初三九年级上册数学压轴题(培优篇)(Word版含解析)

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九年级数学上册上册数学压轴题(培优篇)(Word版含解析)

九年级数学上册上册数学压轴题（培优篇）（Word版含解析）一、压轴题1．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B(不与P，Q重合)，连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.(1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O的半径；(2)如图2，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明.2．如图①，A（﹣5，0），OA＝OC，点B、C关于原点对称，点B（a，a+1）（a＞0）．（1）求B、C坐标；（2）求证：BA⊥AC；（3）如图②，将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，连接DC，问：∠BDC的角平分线DE，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，直线1l：162y x=-+分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线2l：12y x=交于点A.（1）分别求出点A、B、C的坐标；△的面积为12，求直线CD的函数表达式；（2）若D是线段OA上的点，且COD（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内里否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.4．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O 上的两点．若∠APD＝∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”．（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠DPC是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；（2）猜想回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数的关系，给出证明（提示：延长CP交⊙O 于点E）；（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+133，直接写出AP的长．5．如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝3，BC＝4．（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边BC相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由．6．问题发现：（1）如图①，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，E是AB上点（点E 不与A、B重合），将射线OE绕点O逆时针旋转90°，所得射线与BC交于点F，则四边形OEBF的面积为．问题探究：（2）如图②，线段BQ ＝10，C 为BQ 上点，在BQ 上方作四边形ABCD ，使∠ABC ＝∠ADC ＝90°，且AD ＝CD ，连接DQ ，求DQ 的最小值；问题解决：（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，AD ＝CD ，AC ＝600米．其中AB 、BD 、BC 为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB +BD +BC 的最大值．7．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，连接AC 、EC 、EF 、FC ，且EC EF ⊥.（1）求证：AEF BCE ∽；（2）若23AC =，求AB 的长；（3）在（2）的条件下，求出ABC 的外接圆圆心与CEF △的外接圆圆心之间的距离？8．在长方形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．（1）填空：______＝______，______＝______（用含t 的代数式表示）；（2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数；（2）设BC a =，AC b =；①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由.②若线段AD EC =，求a b的值. 10．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =.点P 从点A 出发，沿着A C B →→运动，速度为1个单位/s ，在点P 运动的过程中，以P 为圆心的圆始终与斜边AB 相切,设⊙P 的面积为S ，点P 的运动时间为t （s ）（07t <<）.（1）当47t <<时，BP = ；（用含t 的式子表示）（2）求S 与t 的函数表达式；（3）在⊙P 运动过程中，当⊙P 与三角形ABC 的另一边也相切时，直接写出t 的值.11．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ，(30)B ，．抛物线的对称轴和x 轴交于点M ．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P 点在该抛物线上，求当PAB △的面积为8时，求点P 的坐标．（3）点G 是抛物线上一个动点，点E 从点B 出发，沿x 轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F 由点M 出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t ．①若点G 到AE 和MF 距离相等，直接写出点G 的坐标．②点C 是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG 和FC 为边做矩形FGDC ，直接写出点E 恰好为矩形FGDC 的对角线交点时t 的值．12．如图，正方形ABCD 中，点O 是线段AD 的中点，连接OC ，点P 是线段OC 上的动点，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接DP 并延长交AB 或BC 于点F ，（1）如图①，当点F 与点B 重合时，DE DC等于多少；（2）如图②，当点F 是线段AB 的中点时，求DE DC 的值；（3）如图③，若DE CF =，求DE DC的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．(1) ☉O 的半径是32；(2)AB ∥ON ，证明见解析. 【解析】【分析】(1) 连接AB ，根据题意可AB 为直径，再用勾股定理即可．(2) 连接OA , OB , OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠，从而证出OC AB ⊥,延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠，再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证.【详解】解：(1)连接AB ，在☉0中，o APQ BPQ 45∠=∠=，o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=AB ∴是☉0的直径.Rt APB ∴∆在中，22AB AP BP =+AB=3∴∴☉0的半径是32(2)AB//ON证明：连接OA , OB , OQ ,在☉0中, AQ AQ =, BQ BQ =,Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.又APQ BPQ ∠=∠,AOQ BOQ ∴∠=∠.在AOB ∆中，OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=连接OQ ，交AB 于点C在☉0中，OP OQ =OPN OQP.∴∠=∠延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，NOQ 90O ∴∠=NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .AB//ON ∴【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键．2．（1）点B （3，4），点C （﹣3，﹣4）；（2）证明见解析；（3）定点（4，3）；理由见解析．【解析】【分析】（1）由中心对称的性质可得OB＝OC＝5，点C（﹣a，﹣a﹣1），由两点距离公式可求a 的值，即可求解；（2）由两点距离公式可求AB，AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理可求解；（3）由旋转的性质可得DO＝BO＝CO，可得△BCD是直角三角形，以BC为直径，作⊙O，连接OH，DE与⊙O交于点H，由圆周角定理和角平分线的性质可得∠HBC＝∠CDE ＝45°＝∠BDE＝∠BCH，可证CH＝BH，∠BHC＝90°，由两点距离公式可求解．【详解】解：（1）∵A（﹣5，0），OA＝OC，∴OA＝OC＝5，∵点B、C关于原点对称，点B（a，a+1）（a＞0），∴OB＝OC＝5，点C（﹣a，﹣a﹣1），∴5∴a＝3，∴点B（3，4），∴点C（﹣3，﹣4）；（2）∵点B（3，4），点C（﹣3，﹣4），点A（﹣5，0），∴BC＝10，AB＝，AC＝∵BC2＝100，AB2+AC2＝80+20＝100，∴BC2＝AB2+AC2，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC；（3）过定点，理由如下：∵将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，∴CO＝DO，又∵CO＝BO，∴DO＝BO＝CO，∴△BCD是直角三角形，∴∠BDC＝90°，如图②，以BC为直径，作⊙O，连接OH，DE与⊙O交于点H，∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝∠CDE＝45°，∴∠HBC＝∠CDE＝45°＝∠BDE＝∠BCH，∴CH＝BH，∠BHC＝90°，∵BC＝10，∴BH＝CH＝2，OH＝OB＝OC＝5，设点H（x，y），∵点H在第四象限，∴x＜0，y＞0，∴x2+y2＝25，（x﹣3）2+（y﹣4）2＝50，∴x＝4，y＝3，∴点H（4，﹣3），∴∠BDC的角平分线DE过定点H（4，3）．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了中心对称的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理的逆定理，两点距离公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．3．(1)A(6，3)，B(12，0)，C(0，6)；(2)y=-x+6；(3)满足条件的Q点坐标为：(-3，3)或22)或(6，6).【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特点，可求出B,C两点坐标.两个函数解析式联立形成二元一次方程组，可以确定A点坐标.（2）根据坐标特点和已知条件，采用待定系数法，即可作答.（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内存在点Q，使以O、C、P、2为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑：①当四边形OP1Q1C为菱形时，由∠COP1=90°，得到四边形OP1Q1C为正方形；②当四边形OP2CQ2为菱形时；③当四边形OQ3P3C为菱形时；分别求出Q坐标即可.【详解】解：(1)由题意得16212y xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得63 xy=⎧⎨=⎩∴A(6，3)在y=-162x+中，当y=0时，x=12，∴B(12，0)当x=0时，y=6，∴C(0，6).(2)∵点D在线段OA上，∴设D(x，12x) (0≤x≤6)∵S△COD=12∴12×6x=12x=4∴D(4，2)，设直线CD的表达式为y=kx+b，把(10，6)与D(4，2)代入得624bk b=⎧⎨=+⎩解得16 kb=-⎧⎨=⎩直线CD的表达式为y=-x+6(3) 存在点2，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑：①当四边形OP1Q1C为菱形时OC==OP1，由∠COP1=90°，得到四边形OP1Q1C为正方形，此时Q1P1=OP1=OC=6，即Q:（6，6）；②当四边形OP2CQ2为菱形时，OP2=CP2，由C坐标为（0，6），得到Q2纵坐标为3，把y=3代入直线OQ2解析式y=-x中，得：x=-3，此时Q2（-3，3）；③当四边形0Q3P3C为菱形时，OC=CP3，则有OQ3=OC=CP3=P3Q3=6，设坐标为（x，-x+6），∵OC=CP3∴x2+x2= CP32= OC2=62解得，P的坐标为，)此时Q3).综上，点Q的坐标是(-3，3)或，)或(6，6).【点睛】本题是一次函数、勾股定理、特殊的平行四边形的综合应用，是一道压轴题，在考试中第一问必须作答，二三问可以根据自己的情况进行取舍.4．（1）∠DPC是直径AB的回旋角，理由见解析；（2）“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数，证明见解析；（3）3或23．【解析】【分析】（1）由∠BPC＝∠DPC＝60°结合平角＝180°，即可求出∠APD＝60°＝∠BPC，进而可说明∠DPC是直径AB的回旋角；（2）延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE，由“回旋角”的定义结合对顶角相等，可得出∠APE＝∠APD，由圆的对称性可得出∠E＝∠D，由等腰三角形的性质可得出∠E＝∠C，进而可得出∠D＝∠C，利用三角形内角和定理可得出∠COD＝∠CPD，即“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数；（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC，利用（2）的方法可得出点P，D，F在同一条直线上，由直径AB的“回旋角”为120°，可得出∠APD＝∠BPC＝30°，进而可得出∠CPF＝60°，即△PFC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得出∠CFD＝60°．