广东省广州市增城市小楼中学九年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版

广东省广州市增城市小楼中学2016届九年级数学上学期期中试题
一、选择题（3分×10=30分）
1．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．B．C． D．
2．方程x2﹣2x=0的解为( )
A．x1=1，x2=2 B．x1=0，x2=1 C．x1=0，x2=2 D．x1=，x2=2
3．将抛物线y=﹣2x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( )
A．y=﹣2（x+2）2+3 B．y=﹣2（x+3）2﹣2 C．y=﹣2（x﹣2）2+3 D．y=﹣2（x+3）2+2
4．抛物线y=3x2+6x﹣12的对称轴是( )
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=﹣2 D．x=2
5．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是( )
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则它的侧面积是( )
A．72π B．36π C．24π D．12π
7．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于( )
A．55° B．45° C．40° D．35°
8．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P=70°，则∠C为( )
A．55° B．70° C．110°D．140°
9．已知⊙O的半径为5cm，直线L上有一点P到圆心距离等于5，则直线L与⊙O的位置关系为( )
A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切
10．函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A． B．C．
D．
二、填空题（3分×6=18分）
11．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是__________．
12．二次函数y=（x﹣3）2+2的最小值是__________．
13．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，若OA=5，OC=4，则AB的长为__________．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为__________．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于C，AB=3cm，PB=4cm，则BC=__________cm．
16．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为__________（结果保留π）．
三、解答题（本大题共9小题，满分102分）
17．解方程：x2﹣5x+6=0．
18．如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
19．已知某抛物线的顶点为（1，3），且过点（3，0），求此抛物线的解析式．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标是A（﹣3，5），B（﹣4，3），C （﹣1，1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
22．已知抛物线y=﹣2x2+4x﹣1．
（1）该抛物线的对称轴是__________，顶点坐标__________；
（2）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；x ……
y ……
（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足
x1＜x2＜1，试比较y1与y2的大小．
23．用总长为60m篱笆围成一个矩形场地，若它的一边长为xm，它的面积为ym2
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求当x为何值时，矩形面积最大？最大面积为多少？
24．（14分）已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．
（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；
（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D．
①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；
②求线段PQ的长．
25．（14分）如图所示，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P是抛物线上一点，且S△ABP=S△ABC，这样的点P有几个请直接写出它们的坐标．
2015-2016学年广东省广州市增城市小楼中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（3分×10=30分）
1．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．B．C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
2．方程x2﹣2x=0的解为( )
A．x1=1，x2=2 B．x1=0，x2=1 C．x1=0，x2=2 D．x1=，x2=2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出即可．
【解答】解：x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0，x﹣2=0，
x1=0，x2=2，
故选C．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是把一元二次方程转化成一元一次方程．
3．将抛物线y=﹣2x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( )
A．y=﹣2（x+2）2+3 B．y=﹣2（x+3）2﹣2 C．y=﹣2（x﹣2）2+3 D．y=﹣2（x+3）2+2 【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】几何变换．
【分析】先利用顶点式得到抛物线y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再根据点利用的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到对应点的坐标为（﹣2，3），所以新的抛物线解析式是y=﹣2（x+2）
2+3．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
4．抛物线y=3x2+6x﹣12的对称轴是( )
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=﹣2 D．x=2
【考点】二次函数的性质．
【分析】首先将y=3x2+6x﹣12配方成顶点式y=a（x﹣m）2+n的形式，即可求出对称轴：直线x=n．
【解答】解：∵y=3x2+6x﹣12=3（x+1）2﹣15，
∴对称轴是直线x=﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查二次函数的性质，能正确配方成顶点式是解决问题的关键．
5．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是( )
A．35° B．45° C．55° D．65°
【考点】圆周角定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠A=35°，即可求得∠B的度数．
【解答】解：∵AB是△ABC外接圆的直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=35°，
∴∠B=90°﹣∠A=55°．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6．一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则它的侧面积是( )
A．72π B．36π C．24π D．12π
【考点】圆锥的计算．
