(必考题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》检测(包含答案解析)(1)

一、选择题
1．三个正方形的面积如图所示，则S的值为（）
A．3 B．4 C．9 D．12
BC=，点P移2．如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若8
动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（）
A．6 B．4πC．8 D．10
3．在周长为24的直角三角形中，斜边长为11，则该三角形的面积为（）
A．6B．12C．24D．48
4．如图，用64个边长为1cm的小正方形拼成的网格中，点A，B，C，D，E，都在格点（小正方形顶点）上，对于线段AB，AC，AD，AE，长度为无理数的有
（）．
A．4条B．3条C．2条D．1条
5．如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）
A ．10πcm
B ．20πcm
C ．102cm
D ．52cm 6．如图，已知ABC 中，45ABC ∠=︒，F 是高AD 和B
E 的交点，5AC =，2BD =，则线段D
F 的长度为（ ）
A ．22
B ．2
C ．3
D ．1
7．如图，在ABC 中，90C ︒∠=，2AC =，点D 在BC 上，ADC 2B ∠=∠，5AD =，则BC 的长为（ ）
A ．31-
B ．31+
C ．51-
D ．51+ 8．已知Rt ABC 的两直角边分别是6cm ，8cm ，则Rt ABC 的斜边上的高是（ ） A ．4.8cm B ．2.4cm C ．48cm D ．10cm 9．如图，有一长方体容器，3,2,'4AB BC AA ===，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点C 爬到点'A 的最短爬行距离是（ ）
A 29
B 41
C ．7
D 5310．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm ，现有一长为16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分()h cm 的取值范围为（ ）
A ．34h <<
B ．34h ≤≤
C ．24h ≤≤
D ．4h = 11．下列各组数是勾股数的是（ ） A ．4，5，6 B ．5，7，9 C ．6，8，10 D ．10，11，12 12．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值为（ ）
A ．25
B ．19
C ．13
D ．169
二、填空题
13．如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为______．
14．如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，点D 是AB 的中点，过点D 作DE 垂直AB 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长是_______．
15．如图，在ABC 中，90C =∠，AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若5AB =，3AC =，则ACD △的周长为__________．
16．如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 距离C 点5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，则蚂蚁爬行的最短距离是______cm ．
17．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为7 cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2．
18．在△ABC 中，AB=10，AC=210，BC 边上的高AD=6，则另一边BC 等______． 19．如图，已知点C 在点A 的北偏东19°，在点B 的北偏西71°，若CB=9，AC=12，则AB=_____．
20．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6、BC ＝8，CD ⊥AB ，则CD ＝___．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，点A （4，0），点B （0，3），以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，求点C 的坐标．
22．综合与探究
在学习了轴对称变换后，我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的Rt ABC △纸片（90B ∠=︒，6AB =，8BC =）并进行探究：
（1）如图2，“奋斗”小组将Rt ABC △纸片沿DE 折叠，使点C 落在ABC 外部的'C 处 ①若140∠=︒，37C ∠=︒，则2∠的度数为 ．
②1∠，2∠，C ∠之间的数量关系为 ．
（2）如图3，“勤奋”小组将ABC 沿DE 折叠，使点C 与点A 重合，求BD 的长； （3）如图4，“雄鹰”小组将ABC 沿AD 折叠，使点B 落在点E 处，连接CE ，当CDE △为直角三角形时，求BD 的长．
23．（1）问题：如图①，在Rt ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 边上一点（不与点,B C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到AE ，连接EC ，则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为___________；
