2019届高考数学一轮复习第十一章选考系列4-5不等式选讲课时作业

4-5不等式选讲
课时作业
A 组一一基础对点练
1. (2018 •成都市模拟)已知 f (x ) = | x — a | , a € R.
⑴ 当a = 1时，求不等式f (x ) + |2x — 5| >6的解集；
⑵若函数g (x ) = f (x ) — |x — 3|的值域为A ,且[—1,2] ? A ，求a 的取值范围.
解析：(1)当a = 1时，不等式即为| x — 1| + |2 x — 5| >6.当x <1时，不等式可化为一(x — 1)
5
5
—(2 x — 5) >6,二x <0;当1 v x v ㊁时，不等式可化为(x — 1) — (2x — 5) >6,无解；当x 时，不等式可化为(x — 1) + (2x — 5) >6,二x >4.综上所述：原不等式的解集为 {x | x <0或
x >4}.
(2) •-1| x — a | — |x — 3|| <| x — a — (x — 3)| = | a — 3| ,
f (x ) — | x — 3| = | x — a | — | x — 3| € [ — | a — 3| , | a — 3|].
•••函数 g (x )的值域 A = [ — | a — 3| , | a — 3|]
解得a <1或a > 5.
• a 的取值范围是(一汽1] U [5 ,+^).
2. (2018 •石家庄模拟)已知函数f (x ) = 2|x + 1| — |x — 1|. (1)求函数f (x )的图象与直线y = 1围成的封闭图形的面积
m
⑵ 在(1)的条件下，若正数 a , b 满足a + 2b = abm 求a + 2b 的最小值.
—x — 3, x <— 1,
解析：(1)函数 f (x ) = 2| x + 1| — |x — 1| = 3x + 1,— 1<x <1, ,x + 3, x > 1.
它的图象及直线y = 1如图所示:
函数f (x )的图象与直线y = 1的交点为(一4,1) , (0,1),
•••[ — 1,2] ? A,
—| a — 3| <— 1,
| a — 3| > 2.
1
故函数f (x )的图象和直线 y = 1围成的封闭图形的面积
m= 2X 4X 3= 6.
1 2
⑵••• a +2b =6ab ，- b +a =6,
1
12
1a a
+ 2b
=評+
2b )(
b +a )=6x(b +
a 4
b 2 1 、
当且仅当b = a ，即a =3, b = 3时等号成立，
4
••• a + 2b 的最小值是
3.已知 a, b , c , n , n , p 都是实数，且 a 2+ b 2+ c 2= 1, m i + n 2+ p 2= 1. (1)证明 | an + bn + cp | < 1 ；
4
4
4
⑵若 abc M 0,证明-2+ -^+ P ^> 1.
a b c
证明：(1)易知 | an + bn + cp | w| a — +1 bn | + | cp | ,
2 . 2 2“ 2 2 2“ 因为 a + b + c = 1, m +n +p = 1,
2 2 . 2 2 2 2 2 . 2 2 2 2 2
十,、， a + m b + n c + p a + b + c + m + n + p 所以 I am + |bn | + |cp | W —+ — + 尹= q = 1,
故 | an + bn + cp | < 1.
o o o o o o
(2 )因为 a + b + c = 1, m + n + p = 1,
4 4 4 m n p
所以 ~2+ 2+ 2> 1.
a b c
1 2
4. ( 2 018 •长沙市模拟)已知函数f (x ) = (x + 1). 4 (1)证明：f (x ) + | f (x ) -2| >2;
1 2 ⑵ 当x M- 1时，求y = 4f — + [f (x )] 2
的最小值. 1 2
解析：(1)证明：••• f (x ) = 4(x + 1) >0,
• f (x ) + |f (x ) - 2| = |f (x )| + |2 - f (x )| >| f (x ) + [2 - f (x )]| = |2| = 2.
t
丄 1
2
⑵当 x M- 1 时，f (x ) = 4(X + 1) > 0 ,
1
…
y
=
+
4f x
[f (x )]
2
1 +
1 +
8f x
8f x
3
1 1
3
[f(x)]
》3
. 8f x
8f x •[f x
-=4,
4b
1 訐4)》6 x
(2 .4+ 4) = 3
4 4
4
4 4 4
m n
p
m n p
所以 2+
2
+ 2
= ( 2+
2
+
2
)(
a b c a b c
2
m a + b + c )》(一
a
2
n 」
-a +厂• b +
、2 z
2 2 2、2 “
c ) = (m + n + p ) = 1.
