Ⅰ）求c 的值;
（Ⅱ）若a =
3b =,求ABC ∆的面积.
（18）（本小题满分12分）
据统计，“双11”天猫总成交金额突破912亿元。

某购物网站为优化营销策略，对在11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者（其中有女性800名，男性200名）进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元）
女性消费情况：
（Ⅰ）计算,x y 的值；在抽出的100名且消费金额在[]800,1000（单位：元）的网购者 中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率； （Ⅱ）若消费金额不低于600元的网购者为
“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，
根据以上统计数据填写右面22⨯列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关?”
附：
（2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
（19）（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 是矩形，1,AB AD ==
E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点
F ,
GF ⊥平面ABCD .
（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；
(Ⅱ) 若AF FG =,求点E 到平面ABG 距离.
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
的两焦点为())
12
,
F F ，且过点Q
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点P(0,2)的直线l 交椭圆于M,N 两点,以线段MN 为直径的圆恰好过原点，,求出直线l 的方程;
（21） （本小题满分12分） 已知函数()ln f x x =.
（Ⅰ）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数m ，使得对任意的1(,)2x ∈+∞，都有函数()m
y f x x
=+
的图象在()x
e g x x
=的图象的下方？若存在，请求出最大整数m 的值；若不存在，请说理由.
（参考数据：ln 20.6931=，,
ln3 1.0986=
1.3956==）.
请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
（22）（本题满分10分）选修41：几何证明选讲
如图，AF 是圆E 切线,F 是切点,割线ABC BM 是圆E 的直径，EF 交AC 于D ，
AC AB 3
1
=
，030=∠EBC ,2MC =. （Ⅰ）求线段AF 的长；
（Ⅱ）求证：ED AD 3=.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲
线1C ：4cos ,3sin ,x t y t =+⎧⎨
=-+⎩ （t 为参数）， 2C ：6cos ,
2sin ,
x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.
（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若1C 上的点P 对应的参数为2
t π
=-
，Q 为2C
上的动点，求线段PQ 的中点M
到直线3:cos sin 8C ρθθ=+距离的最小值. （24）（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲
设函数()|23||1|.f x x x =++- （Ⅰ）解不等式()4f x >；
（Ⅱ）若存在3,12x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
使不等式1()a f x +>成立，求实数a 的取值范围.
高三调研测试数学（文科） 参考解答和评分标准
说明：
1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：，ABBDD CACBB DA (1)【 解析】解析：{}|2
M x x =≤(2,)R C M =+∞，选A
(2)【 解析】AB →＝(2,3)，∵AB →
⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B.
(3)【 解析】由已知(1)1+11,(1)(1)222
i i i z i i i +-=
==-+--所以||2z =，选B.
(4)【 解析】根据统计数字特征的意义，选D
(5)【 解析】由题可知焦点(1,0)F ，设点(,),(,)A A B B A x y B x y ， 由||3AF = ，则2A x = ,
即(2,A ，故直线l 斜率为，选D
(6)【 解析】设圆柱的底面半径为R ，三棱柱的底面边长为
R 3，由
3122)3(4
3
2=⋅R R 得2=R ，.162R R 2ππ=⋅=圆柱侧S 选C
(7)【 解析】当1n =时，11a =，当2n ≥时，1
122n n n n a a a --=⇒=，答案选A
(8) 选C
(9)【解析】当0a <，11a ->，(1)f a -(1)1a a =--=-，11a +<，
2(1)(1)2f a a a +=++241a a =++，由(1)(1)f a f a -≥+得 2320a a ++≤ 解得
21a -≤≤-所以，[2,1]a ∈--，选B
(10)【解析】依题意，
2ω=, ()sin(2)f x x ϕ=+，平移后得到的函数是
2sin(2)3y x πϕ=++
，其图象过（0，1），所以，2sin()=13
π
ϕ+，因为0πϕ-<<，所以，6
π
ϕ=-
，()sin(2)6
f x x π
=-
，故选B
O
F
z
y
x
D
C B A
(11)【解析】设外接球的球心O ，M E ,分别是ACD BCD ∆∆,的外心，⊥OE 平面BCD ，
⊥OM 平面ACD ，则2
22)3
3(
)2(+=R ， 解得3
72
π
=
R ，故328π=球表S 选.D
另解：设F 是BC 的中点，如图建立坐标系。

则(2,1,0)A - (0,1,0)B ,(0,1,0)C -,3)
设O ((,,)x y z 是球心，球的半径为r ,由OA OB OC r ===得
222222
222222
222222(2)(1)(1)(2)(1)(1)(2)(1)(3)x y z x y z x y z x y z
x y z x y z ⎧-+++=+++⎪-+++=+-+⎨⎪-+++=++⎩
解得 1,0,3
x y z ===
2222
7(3)3r x y z =++=
3
28π
=
球表S (12) 【解析】：因为函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以()y f x =关于y 轴对称，所以函数()y xf x =为奇函数.因为[()]'()'()xf x f x xf x =+，所以当(,0)x ∈-∞时，
[()]'()'()0xf x f x xf x =+<，函数()y xf x =单调递减，当(0,)x ∈+∞时，函数()
y xf x =单
调
递
减
.
