2010届福建省南安市侨光中学高二数学第二次阶段考试试卷(文理两套)

2010届南安市侨光中学高二年第二次阶段考试
数学试题（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、已知0<<b a ，则下列不等式成立的是( ) A ．
1<b a B ．||||b a > C ．b
a 1
1< D ．22a b >、 2、已知命题p ：1cos ,≤∈∀x R x ，则( )
A ．1cos ,:≥∈∃⌝x R x p
B ．1cos ,:≥∈∀⌝x R x p
C ．1cos ,:>∈∃⌝x R x p
D ．1cos ,:>∈∀⌝x R x p
3、抛物线y x 21
2
-
=的准线方程为( ) A ．21-=x B ．81=x C ．21=y D ．
1
=y
4、图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是( )
A ．01<-+y x
B ．01>-+y x
C ．01<--y x
D ．01>--y x
5、双曲线1942
2=-y x 的渐近线方程为( ) A ．x y 32±= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．x y 4
9
±=
6、在ABC ∆中，已知8=a ， 60=B ，
45=A ，则b 等于( )
A ．64
B ．34
C ．24
D ． 3
32
7、如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b 等于( ) A ．9 B ． 3 C ．3± D ．－3
8、平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“||||PB PA -是定值”，命题乙是“点P
的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线”。

那么甲是乙的（ ）。

A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
9、在等比数列}{n a 中，11=a ，243=k a ，3=q ，则=k S ( ) A ．363 B ．364 C ．384 D ．728 10、在下列函数中，最小值为2的是( )
A ．x
x y 1
+
= B ．x x y -+=33 C ．)101(lg 1
lg <<+
=x x
x y D ．)20(sin 1sin π<<+
=x x x y 11、下列有关命题的说法正确的有( )
① 命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ，则0232
≠+-x x ” ② “1=x ”是“0232
=+-x x ”的充分不必要条件； ③若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题；
④若“q p ∨”为假命题，则“q p ⌝∧⌝”为真命题。

A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12、一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内不同于O 的一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折
叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，若CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )
A ．圆
B ．抛物线
C ．双曲线
D ．椭圆 二、填空题（每小题5分，共25分）
13、不等式02
<++b ax x 的解集为)2,1(，则不等式02
>++a bx x 的解集是 。

14、数列}{n a 的通项公式为)
2)(1(1
++=
n n a n ，则该数列的前n 项和=n S 。

15、若抛物线x y 42=上一点P 到焦点F 的距离是5，则P 点的坐标是 。

16、过双曲线13
42
2=-y x 左焦点1F 的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，2F 为其右焦点，则||||||22MN NF MF -+的值为 。

17、已知抛物线)0(22
>-=p px y 的焦点F 恰好是椭圆122
22=+b
y a x 的左焦点，且两曲
线的公共点的连线过F ，则该椭圆的离心率为 。

三、解答题（共65分）
18、（本题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,。

已知5=+b a ，
7=c ，且2
3)cos(22cos -=++B A C 。

（1）求C ∠有大小；（2）求ABC ∆的面积。

19、（本题满分12分）已知椭圆方程为13
42
2=+y x ，1F 、2F 为椭圆的左右焦点，若点P 在椭圆上，且 6021=∠PF F ，求21F PF ∆的面积。

20、（本题满分13分）已知正项数列}{n a 中，前n 项和8
)2(2
+=n n a S 。

（1）求证：数列
}{n a 是等差数列；
（2）若302
1
-=n n a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值。

21、（本题满分14分）经过长期观测得到，在交通繁忙的时间段内，某公路段汽车的车流
量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系式为
1600
39202
++=
v v v
y （0>v ）。

（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/时）；（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
22、（本题满分14分）已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为4，离心率为2
3。

（1）求此椭圆E 的标准方程；
（2）已知点)1,0(A 和直线l ：m x y +=，线段AB 是椭圆E 的一条弦且直线l 垂直平分弦AB ，求实数m 的值。

2010届南安市侨光中学第二次阶段考试
数学试题（文科）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1~6、B C D B C A 7~12、D A B B CD 二、填空题（每小题5分，共25分） 13、}31|{-<>x x x 或 14、4
2+n n
； 15、()4,4± 16、8 17、12-
三、解答题（共65分）
18、（本题满分12分）解：（1）∵A+B+C ＝180°∴02
3
cos 21cos 22
=+--C C ， ∴()01cos 22
=-C ，∴2
1cos =
C ，又角C 是三角形的内角， ︒
∠∴60C ＝。

（2）∵7=
c ∴由余弦定理得 60cos 2722ab b a -+=，即722=-+ab b a ，
又5=+b a ，∴可得6=ab ，∴2
3
3sin 21=
=
C ab S 19、（本题满分12分）解：由已知得：3,2==b a ，∴122=-=b a c ， 由椭圆的定义可知：4||||21=+PF PF ，①
在21F PF ∆中，由余弦定理得：
60cos ||||2||||||212221221PF PF PF PF F F ⋅-+=②
由①②可得：4||||21=⋅PF PF ∴360sin ||||2
1
21=⋅=
PF PF S 。

