公共课数学二模拟题2020年_真题(含答案与解析)-交互17

公共课数学二模拟题2020年(303)
(总分100, 做题时间60分钟)
解答题
1.求
SSS_TEXT_QUSTI
该问题分值: 5
答案:
2.求
SSS_TEXT_QUSTI
该问题分值: 5
答案:
3.设函数f(x)=并记F(x)=∫
x f(t)dt(0≤x≤2)，试求F(x)及f(x)dx．
SSS_TEXT_QUSTI
该问题分值: 5
答案:
根据牛顿-莱布尼兹公式，当0≤x≤1时，有
F(x)=∫
2t2dt=
当1＜x≤2时，F(x)=∫
01t2dt+∫
1
x(2-t)dt
4.设，求dx。

SSS_TEXT_QUSTI
该问题分值: 5
答案:
.
5.讨论方程2x3一9x2+12x—a=0实根的情况．
SSS_TEXT_QUSTI
该问题分值: 5
答案:
令f(x)=2x3一9x2+12x一a，讨论方程2x3一9x2+12x一a=0实根的情况，即是
讨论函数f(x)零点的情况．显然，，所以，应求函数f(x)=2x3一9x2+12x 一a的极值，并讨论极值的符号．
由f'(x)=6x2一18x+12=6(x一1)(x一2)得驻点为x
1=1，x
2
=2，又 f"(x)=12x
一18，f"(1)＜0，f“(2)＞0，得x
1
=1为极大值点，极大值为f(1)=5一a；
x
2
=2为极小值点，极小值为f(2)=4-a．
(1)当极大值f(1)=5一a＞0，极小值f(2)=4一a＜0，即4＜a＜5时，
f(x)=2x3—9x2+12x—a有三个不同的零点，即方程2x3一9x2+12x一a=0有三个不同的实根；
(2)当极大值f(1)=5一a=0或极小值f(2)=4一a=0，即a=5或a=4时，
f(x)=2x3—9x2+12x—a有两个不同的零点，即方程2x3一9x2+12x—a=0有两个不同的实根；
(3)当极大值f(1)=5一a＜0或极小值f(2)=4一a＞0，即a＞5或a＜4时，f(x)=2x3一9x2+12x—a有一个零点，即方程2x3—9x2+12x一a=0有一个实根．6.证明定积分I＝sinχ2dχ＞0．
SSS_TEXT_QUSTI
该问题分值: 5
答案:
先作变量替换t＝χ2
被积函数在[0，2，π]上变号，t∈(0，π)时取正值，t∈(π，2π)时取负值，于是
I＝＝I
1＋I
2
把后一积分转化为[0，π]上积分，然后比较被积函数，即
被积函数f(t)＝，若补充定义f(0)＝0，则f(t)在[0，π]连续，且f(t)＞0(t∈(0，π])．
7.求二重积分，其中D是由曲线r=2(1+cosθ)的上半部分与极轴所围成的区域。

SSS_TEXT_QUSTI
该问题分值: 5
答案:
积分区域D如图所示，
D的极坐标表示是0≤θ≤π，0≤r≤2(1+cosθ)，因此
原式
8.设z(χ，y)满足求z(χ，y)．
SSS_TEXT_QUSTI
该问题分值: 5
答案:
把y看作任意给定的常数，将等式①两边对χ求积分得
z(χ，y)＝－χsiny－ln｜1－χy｜＋φ(y)，
其中φ(y)为待定函数．由②式得－siny－ln｜1－y｜＋φ(y)＝siny，故φ(y)＝2siny＋ln｜1－y｜．
因此，z(χ，y)＝(2－χ)siny＋．
9.求微分方程=x2+y2满足初始条件y(e)=2e的特解．
SSS_TEXT_QUSTI
该问题分值: 5
答案:
方法一由，解得u2=lnxx+C，由y(e)=2e,得C=2，所求的通解为
y2=x2lnx2+2x2．
方法二由
解得z=，由初始条件得C=2，则原方程的通解为y2=x2lnx2+2x2．
已知矩阵相似。