（2）探索：如图②，在Rt ABC ∆与Rt ADE ∆中，AB AC =，AD AE =，将ADE ∆绕点A 旋转，使点D 落在BC 边上，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明结论；
（3）应用：如图3，在四边形ABCD 中，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒．若12BD =，4CD =，求AD 的长．
24．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC =AC=3，点D 是CB 延长线上的一个动点，线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ，连结BE ，与AC 的延长线交于点M ．
（1）若BD =1，△ADC 中AD 边上的高为h ，求h 的值；
（2）求证：M 为BE 的中点；
（3）当D 点在CB 延长线上运动时，探索CM BD 的值是否变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由．
25．已知：在ABC ∆中，点E 在直线AC 上，点,,B D E 在同一条直线上，且BA BD =，.BAE D ∠=∠
（问题初探）（1）如图1，若BE 平分ABC ∠，求证：180AEB BCE ∠+∠=︒．
请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程．
（变式再探）（2）如图2，若BE 平分ABC ∆的外角ABF ∠，交CA 的延长线于点E ，问：AEB ∠和BCE ∠的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由．
（拓展运用）（3）如图3，在()2的条件下．若,1AB BC CD ⊥=，求EC 的长度．
26．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 是AC 上一点，点E 、点F 是BC 上的点，且∠CDF =∠CEA ，CF =CA ．
（1）如图1，若AE 平分∠BAC ，∠DFC =25°，求∠B 的度数；
（2）如图2，若过点F 作FG ⊥AB 于点G ，连结GC ，求证：AG +GF 2GC ．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由题可知，已知正方形的面积，利用面积公式，即可求解边长；三个正方形的边长恰好构成直角三角形，由勾股定理可求解．
【详解】
由题可知三个正方形，利用正方形面积公式可得：
面积为16的正方形的边长为：4；
面积为25的正方形的边长为：5；
如图：又三个正方形边长恰好构成直角三角形，
∴ 第三个正方形的边长为：22543-=；
∴ 第三个正方形面积为：9；
故选C ．
【点睛】
本题主要考查正方形及直角三角形的性质；重点在于面积和边长之间的转换和对图形的分析．
2．A
解析：A
【分析】
根据圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求出AB 即可求解．
【详解】
解：圆柱的侧面展开图如图，点P 移动的最短距离为AS=5，
根据题意，BS=
12BC=4，∠ABS=90°， ∴AB=22AS BS -=2254-=3，
∴圆柱的底面周长为2AB=6，
故选：A ．
【点睛】
本题考查圆柱的侧面展开图、最短路径问题、勾股定理，熟练掌握圆柱的侧面展开图，得出点P 移动的最短距离是AS 是解答的关键．
3．B
解析：B
【分析】
画出直角三角形，由11,24,c a b c =++=可得：22
2169,a ab b ++=再由勾股定理可得：222121,a b c +==从而求解24,ab =再利用三角形的面积公式可得答案．
【详解】
解：如图，
由题意知：
11,24,c a b c =++=
13,a b ∴+=
222169,a ab b ∴++=
222121,a b c +==
121+2169,ab ∴=
248,ab =
24,ab ∴=
112.2
S ab ∴== 故选：.B
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，掌握以上知识是解题的关键． 4．C
解析：C
【分析】
先根据勾股定理求出AB ，AC ，AD ，AE 这4条线段的长度，即可得出结果．
【详解】
根据勾股定理计算得： 222753+ 22345+=， 225552+= 228610+=，
长度为无理数的有2条，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理及无理数．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．
5．C
解析：C
【分析】
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】
解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC =A 'C ，且点C 为BB '的中点，
∵AB =5cm ，BC =
12×10=5cm ， ∴装饰带的长度=2AC =22222255102AB BC +=+=cm ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查平面展开-最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
先证明△BDF ≌△ADC ，得到5
【详解】
解：∵AD 和BE 是△ABC 的高线，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠DBF=∠CAD ，
∵45ABC ∠=︒，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD ，
∴△BDF ≌△ADC ，
∴5
在Rt △BDF 中，()2222521BF BD -=
-=．
故选：D
