2017年初赛数学试卷

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⎪ ⎪ ⎪
“澄池杯”数学问卷（初赛）
满分：100 分
时量：90 分钟
一、选择题（每小题
5 分，共 30 分） 1、一组数据：1 , 2 , 2 , 3 ，若添加一个数据 2 ，则发生变化的统计量是（ ）
A 、平均数
B 、中位数
C 、众数
D 、方差
2、若关于
x 的方程 1 + x - 2 k = x + 2 3 x 2 - 4
无解，则 k 为（ ） A 、 - 3 4 B 、 -2 C 、 - 3 或 -1 4
D 、 -1或 - 2
3、已知等腰三角形的周长是10 ，底边长 y 是腰长 x 的函数，则下列函数中，能正确反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
4、如图，矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为 (-4,5) ， D 是 OB 的中点， E 是 OC 上一点，当 ∆ADE
的周长最小时，点 E 的坐标是（ ）
A 、
⎛ 0, 4 ⎫
B 、
⎛ 0, 5 ⎫ C 、 (0, 2)
D 、
⎛ 0, 10 ⎫
⎝ 3 ⎭
⎝ 3 ⎭
⎝ 3 ⎭
5、如图，在 ∆ABC 中， CA = CB ， ∠ACB = 90︒ ， AB = 2 ，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心
作圆心角为 90︒ 的扇形 DEF ，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴影部分的面积为（ ）
π 1
1 π 1
π 1 A 、 +
B 、
π - C 、 +
D 、 -
2 2
4
4 2 4
2
6、将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30︒ ，得正方形AB1C1D1 ，B1C1 交CD 于点E ，AB =，则四边形AB1ED 的内切圆半径为（）
A、3 - 3
2 B、
3 + 1
2
C、 3 + 1
3
D、3 - 3
3
二、填空（每小题5 分，共30 分）
a - 3
÷ ⎛ 5- a - 2⎫ =
7、已知a2 + 3a -1 = 0 ，化简求值： ⎪．
3a2 - 6a ⎝ a - 2 ⎭
⎧
⎪ 8、不等式组⎨ x + 1 > 0
1 的解集是x > -1，则a 的取值范围是．
⎪⎩a
x < 0 3
9、原价100 元的某商品，连续两次降价后售价为81 元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为．
10、若关于x 的方程kx2 - 3x - 9
= 0 有实根，则实数k 的取值范围是．4
11、如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴、y 轴上，OA = 3，OB = 4 ，连接AB ，点P 在平面内，若以点P 、A、B 为顶点的三角形与∆AOB 全等（点P 与点O 不重合），则点P 的坐标为．
12、如图，在菱形ABCD 中，AB = 4cm ，∠ADC =120︒ ，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速运动（到点B 为止），点E 的速度为1cm / s ，点F 的速度为2cm / s ，经过t 秒∆DEF 为等边三角形，则t 的值为．
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三、解答题（共4 小题，满分40 分）
13、（本小题满分8 分）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某药店准备购进一批口罩，已知1 个A 型口罩和3 个B 型口罩共需26 元；3 个A 型口罩和2 个B 型口罩共需29 元．
⑴求一个A 型口罩和一个B 型口罩的售价各是多少元？
⑵药店准备购进这两种型号的口罩共50 个，其中A 型口罩数量不少于35 个，且不多于B 型口罩的3 倍，有哪几种方案，哪种方案最省钱？
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为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A 港口、B 港口分别运送100 顿和50 顿生活物资，已知该物资在甲仓库存有80 顿，乙库仓存有70 顿，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/顿）如表所示：
⑴设从甲仓库运送到A 港口的物资为x 顿，求总运费y （元）与（顿）之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；
⑵求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．
4
交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连如图，在Rt∆ABC 中，∠ACB = 90︒ ，以AC 为直径作
接DE 并延长交AC 的延长线于点F ．
⑴求证：DE 是O 的切线；
⑵若CF = 2 ，DF = 4 ，求直径的长．
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16、（本小题满分
12 分） ⎪ 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax 2 + bx +1交 y 轴于点 A ，交
x 轴正半轴于点 B (4, 0) ， 与过 A 点的直线相交于另一点 D ⎛ 3, 5 ⎫ ，过点 D 作 DC ⊥x 轴，垂足为 C ． ⎝ 2 ⎭
⑴求抛物线的表达式；
⑵点 P 在线段 OC 上（不与点 O 、 C 重合），过 P 作 PN ⊥x 轴，交直线 AD 于点 M ，交抛物线
于点
N ，连接 CM ，求 ∆PCM 面积的最大值； ⑶若 P 是 x 轴正半轴上的一动点，设 OP 的长为 t ，是否存在 t ，使以点 M 、 C 、 D 、
N 为顶 点的四边形是平行四边形？若存在，求出
t 的值；若不存在，请说明理由．。