第8讲.直线与椭圆的位置关系(答案版)

当前
形势
椭圆在近五年北京卷(理)考查5～14分
高考
要求
内容
要求层次
具体要求
A B C
直线与椭圆的位置关系√
判别式和韦达定理的应用；直线与椭圆相交截得的
弦长
北京
高考
解读
2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第12题5分第19题14分
第14题5分
第19题14分
第19题14分第19题14分考点1．直线与椭圆的交点问题
新课标剖析
满分晋级
第8讲直线与椭圆的
位置关系
解析几何9级
椭圆基本量问题
解析几何10级
直线与椭圆的位置关系
解析几何11级
双曲线与抛物线的基
本量问题
1
第8讲·提高-尖子-目标·教师版
2
第8讲·提高-尖子-目标·教师版
直线l ：0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）与椭圆C ：()0f x y =，的位置关系：
直线与椭圆的位置关系可分为：相交、相切、相离．这三种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线l ：0Ax By C ++=，椭圆C ：()0f x y =，，由0
()0Ax By C f x y ++=⎧⎨
=⎩， 消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=．
此时一定有0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切．
练习1 若直线2y kx =-和椭圆2299x y +=有两个公共点，则k 的取值范围为＿＿＿＿． 【解析】
33k <-或3
3k >
由22
299
y kx x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 整理得22
(91)36270k x kx +-+=， 则222(36)427(91)108(31)k k k ∆=--⨯+=-， 当0∆>，即33k <-
或33
k >时，直线与椭圆有两个公共点
【例1】 ⑴
若直线1()y kx k =+∈R 与椭圆22
15x y m
+=恒有公共点，求实数m 的取值范围．
⑵
已知以()120F -，,()220F ，为焦点的椭圆与直线340x y ++=有且仅有一个交点，则
椭圆的长轴长为（ ）
A ．32
B ．26
C ．27
D ．42
⑶
已知一条直线l 与椭圆22143x y +=相切于点312P ⎛⎫
⎪⎝⎭，，求切线l 的方程．
【解析】
⑴ 解法一： 由221
15y kx x y m
=+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩可得22(5)10550k m x kx m +++-=，∴()
220510m m k ∆=+-≥
即251m k +≥-，2511k -+∵≤，∴1m ≥且5m ≠ 解法二：直线恒过一定点(01)，
当5m <时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长b m =，要使直线与椭圆恒有交点则1m ≥ 即
15m <≤
当5m >时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长a m =可保证直线与椭圆恒有交点即5m > 综述：1m ≥且5m ≠
解法三：直线恒过一定点(01)，
要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点(01)，在椭圆内部220115m
+≤即1m ≥
∴1m ≥且5m ≠ ⑵ C
经典精讲
暑假知识回顾
3
第8讲·提高-尖子-目标·教师版
设椭圆方程为()22
2210x y a b a b
+=>>．
由222222040b x a y a b x ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，，
得(
)
22222223160a b y y b a b +++-=， ∵直线与椭圆有且仅有一个交点 ∴()()
42222219243160b a b b a b ∆=-+-= 可得27a =，
∴2a =
⑶ 设过点312P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，的直线l 的方程为3(1)2y k x -=-，
将其与椭圆的标准方程22
143
x y +=联立，
消去参数y 可得方程2222(34)(128)41230k x k k x k k ++-+--=，因为该直线与椭圆相切，
所以其判别式2222(128)4(34)(4123)0k k k k k ∆=--+--=1
2
k ⇒=-，
∴该直线方程为31(1)22y x -=--，即1
+22
y x =-．
【点评⑶】我们知道当点()00P x y ，在圆222x y r +=时，过该点()00P x y ，的切线方程为200x x y y r +=
同样可得，当点()00P x y ，在椭圆22
221x y a b
+=时，过该点()00P x y ，的切线方程为
00221x x y y
a b +=．
尖子班学案1
【拓2】 直线2y k =与曲线2222918||k x y k x +=（k ∈R ，且0k ≠）的公共点的个数为（ ）
1．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】
D 将2y k =代入2222918||k x y k x +=得22229418||k x k k x +=，即2
9||18||40x x -+=，显然该
关于||x 的方程有两正解，即x 有四解，所以交点有4个．
目标班学案1
【拓3】 若椭圆2
2
2(0)2
y x a a +=>和连结(11)A ，
，(23)B ，两点的线段恒有公共点，则实数a 的取 值范围为（ ）
A
．⎫+∞⎪⎪⎣⎭ B
．⎫+∞⎪⎪⎣⎭ C
．⎣⎦ D
．⎣⎦
【解析】 C
线段AB 与椭圆有公共点，其等价条件是点A 在椭圆内或边界上，点B 在椭圆外或边界上，
由此得2
222
2211232.
