高考数学复习点拨 回归分析两注意

高考数学复习点拨回归分析两注意
一、相关性判断问题
例1 炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系。

如果已测得炉料融化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y（从炉料融化完毕到出钢的时间）的一列数据，如下表所示：
（1）y与x是否具有线性相关关系？
（2）如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）预测当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？
分析：判断两变量之间是否具有线性相关关系，要计算出相关系数r，比较r与临界值的大小，依据线性回归直线方程，对冶炼时间进行预报。

解析：（1）由已知数据列成下表：
于是10
100.9906i i
X Y x y
r -=
≈∑，
又0.050.632r =，0.05r r >知y 与x 具有线性相关关系。

（2）设所求的回归直线方程y bx a =+，则
10
110
2
21
10 1.267,30.5110i i i i
i X Y x y
b a y bx X
x
==-=
≈=-≈--∑∑，即所求的回归直线方程为
1.26730.51y x =-
（3）当160x =时， 1.26716030.51172(min)y =⨯-≈，即大约冶炼172min 。

导评：已知x 与y 呈线性相关关系，就无需进行相关性检验，否则要进行相关性检验。

如果两个变量不具备相关关系，或者相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，用其估计和预测也是不可信的。

二、非线性问题
例2 在试验中得到变量y 与x 的数据如下：
由经验知，y 与
1
x
之间具有线性相关关系，试求y 与x 之间的回归曲线方程；当00.038x =时，预测0y 的值。

分析：通过换元转化为线性回归问题。

解析：令1
u x
=，由题目所给数据可得下表所示的数据‘
计算得0.29,34.32
b a
==，∴34.320.29
y u
=+
故所求回归曲线方程为
0.29
34.32
y
x
=+，当
0.038
x=时，
0.29
34.3241.95
0.038
y=+≈。

导评：非线性问题有时并不给出经验公式，此时我们可以由已知的数据画出散点图，并把散点图与已经学习过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑选出跟这些散点拟合最好的函数，然后再采用变量的置换，把问题转化为线性回归分析问题，使问题得以解决。