2020届辽宁省葫芦岛市兴城市高级中学2017级高三一模考试数学(理)试卷参考答案
辽宁省葫芦岛市普通高中2017届高三理综第一次模拟考试试题
辽宁省葫芦岛市普通高中2017届高三第一次模拟考试理科综合试题注意事项：1.本试卷满分300分：考试时间150分钟。
2.本试卷包括两部分，共14页。
其中第二部分第33-38题为选考题，必考题，做选考题时，考生按照题目要求作答。
3.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用2B铅笔涂写在答题卡上，用钢笔写在答题纸上。
4. 用2B铅笔把第一部分的答案涂在答题卡上，用钢笔或者圆珠笔把第二部分的答案写在答题纸上。
5.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na- 23 Mg-24 Al-27 S-32 Cl-35.5 Ca-40 Ti- 48 Fet-56 Ce-140一、选择题：1.下列有关组成生物体化合物的叙述，不正确的是A.麦芽糖的水解产物只有葡萄糖B. DNA和RNA都能携带遗传信息C.细胞膜上载体的合成需要供给氮元素D.种子萌发时自由水与结合水的比值减小2.以下有关细胞结构与功能的叙述中，正确的是A.草履虫吞噬细菌与植物细胞吸收K+的方式相同B.溶酶体内的水解酶能够分解衰老、损伤的细胞器C.原核细胞中的核糖体与真核细胞中的核糖体功能各异D.动物细胞内能形成囊泡的细胞结构只有内质网和髙尔基体3.下面是反馈调节的模式图（“ + ”表示促进，“-”表示抑制)。
以下各项所述与图示模型不符的是A.甲表示种群数量增多，乙表示种内斗争加剧B.甲表示水体污染加剧，乙表示鱼虾死亡数量增多C.甲表示被捕食者数量增多，乙表示捕食者数量增多D.甲表示促甲状腺激素分泌增多，乙表示甲状腺激素分泌增多4.细胞中每时每刻都进行着许多化学反应，我们称之为细胞代谢，以下对一株正常生长发育的绿色植物细胞代谢的叙述，正确的观点是A.光合作用产生的葡萄糖、O2都可用于呼吸作用B光合作用和呼吸作用都是在生物膜上产生ATP的C..有氧呼吸产生的CO2、H2O、ATP都能用于光合作用D.能进行呼吸作用的细胞不一定能进行光合作用，反之亦然5.生物学是一门实验学科，下列有关实验方法与相应的生物学实验课题的叙述错误的是A.萨顿利用“类比推理法”证明了基因在染色体上B.可以利用“差速离心法”分离真核细胞中的各种细胞器C.可以利用“同位素标记法”研究分泌蛋白的合成与分泌路径D.孟德尔利用“假说—演绎法”发现了分离定律和自由组合定律6.下图中a. b、c表示人体细胞的部分生命历程。
2020届辽宁省葫芦岛市高三下学期第一次模拟考试 数学(理)
绝密★启用前2020年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试理科数学注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题，共60分)一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z满足z(1－i)＝2i，则复数z＝A.1－iB.1＋2iC.1＋iD.－1＋i2.设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2－2x－8<0}，则A∪B＝A.{x|－2＜x＜4}B.{x|1≤x＜2}C.{x|－4＜x≤3}D.{x|1≤x＜4}3.已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a//b，则m＝A.－2B.2C.－92D.924.某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有120，150，180，150名高三学生参加某次数学调研考试。
为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案：方案①：从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析；方案②：丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试卷进行分析。
完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是A.分层抽样法、系统抽样法B.分层抽样法、简单随机抽样法C.系统抽样法、分层抽样法D.简单随机抽样法、分层抽样法5.执行如图所示的程序框图，则输出的a值为A.－3B.13C.12D.2 6.某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有6名同学要求改选历史，现历史选修课开有三个班，若每个班至多可再接收3名同学，那么不同的接收方案共有A.150种B.360种C.510种D.512种7.“k ＝0”是“直线y ＝kx －2与圆x 2＋y 2＝2相切”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张(取后不放回)，则在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为A.14B.23C.34D.129.如图一几何体三视图如图所示，则该几何体外接球表面积是A.14πB.27πC.28πD.10π10.函数f(x)＝(211xe -+)sinx 图象的大致形状是11.已知F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若|FM|3a ，记该双曲线的离心率为e ，则e 2＝113+113+23+23+12.关于x 的方程0114t x x t x t -=+-+有四个不同的实数根，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则41322(x x )(x x )-+-的取值范围A.(26＋23，62]B.(43，62)C.(43，26＋23)D.[43，26＋23]第II 卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
辽宁省葫芦岛2020届高三质量检测(一模) 数学(理) 含答案
了如图所示的频率分布直方图。据此估计该校高三学生该门学科成绩的及格率约为 (60 分
以上为及格)，这 200 名学生中成绩在[80，90)中的学生有
名。
14.若 f(x)＋2f( 1 )＝2x＋ 1 对任意非零实数 x 恒成立，则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方
x
x
程为
。
15.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的题目：把 100 个面
-3-
小明同学经训练可知：向 A 靶射击，命中的概率为 4 ，向 B 靶射击，命中的概率为 3 ，假设
5
4
小明同学每次射击的结果相互独立。现对小明同学进行以上三次射击的考核。
(I)求小明同学恰好命中一次的概率；
(II)求小明同学获得总分 X 的分布列及数学期望 E(X)。
19.(本题满分 12 分)
①f(x)的最小正周期为π
③f(x)在区间[－ ， ]上单调递增
44
②f(x)的图象关于直线 x＝ 对称
4
④f(x)的值域为[－2，2]
其中所有正确的编号是
A.②④ B.③④ C.①③④ D.②③
11.圆
C：x2＋y2－10x＋16＝0
上有且仅有两点到双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的一条渐近
已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，AA1＝ 3 ，E 是 BC 的中
点，F 是 A1E 上一点，且 A1F＝3FE。
(I)证明：AF⊥平面 A1BC； (II)求二面角 B－A1E－B1 余弦值的大小。 20.(本题满分 12 分)
已知椭圆
辽宁省葫芦岛市协作校锦州市2020届高三一模考试试题 理科数学【含解析】
故它的最大值为 ，最小值为
当 时， ，
综合可得，函数 的最大值为 ，最小值为 ，故④正确．
故选：C
【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及值域，属于中档题.
11.圆 上有且仅有两点到双曲线 的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查方程组法求函数解析式以及导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
15.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小一份的量为___.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
先由频率直方图得到60分以下的频率，再用对立事件的概率得到60分以上的频率.先通过频率直方图计算 中的频率，再乘以样本容量得到人数.
【详解】由频率直方图知，60分以下的频率为 ，
所以60分以上的频率为 .
因为 中的频率 ，
所以 中的学生有 .
故答案为：(1). (2).
【点睛】本题主要考查样本估计总体中的频率直方图的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14.若 对任意非零实数 恒成立，则曲线 在点 处的切线方程为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据 ，利用方程组法解得 .再利用导数的几何意义求切线方程.
【详解】因为 ，
所以 ，
两式联立解得 .
所以 ， ，
A. B. C. D.
【答案】B
2020年辽宁省葫芦岛市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年辽宁省葫芦岛市高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，z(1+2i)=2−i，则z的虚部为()A. −1B. 1C. iD. 02.已知集合A={x|x2<9}，B={−3,−1,1，3}，则A∪B=()A. {−1,1}B. {x|−3<x<3}C. {−3,−1,1，3}D. {x|−3≤x≤3}3.已知向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(3,m)，a⃗//(a⃗+b⃗ )，则m等于()A. 4B. 3C. −4D. −64.完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是()A. ①简单随机抽样，②系统抽样B. ①分层抽样，②简单随机抽样C. ①系统抽样，②分层抽样D. ①②都用分层抽样5.执行如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x值为()．A. 0B. 1C. 2D. 116.某校高二学生参加社会实践活动，分乘3辆不同的巴士，共有5名带队教师，要求每车至少有一名带队教师，则不同的分配方案有()A. 90种B. 150种C. 180种D. 240种7.已知p：直线y=2x+m与圆x2+y2=1至少有一个公共点，q：m≤√5，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 在5张扑克牌中有3张“红心”和2张“方块”，如果不放回地依次抽取2张牌，则在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为A. 625B. 310C. 35D. 129. 某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是( )A. B.C.D.10. 函数f(x)=(21+e x −1)cosx 的部分图象大致为( )A.B.C.D.11. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，离心率为53，若点F 到双曲线的一条渐近线的距离为4，则双曲线的方程为( )A. x 29−y 216=1 B. x 216−y29=1C. x 225−y216=1 D. x 225−y29=112. 已知关于x 的方程|e 2x −m|=me x 有3个不同的实数解，则m 的取值范围为( )A. (34,94)B. (3,+∞)C. (94,274)D. (274+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 求值：22n−1−C 2n−11⋅22n−2+C 2n−12⋅22n−3+⋯+(−1)2n−2C 2n−12n−2⋅2+(−1)2n−1=______．14. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．15. 已知在数列{a n }中，a 1=2，2n (a n +a n+1)=1，设T n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a n ，b n =3T n −n−1a n，数列{b n }的前n 项和S n =______．16. 关于x 的方程4x +(m −3)2x +1=0有两个不等实根，则m 的取值范围为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 19.设a ∈R ，函数f (x )=cosx (asinx −cosx )+cos 2(π2+x)满足f (−π3)=f (0)(1)求f (x )的单调递减区间；(2)设锐角△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a 2+c 2−b 2a 2+b 2−c 2=c2a−c ，求f (A )的取值范围18. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =BC =2AA 1，∠ABC =90°，D 是BC 的中点． (Ⅰ)求证：A 1B//平面ADC 1； (Ⅱ)求二面角C 1−AD −C 的余弦值；(Ⅲ)试问线段A 1B 1上是否存在点E ，使AE 与DC 1成60°角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．19. 某工厂新研发的一种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下6组数据： 单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件)908483807568(Ⅰ)若90≤x +y <100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X ，求X 的数学期望；(Ⅱ)求y 关于x 的线性回归方程，并用回归方程预测在今后的销售中，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入−成本)附：线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中系数计算公式：b ̂=i −x )( y i −y )ni=1∑( x −x )2n ，a ̂=y −b ̂ x ，其中x 、y 表示样本均值．∑(x i −x )2n i=1=0.7,∑(x i −x )n i=1(y i −y )=−14.20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为e =√22，过焦点且垂直于长轴的弦长为√2． (Ⅰ)求椭圆C 的方程：(Ⅱ)斜率为k 的真线l 经过椭圆C 的右焦点F 且与椭圆交于不同的两点A ，B 设FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ λ∈(−2,−1)，求直线l 斜率k 的取值范围．21. 已知函数f(x)=ae x x+bx −1在x =1处的切线方程是y =x +e −3．(1)求a ，b 的值;(2)若对任意x >0，都有f(x)>mln(x +1)恒成立，求实数m 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A ，B 为曲线C 上两点(均不与O 重合)，且满足∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23.已知函数f(x)=2m−|2x−1|，m∈R，且f(x+12)≥0的解集为{x|−1≤x≤1}．(1)求m的值；(2、)若a，b，c都为正数，且1a +12b+14c=m，证明：a+2b+4c≥9．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的除法运算化简，则答案可求．解：z=2−i1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i，则复数的虚部为−1，故选A．2.答案：D解析：本题考查集合的并集运算，先确定集合A，再求并集即可．解：由题知A={x|x2<9}={x|−3<x<3}，因B={−3,−1,1，3}∴A∪B={x|−3≤x≤3}.故选D．3.答案：D解析：解：∵a⃗=(−1,2)，b⃗ =(3,m)，∴a⃗+b⃗ =(2,2+m)，∵a⃗//(a⃗+b⃗ )，∴−1×(2+m)=2×2，解得，m=−6．故选D．利用向量的坐标运算，和向量平行的坐标满足的条件，问题得以解决．本题考查了向量共线定理，属于基础题．4.答案：B解析：本题考查的知识点是收集数据的方法．由于①中，社区各个家庭收入差别较大，故要用分层抽样，而②中总体和样本容量较小，且无明显差别，可用随机抽样．解：∵社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响， 而社区中各个家庭收入差别明显， 所以①用分层抽样法，而要从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况的调查中，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小， 所以②用随机抽样法， 故选：B ．