连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD＝120°，根据等腰三角形的性质可得出CD＝2DG，∠DOG＝12∠COD＝60°，结合圆的直径为26可得出CD＝PCD的周长为DF＝24，过点O作OH⊥DF于点H，在Rt△OHD和在Rt△OHD中，通过解直角三角形可得出OH，OP的值，再根据AP＝OA﹣OP可求出AP的值；②当点P在半径OB上时，用①的方法，可得：BP＝3，再根据AP＝AB﹣BP可求出AP的值．综上即可得出结论．【详解】（1）∵∠BPC＝∠DPC＝60°，∴∠APD＝180°﹣∠BPC﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠APD＝∠BPC，∴∠DPC是直径AB的回旋角．（2）“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数，理由如下：如图2，延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE．∵∠CPB＝∠APE，∠APD＝∠CPB，∴∠APE＝∠APD．∵圆是轴对称图形，∴∠E＝∠D．∵OE＝OC，∴∠E＝∠C，∴∠D＝∠C．由三角形内角和定理，可知：∠COD＝∠CPD，∴“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数．（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC．同（2）的方法可得：点P，D，F在同一条直线上．∵直径AB的“回旋角”为120°，∴∠APD＝∠BPC＝30°，∴∠CPF＝60°，∴△PFC是等边三角形，∴∠CFD＝60°．连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD＝120°，∴CD＝2DG，∠DOG＝12∠COD＝60°，∵AB=26，∴OC=13，∴133 CG=∴CD＝2×1332＝133∵△PCD的周长为24+133，∴PD+PC+CD＝24+133，∴PD+PC＝DF＝24．过点O作OH⊥DF于点H，则DH＝FH＝12DF＝12．在Rt△OHD中，OH222213125OD DH--=,在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，∴OP＝2OH＝10，∴AP＝OA﹣OP＝13﹣10＝3；②当点P在半径OB上时，同①的方法，可得：BP＝3，∴AP＝AB﹣BP＝26﹣3＝23．综上所述，AP的长为：3或23．【点睛】此题是圆的综合题，考查圆的对称性质，直角三角形、等腰三角形与圆的结合，（3）是此题的难点，线段AP的长度由点P所在的位置决定，因此必须分情况讨论.5．(1)作图见解析；（2）49 .【解析】试题分析：（1）作出∠B的角平分线BD，再过X作OX⊥AB，交BD于点O，则O点即为⊙O的圆心；（2）由于⊙P与△ABC哪两条边相切不能确定，故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切；⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时；⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论．试题解析：（1）如图所示：①以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交BC、AB于点G、H；②分别以G、H为圆心，以大于23GH为半径画圆，两圆相交于D，连接BD；③过X作OX⊥AB，交直线BD于点O，则点O即为⊙O的圆心．（2）①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质可知，动点P是∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1（不为∠ABC 的顶点）∵OX=BOsin∠ABM，P1Z=BPsin∠ABM，当BP1＞BO时，P1Z＞OX即P与B的距离越大，⊙P 的面积越大，这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点；如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上，∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与CB相切于C，与边AB相切于E，即这时⊙P是符合题意的圆，时⊙P的面积就是S的最大值，∵AC=1，BC=2，∴AB=5，设PC=x，则PA=AC-PC=1-x在直角△APE中，PA2=PE2+AE2，∴（1-x）2=x2+（5-2）2，∴x=25-4；②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC=y，则（2-y）2=y2+（5-1）2，∴y=51 ；③如图4，同理可得，当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，设PF=z，∵△APF∽△PBE，∴PF：BE=AF：PE，∴，∴z=49．由①、②、③可知，4 9＞512＞∴z＞y＞x，∴⊙P的面积S的最大值为π．考点:1. 切线的性质；2.角平分线的性质；3.勾股定理；4.作图—复杂作图．6．（1）4；（2）52；（3）600（2+1）．【解析】【分析】（1）如图①中，证明△EOB≌△FOC即可解决问题；（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．利用四点共圆，证明∠DBQ＝∠DAC＝45°，再根据垂线段最短即可解决问题．（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，首先证明AB+BC+BD＝（2+1）BD，当BD最大时，AB+BC+BD的值最大．【详解】解：（1）如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠EOF＝∠BOC，∴∠EOB＝∠FOC，∴△EOB≌△FOC（SAS），∴S△EOB＝S△OFC，∴S四边形OEBF＝S△OBC＝14•S正方形ABCD＝4，故答案为：4；（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．∵∠ABD＝∠ADC＝90°，AO＝OC，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠DBC＝∠DAC，∵DA＝DC，∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴∠DBQ＝45°，根据垂线段最短可知，当QD⊥BD时，QD的值最短，DQ的最小值＝22BQ＝52．（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠BCD+∠BAD＝∠EAD+BAD＝180°，∴B，A，E三点共线，∵DE＝DB，∠EDB＝90°，∴BE2BD，∴AB+BC＝AB+AE＝BE2BD，∴BC+BC+BD2+1）BD，∴当BD最大时，AB+BC+BD的值最大，∵A，B，C，D四点共圆，∴当BD为直径时，BD的值最大，∵∠ADC＝90°，∴AC是直径，∴BD ＝AC 时，AB +BC +BD 的值最大，最大值＝600+1）．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7．（1）详见解析；（2）3）12【解析】【分析】（1）由矩形的性质得到90EAF CBE ∠=∠=︒，再根据同角的余角相等，得到AFE BEC =∠∠，即可证明相似；（2）根据矩形的性质和相似三角形的性质，得到222AB BC =，再利用勾股定理，即可求出AB 的长度；（3）分别找出两个三角形外接圆的圆心M 、N ，利用三角形中位线定理，即可求出MN 的长度.【详解】（1）证明：在矩形ABCD 中，有90EAF CBE ∠=∠=︒，∴90AEF AFE ∠+∠=︒，∵EC EF ⊥，∴90FEC ∠=︒，∴90AEF BEC ∠+∠=︒，∴AFE BEC =∠∠，∴AEF BCE ∽；（2）在矩形ABCD 中，有AD=BC ，∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴22,2AB AE BE AD AF ===；∵AEF BCE ∽， ∴AE AF BC BE=， ∴222AB BC =，在Rt △ABC 中，由勾股定理得，222AB BC AC +=， ∴221122AB AB +=，解得：AB =（3）如图：∵△ABC 是直角三角形，∴△ABC 的外接圆的圆心在AC 中点M 处，同理，△CEF 的外接圆的圆心在CF 的中点N 处，∴线段MN 为△ACF 的中位线， ∴1124MN AF AD ==，由（2）知，22222AB BC AD ==， ∴2AD AB =， ∴22122882MN AB ===. 【点睛】本题考查了求三角形外接圆的圆心距，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形中位线定理，解题的关键是熟练利用所学性质进行证明和求解.8．（1）BQ ,2tcm ,PB ,()5t cm -；（2）当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由见解析.【解析】【分析】（1）根据点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，可以求得BQ ,PB .（2）用含t 的代数式分别表示PB 和BQ 的值，运用勾股定理求得PQ 为22(5)(2)t t -+＝25据此求出t 值.（3）根据题干信息使得五边形APQCD 的面积等于226cm 的t 值存在，利用长方形ABCD 的面积减去PBQ △的面积即可，有PBQ △的面积为4，由此求得t 值.【详解】解：（1）点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，故BQ 为2tcm ,点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，AB ＝5cm ，故PB 为()5t cm -.（2）由题意得：22(5)(2)t t -+＝25，解得：1t ＝0，2t ＝2；当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由如下：长方形ABCD 的面积是：56⨯＝()230cm ，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ，则PBQ △的面积为3026-＝()24cm ，()15242t t -⨯⨯=，解得：1t ＝4（不合题意舍去），2t ＝1．即当t ＝1秒时，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．【点睛】本题结合长方形考查动点问题，其本质运用代数式求值，利用含t 的代数式表示各自线段的直接，根据题干数量关系即可确立等量关系式，从而求出t 值.9．（1）ACD ∠＝31︒；（2）①是；②34a b =. 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B ，根据等腰三角形的性质求出∠BCD ，计算即可；（2）①根据勾股定理求出AD ，利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可．【详解】（1）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒.∴90B A ∠=︒-∠ 9028=︒-︒62=︒，∵BC BD =， ∴1802B BCD BDC ︒-∠∠=∠= 180622︒-︒= 59=︒.∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠9059=︒-︒31=︒.（2）①BD BC a ==，∴AD AB BD =-AB a =-.在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB ==∵2220x ax b +-=，∴x =a =-a AB =-±.∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根.②∵AE AD =，又∵AD EC =， ∴2b AE EC ==， ∴2b AD =. 在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+， ∴2222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 22224b a ab b a ++=+， ∴234b ab =. ∵0b >， ∴34b a =， ∴34a b =. 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．10．（1）7-t （2）()()()22904;25{1674725t t S t t ππ<≤=-<<（3）516,23t t == 【解析】【分析】（1）先判断出点P 在BC 上，即可得出结论；（2）分点P 在边AC 和BC 上两种情况：利用相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；（3）分点P 在边AC 和BC 上两种情况：借助（2）求出的圆P 的半径等于PC ，建立方程求解即可得出结论．【详解】（1）∵AC =4，BC =3，∴AC +BC =7．∵4＜t ＜7，∴点P 在边BC 上，∴BP =7﹣t ．故答案为：7﹣t ；（2）在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，根据勾股定理得：AB =5，由运动知，AP =t ，分两种情况讨论：①当点P 在边AC 上时，即：0＜t ≤4，如图1，记⊙P 与边AB 的切点为H ，连接PH ，∴∠AHP =90°=∠ACB ．∵∠A =∠A ，∴△APH ∽△ACB ，∴PH AP BC AB =，∴35PH t =，∴PH 35=t ，∴S 925=πt 2； ②当点P 在边BC 上时，即：4＜t ＜7，如图，记⊙P 与边AB 的切点为G ，连接PG ，∴∠BGP =90°=∠C ．∵∠B =∠B ，∴△BGP ∽△BCA ，∴PG BP AC AB =，∴745PG t -=，∴PG 45=（7﹣t ），∴S 1625=π（7﹣t ）2．综上所述：S 22904251674725t t t t ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩（＜）（）（＜＜）；（3）分两种情况讨论：①当点P 在边AC 上时，即：0＜t ≤4，由（2）知，⊙P 的半径PH 35=t ． ∵⊙P 与△ABC 的另一边相切，即：⊙P 和边BC 相切，∴PC =PH ．∵PC =4﹣t ，∴4﹣t 35=t ，∴t 52=秒； ②当点P 在边BC 上时，即：4＜t ＜7，由（2）知，⊙P 的半径PG 45=（7﹣t ）． ∵⊙P 与△ABC 的另一边相切，即：⊙P 和边AC 相切，∴PC =PG ．