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△BDF ≌△ADC 是解题关键． 7．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理求出CD ，根据三角形的外角的性质得到∠B ＝∠BAD ，求出BD ，计算即可．
【详解】
∵∠C ＝90°，AC ＝3，5AD =
∴CD ＝22=1AD AC -，
∵∠ADC ＝2∠B ，∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，
∴∠B ＝∠BAD ，
∴DB ＝5AD =，
∴BC ＝BD ＋CD ＝5+1
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，三角形的外角的性质以及等腰三角形的判定定理，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2是解题的关键． 8．A
解析：A
【分析】
先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法”求出斜边上的高，即可．
【详解】
∵Rt ABC 的两直角边分别是6cm ，8cm ，
∴斜边=2268=10+cm ，
∴斜边上的高=
68=4.810⨯cm ， 故选A
【点睛】
本题主要考查求直角三角形斜边上的高，掌握勾股定理以及“面积法”是解题的关键． 9．B
解析：B
【分析】
画出展开图，从点C 爬到点'A 的最短爬行距离为'CA 的长度，根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图，当从正面和右侧面爬行时，从点C 爬到点'A 的最短爬行距离为'CA 的长度，
，
在Rt 'CAA 中，5AC AB BC =+=，'4AA =，
∴22''41CA AC AA =+
如图，当从上面和右侧面爬行时，从点C 爬到点'A 的最短爬行距离为'CA 的长度，
，
在Rt ''A BD 中，''''7A B A B BB =+=，''2A D =， ∴22''53CA A B BC =+=；
如图，当从后面和上面爬行时，从点C 爬到点'A 的最短爬行距离为'CA 的长度，
，
在Rt ''A B C 中，''''6B C B C CC =+=，''3A B =， ∴22''''35CA B C A B =+=
∵413553
故选：B ．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，画出展开图找到最短路径是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】 根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．
【详解】
①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm ）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线长2234+，高为12cm ，
由勾股定理可得：杯里面管长22512+＝13cm ，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm ），
∴34h ≤≤
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．
11．C
解析：C
【分析】
根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数a 、b 、c 叫做勾股数，逐一进行判断即可．
【详解】
解：A. 222456+≠，故此选项错误；
B. 222579+≠，故此选项错误；
C. 2226810+=，故此选项正确；
D. 222101112+≠，故此选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股数的概念，熟记勾股数的概念是解题的关键．
12．A
解析：A
【分析】
根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．
【详解】 解：由条件可得：22131131240
a b ab a b ⎧+=⎪-⎪=⎨⎪>>⎪⎩， 解之得：32a b =⎧⎨=⎩
． 所以2
()25a b +=，
故选A
【点睛】
本题考查了正方形、直角三角形的性质及分析问题的推理能力和运算能力． 二、填空题
13．29【分析】如图（见解析）先根据正方形的面积公式可得再利用勾股定理可得的值由此即可得出答案【详解】如图连接AC 由题意得：在中在中则正方形丁的面积为故答案为：29【点睛】本题考查了勾股定理的应用熟练掌 解析：29
【分析】
如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得222
30,16,17AB BC CD ===，再利用
勾股定理可得2AD 的值，由此即可得出答案．
【详解】
如图，连接AC ，
由题意得：222
30,16,17AB BC CD ===，
在ABC 中，90ABC ∠=︒， 22246AC AB BC ∴=+=，
在ACD △中，90ADC ∠=︒，
22229AD AC CD ∴=-=，
则正方形丁的面积为229AD =，
故答案为：29．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
14．【分析】连接AE 设CE ＝x 由线段垂直平分线的性质可知AE ＝BE ＝BC ＋CE 在Rt △ACE 中利用勾股定理即可求出CE 的长度【详解】解：如图连接AE 设∵点D 是线段AB 的中点且∴DE 是AB 的垂直平分线∴∴ 解析：76
【分析】
连接AE ，设CE ＝x ，由线段垂直平分线的性质可知AE ＝BE ＝BC ＋CE ，在Rt △ACE 中，利用勾股定理即可求出CE 的长度．
【详解】
解：如图，连接AE ，
设CE x =，
∵点D 是线段AB 的中点，且DE AB ⊥，