2
a a ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≤，≥
a ，故选C ． 【错因分析】误区：过点(11)A ，，(23)B ，的直线方程为21y x =-．椭圆2
2
2(0)2
y x a a +=>与线段AB
4
第8讲·提高-尖子-目标·教师版
恒有公共点，方程组222
212
y x y x a =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，恒有解，消去y 得22
64120()*x x a -+-=L ，方程()*有实数根，0∆≥，由此得6
a ≥
，因此选A ．
【例2】
已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点(23)A ，，且点(20)F ，为其右焦点． ⑴ 求椭圆C 的方程；
⑵ 是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】 ⑴ 依题意，可设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，且可知左焦点为'(20)F -，
， 从而有22||||358c a AF AF =⎧⎨'=+=+=⎩，解得2
4c a =⎧⎨=⎩
，
又2
2
2
a b c =+，所以2
12b =，故椭圆C 的方程为22
11612x y +=．
⑵ 假设存在符合题意的直线l ，其方程为3
2
y x t =+，
由22
3211612
y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22
33120x tx t ++-=． 因为直线l 与椭圆有公共点，所以有22(3)43(12)0t t ∆=-⨯-≥， 解得4343t -≤
另一方面，由直线OA 与l 的距离449
14
=+，从而213t =±，
由于2134343⎡⎤±-⎣⎦，所以符合题意的直线l 不存在．
【备选】已知椭圆22
1169
x y +=，1l ，2l 是过点(0)m ，
，且相互垂直的两条直线，问实数m 在什么范围 时，直线1l ，2l 都与椭圆有公共点． 【解析】 设1l ：y kx m =+，则2l ：1
y x m k
=-+，1l 与椭圆有公共点()2
21169kx m x +⇔+=有实根
⇔()()()
222
16916161440km k m -+-≥，即22916
m k -≥．同理2l 与椭圆有公共点
⇔221916m k -≥，于是29116m -≤，
即5m ≤．由于5m >时，2925911616m -->=，而2k 与21k
必有一个不超过1，这时1l ，2l 不可能都与椭圆有公共点．综上所述，5m ≤．时，过点(0)
m ，存在两条相互垂直的直线1l ，2l 都与椭圆有公共点，又y x m =+与y x m =-+与与椭圆都有公共点．[]55m ∴∈-，
．
考点2：椭圆中的弦长问题
5
第8讲·提高-尖子-目标·教师版
1．两根差公式： 如果12x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=，
则2
22
1212124()44b c b ac x x x x x x a a a a -∆⎛⎫
-=+-=--⋅==
⎪⎝⎭
（0∆>）． 连结椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
求弦长的一种求法是将直线方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；
另外一种求法是如果直线的斜率为k ，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则弦
长公式为2
2
2
12121||111AB k x x k y y a k ∆⎛⎫=+-=+=+- ⎪⎝⎭
．
2．涉及到直线被椭圆截得的弦的中点问题时，常用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），这样可直接得到两交点的坐标之和，也可用作差方法（“点差法”）找到两交点坐标之和，直接与中点建立联系．
练习2已知椭圆2
2:14
x C y +=，
⑴ 若斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长？
⑵ 若直线为2y x m =+，问当m 为何值时，直线l 被椭圆C 所截得的弦长为20
17
？
【解析】
⑴ 设11()A x y ，，22()B x y ，，由椭圆方程得24a =，21b =，23c =， ∴右焦点(
)
30F
，，∴直线方程为3y x =-，
代入22
44x y +=中整理得：258380x x -+=， 64320832∆=⨯-⨯=∴，
2
328||1255
AB k a ∆=+=⨯=
∴
⑵ 由方程组22
214
y x m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，
，消去y 得：221716440x mx m ++-=， 222(16)417(44)16(17)m m m ∆=-⨯⨯-=-．
当0∆>，即1717m -<<时，方程组有两个解，直线与椭圆相交； 22
41720151717
m AB k
a ∆-=+=⨯=∴，解之，得23m =±． 即当23m =±时，直线l 被椭圆C 所截得的弦长为20
17