∵PC =t ﹣4，∴t ﹣445=（7﹣t ），∴t 163=秒．综上所述：在⊙P 运动过程中，当⊙P 与三角形ABC 的另一边也相切时，t 的值为52秒或163秒．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解答本题的关键．11．（1）243y x x =-+-；（2）点P 坐标为（－1，－8），（5，－8）；（3）①G 的坐标．3551()22，3551(---5515(22-，5515(22--+；②513t +=或513t -= 【解析】【分析】（1）将A 、B 两点坐标代入抛物线解析式，可确定抛物线解析式；（2）根据A 、B 两点坐标得AB=3-1=2，由三角形面积公式求P 点纵坐标的绝对值，得出P 点纵坐标的两个值，代入抛物线解析式求P 点横坐标；（3）①根据题意，可分为两种情况进行分析：当点G 在对称轴右侧；当点G 在对称轴左侧；结合图像，分别求出点G 的坐标即可；②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点G 在对称轴左侧；当点G 在对称轴右侧；结合图像，分别列出方程，求出t 的值即可．【详解】解：（1）把点(1,0)A ，(3,0)B 代入抛物线2y x bx c =-++上，求得：4b =，3c =-，∴243y x x =-+-；（2）依题意，得312AB =-=，设P 点坐标为(,)a n ，当0n >时，则8n =，故2–438x x +-=，即24110x x ++=，∴441111644280∆=-⨯⨯=-=-<2（-），方程24110x x -++=无实数根；当0n <时，则8n =-故2438x x -+-=-，即2450x x -+-=，解得：11x =-，25x =所求点P 坐标为（－1，－8），（5，－8）．（3）①分两种情况当点G 在对称轴右侧，设点G D 的横坐标为m ，则点D 到对称轴的距离为2m -，∵点D 到x 轴和到对称轴的距离相等所以点D 的纵坐标为2m -或2m -﹐当点D 的坐标为(,2)m m -，有2243m m m -=-+-，解得：1352m +=，2352m -=（不符题意舍去），此时点D 的坐标为：3551(,)+-．当点D 的坐标为(,2)m m -时，有 2243m m m -=-+-，解得：1552m +=，255m -=（不符题意舍去），此时点D 的坐标为：5515(,)22+--．当点G 在对称轴左侧，设点D 的横坐标为m ，则点D 到对称轴的距离为2m -﹐因为点D 到x 轴和到对称轴的距离相等所以点D 的纵坐标为2m -或2m -，分别代入解析式可求出点D 的坐标分别为：3551(,)22---，5515(,)22--+．综上所述点D 的坐标为：3551(,)22+-﹐5515(,)22+--，3551(,)22---，5515(,)22--+． ②分两种情况当点G 在对称轴左侧，此时有1EN t =-，2NF t =﹐因为//EN GF ，点E 为CG 的中点，所以222GF EN t ==-，所以点G 的坐标为(42,2)t t --，将(42,2)t t --代入243y x x =-+-中，得 2(42)4(42)3t t t -=--+-2-，解得：15134t +=，25134t -=（不合题意舍去）．当点G 在对称轴右侧，此时有1EN t =-，2NF t =，因为//EN GF ，点E 为CG 的中点，所以222GF EN t ==-，所以点G 的坐标为(42,2)t t --，将(42,2)t t --代入243y x x =-+-中，得 2(42)4(42)3t t t -=--+-2-，解得：1513t +=（不合题意舍去），2513t -=．综上所述：513t +=或513t -=．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，三角形面积公式的运用．关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法，掌握三角形的高与P 点纵坐标的关系，注意运用数形结合和分类讨论的思想进行解题．12．（1）12；（2）tan EAD ∠=13；（3）51DE CD -=．【解析】【分析】（1）先证明△ADP ≌△CDP ，得到∠DAP=∠DCP ，再证明△ADE ≌△CDO ，得到DE=DO ，根据O 是AD 的中点，AD=CD ，即可得到答案；（2）先证明△AFD ≌△DOC ，得到∠AFD=∠DOC ，进而得到∠OPD=90°，即可得到△OPD ∽△FAD ，根据对应边成比例得到DP OD AD DF =,设AF=OD=x ，则AD=2x ，DF=5x ，得到DP=255x ，求出PF=355x ，再证明△DEP ∽△FAP ，得到23DE AF =，根据AF=12CD ，即可得到答案；（3）先证明△FCD ≌△EDA ，得到∠EAD=∠FDC ，进而得到∠EPD=∠APD=90°，根据直角三角形的性质可得OP=OD=12AD ，设OD=OP=x ，则CD=2x ，OC=5x ，可得PC=OC-OP=5x x -，根据△DPO ∽△FPC ，得到514OD FC +=，进而得到5151CF CD -==+，即可得到结论. 【详解】（1）如图①中，∵四边形ABCD 是正方形，PDA PDC ∴∠=∠， DP DP =，DA DC =，PDA ∴≌()PDC SAS ，DAE DCO ∴∠=∠，90ADE CDO ∠=∠=︒，AD CD =，ADE ∴≌()CDO ASA ，OD DE ∴=，AO OD ∴=，CE DE ∴=，12DE DC ∴=．（2）如图②中，连接OF ．设OA OD a ==．AF FB =，OA OD =，AB AD =，AF OD ∴=，AD DC =，90FAD ODC ∠=∠=︒，FAD ∴≌()ODC SAS ，FDA OCD ∴∠=∠， 90FDA CDP ∠=∠=︒，∴ 90OCD CDP ∠=∠=︒，90CPD ∴∠=︒，90FAO FPO ∠=∠=︒，∴A ，F ，P ，O 四点共圆，PAO PFO ∴∠=∠，1tan 2OP OPD PD∠==， 5OP ∴=，25PD =， 5DF a =，355PF a ∴=， 1tan tan 3OP PFO PAO PF ∴∠=∠==， tan EAD ∴∠= 13DE DE AD CD ==．（3）如图③中，连接EF ．设CF DE y ==，EC x =．CF DE =，90FCD EDA ∠=∠=︒，CD DA =，∴ FCD ≌EDA ()SAS ，CDF EAD ∴∠=∠，90CDF ADP ∠=∠=︒，∴ 90DAE ADP ∠+∠=︒，∴ 90APD ∠=︒，OA OD =，∴ OP OA OD ==，∴ OAP OPA CPE ∠=∠=∠，90ECF EPF ∠=∠=︒，∴E ，C ，F ，P 四点共圆，∴ CFE EPC ∠=∠， ∴ CFE DCF ∠=∠，ECF DCF ∠=∠，∴ FCE ∽DCF ，∴ 2·CF CE CD =，∴ ()2y x x y =+，∴ 220y xy x --=，∴ 15y x +=15x -（舍弃）， ∴ 15y x +=，∴ DE y CD x y ===+．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，求根公式法解一元二次方程，锐角三角函数及四点共圆等知识，用到的知识点较多，难度较大，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

人教版数学九年级上册第二十四章《圆》压轴题综合培优训练(包含答案)

《圆》压轴题综合培优训练1．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC 交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．2．如图，在△ABC中，CA＝CB，E是边BC上一点，以AE为直径的⊙O经过点C，并交AB 于点D，连结ED．（1）判断△BDE的形状并证明．（2）连结CO并延长交AB于点F，若BE＝CE＝3，求AF的长．3．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．4．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD 的延长线于点E．（1）求证：∠BDC＝∠A；（2）若CE＝2，DE＝2，求AD的长．（3）在（2）的条件下，求弧BD的长．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当⊙O半径为3，CE＝2时，求BD长．6．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD＝CF．7．如图，AH是圆O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AD＝8，EB＝5，求⊙O的直径．8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OA，垂足为点M，连接并延长CO交⊙O于点E，分别连接DE，BE，DB，其中∠EDB＝30°，∠CDE的平分线DN交CE于点G，交⊙O于点N，延长CE至点F，使FG＝FD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若⊙O半径r为8，求线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．9．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE＝DB：（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长10．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．（I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小；（II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．11．如图，AB是圆O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交圆O于点F，且CE＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果OA＝3，求AE•AB的值．12．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，O是BC上一点，⊙O交AB于点D，交BC 延长线于点E．连接ED，交AC于点G，且AG＝AD．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）设⊙O与AC的延长线交于点F，连接EF，若EF∥AB，且EF＝5，求BD的长．13．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD．（Ⅰ）如图①，求∠ODE的大小；（Ⅱ）如图②，连接OC交DE于点F，若OF＝CF，求∠A的大小．14．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB是圆O的直径，C是圆上的一点，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．（1）求证：DE是圆O的切线．（2）若AB＝6，AE＝4.8，求BD和BC的长．15．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上．（1）如图1，MA＝6，MB＝8，∠NOB＝60°，求NB的长；（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究∠MCP、∠NAB、∠MBA之间的数量关系，并证明．参考答案一．解答题1．解：（1）连接BD、OE，∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，∴∠DBC＝∠CAB，∴∠EDB＝∠EBD，则∠BDC＝90°，∴E为BC的中点；（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，∴AD：BM＝，而△ADH∽△MBH，∴DH：BH＝，则DH＝HM，∴HM：BH＝，∴∠BMH＝30°＝∠BAC，∴∠C＝60°，E是直角三角形的中线，∴DE＝CE，∴△DEC为等边三角形，⊙O的面积：12π＝（AB）2π，则AB＝4，∠CAB＝30°，∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4，四边形OBED的外接圆面积S2＝π（2）2＝4π，等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，故△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为：．2．（1）证明：△BDE是等腰直角三角形．∵AE是⊙O的直径∴∠ACB＝∠ADE＝90°，∴∠BDE＝180°﹣90°＝90°．∵CA＝CB，∴∠B＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形．（2）过点F作FG⊥AC于点G，则△AFG是等腰直角三角形，且AG＝FG．∵OA＝OC，∴∠EAC＝∠FCG．∵BE＝CE＝3，∴AC＝BC＝2CE＝6，∴tan∠FCG＝tan∠EAC＝．∴CG＝2FG＝2AG．∴FG＝AG＝2，∴AF＝2．3．【解答】（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC＝60°，OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE＝OA，∠AOE＝60°，∴AE＝AO＝OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD＝60°，∴S△AEM ＝S△DMO，∴S阴影＝S扇形EOD＝＝π．4．（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O切线，∴∠ODC＝90°，即∠ODB+∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB+∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A；（2）∵CE⊥AE，∴∠E＝∠ADB＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE，∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴＝，∴EC2＝DE•AE，∴（2）2＝2（2+AD），∴AD＝4．（3）∵直角△CDE中，tan∠DCE＝＝＝，∴∠DCE＝30°，又∵△AEC∽△CED，∴∠A＝∠DCE＝30°，∴∠DOB＝2∠A＝60°，BD＝AD•tan A＝4×＝，∴△OBD是等边三角形，则OD＝BD＝，则弧BD的长是＝．5．