【分析】首先求得圆锥的底面周长，即侧面的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：底面周长是：8π，则侧面积是：×8π×9=36π．
故选B．
【点评】考查了圆锥的计算．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
7．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于( )
A．55° B．45° C．40° D．35°
【考点】旋转的性质．
【分析】本题旋转中心为点O，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角∠BOD即为旋转角，利用角的和差关系求解．
【解答】解：根据旋转的性质可知，D和B为对应点，∠DOB为旋转角，即∠DOB=80°，所以∠AOD=∠DOB﹣∠AOB=80°﹣45°=35°．
故选：D．
【点评】本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
8．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P=70°，则∠C为( )
A．55° B．70° C．110°D．140°
【考点】切线的性质．
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP的内角和为360°，即可推出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C的度数．
【解答】解：连接OA、OB，
∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠P=70°，
∴∠AOB=110°，
∵C是⊙O上一点，
∴∠ACB=55°．
故选A．
【点评】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练运用切线的性质，通过作辅助线构建四边形，最后通过圆周角定理即可推出结果．
9．已知⊙O的半径为5cm，直线L上有一点P到圆心距离等于5，则直线L与⊙O的位置关系为( )
A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】分别从若直线L与⊙O只有一个交点，即为点P与若直线L与⊙O有两个交点，其中一个为点P，去分析求解即可求得答案．
【解答】解：∵若直线L与⊙O只有一个交点，即为点P，则直线L与⊙O的位置关系为：相切；
若直线L与⊙O有两个交点，其中一个为点P，则直线L与⊙O的位置关系为：相交；
∴直线L与⊙O的位置关系为：相交或相切．
故选D．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系．注意掌握设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
10．函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A． B．C．
D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；
C、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，
对称轴x=﹣＞0，故选项正确；
D、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=﹣＜0，
故选项错误．故选C．
【点评】应该熟记一次函数y=ax+a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
二、填空题（3分×6=18分）
11．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2）．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得答案．
【解答】解：在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
12．二次函数y=（x﹣3）2+2的最小值是2．
【考点】二次函数的最值．
【分析】直接根据二次函数的性质求解．
【解答】解：二次函数y=（x﹣3）2+2，当x=3时，y有最小值，最小值为2．
故答案为2．
【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=
﹣，y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣，y=．13．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，若OA=5，OC=4，则AB的长为6．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】由OC与AB垂直，利用垂径定理得到C为AB的中点，在直角三角形AOC中，由OA 与OC的长，利用勾股定理求出AC的长，由AB=2AC即可求出AB的长．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB，
在Rt△AOC中，OA=5，OC=4，
根据勾股定理得：AC===3，
则AB=2AC=6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出AC是解本题的关键．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为4．
【考点】根的判别式．
【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣4）2﹣4k=0，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得△=（﹣4）2﹣4k=0，
解得k=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于C，AB=3cm，PB=4cm，则
BC=cm．
【考点】切线的性质；勾股定理；圆周角定理．
【分析】根据切线的性质可知∠ABP=90°，又AB是⊙O的直径，可知∠ACB=90°，故根据勾股定理可将斜边AP求出；再根据三角形面积的求法，从而将斜边的高求出．
【解答】解：∵PB是⊙O的切线，
∴∠ABP=90°，
∵AB=3cm，PB=4cm，
∴AP===5；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即BC为△ABP的高；
∵×AB×BP=×AP×BC，
即×3×4=×5×BC，
∴BC=．
【点评】本题综合考查了切线和圆周角的求法及性质．
16．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为π﹣1（结果保留π）．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】根据BC为直径可知∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
【解答】解：在Rt△ACB中，
∵AC=BC=2，
∴AB==2，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，
在等腰Rt△ACB中，
∵CD垂直平分AB，CD=BD=，
∴D为半圆的中点，
S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×22﹣×（）2=π﹣1．
故答案为：π﹣1．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分102分）
17．解方程：x2﹣5x+6=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解，然后再来解方程．
【解答】解：由原方程，得
（x﹣3）（x﹣2）=0，
∴x﹣3=0，或x﹣2=0，
解得，x=3或x=2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法解一元二次方程的思想就是把未知方程化成2个因式相乘等于0的形式，如（x﹣a）（x﹣b）=0的形式，这样就可直接得出方程的解为x﹣a=0或x﹣b=0，即x=a或x=b．注意“或”的数学含义，这里x1和x2就是“或”的关系，它表两个解中任意一个成立时方程成立，同时成立时，方程也成立．
18．如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】证明题．
【分析】根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB=AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得．
