2023-2024学年江苏省苏州市常熟市高一下册3月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年江苏省苏州市常熟市高一下册3月月考数学试题
一、单选题
1．已知向量()2,1AB =
，点()1,1A -，则点B 的坐标为（
）
A ．()0,3
B ．()
3,0C ．()
1,2--D ．()
2,1--【正确答案】B
【分析】设点B 的坐标为(,)x y ，则(1,1)AB x y =-+
，再结合()2,1AB = 可求出,x y 的值，从
而可求得点B 的坐标
【详解】解：设点B 的坐标为(,)x y ，则(1,1)AB x y =-+
，
因为()2,1AB =
，
所以1211x y -=⎧⎨+=⎩
，得30x y =⎧⎨=⎩，
所以点B 的坐标为()3,0，故选：B
2．在ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 分别所对的边，若::1:2:3A B C =，则::a b c =（）
A ．1:2:3
B ．3:2:1
C ．2
D ．
2【正确答案】C
【分析】先求出角,,A B C ，再利用正弦定理求解【详解】由题::1:2:3A B C =且,,6
3
2
A B C A B C π
π
π
π++=∴==
=
由正弦定理得1::sin :sin :sin ::122
a b c A B C ===2故选：C
3．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，若3cos 5α=，则cos 6⎛
⎫-= ⎪⎝⎭πα（
）
A B
C D 【正确答案】D
【分析】利用同角三角函数的基本关系可得4
sin 5
α=，再利用两角差的余弦公式，即可得到答案.
【详解】解： 0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，3cos 5α=，
∴4sin 5α===，
∴3414
cos cos cos sin sin 666525210πππααα⎛⎫-==⨯
+⨯= ⎪⎝⎭
.故选：D.
4．已知向量()2,1a = ，b = 5a b -= ，则a 与b
的夹角为（
）A ．45
B ．60
C ．120
D ．135
【正确答案】D
【分析】根据225a b -= ，利用向量数量积的定义和运算律可构造方程求得cos ,a b <>
，结
合向量夹角范围可得结果.
【详解】()2,1a = ，a ∴=
2222222cos ,1510,a b a a b b a a b a b b a b ∴-=-⋅+=-⋅<>+=-<>
25=，解得：
cos ,2
a b <>=-
，又[],0,a b π<>∈ ，4
3,a b π∴<>=
，即a 与b 的夹角为135 .
故选：D.
5．P 是ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅
，则P 是ABC 的（
）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
【正确答案】D
【分析】利用平面向量数量积的性质推导出PB AC ⊥，进一步可得出PA BC ⊥，PC AB ⊥，即可得出结论.
【详解】因为PA PB PB PC ⋅=⋅
，则()
0PB PC PA PB AC ⋅-=⋅= ，所以，PB AC ⊥，
同理可得PA BC ⊥，PC AB ⊥，故P 是ABC 的垂心.故选：D.
6．已知将函数()cos 2f x x =的曲线向左平移
6
π
个单位长度后得到曲线()y g x =，则函数()y g x =的单调递增区间是（
）
A ．5[,)12
12
k k k Z π
π
ππ-+
∈B ．7[,)1212
k k k Z ππ
ππ--∈C ．2[,]()36
k k k Z ππ
ππ-
-∈D ．[,]()63
k k k Z ππ
ππ-
+∈【正确答案】C
【分析】首先根据三角函数的平移变换求出()y g x =的解析式，再根据余弦函数的性质计算可得；
【详解】解：将函数()cos 2f x x =的曲线向左平移
6
π
个单位长度得到()cos 2cos 263
y g x x x ππ⎛⎫⎛
⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
，令222,3
k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，解得
2,36
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤-+∈，故函数()y g x =的单调递增区间为2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦
；故选：C
7．已知1sin 33παα⎛
⎫-+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值为（
）
A ．1
3B ．13
-C ．
79D ．7
9
-
【正确答案】D
利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得1
cos()6
3
π
α-=，进而利用诱导公式，
二倍角公式化简所求即可求解．
【详解】因为11sin sin sin 322π
ααααααα
⎛⎫
-== ⎪⎝
⎭1sin sin cos 32663ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
所以2
217sin 2sin 2cos 22cos 1216236393πππππ
αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫
⎝⎭⎭⎝
⎭⎝
⎝⎪
⎭，故选：D
8．已知AB AC ⊥ ，1AB t
= ，AC t = ，若P 点是ABC 所在平面内一点，且
4AB AC AP AB AC =+
，则·PB PC
的最大值等于（）.