． 所以直线l 的倾斜角为
π4或3π4
．
【例3】
已知椭圆:
C 2
2 1 4
x
y +=，O 为坐标原点．A 为椭圆的右顶点，
点P （异于点A ）为椭圆C 经典精讲
暑假知识回顾
上一个动点，过O作线段AP的垂线l交椭圆C于点,E D，求DE
AP
的取值范围．
【解析】显然直线AP的斜率存在，可设直线AP：()2
y k x
=-，
①当0
k≠时，直线DE：
1
y x
k
=-．
联立直线AP与椭圆方程化简得：()
2222
41161640
k x k x k
+-+-=，
∴AP=……①
联立直线DE与椭圆方程，有2
2
4
140
x
k
⎛⎫
+-=
⎪
⎝⎭
，
∴2
DE=……②
于是由①、②
得2
DE
AP
=
t=2
t>，
则241515
4
DE t
t
AP t t
-
==-
1
,
2
⎛⎫
∈+∞
⎪
⎝⎭
；
②当0
k=时，4
AP=，2
DE=，∴
1
2
DE
AP
=．
综上，DE
AP
的取值范围是1,
2
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭
．
【备选】（2013北京朝阳二模）
已知椭圆
22
22
:1
x y
C
a b
+=（0
a b
>>）的右焦点为()
10
F，，短轴的端点分别为
1
B，
2
B，且12
FB FB a
⋅=-
u u u r u u u u r
．
⑴求椭圆C的方程；
⑵过点F且斜率为k（0
k≠）的直线l交椭圆于M，N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D．设弦MN的中点为P，试求
DP
MN
的取值范围．
【解析】⑴
()()
22
11
1
b b a
a b
⎧-⋅--=-
⎪
⎨
=+
⎪⎩
，，
，解得2
a
b
=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
∴椭圆的标准方程为
22
1
43
x y
+=．
⑵设()
11
M x y
，，()
22
N x y
，，1212
22
x x y y
P
++
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，，直线:1
l x my
=+，其中
1
m
k
=，则直线l的垂直平分线的方程为：1212
1
22
y y x x
x y
m
++
⎛⎫
=--+
⎪
⎝⎭
，
则12120
22
y y x x
D
m
++
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
，，
6 第8讲·提高-尖子-目标·教师版
7
第8讲·提高-尖子-目标·教师版
由221143x my x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩
消去x 得()2234690m y my ++-=，
∴122634m y y m -+=
+，()1212
28
234
x x m y y m +=++=+，
()2212134
m MN m +=
+，
22433434m P m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，，2
1034D m ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，，则PD =，
∴41DP
MN m ==+ ∵1
0m k
=≠，∴104DP MN <
<， 即
DP
MN 的取值范围为104⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，．
尖子班学案 2
【拓2】 已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>与直线1x y +=交于
A 、
B 两点，||AB =AB 的中点M
与椭圆中心连线的斜率为1
2
，求椭圆的方程．
【解析】 设11()A x y ，，22()B x y ，，00()M x y ，，
由22
2211x y a b x y ⎧+
=⎪⎨⎪+=⎩
，消去y 整理得2222222()20a b x a x a a b +-+-=，① 所以2
12222a x x a b +=+．
所以21202
22x x a x a b +==+，2
0022
1b y x a b =-=+． 因为12
OM k =，2020OM y b k x a ==，所以221
2b a =，即222a b =．
代入①化简整理，得2234220x x b -+-=．
222(4)43(22)2480b b ∆=--⨯⨯-=->∴． ②
||AB ===∴解得21b =，代入②检验满足条件，所以22a =． 故所求椭圆的方程为2
212
x y +=．
提高班学案1
【铺1】已知椭圆22
121
x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，若过点(02)P -，
及1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，求2ABF △的面积．
8
第8讲·提高-尖子-目标·教师版
【解析】 解法一：设()11A x y ，，()22B x y ，，则由题可知：直线AB l 方程为220x y ++=，
由2222
121y x x y =--⎧⎪
⎨+
=⎪⎩可得29440y y +-=，
