高三数学上学期寒假考试试题1 试题

七中2021届高三数学上学期寒假考试试题〔1〕
一、选择题
{}{}
|3,,|x A y y x B x y x ==∈==∈R R ，那么A B =〔 〕
A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭
B.()0,1
C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
11z i =+，2z i =，其中i 为虚数单位，那么
1
2
z z 的虚部为〔 〕 A ．-1
B ．1
C ．i
D ．-i
ln2a =，12
5b -=，π
201cos 2c xdx =⎰，那么a ,b ,c 的大小关系〔 〕
A. a b c <<
B.b a c <<
C.c b a <<
D.b c a <<
4.给出以下两个命题：命题p ：“0,0a b =≠〞是“函数2y x ax b =++为偶函数〞的必要不充分条件；命题q ：函数1ln 1x
y x
-=+是奇函数，那么以下命题是真命题的是〔 〕 A.p q ∧
B.p q ∧⌝
C.p q ∨
D.p q ∨⌝
{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有21n n S a =-，设2log n n b a =，那么数列{}n b 的前
5项的和为〔 〕 A.
,a b
满足2,1a b
==
，且2b a -
=那么向量a 与b 的夹角的余弦值为 〔 〕
()f x 的图象如下图,那么函数()f x 的解析式可能是〔 〕
A.()(44)x x f x x -=+
B. 4()(44)log x x f x x -=-
C. 14
()(44)log x x f x x -=+
D. 4()(44)log x x f x x -=+
1sin 2y x =ω在区间ππ,812⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递减，那么ω的取值范围是〔 〕
A.[)4,0-
B.[)2,0-
C. [)[]4,04,6-∪
D. []4,6
9.N 是ABC △内的一点，且43AB AC ⋅=30BAC ∠=︒，假设,NBC NCA △△和NAB △的面积分别为1,,x y ，那么4y x
xy
+的最小值是〔 〕 A. 2
B. 8
C. 6
D. 9
2e 2()ln x f x k x x x ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
,假设2x =是函数()f x 的唯一极值点,那么实数k 的取值范围为
( ) A.(,e]-∞
B.[]0,e
C.(),e -∞
D.[0,e)
()220y px p =>的焦点为F ，点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒．过弦
AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，那么
MN AB
的最大值为〔 〕
A 3
B 23
C ．1
D 312.,,,P A B C 是半径为2的球面上的点，2,PA PB PC ===90ABC ∠=︒，点B 在AC 上的射影为D ，那么三棱锥P ABD -体积的最大值为〔 〕 33
3
3 33 二、填空题
{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-，那么数列{}n a 的通项公式是n a =_________________
()sin()f x A x ωϕ=+,(,,A ωϕ是常数,0A >,0ω>)的局部图象如下图,那么()0f 的值是
__________.
()()1,2,2,λ==-a b ．假设//a b ，那么λ=_________________
16.地铁列车每10分钟一班,在车站停1分钟,那么乘客到达站台立即乘上车的概率是__________. 三、解答题
{}n a 满足 151,9a a ==.
〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕假设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和为n S . 18.A ,B ,C 为ABC △的三个内角，且()2
2b c a bc +-=. 〔1〕求角A 的大小；
〔2〕求sin sin B C +的取值范围.
y 〔单位：千元〕的数据如下表：
年份 2021 2021 2021 2021 2021 2021 2021 年份代号x
1
2 3 4 5 6 7 人均纯收入y
〔1〕求y 关于x 的线性回归方程；
〔2〕预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入.
附：7
7
21
1
134.4,140i i i i i x y x ====∑∑.回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
1
2
2
1
ˆn
i i
i n
i
i x y
nx y b
x
nx
==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =- 20.某城100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．
〔1〕求直方图中x 的值； 〔2〕求月平均用电量的众数和中位数；
〔3〕在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，那么月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？ 21.两点()()0,0,4,0O A ，圆C 以线段OA 为直径. 〔1〕求圆C 的方程；
〔2〕假设直线1l 的方程为0x y -=，直线2l 平行于1l ，且被圆C 截得的弦MN 的长是22，求直线2l 的方程.
22.如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC ===，O 为AC 的中点．
〔1〕证明：PO⊥平面ABC；
〔2〕假设点M在棱BC上，且2
=，求点C到平面POM的间隔 .
MC MB
参考答案
1.答案：D 解析：
2.答案：A
解析：∵复数121,z i z i =+=， ∴1z i =-， ∴
1211z i i z i
-==-- 其虚部为−1 3.答案：D
解析：1
5
21a =>
,12
15?2b -
=<,ππ
2200111cos sin |222
c xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，
故a c b >>， 故答案选：D. 4.答案：C
解析：对于命题p ，假设函数2y x ax b =++为偶函数，那么其对称轴为02
a
x =
=， 得0a =，那么“0a =，0b ≠〞是“函数2y x ax b =++为偶函数〞得充分不必要条件， 命题p 为假命题； 对于命题q ，令
101x x ->+，即101x x -<+，得11x -<<，那么函数1ln
1x
y x
-=+的定义域()1,1-，关于原点对称，且()
()1
1111ln ln ln ln
1111x x x x x x x x ----++⎛⎫
===- ⎪+-+--⎝⎭
，所以，函数1ln 1x y x -=+为奇函数，命题q 为真命题，因此p q ∧，p q ∧⌝，p q ∨⌝均为假命题，p q ∨为真命题，应选C 5.答案：C
解析： 6.答案：C 解析： 7.答案：D 解析： 8.答案：A 解析： 9.答案：D 解析： 10.答案：A
解析：2e 2()ln x f x k x x x ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭,那么32()(e )x x f x kx x -'-=,当0x >时,e 0x kx -≥恒成立,因此
e k ≤. 应选A.
