四川绵阳市2021届高三数学(文)上学期第二次诊断性考试卷附答案解析

四川绵阳市2021届高三数学（文）上学期第二次诊断性考试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A＝{x∈N|－1≤x≤1}，B＝{x|log2x<1}，则A∩B＝
A.[－1，1)
B.(0，1)
C.{－1，1}
D.{1}
2.已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，直线l2：2x＋ay＋1＝0，若l1⊥l2，则a＝
A.0
B.2
C.±2
D.4
3.已知平面向量a＝(1
)，b＝
(2，λ)，其中λ>0，若
|a－b|＝2，则a·b
＝
A.2
D.8
4.
已知函数f(x)＝
x3＋sinx＋2，若f(m)＝3，则f(－m)＝
A.2
B.1
C.0
D.－1
5.已知cosα＋sin(α－)＝0，则tanα＝
A.－
B.
C.
6.已知曲线y＝e x(e为自然对数的底数)与x轴、y轴及直线x＝a(a>0)围成的封闭图形的面积为e a－1。

现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入400个点，其中恰有255个点落在图中阴影部分内，若OA＝1，则由此次模拟实验可以估计出e的值约为
A.2.718
B.2.737
C.2.759
D.2.785
7.已知命题p：若数列{a n}和{b n}都是等差数列，则{ra n＋sb n}(r，s∈R)也是等差数列；命题q：∀x∈(2kπ，2kπ＋
)(k∈Z)，都有sinx<cosx。

则下列命题是真命题的是
A.¬p∧q
B.p∧q
C.p∨q
D.¬p∨q
8.对全班45名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为80，方差为25，现发现数据收集时有两个错误，其中一个95分记录成了75分，另一个60分记录成了80分。

纠正数据后重新计算，得到平均数为，方差为s2，则
A.＝80，s2<25
B.＝80，s2＝25
C.＝80，s2>25
D.<80，s2>25
9.已知圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0上，有且仅有三个点到直线ax－3y＋3＝0(a∈R)的距离为1，则a＝
A.±
B.±
C.±1
D.
6
π
33
2
π
x
x x x x
32
10.若函数f(x)＝x 3－(
＋3)x 2＋2ax ＋3在x ＝2处取得极小值，则实数a 的取值范围是 A.(－0，－6) B.(－∞，6) C.(6，＋∞) D.(－6，＋∞) 11.已知正实数x ，y 满足ln
>lg ，则
A.2x >2y
B.sinx>siny
C.lnx<lny
D.tanx<tany
12.已知点F 1，F 2是双曲线E ：的左、右焦点，点P 为E 左支上一点，△PF 1F 2的内切圆与x 轴相切于点M ，且，则a ＝ A.1
D.2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若复数z 满足z(1＋i)＝1－i ，则z ＝。

14.为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式从A ，B ，C 三个部门中抽取16名员工进行科研能力访谈。

己知这三个部门共有64人，其中B 部门24人，C 部门32人，则从A 部门中抽取的访谈人数 。

15.已知椭圆E ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，若E 上存在一点P 使＝0，
且|PF 1|＝|F 1F 2|，则E 的离心率为 。

16.关于x 的方程sin2x ＋2cos 2x ＝m 在区间[0，π)上有两个实根x 1，x 2，若x 1－x 2≥，则实数m 的取值范围
是 。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必
须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)
某食品厂2020年2月至6月的某款果味饮料生产产量(单位：万瓶)的数据如下表：
(1)根据以上数据，求y 关于x 的线性回归方程；
(2)调查显示该年7月份的实际市场需求量为13.5万件，求该年7月份所得回归方程预测的生产产量与实际市场需求量的误差。

附：参考公式：。

2
a
x
y
y x 22
21(0)6x y a a -
=>1
21FM MF 3
=22
221(0)x y a b a b
+=>>112PF FF ⋅2
πy bx a =+1
2
1
()()
ˆˆˆ,()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
a
y bx x x ==--==--∑∑
18.(12分)
已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 5＝17，a 2a 4＝16。

(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2n >a n ，求n 的最小值。

19.(12分)
如图，在△ABC 中，点P 在边BC 上，∠PAC ＝30°，AC
AP ＝1。

(1)求∠APC ； (2)若cosB
＝，求△APB 的面积。

20.(12分)
已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点A(x 0，)为抛物线上一点，若点B(－2，0)满足＝0。

(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点B 的直线l 交C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线x ＝－2于点P ，Q ，求的值。

21.(12分)
已知函数f(x)＝(2m ＋2)x －nlnx －mx 2
(m ∈R)，曲线y ＝f(x)在点(2， f(2))处的切线与y 轴垂直。

(1)求n ；
(2)若f(x)≥0，求m 的取值范围。

(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题记分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
160
9
14
()FA FB AB
+⋅PB
BQ
12
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x－2)2＋y2＝6。

曲线C2的参数方程为(t为参数)。

以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝α(－<α<，ρ∈R)。

(1)求曲线C1与C2的极坐标方程；
(2)已知直线l与曲线C1交于A，B两点，与曲线C2交于点C，若|AB|：|OC|
，求α的值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|x－3|＋|x－2|。

(1)求不等式f(x)<3的解集；
(2)记函数f(x)的最小值为m，a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝mabc，证明：ab＋bc＋ac≥9。

2
2
2
2
1
x t
t
1
y t
t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
2
π
2
π。