2021-2022学年北师大版八年级数学下册第六章平行四边形综合练习试题(含答案解析)

北师大版八年级数学下册第六章平行四边形综合练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，且满足222222
+，则这
a b c d ab cd
++=+
个四边形是（）
A．任意四边形B．平行四边形C．对角线相等的四边形D．对角线垂直的四边形
2、一个多边形的内角和是它的外角和的两倍，则从这个多边形的一个顶点出发共有（）条对角线
A．6条B．4条C．3条D．2条
3、如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝132°，则∠A为（）
A．40°B．22°C．30°D．52°
4、如图，正五边形ABCDE 的对角线AC 、BD 交于点P ，12∠=∠，34∠=∠，那么APD ∠=（ ）
A ．96°
B ．100°
C ．108°
D ．115°
5、如图，M 、N 分别是正五边形ABCDE 的边BC 、CD 上的点，且BM =CN ，AM 交BN 于点P ，则∠APN 的度数是（ ）
A ．120°
B ．118°
C ．110°
D ．108°
6、一个正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角的度数为（ ）
A ．45°
B ．55°
C ．60°
D ．72°
7、某多边形的内角和比外角和多180度，这个多边形的边数（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8、将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O ，且正六边形的边AB 与正五边形的边DE 在同一条直线上，则∠COF 的度数是（ ）
A ．74°
B ．76°
C ．84°
D ．86°
9、已知一个多边形的外角都等于40 ，那么这个多边形的边数为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
10、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（）
A．16 B．24 C．32 D．40
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如果一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数为________；正八边形的每个内角为_________度．
2、如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，如果△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，那么
S1+S2=___________（用含S的代数式表示）
3、正五边形的一个内角与一个外角的比______．
4、一个正多边形的内角和为540°，则它的一个外角等于 ______．
5、已知一个正多边形内角的度数为108°，则它的边数为____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，求这个多边形的边数．
2、如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2520°的新多边形，求原多边形的边数．
3、如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，以AB为边在AB上方作等边△ABD，以BC为边在BC右侧作等边△CBE，连结DE．
（1）当AC＝5时，求BE的长．
（2）求证：BD⊥DE．
（3）如图2，点C′与点C关于直线AD对称，连结C′E．
①求C′E的长．
②连结C′D，当△C′DE是以C′E为腰的等腰三角形时，写出所有满足条件的AC
长：．（直接写出答案）
4、如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方旋转90°，得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：AHB≌AGC
（2）如图2，连接HG和GF，其中HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时，AQG为等腰三角形？
5、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（-2，2）和点B（-3，-2）的位置如图所示．
（1）作出线段AB关于y轴对称的线段A B''，并写出点A、B的对称点A'、B'的坐标；
（2）连接A A''和BB'，请在图中画一条线段，将图中的四边形AA B B
''分成两个图形，其中一个是轴对称图形，另一个是中心对称图形，并且线段的一个端点为四边形的顶点，另一个端点在四边形一边的格点上．（每个小正方形的顶点均为格点）．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
根据完全平方公式分解因式得到a=b，c=d，利用边的位置关系得到该四边形的形状．
【详解】
解：222222
+，
a b c d ab cd
++=+
2222022a ab b c cd d -++-+=，
22()0)c d a b +--=（，
0,0c d a b --==，
∴a=b ，c=d ，
∵四边形四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，b 为对边，
∴c、d 是对边，
∴该四边形是平行四边形，
故选：B ．
【点睛】
此题考查了完全平方公式分解因式，平行四边形的判定方法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．
2、C
【分析】
先由多边形的内角和公式与外角和的关系可得()2?
1802360,n -︒=⨯︒再解方程，从而可得答案. 【详解】
解：设这个多边形为n 边形，则
()2?
1802360,n -︒=⨯︒ 24,n ∴-=
解得：6,n =
所以从这个多边形的一个顶点出发共有3633n 条对角线，
故选C
【点睛】
本题考查的是多边形的内角和定理与外角和定理，多边形的对角线问题，掌握“利用多边形的内角和为()2180,n -︒ 外角和为360︒”是解题的关键.
