高三数学数量积的应用试题答案及解析

高三数学数量积的应用试题答案及解析
1.如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB是在正方形的一条边，是
小正方形的其余各个顶点，则的不同值的个数为（）
A．7B．5C．3D．1
【答案】C
【解析】由数量积的定义知，记为，从图中可看出，对，，对，，对，，故不同值的个数为3，选C.
【考点】向量的数量积及其几何意义．
2.已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则
=
【答案】
【解析】因为所以
【考点】向量数量积及夹角
3.若向量满足：则
A．2B．C．1D．
【答案】B．
【解析】把①代入②得
故选B．
【考点】1.向量垂直的充要条件；2. 平面向量的数量积运算．
4.如图，平行四边形中，，是线段上，且满足，
若为平行四边形内任意一点（含边界），则的最大值为（）
A．13B．0C．8D．5
【解析】建立如图直角坐标系，设，则，
令，如图当过时，，
故选
【考点】数量积；线性规划.
5. [2012·安徽高考]设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝
________.
【答案】
【解析】由题意得a＋c＝(3,3m)，由(a＋c)⊥b，可得(a＋c)·b＝0，即3(m＋1)＋3m＝0，解得
m＝－，则a＝(1，－1)，故|a|＝.
6.（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于_________．
【答案】2
【解析】∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．
∵非零向量=x+y，∴||===，
∴====，
故当=﹣时，取得最大值为2，
故答案为 2．
7.已知点，若为双曲线的右焦点，是该双曲线上且在第一象限的动点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设..所以=.又因为.令，联立消去y可得
.由可得.
【考点】1.双曲线的性质.2.向量的数量积.3.不等式恒成立问题.4.注重限制条件.
8.如右图放置的正方形ABCD，AB＝1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则
的最大值是________．
【解析】令∠OAD＝θ，∵AD＝1，∴OA＝cos θ，OD＝sin θ，∠BAx＝－θ，故x
＝cos θ＋
B
＝sin ＝cos θ，∴＝(cos θ＋sin θ，cos θ)，同理可求得cos ＝cos θ＋sin θ，y
B
C(sin θ，cos θ＋sin θ)，∴＝(sin θ，cos θ＋sin θ)，∴＝(cos θ＋sin θ，cos θ)·(sin θ，cos θ＋sin θ)＝1＋sin 2θ≤2.
9.在平面四边形中，已知，，点分别在边上，且，
，若向量与的夹角为，则的值为 .
【答案】7
【解析】①，②，由，，有，，①×2＋②得，所以
.
【考点】平面向量的数量积..
10.已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，故选C.
【考点】1.平面向量的数量积；2.平面向量模的计算
11.半圆的直径AB＝2, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是 ________________；
【答案】
【解析】因为点O是线段AB的中点，所以向量=.所以=.又因为
向量是互为相反向量.所以=-2=-2=
.所以填.
【考点】1.向量的求和运算.2.向量的数量积.3.最值问题.
12.已知向量则以为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4D．2
【答案】A
【解析】cos,所以，sin，平行四边形的面积为 sin=,故选A.
【考点】1.向量的数量积；2.三角形的面积.
13.已知是边长为的正三角形,为线段的中点,且,则的取值范围
是（）
A．B．C．D．
【解析】由题意作出示意图（可能两种情况），则
.又，.所以，.
所以原式
设，则.
所以原式
.又知，所以，故.故选D.
【考点】向量的数量积、向量的加法与减法
14.已知在中，，，设是的内心，若，则
【答案】
【解析】建立如图所示坐标系，，，设，则，又
，所以（1），同理，，
，（2），根据（1）和（2）得，所以，由，得，解得，所以.
【考点】平面向量及其运算.
15.已知向量，若，则实数 .
【答案】
【解析】因为，由向量加减法的几何意义知，（或将平方得：）
所以
【考点】 1、向量的模长；2、向量的数量积
16.已知平面向量，，满足，，，则=（）
A．2B．3C．4D．6
【解析】由知，，所以，所以，那么
就有.
【考点】平面向量的综合运用.
17.已知是边长为4的正三角形，是内部两点，且满足，
，则的面积为．
【答案】
【解析】以为原点，以的垂直平分线为轴建立如图所示坐标系，由三角形边长为4得，，得，故，又由
，由图可知的面积.
【考点】向量的运算，数形结合的思想.
18.已知向量,若,则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，向量,且,
所以，，即，解得，实数的取值范围是，故选B。