【解答】证明：∵=，
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∵∠ACB=60°
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及等边三角形的判定，正确理解圆心角、弧、弦的关系是关键．
19．已知某抛物线的顶点为（1，3），且过点（3，0），求此抛物线的解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】因为抛物线的顶点坐标为（1，3），所以设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2+3，把点（3，0）代入解析式即可解答．
【解答】解：已知抛物线的顶点坐标为（1，3），
设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2+3，
把点（3，0）代入解析式，得：
4a+3=0，即a=﹣，
∴此函数的解析式为y=﹣（x﹣1）2+3．
【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法．若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标是A（﹣3，5），B（﹣4，3），C （﹣1，1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标．
【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，
故A2（3，﹣4），B2（4，﹣3），C2（1，﹣1）．
【点评】此题主要考查了旋转变换以及轴对称变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
【考点】切线的判定；圆周角定理；弧长的计算．
【分析】（1）由圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ABC
的度数；
（2）由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠BAC=30°，易求得∠BAE=90°，则可得AE是⊙O的切线；
（3）首先连接OC，易得△OBC是等边三角形，则可得∠AOC=120°，由弧长公式，即可求得劣弧AC的长．
【解答】解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠D=60°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（3）如图，连接OC，
∵∠ABC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的长为．
【点评】此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
22．已知抛物线y=﹣2x2+4x﹣1．
（1）该抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标（1，1）；
（2）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
x ……
y ……
（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足
x1＜x2＜1，试比较y1与y2的大小．
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数顶点坐标以及对称轴即可；
（2）利用二次函数图象画法得出即可；
（3）利用二次函数增减性得出y1与y2的大小．
【解答】解：（1）y=﹣2x2+4x﹣1
=﹣2（x﹣1）2+1，
故抛物线的对称轴是：直线x=1，顶点坐标为：（1，1）；
故答案为：直线x=1，（1，1）；
（2）填表如下：
x …﹣1 0 1 2 3 …
y …﹣7 ﹣1 1 ﹣1 ﹣7 …
如图所示：
；
（3）如图所示：该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＜x2＜1，
则y1与y2的大小为：y1＜y2．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象，正确掌握画二次函数图象的步骤是解题关键．
23．用总长为60m篱笆围成一个矩形场地，若它的一边长为xm，它的面积为ym2
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求当x为何值时，矩形面积最大？最大面积为多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）首先表示矩形的另一边长，进而利用矩形面积求法得出答案；
（2）利用二次函数最值求法得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：另一边长为：（30﹣x）m，
则y=x（30﹣x）=﹣x2+30x；
（2）由题意可得：y=﹣x2+30x=﹣（x﹣15）2+225，
故当x为15m时，矩形面积最大，最大面积为：225m2．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意表示出矩形的面积是解题关键．
24．（14分）已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．
（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；
（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D．
①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；
②求线段PQ的长．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）如图①，连接OQ．利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度．
（2）如图②，连接BC．利用三角形中位线的判定与性质得到BC∥OQ．根据圆周角定理推知BC⊥AC，所以，OQ⊥AC．
（3）利用割线定理来求PQ的长度即可．
【解答】解：（1）如图①，连接OQ．
∵线段PQ所在的直线与⊙O相切，点Q在⊙O上，
∴OQ⊥OP．
又∵BP=OB=OQ=2，
∴PQ===2，即PQ=2；
（2）OQ⊥AC．理由如下：
如图②，连接BC．
∵BP=OB，
∴点B是OP的中点，
又∵PC=CQ，
∴点C是PQ的中点，
∴BC是△PQO的中位线，
∴BC∥OQ．
又∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OQ⊥AC．
（3）如图②，PC•PQ=PB•PA，即PQ2=2×6，
解得PQ=2．
【点评】本题考查了圆的综合题．掌握圆周角定理，三角形中位线定理，平行线的性质，熟练利用割线定理进行几何计算．
25．（14分）如图所示，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P是抛物线上一点，且S△ABP=S△ABC，这样的点P有几个请直接写出它们的坐标．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）先根据直线y=﹣x+3求出B、C两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值．
（2）令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解方程即可求得；
（3）根据已知求得P的纵坐标，代入y=﹣x2+2x+3即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点坐标分别是
B（3，0），C（0，3），
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，
∴c=3
∴﹣9+3b+3=0，
得到b=2，
∴抛物线的解析式．
（2）令y=0，则﹣x2+2x+3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
∴A的坐标为（﹣1，0），
∴AB=4，
∴S△ABC=AB•y c=×4×3=6；
（3）设P的纵坐标为n，
∵S△ABP=S△ABC，
∴S△ABP=3，
即AB•|n|=3，解得n=±，
∴±=﹣x2+2x+3，解x=或x=，
∴这样的点P有4个，它们分别是（，），（，），（，﹣），（，
﹣）．
【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、图形面积的求法等知识点．考查了学生数形结合的数学思想方法．。