5.答案：C解析：由题意得，共循环3次，∴2[2(2x +1)+1]+1=23．解得x =2，故选C ．6.答案：B解析：解：根据题意，分2步进行分析： ①、将5名带队教师分成3组， 若分成1−2−2的三组：有C 52C 32C 11A 22=15种分组方法， 若分成1−1−3的三组：有C 53C 21C 11A 22=10种分组方法，则一共有15+10=25种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应到3辆不同的巴士，有A 33=6种不同的情况， 则有25×6=150种不同的分配方案； 故选：B ．根据题意，分2步进行分析：①、将5名带队教师分成3组，分2种分组方法进行讨论，②、将分好的三组全排列，对应到3辆不同的巴士，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，注意要先将教师分为3组，再进行排列，对应到3辆不同的巴士．7.答案：A解析：解：p：直线y=2x+m与圆x2+y2=1至少有一个公共点，∴√22+(−1)2≤1，解得−√5≤m≤√5．q：m≤√5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．p：直线y=2x+m与圆x2+y2=1至少有一个公共点，可得22≤1，解得m范围即可得出结论．本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，属于基础题．8.答案：D解析：本题考查的知识点是独立事件，分析出基本事件总数和满足条件的事件个数是解答的关键，但本题易受到第一次抽到理科题的影响而出错．属于中档题．由已知5张扑克牌中如果不放回地依次抽取2张牌．则在第一次抽到“红心”的条件下，剩余4张牌中，有2张“方块”，代入古典概型公式，得到概率．解：因为5张扑克牌中有3张“红心”和2张“方块”，则在第一次抽到“红心”的条件下，剩余4张牌中，有2张“方块”，所以在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为P=24=12．故选D．9.答案：B 解析：本题考查三视图及球的面积，解题关键是还原三视图，得原几何体，找出其外接球的球心和半径．解：由三视图知，该几何体是三棱锥，如图，AB⊥平面BCD，AB=2，BC=BD=2，设球半径为R，则R=√213，外接球表面积为．故选B．10.答案：B解析：解：函数f(x)=(21+e x −1)cosx=1−e x1+e x⋅cosx，可知：f(−x)=1−e −x1+e cos(−x)=−e x−1e+1⋅cosx=−f(x)，函数是奇函数．排除A、C，当x∈(0,π2)时，f(x)<0，排除D，故选：B．判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊点的位置判断即可．本题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性与特殊点位置是判断函数的图形的常用方法．11.答案：A解析：本题主要考查双曲线的性质及几何意义，属于基础题．解：双曲线的渐近线方程为y=±ba x，则点F到双曲线的一条渐近线的距离为√a2+b2=4，且离心率为ca =53，联立bc√a2+b2=4ca=53，解得a=3，b=4，所以双曲线的方程为x29−y216=1，故选A．12.答案：D解析：解：设t=e x，则t>0，①当m≤0时，显然|t2−m|=mt无解，②当m>0时，关于x的方程|e2x−m|=me x有3个不同的实数解等价于|t2−m|=mt有3个不同的实数解，由图可知：m−t2=mt在(0,√m)上有两个不等实根，设g(t)=t2+mt−m，x∈(0,√m)，g′(x)=2t−mt2，令g′(x)=2t−mt2=0，解得：t=3m2，即y=g(t)在(0,3m2)为减函数，在(3m2,√m)为增函数，又g(√m)=√m>0，由题意有m−t2=mt在(0,√m)上有两个不等实根，等价于g(3m2)<0，解得：m>274，故选：D．由数形结合的数学思想方法得：设t=e x，则t>0，①当m≤0时，显然|t2−m|=mt无解，②当m>0时，关于x 的方程|e 2x −m|=m e x 有3个不同的实数解等价于|t 2−m|=m t 有3个不同的实数解，再利用导数研究函数g(t)=t 2+m t −m ，x ∈(0,√m)，的单调性及最值，由m −t 2=m t 在(0,√m)上有两个不等实根，等价于g(3m 2)<0，解得即可．本题考查了数形结合的数学思想方法、利用导数研究函数的单调性及最值，属难度较大的题型． 13.答案：1解析：根据题意，由二项式定理可得22n−1−C 2n−11⋅22n−2+C 2n−12⋅22n−3+⋯+(−1)2n−2C 2n−12n−2⋅2+(−1)2n−1=(2−1)2n−1，计算可得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式．解：根据题意，22n−1−C 2n−11⋅22n−2+C 2n−12⋅22n−3+⋯+(−1)2n−2C 2n−12n−2⋅2+(−1)2n−1=(2−1)2n−1=1．故答案为1．14.答案：[0,5)解析：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l ：2x −y =0，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最大，联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)，即z的取值范围是[0,5)．故答案为：[0,5)．15.答案：2n+1−2解析：解：由题意可知因为T n=a1+2a2+⋯+2n−1a n，所以2T n=2a1+22a2+⋯+2n a n，两式相加3T n=a1+2(a1+a2)+22(a1+a2)+⋯+2n−1(a n−1+a n)+2n a n=2+2×12+22×122+⋯+2n−1×12n−1+2n a n=2+(n−1)×1+2n a n=n+1+2n a n所以b n=2n，从而S n=2(1−2n)1−2=2n+1−2．故答案为：22n+1−2．先根据条件求出数列{b n}的通项公式，再根据通项公式的特点确定求和的方法．本题考查由递推式式求数列的通项公式以及等比数列的前n项和公式，解题的关键对条件的分组转化，难度较大．16.答案：(−∞,1)解析：解：设2x=t，将原方程化成t2+(m−3)t+1=0，根据题意知，此方程有两个不等正实根，故满足△=(m−3)2−4>0，x1+x2=−m+3>0，x1x2=1>0．解出得m<1；故答案为：(−∞,1)设2x=t，将原方程化成t2+(m−3)t+1=0，根据韦达定理(一元二次方程根与系数的关系)我们可以求出参数m的范围．本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了等价转化思想，属于基础题．17.答案：解：(1)f(x)=cosx(asinx−cosx)+cos2(π2−x)=a2sin2x−cos2x，由f(−π3)=f(0)得：−√3a4+12=−1，∴a=2√3．∴f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，由2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+32π得：kπ+π3≤x≤kπ+56π，k∈Z∴f(x)的单调递减区间为：[kπ+π3,kπ+56π]．(2)∵a2+c2−b2a+b−c =c2a−c，由余弦定理得：2accosB2abcosC =ccosBbcosC=c2a−c，即2acosB−ccosB=bcosC，由正弦定理得：2sinAcosB−sinCcosB=sinBcosC，2sinAcosB=sin(B+C)=sinA，即cosB=12，∴B=π3∵△ABC锐角三角形，∴π6<A<π2，π6<2A−π6<5π6，∴f(A)=2sin(2A−π6)的取值范围为(1,2]．解析：(1)根据三角函数的公式将f(x)进行化简，然后求函数的单调递减区间；(2)根据余弦定理将条件进行化简，即可得到f(A)的取值范围．18.答案：(Ⅰ)证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC−A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，所以A1B//OD，因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B//平面ADC1．(Ⅱ)解：由ABC−A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB1两两垂直．如图，以BC，BA，BB1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系B−xyz．设BA =2，则B(0,0，0)，C(2,0，0)，A(0,2，0)，C 1(2,0，1)，D(1,0，0)．所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,1)，设平面ADC 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则有{n ⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以 {x −2y =02x −2y +z =0.取y =1，得n ⃗ =(2,1，−2)． 平面ADC 的法向量为v⃗ =(0,0，1)． 由二面角C 1−AD −C 是锐角，得 |cos <n ⃗ ,v ⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅v ⃗ ||n ⃗⃗ ||v ⃗ |=23． 所以二面角C 1−AD −C 的余弦值为23．(Ⅲ)解：假设存在满足条件的点E ．因为E 在线段A 1B 1上，A 1(0,2，1)，B 1(0,0，1)，故可设E(0,λ,1)，其中0≤λ≤2．所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,λ−2,1)，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)．因为AE 与DC 1成60°角，所以|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AE ⃗⃗⃗⃗⃗||DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12． 即√(λ−2)2+1·√2=12，解得λ=1，舍去λ=3．所以当点E 为线段A 1B 1中点时，AE 与DC 1成60°角．解析：本题考查线面平行，考查面面角，考查存在性问题的探究，属于中档题．(Ⅰ)利用线面平行的判定定理，只要证明 A 1B//OD 即可；(Ⅱ)可判断BA ，BC ，BB 1两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面ADC 1的法向量、平面ADC 的法向量，利用向量数量积可求二面角C 1−AD −C 的余弦值；(Ⅲ)假设存在满足条件的点E ，根据AE 与DC 1成60°角，利用向量的数量积，可得结论． 19.答案：解：(Ⅰ)X 的可能取值为0，1，2；满足90≤x +y <100的有3组，所以P(X =0)=C 32C 62=15， P(X =1)=C 31⋅C 31C 62=35，P(X =2)=C 32C 62=15； X 的分布列为：数学期望为EX =0×15+1×35+2×15=1；(Ⅱ)因为x =8.5，y =80，∑(6i=1x i −x)2=0.7，∑(6i=1x i −x)(y i −y)=−14；所以b ∧=−140.7=−20，a ∧=y −b ∧x =250； y 关于x 的线性回归方程是y ∧=−20x +250，利润函数L(x)=x(−20x +250)−4(−20x +250)=−20x 2+330x −1000；当x =−3302×(−20)=8.25时，L(x)取得最大值361.25；故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．解析：本题考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题，也考查了线性回归方程的求法以及二次函数的最值问题，是综合性题目．(Ⅰ)根据题意，得出X 的可能取值，计算对应的概率值，写出X 的分布列与数学期望EX ；(Ⅱ)计算x 、y ，求出b̂、a ̂，写出y 关于x 的线性回归方程，得出利润函数L(x)的解析式，利用二次函数的性质求出L(x)的最大值与对应x 的值．20.答案：解：(Ⅰ)∵离心率为e =√22，∴a =√2c ， 又∵a 2−b 2=c 2，∴b =c ，∵过焦点且垂直于长轴的弦长为√2，∴2b 2a =2√2b =√2b =√2，∴b =1，a =√2，∴椭圆C 的方程为：x 22+y 2=1；(Ⅱ)根据题意，设直线l 的方程为：y =k(x −1)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程{x 22+y 2=1y =k(x −1)，消去x ，得(1+2k 2)y 2+2ky −k 2=0，根据韦达定理，得y 1+y 2=−2k 1+2k 2，y 1+y 2=−k 21+2k 2， ∵FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴y 1=λy 2，∴(y 1+y 2)2y 1y 2=λ+1λ+2=−41+2k 2， ∵λ+1λ+2在(−2,−1)上位增函数，∴λ+1λ+2∈(−12,0)， 解不等式−12<−41+2k 2<0，得k >√142或k <−√142， ∴所求直线l 斜率k 的取值范围为：k >√142或k <−√142．解析：本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量共线，函数的单调性，解不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．(Ⅰ)通过离心率为e ，及a 2−b 2=c 2，可知b =c ，再利用过焦点且垂直于长轴的弦长为√2，可得b =1，a =√2，从而可得椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 的方程为：y =k(x −1)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理及FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得y 1=λy 2，通过化简，解不等式−12<−41+2k 2<0即可． 21.答案：解：(1)由函数f(x)在x =1处的切线方程是y =x +e −3可知，f(1)=e −2，f′(1)=1，因为f(x)=ae x x +b x −1，f′(x)=axe x −ae x x −b x ，所以f(1)=ae +b −1，f′(1)=−b ，所以{ae +b −1=e −2,−b =1,得{a =1b =−1.(2)由(1)知f(x)=e x x −1x −1． 若对任意x >0，都有f(x)>mln(x +1)恒成立，则对任意x >0，都有e x x −1x −1>mln(x +1)恒成立， 化简得e x −x −1−mxln(x +1)>0．令g(x)=e x −x −1−mxln(x +1)，所以对任意x >0，都有g(x)>0．可知g′(x)=e x −1−mln(x +1)−mx x+1，令ℎ(x)=e x −1−mln(x +1)−mx x+1，则ℎ′(x)=e x −m[1x+1+1(x+1)2].当m ≤0，x >0时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上是增函数，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即当x >0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)上是增函数，所以g(x)>g(0)=0，符合题意．当m >0，x >0时，可知ℎ′(x)在(0,+∞)上是增函数，所以ℎ′(x)>ℎ′(0)=1−2m ．若0<m ≤12，则ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上是增函数，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即当x >0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)上是增函数，所以g(x)>g(0)=0，符合题意．若m >12，令ℎ′(x)<0，则e x <m[1x+1+1(x+1)2].因为x >0，所以e x >1，于是有1<m[1x+1+1(x+1)2]，即x 2+(2−m)x +1−2m <0，得m−2−√m2+4m 2<x <m−2+√m 2+4m 2．因为m >12，所以m−2−√m2+4m 2<0，m−2+√m 2+4m 2>0，又x >0，所以0<x <m−2+√m2+4m 2，即ℎ(x)在(0,m−2+√m2+4m 2)上是减函数，所以当x ∈(0,m−2+√m2+4m 2)时，ℎ(x)<ℎ(0)=0，即g′(x)<0， 所以g(x)在(0,m−2+√m 2+4m 2)上是减函数， 所以当x ∈(0,m−2+√m2+4m 2)时，g(x)<g(0)=0，与g(x)>0矛盾，不符合题意．故实数m 的取值范围是(−∞,12].解析：本题考查函数的单调性、导数的几何意义及不等式恒成立问题，考查逻辑思维能力、运算求解能力，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．(1)由切线方程求出f(1)及f′(1)，由函数解析式求出函数在x =1处的函数值及导数值，即可求出a ，b 的值;(2)将问题转化为对任意x >0，都有e x −x −1−mxln(x +1)>0恒成立，构造函数，利用函数的单调性求解．22.答案：解：(I)曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，整理得x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ．(II)设A(ρ1,θ)，则B(ρ2,θ+π3)，故ρ1=2sinθ，ρ2=2sin(θ+π3)，所以|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2sinθ+2sin(θ+π3)=2√3sin(θ+π6)．当θ=π3时，|OA|+|OB|的最大值为2√3．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．(Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)由f(x+12)≥0得2m−|2x|≥0得−m≤x≤m，因为f(x+12)≥0的解集为{x|−1≤x≤1}，所以m=1．(2)证明：由(1)得1a +12b+14c=1，所以a+2b+4c=(1a +12b+14c)(a+2b+4c)=1+1+1+(2ba+a2b)+(4ca+a4c)+(4c2b+2b4c)≥3+2+2+2=9．当且仅当a=2b=4c时取等号，所以a+2b+4c≥9成立．解析：本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式的运用，考查推理论证能力，属于基础题．(1)由f(x+12)≥0得−m≤x≤m，结合题意可得m=1；(2)由(1)得1a +12b+14c=1，再利用基本不等式直接求证即可．。
