2019年常州市九年级数学下期中试题(及答案)

2019年常州市九年级数学下期中试题(及答案) 一、选择题
1．若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）都在反比例函数
1
y
x
=-的图象上，并且
x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
2．如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（）
A．B．C．D．
3．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB．则cos∠AOB的值等于（）
A．B．C．D．
4．已知反比例函数y＝﹣6
x
，下列结论中不正确的是（）
A．函数图象经过点（﹣3，2）
B．函数图象分别位于第二、四象限
C．若x＜﹣2，则0＜y＜3
D．y随x的增大而增大
5．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（）
A．各边的长度 B．各内角的度数 C．五边形的周长 D．五边形的面积
6．如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上，反比例函
数y=k
x
（x＞0）的图象经过顶点B，则反比例函数的表达式为（）
A．y=12
x
B．y=
24
x
C．y=
32
x
D．y=
40
x
7．如图，直线12y x b =-+与x 轴交于点A ，与双曲线4(0)y x x =-<交于点B ，若2AOB S ∆=，则b 的值是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 8．对于反比例函数y=1x
，下列说法正确的是（ ） A ．图象经过点（1，﹣1） B ．图象关于y 轴对称
C ．图象位于第二、四象限
D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 9．观察下列每组图形，相似图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥于E ，设ADE α∠=，且3cos 5α=
，5AB =，则AD 的长为（ ）
A ．3
B ．163
C ．203
D ．165
11．图（1）所示矩形ABCD 中，BC x =，CD y =，y 与x 满足的反比例函数关系如图（2）所示，等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过点C ，M 为EF 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．当3x =时，EC EM <
B ．当9y =时，E
C EM <
C ．当x 增大时，EC CF ⋅的值增大
D ．当x 增大时，B
E D
F ⋅的值不变
12．如图，将一个Rt △ABC 形状的楔子从木桩的底端点P 处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm （如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A ．8tan20°
B ．
C ．8sin20°
D ．8cos20°
二、填空题
13．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E 、南门点F 分别是AB ，AD 的中点，EG ⊥AB ，FE ⊥AD ，EG =15里，HG 经过A 点，则FH =__里.
14．在△ABC 中，∠ABC=90°，已知AB=3，BC=4，点Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交直线AB 于点P ，当△PQB 为等腰三角形时，线段AP 的长为_____．
15．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为__________米.
16．如图，已知点A ，C 在反比例函数(0)a y a x
=>的图象上，点B ，D 在反比例函(0)b y b x
=
<的图象上，AB ∥CD ∥x 轴，AB ，CD 在x 轴的两侧，AB=5，CD=4，AB 与CD 的距离为6，则a −b 的值是_______.
17．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数k y x =（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 ▲ ． 18．如图，Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，直线EF BD P ，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交
AD 于点F ，若13AEG EBCG S S V 四边形，=则CF AD
= ．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数k y x
=
（x ＜0）图象上的点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点C 在x 轴上，若△ABC 的面积为1，则k 的值为 ______ ．
20．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，2EC BE =，联结AE 交BD 于点F ，若BFE ∆的面积为2，则AFD ∆的面积为______.