110sin
22
<<，
11ln 22
e >>=
，
1
2
1log 24
=，
1211
0sin
ln 2log 24
<<<，∴所以a b c >>，选 A. 二、填空题： 题号
13
14
15
16
答案
35 0 1
52
(13) 【解析】1726735222
s =
=== (14)【解析】实数,x y 满足约束条件50
00x y x y y ++≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
对应的平面区域如
图为ABO 对应的三角形区域，当动直线24z x y =+经过原点时，目
D A
C
B
O E
F
M
标函数取得最大值为z=0.， (15)【解析】
32()6910f x x x x =-+-，2'()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--，由此可
知函数的极大值为(1)60f =-<，极小值为(3)100f =-<，所以方程
3269100x x x -+-=的实根个数为1个.
(16) 【解析】因为OA AB OB 、
、成等差数列，所以可设OA m d =-，AB m =，OB m d =+，
画出草图，如图，由勾股定理可得：2
2
2
()()m d m m d -+=+ 得：14d m =
，tan b AOF a ∠=，tan tan 2AB AOB AOF OA ∠=∠=＝m m d -＝4
3
， 由倍角公式∴2
2431b
a b a ⨯
=⎛⎫- ⎪
⎝⎭
，解得：1
2b a =，则离心率e ＝c a ＝22a b +＝5． 三、解答题
(17) 解：(I)在△ABC 中，根据正弦定理，
sin sin c a C A
=………………………………2分 于是22a
c a ==………………………………………………………………3分
(II)在△ABC 中，根据余弦定理，得2225
cos 26
c b a A c b +-=
=⋅……………………6分 由于0A π<<，所以2
11
sin 1cos 6
A A =-=…………………………8分 所以1
sin 2
ABC
S
bc A =………………………………………………10分 1111123262
=
⋅⋅=…………………………………………………………12分 （18）
解：（Ⅰ）依题意，女性应抽取80名，男性应抽取20名 ………………………………1分
80(5101547)3x ∴=-+++=……………………………………………2分 20(23102)3y =-+++=…………………………………………3分
抽出的100名且消费金额在[]800,1000（单位：元）的网购者中有三位女性设为,,A B C ；两位男性设为,a b ，从5人中任选2人的基本事件有：
(,),(,),(,),(,)A B A C A a A b ,(,),(,),(,)B C B a B b ,(,),(,)C a C b ,(,)a b 共10
件……………………………………………………………………………………………4分 设“选出的两名网购者恰好是一男一女”为事件A 事件A 包含的基本事件有：
(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a A b B a B b C a C b 共6件…………………………………5分
63
()105
P A ∴=
=…………………………………………………………………6分 （Ⅱ）22⨯列联表如下表所示
…………………………………………8分
则2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++
2100(5015305)80205545
⨯-⨯=⨯⨯⨯…………………………………………………9分
9.091≈…………………………………………………………………………10分
9.091 6.635>且2( 6.635)0.010P k ≥=………………………………………11分
答：在犯错误的概率不超过0.010的前提下可以认为“是否为‘网购达人’”与性别有关
……………………………………………………………12分 （19）证法1：
∵四边形ABCD 为矩形，∴AEF ∆∽CBF ∆， ∴
2
1
===BC AE BF EF CF AF ……………1分 又∵矩形ABCD 中，2,1=
=AD AB ，∴3,2
2
==
AC AE 在BEA Rt ∆中，2
622=
+=
AE AB BE ∴3
3
31==
AC AF ，3632==BE BD ……………2分
在ABF ∆中，2222
2
1)3
6
()33(
AB BF AF ==+=+ ∴
90=∠AFB ，即BE AC ⊥……………4分
∵⊥GF 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ∴GF AC ⊥……………5分
又∵F GF BE = ，⊂GF BE ,平面BCE ∴⊥AF 平面BEG ……………6分 证法2：（坐标法）证明1-=⋅BE AC K K ，得BE AC ⊥，往下同证法1．
（2）在AGF Rt ∆中，22GF AF AG +=
3
6
)33()33(
22=
+= 在BGF Rt ∆中，22GF BF BG +=
1)3
3
()36(
22=+=………………………8分 在ABG ∆中，3
6
=
AG ，1==AB BG ∴2)6
6
(13621-⨯⨯=
∆ABG S 656303621=⨯⨯=………………………………10分 设点E 到平面ABG 的距离为d ，则
GF S d S ABF ABG ⋅=⋅∆∆31
31， ………………………………11分 ∴ABG ABF
S GF S d ∆⋅=10306
5
33
12221=⨯
⨯⨯=………………………………12分 （20）解：(Ⅰ)由题意可得
24a AC BC =+=
=>……………………2分
2=∴a 224222=-=-=∴c a b .
