天津一中2013-2014学年高中数学 2.3 双曲线教案 新人教A版选修2-1

2.3双曲线（3课时）
【教学目标】
（1）理解双曲线的定义明确焦点、焦距的概念
（2）熟练掌握双曲线的标准方程，会根据所给的条件确定双曲线的标准方程 （3）熟练掌握双曲线的范围，对称性，顶点等简单几何性质 （4）掌握标准方程中c b a ,,的几何意义，以及e c b a ,,,的相互关系. 【教学重点】掌握双曲线的标准方程，理解坐标法的基本思想. 【教学难点】双曲线标准方程的推导与化简，坐标法的应用. 【课前导学】阅读教材完成下列学习 1. 双曲线定义：
2. 当12122PF PF a F F -=<时，点P 的轨迹为
当12122PF PF a F F -=>时，点P 的轨迹为
当12122PF PF a F F -==时，点P 的轨迹为
当12122PF PF a F F -=<时，点P 的轨迹为 【预习自测】
1. 已知双曲线的两个焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，双曲线上一点P 到1F ，2F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
3.双曲线的方程与几何性质:
【预习自测】
1.求双曲线2
2
916144y x -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．
2. 已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆
22
=1169
x y +有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求双曲线的方程.
【典型例题】
例1．已知a =25，求经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程.
例2．已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点)24,3(1-P ，)5,4
9
(2P 在此双曲线上，求双曲线的标准方程
例3．已知双曲线
22
1916
x y -=上一点(,)P x y
（1）若2||8PF =，求：1||PF 的值．
（2）求与其有相同渐近线且过点(6,10)A 的双曲线方程．
（3）求与其有相同焦点且过点(5,A 的双曲线方程．
（4）若1290F PF ∠=，求12F PF 的面积．
（5）研究直线23y kx k =+-和此双曲线交点的情况： ①_____________________k ∈时,有一个交点； ②_____________________k ∈时,有两个交点； ③_____________________k ∈时,没有交点．
例4．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条
渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 例5．已知点1F 、2F 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 且垂直
于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的范围是 （ ）
A ． (1,)+∞
B ． (1,1+
C ．
D ． (1-+
例6．设1F 和2F 为双曲线22
221x y a b
-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是
正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A ．
32 B ．2 C ．5
2
D ．3 （ ） 例7．设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦点，若在双曲线上
存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣,则该双曲线的渐近线方程为 （ ）
A ．x y=0
B ±y=0
C ．x =0
D ±y=0
例8．双曲线24x -2
12
y =1的焦点到渐近线的距离为 （ ）
A ．． 2 C D ．1
例9．设1F 、2F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上
存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为
A ．340x y ±=
B ．350x y ±=
C ．430x y ±=
D ．540x y ±=
例10．点P 在以1F 和2F 为焦点的双曲线14
22
=-y x 上，︒=∠9021PF F ，
则21PF F S =
例11．已知1F 、2F 为双曲线C:22
1x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=
则12||||PF PF ⋅=（ ）
A ． 2
B ． 4
C ． 6
D ． 8
例12．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线22
21(a>0)a
x y -=的中心和左焦点,点P 为双曲
线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为 ( )
A ．)+∞
B ．[3)++∞
C ．7[-,)4+∞
D ．7[,)4
+∞
例13．若直线l ：y kx m km =+≠()0与曲线C ：x y 2
23
1-=交于A 、B 两点，当 D （0，－1）满足||||AD BD =时，试求m 的取值范围。

例14．直线l ：1+=kx y 与双曲线C ：122
2
=-y x 的右支交于不同的两点A 、B 。

（Ⅰ）求实数k 的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值。

若不存在，说明理由。

例15．已知定圆02410:2
2
1=+++x y x F ，定圆0910:2
2
2=+-+x y x F ，动圆M 与定圆21,F F 都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

练习：
1．双曲线22
221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角
30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）
A
B
C
D
2．已知双曲线1:22
22=-b
y a x C 的焦点为1F 、2F ，M 为双曲线上一点，以1F 2F 为直径
的圆与双曲线的一个交点为M ，且2
1
tan 21=∠F MF ，则双曲线的离心率为（ ）
A ． 2
B ． 3
C ．2
D ． 5
3．过双曲线M:2
2
21y x b
-=()0>b 的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两
条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是（ ）
4．过双曲线22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、
N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________
5．已知点F 1、F 2分别是双曲线122
22=-b
y a x 的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与
双曲线交于A 、B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的范围是
6．过点(0,2)与双曲线116
92
2=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为
______
7．设连结双曲线1122
222222=-=-a
x b y b y a x 与的四个顶点所成的四边形的面积为1s ，连
结四个焦点所成的四边形的面积为2s ，则
2
1
s s 的最大值为 8．已知21,F F 是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点（不是顶点），从某一焦点引
21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是 （ ）
A 直线
B 圆
C 椭圆
D 双曲线
9．已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且
6021=∠PF F ，
31221=∆F PF S ．求该双曲线的标准方程
10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两 点，MN 中点的横坐标为3
2
-，求则此双曲线的方程。