三、解答题
21．如图，AD 是△ABC 的中线，tan B ＝13，cos C ＝22
，AC ＝2.求： （1）BC 的长；
（2）sin ∠ADC 的值．
22．如图，在△ABC 中，BC ＝6，sin A ＝35
，∠B ＝30°，求AC 和AB 的长．
23．已知：如图，在ABC V 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC V 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ，连接DE 交AC 于点F ．
() 1求证：四边形ADCE 为矩形；
()2当ABC V 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明． ()3在()2的条件下，若AB AC 22==，求正方形ADCE 周长．
24．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且CD 2＝AD •BC ．
（1）求证：△APD ∽△PBC ；
（2）求∠APB 的度数．
25．如图，l 1∥l 2∥l 3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5．求BC 、BE 的长？
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2＜x3即可得出结论．
【详解】
∵反比例函数y=﹣1
x
中k=﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每
一象限内，y随x的增大而增大．
∵x1＜0＜x2＜x3，∴B、C两点在第四象限，A点在第二象限，∴y2＜y3＜y1．
故选B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．本题也可以通过图象法求解．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．
【详解】
正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件，故A不符合题意;锐角三角形、菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件，故B、D不符合题意；矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件，故A符合题意；故选C．
【点睛】
本题主要考查了相似图形判定，解决本题的关键是要注意边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．
【详解】
连接AB，
由图可知：OA=0B，AO=AB
∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°=．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解△ABC是等边三角形是解题的关键．4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
A、∵当x＝﹣3时，y＝2，∴此函数图象过点（﹣3，2），故本选项正确；
B、∵k＝﹣6＜0，∴此函数图象的两个分支位于第二、四象限，故本选项正确；
C、∵当x＝﹣2时，y＝3，∴当x＜﹣2时，0＜y＜3，故本选项正确；
D、∵k＝﹣6＜0，∴在每个象限内，y随着x的增大而增大，故本选项错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
5．B
解析：B
【解析】解：∵用一个放大镜去观察一个三角形，∴放大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的对应边成比例，∴各边长都变大，故此选项错误；
∵相似三角形的对应角相等，∴对应角大小不变，故选项B正确；．
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴C 选项错误；
∵相似三角形的周长得比等于相似比，∴D 选项错误．
故选B ．
点睛：此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长得比等于相似比．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
过A 作AM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴于N ，根据菱形性质得出OA=BC=AB=OC ，AB ∥OC ，OA ∥BC ，求出∠AOM=∠BCN ，OM=3，AM=4，OC=OA=AB=BC=5，证△AOM ≌△BCN ，求出BN=AM=4，CN=OM=3，ON=8，求出B 点的坐标，把B 的坐标代入y=kx 求出k 即可．
【详解】
过A 作AM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴于N ，
则∠AMO=∠BNC=90°，
∵四边形AOCB 是菱形，
∴OA=BC=AB=OC,AB ∥OC,OA ∥BC ，
∴∠AOM=∠BCN ，
∵A(3,4)，
∴OM=3，AM=4，由勾股定理得：OA=5，
即OC=OA=AB=BC=5，
在△AOM 和△BCN 中
AMO BNC AOM BCN OA BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AOM ≌△BCN(AAS)，
∴BN=AM=4，CN=OM=3，
∴ON=5+3=8，
即B 点的坐标是(8,4)，
把B 的坐标代入y=kx 得：k=32，
即y=
32x
， 故答案选C.
【点睛】 本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形的性质.
7．D
解析：D
【解析】 因为直线12y x b =-+与x 轴交于点A ,所以令y =0,可得:1 02
x b -+=,解得2x b =, 则OA =2b ,又因为2AOB S ∆=,所以B 点纵坐标是:
2b ,因为B 点在4(0)y x x =-<,所以B 点坐标为(－2b ,2
b ),又因为B 点在直线12y x b =-+上,所以()2122
b b b =-⨯-+,解得1b =±,因为直线12
y x b =-+与y 轴交于正半轴,所以0b >,所以1b =,故选D. 8．D
解析：D
【解析】
A 选项：∵1×（-1）=-1≠1，∴点（1，-1）不在反比例函数y=1x
的图象上，故本选项错误；
B 选项：反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项错误；
C 选项：∵k=1＞0，∴图象位于一、三象限，故本选项错误；
D 选项：∵k=1＞0，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故是正确的．
故选B ．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
【详解】
解：A 、两图形形状不同，故不是相似图形；
B 、两图形形状不同，故不是相似图形；
C 、两图形形状不同，故不是相似图形；
D 、两图形形状相同，故是相似图形；
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据矩形的性质可知：求AD 的长就是求BC 的长，易得∠BAC =∠ADE ，于是可利用三角函数的知识先求出AC ，然后在直角△ABC 中根据勾股定理即可求出BC ，进而可得答案.
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠BAC =90°，BC=AD ，∴∠BAC +∠DAE =90°， ∵DE AC ⊥，∴∠ADE +∠DAE =90°，∴∠BAC =ADE α∠=，
在直角△ABC 中，∵3cos 5α=，5AB =，∴25cos 3
AB AC α==，
∴AD=BC 203==. 故选：C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理和解直角三角形的知识，属于常考题型，熟练掌握矩形的性质和解直角三角形的知识是解题关键.