∴椭圆的标准方程是.12
42
2=+y x ………………………………………………4分
(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y . 设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x
联立方程:⎩⎨⎧=++=4
22
2
2y x kx y ………………………………………………………………5分 消去y 整理得,(
)048212
2
=+++kx x
k
有2
21221214
,218k
x x k k x x +=+-=+………………………………………………7分 若以MN 为直径的圆恰好过原点,则ON OM ⊥,所以02121=+y y x x ,…………8分
所以,()()0222121=+++kx kx x x , 即(
)()0421212
12
=++++x x k x
x k
………………………………………………9分
所以,()
0421*******
2
22=++-++k
k k k 即,021482
2
=+-k k ………………………………………………………………………10分 得.2,22
±==k k
所以直线l 的方程为22+=
x y ,或22+-=x y .
所以过P(0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点.…………………………………………………………………………………………12分 （21） 解：（1）因为1
()f x x
'=，所以(1)1f '=，则所求切线的斜率为1，………………2分
又(1)ln10f ==，故所求切线的方程为1y x =-. ……………………………4分
（2）假设存在实数m 满足题意，则不等式ln x m e x x x +<对1
(,)2
x ∈+∞恒成立.
即ln x
m e x x <-对1(,)2
x ∈+∞恒成立.………………………………………6分
令()ln x h x e x x =-，则()ln 1x
h x e x '=--，
令()ln 1x x e x ϕ=--，则1'()x
x e x
ϕ=-，………………………………7分
因为'()x ϕ在1
(,)2
+∞上单调递增，1
21'()202e ϕ=-<，'(1)10e ϕ=->，且'()x ϕ的
图象在1(,1)2上连续，所以存在01(,1)2
x ∈，使得0'()0x ϕ=，即0010x
e x -=，则00ln x x =-，…………………………………………………………………………9分
所以当01
(,)2
x x ∈时，()x ϕ单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()x ϕ单调递增，
则()x ϕ取到最小值000001()ln 11x
x e x x x ϕ=
--=+-110≥=>， 所以()0h x '>，即()h x 在区间1
(,)2
+∞内单调递增.…………………………11分 所以11
221111
()ln ln 2 1.995252222
m h e e ≤=-=+=，
所以存在实数m 满足题意，且最大整数m 的值为1.………………………12分
（22）（本题满分10分）选修41：几何证明选讲 解：（Ⅰ）因为BM 是圆E 直径
所以, 0
90=∠BCM ，………………………………1分 又2MC =,0
30=∠EBC ，
所以32=BC ，………………………………………………2分
又,31
AC AB =
可知32
1
==BC AB ，所以33=AC …………………………………3分
根据切割线定理得：
93332=⨯=⋅=AC AB AF ，…………………………………………………4分
即3=AF ……………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）过E 作BC EH ⊥于H ，……………………………………………………………6分
则ADF EDH ∆∆～，…………………………………………………………………7分 从而有
AF
EH
AD ED =
，…………………………………………………………………8分 又由题意知，BC CH 32
1
==2=EB
所以1=EH ，…………………………………9分 因此
3
1
=AD ED ，即ED AD 3=…………………………………10分 （23）（本小题满分10分）
（Ⅰ）22
1:(4)(3)1,C x y -++=，…………………………………………………1分
22
2:1364
x y C +=……………………………………………………………………2分
1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆.………………………………………3分
2C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆.