11.答案：A 解析： 12.答案：D 解析： 13.答案：2n 解析：
14.
解析：由题可知A =,7ππ
π41234
T =-=,∴πT =. 又2π
T ω
=,∴2π
2π
ω=
=. 根据函数图象的对应关系得()π
2πZ 3
k k ϕ⨯
+=∈,
∴()2
ππZ 3
k k ϕ=-∈.
取π3ϕ=
,那么(
)π23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭,
∴π(0)3f ==
. 15.答案：-4
解析：∵//a b ;∴()1220λ⋅--⋅=;∴4λ=-. 16.答案：
110
解析：总的时间是间隔为10分钟,而不是11分钟. 17.答案：〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d 151,9a a ==
11
149a a d =⎧∴⎨+=⎩解得：11
2a d =⎧⎨=⎩
1(1)21n a a n d n ∴=+-=-即21n a n =- 〔2〕由〔1〕可得：21n a n =- 111111
()(21)(21)22121
n n n b a a n n n n +∴=
==--+-+
12311111111=()()233557212111(1)22121
n n
S b b b b n n n n n ∴=++++⎡⎤+-++-⎢⎥-+⎣⎦=-=++…（1-）+(-)? 即21
n n
S n =+. 解析：
18.答案：〔1〕在ABC △中 22()b c a bc +-= 222b c a bc ∴+-=-
2221
cos 222
b c a bc A bc bc +--∴===-
又0πA << 2π3
A ∴=
〔2〕由〔1〕可得：2π3
A =
π1π
sin sin sin sin()sin sin()323
B C B B B B B ∴+=+-==+
π
03B <<
ππ2π
333
B ∴<+<
π
sin()13
B <+≤ sin sin B
C ∴+
的取值范围为⎤
⎥⎝⎦
解析：
19.答案：〔1〕由表可得：4, 4.3x y -
-
== 又
7
7
21
1
134.4,140i i
i i i x y
x ====∑∑
7
1
2
2
7
2
1
7134.474 4.3
0.5140747i i
i i
i x y x y
b x
x
--
=-=--⨯⨯∴=
=
=-⨯-∑∑
又4, 4.3x y -
-
==
4.30.54 2.3a y b x -
-
∴=-=-⨯= y ∴关于x 的线性回归方程为1
2.32
y x =
+ 〔2〕由〔1〕可得：1
2.32
y x =
+， ∴当9x =时，0.59 2.3 6.8y =⨯+=，
即该地区2021年农村居民家庭人均纯收入约为6800元 解析：
20.答案：〔1〕由图可得：(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯= 解得：0.0075x =
〔2〕由图可得月平均用电量的众数是
220240
2302
+= (0.0020.00950.011)200.450.5++⨯=<
(0.0020.00950.0110.0125)200.70.5+++⨯=>
∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ， 那么(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.5a ++⨯+⨯-= 解得：224a =
∴月平均用电量的中位数是224.
〔3〕由图可得：月平均用电量为[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5户，抽取比例111
25151055
=
=+++，
∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取1
2555
⨯=户．
解析：
21.答案：〔1〕依题意可得：圆心(2,0)C ，半径2r = ∴圆C 的方程为22(2)4x y -+=.
〔2〕依题意可设直线2l 的方程为0(0)x y m m -+=≠
那么圆心(2,0)C 到直线2l 的间隔 d =
MN ∴==
解得：4m =-或者0m =〔舍去〕 ∴直线2l 的方程为40x y --= 解析：
22.答案：〔1〕证明：
4,PA PC AC O AC ===为中点
创 作人： 历恰面 日 期：
2020年1月1日
创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日
,PO AC PO ∴⊥=且
4AB BC AC ===
222,AB BC AC AB BC ∴+=⊥即 连接2BO BO =，则 又24PO PB ==
222,BO PO PB PO BO ∴+=⊥即
又,,,PO AC BO AC ABC BO AC O ⊥⊂=平面 PO ABC ∴⊥平面
〔2〕解：作CH OM H ⊥=
又由〔1〕可得：PO CH ⊥
,.CH POM CH C POM ∴⊥平面故的长为点到平面的距离
122,4523COM OC AC CM BC ACB ====∠=
在△中，
OM ∴=
sin OC MC ACB CH OM ⋅⋅∠=
=C POM ∴点到平面 解析：。