3、B
【分析】
利用四边形的内角和定理求出B C ∠+∠，再利用三角形的内角和定理可得结果．
【详解】
∵1=70∠︒，2=132∠︒，
∴3601236070132158B C ∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
∴180()18015822A B C ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出B C ∠+∠的度数．
4、C
【分析】
先根据正多边形的内角和求出ABC ∠的度数，再根据三角形的内角和定理可得2∠的度数，同样的方法可得3∠的度数，然后根据三角形的内角和定理、对顶角相等即可得．
【详解】 解：五边形ABCDE 是正五边形，
180(52)1085
ABC ︒⨯-=∴∠=︒， 12∠=∠，
()12180362
ABC ∴∠=︒=∠-︒， 同理可得：336∠=︒，
18023108BPC ∴∠=︒-∠-∠=︒，
108APD BPC ∴∠=∠=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．
5、D
【分析】
由五边形的性质得出AB =BC ，∠ABM =∠C ，证明△ABM ≌△BCN ，得出∠BAM =∠CBN ，由
∠BAM +∠ABP =∠APN ，即可得出∠APN =∠ABC ，即可得出结果．
【详解】
解：∵五边形ABCDE 为正五边形，
∴AB =BC ，∠ABM =∠C ，
在△ABM 和△BCN 中
AB BC ABM C BM CN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△ABM ≌△BCN （SAS ），
∴∠BAM =∠CBN ，
∵∠BAM +∠ABP =∠APN ，
∴∠CBN +∠ABP =∠APN =∠ABC =
()521801085-⨯︒=︒
∴∠APN 的度数为108°；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、多边形的内角和定理；熟练掌握五边形的形状，证明三角形全
等是解决问题的关键．
6、D
【分析】
设正多边形的边数为n，则根据内角和为540°可求得边数n，从而可求得该正多边形的一个外角的度数．
【详解】
设正多边形的边数为n，则由题意得：180(n－2)=540
解得：n=5
即此正多边形为正五边形，其一个外角为360°÷5=72°
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与多边形的外角和，掌握多边形的内角和与外角定理是关键．
7、C
【分析】
要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
【详解】
解：设这个多边形是n边形．
则180°•（n-2）=180°+360°，
解得n=5，
答：此多边形的边数是5．
故选：C．
【点睛】
本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征．
8、C
【分析】
利用正多边形的性质求出∠EOF，∠BOC，∠BOE即可解决问题．
【详解】
解：由题意得：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
故选：C
【点睛】
本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．9、D
【分析】
根据多边形外角公式
360
n
α
︒
=，代入角度求出n即可．
【详解】
∵外角
360
40
n
α
︒
︒==
∴
360
9
40
n
︒
︒
==
故多边形边数为9
故选D
【点睛】
本题考查多边形外角公式，掌握该公式是本题解题关键．10、C
【分析】
由中点的定义可得AE =CE ，AD =BD ，根据三角形中位线的性质可得DE //BC ，DE =12BC ，根据平行线的性质可得∠ADE =∠ABC =90°，利用ASA 可证明△MBD ≌△EDA ，可得MD =AE ，DE =MB ，即可证明四边形DMBE 是平行四边形，可得MD =BE ，进而可得四边形DMBE 的周长为2DE +2MD =BC +AC ，即可得答案．
【详解】
∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，
∴AE =CE ，AD =BD ，DE 为△ABC 的中位线，
∴DE //BC ，DE =1
2BC ，
∵∠ABC ＝90°，
∴∠ADE =∠ABC =90°，
在△MBD 和△EDA 中，90MDB A BD AD MBD ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△MBD ≌△EDA ，
∴MD =AE ，DE =MB ，
∵DE //MB ，
∴四边形DMBE 是平行四边形，
∴MD =BE ，
∵AC ＝18，BC ＝14，
∴四边形DMBE 的周长=2DE +2MD =BC +AC =18+14=32．
故选：C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与性质，三角形中位线
平行于第三边且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
二、填空题
1、10 135
【分析】
n边形的内角和是（n-2）•180°，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数n．当n=8时，利
用
2?180 n
n
-︒
（）
即可得到正八边形的每个内角的度数．【详解】
解：根据题意，得：（n-2）•180=1440，
解得：n=10．
所以此多边形的边数为10；
正八边形的每个内角为82?180
8
-︒
=
（）
135°．
故答案为：10；135．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题解决．
2、
2
S
【分析】
根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．
【详解】
解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD =BC ，