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
由于等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过C 点，则△BEC 和△DCF 都是直角三角形；观察反比例函数图像得出反比例函数解析式为y=9x
；当x =3时，y =3，即BC=CD=3，根据等腰直
角三角形的性质得，CF=3，则C 点与M 点重合；当y =9时，根据反比例函
数的解析式得x =1，即BC=1，CD=9，所以，而；利用等腰直角三角形的性质BE•DF=BC•CD=xy ，然后再根据反比例函数的性质得BE•DF=9，其值为定值；由
于x =2xy ，其值为定值．
【详解】
解：因为等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过C 点，M 为EF 的中点，所以△BEC 和△DCF 都是直角三角形；观察反比例函数图像得x =3，y =3，则反比例解析式为y=9x
．
A 、当x =3时，y =3，即BC=CD=3，所以，，C 点与M 点重合，则EC=EM ，所以A 选项错误；
B 、当y =9时，x =1，即BC=1，CD=9，所以，，，所以B 选项错误；
C 、因为x y =2×xy =18，所以，EC•CF 为定值，所以C 选项错误；
D 、因为BE•DF=BC•CD=xy =9，即BE•DF 的值不变，所以D 选项正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图像：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图像，注意自变量的取值范围．
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°．
【详解】
设木桩上升了h 米，
∴由已知图形可得：tan20°=8
h ， ∴木桩上升的高度h =8tan20°
故选B. 二、填空题
13．05【解析】∵EG ⊥ABFH ⊥ADHG 经过A 点∴FA ∥EGEA ∥FH ∴∠HFA ＝∠AEG ＝90°∠FHA ＝∠EAG ∴△GEA ∽△AFH ∴∵AB ＝9里DA ＝7里EG ＝15里∴FA ＝35里EA ＝45里∴
解析：05
【解析】
∵EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，HG 经过A 点，
∴FA ∥EG ，EA ∥FH ，
∴∠HFA ＝∠AEG ＝90°，∠FHA ＝∠EAG ，
∴△GEA ∽△AFH ，∴EG EA AF FH
=． ∵AB ＝9里，DA ＝7里，EG ＝15里，
∴FA ＝3.5里，EA ＝4.5里，∴
15 4.53.5FH
=， 解得FH ＝1.05里．故答案为1.05． 14．或6【解析】【分析】当△PQB 为等腰三角形时有两种情况需要分类讨论:①当点P 在线段AB 上时如图1所示由三角形相似（△AQP ∽△ABC ）关系计算AP 的长；②当点P 在线段AB 的延长线上时如图2所示利用角 解析：
53
或6． 【解析】
当△PQB 为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论:①当点P 在线段AB 上时，如图1所示．由三角形相似（△AQP ∽△ABC ）关系计算AP 的长；
②当点P 在线段AB 的延长线上时，如图2所示．利用角之间的关系，证明点B 为线段AP 的中点，从而可以求出AP ．
【详解】
解:在Rt △ABC 中，AB =3，BC =4，由勾股定理得：AC =5.
∵∠QPB 为钝角，
∴当△PQB 为等腰三角形时，
当点P 在线段AB 上时，如题图1所示：
∵∠QPB 为钝角，
∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB =PQ ，
由(1)可知,△AQP ∽△ABC ， ∴,PA PQ AC BC = 即3,54PB PB -= 解得：43
PB =， ∴45333AP AB PB =-=-
=； 当点P 在线段AB 的延长线上时，如题图2所示：
∵∠QBP 为钝角，
∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB =BQ .
∵BP =BQ ，∴∠BQP =∠P ，
∵90,90BQP AQB A P o o ，
∠+∠=∠+∠= ∴∠AQB =∠A ，
∴BQ =AB ，
∴AB =BP ，点B 为线段AP 中点，
∴AP =2AB =2×
3=6. 综上所述,当△PQB 为等腰三角形时,AP 的长为
53或6. 故答案为53
或6.