2121212410
()4y y y y y y -=+-=
， ∴12121410
2S F F y y =
-=
△． 解法二：2F 到直线AB 的距离45
h =
， 由2222
121
y x x y =--⎧⎪
⎨+=⎪
⎩可得291660x x ++=，又2121021AB k x x =+-=，
∴1410
2S AB h =
=
△．
【例4】 已知椭圆方程为22
128
x y +=，
射线2(0)y x x =≤与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A 、B 两点（异于M ）． ⑴ 求证: 直线AB 的斜率2AB k =； ⑵ 求AMB △面积的最大值．
【解析】 ⑴ ∵斜率k 存在，不妨设0k >，求出(12)M --，．
直线MA 方程为2(1)y k x +=+，直线MB 方程2(1)y k x +=-+ 分别与椭圆方程联立，可解出22444A k k x k --=-+，2244
4
B k k x k +-=-+
(2)
2A B A B A B A B y y k x x x x x x -++==--，∴2AB k =
⑵ 设直线AB 方程为2y x m =+，与22
128
x y +=联立，
消去y 得2284(8)0x mx m ++-=．
由()()
2221632816160m m m ∆=--=->得44m -<<，且0m ≠， 点M 到AB 的距离为5
m d =
22
24165||151682
m AB k
m a ∆-=+==-设MAB △的面积为S ．
2
2
222211116||(16)4416162S AB d m m ⎛⎫
==-⋅= ⎪⎝⎭
≤．
当22m =±max 2S =．
尖子班学案3
【拓2】 如图，直线y kx b =+与椭圆2
214
x y +=交于A 、B 两点，记
AOB △的面积为S ．
y x
A
B
O y x
A B
O
9
第8讲·提高-尖子-目标·教师版
⑴ 求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； ⑵ 当||2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．
【解析】 ⑴ 设点A 的坐标为1()x b ，
，点B 的坐标为2()x b ，， 由2
214
x y +=
，解得1,2x =±
所以22121
||2112
S b x x b b =-=+-=
当且仅当b =S 取到最大值1．
⑵ 由22
14
y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8440k x kbx b +++-= 2216(41)k b ∆=-+ ①
||2AB === ② 又因为O 到AB
的距离21||
S
d AB =
=，所以221b k =+ ③ ③代入②并整理，得424410k k -+=
解得，2213
,
2k b ==，代入①式检验，0∆>，故直线AB
的方程是
y x
或y
或y =+
或y =．
目标班学案2
【拓3】 如图，椭圆22
221x y a b
+=上的点M 与椭圆右焦点2F 的连线2MF 与x 轴垂直，且OM （O 是坐标
原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB 平行．
⑴ 求椭圆的离心率；
⑵ 过2F 且与AB 垂直的直线交椭圆于P 、Q ，若1PF Q △
的面积是，求此时椭圆的方程及PQ 的长．
【解析】 ⑴ 易得2b M c a ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，，2OM b k ac =，AB b
k a =
∴2b b
b c a ac a
=⇒=⇒=，∴
c e a ==
⑵ 设直线PQ 的方程为()a
y x c
b
=--，即)y x c =-．
代入椭圆方程消去x
2
221y b
+=，
整理得：22520y c --=，
∴2121225c y y y y +⋅=-，2
222
12848()
525c c y
y -=+=⎝⎭
． 121212252PF Q S c y y c =⋅⋅-
===△．
10 第8讲·提高-尖子-目标·教师版
因此2
2
5025a b ==，，所以椭圆方程为22
15025
x y +=．
2
22(22)45(2)162162552c c PQ c --⨯⨯-⎛⎫
=+⋅== ⎪⎝⎭
．
考点3：椭圆上存在点关于直线对称的问题
1． 点关于点的对称：由中点坐标公式知，点()x y ，关于点()a b ，对称的点的坐标为(22)a x b y --，
2． 已知点11()A x y ，，直线:(0)l y kx b k =+≠，求点A 关于l 的对称点22()A x y '，，则称点A 的连线
AA '被直线l 垂直平分，即1212
122
AA k k y y x x k b '⎧⋅=-⎪
⎨++=⋅+⎪
⎩解方程组得22x y ，．
【例5】 试确定m 的取值范围，使得椭圆22
143
x y +=上有不同两点关于直线4y x m =+对称．
【解析】 法一：
设出对称的两点及其所在的直线方程，再利用判别式0∆>及中点在对称轴上来求解． 设椭圆C 上关于直线l 对称的两点为11()P x y ，，22()Q x y ，
，其所在直线的方程为1
4
y x b =-+，代入椭圆的方程中整理得：
