北京海淀区高三年级第二学期期中练习数学(文)试题

（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于
1 小时的频率为： 0.003创2 20=0.12.
……………………………………… 9 分
因为 600 0.12 72 .
所以 600 名新生中有 72 名学生可以申请住宿 .
……………………………………… 13 分
(17) （本小题满分 14 分）
证明：（Ⅰ）因为点 F , M 分别是 C1D , C1B 的中点，
= 3 sin( x- ) . 6
……………………………………… 4 分
由 2k - < x - < 2k + , k ? Z ，
2
6
2
得： 2k - < x < 2k + 2 ,k ? Z .
3
3
所以 f (x) 的单调递增区间为 (2 k -
2 ,2 k + ) ， k ? Z .
3
3
……………………………………… 6 分
所以 在三棱锥 C1 - ABD 中，
C1
C1O BD , AO BD .
F M
D
O
A
E
B
又 C1O I AO O ,
所以 BD 平面 AOC1．
……………………………………… 7 分
又 AC1 平面 AOC1，
所以 BD AC1 ．
… ……… ………………………… … 9
分
（Ⅲ）连结 DE ,C1E ．在菱形 ABCD 中， DA AB , BAD 60o ，
Q, eR Q.
下面三个命题中，所有真命题的序号是
则 f ( f ( x)) = ______ ；
.
① 函数 f ( x) 是偶函数；
② 任取一个不为零的有理数 T ， f ( x + T ) = f (x) 对 x R 恒成立； ③ 存在三个点 A( x1, f (x1)), B (x2, f ( x2)), C ( x3, f ( x3)), 使得 ABC 为等边三角形 .
（Ⅱ）因为
f ( A) =
3
，
2
所以
3sin( A -
3 ) = . 所以 sin( A -
1 )= .
62
62
……………………………………… 7 分
因为 0 < A < ，所以 -
< A-
5 <.
6
66
所以 A = . 3
因为
a
b
=
，a=
sin A sin B
所以
sin B =
1
.
2
3b ，
……………………………………… 9 分 ……………………………………… 11 分
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （15）（本小题满分 13 分）
已知函数 f ( x) = sin x + sin( x - ) . 3
（Ⅰ）求 f ( x) 的单调递 增区间；
（Ⅱ）在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a,b, c . 已知 f ( A) =
所以 ABD 是等边三角形 . 所以 DA DB ．
………………………………………
因为 E 为 AB 中点， 所以 DE AB ．
又 EF AB ， EF I DE E ．
10 分
C1
所以 AB 平面 DEF ，即 AB 平面 DEC 1 ．
F M
……………………………………… 12 分
又 C1E 平面 DEC 1 ，
（ A） ?
（ B） {- 1}
（ C） {1}
（ D） { - 1,1}
（2）在等比数列 { an} 中， a 2 = 6 ， a3 = - 18 ，则 a1 + a2 + a3 + a4 =
（） 54
（ D） 80
（3）已知向量 a=(x 1, 2), b=( 1, x) . 若 a 与 b 垂直，则 | b | =
A
D
E
B
所以 AB C1E ． 因为 AE = EB, AB = 4 ， BC1 = AB ，
所以 AC1 BC1 4 ．
(18)（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ） f ( x) 的定义域为 (0, ) .
……………………………………… 14 分
a
f '( x)
x
x
x2 a
.
x
……………………………………… 2 分
n 为偶数
是
否
n n
2
n 3n 1
k=k+1
否
n=1
是
输出 k
结束
（7）已知函数 f ( x)
x2 ax, x 1, 若 x1, x2 ax 1, x 1,
R , x1
x2 ，使得 f ( x1)
f (x2 ) 成立，则实
数 a 的取值范围是
（ A） a < 2
（ B） a > 2
（ C） - 2< a < 2
（ A） 1
（B） 2
（C）2
（ D） 4
x2 y2
（4）过双曲线
1 的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是
9 16
（ A） 3x + 4 y - 15 = 0
（ B） 3x- 4y - 15 = 0
（ C） 4x - 3 y + 20 = 0
（ D） 4x - 3y - 20 = 0
3 ，a =
3b ，试
2
判断 ABC 的形状 .
（ 16）（本小题满分 13 分） 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟）
，并将所 得数据绘制成
频率分布直方图（如图） ，其中，上学所需时间的范围是 [0,100] ，样本数据分组为 [0,20) ，
[20,40) ， [40,60) ， [60,80) ， [80,100] .
当 a 0 时，在区间 (0, ) 上， f '( x) 0 .
所以 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ) . ……………………………………… 3 分
当 a 0 时，令 f '(x) 0 得 x a 或 x 函数 f ( x) , f '( x) 随 x 的变化如下：
a （舍） .
x f '( x) f ( x)
题中横线上 .
（9）复数 2i 在复平面内所对应的点的坐标为
.
1- i
（10）若 tan = 2 ，则 sin2 =
.
（11）以抛物线 y2 4 x 上的点 ( x0 ,4) 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程
D C
D' C'
是
.
（12 已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积
1,x M ,
对于两个集合
1,x M .
M ， N，定义集合
M N { x f M ( x) fN ( x) 1} . 已知 A={2， 4， 6， 8， 10}， B={1，2， 4， 8， 16}.
（Ⅰ）写出 fA (1)和 fB (1)的值，并用列举法写出集合 A B ；
（Ⅱ）用 Card(M )表示有限集合 M 所含元素的个数 .
已知函数 f (x)
a ln x
1 x2
1 (a
R且a
0) .