A ．13
B ．15
C ．19
D ．21
【正确答案】A
【详解】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1
(,0)B t
，(0,)C t ，
1AP = （，0)+4(0,1)=(1,4)，
即1P （，4)，所以1
14)PB t
=-- （，，14)PC t =-- （，，因此PB PC ⋅ 1
1416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅ 的最大值等于13，当
14t t =，即1
2
t =时取等号．
1、平面向量数量积；
2、基本不等式．
二、多选题
9．下列各式中值为1
2的是（）．
A ．2sin 75cos 75
B ．2
π
12sin 12
-C ．cos 45cos15sin 45sin15
-
D ．
()
tan 77tan 3221tan 77tan 32-+⋅
【正确答案】ACD
利用二倍角正弦公式即可判断选项A ；利用二倍角余弦公式即可判断选项B ；利用两角和的余弦公式可判断选项C ；利用两角差的正切公式可判断选项D ；
【详解】对于选项A ：由二倍角正弦公式可得1
2sin 75cos 75sin1502
==
，故选项A 正确；
对于选项B ：由二倍角余弦公式2
ππ12sin cos 126-==
B 不正确；对于选项
C ：由两角和的余弦公式()
cos 45cos15sin 45sin15cos 4515-=+
1
cos 602
==
；故选项C 正确；对于选项D ：由两角差的正切公式可得：()
()tan 77tan 32111
tan 7732tan 45222
21tan 77tan 32-=
-==+⋅
故选项D 正确.故选：ACD
10．已知函数()()2
2cos 210f x x x ωωω=+->的最小正周期为π，则下列说法正确的
是（）
A ．函数()y f x =图象可以由函数()2sin 2g x x =的图象向左平移
3
π
得到B ．函数()f x 在0,6π⎛⎫
⎪⎝⎭上为增函数
C ．直线3x π
=是函数()y f x =图象的一条对称轴
D ．点5π,012骣琪琪桫
是函数()y f x =图象的一个对称中心
【正确答案】BD
【分析】先根据周期求出=1ω，得到()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，对四个选项一一验证：
对于A ：利用图像的相位变换进行验证；对于B ：直接利用复合函数同增异减可以验证；对于C ：用代入法进行验证；对于D ：用代入法进行验证.
【详解】2
()2cos sin 2sin 2cos 2=2sin 26f x x x x x x πωωωωω⎛⎫
=-++
⎪⎝
⎭
，因为函数的最小正周期为π，所以2=2π
πω，解得.=1ω所以()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
对于A ：函数()2sin 2g x x =的图象向左平移
3π得到2sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
即22sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，故A 错误；
对于B ：当0,6x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，2,662t x πππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，因为26t x π=+为增函数和sin y t =在
,62t ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭为增函数，所以函数()f x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为增函数，故B 正确；
对于C ：当3
x π
=时，5(2sin
123
6
f π
π
==≠±，所以直线3
x π
=
不是函数()y f x =图象的一条对称轴，故C 错误；
对于D ：当512x π=时，5()2sin 012f π
π==，所以点5π,012骣琪琪桫
是函数()y f x =图象的一个对称中心，故D 正确.故选：BD.
11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下说法中正确的是（）
A ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A
B >B ．若4a =，5b =，6c =，则AB
C 为钝角三角形C ．若5a =，10b =，π
4
A =，则符合条件的三角形不存在D ．若cos cos sin b C c
B a A +=，则AB
C 为直角三角形【正确答案】ACD
【分析】利用正弦函数单调性结合诱导公式判断A ；利用余弦定理、正弦定理计算判断B ，C ；利用射影定理计算判断D 作答.【详解】对于A ，锐角ABC 中，2A B π+>，即022B A ππ
<-<<，而正弦函数sin y x =在(0,)
2
π上单调递增，
则有sin()sin 2
B A π
-<，整理得sin cos A B >，A 正确；
对于B ，ABC 的最大角为C ，由余弦定理得222222
456cos 02245
a b c C ab +-+-==>⨯⨯，则C 是
锐角，B 不正确；对于C
，由正弦定理得：10sin
sin 4sin 15
b A
B a
π
⨯=
==，无解，即符合条件的三角形不
存在，C 正确；
对于D ，在ABC 中，由射影定理cos cos a b C c B =+及cos cos sin b C c B a A +=得：
sin a a A =，则sin 1A =，而0A π<<，解得2
A π
=，即ABC 为直角三角形，D 正确.