2213816480x bx b -+-=．∵12x x ≠，∴2192(413)0b ∆=-->，
解得：1313
b -<<
① 又∵121212411221324213
x x y y x x b b b +++==-⋅+=
，， 而点121222x x y y ++⎛⎫
⎪⎝⎭
，又在4y x m =+上，∴1212442213y y x x b m ++=-⋅=-
② 把①代入②得：213213
m -<<
． 法二：
C 上存在不同的两点关于直线l 对称，等价于存在C 的弦被l 垂直平分，且垂足必在椭圆C 的
内部，因此，这类问题可考虑利用交点在曲线C 的内部建立不等式．
设椭圆C 上关于直线l 对称的两点为11()P x y ，，22()Q x y ，
，弦PQ 的中点为00()M x y ，， 代入椭圆方程得：01212031
44
x y y x x y -=-=--．①
由点M 在直线4y x m =+上得：004y x m =+．② 由①②解得003x m y m =-=-，
． ∵(3)M m m --，在椭圆的内部，∴223()4(3)12m m -+-<．
经典精讲
知识点睛
M
Q
P
l O
y x
解得213213
m -
<<
．
提高班学案2
【拓1】椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点1F 、2F ，点P 在椭圆C 上，且112PF F F ⊥，14
3PF =，
2143
PF =．
⑴ 求椭圆C 的方程；
⑵ 若直线l 过圆22420x y x y ++-=的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程． 【解析】 ⑴ 因为点P 在椭圆C 上，所以1226a PF PF =+=，3a =．
在12Rt PF F △中，2
2
122125F F PF PF =-=，故椭圆的半焦距5c =，
从而2224b a c =-=，
所以椭圆C 的方程为22
194
x y +=
⑵ 法一：
设A B ，的坐标分别为11()x y ，，22()x y ，．由圆的方程为22(2)(1)5x y ++-=，所以圆心M 的坐标为(21)-，．
从而可设直线l 的方程为(2)1y k x =++，
代入椭圆C 的方程得2222(49)(3618)3636270k x k k x k k +++++-=． 因为A B ，关于点M 对称．
所以21221892249x x k k k ++=-=-+，解得89
k =
， 所以直线l 的方程为8
(2)19
y x =++，即89250x y -+=．(经检验，符合题意)
法二：
已知圆的方程为22(2)(1)5x y ++-=，所以圆心M 的坐标为(21)-，． 设A B ，的坐标分别为11()x y ，
，22()x y ，． 由题意12x x ≠且2211194x y += ① 2222194x y += ②
由①-②得12121212()()()()
094
x x x x y y y y -+-++= ③
因为A B ，关于点M 对称，所以124x x +=-，122y y +=，
代入③得121289y y x x -=-，即直线l 的斜率为8
9
，
所以直线l 的方程为8
1(2)9
y x -=+，即89250x y -+=．
(经检验，所求直线方程符合题意)．
考点4：直线与椭圆的综合
【例6】 已知椭圆方程为2
213
x y +=，定点()10E -，，直线2y kx =+与此椭圆交于C 、D 两点．是
否存在实数k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．如果存在，求出k 的值；如果不存在，请
说明理由．
【解析】 设()11C x y ，，()22D x y ，，若存在实数k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点，
则EC ED ⊥，即()()1122110x y x y +⋅+=，，12121210x x x x y y ⇔++++=， ()()()2121212150k x x k x x ⇒+++++=，……① 由22
2
13
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()22131290k x kx +++=， ()()()2
221236133610k k k ∆=-+=->，即21k >，
1221213k x x k -+=
+，12
2
9
13x x k =+，……② 把②代入①得：()()222
911221501313k k k k k ++-+=++，解得7
6
k =．满足题意， ∴存在实数7
6
k =
，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．
【备选】椭圆中心是坐标原点O ，焦点在x
轴上，e =
，过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于P 、Q 两 点，20
9
PQ =
，且OP OQ ⊥，求此椭圆的方程． 【解析】 设椭圆方程为22
221x y a b
+=(0)a b >>
⑴ PQ x ⊥轴时，(0)F c -，，2b FP a
=，又FQ FP =且OP OQ ⊥，∴OF FP =，即2
b c a =
∴22ac a c =-，∴210e e +-=，
解得e =
e =不符，所以PQ 不垂直x 轴． ⑵ PQ ∶()y k x c =+，11()P x y ，，22()Q x y ，