（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，即DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙0的切线；（2）证明：∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°，∴△DEC∽△ADB，∴，∴BD•CD＝AB•CE，∵BD＝CD，∴BD2＝AB•CE，∵⊙O半径为3，CE＝2，∴BD＝＝2．6．证明：（1）连接OA，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC＝30°，∠BCA＝60°，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵AD＝DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF，∠DAF＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF．7．解：（1）如图1，连接OE，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∵AE平分∠FAH，∴∠EAO＝∠FAE，∴∠FAE＝∠AEO，∴AF∥OE，∴∠AFE+∠OEF＝180°，∵AF⊥GF，∴∠AFE＝∠OEF＝90°，∴OE⊥GF，∵点E在圆上，OE是半径，∴GF是⊙O的切线．（2）设AB＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝x，BC＝AD＝8，∴CE＝BC﹣BE＝3，∵AE是∠BAF的角平分线，BE⊥AB，EF⊥AF，∴EF＝BE＝5，在Rt△CEF中，根据勾股定理得，CF＝4，∴DF＝CD﹣CF＝x﹣4，在Rt△ABE和Rt△AFE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），∴AF＝AB＝x，在Rt△ADF中，x2﹣（x﹣4）2＝64，∴x＝10，∴AB＝10，设⊙O的半径为r，∴OB＝10﹣r，在Rt△BOE中，r2﹣（10﹣r）2＝25，∴r＝，∴⊙O的直径为．8．（1）证明：连接OD，∵CD垂直平分OA，∴OM＝OA＝OD，∴∠ODC＝30°，∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∵DN平分∠CDE，∴∠CDN＝45°，∴∠ODN＝45°﹣30°＝15°，∵OD＝OC，∴∠DCO＝∠ODC＝30°，∴∠FGD＝45°+30°＝75°，∵FD＝FG，∴∠FDG＝∠FGD＝75°，∴∠ODF＝∠ODN+∠FDG＝15°+75°＝90°，∴DF是⊙O的切线；（2）解：∵∠EDB＝30°，∴∠EOB＝60°，Rt△CDE中，∠DEC＝60°，∴∠DEC＝∠EOB＝60°，∴DE∥AB，∴S△DOE ＝S△ODE，∴S阴影＝S扇形ODE＝＝；答：线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积是，9．（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠BED＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠5+∠4＝∠DBE，∴DB＝DE；（2）解：连接CD，如图，∵∠BAC＝90°，∴BC为直径，∴∠BDC＝90°，∵∠1＝∠2，∴DB＝BC，∴△DBC为等腰直角三角形，∴BC＝BD＝4，∴△ABC外接圆的半径为2；（3）解：∵∠5＝∠2＝∠1，∠FDB＝∠BDA，∴△DBF∽△ADB，∴＝，即＝，∴AD＝9．10．解：（I）如图①，连接OB，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∴∠OBF＝90°，∵OA⊥CD，∴∠OED＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠F＝180°﹣50°＝130°，∵OA＝OB，∴∠1＝∠A＝（180°﹣130°）＝25°，∴∠2＝90°﹣∠1＝65°，∴∠BGF＝180°﹣∠2﹣∠F＝180°﹣65°﹣50°＝65°；（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∵AC∥BF，∴BH⊥AC，与（Ⅰ）方法可得到∠AOB＝180°﹣∠F＝180°﹣36°＝144°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝（180°﹣144°）＝18°，∵∠AOB＝∠OHA+∠OAH，∴∠OAH＝144°﹣90°＝54°，∴∠BAC＝∠OAH+∠OAB＝54°+18°＝72°，∴∠BDG＝∠BAC＝72°．11．（1）证明：连接OB．∵CD⊥OA，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵CE＝CB，∴∠CBE＝∠CEB＝∠AED，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∴∠OBC＝90°，∴OB⊥BC．（2）解：连接OF．∵AD＝OD，FD⊥OA，∴FA＝FO＝AO，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴∠ABF＝∠AOF＝30°．（3）解：延长AO交⊙O于H，连接BH．∵AH是直径，∴∠ABH＝∠ADE＝90°，∵∠DAE＝∠HAB，∴△DAE∽△BAH，∴＝，∴AE•AB＝AD•AH＝×6＝9．12．（1）证明：连结OD，∵∠ACB＝90°，∴∠OED+∠EGC＝90°，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵AG＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGD＝∠EGC，∴∠OED+∠EGC＝∠ADG+∠ODE＝∠ADO＝90°，∴OD⊥AB，∵OD为半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接OF，∵EF∥AB，AC：BC＝4：3，∴CF：CE＝4：3，又∵EF＝5，∴CF＝4，CE＝3，设半径＝r，则OF＝r，CF＝4，CO＝r﹣3．在Rt△OCF中，由勾股定理，可得r＝，∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠B，∵∠ECF＝∠ODB＝90°，∴△CEF∽△DBO，∴＝，∴＝，∴BD＝．13．证明：（Ⅰ）连接OE，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°，∵E点是BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∵OD＝OB，OE＝OE，∴△ODE≌△OBE，∴∠ODE＝∠OBE，∵∠ABC＝90°，∴∠ODE＝90°；（Ⅱ）∵CF＝OF，CE＝EB，∴FE是△COB的中位线，∴FE∥OB，∴∠AOD＝∠ODE，由（Ⅰ）得∠ODE＝90°，∴∠AOD＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝．14．解：（1）如图，连接OC，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC＝∠BA C；又在圆中OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠EAC＝∠ACO，∴OC∥AE，由AE⊥DC知OC⊥DC，∴DE是⊙O的切线．（2）∵∠D＝∠D，∠E＝∠OCD＝90°，∴△DCO∽△DEA，∴＝，∴＝，∴＝，∴BD＝2；∵Rt△EAC∽Rt△CAB，∴＝，∴＝∴AC2＝，由勾股定理得：BC＝＝．15．解：（1）如图1，∵AB是半圆O的直径，∴∠M＝90°，在Rt△AMB中，AB＝，∴AB＝10．∴OB＝5，∵OB＝ON，又∵∠NOB＝60°，∴△NOB是等边三角形，∴NB＝OB＝5．（2）结论：∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．理由：方法一：如图2中，画⊙O，延长MC交⊙O于点Q，连接NQ，NB．∵MC⊥AB，又∵OM＝OQ，∴MC＝CQ，即C是MQ的中点，又∵P是MQ的中点，∴CP是△MQN的中位线，∴CP∥QN，∴∠MCP＝∠MQN，∵∠MQN＝∠MON，∠MBN＝∠MON，∴∠MQN＝∠MBN，∴∠MCP＝∠MBN，∵AB是直径，∴∠ANB＝90°，∴在△ANB中，∠NBA+∠NAB＝90°，∴∠MBN+∠MBA+∠NAB＝90°，即∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．方法二：如图2﹣1中，连接MO，OP，NO，BN．∵P是MN中点，又∵OM＝ON，∴OP⊥MN，且∠MOP＝∠MON，∵MC⊥AB，∴∠MCO＝∠MPO＝90°，∴设OM的中点为Q，则QM＝QO＝QC＝QP，∴点C，P在以OM为直径的圆上，在该圆中，∠MCP＝∠MOP＝∠MQP，又∵∠MOP＝∠MON，∴∠MCP＝∠MON，在半圆O中，∠NBM＝∠MON，∴∠MCP＝∠NBM，∵AB是直径，∴∠ANB＝90°，∴在△ANB中，∠NBA+∠NAB＝90°，∴∠NBM+∠MBA+∠NAB＝90°，即∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．。

人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》压轴题综合培优训练(含答案)

《二次函数》压轴题综合培优训练1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）判断△ABC 的形状；（2）过点C 的直线y ＝交x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点P 作PQ ∥y 轴交直线CH 于点Q ，作PN ∥x 轴交对称轴于点N ，以PQ 、PN 为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R →K →T 的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动的最少时间及此时点T 的坐标；（3）如图2，将△ABC 绕点B 顺时针旋转至△A ′BC ′的位置，点A 、C 的对应点分别为A ′、C ′，且点C ′恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC ′．点E 是y 轴上的一个动点，连接AE 、C ′E ，将△AC ′E 沿直线C ′E 翻折为△A ″C ′E ，是否存在点A ′，使得△BAA ″为等腰三角形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）△ABC 是以AC 为底的等腰三角形．理由如下：由题意知抛物线y ＝与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ，∴令x ＝0，解得y ＝；令x ＝0，解得：x 1＝，x 2＝4；∴A （，0），，；∴AC2＝AM2+MC2＝＝30，BC2＝OB2+OC2＝＝75，AB2＝（OA+OB）2＝＝75∴AB＝BC∴△ABC是以AC为底的等腰三角形．（2）如图1中，过点C的直线y＝交x轴于点H，令y＝0，解得x＝，∴设P（m，﹣﹣3），则Q（m，﹣3），∵y＝＝﹣∴抛物线对称轴为：直线x＝，∴QP＝（﹣3）﹣（﹣﹣3）＝﹣+，NP＝m﹣，＝2（QP+NP）＝2（﹣+﹣）＝∴矩形PQMN的周长C矩形PQMN+∵﹣＜0，开口向下，∴当m＝3时，C最小，此时，P（3，﹣3），矩形PQMN∵R为线段CP的中点，∴R （，﹣3），作点R 关于y 轴对称点R ′（﹣，﹣3），此时R 与N 重合，由题意知：动点G 运动的最少时间t ＝RK +KT +TB ，在y 轴正半轴上取点S （0，4），连接直线BS ，则直线BS 解析式为y ＝﹣x +4，过点R ′作R ′J ⊥BS 于J ，交y 轴于K ，交x 轴于T ，则R ′J 即为所求，∵tan ∠SBO ＝＝＝，∴∠SBO ＝30°，∴TJ ＝TB 即t ＝R ′K +KT +TJ ，∵RR ′＝3，∠RR ′J ＝∠BTJ ＝60°，∴△KRR ′为等边三角形，∠RKR ′＝∠KRR ′＝60° ∴∠KRM ＝∠KHR ＝30°∴R ′J ＝2RR ′＝6即动点G 运动的最少时间t ＝6（秒）；∵△JMT ∽△JRR ′∴＝，即＝∴TM ＝3﹣3 ∴T （，0）；（3）①当AA ''＝A ''B 时，如图2中，此时，A''在对称轴上对称性可知∠AC′E＝∠A''C′E又∠HEC′＝∠A''C′E∴∠AC′E＝∠HEC′∴HE＝HC'＝5∴OE＝HE﹣HO＝∴②当AA''＝AB时，如图3中，设A″C′交y轴于J．此时AA''＝AB＝BC'＝A''C'∴四边形A''ABC'为菱形由对称性可知∠AC'E＝∠A''C'E＝30°∴JE＝∴OE＝OJ﹣JE＝6∴E（0，6）③当AA''＝A''B时，如图4中，设AC′交y轴于M．此时，A''在对称轴上∠MC'E＝75°又∠AMO＝∠EMC'＝30°∴∠MEC'＝75°∴ME＝MC'∴MC'＝∴OE＝∴E（）④当A''B＝AB时，如图5中，此时AC'＝A''C'＝A''B＝AB∴四边形AC'A''B为菱形由对称性可知，C''，E，B共线∴OE＝，∴E（0，12）．综上所述，满足条件的点E坐标为（0，3﹣）或（0，6）或（0，3+）或（0，12）．2．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +5与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C ，B 不重合），过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接BD ，直线BC 能否把△BDF 分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D 的坐标；若不能，请说明理由．（3）若M 为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC 为直角三角形，请直接写出点M 的坐标．解：（1）将A （﹣1，0），B （5，0）代入y ＝ax 2+bx +5，得：，解得，则抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x +5；（2）能．