等差数列的前n项和

学案八：等差数列前n 项和
一、学习目标：
1．掌握等差数列前n 项和公式及推导方法；
2. 掌握与等差数列前n 项和有关的一些性质，能够熟练运用这些性质解题。

3. 当n n S a n d a ,,,,1中已知三个量时，能熟练运用通项公式、前n 项和公式求另两
个量，掌握可以转化为等差数列的数列求和问题及有关的综合问题。

4. 能构建等差数列模型解决实际问题。

二、1、重点：等差数列前n 项和公式、性质及应用。

2、难点：等差数列前n 项和公式的推导、性质及综合应用。

三、学习过程：
【探索导引】某仓库丢放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面每一层都比上一层多一根，最下方一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数？
思考：能否得出具有一般性的等差数列前n 项和的计算方法？
四、【新课探究】
1.等差数列前n 项和公式（1） （2） （3）
2. 在等差数列{}n a 中，若0,01<>d a ，则n S 存在 ，若0,01><d a ，则n S 存在 。

3．若将等差数列{}n a 的前n 项和表示为r qn pn S n ++=2的形式，则系数r q p ,,的取值特点为 .
4. 与前n 项和有关的等差数列的性质
(1)若等差数列{}n a 公差为d , 前n 项和为n S ，那么数列232,,,k k k k k S S S S S -- )
(*N k ∈成公差为 的等差数列.
(2)若等差数列{}n a 的项数为2n (各项均不为0), 则=n S 2 ，且=奇偶S S - , =奇偶
S S
若等差数列{}n a 的项数为21n -(各项均不为0), 则 =1-2n S , 并且
=奇偶S S - , =奇偶
S S ;
(3) 若{},{}n n a b 为等差数列,,n n S T 为它们的前n 项和,则
=n n b a . 五、【典型例题】
一、等差数列前n 项和公式的应用
例1. 等差数列}{n a 的公差为2，第20项2920=a ，求前20项的和 20S 。

变式：根据下列条件，求等差数列}{n a 的有关未知量。

（1）41010,2,60,=n a a S n ==-=则
（2）12,37,629.= = .n n d n S a a ===则（）和（）
二、等差数列前n 项和的最值
例2. 已知数列}{n a 的前n 项和公式为:3022n n S n -=
（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；
（2）求使得n S 最小的序号n 的值。

变式：①在等差数列}{n a 中，321a 22n n =-,当n= 时，n s 取最小值，最小值为 ；
②在等差数列}{n a 中，已知1791,25S S a ==，问数列前多少项和最大？并求出最大值。

三、等差数列前n 项和性质的应用
例3. 等差数列}{n a 的奇数项的和为216，偶数项的和为192，首项为1，项数为奇数，
求此数列的末项和通项公式。

变式：在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首
项之差为27，则n 的值是多少？
四、求数列|}{|n a 的前n 项和
例4. 在等差数列}{n a 中，12,60171-=-=a a ，求数列|}{|n a 的前n 项和。

变式：数列}{n a 的前n 项和为210n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和 .n T
五、等差数列前n 项和在实际问题中的应用
例5. 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”。

从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年：
（1）已知当年“教育储蓄”存款的月利率是千分之2.7，问到期时，李先生一次可支取本息共多少元？（“教育储蓄”不需交利息税）
（2）已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是千分之1.725，问李先生办理“教育储蓄”比 “零存整取”多收益多少元？（“零存整取”需缴百分之20的利息税）
【课后巩固】
1．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ）
A ．138
B ．135
C ．95
D ．23
2．等差数列{a n }的前n 项和为Sn ，若36s 13
s =, 则612s s =（ ） A ．310 B ．13 C ．18 D ．19
3．已知数列{}n a 的前n 项和29n
S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6
4．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为
A.5
B.4
C. 3
D. 2
5.等差数列{}n a ,10a >,前n 项和为n S ,且611S S =,那么当n S 取得最大值时,n 的值为（ ）
A.6或7
B.8或9
C. 6或8
D. 7或9
6.已知两个等差数列{},{}n n a b ,它们的前n 项和分别是n S ,n T ,若2131n n S n T n +=-,则99a b = ;
7.设数列{}n a 的通项为
27(),n a n n N *=-∈则1215a a a +++ = ; 8.设等差数列
{}n a 的前项和为n S ，若410S ≥，515S ≤则4a 的最大值为 ． 9. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知0,0109><S S ，则此等差数列的前n 项和中，n 是多少时取得最小值 ;
10.已知 {}n a 为等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，75,7157
==S S . （1）求证：数列}{
n S n 是等差数列； （2）求数列}{n S n 的前n 项和 .n T。