，
∵e =
，∴243a c 2=，221
3
b c =， 所以椭圆方程可化为：22231240x y c +-=，将PQ 方程代入，
得2
2
2
22
2
(312)241240k x k cx k c c +++-=，∴212224312k c x x k -+=+，222
122
124312k c c x x k -=+
()()()()2
2222222244312124481k c k k c c c k ∆=-+-=+
由209PQ =
209314k =+ ① ∵OP OQ ⊥，∴
12
12
1y y x x ⋅=-即12120x x y y +=， ∴22221212(1)()0k x x k c x x c k ++++=②
把12x x +，12x x 代入，解②得2411k =，把24
11
k =代入①解得23c =
∴24a =，2
1b =，则所求椭圆方程为2214
x y +=．
【例7】
（2012北京理19）已知曲线()()()22:528C m x m y m -+-=∈R
⑴ 若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；
⑵ 设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A B ，（点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线1y =与直线BM 交于点G ．求证：A G N ，，三点共线．
【解析】 ⑴原曲线方程可化简得：22
18852x y m m +=-- 由题意可得：8852
8
058
02m m m
m ⎧>⎪--⎪
⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩
，解得：752m <<
⑵ 由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，
由2
=32(23)0k ∆->，解得：232
k >
由韦达定理得：21621M N k x x k -+=+①，224
21
M N x x k =+，②
设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ，
MB 方程为：6
2M M kx y x x +=
-，则316M M x G kx ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，， ∴316M M x AG kx ⎛⎫=-
⎪+⎝⎭
u u u r ，，()2N N AN x kx =+u u u
r ，， 欲证A G N ，，三点共线，只需证AG u u u r ，AN u u u r
共线
即3(2)6
M
N N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+ 将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证．
【例8】
（2010天津理20）
已知椭圆22
221(0x y a b a b
+=>>）的离心率3e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
⑴ 求椭圆的方程；
⑵ 设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(0)a -，，点0(0)Q y ，在线
段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ⋅=u u u r u u u r
，求0y 的值．
【解析】 ⑴ 由3
c e a =
2234a c =，再由222c a b =-，得2a b = 由题意可知，1
2242a b ⨯⨯=，即2ab =
解方程组22a b
ab =⎧⎨=⎩
得2a =，1b =
所以椭圆的方程为2
214
x y +=
⑵ 由⑴可知(20)A -，．设B 点的坐标为11()x y ，，由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的
斜率为k ，则直线l 的方程为(2)y k x =+，
于是A ，B 两点的坐标满足方程组22
(2)14
y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 由方程组消去y 并整理，得2222
(14)16(164)0k x k x k +++-=
由2121642,14k x k --=+得2122814k x k -=+，从而12
414k
y k
=+， 设线段AB 是中点为M ，则M 的坐标为222821414k k k k ⎛⎫
⎪⎝-++⎭， 以下分两种情况：
①当0k =时，点B 的坐标为(20)，．线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是
0(2)QA y =--u u u r ，，0(2)QB y =-u u u r ，由4QA QB ⋅=u u u r u u u r
，得022y =±
②当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2
22
218()1414k k y x k k k --=+++
令0x =，解得02
614k
y k -=+