故选：ACD
12．如图，在平行四边形ABCD 中对角线AC 与BD 交于点O ，则以下说法正确的有（
）
A ．恒有22222()AC BD A
B AD +=+成立B ．恒有2
2
AB AD AO BO ⋅=-
成立
C ．若3DO =，10AC =，则16AB BC ⋅=-
D ．若()4,0DC = ，()1,2CB =--
，则29
AC 【正确答案】ABD
【分析】根据,AC AB AD BD AD AB =+=-
即可得出选项A 正确；可得出
22||||BO AO AD BA -=⋅ ，从而判断选项B 正确；可得出22
AB BC OC OB ⋅=- ，从而判断出C
错误；可得出(5,2)DC CB AC -==
，从而得出D 正确．【详解】解： ,AC AB AD BD AD AB =+=- ，
∴2222AC AB AD AB AD =++⋅ ，2222BD AD AB AB AD =+-⋅
，
∴22222()AC BD AB AD +=+
，即22222()AC BD AB AD +=+，故A 正确；
22||||()()BO AO BO AO BO AO AD BA -=+⋅-=⋅
，故B 正确；
3DO OB == ，5AO OC ==，∴22()()25916AB BC OB OC OC OB OC OB ⋅=+⋅-=-=-=
，故C 错误；
(5,2)DC CB DC BC AC -=+==
，∴||29AC = D 正确．
故选：ABD ．
三、填空题
13．化简：AB CB CA →
→
→
-+=__________.【正确答案】0
→
【分析】根据向量的加减法运算化简即可.
【详解】由向量的加减法运算知，0AB CB CA AB BC CA AC CA →
→
→
→
→
→
→
→
→
-+=++=+=，
故0
→
14．已知tan 24x π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，则
tan tan 2x x =____________________．【正确答案】
4
9
【详解】试题分析：
12tan 1133tan 22tan tan 2141tan 3419x x x x x π⨯
+⎛
⎫+=∴=∴=∴== ⎪-⎝⎭-1tan 433tan 294
x x ∴==
两角和的正切公式与正切的二倍角公式
15．求值：cos 40cos80cos160︒+︒+︒=__________.【正确答案】0
【分析】由cos 40cos80cos160︒+︒+︒，得cos(6020)cos(6020)cos(18020)︒-︒+︒+︒+︒-︒，然后利用两角和与差的余弦公式化简计算即可【详解】解：cos 40cos80cos160︒+︒+︒=cos(6020)cos(6020)cos(18020)
=︒-︒+︒+︒+︒-︒cos60cos 20sin 60sin 20cos60cos 20sin 60sin 20cos 20=︒︒+︒︒+︒︒-︒︒-︒2cos60cos 20cos 20=︒︒-︒cos 20cos 200=︒-︒=，
故0
四、双空题
16．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，4b =，6c =，
且sin a B =，
则角A =_______；若角A 的平分线为AD ，则线段AD 的长为________.【正确答案】
3
π
5
【分析】（1）根据正弦定理，求得3
A π
=
；
（2）利用内角平分线定理得到
32BD DC =，利用向量知识得到2355
AD AB AC →→→
=+，利用向量的平方和向量模的平方相等，结合向量数量积公式求得结果.
【详解】
根据正弦定理得
sin sin a b
A B
=，所以sin sin a B b A ==，
因为4b =，所以sin A =
，且三角形为锐角三角形，所以3A π=；
由三角形内角平分线定理可得
63
42
BD AB DC AC ===，所以3332355555
AD AB BD AB AB AC AB AB AC
→→→→→→→→→→
=+=+=+-=+所以2
2
22
2234129()55252525
AD AD AB AC AB AB AC AC →
→→→→→→→==+=
+⋅+4129432
3664cos 16252532525
π=
⨯+⨯⨯⨯+⨯=，
所以5
AD =.