【考点】平面向量的坐标运算、数量积，不等式的解法。

点评：简单题，利用可得x的不等式，进一步解不等式即得。

19.已知向量，向量，且，则实数等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：因为向量，向量，且
选A
20.已知向量，若向量与垂直，则等于
【答案】2
【解析】∵垂直，∴，∴m=2
21.已知向量，则等于（）
A．B．C．25D．5
【答案】D
【解析】由得，所以
22.已知向量
（1）若,求的值；
（2）若求的值；
（3）设，若求的值域．
【答案】（1）
(2)
(3)
=令
【解析】略
23.已知中，且，则的形状为：
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】C
【解析】设BC中点为D，;,即所以
又，所以则等腰直角三角形。

故选C
24.已知向量，
（1）当时，求的取值集合；（2）求函数的单调递增区间
【答案】
【解析】略
25.设是不共线的两个非零向量,己知,若A,B,C三点共线,则p的值为( )
A．1B．2C．-2D．-1
【答案】D
【解析】略
26.）若等腰梯形中，，，，，则的值为A．B．C．D．
【答案】A
【解析】略
27.已知的夹角为则在上的投影为
【答案】1
【解析】直接应用向量投影的概念并正确应用计算即可．
解答：解：根据向量投影的概念，则上的投影===1
故答案为：1
28.设向量、满足，，且与的夹角为，则
【答案】2
【解析】略
29.若向量、b满足向量、b的夹角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解析】本题考查向量数量积的应用。

解答：由，所以
，故夹角为。

30.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
31.设，，则满足条件，的动点P的变化范围（图中阴影部分含边界）是（）
A B C D
【答案】A
【解析】略
32.向量="(1,1)," ="(1,-1)," =(2cos,2sin)(∈R),实数1,2满足1+2=
,则（1+2）2+22的最大值为（）
A．2B．16C．18D．20
【答案】C
【解析】略
33.若向量、的坐标满足，，则·等于
【答案】-5
【解析】略
34.设平面向量,若∥，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】略
35.已知，，且，，
（１）求，；
（２）求（）与的夹角．
【答案】（1）
（2）
【解析】解：(1)
7分
(2) 设的夹角为
∴ 13分
36.设非零向量满足，则与的夹角为（）
30° 60° 90° 120°
【答案】D
【解析】略
37.已知向量满足，且的夹角为135°，的夹角为120°，，则
_____________；
【答案】
【解析】略
38.单位向量与的夹角为，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】略
39.设是夹角为的单位向量，若是单位向量，则的取值范围是（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】略
40.已知向量满足，且的夹角为135°，的夹角为120°，，则_____________；
【答案】
【解析】略
41.已知，且，则向量与向量的夹角是（）
A．30°B．45°C．90°D．135°
【答案】B
【解析】略
42.已知两个单位向量与的夹角为,则的充要条件是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】略
43.已知两个不共线向量则下列说法不正确的是（）
A．B．
C．与在方向上的投影相等D．与的夹角等于
【答案】D
【解析】略
44.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，点A(-l，-2）、B(2，3)、C(-2，-1)。

(Ⅰ)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长：
(Ⅱ)设实数t满足，求t的值。

【答案】(Ⅰ)（方法一）由题设知，则
所以
故所求的两条对角线的长分别为
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：
E为B、C的中点，E (0，1)
又E(O，1)为A、D的中点，所以D(1，4)
故所求的两条对角线的长分别为
(Ⅱ)由题设知：
由，得：
从而5t= -11，所以
或者：，
【解析】略
45.在周长为16的中，，则的取值范围是（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】略
46.已知向量，，若，，，则的值
为 ( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】略
47.已知＝(3,2)，b(－1,2)，(＋λ)⊥，则实数λ＝________.
【答案】－
【解析】略
48.设是两个单位向量，它们的夹角是，则__________【答案】
【解析】略
49.已知向量，，若，则
A．B．
C．1D．3
【答案】D
【解析】由题意得，解得，故选 D。

50.在平面四边形ABCD中，且，那么四边形ABCD为( )
A．平行四边形B．菱形C．长方形D．正方形
【答案】B
【解析】,∴四边形ABCD是平行四边形，,∴对角线AC与BD互相垂直，∴四边形ABCD是平行四边形
51.在则= 。