…………………………………………………………4分
（Ⅱ）当2
t π
=
时，(4,4)P -，………………………………………………………5分 设(6cos ,2sin )Q θθ
则(23cos ,2sin )M θθ+-+，………………………………………6分
3C
为直线(80x --+=，……………………………………7分
M 到3C
的距离d =
……………………8分
=
=
3)6
π
θ=+………………………………………9分
从而当cos()1,6
π
θ+
=时，d
取得最小值3-………………………………10分
（24）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）∵()|23||1|.f x x x =++-
33223()41232
1x x f x x x x x ⎧
--<-⎪⎪
⎪
∴=+-≤≤⎨⎪
+>⎪⎪⎩
…………………………………………………2分
331
1()422
32432444
x x x f x x x x ⎧⎧><--≤≤⎧⎪⎪>⇔⎨⎨⎨+>⎩⎪⎪-->+>⎩⎩或或………………………4分 211x x x ⇔<-<≤>或0或………………………………………………………5分 综上所述，不等式()4f x >的解集为：(),2(0,)-∞-+∞………………………6分
（Ⅱ）存在3,12x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
使不等式1()a f x +>成立min 1(())a f x ⇔+> …………………7分
由（Ⅰ）知，3,12x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，()4f x x =+ 32x ∴=-时，min 5
(())2f x =…………………………………………………8分
53
122
a a +>⇔>…………………………………………………………………9分
∴实数a 的取值范围为3,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
………………………………………………………10分
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）
A. B.π C.2π D.4π
2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）
A.[0，1]
B.[0，1）
C.（0，1]
D.（0，1）
3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）
A.e+2
B.e+1
C.e
D.e﹣1
4.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）
A.an=2n
B.an=2（n﹣1）
C.an=2n
D.an=2n﹣1
5.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）
A. B.4π C.2π D.
6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）
A. B. C. D.
7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）
A.f（x）=x
B.f（x）=x3
C.f（x）=（）x
D.f（x）=3x
8.（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）
A.真，假，真
B.假，假，真
C.真，真，假
D.假，假，假
9.（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）
A.1+a，4
B.1+a，4+a
C.1，4
D.1，4+a
10.（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）
A.y=﹣x
B.y=x3﹣x
C.y=x3﹣x
D.y=﹣x3+x
二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）
11.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.
12.（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为.
13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=.
14.（5分）观察分析下表中的数据：
多面体面数（F）顶点数
棱数（E）
（V）
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是.
（不等式选做题）
15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.
（几何证明选做题）
16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=.
（坐标系与参数方程选做题）
17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是.
三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）
18.（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.
19.（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.
（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P （x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上.
（Ⅰ）若++=，求||；
（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值.
21.（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：
300 500
作物产量
（kg）
概率0.5 0.5
6 10
作物市场
价格（元
/kg）
概率0.4 0.6
（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
22.（13分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为. （Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直.
线l的方程
23.（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.
（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (8)
参考答案与试题解析
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）
A. B.π C.2π D.4π
【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解.
【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，
函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，
故选：B.
【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题.
2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）
A.[0，1]
B.[0，1）
C.（0，1]
D.（0，1）
【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项.
【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，
∴M∩N=[0，1）.
故选：B.
【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键.
3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）
A.e+2
B.e+1
C.e
D.e﹣1
【分析】根据微积分基本定理计算即可.
【解答】解：（2x+ex）dx=（x2+ex）|=（1+e）﹣（0+e0）=e.
故选：C.
【点评】本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数.
4.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）
A.an=2n
B.an=2（n﹣1）
C.an=2n
D.an=2n﹣1
【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式. 【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，
∴数列为公比为2的等比数列，∴an=2n.
故选：C.
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键.
5.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）
A. B.4π C.2π D.
【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积.
【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，
∴正四棱柱体对角线的长为=2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，
∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1
根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π.
故选：D.
【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题.
6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）
A. B. C. D.
【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论.
【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，
∴所求概率为=.
故选：C.
【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键.
7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）
A.f（x）=x
B.f（x）=x3
C.f（x）=（）x
D.f（x）=3x
【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案.
【解答】解：A.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f （y），故A错；
B.f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；
C.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f （x）在R上是单调减函数，故C错.
D.f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；
故选：D.
【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题.
8.（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）
A.真，假，真
B.假，假，真
C.真，真，假
D.假，假，假
【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假.