由0(2)QA y =--u u u r ，，110(QB x y y =-u u u r
，）
()()
42210102222224161512(28)6462(41414141414k k k k k k QA QB x y y y k k k k k +---⎛⎫⋅=---++== ⎪++++⎝⎭+u u u r u u u r ）=整理得272k =，故14k =±
所以0214
5y =± 综上022y =±或0214
5
y =±．
（2010安徽理19）
已知椭圆E 经过点()23A ，
，对称轴为坐标轴，焦点 12F F ，在x 轴上，离心率1
2
e =．
⑴ 求椭圆E 的方程；
⑵ 求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；
⑶ 在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，
请找出；若不存在，说明理由．
【解析】 ⑴ 设椭圆E 的方程为22
221x y a b
+=
由12e =，即1
2
c a =，2a c =，得22223b a c c =-=，
∴椭圆方程具有形式22
22143x y c c
+=．
将()23A ，
代入上式，得2213
1c c +=，解得2c =， ∴椭圆E 的方程为2211612
x y
+=．
⑵ 解法1：
O
A
F 2
F 1
y
x
l
由⑴知()120F -，，()220F ，，所以直线1AF 的方程为：()3
24
y x =+， 即3460x y -+=，
直线2AF 的方程为：2x =．
由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数． 设()P x y ，为l 上任一点，则
346
25
x y x -+=-．
若346510x y x -+=-，得280x y +-=（因其斜率为负，舍去）． 于是，由346510x y x -+=-+，得210x y --= 所以直线l 的方程为：210x y --= 解法2：
∵()23A ，，()120F -，，()220F ，，()143AF =--u u u r ，，()203AF =-u u u u r
，． ∴()()()1212
114430312535AF AF AF AF +=--+-=-u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，，，
． ∴12k =，∴():322l y x -=-，即210x y --=． ⑶ 解法1：
假设存在这样的两个不同的点()11B x y ，和()22C x y ，， ∵BC l ⊥，∴21211
2
BC y y k x x -=
=--． 设BC 的中点为()00M x y ，，则1202x x x +=
，12
02
y y y +=， 由于M 在l 上，故00210x y --=． ① 又B ，C 在椭圆上，所以有221111612x y +=与22
22
11612
x y +=．
两式相减，得222
2
212101612x x y y --+=，即()()()()122112210
1612
x x x x y y y y +-+-+=． 将该式写为122112*********
x x
y y y y x x +-+⋅+⋅⋅=-，并将直线BC 的斜率BC k 和线段BC 的中点
表示代入该表达式中，得0011
0812
x y -=，即00320x y -=． ②
2⨯-①②得02x =，03y =，即BC 的中点为点A ，而这是不可能的．
∴不存在满足题设条件的点B 和C ． 解法2：
假设存在()11B x y ，，()22C x y ，两点关于直线l 对称，则l BC ⊥，∴1
2
BC k =-．
设直线BC 的方程为1
2
y x m =-+，将其代入椭圆方程2211612x y +=，
得一元二次方程2
2
134482x x m ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，即22120x mx m -+-=．
则1x 与2x 是该方程的两个根．
由韦达定理得12x x m +=，于是()121213222
m
y y x x m +=-++=， ∴B ，C 的中点坐标为32
4m m ⎛⎫
⎪⎝⎭，．
又线段BC 的中点在直线21y x =-上，
∴314
m
m =-，得4m =． 即B ，C 的中点坐标为()23，
，与点A 重合，矛盾． ∴不存在满足题设条件的相异两点．
【演练1】直线y x m =+与椭圆2
2
114425
x y +=有两个公共点，则m 的取值范围是（ ）
A ．(55)-，
B ．(1212)-，
C ．(1313)-，
D ．(1515)-，
【解析】 C
【演练2】若椭圆2222(0)x y a a +=>与连结(12)A ，，(23)B ，的线段没有公共点，则a 的取值
范围是__________．
【解析】 ()06，或
(
)
17+∞，
由题意，要使线段AB 与椭圆无公共点，则A 在椭圆外或B 在椭圆内， 即222212a ⋅+>或222223a ⋅+<， ∴66a -<<或17a >或17a <-， 又∵0a >，∴06a <<或17a >为所求．
【演练3】设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆22
14
y x +=的交点为A 、B ，
点P 为椭圆上的动点，则使PAB △的面积为1