辽宁省葫芦岛市2017-2018学年高三一模数学(理)试卷 Word版含解析
辽宁省葫芦岛市2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若P={y|y=|x|}，Q={x|﹣≤x≤}，则P∩Q=( )A．（0，）B．{（1，1），（﹣1，﹣1）} C．[0，]D．（﹣，）2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z=( )A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i3．单位向量与的夹角为，则=( )A．B．1 C．D．24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是( )A．B．C．D．35．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形区域的A处于C处各有一个通信基站，其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域．该正方形区域内无其它信号来源且这两个基站工作正常，若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为( )A．B．1﹣C．D．1﹣6．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A．B．C．D．7．运行如图所示的程序，则运行后输出的结果为( )A．7 B．9 C．10 D．118．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( )A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=29．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=( )A．5 B．6 C．7 D．810．抛物线C1：y2=4x，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右焦点，则2a+b的最大值为( )A．B．5 C．D．211．如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为( )A．3B．C．D．312．若对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使4x1lnx1﹣x12+3+4x1x22+8ax1x2﹣16x1≥0成立，则a 的取值范围是( )A．[﹣，+∞）B．[，+∞）C．[﹣，]D．[﹣∞，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式中x2y2的系数为__________．（用数字作答）14．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R则f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为__________．15．函数f（x）=log0.5（x2﹣4）的单调增区间为__________．16．给出如下四个结论：①若随机变量ξ服从正态分布N（1，δ2）且P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤﹣2）=0.16；②∃a∈R*，使得f（x）=﹣a有三个零点；③设直线回归方程为=3﹣2x，则变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位；④若p：∀x∈R，e x＞x+1，则￢p为真；以上四个结论正确的是__________（把你认为正确的结论都填上）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a4+a8=22．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n；（2）令b n=，求证：b1+b2+…b n＜．18．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足．（1）求证：BF⊥AC；（2）如果圆柱与三棱锥A﹣BCE的体积比等于3π，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．19．为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2014-2015学年高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生500名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240]，得到频率分布直方图如图所示．已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人；（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：利用时间充分利用时间不充分总计走读生住宿生10总计据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？（3）若在第①组、第②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望；参考公式：K2=．20．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，﹣），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．21．已知f（x）=，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0．（1）求a，b的值；（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围；（3）已知=1.732，试估算ln的近似值（精确到0.01）．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（θ为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin （θ+）=（其中t为常数）．（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；（2）当t=﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|．（1）解不等式f（x）＞5；（2）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．辽宁省葫芦岛市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若P={y|y=|x|}，Q={x|﹣≤x≤}，则P∩Q=( )A．（0，）B．{（1，1），（﹣1，﹣1）} C．[0，] D．（﹣，）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出P中y的范围确定出P，找出P与Q的交集即可．解答：解：由P中y=|x|≥0，得到P=[0，+∞），∵Q=[﹣，]，∴P∩Q=[0，]，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z=( )A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乗1﹣2i，化简即可．解答：解：∵（1+2i）z=4+3i，∴（1﹣2i）（1+2i）z=（4+3i）（1﹣2i）5z=10﹣5i，z=2﹣i，故选B．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．单位向量与的夹角为，则=( )A．B．1 C．D．2考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由||=||=1，与的夹角为60°，故，，，又由=，代入即可得到答案．解答：解：∵向量与为单位向量，且向量与的夹角为，∴，，∴===1﹣1+1=1∴=1故选B点评：向量的数量积运算中，要熟练掌握如下性质：==，4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是( )A．B．C．D．3考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．解答：解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．∴S△ABC==．故选：C．点评：本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，2015届高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．5．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形区域的A处于C处各有一个通信基站，其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域．该正方形区域内无其它信号来源且这两个基站工作正常，若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为( )A．B．1﹣C．D．1﹣考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：求出有信号的区域面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．解答：解：信号覆盖范围为阴影区域，其面积之和2=2，则该地点无信号的面积S=e2﹣2，则对应的概率P==1﹣；故选：B．点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，平面图形面积的计算，根据条件求出对应的面积是解决本题的关键．6．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A．B．C．D．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角．专题：综合题；压轴题；空间角；空间向量及应用．分析：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．解答：解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故选A．点评：本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．7．运行如图所示的程序，则运行后输出的结果为( )A．7 B．9 C．10 D．11考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：第1次执行循环体后，i=1，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第2次执行循环体后，i=2，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第3次执行循环体后，i=3，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第4次执行循环体后，i=4，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第5次执行循环体后，i=5，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第6次执行循环体后，i=6，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第7次执行循环体后，i=7，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第8次执行循环体后，i=8，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第9次执行循环体后，i=9，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第10次执行循环体后，i=10，S=lg，满足S＜﹣1，故输出的i值为10，故选：C点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( )A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2考点：圆的标准方程．分析：圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．解答：解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选B．点评：一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=( )A．5 B．6 C．7 D．8考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．10．抛物线C1：y2=4x，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右焦点，则2a+b的最大值为( )A．B．5 C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点（1，0），即有c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．解答：解：抛物线C1：y2=4x的焦点为（1，0），即有双曲线的c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），则2a+b=2cosα+sinα=（cosα+sinα）=sin（α+θ）（其中tanθ=2，θ为锐角），当α+θ=时，2a+b取得最大值，且为．故选A．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系，运用三角换元和正弦函数的值域是解题的关键．11．如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为( )A．3B．C．D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥，画出它的直观图，求出各条棱长即可．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是三棱锥P﹣ABC，如图所示；PA=4，AB=3+2=5，C到AB中点D的距离为CD=3，∴PB===，AC===，BC==，PC===，∴PB最长，长度为．故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征是什么．12．若对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使4x1lnx1﹣x12+3+4x1x22+8ax1x2﹣16x1≥0成立，则a 的取值范围是( )A．[﹣，+∞）B．[，+∞）C．[﹣，]D．[﹣∞，]考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：由x1＞0，4x1lnx1﹣x12+3+4x1x22+8ax1x2﹣16x1≥0化为≥，令f（x）=，x∈（0，2]，利用导数可得其最大值．令g（x）=8ax+4x2，x∈[1，2]，则对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使4x1lnx1﹣x12+3+4x1x22+8ax1x2﹣16x1≥0成立⇔g（x）max≥f（x）max．