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，把C （0，5），B （5，0）代入得，解得，所以直线BC 的解析式为y ＝﹣x +5，设D （x ，﹣x 2+4x +5），则E （x ，﹣x +5），F （x ，0），（0＜x ＜5）， ∴DE ＝﹣x 2+4x +5﹣（﹣x +5）＝﹣x 2+5x ，EF ＝﹣x +5，当DE ：EF ＝2：3时，S △BDE ：S △BEF ＝2：3，即（﹣x 2+5x ）：（﹣x +5）＝2：3，整理得3x 2﹣17x +10＝0，解得x 1＝，x 2＝5（舍去），此时D 点坐标为（，）；当DE ：EF ＝3：2时，S △BDE ：S △BEF ＝3：2，即（﹣x 2+5x ）：（﹣x +5）＝3：2，整理得2x 2﹣13x +15＝0，解得x 1＝，x 2＝5（舍去），此时D 点坐标为（，）；综上所述，当点D 的坐标为（，）或（，）时，直线BC 把△BDF 分成面积之比为2：3的两部分；（3）抛物线的对称轴为直线x ＝2，如图，设M （2，t ），∵B （5，0），C （0，5），∴BC 2＝52+52＝50，MC 2＝22+（t ﹣5）2＝t 2﹣10t +29，MB 2＝（2﹣5）2+t 2＝t 2+9，当BC 2+MC 2＝MB 2时，△BCM 为直角三角形，∠BCM ＝90°，即50+t 2﹣10t +29＝t 2+9，解得t ＝7，此时M 点的坐标为（2，7）；当BC 2+MB 2＝MC 2时，△BCM 为直角三角形，∠CBM ＝90°，即50+t 2+9＝t 2﹣10t +29，解得t ＝﹣3，此时M 点的坐标为（2，﹣3）；当MC 2+MB 2＝BC 2时，△BCM 为直角三角形，∠CMB ＝90°，即t 2﹣10t +29+t 2+9＝50，解得t 1＝6，t 2＝﹣1，此时M 点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），综上所述，满足条件的M 点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A（﹣1，0）、B（4，0）与y轴交于点C，tan∠ABC＝．（1）求抛物线的解析式；（2）点M在第一象限的抛物线上，ME平行y轴交直线BC于点E，连接AC、CE，当ME 取值最大值时，求△ACE的面积．（3）在y轴负半轴上取点D（0，﹣1），连接BD，在抛物线上是否存在点N，使∠BAN＝∠ACO﹣∠OBD？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵B（4，0），∴OB＝4，∵tan∠ABC＝＝＝，∴OC＝2，∴C（0，2），设y＝a（x﹣1）（x﹣4），把C（0，2）代入求得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+2，把B（4，0）代入求得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，设M（m，﹣m2+m+2），则E （m ，﹣m +2），∴ME ＝﹣m 2+2m ，∴当m ＝2时，ME 取得最大值2， ∴E （2，1），∴S △ACE ＝S △ABC ﹣S △ABE ＝×5×（2﹣1）＝；（3）作C ′（0，﹣2）与 C 关于x 轴对称，连接BC ′，过点D 作DE ⊥BC ′于点E ，∴∠ABC ＝∠ABC ′，∵＝，∠AOC ＝∠BOC ＝90°，∴△AOC ∽△COB ， ∴∠ABC ＝∠ACO ， ∴∠ABC ′＝∠ACO ，即∠BAN ＝∠ACO ﹣∠OBD ＝∠DBC ′，由题意得DC ′＝1、DB ＝，BC ′＝2，∵S △DBC ′＝＝，∴DE ＝，∴BE ＝，∴tan ∠DBC ′＝tan ∠BAN ＝，设N （n ，﹣n 2+n +2），且n ＞0，∴tan ∠BAN ＝＝＝，①当2n +2＝9×（﹣n 2+n +2）时，n 1＝，n 2＝﹣1（舍去）；②当2n +2＝﹣9×（﹣n 2+n +2）时，n 1＝，n 2＝﹣1（舍去）；∴N 点的坐标为（，）或（，﹣）．4．抛物线y ＝x 2+（m +2）x +4的顶点C 在x 轴正半轴上，直线y ＝x +2与抛物线交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是抛物线上一点，若S △PAB ＝2S △ABC ，求点P 的坐标；（3）将直线AB 上下平移，平移后的直线y ＝x +t 与抛物线交于A '，B '两点（A '在B '的左侧），当以点A '，B '和（2）中第二象限的点P 为顶点的三角形是直角三角形时，求t 的值．解：（1）∵抛物线y ＝x 2+（m +2）x +4的顶点C 在x 轴正半轴上，∴．解得m ＝﹣6．∴抛物线的函数表达式是y ＝x 2﹣4x +4；（2）如图1，过点C 作CE ∥AB 交y 轴于点E ，设直线AB 交y 轴于点H ．由直线AB ：y ＝x +2，得点H （0，2）．设直线CE ：y ＝x +b ．∵y ＝x 2﹣4x +4＝（x ﹣2）2，∴C （2，0）．∴2+b ＝0，则b ＝﹣2．∴HE ＝4、由S △PAB ＝2S △ABC ，可在y 轴上且点H 上方取一点F ，使FH ＝2HE ，则F （0，10）．过点F 作FP ∥AB 交抛物线于点P 1、P 2．此时满足S △PAB ＝2S △ABC ，设直线P 1、P 2的函数解析式为：y ＝x +k ．∵F （0，10）在直线P 1、P 2上，∴k ＝10．∴直线P 1、P 2的函数解析式为：y ＝x +10．联立．解得，，综上，满足条件的点P 的坐标是P 1（﹣1，9），P 2（6，16）；（3）设A ′（x 1，y 1），B ′（x 2，y 2），显然，∠PA ′B ′≠90°．（i ）如图2，当∠A ′B ′P ＝90°时，过点B ′作直线MN ∥y 轴，A ′M ⊥MN 于M ，PN ⊥MN 于N ．∵直线A ′B ′的解析式是y ＝x +t ，∴∠B ′AM ＝45°．进一步可得到△A ′B ′M ，△PB ′N 都是等腰直角三角形．∴PN ＝NB ′，∴x 2+1＝9﹣y 2，即x 2+y 2＝8 ①又y 2＝x 2+t ，②联立①②解得．将点（4﹣t ，4+）代入二次函数解析式，得4+＝（4﹣﹣2）2．解得 t 1＝0，t 2＝10（此时点A ′与点P 重合，舍去）；②如图3，当∠A ′PB ′＝90°时，过点P 作EF ∥y 轴，A ′E ⊥EF 于E ，B ′F ⊥EF 于F ．则△A ′EP ∽△PFB ′．∴＝．∴＝，∴x 1x 2+（x 1+x 2）+1＝9（y 1+y 2）﹣y 1y 2﹣81．令x 2﹣4x +4＝x +t ，则x 2﹣5x +4﹣t ＝0．则x 1+x 2＝5，x 1x 2＝4﹣t ．y 1+y 2＝（x 1+t ）+（x 2+t ）＝x 1+x 2+2t ＝5+2t ．y 1y 2＝（x 1+t ）（x 2+t ）＝x 1x 2+t （x 1+x 2）+t 2＝t 2+4t +4．∴（4﹣t ）+5+1＝9（5+2t ）﹣（t 2+4t +4）﹣81．整理，得t 2﹣15t ﹣50＝0．解得 t 1＝20，t 2＝﹣5（舍去）．综上所述，t 的值是0或20．5．在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（2，4），抛物线y ＝﹣2x 2+bx +c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一个交点为点D ．（1）如图1，求抛物线的函数表达式；（2）如图2，连接AC、AD，将△ABC沿AC折叠后与AD、y轴分别交于点交于E、G，求OG的长度；（3）如图3，将抛物线在AC上方的图象沿AC折叠后与y轴交与点F，求点F的坐标．解：（1）如图1，∵四边形OABC是矩形，B（2，4），∴A（0，4），C（2，0），∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过A、C两点，∴，∴，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣2x2+2x+4；（2）如图2，由题意得：△ABC≌△AB′C．∴∠BCA＝∠B′CA．∵AO∥BC，∴∠BCA＝∠B′CA，∠BCA＝∠OAC，∴∠B′CA＝∠OAC．∴AG＝CG．设OG＝x，则AG＝CG＝4﹣x．在Rt△OGC中，22+x2＝（4﹣x）2，得，∴；（3）如图3，在AC上方的抛物线图象取点F的对称点F′，过点F′作y轴的平行线交直线AC于点G．由题意得：∠FAC＝∠F′AC，F′A＝FA．∵AO∥F′G，∴∠FAC＝∠AGF′．∵∠FAC＝∠F′AC，∠FAC＝∠AGF′．∴∠F′AC＝∠AGF′，∴F′A＝F′G．易得直线AC的解析式为：y＝﹣2x+4．设点F（n，﹣2n2+2n+4），则G（n，﹣2n+4）．∴F′G＝﹣2n2+4n，F′A2＝n2+（﹣2n2+2n）2．∵F′A＝F′G．∴F′A2＝F′G2．即：n2+（﹣2n2+4n）2＝（﹣2n2+2n）2，解得：n＝0（舍去），．1∴．∴F′A＝F′G＝FA＝，∴F（0，）．6．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左），与y轴交于点C （0，﹣3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点P的坐标．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝﹣＝1，∴b＝﹣2∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0．∴x1＝﹣1，x2＝3．∵A点在B点左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0）设过点B（3，0）、C（0，﹣3）的直线的函数表达式为y＝kx+m，则，∴∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣3；（3）①∵AB＝4，PQ＝AB，∴PQ＝3∵PQ⊥y轴∴PQ∥x轴，则由抛物线的对称性可得PM＝，∵对称轴是直线x＝1，∴P到y轴的距离是，∴点P的横坐标为﹣，∴P（﹣，﹣），∴F（0，﹣），∴FC＝3﹣OF＝3﹣＝，∵PQ垂直平分CE于点F，∴CE＝2FC＝，∵点D在直线BC上，∴当x＝1时，y＝﹣2，则D（1，﹣2），过点D作DG⊥CE于点G，∴DG ＝1，CG ＝1，∴GE ＝CE ﹣CG ＝﹣1＝．在Rt △EGD 中，tan ∠CED ＝＝．②P 1（1﹣，﹣2），P 2（1﹣，﹣）．设OE ＝a ，则GE ＝2﹣a ，当CE 为斜边时，则DG 2＝CG •GE ，即1＝（OC ﹣OG ）•（2﹣a ），∴1＝1×（2﹣a ），∴a ＝1，∴CE ＝2，∴OF ＝OE +EF ＝2∴F 、P 的纵坐标为﹣2，把y ＝﹣2，代入抛物线的函数表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3得：x ＝1+或1﹣∵点P 在第三象限．∴P 1（1﹣，﹣2），当CD 为斜边时，DE ⊥CE ，∴OE ＝2，CE ＝1，∴OF ＝2.5，∴P 和F 的纵坐标为：﹣，把y ＝﹣，代入抛物线的函数表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3得：x ＝1﹣，或1+，∵点P 在第三象限．∴P 2（1﹣，﹣）．综上所述：满足条件为P 1（1﹣，﹣2），P 2（1﹣，﹣）．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ，且过点D （2，﹣3）．点P 、Q 是抛物线y ＝ax 2+bx +c 上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OD 下方时，求△POD 面积的最大值．（3）直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当△OBE 与△ABC 相似时，求点Q 的坐标．解：（1）函数的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣3），将点D 坐标代入上式并解得：a ＝1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3…①；（2）设直线PD 与y 轴交于点G ，设点P （m ，m 2﹣2m ﹣3），将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y ＝sx +t 并解得：直线PD 的表达式为：y ＝mx ﹣3﹣2m ，则OG ＝3+2m ，S △POD ＝×OG （x D ﹣x P ）＝（3+2m ）（2﹣m ）＝﹣m 2+m +3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC于点H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝，故点Q1（，﹣2），Q2（﹣，2）②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则点Q（n，3n），则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q3（，），Q4（，）；综上，当△OBE与△ABC相似时，Q1（，﹣2），Q2（﹣，2），Q3（，），Q4（，）．8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．（1）求抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，则点A（1，4）；（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6，点P（1，4﹣t），则点D（，4﹣t），设点Q（，4﹣），S＝×DQ×BC＝﹣t2+t，△ACQ有最大值，当t＝2时，其最大值为1；∵﹣＜0，故S△ACQ（3）设点P（1，m），点M（x，y），①当EC是菱形一条边时，当点M在y轴右方时，点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C，则点P平移3个单位、向下平移3个单位得到M，则1+3＝x，m﹣3＝y，而MP＝EP得：1+（m﹣3）2＝（x﹣1）2+（y﹣m）2，解得：y＝m﹣3＝，故点M（4，）；当点M在y轴左方时，同理可得：点M（﹣2，3+）；②当EC是菱形一对角线时，则EC中点即为PM中点，则x+1＝3，y+m＝3，而PE＝PC，即1+（m﹣3）2＝4+（m﹣2）2，解得：m＝1，故x＝2，y＝3﹣m＝3﹣1＝2，故点M（2，2）；综上，点M（4，）或（﹣2，3+）或M（2，2）．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．解：（1）将点D 、E 的坐标代入函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+x +2，同理可得直线DE 的表达式为：y ＝x ﹣1…①；（2）如图1，连接BF ，过点P 作PH ∥y 轴交BF 于点H ，将点FB 代入一次函数表达式，同理可得直线BF 的表达式为：y ＝﹣x +1，设点P （x ，﹣x 2+x +2），则点H （x ，﹣x +1），S 四边形OBPF ＝S △OBF +S △PFB ＝×4×1+×PH ×BO ＝2+2（﹣x 2+x +2+x ﹣1）＝7，解得：x ＝2或，故点P （2，3）或（，）；（3）当点P 在抛物线对称轴的右侧时，点P （2，3），过点M 作A ′M ∥AN ，过作点A ′直线DE 的对称点A ″，连接PA ″交直线DE 于点M ，此时，点Q 运动的路径最短，∵MN＝2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3…②，联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1），由中点坐标公式得：点A″（3，0），同理可得：直线A″P的表达式为：y＝﹣3x+9…③，联立①③并解得：x＝，即点M（，），点M沿ED向下平移2个单位得：N（，﹣）．