∴S =BC •EF ，S 1=•2AD PE ，S 2=•2
BC PF ， ∵EF =PE +PF ，AD =BC ，
∴S 1+S 2=()••••22222
BC PE PF AD PE BC PF BC EF S ++===， 故答案为：
2
S ． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3、32
【分析】
根据公式分别求出一个内角与一个外角的度数，即可得到答案．
【详解】 解：正五边形的一个内角的度数为(52)1801085-⨯︒=︒，正五边形的一个外角的度数为360725
︒=︒， ∴正五边形的一个内角与一个外角的比为
1083722︒=︒， 故答案为：32
．
此题考查了正五边形的内角度数及外角度数，熟记多边形的内角和与外角和公式是解题的关键．4、72°
【分析】
根据题意求得正多边形的边数，进而求得答案
【详解】
n-⨯︒=︒
解：∵一个正多边形的内角和为540°，即()2180540
∴5
n=
︒÷=︒
由360572
故答案为：72︒
【点睛】
本题考查了正多边形的内角和和外角和公式，根据内角和公式求得边数是解题的关键．
5、5
【分析】
根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解．
【详解】
解：∵正多边形的每个内角等于108°，
∴每一个外角的度数为180°﹣108°＝72°，
∴边数＝360°÷72°＝5，
∴这个正多边形是正五边形．
故答案为：5．
本题主要考查了正多边形的外角和，熟记多边形外角和为360度是解题的关键．
三、解答题
1、这个多边形的边数是10．
【分析】
多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的4倍，则内角和为4×360=1440度．n 边形的内角和可以表示成（n -2）•180°，设这个多边形的边数是n ，即可得到方程，从而求出边数．
【详解】
解：设这个多边形的边数为n ，
由题意得：(n －2)×180°＝4×360°，
解得n ＝10，
故这个多边形的边数是10．
【点睛】
此题主要考查了多边形的外角和，内角和公式，做题的关键是正确把握内角和公式为：（n -2）•180°，外角和为360°．
2、15
【分析】
根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．
【详解】
设新多边形是n 边形，
由多边形内角和公式得：180(2)2520n ︒⨯-=︒，
解得：16n =，
则原多边形的边数是：16115-=．
∴原多边形的边数是15．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是要熟练掌握多边形的内角和公式．
3、（1（2）见解析；（3）①4；②4或
【分析】
（1）证明△BAC≌△BDE（SAS），利用全等三角形的性质求解即可；
（2）证明△BAC≌△BDE（SAS），利用全等三角形的性质可得∠BAC＝∠BDE＝90°，即可得出结论；
（3）①连接AC′，由（2）知△BAC≌△BDE（SAS），可得AC＝DE，∠BAC＝∠BDE＝90°，则∠ADE＝60°+90°＝150°，求出∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，根据对称的性质得∠DAC′＝∠DAC＝30°，AC＝DE＝AC′，得出∠ADE+∠DAC′＝180°，可得DE∥AC′，可得四边形AC′ED是平行四边形，即可得C′E＝AD＝AB＝4；②分两种情况：C′E＝DE时，C′E＝C′D时，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
解：（1）∵△ABD，△CBE都是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝DB，BC＝BE，
∴∠ABC+∠CBD＝∠DBE+∠CBD，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴△BAC≌△BDE（SAS），
∴∠BAC＝∠BDE＝90°，BE＝BC．
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝5，
∴
BC=
∴BE=
（2）证明：∵△ABD，△CBE都是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝DB，BC＝BE，
∴∠ABC+∠CBD＝∠DBE+∠CBD，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴△BAC≌△BDE（SAS），
∴∠BAC＝∠BDE＝90°，
∴BD⊥DE；
（3）①连接AC′，
由（2）知△BAC≌△BDE（SAS），
∴AC＝DE，∠BAC＝∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝60°+90°＝150°，
∵∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
由对称的性质得∠DAC′＝∠DAC＝30°，AC＝DE＝AC′，∴∠ADE+∠DAC′＝180°，
∴DE∥AC′，
∴四边形AC′ED是平行四边形，
∴C′E＝AD＝AB＝4；
②分两种情况：
C′E＝DE时，
∵C′E＝4，四边形AC′ED是平行四边形，
∴C ′E ＝DE ＝AC ′＝4，
由对称的性质得AC ＝AC ′＝4，
C ′E ＝C ′
D 时，作C ′F ⊥D
E 于
F ，
∵C ′E ＝C ′D ，C ′F ⊥DE ，
∴DF ＝EF ，∠C ′FE ＝90°，
∵四边形AC ′ED 是平行四边形，
∴∠C ′EF ＝∠DAC ′＝30°，
∴1
22
C F C E '='=，EF DF ==
∴DE AC AC ='==
综上，AC 长为4或
故答案为：4或
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，注意分类讨论思想的运用．
4、（1）见详解；（2）①见详解；②EH 2；
【分析】