【答案】
【解析】略
52.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知点其中．
（1）若求证：
（2）若求的值．
【答案】（1）略
（2）
【解析】解：（1）（方法一）
由题设知……………………2分
所以
……………………6分
因为所以故……………………7分
（方法二）
因为所以，故………………2分
因此……………………4分
因为
所以
（2）因为所以
即
解得……………………9分
因为所以
因此……………………12分
从而……14分
53..如图所示，O、A、B是平面上三点，向量在平面 AOB上，P为线段AB
的垂直平分线上任一点，
向量则·（）值是
A. B.5 C.3 D.
【答案】A
【解析】略
54.已知，且，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】略
55.设向量和的长度分别为4和3，夹角为60°，则|+|的值为
A．37B．13C．D．
【答案】C
【解析】略
56.若非零向量满足，则（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】略
57.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知向量，其中且，
（1）当为何值时，；
（2）解关于x的不等式.
【答案】(1)
(2)
当时，不等式的解集为;
【解析】当时，不等式的解集为.解：（1）因为
,…………………………………………………………2分
得，即.……………………………………………………4分
所以，即，∴当时，.………………………………6分
（2）∵，∴，.
所以，即.…………………………………………………10分
当时，，当时，.
综上，当时，不等式的解集为;
当时，不等式的解集为.……………………………………14分
58.设是相互垂直的单位向量，并且向量，如果，那么实数x等于（）
A．B．C．-2D．2
【答案】C
【解析】本题考查向量垂直,向量数量积.
因为是相互垂直的单位向量，所以因为
，如果，则，所以
59.已知向量的夹角为，且,，在ABC中，，D为BC
边的中点，则（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】由题意知：。

60.矩形中，，则＝．
【答案】
【解析】略
61.已知向量，满足，，与的夹角为，则 .
【答案】
【解析】略
62.已知平面向量则的值是。

【答案】
【解析】略
63.若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为
A．300B．600C．1200D．1500
【答案】C
【解析】略
64.若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)满足条件(8—)·=30，则x=
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【解析】考查向量的坐标运算及数量等知识，考查了学生向量的运算能力。

将涉及到的向量用坐标表示出，再利用向量的数量积即求得其中的变量。

，
65.已知向量是互相垂直的单位向量满足，则对任意的实数，
的最小值为
A．5B．7C．12D．13
【答案】C
【解析】略
66.在中，设．
（Ⅰ）求证：为等腰三角形；
（Ⅱ）若且，求的取值范围．
【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为，所以又
所以，所以所以
所以，即，故为等腰三角形.
（Ⅱ）因为，所以，设，因为所以
，所以，所以，，所以
67.有两个向量，今有动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为，设在时刻秒时分别在处，则当时，
秒．
【答案】2
【解析】依题意有，，
由.
68.若平面内不共线的四点满足，则_______．
【答案】
【解析】略
69.已知那么的取值范围是
A．；B．；C．；D．
【答案】C
【解析】略
70.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量
，则△ABC周长的最小值
为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】略
71.已知的外心为则( )
A．8B．4C．2D．1
【答案】B
【解析】略
72.设向量=" " （）
A．3B．C．D．
【答案】C
【解析】略
73.已知，，的夹角为，则___________．
【答案】
【解析】=13，所以．
【考点】向量的数量积．
74.在中，已知，，若点在斜边上，，则
的值为（）
A．48B．24C．12D．6
【答案】B
【解析】，，由于，因此，故答案为B.
【考点】平面向量数量积的运算.
75.若向量a与b的夹角为120，且,c=a+b，则有（）
A．c b B c a c．c//b D．c∥a
【答案】B
【解析】由已知得，故，所以．
【考点】平面向量的数量积．
76.如图在平行四边形中，已知，，则的值是．
【答案】22．
【解析】因为，，所以
，所以，所以应填22．
【考点】1、向量的加减法法则；2、向量数量积的应用．
77.已知过点且斜率为k的直线与圆相交于P、Q两点，则的值为
【答案】7
【解析】过A作圆的一条切线，切点为M,连接AM、AC、CM；由平面向量的数量积定义与切割线定理，得
.
【考点】平面向量的数量积、切割线定理.
78.（本小题满分13分）已知平面向量，，，
，函数.
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）若，求的值.
【答案】，当时，；
当时，
【解析】（Ⅰ）因为，，，
所以，
=.
则=.
则当时，即时，
函数为减函数，.
所以函数的单调递减区间是.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，
则，.
因为，所以.
.
所以当时，；
当时，.
【考点】本题考查二倍角公式，降幂扩角公式，用已知角表示未知角
点评：将原函数化成，才能求单调区间，将用表示，再展开求值
79.（本题12分）
设向量，，函数
（1）求函数的最小正周期。

