安徽省安庆市第一中学2021届高三毕业班下学期第三次高考模拟考试数学(文)答案
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2
点
M
到面
ABCD
的距离为
h
d 2
3，
VC BDM
VM BCD
1 3
S
△BCD
h
1 3
1 2
2
2
3 2 3 3．
DBDM中，BD = 2
2, DM = 2
2, BM = 2
3 ,\ SDBDM
=
1 2
23
5 = 15
\点
C
到平面
BDM
的距离满足
1 3
´
15h = 2 3 3 ，所以距离
h=2 5 5
x 的方程
x ex
x
ex ex
m
0 有三个不相等的实数解
x1 ， x2 ，
x3 ，且
x1 0 x2 x3 .
结合图像可得关于 t 的方程 g(t) t 2 (m 1)t 1 m 0 一定有两个不等的实数根 t1, t2
且
t1
0
t2
1 e
,
从而1
m
1
1 e2
e
。
t1 t2 1 m, t1 t2 1 m
所以
a2 a 1
1 2b
1 a 1
1 2b
1
a
1
1
1 2b
1 a 1 2b +1
5
1 5
2
2b a 1
a 1 2b +1
1 5
2
2
2b a 1
a 1 2b
1
4 5
1
9 5
，
当且仅当 a 3 ,b 5 时，等号成立.故选：D 24
10【答案】A.
11．【答案】A
5T 由图象可知 4
则 x1 e x1
t1,
x2 e x2
x3 e x3
t2 .
所以
x1 ex1
12
x2 ex2
1
x3 ex3
1 = t1 12 t2
12
[t1 1t2 1]2 [t1t2 t1 t2 +1]2 [1 m (1 m)+1]2 1
m
x1 e x1
1
2
x2 e x2
1
x3 e x3
（2）∵cosA＝ ，A∈（0，π），
∴sinA＝
＝，
∴△ABC 的面积 S＝ bc•sinA＝ ×4×3× ＝
．
18．【答案】（1）1 ：2（2）． 2 5 5
【解析】（1）连接 AC 与 BD 交于点 N ，连接 MN ，
Q AB//CD
， AB 2CD 4 ，△CND∽△ANB
， CD
CN
1
，
AB AN 2
又CE / /平面BDM , CE Ì 平面ACE , 且平面ACE Ç 平面BDM =MN
\CE / /MN
EM MACN AN=来自1．2
（2）解： Q AE ^ 平面 MBC ， BM 平面 MBC ， AE BM ， AB AE BE ，M 是 AE 的中点， 面 ABE 面 ABCD ， 点 E 到面 ABCD 的距离为 d 4 3 2 3 ，
5π 6
5π 12
5π 4
T
，
2π
π ，解得
2．
f
5π 12
2
sin
2
5π 12
2 sin
5π 6
2
，
5π π 2kπ k Z
π 2kπ k Z
π π
6
2
，解得 3
，又
2，
3，
f
x
2 sin
2x
π 3
．
f
(x) +
f
(2t
-
x) =
0
，
f
x
19．【答案】（1）1700 人； （2）27； （3）80 个单位．
【解析】（1）由频率分布直方图知，免疫力指标在(10，20]中的频率为 0．026×10＝0．26．
同理，在(20，30]，(30，40]，(40，50]，(50，60]中的频率分别为 0．4，0．24，0．08， 0．02．故免疫力指标不低于 30 的频率为 0．24+0．08+0．02＝0．34．(4 分) 由样本的频率分布， 可以估计这些体检人群中免疫力指标不低于 30 的人数为 5000×0．34＝1700．
Sn n
S1 ，即 Sn
nS1
na1
又 S2 S4 S6 S60 3720
2a1
4a1
6a1
L
60a1
2
4
6
L
60
a1
30 62 2
a1
3720
解得： a1 = 4 故选：C
9.D【解析】因为 l1 l2 ，所以 2b a 4 0 ，即 a 1 2b 5 ，