再利用导数可得g（x）的最大值，即可得出．解答：解：∵x1＞0，∴4x1lnx1﹣x12+3+4x1x22+8ax1x2﹣16x1≥0化为≥，令f（x）=，x∈（0，2]，f′（x）==，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=14．令g（x）=8ax+4x2，x∈[1，2]，∵对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使4x1lnx1﹣x12+3+4x1x22+8ax1x2﹣16x1≥0成立，∴g（x）max≥f（x）max．g′（x）=8a+8x=8（x+a），①当a≥﹣1时，g′（x）≥0，函数g（x）单调递增，∴当x=2时，g（x）取得最大值，g（x）=16a+16．由16a+16≥14，解得，满足条件．②当﹣2＜a＜﹣1时，g′（x）=8[x﹣（﹣a）]，可得当x=﹣a时，g（x）取得最小值，g（2）=16+16a≤0，g（1）=4+8a≤0，舍去．③当a≤﹣2时，经过验证，也不符合条件，舍去．综上可得：a的取值范围是．故选：A．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式中x2y2的系数为70．（用数字作答）考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．解答：解：的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r ••=•（﹣1）r••，令8﹣=﹣4=2，求得r=4，故展开式中x2y2的系数为=70，故答案为：70．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R则f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为、﹣．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），又x∈[﹣，]，可得2x﹣∈[﹣，]，根据正弦函数的性质即可得解．解答：解：∵f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+=cosx（sinx+cosx）﹣cos2x+=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+=sin2x﹣×+=sin（2x﹣），又∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=﹣，即x=﹣时，f（x）min=﹣，当2x﹣=，即x=时，f（x）min=，故答案为：、﹣．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值的解法，属于基本知识的考查．15．函数f（x）=log0.5（x2﹣4）的单调增区间为（﹣∞，﹣2）．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：求函数的定义域，根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．解答：解：由x2﹣4＞0得x＞2或x＜﹣2，设t=x2﹣4，则y=log0.5t为减函数，要求函数f（x）的递增区间，即求函数t=x2﹣4的递减区间，∵函数t=x2﹣4的递减区间为（﹣∞，﹣2），∴函数f（x）=log0.5（x2﹣4）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），故答案为：（﹣∞，﹣2）点评：本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．16．给出如下四个结论：①若随机变量ξ服从正态分布N（1，δ2）且P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤﹣2）=0.16；②∃a∈R*，使得f（x）=﹣a有三个零点；③设直线回归方程为=3﹣2x，则变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位；④若p：∀x∈R，e x＞x+1，则￢p为真；以上四个结论正确的是①②③④（把你认为正确的结论都填上）．考点：的真假判断与应用．专题：综合题；推理和证明．分析：①根据随机变量X服从正态分布N（1，ς2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=1，根据正态曲线的特点，得到P（ξ≤﹣2）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4），得到结果．②令g（x）=，确定其单调性，可得g（2）＜0，g（﹣1）＞0，即可得出结论；③回归直线方程中x的系数为正值时y随x的增加而增加（平均），x的系数为负值时y随x的增加而减少（平均）；④￢p：∃x∈R，e x≤x+1，比如x=0时成立．解答：解：①∵随机变量X服从正态分布N（1，ς2），μ=1，∴P（ξ≤﹣2）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4）=0.16．故正确；②令g（x）=，则g′（x）=，函数在（﹣∞，﹣1）、（2，+∞）上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减，又g（2）＜0，g（﹣1）＞0，故∃a∈R*，使得f（x）=﹣a有三个零点，正确；③由方程y=3﹣2x得，变量x增加1个单位时，y平均减少2个单位，正确．④若p：∀x∈R，e x＞x+1，则￢p：∃x∈R，e x≤x+1，比如x=0时成立，故为真．故答案为：①②③④点评：本题考查正态分布，考查了回归直线方程的应用，考查的否定，知识综合性强．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a4+a8=22．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n；（2）令b n=，求证：b1+b2+…b n＜．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知求出等差数列的首项和公差，代入等差数列的通项公式和前n项和得答案；（2）把等差数列的前n项和代入b n=，列项和求出b1+b2+…b n，放缩后得答案．解答：（1）解：由a4+a8=22得：a6=11，又a3=5，∴d=2，则a1=a3﹣2d=1．∴a n=2n﹣1；S n=═n2 ；（2）证明：b n===，当n=1时，b1=，原不等式成立；当n≥2时，b1+b2+…+b n==＜=．∴b1+b2+…+b n＜．点评：本题考查了等差数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．18．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足．（1）求证：BF⊥AC；（2）如果圆柱与三棱锥A﹣BCE的体积比等于3π，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）利用线面垂直的性质可得：AB⊥CE，利用圆的性质可得BE⊥CE，于是CE⊥平面ABE，可得CE⊥BF，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r；利用圆柱与三棱锥A﹣BCE的体积比等于3π，可得BE•EC=2r2，BE2+CE2=4r2，解得：BE=EC=r．分别以EB、EC所在直线为x轴、y轴，E为坐标原点，建立如图所示坐标系；利用线面垂直的性质分别求出平面BAC的法向量，平面CAE的法向量为，利用向量夹角公式即可得出．解答：（1）证明：∵AB⊥平面BEC，CE⊂平面BEC，∴AB⊥CE，∵BC为圆的直径，∴BE⊥CE，∵BE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，BE∩AB=B．∴CE⊥平面ABE，∵BF⊂平面ABE，∴CE⊥BF，又BF⊥AE，且CE∩AE=E，∴BF⊥平面AEC，又AC⊂平面AEC，∴BF⊥AC．（2）设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r；V圆柱=πr2•2r=2πr3．V A﹣BEC=BE•EC•2r=•BE•EC•r由题意：圆柱与三棱锥A﹣BCE的体积比等于3π，∴BE•EC=2r2，BE2+CE2=4r2，解得：BE=EC=r．分别以EB、EC所在直线为x轴、y轴，E为坐标原点，建立如图所示坐标系；则E（0，0，0），B（r，0，0），C（0，r，0），A（r，0，2r），=（0，0，2r），=（﹣r，r，﹣2r），=（0，r，0），=（r，0，2r），设平面BAC的法向量为=（x1，y1，z1），则由⊥，⊥得：==0，即：﹣r（x1﹣y1+2z1）=0，2rz1=0，取y1=1得：x1=1，z1=0，=（1，1，0）．设平面CAE的法向量为=（x2，y2，z2），则由，得：==0 即，取z2=1，解得：y2=0，x2=﹣1，∴=（﹣，0，1）．∴==﹣33由图形可知：二面角B﹣AC﹣E为锐二面角，∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为33．点评：本题考查了圆柱的性质、线面垂直判定与性质定理、圆的性质、勾股定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2014-2015学年高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生500名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240]，得到频率分布直方图如图所示．已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人；（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：利用时间充分利用时间不充分总计走读生住宿生10总计据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？（3）若在第①组、第②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望；参考公式：K2=．考点：频率分布直方图；独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）根据频率直方图，利用频率=，求出样本容量n，以及第④组的频率和，补全频率分布直方图即可；（2）由频率分布直方图，计算抽取的“走读生”以及利用时间不充分的人数，利用2×2列联表，计算K2的值，即可得出正确的判断；（3）求出X的所有可能取值以及对应的概率，求出X的分布列与数学期望值．解答：解：（1）设第i组的频率为P i（i=1，2，…，8），由图可知：P1=×30=，P2=×30=；∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2=；由题意：n×=5，∴n=100；…又P3=×30=，P5=×30=，P6=×30=，P7=×30=，P8=×30=；∴P4=1﹣（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=；∴第④组的高度为：h=×==；补全频率分布直方图如图所示：（注：未标明高度1/250扣1分）…（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，从而2×2列联表如下：利用时间充分利用时间不充分总计走读生30 15 45住宿生45 10 55总计75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得；…K2==≈3.030；因为3.030＜3.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关；…（3）由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑧组5，总计10人，则X的所有可能取值为0，1，2，3；∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；…∴X的分布列为：X 0 1 2 3P∴EX=0×+1×+2×+3×==；…（或由超几何分布的期望计算公式EX=n×=3×=）．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了2×2列联表的应用问题，考查了离散型随机事件的分布列与数学期望的计算问题，考查了计算能力的应用问题，是综合性题目．20．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，﹣），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：对第（1）问，由离心率得a与c的等量关系，由椭圆的通径长为，得a与b有等量关系，结合c2=a2﹣b2，消去c，即得a2，b2，从而得椭圆C的标准方程．对第（2）问，联立直线l与椭圆C的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为G（x0，y0），由韦达定理及中点公式，得x0及y0的表达式，用k，t表示直线MN的垂直平分线的方程，将P点坐标（0，﹣）代入，得k与t的等量关系．由弦长公式，得|MN|，由点到直线距离公式，得△MON底边MN上的高，从而得△MON面积的表达式，即可探求其面积的最大值．解答：解：（1）设F（﹣c，0），由离心率知，a2=3c2=3（a2﹣b2），得3b2=2a2．…①易知，过F且与x轴垂直的直线方程为x=﹣c，代入椭圆方程中，得，解得y=±由题意，得，得．…②联立①、②，得，b2=2，故椭圆C的方程为．（2）由，消去y，整理，得（3k2+2）x2+6ktx+3t2﹣6=0，…③有△=24（3k2+2﹣t2）＞0，得3k2+2＞t2，…④设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为G（x0，y0），由韦达定理，得x1+x2=，，则x0=，，∴线段MN的垂直平分线方程为：y﹣=﹣（x+），将P点的坐标（0，﹣）代入上式中，得﹣﹣=﹣（0+），化简得：3k2+2=4t，代入④式中，有4t＞t2，得0＜t＜4．|MN|===．设原点O到直线MN的距离为d，则，∴S△MON=•|MN|•d=•．==，当t=2时，S△MON有最大值，此时，由3k2+2=4t知，k=±，∴△MON面积的最大值为，此时直线l的方程为y=±x+2．点评：本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：1．确定椭圆的标准方程，关键是确定a2，b2的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三个独立的方程，注意隐含条件“a2=b2+c2”运用．2．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．21．已知f（x）=，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0．（1）求a，b的值；（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围；（3）已知=1.732，试估算ln的近似值（精确到0.01）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出函数f（x）的导数，由切线方程可得切线的斜率和切点，解方程可得a，b 的值；（2）求出f（x）的解析式，由g（x）≤mf（x）得2lnx≤m（x﹣），即2lnx﹣m（x﹣）≤0，令ϕ（x）=2lnx﹣m（x﹣），对m讨论，①当m=0时，②当m≤﹣1时，③当﹣1＜m＜0时，④当0＜m＜1时，⑤当m≥1时，讨论函数的单调性，即可判断；（3）对任意的k＞1，ϕ（k）=2lnk﹣m（k﹣），由（2）知，当m=1时，ϕ（k）=2lnk﹣k+＜0恒成立，以及由（2）④知当0＜m＜1时，得到的结论，取k=，代入计算即可得到所求近似值．解答：解：（1）f（x）=ax+，f′（x）=a﹣，由于f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0，则f′（1）=2，f（1）=0即a﹣b=2，a+b=0，解得a=1，b=﹣1；（2）f（x）=x﹣，由g（x）≤mf（x）得2lnx≤m（x﹣），即2lnx﹣m（x﹣）≤0，令ϕ（x）=2lnx﹣m（x﹣）则ϕ′（x）=﹣m（1+）=，①当m=0时，ϕ′（x）=＞0恒成立，即有ϕ（x）在（1，+∞）上单调递增，则ϕ（x）＞ϕ（1）=0，这与ϕ（x）≤0矛盾，不合题意；若m≠0，令△=4﹣4m2=4（1+m）（1﹣m），②当m≤﹣1时，△≤0恒成立且﹣m＞0即有﹣mx2+2x﹣m≥0恒成立，即ϕ′（x）≥0恒成立即ϕ（x）在（1，+∞）上单调递增，即有ϕ（x）＞ϕ（1）=0，这与ϕ（x）≤0矛盾，不合题意；③当﹣1＜m＜0时，△＞0，方程﹣mx2+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2），由韦达定理得x1•x2=1＞0，x1+x2=＜0，即x1＜x2＜0，则当x≥1时，﹣mx2+2x﹣m≥0恒成立，即ϕ′（x）＞0恒成立，即有ϕ（x）在（1，+∞）上单调递增，则ϕ（x）＞ϕ（1）=0，这与ϕ（x）≤0矛盾，不合题意；④当0＜m＜1时，△＞0，方程﹣mx2+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2），0＜x1=＜1，x2=＞1即有0＜x1＜1＜x2，即有ϕ（x）在（1，x2）单调递增，当x∈（1，x2）时，ϕ′（x）＞0，即有ϕ（x）在（1，+∞）上单调递增，即有ϕ（x）＞ϕ（1）=0，这与ϕ（x）≤0矛盾，不合题意；⑤当m≥1时，△≤0且﹣m＜0，则ϕ′（x）≤0恒成立，即有ϕ（x）在[1，+∞）上单调递减，ϕ（x）≤ϕ（1）=0，合题意．综上所述，当m∈[1，+∞）时，g（x）≤mf（x）恒成立；（3）对任意的k＞1，ϕ（k）=2lnk﹣m（k﹣），由（2）知，当m=1时，ϕ（k）=2lnk﹣k+＜0恒成立，即2lnk＜k﹣，取k=得ln＜（﹣）≈0.289．由（2）④知当0＜m＜1时，ϕ（x）在（1，）上单调递增，ϕ（x）＞ϕ（1）=0，令x1=得：m=，ϕ（x）=2lnx﹣m（x﹣）＞0∴ϕ（k）=2lnk﹣m（k﹣）=2lnk+﹣1＞0，即有lnk＞（1﹣），取k=得：ln＞≈0.286，∴0.286＜ln＜0.289，取ln=×（0.286+0.289）=0.2875≈0.29，∴ln≈0.29．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查判断函数的单调性和不等式的恒成立问题，具有一定的运算量，运用分类讨论的思想方法和两边夹及取均值思想是解题的关键．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．解答：证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程。