（1）根据等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，可得AB =AC ，根据线段AH 绕点A 逆时针方旋转90°，得到AG ，可得AH =AG ，∠HAD =90°，可证∠BAH =∠CAG ，即可证△ABH ≌△ABG （SAS ）；
（2）①根据点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，可得AE =12AB ，AF=12
AC ，EF∥BC ，可得AB =AC ，∠BAC =90°，可得AE =AF ，∠EAF =90°，可求∠AEF =∠AFE =()1180452
EAF ︒-∠=︒，再证△AEH ≌△AFG （SAS ），可得∠AEH =∠AFG =45°，可求∠HFG =∠AFE +∠AFG =45°+45°=90°；
②根据AB ＝AC ＝4，∠BAC
=90°，利用勾股定理BC ==E ，F 分别
为AB ，AC 的中点，可求EF
=1122
BC =⨯=
AQG 为等腰三角形，分三种情况，当AQ =GQ 时，根据AH =AG ，∠HAG =90°，可求∠QAG =∠QGA =45°，可证HG ⊥AC ，再证AH 平分∠EAF ，AE =AF ，
可得EH =HF
=1122
EF =⨯=AG =GQ =AH ，∠AGQ =45°，可求∠GAQ =∠GQA =()118067.52
AGQ ︒-∠=︒，可求∠EAH =∠EHA =67.5°，可得EH =AE =114222AB =⨯=；当AQ =QG 时，根据∠AQG 是△AQM 的外角，得出∠AQG ＞∠AMQ =90°＞∠AGQ =45°，AQ =AG 不成立．
【详解】
（1）证明：∵等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，
∴AB =AC ，
∵线段AH 绕点A 逆时针方旋转90°，得到AG ，
∴AH =AG ，∠HAD =90°，
∴∠BAH +∠HAF =∠HAF +∠CAG =90°，
∴∠BAH =∠CAG ，
在△ABH 和△ABG 中，
AB AC BAH CAG AH AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABH ≌△ABG （SAS ），
（2）①证明：∵点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，
∴AE =12AB ，AF=12
AC ，EF∥BC ， ∵AB =AC ，∠BAC =90°，
∴AE =AF ，∠EAF =90°，
∴∠AEF =∠AFE =()1180452
EAF ︒-∠=︒， 在△AEH 和△AFG 中，
AE AF EAH FAG AH AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AEH ≌△AFG （SAS ），
∴∠AEH =∠AFG =45°，
∴∠HFG =∠AFE +∠AFG =45°+45°=90°， ∴∠HFG ＝90°；
②解：∵AB ＝AC ＝4，∠BAC =90°，
根据勾股定理
BC ==
∵点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，
∴EF =1122
BC =⨯= ∵AQG 为等腰三角形
分三种情况
当AQ =GQ 时，
∵AH =AG ，∠HAG =90°，
∴∠AHG =∠AGH =()1180452
HAG ︒-∠=︒， ∴∠QAG =∠QGA =45°，
∴∠AQG =180°-∠QAG -∠QGA =90°，
∴HG ⊥AC ，
∴∠HAQ =90°-∠QAG =90°-45°=45°，
∴∠EAH =90°-∠HAQ =90°-45°=45°，
∴AH 平分∠EAF ，AE =AF ，
∴EH =HF =1122
EF =⨯=
当AG =GQ =AH ，∠AGQ =45°，
∴∠GAQ =∠GQA =()118067.52
AGQ ︒-∠=︒， ∴∠EAH =∠QAG =67.5，
∴∠AHE =180°-∠AEH -∠EAH =180°-45°-67.5°=67.5°
∴∠EAH =∠EHA =67.5°
∴EH =AE =1
14222
AB =⨯=；
当AQ =QG 时，过A 作AM ⊥HG 于M ，
∵∠AQG 是△AQM 的外角，
∴∠AQG ＞∠AMQ =90°＞∠AGQ =45°，
∴AQ =AG 不成立．
综合得EH 2．
【点睛】 本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，等腰三角形分类讨论思
想，掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，等腰三角形分类讨论思想是解题关键．
5、（1）见解析；点A '的坐标为（2，2），点B '的坐标为（3，-2）；（2）见解析．
【分析】
（1）根据题意得：点A （-2，2）和点B （-3，-2）关于y 轴对称的点A '的坐标为()2,2，点B '的坐标
为()32-，
，再连接A B '' ，即可求解； （2）过点A ' 作A D AB '∥ ，交BB ' 于点D ，可得四边形AA DB ' 是平行四边形，A B D '' 是等腰三角形，即可求解．
【详解】
解：（1）根据题意得：点A （-2，2）和点B （-3，-2）关于y 轴对称的点A '的坐标为()2,2，点B '的
坐标为()32-，
； 如图，连接A B ''，线段A B ''为所作；
（2）如图，过点A ' 作A D AB '∥ ，交BB ' 于点D ，
∵点A 、B 的对称点为A '、B '，
∴AA y '⊥ 轴，BB y '⊥轴，
∴AA BB ''∥，
∴四边形AA DB ' 是平行四边形，是中心对称图形，
∴A D AB '= ，
根据题意得：AB A B ''= ，
∴A D A B '''= ，
∴A B D '' 是等腰三角形，是轴对称图形，
如图，线段A D '为所作．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形，中心对称图形的性质，等腰三角形和平行四边形的判定和性质，熟练掌握轴对称图形，中心对称图形的性质，等腰三角形和平行四边形的判定和性质是解题的关键．。