当且仅当8f x = 8f x = [f (x )] 2时取等号，即x = — 1± 。

时取等号.
1 2
3
••• y =石 —+ [f (x )]的最小值为4.
B 组一一能力提升练
1. (2018 •温州摸拟)已知 f (x ) = |ax + 1|( a € R)，不等式 f (x ) W3 的解集为{x | — 2W x w 1}.
解析： ⑴由 | ax +1| W3 得一4W ax w 2. 又 f (x ) W3 的解集为｛x | — 2< x W 1｝, 所以当a <0时，不合题意.
4 2
当 a >0 时，有一y xw —,得 a =2.
a a
(2)记 h (x ) = f (x ) — 2f 肯，则
-1, x >—2,
所以 | h (x )| W 1,因此 k > 1.
2. (2018 •甘肃省模拟)设函数 f (x ) = | x — 3| , g (x ) = |x — 2|. (1) 解不等式 f (x ) + g (x ) v 2;
(2) 对于实数 x , y ,若 f (x ) W 1, g (y ) W 1,证明：|x — 2y + 1| W 3. 解析：(1)解不等式|x — 3| + |x — 2| v 2.
3
3
① 当x v 2时，原不等式可化为
3 — X + 2 — x v 2，可得x >?,所以~v x v 2.
② 当2W x W3时，原不等式可化为 3— x + x — 2 v 2,可得1 v 2,所以2W x W 3. ③ 当x > 3时，原不等式可化为 x — 3+ x — 2 v 2，可得x v 专，所以3v x v|
3
7
由①②③可知，不等式的解集为｛x i^v x vm .
(2)证明：|x — 2y + 1| =|( x — 3) — 2( y — 2)| W| x — 3| + 2| y — 2| W 1+ 2= 3.
r J.
x-2 f 2 -
W k 恒成立，求k 的取值范围.
h (x )=
1, x <— 1,
—4x — 3,—
1
i<x <—2,
(2)比较|1 — 4ab |与2| a — b |的大小.
解析：(1)证明：记 f (x ) = |x — 1| — | x + 2|
3, x w- 2,
= —2x — 1,— 2<x < 1, —3, x >1,
1 1
由一2<— 2x — 1<0 解得一2<x <2,
f 1 1、 1 1 1 1 11111
即 ^门，2丿；所以 3a + 6b w 3|a| + 61 b|< 3X 2+ 6X 2= 4 1
1
⑵由(1)得 a 2<；, b 2<
4 4
2 2 222 222
因为 |1 — 4ab | — 4| a — b | = (1 — 8ab + 16a b ) — 4( a — 2ab + b ) = (4 a — 1)(4 b — 1)>0 , 故|1 — 4ab | 2>4| a — b |2, 即 |1 — 4ab |>2| a — b |.
4. (1)已知函数 f (x ) = | x + 1| +1 x — a |( a > 0)，若不等式 f (x ) >5 的解集为｛x |x w — 2 或
x >3｝，求a 的值；
1119
⑵已知a, b , c 为正实数，且 a + b + c = m 求证：
+ + >—.
a +
b b +
c c + a 2m
—2x + a — 1, x <— 1, 解析：(1)因为 a >
0,所以 f (x ) = | x + 1| + | x — a | = a + 1, — 1< x <a ,
2x — a + 1, x > a.
又不等式f (x ) >5的解集为{x | x <— 2或x >3},解得a = 2.
1 1 1
⑵证明：a +b + b +c +斗
1 1 1 _ a + b + b + c +
c + a
a +
b + b +
c + c + a
时等号成立.
3. (2018 •淮南模拟 )设不等式—2<|x — 1| —|x + 2|<0的解集为 M a , b € M (1)证明: 1 1 3a + 6b
b +
c a + b +
a +
b b +
c c + a c + a
当且仅当
1
2m c+ a a+ b c + a a+b + 1 + b^+ b+^ + 1 +
2m
a +
b
c + a b + c a + b c + a b + c b + c c + a c + a a + b
2m
b +
c a + b "
a =
b =
c = 3时，取等号）.。