2
的点P 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 B
直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '的方程为：220x y +-=，
2222014
x y y x +-=⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，
，消去y ，得1102x y =⎧⎨=⎩，，2210x y =⎧⎨
=⎩，，||5AB =． 设点()P x y ，，点P 到AB 的距离为2221
+，
∴PAB △的面积为2222
1111
||5|22|22222121AB x y ⨯
⨯=⨯⨯=+-=++， ∴|22|1x y +-=，又∵点P 为椭圆上的动点，
∴22|22|114x y y x +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，∴①2222114
x y y x +-=⎧⎪⎨+
=⎪⎩，，消去y ，得281250x x -+=，0∆<，无解，
实战演练
②2222114
x y y x +-=-⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，，消去y ，得28430x x --=，0∆>，有两解．
∴使PAB △的面积为1
2
的点P 有两个．
【演练4】点(31)P -，在直线2
a x c
=-上，过点P 且方向为(25)a =-r ，的光线，经直线2y =-
反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）
A
B ．13
C
D ．12
【解析】 A
过点P 且方向为(25)a =-r ，的入射光线的斜率为5
2
-，经直线2y =-反射后的反射光线与入
射光线关于直线2y =-对称，斜率为5
2
，点(31)P -，关于直线2y =-的对称点为(35)--，在
反射光线上，反射光线的方程为：5
5(3)2
y x +=+，即5250x y -+=．与x 轴的交点坐标为
(10)-，，即为椭圆的左焦点，所以1c =．又点(31)P -，在直线2a x c =-上，∴2
3a c
=，
∴23a =
，a =
c e a ==
【演练5】（2010宣武一模19） 已知椭圆的中心在原点O ，焦点在x
轴上，点(0)A -，是其左顶点，点C 在椭圆上且
0||||AC CO AC CO ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，． ⑴ 求椭圆的方程；
⑵ 若平行于CO 的直线l 和椭圆交于,M N 两个不同点，求CMN △面积的最大值，并求此时直线l 的方程．
【解析】 ⑴ 设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
∵
左顶点(0)||||A AC CO AC CO -⊥=，，，．
∴212a =
，(C ±， 又∵C 在椭圆上， ∴233
112b
+=，24b = ∴椭圆的标准方程为22
1124
x y +=．
⑵ 设1122(,),(,)M x y N x y
∵1co k =±，设直线l 的方程为y x m =±+， 代入22
1124
x y +=，得22463120x mx m ±+-=．
22122
123644(312)0323124
m m m x x m x x ⎧
⎪∆=-⋅->⎪
⎪
+=±
⎨⎪
⎪-⋅=⎪⎩ ∴2616||2m MN ∆⋅-=⋅=
又C 到直线l 的距离2d =，
∴CMN △的面积22
13||(16)24S MN d m m =⋅⋅=⋅-22316232
m m +-⋅=≤，
当且仅当2216m m =-时取等号，此时22m =±满足题中条件， ∴直线l 的方程为220x y ±±=．
（2009年清华大学自主招生保送生测试4）
已知椭圆22
221x y a b
+=，过椭圆左顶点(0)A a -，的直线l 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原
点与l 平行的直线与椭圆交于P ． 求证：AQ ，2OP ，AR 成等比数列．
【解析】 由题可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的解析式为()y k x a =+，则R 点为(0)ka ，．
由()22
221x y a b y k x a ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
，可得：()
222232422220b a k x a k x a k a b +++-= 由韦达定理得：23222222222ab a k ab k Q b a k
b a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，，则2
1AR a k =+，22222
21ab AQ k b a k =++， 由22
221x y a b y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=⎩
，可得：()
222222b a k x a b += 设11()P x y =，，则2222
221
1
222
2(1)
22()a b k OP x y AQ AR b a k +=+==⋅+．
大千世界。