故①
3π；②5
.五、解答题
17．已知k ∈R 向量()1,1a k =+ ，(),2b k =r
.
（1）若向量2a b - 与b
平行，求k 的值；
（2）若向量2a b - 与b
的夹角为锐角，求k 的取值范围.
【正确答案】(1)2-或1；(2)()()0,11,6 .【分析】(1)利用向量共线的坐标表示求解；
(2)两向量夹角为锐角可转化数量积为大于零，但需排除向量共线的情况.【详解】由题知，(),2b k =r ，()()()221,1,22,2a b k k k k -=+-=-
.
(1)若向量2a b - 与b
平行，则()222k k k ⨯=-，220k k +-=.
解得2k =-或1k =.
(2)若向量2a b - 与b
的夹角为锐角，
由
()
20a b b -⋅> 得，()240k k k -+>，260k k -<.解得06k <<.又由(1)知，当1k =时，向量2a b - 与b
平行.
所以若向量2a b - 与b
的夹角为锐角，则k 的取值范围为()()0,11,6 .
18．如图在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，H 为
线段BE 上靠近点E 的四等分点，记AB a = ，AD b =
.
（1）用a ，b 表示A E
，AH ；
（2）求线段AH 的长.
【正确答案】（1）12+A a b E = ，53+84H a b A = ；（2）7
2
.
【分析】（1）由1++2AE AD DE AD DC == ，()
33++++44
AH AB BH AB BE AB BC CE === 可
得答案；
（2）根据222225953++2cos 60641683+4458
AH a a b b a b ⎛⎫=⨯⨯⋅⨯ =⎪⎝⎭
，可得答案.
【详解】（1）由已知得
11++++212
2AE AD DE AD AD AB a b ==== ，()
33++++443153++4284
AH AB BH AB a b a a b E AB BC CE ⎛⎫-= =⎪⎝⎭=== ，
所以12+A a b E = ，53+84
H a b A = ；
（2）由（1）得53+84
H a b A =
，
所以22222595349
+5+2cos 606416843+844a b b a A b H a ⎛⎫=⨯⨯⋅⨯= =⎪⎝⎭
，
所以线段AH 的长为
7
2
.本题考查向量的线性表示，以及向量的数量积运算之求向量的模的应用，关键在于将向量置于一个三角形中，运用向量的加法表示向量；求向量的模时，常采用先求向量的平方，运用
向量的数量积的运算律，属于中档题.
19．已知310,
2,tan ,sin 223ππ
αβπαβ<<
<<==（1）求cos()αβ-的值；（2）求αβ+的值.
【正确答案】（1）
10
；（2）74π.
【分析】（1）由tan α求得sin ,cos αα，由sin β求得cos β，然后由两角差的余弦公式计算；（2）由两角和的正弦公式求得sin()αβ+后，由3522
ππ
αβ<+<可得αβ+【详解】因为1tan 3
α=，所以
sin 1
cos 3αα=，又因为22sin cos 1αα+=，02πα<<，
所以sin α=
cos α=sin β=322πβπ<<，
所以cos β
（1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+⎛=
⨯ ⎝⎭10
=.
（2）因为sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+⎛=⨯ ⎝⎭2
=.因为02
π
α<<
，
322π
βπ<<，所以3522ππαβ<+<，所以74
αβπ+=．方法点睛：本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查同角间的三角函数关系，求角求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，以便选用恰当的公式求值．在求角，一般先确定出这个角的范围，在这个范围内选三角函数值是一对一的函数求得这个三角函数值，然后得角，如果不能直接得出一对一的函数，常常需要由已知或已求出的三角函数值缩小角的范围，从而得出角．
20．如图，在ABC 中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知4
B π
=
，1BC =.
（1）若ABC 是锐角三角形，3
DC =
A 的大小；
（2）若BCD △的面积为1
6
，求AB 的长.
【正确答案】（1）3
A π
=
.（2
）3
.【详解】【试题分析】(1)在BCD ∆中,
利用正弦定理可求得sin BDC Ð=
,得到π3BDC ∠=,
利用等腰的性质可知π
3
A =.(2)利用三角形的面积公式可求得BD ,利用余弦定理可求得CD ,由此求得A
B 的长.