本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
15．16【解析】【分析】易得△AOB∽△ECD 利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA 的长度【详解】解：
∵OA⊥DACE⊥DA∴∠CED=∠OAB=90°∵CD∥OE∴∠CDA=∠OBA∴△AOB∽△E 解析：16
【解析】
【分析】
易得△AOB ∽△ECD ，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA 的长度．
【详解】
解：∵OA ⊥DA ，CE ⊥DA ，
∴∠CED=∠OAB=90°，
∵CD ∥OE ，
∴∠CDA=∠OBA ，
∴△AOB ∽△ECD ， ∴
CE OA 16OA ,DE AB 220
==， 解得OA=16．
故答案为16． 16．【解析】【分析】利用反比例函数k 的几何意义得出a-b=4•OEa -b=5•OF 求出=6即可求出答案【详解】如图∵由题意知：a-b=4•OEa -b=5•OF∴OE=OF=又∵OE+OF=6∴=6∴a - 解析：403
【解析】
【分析】
利用反比例函数k 的几何意义得出a-b=4•OE ，a-b=5•OF ，求出
45
a b a b --+=6，即可求出答案．
【详解】
如图，
∵由题意知：a-b=4•OE ，a-b=5•OF ，
∴OE=4a b -，OF=5
a b -， 又∵OE+OF=6， ∴45
a b a b --+=6， ∴a-b=403
， 故答案为：403
． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能求出方程
45a b a b --+=6是解此题的关键．
17．【解析】待定系数法曲线上点的坐标与方程的关系反比例函数图象的对称性正方形的性质【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的设小正方形的边长为b 图中阴影部分的面积等于9可求出b 解析：3y x
=
． 【解析】
待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质．
【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b ，图中阴影部分的面积等于9可求出b 的值，从而可得出直线AB 的表达式，再根据点P （3a ，a ）在直线AB 上可求出a 的值，从而得出反比例函数的解析式： ∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为小正方形的面积． 设正方形的边长为b ，则b 2=9，解得b=6．
∵正方形的中心在原点O，∴直线AB的解析式为：x=3．
∵点P（3a，a）在直线AB上，∴3a=3，解得a=1．∴P（3，1）．
∵点P在反比例函数
3
y
x
（k＞0）的图象上，∴k=3×1=3．
∴此反比例函数的解析式为：．
18．【解析】【分析】先证△AEG∽△ABC△AGF∽△ACD再利用相似三角形的对应边成比例求解【详解】解：
∵EF∥BD∴∠AEG=∠ABC∠AGE=∠ACB∴△AEG∽△ABC且S△AEG=S四边形EB
解析：1 2
【解析】
【分析】
先证△AEG∽△ABC，△AGF∽△ACD再利用相似三角形的对应边成比例求解.【详解】
解：∵EF∥BD
∴∠AEG=∠ABC，∠AGE=∠ACB，
∴△AEG∽△ABC，且S△AEG=1
3
S四边形EBCG
∴S△AEG：S△ABC=1：4，
∴AG：AC=1：2，
又EF∥BD
∴∠AGF=∠ACD，∠AFG=∠ADC，∴△AGF∽△ACD，且相似比为1：2，∴S△AFG：S△ACD=1：4，
∴S△AFG
1
=
3
S四边形FDCG
S△AFG
1
=
4
S△ADC
∵AF：AD=GF：CD=AG：AC=1：2∵∠ACD=90°
∴AF=CF=DF
∴CF ：AD=1：2．
19．-2【解析】【分析】根据已知条件得到三角形ABC 的面积=得到|k|=2即可得到结论【详解】解：∵AB⊥y 轴∴AB∥CO∴∴∵∴故答案为：-2【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义明确是解题的关
解析：-2
【解析】
【分析】
根据已知条件得到三角形ABC 的面积=
1•=12AB OB ，得到|k|=2，即可得到结论． 【详解】
解：∵AB ⊥y 轴，
∴AB ∥CO ， ∴111•1222ABC S AB OB x y k =
===g 三角形 ， ∴2k =，
∵0k ＜，
∴2k =-，
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，明确1•=12
ABC S AB OB =V 是解题的关键． 20．18【解析】【分析】根据求得BC=3BE 再由平行四边形得到AD∥BC 判定△ADF∽△EBF 再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得结果【详解】∵∴BC=3BE∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD
解析：18
【解析】
【分析】
根据2EC BE =求得BC=3BE,再由平行四边形ABCD 得到AD ∥BC,判定△ADF ∽△EBF,再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得结果.
【详解】
∵2EC BE =,
∴BC=3BE,
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC,AD=BC,
∴△ADF ∽△EBF,
∴AD=3BE,
∴AFD ∆的面积=9S △EBF =18，
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，由平行四边形ABCD得到AD∥BC,判定
△ADF∽△EBF是解题的关键，再求得对应边的关系AD=3BE,即可求得AFD
∆的面积.