辽宁省葫芦岛市协作校、锦州市2020届高三一模考试数学(理)试题 Word版含解析
2020年高考数学一模试卷(理科)一､选择题.1.已知集合{}2650A x x x =-+≤，{}3B x y x ==-，A B =（ ）A. [)1,+∞B. []1,3C. (]3,5D. []3,5【答案】D 【解析】 【分析】分别求出集合A 、B ，从而求出A B 即可.【详解】由已知可得{}{}265015A x x x x x =-+≤=≤≤，{}{}{}3303B x y x x x x x ==-=-≥=≥，则[]3,5AB =.故选：D.【点睛】本题考查了集合的运算，考查二次不等式的求解以及二次根式的性质，是一道基础题.2.若复数z 满足(1)2i z i -=(i 为虚数单位)，则z 为（ ） A. 1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i --【答案】B 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】由(1)2i z i -=，得()()()2121111i i i z i i i i --===--+-+--. 故选：B.【点睛】本题考查复数的综合运算，掌握复数运算法则是解题基础． 3.已知向量(2,3),(,4)a b x ==，若()a a b ⊥-，则x =（ ） A. 1 B.12C. 2D. 3【答案】B【解析】 【分析】可求出()21a b x -=--，，根据()a ab ⊥-即可得出()0a a b ⋅-=，进行数量积的坐标运算即可求出x ．【详解】()21a b x -=--，； ∵()a ab ⊥-；∴()()2230a a b x ⋅-=--=； 解得12x =． 故选B.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题． 4.数据5，7，7，8，10，11的中位数和标准差分别为（ ） A. 中位数为7，标准差为2 B. 中位数为7，标准差为4 C. 中位数为7.5，标准差为4 D. 中位数为7.5，标准差为2【答案】D 【解析】 【分析】将数据按顺序排列，偶数个数据，中位数是中间两个数之和除以2，然后求得平均数，再代入标准差公式求解.【详解】数据按顺序排列5，7，7，8，10，11，所以中位数是7+8=7.52， 平均数是()157781011=86x =+++++，标准差2s ==. 故选：D【点睛】本题主要考查样本估计总体中的中位数，平均数，标准差的计算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则αβ⊥的一个充分不必要条件是（ ）A .,m m αβ⊥⊥ B. ,,m n m n αβ⊂⊂⊥ C. ,m m β⊥∥α D. m ∥,,n m n αβ⊥⊥【答案】C 【解析】 【分析】A.用垂直同一直线的两平面平行判断.B.面面关系的定义判断.C.面面垂直的判定定理判断.D. 用垂直同一直线的两平面平行判断.【详解】A. ,m m αβ⊥⊥，则//αβ，故错误. B. ,,m n m n αβ⊂⊂⊥，,αβ可以平行，故错误. C. ,m m β⊥∥α，得αβ⊥，故正确. D. m ∥,,n m n αβ⊥⊥，则//αβ，故错误. 故选：C【点睛】本题主要考查充分必要条件以及线面，面面关系，还考查了空间想象理解辨析的能力，属于基础题. 6.已知20201log πa =，20201πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1π2020c =，则（ ） A. c a b <<B. a c b <<C. b a c <<D.a b c <<【答案】D 【解析】 【分析】利用指数与对数的性质与0，1比较即可 【详解】202020201log log 10πa =<=，()2020101πb ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，1π20201c =>，所以a b c <<.故选：D.【点睛】本题考查指数与对数的单调性，插入中间值与0,1 比较是常用方法，是基础题 7.已知等比数列{a n }中，若a 5+a 7＝8，则a 4（a 6+2a 8）+a 3a 11的值为（ ）A. 8B. 16C. 64D. 128【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列{a n }中，等比中项的定义，化简求解本式即可. 【详解】等比数列{a n }中，a 4（a 6+2a 8）+a 3a 11＝a 4a 6+2a 4a 8+a 3a 112225577572()a a a a a a =++=+，∵a 5+a 7＝8，∴a 4（a 6+2a 8）+a 3a 11＝82＝64. 故选：C .【点睛】本题主要考查等比数列和等比中项的应用，属于基础题.8.在平面直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,0M N -，动点P 满足||||PM ON PN ⋅=，则动点P 的轨迹方程是（ ） A. 24y x =B. 24x y =C. 24y x =-D.24x y =-【答案】A 【解析】 【分析】设(),P x y ，然后表示出向量的坐标，代入已知条件，整理后得到动点P 的轨迹方程. 【详解】设(),P x y ，()()1,2,1,0M N -()1,2PM x y =---，()1,0ON =，()1,PN x y =--因为PM ON PN ⋅= 所以21x y +=整理得24y x = 故选A 项.【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，属于简单题.9.函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ）. A. B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数()f x 为偶函数，故排除B ，D.再根据(1)0f <，排除A ，即可得到答案. 【详解】2()(1)sin 1xf x x e =-+的定义域为R ， 22()(1)sin()(1)sin 111x x xf x x xe e e -=--=--++ 22(1)2(1)sin [1]sin 11x x x xe e x x e e +-=--=--++ 22(21)sin (1)sin ()11x xx x f x e e =---=-=++. 所以()f x 为偶函数，故排除B ，D.2(1)(1)sin101f e=-<+，故排除A.故答案为：C【点睛】本题主要考查根据函数解析式找函数图象，利用函数奇偶性和特值为解题的关键，属于中档题.10.已知函数()2(cos cos )sin f x x x x =+⋅，给出下列四个命题：（ ） ①()f x 的最小正周期为π ②()f x 的图象关于直线π4x =对称 ③()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④()f x 的值域为[2,2]-其中所有正确的编号是（ ） A. ②④ B. ①③④ C. ③④ D. ②③【答案】C 【解析】 【分析】举反例判断①②；根据正弦函数的单调性判断③；讨论cos 0x ≥，cos 0x <时，对应的最值，即可得出()f x 的值域.【详解】()()2cos cos sin 2cos sin sin2f x x x x x x x =+⋅=+函数π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭4π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π4π33f f ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 的最小正周期不是π，故①错误．由于6πf ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴3π26πf f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()f x 的图象不关于直线π4x =对称，故排除②． 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()2cos sin sin22sin2f x x x x x =+=，单调递增，故③正确．当cos 0x ≥时，()2cos sin sin22sin cos sin22sin2f x x x x x x x x =+=+= 故它的最大值为2，最小值为2-当cos 0x <时，()2cos sin sin22sin cos sin20f x x x x x x x =+=-+=， 综合可得，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，故④正确． 故选：C【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及值域，属于中档题. 11.圆22:10160C x yx +-+=上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A. 55,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B.C. 52⎛ ⎝⎭D.1)【答案】A 【解析】 【分析】圆22:10160C x y x +-+=，化为标准方程()22:59C x y -+=，根据圆上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，则圆心到直线0ax by -=的距离24d <<求解.【详解】圆22:10160C x y x +-+=，标准方程为()22:59C x y -+=，圆心到直线0ax by -=的距离d =因为圆上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，所以24d <<，所以24<<，即524ac<<， 解得5542c a <<. 所以该双曲线离心率的取值范围是55,42⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.已知()f x 是定义在(0)+∞上的增函数，且恒有[()ln ]1f f x x -=，若0x ∀>，()1f x ax -，则a 的最小值为（ ）A. 0B.1eC. 1D. e【答案】D 【解析】 【分析】设()ln f x x t -=，根据()f x 是定义在(0)+∞上的增函数，解得1t =，得到()ln 1f x x =+，再由0x ∀>，()1f x ax -，转化为ln 2x a x x ≥+，0x ∀>，令()ln 2x g x x x=+求其最大值f 即可.【详解】因为()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，故存在唯一的t 使得()ln f x x t -=，()1=f t ，故()ln f x x t =+，所以ln 1t t +=，因为()ln g t t t =+为(0,)+∞上的增函数且()11g =，故1t =， 所以()ln 1f x x =+， 因为0x ∀>，()1f x ax -， 所以ln 2x a x x≥+，0x ∀>， 令()ln 2x g x x x=+， ()2221ln 21ln x x g x x x x ---'=-=， 当10x e<<时，()0g x '>，当1x e >时，()0g x '<，所以当1x e=时，()g x 取得最大值e ，所以a e ≥， 所以a 的最小值为e . 故选：D【点睛】本题主要考查利用单调性求解析式以及导数与不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 二､填空题.13.某校期末考试后，随机抽取200名高三学生某科的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[)[)[)[))50,6060,7070,8080,90[90,100，，，，.据此绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计该校高三学生该门学科成绩的及格率约为____________（60分以上为及格），这200名学生中成绩在[)80,90中的学生有_____名.【答案】 (1). 95% (2). 40 【解析】 【分析】先由频率直方图得到60分以下的频率，再用对立事件的概率得到60分以上的频率.先通过频率直方图计算[)80,90中的频率，再乘以样本容量得到人数. 【详解】由频率直方图知，60分以下的频率为0.005100.05⨯=， 所以60分以上的频率为10.050.95-=.因为[)80,90中的频率()120.005100.025100.045100.2-⨯⨯+⨯+⨯=， 所以[)80,90中的学生有0.220040⨯=. 故答案为：(1). 95% (2). 40【点睛】本题主要考查样本估计总体中的频率直方图的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.若11()22f x f x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭对任意非零实数x 恒成立，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为_______. 【答案】20x y +-= 【解析】 【分析】根据11()22f x f x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用方程组法解得()f x .再利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】因为11()22f x f x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以()12()2f f x x x x+=+，两式联立解得1()f x x=. 所以21()f x x'=-，(1)1,(1)1f f '=-=， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()11y x -=--， 即20x y +-=. 故答案为：20x y +-=【点睛】本题主要考查方程组法求函数解析式以及导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为___. 【答案】【解析】【详解】设此等差数列为{a n }，公差为d ，则1455100,2a d ⨯+= （a 3+a 4+a 5）×17=a 1+a 2，即111(39)27a d a d +⨯=+，解得a 1=53，d=556．最小一份为a 1， 故答案为．16.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,4AB AA BC ===，E 为AD 中点，则三棱锥1A CDE -外接球的表面积为_______.【答案】44π 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系：取CE 的中点()11,3,0O ，()10,0,2A ，()0,4,0D ，根据CED 是直角三角形，其外接圆的圆心为1O ，则球心在过1O 平面CED 的垂线上，再利用半径相等求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系：取CE 的中点()11,3,0O ，()10,0,2A ，()0,4,0D ， 因为CED 是直角三角形， 所以其外接圆的圆心为1O ，所以球心在过1O 平面CED 的垂线上， 设球心为()1,3,O z ，则1r OA OD ==， ()()222192134z z ++-=+-+ 解得3z =，则11r =所以三棱锥1A CDE -外接球的表面积为2444r ππ=. 故答案为：44π【点睛】本题主要考查球的外接问题，球的截面性质以及向量法球距离，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.三､解答题：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.已知在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且sin sin sin sin C A bB A a c-=-+.（1）求角C 的大小; （2）若3c =,求+a b 的取值范围. 【答案】（1）3π； （2）(3,6) . 