＝1．10．如图1，抛物线y＝（x﹣m）2的顶点A在x轴正半轴上，交y轴于B点，S△OAB（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点，l交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于D点，若∠BAO＝∠PCD，求证：AC＝2AD；（3）如图3，以A为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于M、N两点，当直角∠MAN绕A点旋转时，求证：MN始终经过一个定点，并求出该定点的坐标．解：（1）由题意和y＝（x﹣m）2设A（m，0）当x＝0时，y═（0﹣m）2＝，即设B（0，）∴OA＝m，OB＝由S△OAB＝1∴•OA•OB＝1，即m•＝2解得，m＝2∴A（2，0），B（0，1）把y＝（x﹣2）2化为一般式为，y＝x2﹣x+1．（2）由（1）得抛物线对称轴为直线x＝2．D、C两点在直线x＝2上，则设C（2，n），D（2，n'）如图2延长BA交直线PC于点Q并设直线PC交x轴于点E．∵∠BAO＝∠PCD，∠BOA＝∠EAC＝90°∴Rt△BOA∽Rt△EAC∴∠BAO＝∠ECA∴tan∠BAO＝tan∠ECA＝∴＝∴AC＝2AE又∵∠BAO＝∠EAQ，∠BAO＝∠ECA∴∠ECA＝∠EAQ又∵∠ECA+∠CEA＝90°∴∠EAQ+∠QEA＝90°∴BQ⊥PC设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（2，0），B（0，1）代入得，解得∴直线AB的解析式为，y＝﹣x+1由BQ⊥PC设直线PC的解析式为y＝2x+b'．又∵过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点∴令2x+b'═（x﹣2）2整理得，x2﹣12x+4﹣4b'＝0，且△＝0即144﹣4（4﹣4b'）＝0解得，b'＝﹣8∴直线PC的解析式为，y＝2x﹣8．∴把点C（2，n）代入y＝2x﹣8中得，n＝2×2﹣8解得，n＝﹣4．∴C点坐标为（2，﹣4），即AC＝4由AC＝2AE得，AE＝2．把b’＝﹣8代入方程x2﹣12x+4﹣4b'＝0中得，x2﹣12x+36＝0解得，x1＝x2＝6再把x＝6代入y＝2x﹣8中得，y＝2×6﹣8解得，y＝4∴P（6，4）设直线PB解析式为y＝k'x+1把P（6，4）代入上式得，4＝6k'+1解得，k'＝∴直线PB的解析式为，y＝x+1又∵D（2，n'）在直线PB上，将其代入y＝x+1中得，n'＝×2+1＝2∴D点坐标为（2，2），即AD＝2∴AD ＝AE∴AC ＝2AD ；（3）如图3中，以A 为原点建立新的坐标系，则抛物线的解析式为y ′＝x 2，在新坐标系中设M （a ， a 2），N （m ， m 2）． ∵AM ⊥AN ，∴＝﹣，∴ma ＝﹣16设直线MN 的解析式为y ′＝kx +b ，则有解得：，∵ma ＝﹣16，∴b ＝4，∴直线MN 的解析式为y ′＝（a +m ）x +4，∴直线MN 经过定点（0，4）（新坐标系中），在原来坐标系中，直线MN 经过点（2，4），∴直线MN 经过定点（2，4）．11．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3与x 轴交于A （﹣3，0），B （9，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 沿AC 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点C 运动，同时，点Q 沿BO 以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ ，过点Q 作QD ⊥x 轴，与抛物线交于点D ，连接PD 与BC 交于点E ．设点P的运动时间为t秒（t＞0）（1）求抛物线的表达式；（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）．②在点P，Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；（3）点M为线段BC上一点，在点P，Q运动的过程中，当点E为PD中点时，是否存在点M使得PM+BM的值最小？若存在，请求出PM+BM的最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（﹣3，0），B（9，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3…①；（2）由题意得：∠ACO＝∠OBC＝30°，∠ACB＝90°，将点B、C（0，3）的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3…②；①点P的坐标为（﹣3+t， t），点Q（9﹣2t，0），将点Q的坐标代入①式并整理得：点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]；②当PQ＝PD时，则DQ中点的纵坐标＝点P的纵坐标，即： [（6t﹣t2）]＝t，解得：t＝；（3）点P的坐标为（﹣3+t， t）、点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]，点E是PQ的中点，则点E[3﹣t， t+（6t﹣t2）]，将点E的坐标代入②式并整理得：t2﹣6t+9＝0，解得：t＝3，即点P（﹣，）即点P是AC的中点，作点P关于直线BC的对称点P′，过点P′作P′H⊥x轴、BC于点H、M，过点P作PN ⊥y轴于点N，则MH＝MB，则此时，PM+BM＝PM+MH＝P′H为最小值，∵∠ACB＝90°，PC＝P′C，∠P′CM＝∠NCP，∠P′MC＝∠PNC＝90°，∴△P′MC≌△PNC（AAS），∴MC＝NC＝OC，OM＝OC＝＝P′H，故PM+BM的最小值为．12．抛物线y＝x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C．（1）如图1，若OB＝2OA＝2OC①求抛物线的解析式；②若M是第一象限抛物线上一点，若cos∠MAC＝，求M点坐标．（2）如图2，直线EF∥x轴与抛物线相交于E、F两点，P为EF下方抛物线上一点，且P （m，﹣2）．若∠EPF＝90°，则EF所在直线的纵坐标是否为定值，请说明理由．解：（1）①∵x＝0时，y＝x2+bx+c＝c∴C（0，c），OC＝﹣c（c＜0）∴OA＝OC＝﹣c，OB＝2OC＝﹣2c∴A（c，0），B（﹣2c，0）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣②过点M作MD⊥AC于点D，过点D作GH∥x轴，过点A作AG⊥GH于点G，过点M作MH ⊥GH于点H，如图1∴∠ADM＝∠G＝∠H＝90°∴Rt△ADM中，cos∠MAC＝∴AM＝AD∴MD＝＝4AD∵c＝﹣∴A（﹣，0），B（1，0），C（0，﹣）∴OA＝OC∴∠OAC＝45°∴∠GAD＝∠GAO﹣∠OAC＝45°∴△ADG为等腰直角三角形∴∠ADG＝45°∴∠MDH ＝180°﹣∠ADG ﹣∠ADM ＝45°∴△MDH 为等腰直角三角形设AG ＝DG ＝t ，则AD ＝t ∴MD ＝4AD ＝4t ∴DH ＝MH ＝4t∴x M ＝x A +t +4t ＝﹣+5t ，y M ＝4t ﹣t ＝3t∵点M 在抛物线上∴（﹣+5t ）2﹣（﹣+5t ）﹣＝3t解得：t 1＝0（舍去），t 2＝∴x M ＝﹣+＝，y M ＝∴点M 坐标为（，）（2）EF 所在直线的纵坐标是定值，理由如下：过点P 作PQ ⊥EF 于点Q ，如图2∵P （m ，﹣2）在抛物线上∴m 2+bm +c ＝﹣2，即c +2＝﹣m 2﹣bm∵EF ∥x 轴且在点P 上方∴x Q ＝x P ＝m ，设y E ＝y F ＝y Q ＝n ，n ＞﹣2∴PQ ＝n ﹣（﹣2）＝n +2∵x 2+bx +c ＝n ，整理得x 2+bx +c ﹣n ＝0∴x E +x F ＝﹣b ，x E •x F ＝c ﹣n∴∠PQE ＝∠PQF ＝90°∵∠EPF ＝90°∴∠EPQ +∠FPQ ＝∠FPQ +∠PFQ ＝90°∴∠EPQ ＝∠PFQ∴△EPQ ∽△PFQ∴∴PQ2＝EQ•FQ∴（n+2）2＝（m﹣x E）（x F﹣m）∴n2+4n+4＝m•x F﹣m2﹣x E•x F+m•x En2+4n+4＝m（xE+x F）﹣m2﹣x E•x F n2+4n+4＝﹣bm﹣m2﹣（c﹣n）n2+4n+4＝c+2﹣c+n解得：n1＝﹣1，n2＝﹣2（舍去）∴EF所在直线的纵坐标为﹣1，是定值．13．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（4，0），B（﹣4，﹣4），且与y轴交于点C．（1）请求出二次函数的解析式；（2）若点M（m，n）在抛物线的对称轴上，且AM平分∠OAC，求n的值．（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作PQ∥AC，与AB上方的抛物线交于点Q，与x轴交于点H，试问：是否存在这样的点Q，使PH＝2QH？若存在，请直接出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、B的坐标代入函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）如图，过点A作∠A的角平分线交y轴于点G，过点G作GN⊥AC于点N，二次函数对称轴交AM、x轴于点M、H，设：OG＝x＝GN，则AN＝OA＝4，AC＝2，OC＝2，CM＝2﹣x，CN＝CA﹣AN＝2﹣4，则由勾股定理得：（2﹣x）2＝x2+（2﹣4）2，解得：x＝4﹣8，∴GH∥O M，则，即：，则n＝GH＝x＝3﹣6；（3）存在，理由：如图：将点B、A的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝x﹣2…①，同理直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，∵PQ∥AC，则设直线PQ的表达式为：y＝﹣x﹣c（c＞0）…②，联立①②并解得：x＝2±2（舍去正值），故点Q（2﹣2，﹣1﹣c+），∵PH＝2QH，∴P、Q的纵坐标之比也为2，即﹣c﹣1＝±2（﹣1﹣c+），解得：c＝或，故点Q（﹣，﹣）或（﹣，）．14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3），C（2，n）两点，直线l：y＝x+2过C 点，且与y轴交于点B，抛物线上有一动点E，过点E作直线EF⊥x轴于点F，交直线BC于点D（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，当点E在直线BC上方的抛物线上运动时，连接BE，BF，是否存在点E使直线BC将△BEF的面积分为2：3两部分？若存在，求出点E的坐标，若不存在说明理由；（3）如图2，若点E在y轴右侧的抛物线上运动，连接AE，当∠AED＝∠ABC时，直接写出此时点E的坐标．解：（1）直线l：y＝x+2过C点，则点C（2，3），y＝x+2过C点，且与y轴交于点B，则点B（0，2），将点A、C的坐标代入二次函数表达式并解得：b＝2，c＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）设点E（m，﹣m2+2m+3），则点D（m， m+2），则DE＝﹣m2+m+1，DF＝m+2，＝＝或，解得：m＝或，故点E（，）或（，）；（3）由（2）知：E（m，﹣m2+2m+3），则点D（m， m+2），DE＝﹣m2+m+1，DF＝m+2，①如图2，当点E在直线BC上方时，∵AB∥EF，∠ABD+∠EDB＝180°，∵∠AED＝∠A BC，∴∠AED+∠EDB＝180°，∴AE∥CD，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AB＝DE＝1＝﹣m2+m+1，解得：m＝0或（舍去0）；②如图3，当点E在直线BC的下方时，设AE、BD交于点N，作点N作x轴的平行线交DE于点M∵AB∥DE，∴∠ABN＝∠NDE，而∠AED＝∠ABC，∴∠ABN＝∠NDE＝∠AED＝∠ABC，∴△NAB、△DEN都是以点N为顶点的等腰三角形，故点M的纵坐标和AB中点的坐标同为，由中点公式得：（﹣m2+2m+3+m+2）＝，解得：m＝0或（舍去0），综上，点E（，）或（，）．15．如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心， CE的长为半径作圆，点P为直线y＝x﹣3上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BDP周长的最小值；（3）若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于CE时，过P，Q两点的直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），求四边形ABMN的面积．解：（1）直线y＝x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝3，故点A、C的坐标为（3，0）、（0，﹣3），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x﹣1）＝a（x2﹣4x+3），则3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3…①；（2）过点B作直线y＝x﹣3的对称点B′，连接BD交直线y＝x﹣3于点P，直线B′B交函数对称轴与点G，连接AB′，则此时△BDP周长＝BD+PB+PD＝BD+B′B为最小值，D（2，1），则点G（2，﹣1），即：BG＝EG，即点G是BB′的中点，过点B′（3，﹣2），△BDP周长最小值＝BD+B′B＝；（3）如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q，此时PQ为最大值，点A、B、C、E、F的坐标为（3，0）、（1，0）、（0，﹣3）、（2，0）、（﹣2，0），则CE＝，FQ＝CE，则PF＝CE﹣CE＝，设点P（m，m﹣3），点F（﹣2，0），PF2＝13＝（m﹣2）2+（m﹣3）2，解得：m＝1，故点P（1，﹣2），将点P、F坐标代入一次函数表达式并解得：直线PF的表达式为：y＝﹣x﹣…②，联立①②并解得：x ＝，故点M 、N 的坐标分别为：（，）、（，），过点M 、N 分别作x 轴的垂线交于点S 、R ，则S 四边形ABMN ＝S 梯形NRSM ﹣S △ARN ﹣S △SBM ＝．。

北师大版九年级数学上期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形(解析版)