【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；
其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，
∴原命题的逆命题是假命题；
根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，
∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题.
故选：B.
【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键.
9.（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）
A.1+a，4
B.1+a，4+a
C.1，4
D.1，4+a
【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论.
方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论.
【解答】解：方法1：∵yi=xi+a，
∴E（yi）=E（xi）+E（a）=1+a，
方差D（yi）=D（xi）+E（a）=4.
方法2：由题意知yi=xi+a，
则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，
方差s2=[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4.
故选：A.
【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算.
10.（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）
A.y=﹣x
B.y=x3﹣x
C.y=x3﹣x
D.y=﹣x3+x
【分析】分别求出四个选项中的导数，验证在x=±5处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式.
【解答】解：由题意可得出，此三次函数在x=±5处的导数为0，依次特征寻找正确选项：A选项，导数为，令其为0，解得x=±5，故A正确；
B选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故B错误；
C选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故C错误；
D选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故D错误.
故选：A.
【点评】本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用.
二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）
11.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.
【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值.
【解答】解：由4a=2，得，
再由lgx=a=，
得x=.
故答案为：.
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题.
12.（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为 x2+（y﹣1）2=1 .
【分析】利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程.
【解答】解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，
可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，
故答案为：x2+（y﹣1）2=1.
【点评】本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题.
13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=.
【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出.
【解答】解：∵∥，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），
∴sin2θ﹣cos2θ=0，
∴2sinθcosθ=cos2θ，
∵0＜θ＜，∴cosθ≠0.
∴2tanθ=1，
∴tanθ=.
故答案为：.
【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题. 14.（5分）观察分析下表中的数据：
棱数（E）
多面体面数（F）顶点数
（V）
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是 F+V﹣E=2 .
【分析】通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：F+V﹣E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案.
【解答】解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，
①正方体：F=6，V=8，E=12，得F+V﹣E=8+6﹣12=2；
②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+V﹣E=5+6﹣9=2；
③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得F+V﹣E=4+4﹣6=2.
根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：F+V﹣E=2
再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立.
因此归纳出一般结论：F+V﹣E=2
故答案为：F+V﹣E=2
【点评】本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题.
（不等式选做题）
15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.
【分析】根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决.
【解答】解：由柯西不等式得，
（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）
∵a2+b2=5，ma+nb=5，
∴（m2+n2）≥5
∴的最小值为
故答案为：
【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题. （几何证明选做题）
16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF= 3 .
【分析】证明△AEF∽△ACB，可得，即可得出结论.
【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，
∴∠AEF=∠C，
∵∠EAF=∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴，
∵BC=6，AC=2AE，
∴EF=3.
故答案为：3.
【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题.
（坐标系与参数方程选做题）
17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 1 .
【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出.
【解答】解：点P（2，）化为=，y=2=1，∴P.
直线展开化为：=1，化为直角坐标方程为：，即=0.
∴点P到直线的距离d==1.
故答案为：1.
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）
18.（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.
【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；
（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值.
【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，
∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），
∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；
（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，
∴cosB==≥=，
当且仅当a=c时等号成立，
∴cosB的最小值为.
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键.
19.（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.
（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
【分析】（Ⅰ）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC，结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH，从而证得结论；
（Ⅱ）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出及平面EFGH的一个法向量，用与所成角的余弦值的绝对值得直线AB与
平面EFGH夹角θ的正弦值.
【解答】（Ⅰ）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，
且侧棱AD⊥底面BDC.
如图，∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD⊂平面ABD，
∴AD∥EF.
∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD⊂平面ADC，
∴AD∥GH.
由平行公理可得EF∥GH.
∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC⊂平面BDC，
∴BC∥FG.
∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC⊂平面ABC，
∴BC∥EH.
由平行公理可得FG∥EH.
∴四边形EFGH为平行四边形.
又AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，
∴AD⊥BC，则EF⊥EH.
∴四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）解：
解法一：取AD的中点M，连结，显然ME∥BD，MH∥CD，MF∥AB，且ME=MH=1，平面MEH⊥平面EFGH，取EH的中点N，连结MN，则MN⊥EH，
∴MN⊥平面EFGH，则∠MFN就是MF（即AB）与平面EFGH所成的角θ，
∵△MEH是等腰直角三角形，
∴MN=，又MF=AB=，
∴sin∠AFN==，即直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值是.
解法二：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由三视图可知DB=DC=2，DA=1.
又E为AB中点，
∴F，G分别为DB，DC中点.。