20、（本题满分13分）解：（1）当2≥n 时，()()2
1218
28
2+-
+=-=--n n n n n a a S S a ，
整理得：
()()0411=--+--n n n n a a a a ，∵数列}{n a 是正项数列，∴01≠+-n n a a ，
∴041=---n n a a ， ∴41=--n n a a （2≥n ）， ∴数列}{n a 是等差数列。

（2）∵211==s a ，24,4-=∴=n a d n ，312-=∴n b n
()22515302
2
21+-=-=•+=
∴n n n n b b T n n ,∴当15=n 时，()225min =n T 。

21、（本题满分14分）解：（1）依题意得，83920
160023920)1600(3920=+≤++=v
v y ，
当且仅当v
v 1600
=
，即40=v 时，上式等号成立，所以≈=83920max y 11．1（千辆/时） （2）由条件得
101600
39202
>++v v v
，整理得01600892<+-v v ，解得6425<<v 所以，当40=v 千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11．1千辆/时．当汽车的平均速度大于25千米/时且小于64千米/时时，则在该时段内车流量超过10千辆/时。

22、（本题满分14分）解：（1）设椭圆的标准方程122
22=+b
y a x )0(>>b a
由条件知：2
3,
2=
=a c a ，∴3=c ，∴12
22=-=c a b 故所求的椭圆方程为：14
22
=+y x 。

（2）由条件可得AB 所在直线的方程为x y -=1，代入椭圆方程得：4)1(42
2
=-+x x
即0852
=-x x ，解得58=
B x ，531-=-=B B x y 。

设AB 的中点为M ，则54=M x ，51
=M y
由点M 在直线l 上，∴m +=5
4
51
解得：5
3
-=m 。

2010届南安市侨光中学高二年第二次阶段考试
数学试题（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、已知0<<b a ，则下列不等式成立的是( )
A ．
1<b a B ．b a 1
1< C ．||||b a > D ．22a b > 2、不等式
01321<+-x x
的解集是( ) A ．)21,(-∞ B ．)21,31(- C ．),21(+∞ D ．),2
1
()31,(+∞⋃--∞
3、已知数列}{n a 为等差数列，则下列数列中也为等差数列的是( )
A ．}1{n a -
B ．}{2
n a C ．|}{|n a D ．}{3n a
4、用数学归纳法证明不等式n n <-++++1
21
31211 （*N n ∈且1>n ）时，第一步应验证不等式( )
A ．2211<+
B ．231
211<++ C ．331211<++ D ．34
1
31211<+++
5、图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是( )
A ．01<-+y x
B ．01>-+y x
C ．01<--y x
D ．01>--y x 6、设2
)
1(1)(-=
x x f ，则)0('
f 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2
7、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于︒
60”时，假设正确的是( ) A ．假设三个内角都不大于︒
60 B ．假设三个内角都大于︒
60 C ．假设三个内角至多有一个大于︒
60 D ．假设三个内角至多有两个大于︒
60
8、
dx x x ⎰
-
+22
)cos (sin π
π
的值是 (
)
A ．0
B ．
4
π
C ．2
D ． 4 9、在等比数列}{n a 中，11=a ，243=k a ，3=q ，则=k S ( )
A ．364
B ．363
C ．384
D ．728
10、设⎩⎨⎧∈-∈=]
2,1(,2]
1,0[,)(2x x x x x f ，则dx x f ⎰20
)(等于( )
A ．
43 B ．54 C ．6
5
D ．不存在 11、已知3)2(3
12
3++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( )
A ．1-<b 或2>b
B ．21<<-b
C ．12≤≤-b
D ．21≤≤-b
12、定义在R 上的可导函数)(x f ，已知)
('
x f
e y = 的图象如图所示，则)(x
f y = 的增
区间是( )
A ．)1,(-∞
B ．)2,(-∞
C ．)1,0(
D ．)2,1( 二、填空题（每小题5分，共25分）
13、不等式02
<++b ax x 的解集为)2,1(，则不等式02
>++a bx x 的解集是 。

14、函数x x y 2cos 2sin +=的导数是 。

15、根据定积分的几何意义，计算
=-⎰
dx x 20
24 。

16、在数列}{n a 中，当1≥n 时，n a a a a n 3212=恒成立，则=+53a a 。

17、从2
11=，23432=++，2
576543=++++中，可得到一般规律为：。

三、解答题（共65分） 18、（本题满分12分）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C
成等差数列，且三个内角的对边
分别为c b a ,,，求证：c
b a
c b b a ++=+++3
11。