期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形1．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N 的坐标为（m，n）．（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣1）；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；（2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：连结MN：＝+1，＝﹣1）解：（1）如图1，以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵点B（﹣1，0），A（0，1），∴D（1，0），C（0，﹣1）；过N作NH⊥BD于h，∴∠NHB＝90°，∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴∠NBH＝60°，BM＝BN，∴NH＝BN＝t，∵0＜t≤2，∴点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；故答案为：（1，0），（0，﹣1）；0＜n≤；（2）如图所示，连接MN，过E作EH⊥BC，交CB的延长线于H，由旋转可得，BM＝BN，∠NBM＝60°，∴△BMN是等边三角形，∴MN＝BM，∵△ABE是等边三角形，∴BE＝BA，∠ABE＝60°，∴∠ABM＝∠EBN，∴△ABM≌△EBN（SAS），∴AM＝EN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，∴当E，N，M，C在同一直线上时，AM+BM+CN的最小值是CE的长，又∵∠ABE＝60°，∠ABH＝90°，∴∠EBH＝30°，∴Rt△EBH中，EH＝EB＝×2＝1，∴BH＝＝＝，∴CH＝2+，∴Rt△CEH中，CE＝＝＝＝；∴AM+BM+CM的最小值为+．2．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BD、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．解：（1）证明：，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴DM＝BD＝5．3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AD为边向外作等边△ADE，连接CE，交BD于F．（1）如图1，若AE＝，求DF的长；（2）如图2，点M为AB的延长线上一点，连接CM，连接FM且FM平分∠AMC，求证：CM＝MF﹣AM．解：（1）如图1，连接OE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，OA＝OD＝OB＝OC∵△ADE是等边三角形∴AD＝DE＝AE＝，∠ADE＝60°∴CD＝AD＝，OD＝OB＝∵AE＝DE，OD＝OA∴OE垂直平分AD即OE⊥AD，DH＝AH∴OE＝OH+EH＝+＝，∵∠ADC＝∠DHE＝90°∴CD∥OE∴△CDF∽△EOF∴＝，即DF＝OF∵DF+OF＝OD＝∴OF＝﹣DF∴DF＝（﹣DF），解得：DF＝﹣1．（2）如图2，连接EO，过点F作PQ⊥CD交EO于N，在MA上截取MT＝MC，连接FT，设正方形边长为a，∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形∴AD＝AB＝CD＝DE＝a，∠ADC＝∠DAB＝90°∠ADE＝60°易证OE⊥AD∴OE＝a，OD＝a，由（1）知△CDF∽△EOF∴＝，即a•DF＝a•OF∵DF+OF＝a∴OF＝a﹣DF∴a•DF＝a（a﹣DF）∴DF＝a，∵△DPF是等腰直角三角形∴DP＝PF＝DF＝a，∴FQ＝a﹣a＝a＝CP，∵FM平分∠AMC，∴∠CMF＝∠AMF在△MCF和△MTF中∴△MCF≌△MTF（SAS）∴CF＝FT∴Rt△CFP≌Rt△FTQ（HL）∴QT＝PF＝a，∵AQ＝DP∴AQ＝QT∵BM+AB﹣AT＝MT＝CM∴CM﹣BM＝AB﹣AT＝a﹣2×a＝a，CM+BM＝MT+BM＝BT+2BM＝a﹣2×a+2BM＝a+2BM∴CM2﹣BM2＝（CM﹣BM）（CM+BM）＝a（a+2BM）∵CM2﹣BM2＝BC2＝a2，∴a（a+2BM）＝a2，∴BM＝a在Rt△BCM中，tan∠BMC＝＝＝，∴∠BMC＝60°∴∠AMF＝30°∴＝cos∠AMF＝cos30°＝∴2MQ＝MF∵2MQ＝2BM+2BQ＝2BM+2BT+2QT＝（BM+BT）+（BM+BT+AT）＝CM+AM ∴CM+AM＝MF即CM＝MF﹣AM．4．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BD为菱形的一条对角线．（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E，交BD于点F，若EF＝2，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，M为菱形ABCD外一点，过A作AN⊥BM交BM的延长线于点N，连接AM，DM，AG⊥DM于点G，且∠AMN＝∠AMD，求证：DM＝BM+AM．（1）解：如图1中，∵四边形ABC都是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵AE⊥BC，∴∠BEF＝90°，∵EF＝2，∴BF＝2EF＝4，∠BFE＝60°，∵∠BFE＝∠ABF+∠F AB，∴∠ABF＝∠F AB＝30°，∴BF＝AF＝4，∴AE＝AF+EF＝6，∴AB＝＝4，∴BC＝AB＝4，∴S＝BC•AE＝24．菱形ABCD（2）证明：如图2中，∵∠AMN＝∠AMG，AN⊥MN，AG⊥DM，∴AN＝AG，∵∠MNA＝∠MGA＝90°，AM＝AM，AN＝AG，∴Rt△MAN≌Rt△MAG（HL），∴NM＝MG，∵∠ANB＝∠AGD＝90°，AN＝AG，AB＝AD，∴Rt△ANB≌Rt△AGD（HL），∴∠ABN＝∠ADG，BN＝DG，∴∠BMD＝△BAD＝120°，∴∠NMG＝60°，∴∠AMN＝∠AMG＝30°，∴DM﹣BM＝MG+DG﹣（BN﹣MN）＝2MN＝AM，∴DM＝BM+AM．5．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD＝12，DC＝3，∠EBD＝60°，则BE＝6时，四边形BFCE是菱形．（只需完成填空，不需写出具体过程．）（1）证明：∵在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴BE＝FC，∠ABE＝∠DCF，∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥FC，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）解：当四边形BFCE是菱形，则BE＝EC，∵AD＝12，DC＝3，AB＝DC，∴BC＝6，∵∠EBD＝60°，EB＝EC，∴△EBC是等边三角形，∴BE＝6．故答案为：6．6．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴BD的中点在AC上，∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，∴E、F分别为OB、OD的中点，∵G是AD的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，同理：EH∥OC，EH＝OC，∴EH＝GF，EH∥GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：连接GH，如图2所示：则AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB∥GH，∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四边形GEHF是菱形；故答案为：AB⊥BD；（3）解：①四边形GEHF是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，∵BD＝2AB，∴AB＝BD＝EF，∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形；②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，如图3所示：则AM∥GN，∵G是AD的中点，∴GN是△ADM的中位线，∴GN＝AM，∵∠ABD＝120°，∴∠ABM＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝1，AM＝BM＝，∴GN＝，∵BD＝2AB＝4，∴EF＝BD＝2，∴△EFG的面积＝EF×GN＝×2×＝，∴四边形GEHF的面积＝2△EFG的面积＝．7．如图，边长为6的正方形ABCD中，E，F分别是AD，AB上的点，AP⊥BE，P为垂足．（1）如图1，AF＝BF，AE＝2，点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，求AT的长；（2）如图2，若AE＝AF，连接CP，求证：CP⊥FP．（1）解：在正方形ABCD中，可得∠DAB＝90°．∵在Rt△BAE中，tan∠ABE＝＝＝，∴∠ABE＝30°．点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，分三种情况：①当点T在AB的上方，∠ATB＝90°，显然此时点T和点P重合，即AT＝AP＝AB＝3；②当点T在AB的下方，∠ATB ＝90°，如图①所示．在Rt△APB中，由AF＝BF，可得：AF＝BF＝PF＝3，∴∠BPF＝∠FBP＝30°，∴∠BFT＝60°．在Rt△ATB中，TF＝BF＝AF＝3，∴△FTB是等边三角形，∴TB＝3，AT＝＝3；③当点T在AB的下方，∠ABT＝90°时，如图②所示．在Rt△FBT中，∠BFT＝60°，BF＝3，BT＝BF•tan60°＝3．在Rt△ATB中：AT＝＝3．综上所述：当△ABT为直角三角形时，AT的长为3或3或3；（2）证明：如图③所示，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC，AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠3＝∠4．∵在Rt△EAB中，AP⊥BE，∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠3＝∠4，∵tan∠1＝，tan∠3＝，∴＝，∵AE＝AF，AB＝BC，∴＝，∴△PBC∽△P AF，∴∠5＝∠6．∵∠6+∠7＝90°，∴∠5+∠7＝90°，即∠CPF＝90°，∴CP⊥FP．8．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）已知AB＝5，AD＝8．求四边形GEHF是矩形时BD的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠GDE＝∠FBH，∵G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，∴在Rt△AED和Rt△CFB中，EG＝AD＝GD，FH＝BC＝HB，∴EG＝FH，∠GED＝∠GDE，∠FBH＝∠BFH，∴∠GED＝∠BFH，∴EG∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：连接GH，当四边形GEHF是矩形时，∠EHF＝∠BFC＝90°，∵∠FBH＝∠BFH，∴△EFH∽△CBF，∴＝，由（1）可得：GA∥HB，GA＝HB，∴四边形GABH是平行四边形，∴GH＝AB＝5，∵在矩形GEHF中，EF＝GH，且AB＝5，AD＝8，∴＝，解得：BF＝，∴BE＝BF﹣EF＝﹣5＝，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF＝，∴BD＝BF+DF＝+＝．9．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，∵BA＝BC，∴BA＝3x．在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，∴AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即40＝x2+9x2，解得x＝2．∴AB＝3x＝6．（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2．∵DE＝DA，DP⊥AF∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝45°．∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF≌△ADH（SAS）．∴AF＝AH，BF＝DH．∵Rt△F AH是等腰直角三角形，∴HF＝AF．∵HF＝DH+DF＝BF+DF，∴BF+DF＝AF．10．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝ S 正方形ABCD ；【拓展】如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，试确定F 、G 、H 的位置，使直线EF 、GH 把四边形ABCD 的面积四等分．解：【感知】如图①，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠OAG ＝∠OBE ＝45°，OA ＝OB ，在△AOG 与△BOE 中，， ∴△AOG ≌△BOE ，∴S 四边形AEOG ＝S △AOB ＝S 正方形ABCD ；故答案为：；【拓展】如图②，过O 作ON ⊥AD 于N ，OM ⊥AB 于M ，∵S △AOB ＝S 矩形ABCD ，S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，∴S △AOB ＝S 四边形AEOG ，∵S △AOB ＝S △BOE +S △AOE ，S 四边形AEOG ＝S △AOG +S △AOE ， ∴S △BOE ＝S △AOG ， ∵S △BOE ＝BE •OM ＝mb ＝mb ，S △AOG ＝AG •ON ＝AG •a ＝AG •a ， ∴mb ＝AG •a ，∴AG ＝；【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ，∴3×2OK＝5×2OQ，∴＝，∵S△AOB ＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD，∴S△AOB ＝S四边形AEOG，∴S△BOE ＝S△AOG，∵S△BOE ＝BE•OK＝×1×OK，S△AOG＝AG•OQ，∴×1×OK＝AG•OQ，∴＝AG＝，∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q 的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．证明：（1）在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE，∴∠BAF＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；（2）∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，∵CF＝CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD．13．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个点，过点O作直线MN∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝．在Rt△ACE中，AE＝．15．如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．（3）直接回答下面两个问题，不必证明：①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．。