∴DE 是AB 的垂直平分线，
∴3AE BE BC CE x ==+=+，
∴在Rt ACE 中，222AE AC CE =+，
即()2
2234x x +=+， 解得76
x =
． 故答案为：76
． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质并利用勾股定理求解线段的长度是解题的关键．
15．7【分析】先根据勾股定理求出BC 的长再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD 即AD+CD=BC 再由AC=6即可求出答案【详解】解：∵△ABC 中∠C=90°AB=5AC=3∴BC==4∵DE 是线段AB 的
解析：7
【分析】
先根据勾股定理求出BC 的长，再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD ，即AD+CD=BC ，再由AC=6即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴=4，
∵DE 是线段AB 的垂直平分线，
∴AD=BD ，
∴AD+CD=BD+CD ，即AD+CD=BC ，
∴△ACD 的周长=AC+CD+AD=AC+BC=3+4=7．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了勾股定理及线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线的性质求出AD+CD=BC 是解题的关键．
16．25【分析】要求长方体中两点之间的最短路径最直接的作法就是将长方体侧面展开然后利用两点之间线段最短解答【详解】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形如图1：∵长方体的宽为1 解析：25
【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：
∵长方体的宽为10，高为20，点B 离点C 的距离是5，
∴10515BD CD BC =+=+=，20AD =，
在直角三角形ABD 中，根据勾股定理得： ∴2222152025AB BD AD ；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：
∵长方体的宽为10，高为20，点B 离点C 的距离是5，
∴20525BD CD BC =+=+=，10AD =， 在直角三角形ABD 中，根据勾股定理得：
∴22221025529AB BD AD =+=+=；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：
∵长方体的宽为10，高为20，点B 离点C 的距离是5．
∴201030AC CD AD =+=+=，
在直角三角形ABC 中，根据勾股定理得：
∴2222305537AB AC BC +=+=
∵25529537<
∴蚂蚁爬行的最短距离是25．
故答案为：25．
【点睛】
本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
17．49【分析】根据正方形的面积公式连续运用勾股定理发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积【详解】解：如图∵所有的三角形都是直角三角形所有的四边形都是正方形∴正方形A 的面积=a2正方形B 的面积= 解析：49
【分析】
根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
【详解】
解：如图，
∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
∴正方形A 的面积=a 2，正方形B 的面积=b 2，
正方形C 的面积=c 2，正方形D 的面积=d 2，
又∵a 2+b 2=x 2，c 2+d 2=y 2，
∴正方形A 、B 、C 、D 的面积和=(a 2+b 2)+(c 2+d 2)=x 2+y 2=72=49cm 2．
故答案为：49．
【点睛】
本题考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解答本题的关键．
18．10或6【解析】试题
解析：10或6
【解析】
试题
根据题意画出图形，如图所示，
如图1所示，AB =10，AC 10，AD =6，
在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，
根据勾股定理得：BD 22AB AD -，22AC AD -=2，
此时BC =BD +CD =8+2=10；
如图2所示，AB=10，AC=210，AD=6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD=22
-=8，CD=22
AB AD
AC AD
-=2，
此时BC=BD-CD=8-2=6，
则BC的长为6或10．
19．15【分析】根据点C在点A的北偏东19°在点B的北偏西71°得出
∠ACB=90°即得出△ABC是直角三角形根据勾股定理解答即可【详解】如图：∵点C在点A的北偏东19°在点B的北偏西71°∴∠ACD=
解析：15
【分析】
根据点C在点A的北偏东19°，在点B的北偏西71°得出∠ACB=90°，即得出△ABC是直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【详解】
如图：
∵点C在点A的北偏东19°，在点B的北偏西71°，
∴∠ACD=19°，∠BCD=71°，
∴∠ACB=19°＋71°=90°，
∴AC2＋CB2=AB2，
∵CB=9，AC=12，
∴122＋92=AB2，
∴AB=15，
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了方位角和勾股定理，解题的关键是根据题意得出直角三角形，再勾股定理求AB 的值．