【试题解析】（1）在BCD 中，4
B π
=
，1BC =
，DC =
由正弦定理得sin sin BC CD BDC B =∠，
解得12sin 3
BDC ⨯
∠=
=3BDC π∠=或23π.因为ABC 是锐角三角形，所以23
BDC π∠=.又DA DC =，所以3
A π
=
.
（2）由题意可得11sin 246BCD S BC BD π=
⋅⋅⋅=
，解得BD =由余弦定理得222
2cos
4
CD BC BD BC BD π
=+-⋅⋅
=251219329
+
-⨯⨯=
，解得3
CD =
，
则3
AB AD BD CD BD =+=+=.所以AB
21
．已知向量2,1,cos ,cos 222x x x m n ⎫⎛⎫
==⎪ ⎪⎭⎝
⎭ ，记()f x m n =⋅ .
(1)若()56f x =
，且5,36
x ππ
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，求sin x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2a cos B =b cos C +c cos B ，求角B 及f （A +
6
π
）的取值范围.【正确答案】
(1)6
(2)3
B π=
，13,622f A π⎛
⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥
⎝
⎭⎝⎦
【分析】（1）结合降幂公式化简可得()1sin 62f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭，结合sin sin 66x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦即
可求解；
（2）边化角可求出B ，结合正弦函数图象即可求出6f A π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
范围.
【详解】（1）()
21cos 15cos sin 22
626
x x f x m n x x x π+⎛
⎫=⋅=++=++=
⎪⎝⎭
，则1
sin 63
x π⎛
⎫+
= ⎪⎝
⎭，
因为5,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以,62x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则cos 6x π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭n sin sin cos sin cos 66666si 6x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-=+-+=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
1132；（2）由2a cos B =b cos C +c cos B 可得2sin cos sin cos sin cos sin A B B C C B A =+=，因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =
，又因为()0,B π∈，所以3
B π
=；20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，1sin 632f A A ππ⎛⎫⎛
⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为,33A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以(]113sin 0,1,sin ,33222A A ππ⎛
⎫
⎛
⎫⎛⎤
+∈++∈ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎦，所以13,622f A π⎛
⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝
⎭⎝⎦
.
22．如图，在ABC 中，23
ABC π
∠=
，D 为AC 边上一点且AB BD ⊥，2BD =.
（1）若CD =，求BCD △的面积；（2）求
21AD CD
+的取值范围.
【正确答案】（1（2）2⎛⎤ ⎥ ⎦
⎝.【分析】（1）在BCD △中，利用正弦定理求得sin C ，进而通过二角和差公式求出sin BDC ∠，再通过面积公式得到答案；
（2）由正弦定理求出AD 、CD 的表达式，求出21AD CD
+的代数式，在运用角的关系和范围求
21AD CD
+的取值范围.【详解】（1）23
ABC π
∠= ，AB BD ⊥，6
DBC π
∴∠=
，
在BCD △中，sin sin DC BD DBC C =∠
，解得：sin 2
C =，
4
C π
∴
=
44sin sin sin sin cos cos sin 666464BDC πππππππππ∴⎡⎤⎛+⎫⎛⎫
∠=-==+=
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦+
⎣111sin 22242
BDC S BD DC BDC ∴=
⋅⋅∠=⨯⨯=
；（2）在BCD △中，sin sin DC BD DBC C
=∠得：2sin
16sin sin CD C C
π
==，在ABD △中，sin sin AD BD ABD A
=∠得：2sin
22sin sin AD A A
π
==，sin sin 21sin si 22n 11
A C C C
A A D D
∴
++=+=，23
ABC π∠=
，3
A C π
∴+=，
sin sin sin sin 231A C C AD CD C π⎛⎫+=∴
+⎪⎝⎭
-+= ，整理得：
n 2i 31s C AD CD π⎛⎫+ ⎪⎝
+⎭=，3
0C π
<< ，
2,333
C π
ππ⎛⎫
∴∈ ⎝+
⎪⎭
，sin ,132C π⎛⎤⎛
⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎦
⎝，
故21
AD CD +
的取值范围为⎤⎥⎦⎝
.
思路点睛：
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.。