2020-2021学年四川省仁寿第一中学校南校区高一下学期开学考试数学试题

2020-2021学年四川省仁寿第一中学校南校区高一下学期开
学考试数学试题
2021年3月9日
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．已知集合{11}A x x =-≤≤∣，122x
B x
⎧⎫
=>⎨⎬⎩
⎭
∣，则A B =（ A ） A ．[1,)-+∞ B ．[1,1]- C ．(1,)-+∞
D ．(]1,1-
2．己知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与以原点为圆心，半径为1的圆相交于点则34,55A ⎛⎫
--
⎪⎝⎭
，则tan α=（ B ） A ．
34
B ．
43
C ．34
-
D ．43
-
3．已知幂函数()()f x x αα=∈R 的图象过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则α=（ B ）
A ．14
-
B ．12
-
C ．
12
D ．
14
4．方程24x x +=的根所在的区间为（ B ） A ．()0,1
B ．()1,2
C ．()2,3
D ．()3,4
5．若1sin 33πα⎛⎫-=-
⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ A ）
A ．13
-
B ．
13
C ．22
-
D ．
22
6．若向量()1,5a =，()1,1b =-，则向量2a b +与a b -的夹角等于（ C ） A ．π4
-
B ．
π6
C ．
π4
D ．
3π4
7．函数1
1()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭
的图像大致为（ B ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．设2log 3a =，0.1b e -=，
1
310
c =，则
a 、
b 、
c 的大小关系为（ A ）
A ．c a b >>
B ．c b a >>
C ．a c b >>
D ．b c a >>
9．为得到函数sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数sin 6y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象（ A ） A ．横坐标缩短到原来的
1
2，纵坐标不变得到曲线C ；再将曲线C 向右平移4π个单位 B ．横坐标缩短到原来的
1
2，纵坐标不变得到曲线C ；再将曲线C 向左平移4
π个单位 C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到曲线C ；再将曲线C 向左平移
2π
个单位 D ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到曲线C ；再将曲线C 向右平移
4
π
个单位 10．函数()()
2
ln 23f x x x =--的单调递增区间是（ D ）
A ．().1-∞-
B ．(),1-∞
C ．()1,+∞
D ．()3,+∞
11．己知如图，在平行四边形ABCD 中，π3
BAD ∠=
，24==AD AB ，3BE EC =，F ，G 分别是线段CD 与BC 的中
点，则⋅=AE FG （ B ）
A ．
92
B ．92-
C ．5-
D ．4-
12．函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，则实数ω的取值范围是（ C ）
A ．()0,π
B ．5,2⎫
⎛
⎪⎝⎭
ππe C ．50,
2⎫⎛ ⎪⎝
⎭
πe D ．5,2⎫⎛∞
⎪⎝⎭
π
+e 函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，可得sin ln 0x x ω-=只有一个实根，
等价于sin y x ω=与ln y x =图象只有一个交点，作出两个函数的图象如图所示，
由sin y x ω=可得其周期2T π
ω
=
，当x e =时，
ln 1y e ==，sin y x ω=最高点5,12A πω⎛⎫
⎪⎝⎭
所以若恰有一个交点，只需要5ln
12πω>，即52e π
ω
>，
解得：52e πω<
，又因为0>ω，所以502e
π
ω<<，故选：C 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。