三、解答题
21．（1）BC＝4；（2）sin ∠ADC＝
2 2
.
【解析】
（1）如图，作AE⊥BC，
∴CE=AC•cos C=1，∴AE=CE=1，
1 tan
3
B=，
∴BE=3AE=3，∴BC=4；
（2）∵AD是△ABC的中线，∴DE=1，
∴∠ADC=45°，∴
2 sin
2
ADC
∠=．
22．AC＝5．AB＝4+33．
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△BCD中利用锐角三角函数和勾股定理求出CD、BD，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数和勾股定理求出AC、AD,即可.
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△BCD中，sinB＝sin30°＝1
2
＝
CD
BC
．
∴CD＝1
2
×6＝3，BD
3
＝3，
在Rt△ACD中，
sinA＝CD
AC
＝
3
5
，
∴AC＝5
3
CD
＝5．
∴AD 4，
∴AB ＝AD+BD
＝
【点睛】
本题考查了锐角三角函数和勾股定理．构造直角三角形是解决本题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）BAC 90∠=o 且AB AC =时，四边形ADCE 是一个正方形；证明见解析；（3）8；
【解析】
【分析】
（ 1 ）根据等腰三角形的性质，可得 ∠ CAD=
12∠ BAC ，根据等式的性质，可得∠CAD+ ∠CAE=12
（ ∠BAC+ ∠CAM ）=90°，根据垂线的定义，可得∠ADC=∠CEA ，根据矩形的判定，可得答案；
（ 2 ）根据等腰直角三角形的性质，可得AD 与CD 的关系，根据正方形的判定，可得答案；
（ 3 ）根据勾股定理，可得AD 的长，根据正方形周长公式，可得答案．
【详解】
()1∵AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ， ∴1CAD BAC 2
∠∠=． ∵AN 是ABC V 外角CAM ∠的平分线， ∴1CAE CAM 2∠∠=
． ∵BAC ∠与CAM ∠是邻补角，
∴BAC CAM 180∠∠+=o ， ∴()1CAD CAE BAC CAM 902
∠∠∠∠+=+=o ． ∵AD BC ⊥，CE AN ⊥，
∴ADC CEA 90∠∠==o ，
∴四边形ADCE 为矩形；
（2）BAC 90∠=o 且AB AC =时，四边形ADCE 是一个正方形，
∵BAC 90∠=o 且AB AC =，AD BC ⊥， ∴1CAD BAC 452
∠∠==，ADC 90∠=o ， ∴ACD CAD 45∠∠==o ，
∴AD CD =．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形；
()3由勾股定理，得
AB
=，AD CD
=，
=，
AD2
=，
正方形ADCE周长4AD428
=⨯=．
【点睛】
本题考查了的正方形的判定与性质,(1)利用了等腰三角形的性质,矩形的判定;(2)利用了正方形的判定;(3)利用了勾股定理,正方形的周长,灵活运用是关键.
24．（1）见解析；（2）120°
【解析】
【分析】
（1）CD2＝AD•BC可得AD：PC＝PD：BC，又由△PCD是等边三角形，所以可求出
∠ADP＝∠BCP＝120°，进而证明△ACP∽△PDB；
（2）由△APD∽△PBC，可得∠APD＝∠B，则可求得∠APB的大小．
【详解】
（1）证明：∵△PCD是等边三角形，
∴PD＝PC＝DC，∠PDC＝∠PCD＝60°，
∴∠ADP＝∠BCP＝120°，
∵CD2＝AD•BC，
∴AD：PC＝PD：BC，
∴△APD∽△PBC；
（2）∵△APD∽△PBC，
∴∠APD＝∠B，
∵∠B+∠BPC＝60°，
∴∠APD+∠BPC＝60°，
∴∠APB＝60°+∠DPC＝120°．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
25．BC=6，BE=5
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得BF
BE
=
3
BC
=
2
4
，则可计算出BC=6，BF=
1
2
BE，然后利用
1
2
BE+BE=7.5求出BE的长．
【详解】
∵l1∥l2∥l3，∴FB
BE
=
AB
BC
=
AD
DE
，即
BF
BE
=
3
BC
=
2
4
，∴BC=6，BF=
1
2
BE，
∴1
2
BE+BE=7.5，∴BE=5．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．。