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得222a b c ab +-=，根据余弦定理可求cos C 的值，结合范围(0,)C π∈，可求C 的值.（2）由余弦定理，基本不等式可求6a b +≤，又根据两边之和大于第三边可得3a b +>，即可求解+a b 的取值范围. 【详解】（1）由sin sin sin sin C A bB A a c-=-+则c a bb a a c-=-+， ⇒222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，而(0,)C π∈， 故3C π=.（2）由222a b c ab +-= 且3c =，2()29a b ab ab ∴+--=22()933()2,a b a b ab +∴+-=≤ a b ≠22()93()2,a b a b +∴+-< ∴2()36a b +< 所以6a b +<，又3a b c +>=，所以+a b 的取值范围是(3,6).【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式等在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.18.某学校开设了射击选修课，规定向A 、B 两个靶进行射击：先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B 靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向A 靶射击，命中的概率为45，向B 靶射击，命中的概率为34，假设小明同学每次射击的结果相互独立.现对小明同学进行以上三次射击的考核. （1）求小明同学恰好命中一次的概率；（2）求小明同学获得总分X 的分布列及数学期望()E X . 【答案】（1）18；（2）分布列见解析，()195E X =【解析】 【分析】（1）根据事件的独立性以及互斥事件的性质，求解即可；（2）得出X 的可能取值，并得出相应的概率，得出分布列，即可得出数学期望()E X . 【详解】（1）记：“小明恰好命中一次”为事件C ，“小明射击A 靶命中”为事件D , “该射手第一次射击B 靶命中”为事件E ，“该射手第二次射击B 靶命中”为事件F ， 由题意可知()45P D =，()()34P E P F == 由于C DEF DEF DEF =++()()2434334331111154544544P C P DEF DEF DEF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18=； （2）X 可取0,1,2,3,4,5()211105480P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()241115420P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()121133254440P X C ==⨯⨯⨯= ()124133354410P X C ==⨯⨯⨯=，()213945480P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()243955420P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()113399190123458020401080205E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了事件独立性的应用以及求离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.19.已知直三棱柱111ABC A B C -中，120BAC ︒∠=，12,3AB AC AA ===，E 是BC 的中点，F 是1A E 上一点，且13A F FE =.（Ⅰ）证明：AF ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求二面角11B A E B --余弦值的大小. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；25. 【解析】 【分析】（Ⅰ）在ABC 中，由面积相等得到1AE =，直角三角形1A AE 中，得到1122A E EF ==，，由1A EAE EF AE=得1A E AF ⊥，易得AE BC ⊥，从而得到AF ⊥平面1A BC .() II 以点E 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出面1BA E 法向量为1n ，面11B A E 法向量为2n ，从而得到二面角11B A E B --的余弦值.【详解】()I 连接,AE AF ，在ABC 中，11··sin120?22AB AC BC AE = 故1AE =.由于三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，故1AA ⊥平面1ABC AA AE ⇒⊥， 直角三角形1A AE 中，因为13AA =1AE =， 所以12A E =，所以12EF =， 又因1A EAE AFE EF AE=⇒∠为直角，即1A E AF ⊥. 再由E 为BC 中点并且ABC 为等腰三角形可知AE BC ⊥，结合1AA BC ⊥，1AA AE A ⋂=得BC ⊥平面1A AE ，BC AF ⇒⊥.综合1A E AF⊥，BC AF⊥，1BC A E E⋂=，得到AF⊥平面1A BC.()II由于AE BC⊥，如图以点E为坐标原点建立空间直角坐标系，3tan60AEBE==()3,0,0B-，(13A，()0,0,0E，(13,0,3B-，()3,0,0EB=-,(3EA=,(13,0,3EB=-设面1BA E法向量为()1111,,n x y z=，面11B A E法向量为()2222,,n x y z=，11111130030xn EBn EA y z⎧⎧-=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪+=⎪⎩⎩，取11z=，得()10,3,1n=-，22212122330030x zn EBn EA y z⎧⎧-+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪+=⎪⎩⎩，取21z=，得()21,3,1n=-，则二面角11B A E B--的余弦值121225cos545n nn nθ⋅===⋅⋅.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，通过法向量求二面角的余弦值，属于中档题. 20.已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的焦距为2，过点2(1,2-.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为F，定点()2,0P，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B两点，以线段AP为直径的圆与直线2x=的另一个交点为Q，证明：直线BQ恒过一定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2212xy+=；（2）证明见解析，3(,0)2.【解析】【分析】（1）根据题意列方程组2211112c a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，求解2a ，2b ，即可. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y 因为直线l 的斜率不为零，令l 的方程为：1x my =+，与椭圆方程联立，得到12222m y y m +=-+，12212y y m ⋅=-+，由题意可知，AQ PQ ⊥，则1(2,)Q y ，确定BQ 的方程，由椭圆的对称性，则定点必在x 轴上，所以令0y =，求解x ，即可.【详解】（1）由题知2211112c ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， 解得22a =，21b =， 所以椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y 因为直线l 的斜率不为零，令l 的方程为：1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得22(2)210m y my ++-=， 则12222m y y m +=-+，12212y y m ⋅=-+， 因为以AP 为直径的圆与直线2x =的另一个交点为Q ,所以AQ PQ ⊥，则1(2,)Q y ， 则2122BQ y y k x -=-，故BQ 的方程为：2112(2)2y y y y x x --=-- ， 由椭圆的对称性，则定点必在x 轴上，所以令0y =，则1212121212121(2)(1)222y x y my my y y x y y y y y y -----+=+=+=+---，而12222m y y m +=-+，12212y y m ⋅=-+，12122y y my y +-=-， 所以121211322222y y y x y y +-+=+=-+=-，故直线BQ 恒过定点，且定点为3(,0)2.【点睛】本题考查椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，属于较难的一道题. 21.已知函数2()(ln ),()x f x x a x g x x e -=-=+.（Ⅰ）讨论()f x 在()1,+∞上的单调性；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =-，若()h x 的最大值为0，求a 的值； 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导()1ln f x a x '=--，由()10a f e-'=，分11a e -≤和11a e ->两种情况讨论求解.（Ⅱ）2()(ln )x h x x a x x e -=---，易得()1ln 2x h x a x x e -'=---+是()0,∞+上的减函数，存在唯一正实数0x 满足()00h x '=，，则()max 0()h x h x =，再根据()h x 的最大值为0建立方程求解.【详解】（Ⅰ）因为()1ln f x a x '=--，所以()f x '在()0,∞+上单调递减且()10a f e-'= ①若11a e -≤，即1a ≤，则当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞上单调递减； ②若11a e ->，即1a >，则当11a x e -<<时，()0f x '>，所以()f x 在()11,a e-上单调递增；当1a x e ->时，()0f x '<，所以()f x 在()1,a e -+∞上单调递减.综上：当1a ≤时，()f x 在()1,+∞上单调递减； 当1a >时，()f x 在()11,a e-上单调递增，在()1,a e-+∞上单调递减.（Ⅱ）根据题意2()(ln ),x h x x a x x e -=---所以()1ln 2x h x a x x e -'=---+，因为10()2x h x e x-'=---<'，所以()h x '在()0,∞+上是减函数，因为()ln 1m x x x =-+，()11m x x'=-，当01x <<时，()0m x '>，当1x >时，()0m x '<，所以()()10m x g ≤=，即ln 1x x ≤-.因为()1xn x e x =--，()1xn x e '=-，当0x <时，()0n x '<，当0x >时，()0n x '>，所以()()00n x n ≥=，即+1x e x ≥.所以()41()ln 13xa x h x a x e -'-+<<+--，又因为()411044a a h a '>-⨯+=>，()()()ln 13031a aa a e e h e a e e e --'-=+--<<，所以存在唯一正实数0x 满足()00h x '=，即0001ln 2x a x x e -=++-（*） 当()00,x x ∈时，()0h x '>，()h x 是()00,x 上的增函数； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是()0,x +∞上的减函数； 所以()02max 00000()ln x h x h x ax x x x e-==---，将（*）式代入整理得，()()()0002max 000000()1x x x h x h x x x x e e x x e ---==+--=+-由题设max ()0h x =而010x +>，所以000x x e --=，即00x e x -=，所以00ln x x -=，所以0000001ln 2121x a x x e x x x -=++-=-+-=.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的最值，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），直线2C的方程为y x =，以O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线2C 与曲线1C 交于P ，Q 两点，求||||OP OQ ⋅的值.【答案】（1）1C 的极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ--+=；直线2C 的极坐标方程()6R πθρ=∈ （2）123OP OQ ρρ⋅==【解析】试题分析：（1）首先把圆的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程，再把直线方程转化为极坐标方程；（2）根据（1）所得到的结果代入到极坐标方程中，利用几何意义12OP OQ ρρ⋅=可得结果.试题解析：（1）曲线C 1的参数方程为222x cos y sin αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），转化为普通方程：(()2224x y +-=，即22430x y y +--+=，则1C 的极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ--+=，∵直线2C的方程为y x =，∴直线2C 的极坐标方程()6R πθρ=∈．（2）设()11,P ρθ，()22,Q ρθ，将()6R πθρ=∈代入2cos 4sin 30ρθρθ--+=，得：2530ρρ-+=，∴123ρρ⋅=，∴123OP OQ ρρ⋅==．23.已知函数f （x ）=|x-m|-|2x+2m|（m ＞0）． （Ⅰ）当m=1时，求不等式f （x ）≥1的解集；（Ⅱ）若∀x ∈R ，∃t ∈R ，使得f （x ）+|t-1|＜|t+1|，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）[-2，-23]；（Ⅱ）0＜m ＜1 【解析】 【分析】（Ⅰ）分段去绝对值解不等数组后在相并可得；（Ⅱ）f （x ）+|t-1|＜|t+1|⇔f （x ）＜|t+1|-|t-1|对任意x∈R 恒成立，对实数t 有解． 再利用分段函数的单调性求得f （x ）的最大值，根据绝对值不等式的性质可得|t+1|-|t-1|的最大值，然后将问题转化为f （x ）的最大值＜（|t+1|-|t-1|）的最大值可得． 【详解】（Ⅰ）当m=1时，|x-1|-|2x +2|≥1⇔{x 1x 31≤-+≥或{1x 13x 11-<<--≥或{x 1x 31≥--≥，解得-2≤x ≤-23，所以原不等式的解集为[-2，-23]． （Ⅱ）f （x ）+|t-1|＜|t+1|⇔f （x ）＜|t+1|-|t-1|对任意x ∈R 恒成立，对实数t 有解．∵f （x ）=x 3m x m 3x m m x m x 3m x m +≤-⎧⎪---⎨⎪--≥⎩，，＜＜，，根据分段函数的单调性可知：x=-m 时，f （x ）取得最大值f （-m ）=2m ， ∵||t+1|-|t-1||≤|（t+1）-（t-1）|=2，∴-2≤|t+1|-|t-1|≤2，即|t+1|-|t-1|的最大值为2． 所以问题转化为2m ＜2，解得0＜m ＜1．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．- 21 -。
辽宁省葫芦岛市普通高中联合体2017届高三上学期第一次考试数学(理)试题 Word版含答案
12.已知函数 y f x 是定义在实数集 R 上的奇函数，且当 x ,0 时， ，若 xf x f x （其中 f x 是 f x 的导函数）
a 3f
3 , b lg 3 , c log
3
B． f x 2 2
C． f x lg 1 x lg 1 x
7.下列函数与 y x 有相同图象的一个函数是（ A． y
）
x
2
B． y
x2 x
2
C． y a
log a x
（ a 0 且 a 1 ） D． y loga a x ）
2015 2014 2013 2 1 f f f f f 2016 2016 2016 2016 2016
两式相加，由（1）得，2S=2015，S=
2015 .（6 分） 2
2 2
考点：1、函数的解析式；2、 “倒序相加法”求和的应用. 21． （1）f（x）=x +2x
B． x | 0 x 1
C． x | 1 x 1 ）
D． x | 2 x 1
2.下列函数中，在区间 1, 上为减函数的是（ A． y
1 x 1
B． y 2
x 1
C． y
x 1
D． y ln x 1 ）
3.已知函数 f x A．-1 B．0
数学（理科）试题 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项 是符合题目要求的.