因 为 a 0, b 0 ，所以 a 1 0, 2b 0 ，
1.【答案】C 2．【答案】D
3. 【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】D 6.【答案】B 7．【答案】D
8.【答案】c Sn nan ， Sn n(Sn Sn 1), n 2 ，
nSn1
n
1
Sn ,
n
2 ，变形得
Sn1 n 1
Sn n
,
n
2
所以数列
Sn n
是每项均为
S1
的常数列，
d 1 R， 又∵球心到平面 ABC 的距离 2 ∴球的 O 半径 R
9 1 R2， R2 12 ，故球 O
4
的表面积 S 4 R2 48，故选 A．
二．填空题
5 13．【答案】 3
14．【答案】17
15. 【答案】 ±4
16.【答案】
(0,
e2
1
e
)
【解析】由方程
x ex
x
ex ex
10×30＋30×50＋50×60＋70×70＋90×90－5×50×60 7
关于直线(t,0)对称，
2t + p = kp (k Î Z ) ，解得 t = kp - p ，则当 k=1 时， t 取得最小正数，此时 t = p ，故选
3
26
3
A．
12．【答案】A
ABC 中， AB AC 2，BAC 120，，可得平面 ABC 截球所得圆的半径（即 ABC 的外接圆半径）， r=3
26
40
24
8
（2）由直方图知，免疫力指标的平均值为 15× ＋25× ＋35× ＋45× ＋
100
100
100
100
2 55× ＝27．
100
（3）由散点图知，5 组样本数据(x，y)分别为(10，30)，(30，50)，(50，60)，(70，70)， (90，90)，
且 x 与 y 具有线性相关关系．因为 x ＝50， y ＝60，
1
m
1
(0,
e
2
1 e
)
三．解答题：
17．【解答】解：（1）sinB＝2sinA，
由正弦定理知，
＝
，
∴b＝2a，
由余弦定理知，cosA＝
，
∵cosA＝ ，c＝3，
∴＝
，
化简得 2a2﹣7a+6＝0，解得 a＝2 或 ， 当 a＝ 时，b＝2a＝3＝c，与题意矛盾； 当 a＝2 时，b＝2a＝4≠c，符合题意， ∴b＝4．
m
0 ，有
x ex
1 x ex
1
m
0
x
设
ex
t
即
t
t
1 1
m
0
所以 t2 (m 1)t 1 m 0
令
g(x)
x ex
，则
g
(
x)
1 ex
x
,所以
g(
x)
在
(,1)
上单调递增，在
(1,
)
上单调递减,
且 g(0) 0 ， g(1) 1 ，当 x 0 时， g(x) 0 其大致图像如下. e
要使关于
点
M
到面
ABCD
的距离为
h
d 2
3，
VC BDM
VM BCD
1 3
S
△BCD
h
1 3
1 2
2
2
3 2 3 3．
DBDM中，BD = 2
2, DM = 2
2, BM = 2
3 ,\ SDBDM
=
1 2
23
5 = 15
\点
C
到平面
BDM
的距离满足
1 3
´
15h = 2 3 3 ，所以距离
h=2 5 5
x 的方程
x ex
x
ex ex
m
0 有三个不相等的实数解
x1 ， x2 ，
x3 ，且
x1 0 x2 x3 .
结合图像可得关于 t 的方程 g(t) t 2 (m 1)t 1 m 0 一定有两个不等的实数根 t1, t2
且
t1
0
t2
1 e
,
从而1
m
1
1 e2
e
。
t1 t2 1 m, t1 t2 1 m
所以
a2 a 1
1 2b
1 a 1
1 2b
1
a
1
1
1 2b
1 a 1 2b +1
5
1 5
2
2b a 1
a 1 2b +1
1 5
2
2
2b a 1
a 1 2b
1
4 5
1
9 5
，
当且仅当 a 3 ,b 5 时，等号成立.故选：D 24
10【答案】A.
11．【答案】A
5T 由图象可知 4
则 x1 e x1
t1,
x2 e x2
x3 e x3
t2 .