19、（本题满分12分）求由曲线21x y -=和直线5-=x y 所围成图形的面积。

20、（本题满分13分）已知函数c bx ax x f ++=24)(的图象过点)1,0(-P ，且在1=x 处的切线方程为022=-+y x 。

（1）求函数)(x f 的表达式；（2）若对任意R x ∈，不等式
)1()(2+≤x t x f 都成立，求实数t 的取值范围。

21、（本题满分14分）某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件。

如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：元，
200≤≤x ）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件。

（1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
22、（本题满分14分）在数列}{n a 中，21=a ，)(12*1N n a a a n
n
n ∈+=+。

（1）计算2a ，3a ，4a 的值；
（2）猜想数列}{n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法加以证明；
（3）设)1
1(n n a n b -=，且∑==n
i i n b S 1
，求证：2<n S 。

2010届南安市侨光中学第二次阶段考试
数学试题（理科）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1~6、CDABBD 7~12、BCACDB 二、填空题（每小题5分，共25分）
13、}31|{-<>x x x 或 14、x x y 2sin 22cos 2'-= 15、π 16、
16
61
17、2)12()23()2()1(-=-++++++n n n n n 三、解答题（共65分）
18、（本题满分12分）证明：要证
c
b a
c b b a ++=+++3
11， 只需证
3=+++++++c b c b a b a c b a ，即证1=+++c
b a
b a
c ， 只需证))(()()(c b b a b a a c b c ++=+++，只需证2
2
2
b a
c a c +=+。

∵角A ，B ，C 成等差数列，∴C A B +=2，∴︒
=60B 。

由余弦定理得：︒
-+=60cos 22
2
2
ac c a b ，∴2
2
2
b a
c a c +=+。

故命题得证。

19、（本题满分12分）解：作出直线5-=x y ，曲线21x y -=的草图， 所求面积为图中阴影部分的面积。

解方程组⎩⎨
⎧-=-=2
15
x
y x y 得交点坐标为)8,3(--和)3,2(- 因此所求图形的面积为
dx x x S ⎰-+--=2
3
2)51(dx x x ⎰---=2
3
2)6(
32)21316(23---=x x x 6125
32)2
1316(23=
---=x x x 。

20、（本题满分13分）解：（1）由图象过点)1,0(-P 可知：1)0(-=f ，∴1-=c 。

∵)(x f 在1=x 处的切线方程为022=-+y x ， ∴切点坐标为)0,1(，且切点也在)(x f 的图象上， 于是有，1=+b a ，……………………①
∵bx ax x f 24)(3
'
+=，∴224)1('
-=+=b a f ，
即12-=+b a ……………………………② 由①②解得：3,2=-=b a 。

∴132)(24-+-=x x x f 。

（2）由)1()(2
+≤x t x f 恒成立，且12
+x 恒大于0得：t x x x ≤+-+-1
1
322
24恒成立。

令1
1
32)(2
24+-+-=x x x x g ，则问题就等价于t x g ≤max )(。

设m x =+12
，则1≥m ，且m
m m m h x g 6
72)()(2-+-== 347)3(27-≤+-=m m
（当且仅当3=m 时，等号成立）。

∴347)(max -=x g ,
故实数t 的取值范围是),347[+∞-。

21、（本题满分14分）解：（1）设商品降价x 元时，多卖出的商品件数为2
kx ，若记商品在一个星期的销售利润为)(x f ，则依题意有)432()930()(2kx x x f +⋅--=。

又由已知
条件2224⋅=k ，于是有6=k ，所以90724321266)(2
3+-+-=x x x x f ，)200(≤≤x 。

（2）根据（1），有)12)(2(1843225218)(2
'---=-+-=x x x x x f ，当x 变化时，)(x f 与)('
x f 变化情况如下表：
故12=x 时，)(x f 达到极大值。

因为9072)0(=f ，11664)12(=f ，所以定价为
181230=-（元）能使一个星期的商品销售利润最大。

22、（本题满分14分） 解：（1）342=
a ，783=a ，15
16
4=a ；
（2）猜想通项公式1
22-=n n
n a 。

下面用数学归纳法证明如下：
①当1=n 时，显然成立。

②假设当k n =时，1
22-=k k
k a ，
那么1
2221221
2211222121111
-=+-=-+-⋅=+=++++k k k k k k
k k
k
k k k a a a 。

这就是说，当1+=k n 时，猜想也成立。

根据①②可知，对*
N n ∈都有1
22-=n n
n a 。

（3）由上可知：n n n n a n b )2
1()11(⋅=-
= ∴n
n
i i
n n b S )21()21(3)21(2)21(1321
⋅++⋅+⋅+⋅==∑= ……………………① 则
132)2
1
()21()1()21(2)21(121+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S …………………② 由①－②得：1
32)21()21()21()21(2121+⋅-++++=n n n n S
∴n
n n n S )21()21()21()21(211132⋅-+++++=-
n n
n )21(2
11)21(1⋅---=
2)21()2(2<⋅+-=n n ， ∴2<n S 。