九年级数学上册 第1章 二次函数 1.4 二次函数的应用 第1课时 利用二次函数解决面积最值问题同步

第1章二次函数
1.4 二次函数的应用
第1课时利用二次函数解决面积的最值问题
知识点1 矩形(正方形)面积的最值问题
1．用一根长为30 cm的绳子围成一个矩形，其面积的最大值为( )
A．225 cm2 B．112.5 cm2
C．56.25 cm2 D．100 cm2
图1－4－1
2．如图1－4－1所示，在长度为1的线段AB上取一点P，分别以AP，BP为边作正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为________．
3．2016·衢州某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图1－4－2)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________m2.
图1－4－2
知识点2 其他图形面积的最值问题
图1－4－3
4．如图1－4－3，已知▱ABCD的周长为8 cm，∠B＝30°，若边长AB＝x cm.
(1)▱ABCD的面积y(cm2)与x之间的函数表达式为________，自变量x的取值范围为________；
(2)当x＝________时，y的值最大，最大值为________．
5．如图1－4－4，在矩形ABCD中，AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P，Q分别从点A，B同时出发，点P在边AB上以每秒2 cm的速度匀速向点B运动，点Q在边BC上以每秒1 cm 的速度匀速向点C运动，当点P，Q中的一方到达终点，运动便停止．设运动时间为x s，△PBQ的面积为y(cm2)．
(1)求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；
(2)求△PBQ的面积的最大值．
图1－4－4
6．课本例1变式课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1－4－5①，上部分是一个半圆，下部分是一个矩形，如果制作窗户边框的材料的总长度为6 m，如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，窗户的透光面积最大，最大值约为1.05 m2.
我们如果改变这个窗户的形状，上部分改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料的总长度仍为6 m，利用图③，解答下列问题：
(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；
(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
图1－4－5
7．如图1－4－6所示，在矩形ABCD的边AB，BC，CD和DA上分别选取点E，F，G，H，使得AE＝AH＝CF＝CG.如果AB＝60，BC＝40，那么四边形EFGH的最大面积是( )
A．1350 B．1300 C．1250 D．1200
1－4－6
1－4－7
8．如图1－4－7所示，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，E是AD上一动点(不与点A，D重合)，F是CD上一动点，AE＋CF＝4，则△BEF面积的最小值为________．
9．如图1－4－8，在△ABC中，BC＝AC＝4，∠ACB＝120°，E是AC上一个动点(点E 与点A，C不重合)，E D∥BC，连结CD，求△CED面积的最大值．
图1－4－8
图1－4－9
10．2017·义乌某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室的长为x(m)，占地面积为y(m2)．
(1)如图1－4－10①，饲养室的长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图②，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室的长比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
图1－4－10
11．如图1－4－11，在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面一点)．已知E，F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x cm.
(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
(2)某广告商要求包装盒的表面积S(不含下底面)最大，x应取何值？
图1－4－11
详解详析
1．C 2.12
3．144 [解析] 设AB 长为x m ，则BC ＝(48－4x )m ，饲养室的面积S ＝x (48－4x )＝－4(x －6)2
＋144，当x ＝6时，S max ＝144.
4．(1)y ＝－12x 2
＋2x 0<x <4
(2)2 2
5．解：(1)∵S △PBQ ＝1
2
PB ·BQ ，
PB ＝AB －AP ＝18－2x ，BQ ＝x ，
∴y ＝1
2(18－2x )x ，
即y ＝－x 2
＋9x (0<x ≤4)．
(2)由(1)得y ＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －922
＋81
4.
∵当0<x ≤9
2时，y 随x 的增大而增大，
而0<x ≤4，
∴当x ＝4时，函数y 有最大值20， 即△PBQ 的最大面积是20 cm 2
. 6．解：(1)∵AB ＝1 m ， ∴DF ＝CE ＝1
2
m ，
∴AF ＝12×⎝ ⎛
⎭⎪⎫6－3×1－3×12＝34(m)，
∴S ＝AD ·AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋34×1＝54(m 2)． 故此时窗户的透光面积为54 m 2
.
(2)设AB ＝x m ，则S ＝－74(x －67)2＋9
7.
当x ＝67时，S 最大值＝9
7>1.05，
故窗户透光面积的最大值变大了． 7．C 8．3 3 9．设DE ＝x ，
∵BC ＝AC ，∠ACB ＝120°， ∴∠B ＝∠A ＝30°. ∵DE ∥BC ，
∴∠AED ＝∠ACB ＝120°， ∴∠ADE ＝30°＝∠A ， ∴AE ＝DE ＝x ， ∴CE ＝4－x .
过点C 作CM ⊥DE 于点M ，
∴EM ＝12CE ，CM ＝CE 2－EM 2
＝32
(4－x )，
∴S △CED ＝12CM ·DE ＝12·32(4－x )x ＝－34(x －2)2
＋3，
当x ＝2时，△CED 的面积最大，最大值为 3. 10．解：(1)∵y ＝x ·50－x 2＝－12(x －25)2
＋6252
，
∴当x ＝25时，占地面积y 最大，
即当饲养室的长x 为25 m 时，占地面积y 最大． (2)∵y ＝x ·50－（x －2）2＝－12(x －26)2
＋
338，
∴当x ＝26时，占地面积y 最大，
即当饲养室的长为26 m 时，占地面积y 最大． ∵26－25＝1(m )≠2 m ， ∴小敏的说法不正确．
11．(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a ＝2x ，EF ＝2a ＝2x ， ∴x ＋2x ＋x ＝24，解得x ＝6，∴a ＝6 2，
V ＝a 3＝(6 2)3＝432 2(cm 3)．
(2)设包装盒的底面边长为b cm ，高为h cm ，则b ＝2x ，h ＝24－2x
2＝12 2－2x ，
∴S ＝4bh ＋b 2
＝4 2x ·(122－2x )＋(2x )2
＝－6x 2
＋96x ＝－6(x －8)2
＋384. ∵0<x <12，
∴当x ＝8时，S 有最大值384 cm 2
.。