所以
x1 ex1
12
x2 ex2
1
x3 ex3
1 = t1 12 t2
12
[t1 1t2 1]2 [t1t2 t1 t2 +1]2 [1 m (1 m)+1]2 1
m
x1 e x1
1
2
x2 e x2
1
x3 e x3
（2）∵cosA＝ ，A∈（0，π），
∴sinA＝
＝，
∴△ABC 的面积 S＝ bc•sinA＝ ×4×3× ＝
．
18．【答案】（1）1 ：2（2）． 2 5 5
【解析】（1）连接 AC 与 BD 交于点 N ，连接 MN ，
Q AB//CD
， AB 2CD 4 ，△CND∽△ANB
， CD
CN
1
，
AB AN 2
又CE / /平面BDM , CE Ì 平面ACE , 且平面ACE Ç 平面BDM =MN
\CE / /MN
EM MACN AN=来自1．2
（2）解： Q AE ^ 平面 MBC ， BM 平面 MBC ， AE BM ， AB AE BE ，M 是 AE 的中点， 面 ABE 面 ABCD ， 点 E 到面 ABCD 的距离为 d 4 3 2 3 ，
5π 6
5π 12
5π 4
T
，
2π
π ，解得
2．
f
5π 12
2
sin
2
5π 12
2 sin
5π 6
2
，
5π π 2kπ k Z
π 2kπ k Z
π π
6
2
，解得 3
，又
2，
3，
f
x
2 sin
2x
π 3
．
f
(x) +
f
(2t
-
x) =
0
，
f
x
19．【答案】（1）1700 人； （2）27； （3）80 个单位．
【解析】（1）由频率分布直方图知，免疫力指标在(10，20]中的频率为 0．026×10＝0．26．
同理，在(20，30]，(30，40]，(40，50]，(50，60]中的频率分别为 0．4，0．24，0．08， 0．02．故免疫力指标不低于 30 的频率为 0．24+0．08+0．02＝0．34．(4 分) 由样本的频率分布， 可以估计这些体检人群中免疫力指标不低于 30 的人数为 5000×0．34＝1700．
Sn n
S1 ，即 Sn
nS1
na1
又 S2 S4 S6 S60 3720
2a1
4a1
6a1
L
60a1
2
4
6
L
60
a1
30 62 2
a1
3720
解得： a1 = 4 故选：C
9.D【解析】因为 l1 l2 ，所以 2b a 4 0 ，即 a 1 2b 5 ，
因 为 a 0, b 0 ，所以 a 1 0, 2b 0 ，
1.【答案】C 2．【答案】D
3. 【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】D 6.【答案】B 7．【答案】D
8.【答案】c Sn nan ， Sn n(Sn Sn 1), n 2 ，
nSn1
n
1
Sn ,
n
2 ，变形得
Sn1 n 1
Sn n
,
n
2
所以数列
Sn n
是每项均为
S1
的常数列，
d 1 R， 又∵球心到平面 ABC 的距离 2 ∴球的 O 半径 R
9 1 R2， R2 12 ，故球 O
4
的表面积 S 4 R2 48，故选 A．
二．填空题
5 13．【答案】 3
14．【答案】17
15. 【答案】 ±4
16.【答案】
(0,
e2
1
e
)
【解析】由方程
x ex
x
ex ex
10×30＋30×50＋50×60＋70×70＋90×90－5×50×60 7
关于直线(t,0)对称，
2t + p = kp (k Î Z ) ，解得 t = kp - p ，则当 k=1 时， t 取得最小正数，此时 t = p ，故选
3
26
3
A．
12．【答案】A
ABC 中， AB AC 2，BAC 120，，可得平面 ABC 截球所得圆的半径（即 ABC 的外接圆半径）， r=3
26
40
24
8
（2）由直方图知，免疫力指标的平均值为 15× ＋25× ＋35× ＋45× ＋
100
100
100
100
2 55× ＝27．
100
（3）由散点图知，5 组样本数据(x，y)分别为(10，30)，(30，50)，(50，60)，(70，70)， (90，90)，
且 x 与 y 具有线性相关关系．因为 x ＝50， y ＝60，
1
m
1
(0,
e
2
1 e
)
三．解答题：
17．【解答】解：（1）sinB＝2sinA，
由正弦定理知，
＝
，
∴b＝2a，
由余弦定理知，cosA＝
，
∵cosA＝ ，c＝3，
∴＝
，
化简得 2a2﹣7a+6＝0，解得 a＝2 或 ， 当 a＝ 时，b＝2a＝3＝c，与题意矛盾； 当 a＝2 时，b＝2a＝4≠c，符合题意， ∴b＝4．
m
0 ，有
x ex
1 x ex
1
m
0
x
设
ex
t
即
t
t
1 1
m
0
所以 t2 (m 1)t 1 m 0
令
g(x)
x ex
，则
g
(
x)
1 ex
x
,所以
g(
x)
在
(,1)
上单调递增，在
(1,
)
上单调递减,
且 g(0) 0 ， g(1) 1 ，当 x 0 时， g(x) 0 其大致图像如下. e
要使关于