22
（Ⅰ）求 f ( x) 的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数 a ，使得对任意的 x 1, ，都有 f ( x) 0？若存在，求 a 的
取值范围；若不存在，请说明理由 . （19）（本小题满分 13 分）
x2 y2 已知椭圆 C : 2 2 1 (a b 0) 的右顶点 A(2,0) ，
(0, a )
+ ↗
a
0 极大值
( a, )
↘
所以 f ( x) 的单调递增区间是 (0, a ) ，单调递减区间是 ( a, ) .
……………………………………… 6 分
综上所述，当 a 0 时， f ( x) 的单调递减区间是 (0, ) ；
当 a 0 时， f (x) 的单调递增区间是 (0, a ) ，单调递减区间是 ( a , ) .
（Ⅰ）求直方图中 x 的值；
（Ⅱ ）如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在 学校住宿， 请估计学校 600 名新生中有多少名学生可以 申请住宿 .
频率 /组距 0.025
x
0.0065 0.003
O 20 40 60 80 100 时间
(17)（本小题满分 14 分）
已知菱形 ABCD中，AB=4， BAD 60o（如图 1 所示），将菱形 ABCD沿对角线 BD
（ D） a > 2 或 a < - 2
（ 8 ） 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD - A' B 'C ' D ' 中 ， 若 点 P 是 棱 上 一 点 ， 则 满 足
PA + PC ' = 2 的点 P 的个数为
（ A） 4
（B） 6
A B
（ C） 8
（ D）12
A'
B'
二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分，把答案填在
（5）执行如图所示的程序框图，输出的 k 值是
（ A） 5
（ B）6
（ C） 7
（ D） 8
（6）若满足条件
xy0 x y 2 0 的整点 ( x, y) 恰有 9 个，其中整点是指横、 ya
纵坐标都是整数的点，则整数 a 的值为
（ A） 3 （ B） 2
（ C） 1
（ D） 0
开始 n=5， k=0
所以 FM / / BD ．
……………………………………… 2 分
又 FM 平面 EMF ， BD 平面 EMF ,
所以 BD / / 平面 EMF ．
……………………………………… 4 分
（Ⅱ）在菱形 ABCD 中，设 O 为 AC, BD 的交点 ,
则 AC BD ．
……………………………………… 5 分
翻折，使点 C 翻折到点 C1 的位置（如图 2 所示），点 E，F，M 分别是 AB，DC1，BC1 的中点．
（Ⅰ）证明： BD // 平面 EMF ； （Ⅱ）证明： AC1 BD ； （Ⅲ）当 EF AB 时，求线段 AC1 的长．
D
C
C1
F M
D
A
B
图1
A
E
B
图2
(18)（本小题满分 13 分）
北京市海淀区 2012 届高三第二学期期中练习试题
一、选择题：本大题共
数 学（文科）
2012.04
8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的 .
（1）已知集合 A = { x|x2 = 1} ， B = { x|x( x - 2) < 0} ，那么 A I B =
（ 4）
（ 5）
（ 6）
（ 7）
（ 8）
答
C
B
B
D
A
C
A
B
案
二. 填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 .
（ 9） (- 1,1)
（10） 4 5
（ 11） ( x- 4) 2 + ( y - 4) 2 = 25
（ 12） 2
2
32
（ 13） (10,20)
（ 14） 1 ①②③
三. 解答题：本大题共 6小题，共 80分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .
所以 f ( x) 在 [1, ) 上的最大值为 f (1) 0 ，即对任意的 x [1, ) ，都有
（ ⅰ）求证：当 Card ( X A) Card (X B ) 取得最小值时， 2 ? X ；
（ⅱ）求 Card ( X A) Card ( X B) 的最小值 .
参考答案及评分标准
2012． 04
一. 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . [来
题 号
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
当 a 0 时 , f ( x) 在 [1, ) 上单调递减 .
所以 f (x) 在 [1, ) 上的最大值为 f (1) 0 ，即对任意的 x [1, ) ，都有
f ( x) 0.
……………………………………… 7 分
当 a 0 时，
① 当 a 1，即 0 a 1时， f (x) 在 [1, ) 上单调递减 .
（15）（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ） f ( x) = sin x + sin( x - ) 3
= sin x + 1 sin x - 3 cos x ……………………………………… 2 分
2
2
= 3 sin x - 3 cos x
2
2
=
3 骣????桫23 sin x -
1 2
cos
x÷÷÷÷
2
2
是
，左视图的面积是
.
2 俯视图
（13）设某商品的需求函数为 Q = 100 - 5P ，其中 Q, P 分别表示需求量和价格，如果商品
需求弹性
EQ
大于
1（其中
EQ =-
Q' P ， Q ' 是 Q 的导数），则商品价格
P 的取值范围
EP
EP
Q
是
.
（ 14 ）已知函数
f
( x) =
ì??í??10,,xx??
因为 a > b ， A = ，所以 B = . 所以 C = .
3
6
2
所以 ABC 为直角三角形 .
………………………………………
13 分
(16)（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）由直方图可得
20 x 0.025 20 0.0065 20 0.003 2 20 1.
所以 x = 0.0125.
……………………………………… 6 分
ab
离心率为 3 ， O 为坐标原点 . 2
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）已知 P （异于点 A ）为椭圆 C 上一个动点，过 O 作线段
DE
AP 的垂线 l 交椭圆 C 于点 E , D ，求
的取值范围 .
AP
y
P
D
O E
Ax
（20）（本小题满分 14 分）
对于集合 M ，定义函数
f M (x)