（2）若，，求的值
【答案】（1）;（2）.
【解析】（1）由向量的数量积的坐标表示得，再根据二倍角的正、余弦公式及两角和的正弦公式可得，由最小正周期即可求得；（2）将代入，可得，再由及的范围求出，又，由两角差的余弦公式可得
，代入即可求得.
试题解析:（1） 2分
4分
所以最正周期 5分
（2）由得： 6分
所以，因为，所以，，
所以 9分
11分 12分
【考点】1、二倍角公式；2、两角和（差）的正、余弦公式.
80.已知，若，则．
【答案】-2
【解析】由题意可知
【考点】本题考查平面向量垂直的充要条件
点评：解决本题的关键是熟练掌握向量垂直的充要条件
81.设平面向量满足，，，那么的夹角____.
【答案】
【解析】，.
【考点】向量的夹角公式.
82.在梯形中，，，为梯形所在平面上一点，且满足
=0，，为边上的一个动点，则的最小值为．
【答案】
【解析】取AB中点M，连DM，则四边形DMBC为平行四边形，DM//CB,
. 由得由得
，的最小值为
【考点】向量数量积
83.已知向量，，设向量满足，则的最大值为．
【答案】
【解析】设，则由题意得，即，所以的最
大值为直径
【考点】向量坐标表示
84.（本小题12分）已知椭圆的两个焦点是和，并且经过点，抛物线的
顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆的右顶点.
（1）求椭圆和抛物线的标准方程；
（2）过点作两条斜率都存在且互相垂直的直线，，交抛物线于点，，交抛物线
于点，，求的最小值.
【答案】（1）椭圆的标准方程为，抛物线的标准方程为；
（2）有最小值.
【解析】（1）由题意得，，从而，即可得椭圆的
标准方程为，∴椭圆右顶点的坐标为，即抛物线的焦点坐标为，∴，，抛物线的标准方程为；
（2）设的方程：，的方程：，，，，，注意到，且它们交于点，∴可将作如下变形：
，这样先将用，，，表示出来，再利用韦达定理用表示，再求其
最小值.
试题解析：（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，则由题意得，
，∴，，∴椭圆的标准方程为，
∴右顶点的坐标为，设抛物线的标准方程为，∴，，∴抛物线
的标准方程为；
（2）设的方程：，的方程：，，，，，由，消去得：，
∴，，，同理，，∴
，
当且仅当，即时，有最小值.
【考点】1.椭圆的标准方程，抛物线的标准方程；2.平面向量的数量积；3.直线与抛物线的位置关系.
85.（本小题共13分）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．（Ⅰ）判断是否具有性质；
（Ⅱ）若，且具有性质，求的值；
（Ⅲ）若具有性质，求证：，且当时，．
【答案】（Ⅰ）具有（Ⅱ）（Ⅲ）详见解析
【解析】（Ⅰ）根据具有性质的定义进行判定：
，
由于
即对任意，存在，使得，所以具有性质. （Ⅱ）由具有性质的定义列等量关系：选取，Y中与垂直的元素必有形式.所以，又从而（Ⅲ）先证明，可取，再根据是X中唯一的负数，可证得命题；利用反证法证明，先设，其中，则.，得出矛盾即可
试题解析：（Ⅰ）具有性质. 2分
（Ⅱ）选取，Y中与垂直的元素必有形式.
所以，从而 5分
（Ⅲ）证明：取.设满足.
由得，所以、异号.
因为是X中唯一的负数，所以、中之一为，另一为，
故. 8分
假设，其中，则.
选取，并设满足，
即，则,异号，从而,之中恰有一个为. 10分
若，则，显然矛盾；
若，则，矛盾.
所以. 13分
【考点】新定义，反证法
86.已知向量满足，且，则与的夹角为 .
【答案】
【解析】，，
所以，．
【考点】向量的数量积与向量的夹角．
87.已知矩形中，，，点是上任意一点，则的取值范围
是．
【答案】
【解析】以点为坐标中心，为轴正半轴，为轴正半轴，建立直角坐标系，则
所以的直线方程为，故设点的坐标为
则
，因为所以，
【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积；3.二次函数的图象和性质.
88.已知两个向量的夹角为且，设两点的中点为点,则的最小值
为．
【答案】1
【解析】设
．．
,当且仅当时取等号．所以的最小值为1．
【考点】1向量的数量积,模长;2余弦定理．
89.如图，△是边长为的等边三角形，是以为圆心，半径为1的圆上的任意一点，则
的取值范围是．
【答案】
【解析】设的中点为，
【考点】向量数量积
90.（本题满分14分）设函数，其中向量，，．（1）求的最小正周期与单调递减区间；