2 1.已知集合 A x | 2 x 1 , B x | x 2 x 0 ，则 A B （
葫芦岛市2017届高三第一次模拟考试数学试卷(理)含答案解析
2017年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设全集{}{}{}2,1,0,1,2,|1,2,0,2U A x x B =--=≤=-，则()U C A B = A. {}2,0- B.{}2,0,2- C. {}1,1,2- D. {}1,0,2-2.已知复数()1z i i =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限3.已知等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若34542a a a ++=，则7S =A. 98B. 49C. 14D. 147 4.下列命题中正确的是A.若两条直线和同一平面所成角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线垂直D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5.《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年.在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖膳.已知“鳖膳”的三视图如图所示，则该鳖膳的外接球的表面积为A. 200πB. 50πC. 100πD.36.函数22ln x x y x=的图象大致是7.中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数书九章》中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为“大衍求一术.下面的程序框图的算法思路源于“大衍求一术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为20,17，则输出的c =A. 1B. 6C. 7D. 118.为了调查广告与销售额的关系，某厂商对连续5年的广告费和销售额进行了统计，得到统计数据如下表（单位：万元）。
2020届辽宁省葫芦岛市高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(wd无答案)
(★★★★)12.关于 的方程 有四个不同的实数根，且 ，则 的取值范围（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
(★★)13. 被7除后的余数为__________．
(★★)14.设变量 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为__________．
(★★★)15.已知数列 满足 ， 为数列 的前 项和，则满足不等式 的 的最大值为__________．
(★★★★)16.关于 的方程 有两个不等实根，则实数 的取值范围是___________．
三、解答题
(★★★)17.已知函数 ．
（1）求 的值和 的最小正周期；
（2）设锐角 的三边 ， ， 所对的角分别为 ， ， ，且 ， ，求 的取值范围．
(★★★)18.如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， .
（1）求证： 平面 ；
A．150种
B．360种
C．510种
D．512种
(★★)7. “ ”是“直线 与圆 相切”的（）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(★★)8.从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为（）
①可能用到的数据:
②参考公式:线性回归方程 中，
(★★★)20.已知椭圆 : 离心率是 分别是椭圆 的左､右焦点，过 作斜率为 的直线 ，交椭圆 于 ， 两点，且三角形 周长
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 分别交 轴于不同的两点 ， ．如果 为锐角，求 的取值范围．
(★★★★)21.已知函数 ．
（2）求异面直线 ，且 ，点 在线段 上，若 平面 ，求 的值（用含 的代数式表示）.
2020年辽宁省葫芦岛市兴城中学高三数学理测试题含解析
2020年辽宁省葫芦岛市兴城中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数的图像关于点对称，且当时，，则（）A．B．C．D．参考答案：A2. 为得到函数y=sin(x+)的图象，可将函数y=sinx 的图象向左平移M个单位长度，或向右平移以个单位长度(m，n均为正数)，则的最小值是参考答案：B【知识点】函数的图象与性质C4由条件可得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），则|m-n|=|2（k1-k2）π-|，易知（k1-k2）=1时，|m-n|min=．【思路点拨】依题意得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），于是有|m-n|=|2（k1-k2）π-|，从而可求得|m-n|的最小值．3. 若,则的解集为 ( )A. (0,)B. (-1,0)(2,)C. (2,)D. (-1,0)参考答案：C略4. 已知定义在R上的函数f（x）满足xf′（x）+f（x）＞0，当0＜a＜b＜1时，下面选项中最大的一项是（）A．a b f（a b）B．b a f（b a）C．log a b?f（log a b）D．log b a?f（log b a）参考答案：D略5. 已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为()A．3 B．2 C. D．1参考答案：C略6. 设{a n}是等差数列，下列结论一定正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则参考答案：C【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【详解】若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；对于B选项，当，分别为-4，-1，2时，满足a1+a3＜0，但a2+a3＝1>0，故B不正确；又{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2＝a1+a3＞2，∴a2，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＝﹣d2≤0，即D不正确．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用，考查分析问题的能力，比较基础．7. （5分）（2015?陕西一模）已知直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线，则m的值为（）A． 0 B． 2 C． 1 D． 3参考答案：【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：求出曲线的导数，利用导数为﹣1，求出切点坐标，然后求出m的值．解：曲线y=x2﹣3lnx（x＞0）的导数为：y′=2x﹣，由题意直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线，可知2x﹣=﹣1，所以x=1，所以切点坐标为（1，1），切点在直线上，所以m=1+1=2．故选：B．【点评】：本题考查曲线的导数与切线方程的关系，考查计算能力．8. 已知函数的图象如图①所示，则图②是下列哪个函数的图象 cA． B. C. D.参考答案：C略9. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是A. B. C.(1,2] D.参考答案：B由双曲线定义可知，从而，双曲线的离心率取值范围为.故选B.10.已知四点、、、,设直线与直线的交点为，则点的轨迹方程为（）A. B. C. D.参考答案：答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若“（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0”是“1＜2x＜16”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．参考答案：[0，3]考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：求解不等式，利用充分必要条件的定义可判断出，求解即可．解答：解：∵（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，∴a＜x＜a+1，∵1＜2x＜16，∴0＜x＜4，∵若“（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0”是“1＜2x＜16”的充分不必要条件，∴，即0≤a≤3 故答案为：[0，3]点评： 本题考查了不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题12. （选修4-4：坐标系与参数方程）以极坐标系中的点为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是.参考答案：略13. 已知圆C 的圆心为（0,1），直线与圆C 相交于A ，B 两点，且，则圆C的半径为.参考答案：圆心到直线的距离。
2020届辽宁省葫芦岛市普通高中高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题及解析
【点睛】本题考查向量平行的坐标公式，属于基础题.一般地，如果 ， ，若 ，则 .
4. 某地区甲､乙､丙､丁四所高中分别有120，150，180，150名高三学生参加某次数学调研考试，为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案:方案①；从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析:方案②:丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试看进行分析．完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是（ ）
详解】由 得 ，
作函数 的图象如下，
故 或 ，
所以， ， ，
有四个不同的实数根，
，解得 且 ，
，
令 ，
则 ，
令 ，解得 ，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
A. 分层抽样法､系统抽样法B. 分层抽样法､简单随机抽样法
C. 系统抽样法､分层抽样法D. 简单随机抽样法､分层抽样法
【答案】B
【解析】
根据分层抽样和简单随机抽样的定义进行判断即可.
【详解】①四所学校，学生有差异，故①使用分层抽样；
②在同一所学校，且人数较少，所以可使用简单随机抽样.
故选：B.
【点睛】本题考查的是抽样方法的选取问题，属于基础题.