20．8【分析】根据勾股定理求得AB的长再根据三角形的面积公式得到关于CD 的方程解方程求得CD即可【详解】解：∵在Rt△ABC中∠C＝90°AC＝6BC＝
8∴AB＝10∵S△ABC＝×6×8＝×10×CD
解析：8
【分析】
根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式得到关于CD的方程，解方程求得
CD 即可．
【详解】
解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，
∴AB ＝10，
∵S △ABC ＝12×6×8＝12
×10×CD ， ∴CD ＝4.8．
故答案为：4.8．
【点睛】
本题考查了直角三角形中的面积的求解，解题的关键是熟知等面积法求线段的长度．
三、解答题
21．点C 的坐标为（-1，0）．
【分析】
根据勾股定理可求出AB 的长，由AB=AC ，根据线段的和差关系可求出OC 的长，进而可求出C 点坐标．
【详解】
∵点A ，B 的坐标分别为（4，0），（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴5AB ==．
∵以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，
∴5AB AC ==，
∴1OC AC AO =-=．
∵交x 轴的负半轴于点C ，
∴点C 的坐标为（-1，0）．
【点睛】
本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用，根据勾股定理求出OC 的长是解题关键． 22．（1）①114°；②∠2=∠1+2∠C ；（2）
74
；（3）3或6 【分析】
（1）①根据三角形外角的性质求得∠DFC 的度数，然后再次利用三角形外角的性质求得∠2的度数；
②利用三角形外角的性质推理计算；
（2）设BD=x ，根据折叠的性质结合勾股定理列方程求解；
（3）在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，根据勾股定理求得AC=10，根据翻折的性质得AE=AB=6，DE=BD ，∠AED=∠B=90°，然后分∠DEC=90°和∠EDC=90°两种情况，结合勾股定理求解．
【详解】
解：（1）①由折叠性质可得∠C=∠C′=37°
∴∠DFC=∠1+∠C′=77°
∴∠2=∠DFC+∠C=77+37=114°
故答案为：114°
②由折叠性质可得∠C=∠C′
∴∠DFC=∠1+∠C′
∴∠2=∠DFC+∠C=∠1+∠C′+∠C=∠1+2∠C 故答案为：∠2=∠1+2∠C
（2）∵90B ∠=︒，6AB =，8BC = 设BD=x ，则CD=AD=8-x
∴在Rt △ABD 中，2226(8)x x +=-，解得：74x = ∴BD 的长为74
（3）在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8， ∴AC=22AB BC +=10，
∵△AED 是△ABD 以AD 为折痕翻折得到的， ∴AE=AB=6，DE=BD ，∠AED=∠B=90°． 当△DEC 为直角三角形，
①如图，当∠DEC=90°时，
∵∠AED+∠DEC=180°，
∴点E 在线段AC 上，
设BD=DE=x ，则CD=8-x ，
∴CE=AC-AE=4，
∴DE 2+CE 2=CD 2，
即x 2+42=（8-x ）2，
解得：x=3，即BD=3；
②如图，当∠EDC=90°，
∴∠BDE=90°，
∵∠BDA=∠ADE，
∴∠BDA=∠ADE=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AB=BD=6．
综上所述：当△DEC为直角三角形时，BD的长为3或6．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质及折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论思想的应用是解题的关键．解题时设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
23．（1）BC＝DC＋EC；（2） BD2＋CD2＝2AD2，见解析；（3）8
【分析】
（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；
（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=12，根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：（1）BC=DC+EC，
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB AC
BAD CAE AD AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=EC+CD，
故答案为：BC=DC+EC；（2）探索 BD2＋CD2＝2AD2，理由如下：连接CE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即，
在△BAD和△CAE中，
AB AC
BAD CAE AD AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，
∴∠DCE＝90°，
∴CE2＋CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝ED2，又AD＝AE，
∴BD2＋CD2＝2AD2；
（3）应用作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，
∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
AB AC
BAD CAE AD AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝12，
∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，