SSS_TEXT_QUSTI
10.求x与y；
该问题分值: 5
答案:
相似矩阵有相同的特征值，由矩阵B的特征值为2，y，一1可知矩阵A的特征值也为2，y，一1，故｜A｜=2×y×(一1)=一2，且tr(A)=2+0+x=2+y+(一1)，解得y=1，x=0。

SSS_TEXT_QUSTI
11.求一个满足P一1AP，=B的可逆矩阵JP。

该问题分值: 5答案:
A的特征值为λ
1=2，λ
2
=1，λ
3
=一1。

由(λ
i
E一A)x=0(i=1，2，3)解得矩阵A
的属于特征值λ
1=2，λ
2
=1，λ
3
=一1的特征向量分别为α
1
=(1，0，0)T，
α
2=(0，1，1)T，α
3
=(0，一1，1)T，令可逆矩阵
则P一1AP=B。

12.求(y3一3xy2一3x2y)dx+(3xy2一3x2y—x3+y2)dy=0的通解．
SSS_TEXT_QUSTI
该问题分值: 5
答案:
将原给方程通过观察分项组合．
(y3一3xy2一3x2y)dx+(3xy2一3x2y—x3+y2)dy
=(y3dx+3xy2dy)一3xy(ydx+xdy)一(3x2ydx+x3dy)+y2dy
=0，
即
13.设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得A k＝O．证明：A不可以对角化．
SSS_TEXT_QUSTI
该问题分值: 5
答案:
令AX＝AX(X≠0)，则有A k X＝λk X，因为A k＝O，所以λk X＝0，注意到X≠0，故λk＝0，从而λ＝0，即矩阵A只有特征值0．
因为r(0E－A)＝r(A)≥1，所以方程组(OE－A)X＝0的基础解系至多含n－1个线性无关的解向量，故矩阵A不可对角化．
14.设二次型f(x
1，x
2
，x
3
)=为正定二次型，求t的范围．
SSS_TEXT_QUSTI
该问题分值: 5
答案:
二次型的矩阵为A=，因为该二次型为正定二次型，所以有
15.设f(χ)在[a，b]上连续可导，且f(a)＝0．证明：∫
a
b f2(χ)dχ≤
∫
a
b[f′(χ)]2dχ．
SSS_TEXT_QUSTI
该问题分值: 5
答案:
由f(a)＝0，得f(χ)－f(a)＝f(χ)＝∫
a
χf′(t)dt，由柯西不等式得
16.已知线性方程组
(1)a，b为何值时，方程组有解；
(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；
(3)方程组有解时，求出方程组的全部解．
SSS_TEXT_QUSTI
该问题分值: 5
答案:
(1)a=1，b=3时，r(A)=r(A|b)，方程组有解；
(2)导出组基础解系为：ξ
1=[1，一2，1，0，0]T，ξ
2
=[1，一2，0，1，0]T，
ξ
3
=[5，一6，0，0，1]T；
(3)方程组通解：非齐次特解为η=[-2，3，0，0，0]T，故通解为
k 1ξ
1
+k
2
ξ
2
+k
3
ξ
3
+η．
17.设二元函数f(χ，y)＝｜χ－y｜φ(χ，y)，其中φ(χ，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(χ，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是
φ(0，0)＝0．
SSS_TEXT_QUSTI
该问题分值: 5
答案:
(必要性)设f(χ，y)在点(0，0)处可微，则f′
χ(0，0)，f′
y
(0，0)存在．
所以φ(0，0)＝0．
(充分性)若φ(0，0)＝0，则f′
χ(0，0)＝0，f′
y
(0，0)＝0．
即f(χ，y)在点(0，0)处可微．18.设f(x)=，求f(x)．
SSS_TEXT_QUSTI
该问题分值: 5
答案:
1f(x)dx=A，则f(x)=,于是
令∫
19.设函数，试确定a，b的值，使f(x)在x＝0处可导，并求fˊ(0)．
SSS_TEXT_QUSTI
该问题分值: 5
答案:
20.甲、乙两人相约在0到T这段时间内在约定的地点会面，先到的人等候另一人，如等候时间超过时间t(t＜T)便离开，试求甲、乙两人能会上面的概率．
SSS_TEXT_QUSTI
该问题分值: 5
答案:
1。