2020届辽宁省葫芦岛市普通高中高三下学期第一次模拟考试
数学（理）试题
★祝考试顺利★
(含答案)
第I卷（选择题，共60分）
一､选择题:本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一顶是符合题目要求的．
1. 复数z满足 ，则复数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
辽宁省葫芦岛市兴城高级中学2020届高三数学上学期第四次阶段测试试题理(扫描版)
辽宁省葫芦岛市兴城高级中学2020届高三数学上学期第四次阶段测试试题理（扫描版）理科数学答案一、选择题：CBDCAA AADAAA 二、填空题：13. 49；14. )+∞； 15. 3{}2；三、 解答题 17.解（1）连结1AB ，∵平面ABC⊥平面11ABB A ，且AB BC ⊥， ∴BC ⊥平面11ABB A ，又∵11B C BC ⊥，∴11B C ⊥平面11ABB A ， ∵11ABB A Y 中，1AB AA =，所以11ABB A Y 为菱形，∴11A B AB ⊥，又∵1AB 为1AC 在平面11ABB A 内的射影， ∴11A B AC ⊥。
（2）∵12AB AA ⋅=-u u u r u u u r ，且12AB AA ==，∴∠123AA B π=， ∴∠13ABB π=。
延长11A B 到G 使得11B G =，连结BG 。
∵∠1GB B =∠13ABB π=，且11B G =，12BB =，∴1BG A G ⊥且BG =，∴BG AB ⊥，又∵平面ABC ⊥平面11ABB A ，∴BG ⊥平面ABC ，∴BG AB ⊥，BG AC ⊥，又∵AB BC ⊥，∴可以建立空间直角坐标系[;,2BA B BC u u u r u u u r u u u r ，其中各点坐标为11(,1,0),2E F C ， ∴1(,1,2EF =-u u u r ，BE =u u u r ，1(1,1BC =u u u u r 。
取平面1BEC 的法向量为(,,)n a b c =r ，∴0n BE ⋅=u u u r r ，10n BC ⋅=u u u u r r ，即200b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，不妨取(3,3,n =-r ，取直线EF 与平面1BEC 的夹角为θ，则A B CA 1B 1C 1E F Gsin |cos ,|n EF θ=<>==u u u r r ，∴arcsinθ=18.解（1）依题意22()2cos (1)2cos cos 1cos 22f x p x x p x x x p x x =-+=--=--12sin(2)6p x π=--+， ∵()f x 的最大值为3，∴123p -+=，∴2p =，∴()12sin(2)6f x x π=-+，其中,2x k k Z ππ≠+∈。
辽宁省葫芦岛市兴城高级中学2020届高三数学上学期第四次阶段测试试题理(扫描版)
辽宁省葫芦岛市兴城高级中学2020届高三数学上学期第四次阶段测试试题理（扫描版）理科数学答案一、选择题：CBDCAA AADAAA 二、填空题：13. 49；14. )+∞； 15. 3{}2；三、 解答题 17.解（1）连结1AB ，∵平面ABC⊥平面11ABB A ，且AB BC ⊥， ∴BC ⊥平面11ABB A ，又∵11B C BC ⊥，∴11B C ⊥平面11ABB A ， ∵11ABB A 中，1AB AA =，所以11ABB A 为菱形，∴11A B AB ⊥，又∵1AB 为1AC 在平面11ABB A 内的射影， ∴11A B AC ⊥。
（2）∵12AB AA ⋅=-，且12AB AA ==，∴∠123AA B π=， ∴∠13ABB π=。
延长11A B 到G 使得11B G =，连结BG 。
∵∠1GB B =∠13ABB π=，且11B G =，12BB =，∴1BG A G ⊥且BG =，∴BG AB ⊥，又∵平面ABC ⊥平面11ABB A ，∴BG ⊥平面ABC ，∴BG AB ⊥，BG AC ⊥，又∵AB BC ⊥，∴可以建立空间直角坐标系[;,2BA B BC ，其中各点坐标为11(,1,0),2E F C ， ∴1(,1,2EF =-，(0,BE =，1(1,1BC =。
取平面1BEC 的法向量为(,,)n a b c =，∴0n BE ⋅=，10n BC ⋅=，即200b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，不妨取(3,3,n =-，取直线EF 与平面1BEC 的夹角为θ，则A B CA 1B 1C 1E F Gsin |cos ,|n EF θ=<>==， ∴arcsinθ=18.解（1）依题意22()2cos (1)2cos cos 1cos 22f x p x x p x x x p x x =-+=--=--12sin(2)6p x π=--+， ∵()f x 的最大值为3，∴123p -+=，∴2p =，∴()12sin(2)6f x x π=-+，其中,2x k k Z ππ≠+∈。
辽宁省葫芦岛市普通高中联合体2017届高三上学期第一次月考数学试卷(理科) 含解析
2016-2017学年辽宁省葫芦岛市普通高中联合体高三（上）第一次月考数学试卷(理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x｜﹣2＜x＜1｝，B=｛x|x2﹣2x≤0｝，则A∩B=（)A．{x｜0＜x＜1} B．｛x｜0≤x＜1｝C．{x|﹣1＜x≤1}D．｛x|﹣2＜x≤1}2．下列函数中，在区间(1，+∞)上为减函数的是（）A．y=B．y=2x﹣1C．y= D．y=ln（x﹣1）3．已知函数f（x）=,则f（f(﹣1）)的值为(）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．已知命题p:∀x∈R，sinx≤1，则￢p为（）A．∃x∈R，sinx≥1 B．∀x∈R，sinx≥1 C．∃x∈R，sinx＞1 D．∀x∈R，sinx＞1 5．已知x∈R，则“x2﹣3x≤0”是“(x﹣1）（x﹣2）≤0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．下列函数是奇函数的是（）A．f（x)=﹣｜x｜B．f（x）=2x+2﹣xC．f（x）=lg（1+x）﹣lg(1﹣x）D．f(x）=x3﹣17．下列函数与y=x有相同图象的一个函数是(）A．y=()2B．y=C．y=（a＞0且a≠1) D．y=log a a x8．函数f（x)=的定义域为（)A．（，2) B．（0，）∪(2，+∞）C．（2，+∞）D．（0，）9．函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．10．函数f(x）=x3﹣3x2﹣9x+4的单调递减区间是（）A．（﹣3，1）B．（﹣∞，﹣3) C．（﹣1，3）D．（3，+∞）11．奇函数f（x）的定义域为R,若f（x+2）为偶函数，且f(1）=1，则f（8）+f(9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．112．已知函数y=f（x)的定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（﹣∞,0）时，xf′（x）＜f(﹣x)(其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f(），b=（lg3）f（lg3），c=（log2）f（log2），则(）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b二、填空题（每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•14．在平面直角坐标系中，点M在曲线C：y=x3﹣2x上,已知曲线C在点M处的切线的斜率为1，则点M的坐标为．15．“若∃x∈（1，2），x2+mx+4≥0"是假命题，则m的取值范围为．16．已知f（）=x，则f（﹣1）=．三、解答题（共70分。
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214(mm22++31)2 =
214(m2+1+m24+1+4)≥
33……10分
当且仅当
m2+1=m24+1，即
m=?1时等号成立，此时
|TF|
|PQ|取得最小值时
T点的坐标为 (-3,1)或 (-3,-1)……12分
21.解：（1） f′(x)=xcosx+ex-a
k=f′(0)=e0-a=0∴ a=1……2分
20.解：（1）由题可得，F的坐标为（ -2,0)，设 T点坐标为 (-3,m)
则直线 TF的斜率 kTF=-m 当 m≠0时，直线 PQ的斜率 kPQ=m1， 直线 PQ的方程是 x=my-2
当 m=0时，直线 PQ的方程 x=-2
也符合方程 x=my-2的形式
设 P(x1,y1),Q(x2,y2)，将直线 PQ的方程与椭圆 C的方程联立得：
∴ B1C1⊥平面CC1E，……6分 ∴ B1C1⊥CE （2）由题可知，DA,AA1,AB两两垂直，以 A为原点，分别以 AD,AA1,AB所在直线为 x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系，
C A
D
则A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0)……7分 AE=(0,1,0),EC1=(1,1,1),设 EM =λEC1,则 EM =(λ,λ,λ),(0≤λ≤1) 则 AM =AE+EM =(λ,λ+1,λ)
22（.1）解：曲线
C1的参数方程为
? ? ?x=3+ ?
22t
? ? ?y= 22t
其普通方程为：x-y-3=0……2分
曲线 C2的极坐标方程为 ρ+2cosθ=0， ∴ C2的直角坐标方程 x2+y2+2x=0，是以 (-1,0)为圆心，1为半径的圆 因为圆心到直线 x-y-3=0的距离 d= 4 =2 2>1
X
0
P
3 7
所以 E(X)=23……12分
1
2
10
2
21
21
高三数学理（一模答）— 1
19.解：（1）在 △B1C1E中 EB1= 5,B1C1= 2,EC1= 3
∴ B1C12+EC12=EB12,B1C1⊥EC1……2分
B
∵ AA1⊥平面ABCD，
∴ AA1⊥BC,CC1⊥B1C1,且CC1 EC1=C1
?x=my-2
? ? ?x2 +y2
消去 =1
x得：(m2+3)y2-4my-2=0
?6 2
?Δ=16m2+8(m2+3)>0
有 ???y1+y2=m42m+3
……3分
???y1y2=m-2+23
可得 PQ的中点 M的坐标为 (m-2+63,m22m+3)
所以直线 OM的斜率 kOM =-m3，又因为直线 OT的斜率 kOT=-m3，
易知 AB=(0,0,2)为平面 ADD1A1的一个法向量 .
设 θ为直线 AM与平面 ADD1A1所成角，则
sinθ=|cos<AM,AB>|=|AMAB|= |AM||AB|
λ= 3λ2+2λ+1
2 6
解得 λ=13,λ=-15(舍去)……11分 所以 AM=(13，43，13)，|AM|= 2，故线段 AM的长为 2.……12分
(2.5?0.2+3.5?0.25+4.5?0.4+5.5?0.05+6.5?0.05+7.5?0.05)?1=4.15……3分
②设中位数为 x，则 0.20+0.25+0.40(x-4)=0.5
解得中位数为 x=4.125……6分
（2）可知 n=15其中超过 7万人次的有 5天……8分 P(X=0)=CC12012C550 =14055=37 P(X=1)=CC11012C515=15005=1201 P(X=2)=CC10012C552 =11005=221……10分
所以点 M在直线 OT上
因此线段 OT平分线段 PQ.……6分
（2）由（1）知 |TF|=
1+m2,|PQ|=
1+m2|y1-y2|=
24(1+m2) 3+m2 ……8分
高三数学理（一模答）— 2
B1
M E
C1 A1
D1
2020届辽宁省葫芦岛市兴城市高级中学2017级高三一模考试数学（理）试卷
|TF|
所以 f′(x)=xcosx+ex-1
当 x∈[-π2,0)时，f′(x)<0,f(x)递减 ，当 函数 f(x)的递增区间为 [0，π2]，递减区间为 [-π2,0]……5分
（2）由（1）知 x1与x2异号，不妨设 -π2≤x1<0<x2≤ ≤π2,则 -π4<x1+2x2<π4
因为 f(x)在 [-π2,0]递减
要证
f′(x1+2x2)<0，需要证明
x1+x2 2
∈[-π2,0]，需要证明
x1<-x2……6分
∵ x1,-x2∈[-π2,0]
∴ 需证f(x1)>f(-x2)，
因为 f(x1)=f(x2)
即需要证明 f(x2)>f(-x2),即f(x2)-f(-x2)>0
即 f(x)-f(-x)>0,x∈[0,π2]
令 h(x)=f(x)-f(-x),x∈(0,π2]……8分
h′(x)=f′(x)+f′(-x)
=xcosx+ex-1-xcos(-x)+e-x-1 ……10分
=ex+e1x-2>2 ex e1x -2=0
所以 h(x)在 [0,π2]上递增 h(x)>h(0)=0
综上 f′(x1+2x2)<0……12分
数学（理科）参考答案
1.C 2.B 3.D 4.D 5.A 6.D 7.B 8.C 9.B 10.B 11.A 12.A 13.3 14.170 15.y=(1 2)57x30 16.m≥23ee- e 17.解：（1）∵ Sn=23an-1 2a1，∴当 n≥2时，Sn-1=23an-1-1 2a1. ∴ an=Sn-Sn-1=23an-23an-1，……2分 ∵ a1=3，∴ aann-1=3，故 {an}为等比数列 . ∴ an=3?3n-1=3n.……6分 （2）∵ an=3n， 可得 bn=(2n-1)(13)n.……8分 ∴ Tn=1?13+3?(13)2+5?(13)3+7?(13)4+… +(2n-1)?(13)n 13Tn=1?（ 13）2+3?(13)3+5?(13)4+7?(13)5+… +(2n-1)?(13)n+1 相减得 23Tn=13+2?（ 13）2+2?(13)3+2?(13)4+2?(13)5+… +2?(13)n-(2n-1)?(13)n+1……10分 可得 Tn=1-n3+n1……12分 18.解：（1）①平均值为