（2）在△中，、、分别是角、、的对边，已知，，△的面积为，求的值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算以及二倍角公式、辅助角公式可得
，故周期，再由，可得单调减区间为
；（2）由，可得，
，由余弦定理可得，再由
，，故
试题解析：（1）
4分
∴函数的最小正周期 5分
令，
解得
∴函数的单调递减区间是 7分
（2）由，得，即
在△中，∵，∴，得 9分
又∵，∴
∴由余弦定理得：，∴ 12分
由，得，
∴ 14分
【考点】三角函数性质及解三角形
91.是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状一定是（）
A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．斜三角形
【答案】C
【解析】由题根据平面向量的数量积运算进行化简结合平面向量有关性质不难判断三角形形状；为等腰三角形．
【考点】平面向量数量积运算
92.（本题满分15分）已知扇形的半径等于1，，是圆弧上的一点．（1）若，求的值．
（2）若，①求满足的条件；②求的取值范围．
【答案】（1）（2）①②．
【解析】（1）由得：，因此将所求向量化为从而（2）①由
平方得：，由于是圆弧上的一点，所以，②由，知（当且仅当或时取“=”）由，
知（当且仅当时取“=”）．于是的取值范围为．
试题解析：解：（1）因为，，
所以，.
3分
5分
（2）由①余弦定理，知， 7分
故，得，所以满足的条件
为 10分
②由，知
（当且仅当或时取“=”） 12分
由，
知（当且仅当时取“=”）． 14分
于是的取值范围为． 15分
【考点】向量数量积，基本不等式
93.已知三点的坐标分别为，且在线段上，，则的最大值为．
【答案】9
【解析】当时
所以的最大值为9
【考点】向量数量积坐标表示
94.设为中线的中点，为边中点，且，若，则
【答案】
【解析】因为所以同理从而
【考点】向量数量积
95.在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，则＝_____________.
【答案】
【解析】
【考点】向量数量积
96.如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则
( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为为等腰直角三角形，，所以，
又因为为斜边的高，所以是的中点，所以
设 ,则
所以，
所以，的最小值为，故选B.
【考点】1、平面向量基本定理；2、平面向量的数量积.
97.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则的取值范围（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为为圆的内接等边三角形，所以
，又因为，所以，故应选.
【考点】1.平面向量的数量积的应用；2.余弦函数的值域；
98.如图，梯形中，，，，若，则
．
【答案】
【解析】，，
，
，，，，．
【考点】向量数量积
99.如图，O为圆心，若圆O的弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值是（）A．1B．8C．－1D．－8
【答案】B
【解析】作于
【考点】1．向量的三角形法则；2．向量的数量积运算
100.已知向量,,实数为大于零的常数，函数,，且函数的最大值为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在中，分别为内角所对的边，若，,且,求
的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用平面向量的数量积得到，再利用二倍角公式及配角公式将化成的形式，再利用最值求值；（2）先求出角，再利用余弦定理和基本不等式求出的最值，最后利用平面向量的数量积进行求解.
试题解析：（Ⅰ）由已知
2分
5分
因为，所以的最大值为，则 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以
化简得
因为，所以
则，解得 8分
因为，所以
则，所以 10分
则
所以的最小值为 12分
【考点】1.平面向量的数量积运算；2.三角函数恒等变形；3.余弦定理；4.基本不等式.。