请将正确答案直接答在答题卡相应的
位置上。

13．13
27lg 4lg 25++=_________.【答案】5
13．已知向量a 与b 不共线，向量ma nb +与2a b +共线，则
m
n
=_____．【答案】2 15．已知函数2,1
()4,1
x a x f x x ax x ⎧<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为_______.
【答案】1|03a a ⎧
⎫<≤⎨⎬⎩
⎭
16．以下关于函数()()21sin 324f x x x R π⎛⎫
=
-∈ ⎪⎝⎭
的结论： ①()y f x =的图象关于直线2
x π
=-对称； ②()f x 的最小正周期是4π；
③()y f x =在区间[]2,3ππ上是减函数； ④()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称．
其中正确的结论是__________（写出所有正确结论的序号）．【答案】①②③
三、解答题：本大题6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知全集U =R ，集合{}2,A x a x a a =<≤+∈R ，{}
13B x x =-<<.
（1）若1a =，求
(
)U
A B ⋂；
（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围. 【详解】
（1）当1a =时，全集U =R ，集合{}
13A x x =<≤，{}
13B x x =-<<.
{1U A x x ∴=≤或}3x >，因此，(){}11U A B x x ⋂=-<≤；
（2）
集合{}
2,A x a x a a =<≤+∈R ，{}
13B x x =-<<，
由于A B B ⋃=，A B ∴⊆，123a a ≥-⎧∴⎨+<⎩
，解得11a -≤<.
∴实数a 的取值范围是[)1,1-.
18．己知向量()4,3a =-，()1,2b =-． （1）设向量a 与b 的夹角为θ，求sin θ； （2）若向量ma b +与向量a b -垂直，求实数m
．
【答案】（15
；（2）37
. \（1）()
()
2
2
2432cos 555
4312a b a b
θ-+⨯-⋅=
=
=
=⨯⋅-+⨯+-，
所以2
2
25sin 1cos 15θθ-⎛⎫
=-=-= ⎪⎝⎭
（2）若向量ma b +与向量a b -垂直，则()()
0ma b a b +⋅-=，
即()2
2
10ma m a b b +-⋅-=，
()
2
2
2
4325a =-+=，()413210a b ⋅=-⨯+⨯-=-，()2
2
2251b =+-=，
所以()2510150m m ---=，即3515m =，解得：3
7
m =
. 19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线4
3
y x =
上. （1）求2sin()cos()
3cos sin 22πααππαα++-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
的值；
（2）若,0,
2παβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且cos()αβ+=，求tan β的值. 【详解】解：（1）由题意得，4
tan 3
α=
， 2sin()cos()2sin cos 3sin cos cos sin 22παααα
ππαααα++--+=+⎛⎫⎛⎫
--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
12tan 5
tan 17
αα-==-+， （2）若,0,
2παβ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且cos()5
αβ+=-
，4tan 3α=， 则4sin 5α
，3cos 5
α=
，sin()αβ+，
所以sin sin[()]βαβα=+-sin()cos sin cos()αβαααβ=+-+，
3455555⎛=
⨯--⨯= ⎝⎭
，cos 5
β=，故sin tan 2cos βββ==. 20
．已知2
()sin cos 2222
x x x f x =--
. （1）求()f x 图象的对称轴方程；
（2）若存在0[0,]x π∈，使()02f x t ≤+，求实数t 的取值范围.
解：（1
）2
()sin cos 2222
x x x f x =--
1sin 22
x x =-cos 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令26x k ππ+=，得212k x ππ=
-，k ∈Z ， ()f x 图象的对称轴方程212
k x ππ
=
-，k ∈Z ， （2）若存在0[0,]x π∈，使()02f x t ≤+，
则min ()2f x t ≤+，由[0,]x π∈得132,666x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦
， 根据余弦函数的性质可得，当26
x π
π+
=，即512
x π
=
时，函数取得最小值1-， 所以12t -≤+，故3t ≥-.
21．已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x <时，()f x 为二次函数且(3)(1)3f f -=-=，
(4)0f -=.
（1）求函数()f x 在R 上的解析式；
（2）若函数()f x 在区间[]2log ,2m 上单调递减，求实数m 的取值范围.
解：（1）当0x <时，设2
()(0)f x ax bx c a =++≠，
(3)(1)3f f -=-=，(4)0f -=，
2216403
b a a b
c a b c ⎧-=-⎪⎪∴⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得140
a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，2()4f x x x ∴=--，
当0x >时，0x -<，2
2
()()44f x x x x x ∴-=--+=-+，
又
函数()f x 是在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，2
()4f x x x ∴=-，
又(0)0f =，∴函数()f x 在R 上的解析式为：22
4,0
()4,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩
. （2）函数()f x 的大致图象，如图所示： 函数()f x 在区间[]2log ,2m 上单调递减，
22log 2m ∴-≤<，解得：
1
44
m ≤<， ∴实数m 的取值范围为：1,44⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.
22．对于函数()1f x ，()2f x ，如果存在实数a ，b ，使得()()()12=-f x af x bf x ，那么称()f x 为()1f x ，()2f x 的亲子函数．
（1）已知()123=-f x x ，()21=+f x x ，试判断()411=-f x x 是否为()1f x ，()2f x 的亲子函数，若是，求出a ，b ；若不是，说明理由；
（2）已知()13=x
f x ，()29=x
f x ，()f x 为()1f x ，()2f x 的亲子函数，且4a =，1b =．()
i 若()()()()211=+-+g x m f x f x ，当10x -≤≤时，()0g x ≤恒成立，求正数m 的取值范围；()ii 若关于x 的方程()()21=+f x nf x 有实数解，求实数n 的取值范围． 【详解】（1）假设()411=-f x x 是()1f x ，()2f x 的亲子函数， 则()()()12=-f x af x bf x ，即()()411231x a x b x -=--+，
可得42113a b a b =-⎧⎨
-=--⎩，解得3
2
a b =⎧⎨=⎩，
所以()411=-f x x 是()1f x ，()2f x 的亲子函数，且3,2a b ==， （2）()i 由亲子函数的定义可得()439x
x
f x =⋅-，
()()()()19439129431x x x x x g x m m =+-⋅-+=+-⋅+，
设3x t =，10x -≤≤时，1,13t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
()()2241g t m t t =+-+为开口向上的抛物线，
若()0g t ≤恒成立，可得()()()2
1112410
33312410g m g m ⎧⎛⎫⎛⎫
=+-⨯+≤⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭
⎪=+-+≤⎩
解得1m ， 因为0m >，所以01m <≤，
()ii 若关于x 的方程()()21=+f x nf x 有实数解，
则43991x x x n ⋅-=⋅+，即()194310x
x
n +⋅-⋅+=，
则()2
1410n t t +⋅-+=，
当1
1,4
n t =-=
时有解，符合题意； 当10n +<时，由于0t =时，上式10=>，t →+∞时，上式趋近于-∞， 故上式在()0,∞+有解；
当10n +>时，()16411n ∆=-+≥ 可得13n -<≤， 综上所述：3n ≤。