∴∠EDC ＝90°，
∴22222124128DE CE CD =-=-=
∵∠DAE ＝90°，∠EDA ＝45°，
∴BD 2＋CD 2＝EC 2=2AD 2＝128
∴AD ＝8
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（1）125；（2）见解析；（3）不变，12 【分析】
（1）根据勾股定理求出AD=5，再根据等积法可求出h 的值；
（2）过E 点作EF ⊥AC 于F ，证明△ACD ≌△EFA ，可得CB =EF ，再证明△BCM ≌△EFM 即可得到结论；
（3）由△BCM ≌△EFM ，得CM =FM ，即CM =
12CF ，再证明CF = BD ，即可得出结论． 【详解】
解：（1）∵AC=BC=3，BD=1
∴CD =3+1=4，
在Rt △ACD 中，2222345AD AC CD =
+=+= ∵1122
⋅=⋅AD h AC CD ， ∴341255
⋅⨯=
==AC CD h AD （2）过E 点作EF ⊥AC 于F ，
∵AD ⊥AE ，EF ⊥AF ，
∴∠DAE =∠AFE =90°，
∵∠DAC +∠EAF =90°，
∠EAF +∠AEF =90°，
∴∠DAC =∠AEF ，
在△ACD 和△EFA 中，
DAC AEF ACD AFE AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACD ≌△EFA （AAS ）
∴EF =AC =3 ，AF =CD ，
∵AC =CB ，
∴CB =EF ，
在△BCM 和△EFM 中，
90 BCM EFM BMC EMF
CB EF
∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△BCM ≌△EFM （AAS ） ，
∴BM =EM ，
∴M 为BE 的中点
（3） 由（2）知△BCM ≌△EFM ，
∴CM =FM ，
∴CM =12
CF ， 由（2）知△ACD ≌△EFA ，∴AF =CD ，
∵AC =CB ，
又∵CF =AF -AC ，
∴CF =CD -CB=BD ，
∵CM =
12CF =12BD ， ∴CM BD =12
． 【点睛】
本题考查几何变换综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，利用等积关系解决线长度问题．
25．（1）见解析 （2）BEC BCE ∠=∠；理由见解析 （3
）1+【分析】
（1）根据ASA 证明ABE DBC ∆≅∆得BE=BC ，得BEC BCE ∠=∠，进一步可得结论； （2）根据ASA 证明ABE DBC ∆≅∆得BE=BC ，得ABE BCE ∠=∠；
（3）连结AD ，分别求出∠AEB=∠ADE=∠ACB=22．5°,再证明AE=CD ，∠ADC=90°，由勾股定理可得AC ，由EC=EA+AC 可得结论．
【详解】
解：（1）证明BE 平分ABC ∠，
,ABE DBC ∴∠=∠
在ABE ∆和DBC ∆中，
BAE D BA BD
ABE DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ABE DBC ASA ∴∆≅∆，
,BE BC ∴=
,BEC BCE ∴∠=∠
180AEB BCE AEB BEC ∴∠+∠=∠+∠=︒；
()2BEC BCE =∠∠．
理由：BE 平分ABF ∠，
,ABE EBF CBD ∴∠=∠=∠
在ABE ∆和DBC ∆中，
BAE D BA BD
ABE DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ABE DBC ASA ∴∆≅∆，
,BE BC ∴=
BEC BCE ∴∠=∠．
()3连结AD ，
AB BC ⊥，
45ABE EBF CBD ∴∠=∠=∠=︒，
ABE DBC ∆≅∆，
,BAE BDC ∴∠=∠且E E ∠=∠，
45,ABE ACD ∴∠=∠=︒
由()2得BE BC =，
22.5BCD BCE BEC ∴∠=∠=∠=︒，
,AB BD =
22.5,BAD BDA ∴∠=∠=︒
,BEC BDA ∴∠=∠
,45,AE AD DAC ACD ∴=∠=︒=∠
1,CD =
1,AD AE AC ∴====
1EC ∴=+
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接AD 是解答此题的关键．
26．（1）∠B=40°；（2）见解析．
【分析】
（1）先利用SAS 证明△AEC ≌△FDC ，得出∠EAC=∠DFC=25°，从而得出∠BAC=50°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论
（2）过点C 作GC 的垂线交GF 的延长线于点P ，根据同角的余角得出∠PCF =∠GCA ，再根据ASA 得出△AGC ≌△FPC ，从而得出△GCP 是等腰直角三角形，即可得出答案
【详解】
（1）在△AEC 和△FDC 中，
∵∠CDF=∠CEA CE=CD ∠C=∠C ，
∴△AEC ≌△FDC ，
∴∠EAC=∠DFC=25°
∵AE 平分∠BAC ，
∴∠BAC=2∠EAC=50°
∵∠C=90°，
∴在Rt △ABC 中，∠B=90°－∠BAC=40°．
（2）如答图，过点C 作GC 的垂线交GF 的延长线于点P
∴∠GCP = 90°
∴∠GCF＋∠PCF = 90°，
∵∠ACB = 90°
∴∠GCF＋∠GCA = 90°，
∴∠PCF =∠GCA．
∵∠ACB=90°，GF⊥AB
∴∠B＋∠BAC=∠B＋∠BFG= 90°，
∴∠BAC=∠BFG．
又∵∠PFC=∠BFG
∴∠GAC=∠PFC．
由（1）知，△AEC≌△FDC，
∴CA=CF，
∴△AGC≌△FPC，
∴GC=PC，AG=FP．
又∵PC⊥GC，
∴△GCP是等腰直角三角形，
∴GF＋2GC，
∴AG＋2GC
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。