九年级上册上册数学压轴题(培优篇)(Word版含解析)

九年级上册上册数学压轴题（培优篇）（Word 版含解析）一、压轴题1．已知P 是⊙O 上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B(不与P ，Q 重合)，连接AP 、BP . 若∠APQ=∠BPQ. (1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O 的半径；(2)如图2，选接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上(不与P 、M 重合)，连接ON 、OP ，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB 与ON 的位置关系，并证明.2．如图①，A （﹣5，0），OA ＝OC ，点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0）．（1）求B 、C 坐标；（2）求证：BA ⊥AC ；（3）如图②，将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ，连接DC ，问：∠BDC 的角平分线DE ，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．3．问题提出（1）如图①，在ABC 中，2,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．问题探究（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．问题解决（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．4．已知在ABC 中，AB AC =．在边AC 上取一点D ，以D 为顶点、DB 为一条边作BDF A ∠=∠，点E 在AC 的延长线上，ECF ACB ∠=∠．（1）如图（1），当点D 在边AC 上时，请说明①FDC ABD ∠=∠；②DB DF =成立的理由．（2）如图（2），当点D 在AC 的延长线上时，试判断DB 与DF 是否相等？5．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ．（1）如图①，①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值；（2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当3883a t ==，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．6．如图，等边ABC 内接于O ，P 是AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合），连接AP 、BP ，过点C 作CM BP 交PA 的延长线于点M ．（1）求APC ∠和BPC ∠的度数；（2）求证：ACM BCP △≌△；（3）若1PA =，2PB =，求四边形PBCM 的面积；（4）在（3）的条件下，求AB 的长度．7．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使32DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x =（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长．（3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．8．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD 内接于O ，对角线AC BD =，且AC BD ⊥．（1）求证：AB CD =；（2）若O 的半径为8，弧BD 的度数为120︒，求四边形ABCD 的面积；（3）如图2，作OM BC ⊥于M ，请猜测OM 与AD 的数量关系，并证明你的结论． 9．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数；（2）设BC a =，AC b =；①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由. ②若线段AD EC =，求ab的值. 10．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝23．点P ，Q 分别是BC ，AD 边上的一个动点，连结BQ ，以P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 交线段BQ 于点E ，连结PD ．（1）若DQ ＝3且四边形BPDQ 是平行四边形时，求出⊙P 的弦BE 的长；（2）在点P ，Q 运动的过程中，当四边形BPDQ 是菱形时，求出⊙P 的弦BE 的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．11．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的覆盖矩形．点A ，B ，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，AB 3C 3D 3都是点A ，B ，C 的覆盖矩形，其中矩形AB 3C 3D 3是点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．（1）已知A （﹣2，3），B （5，0），C （t ，﹣2）． ①当t ＝2时，点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为；②若点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC 的表达式；（2）已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝4x（x ＞0）的图象上一点，⊙P 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P 的半径r 的取值范围．12．如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，AC ＝BD ，点D 在AB 上，连接CO ，并延长CO 交线段AB 于点F ，连接OA 、OB ，且OA ＝5，tan ∠OBA ＝12．（1）求证：∠OBA ＝∠OCD ；（2）当△AOF 是直角三角形时，求EF 的长；（3）是否存在点F ，使得S △CEF ＝4S △BOF ，若存在，请求EF 的长，若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．(1) ☉O 的半径是32；(2)AB ∥ON ，证明见解析. 【解析】【分析】(1) 连接AB ，根据题意可AB 为直径，再用勾股定理即可． (2) 连接OA , OB ,OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠，从而证出OC AB ⊥,延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠，再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证. 【详解】解：(1)连接AB ，在☉0中，o APQ BPQ 45∠=∠=， o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=AB ∴是☉0的直径.Rt APB ∴∆在中，22AB AP BP =+AB=3∴∴☉0的半径是32(2)AB//ON证明：连接OA , OB , OQ , 在☉0中,AQ AQ =, BQ BQ =,Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.又APQ BPQ ∠=∠,AOQ BOQ ∴∠=∠.在AOB ∆中，OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=连接OQ ，交AB 于点C 在☉0中，OP OQ =OPN OQP.∴∠=∠延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，NOQ 90O ∴∠=NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .AB//ON ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键．2．（1）点B （3，4），点C （﹣3，﹣4）；（2）证明见解析；（3）定点（4，3）；理由见解析．【解析】【分析】（1）由中心对称的性质可得OB ＝OC ＝5，点C （﹣a ，﹣a ﹣1），由两点距离公式可求a 的值，即可求解；（2）由两点距离公式可求AB ，AC ，BC 的长，利用勾股定理的逆定理可求解；（3）由旋转的性质可得DO ＝BO ＝CO ，可得△BCD 是直角三角形，以BC 为直径，作⊙O ，连接OH ，DE 与⊙O 交于点H ，由圆周角定理和角平分线的性质可得∠HBC ＝∠CDE ＝45°＝∠BDE ＝∠BCH ，可证CH ＝BH ，∠BHC ＝90°，由两点距离公式可求解．【详解】解：（1）∵A （﹣5，0），OA ＝OC ， ∴OA ＝OC ＝5，∵点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0）， ∴OB ＝OC ＝5，点C （﹣a ，﹣a ﹣1）， ∴5()()220+10a a -+-∴a ＝3， ∴点B （3，4）， ∴点C （﹣3，﹣4）；（2）∵点B （3，4），点C （﹣3，﹣4），点A （﹣5，0）， ∴BC ＝10，AB ＝5，AC ＝5 ∵BC 2＝100，AB 2+AC 2＝80+20＝100， ∴BC 2＝AB 2+AC 2，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC；（3）过定点，理由如下：∵将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，∴CO＝DO，又∵CO＝BO，∴DO＝BO＝CO，∴△BCD是直角三角形，∴∠BDC＝90°，如图②，以BC为直径，作⊙O，连接OH，DE与⊙O交于点H，∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝∠CDE＝45°，∴∠HBC＝∠CDE＝45°＝∠BDE＝∠BCH，∴CH＝BH，∠BHC＝90°，∵BC＝10，∴BH＝CH＝2，OH＝OB＝OC＝5，设点H（x，y），∵点H在第四象限，∴x＜0，y＞0，∴x2+y2＝25，（x﹣3）2+（y﹣4）2＝50，∴x＝4，y＝3，∴点H（4，﹣3），∴∠BDC的角平分线DE过定点H（4，3）．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了中心对称的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理的逆定理，两点距离公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．3．（1）12；（2）53；（3）202．【解析】【分析】（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，135BAC ∠=，180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ， BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，BD AD ∴=，在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，42AB =，2222(42)32BD AB ∴===，解得：4BD =，6AC =，11641222ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=．（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，PD PQ ∴=，PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，点P 为AB 上的动点，PC PD CQ ∴+≥，∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度，点C 为半圆AB 的中点，90COB ∴∠=，90BOD COD COB ∠+∠=∠=，11903033BOD COB ∴∠=∠=⨯=，10AB =， 1110522OD AB ∴==⨯=，在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=，155,222DH OD QH DH ∴==∴==，222255352OH OD DH ⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭，由作图知，四边形OMQH 为矩形，553,2OM QH MQ OH ∴====， 515522CM OM OC ∴=+=+=， 222215535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， PC PD ∴+的最小值为53．（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠，E 为OA 上的点，F 为OB 上的点PE EF FP SN ∴++≥，∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，45POA POB AOB ∠+∠=∠=，45SOA NOB ∴∠+∠=，454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．扇形AOB 的半径为20，20OS ON OP ∴===，在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=PE EF FP ∴++的长度的最小值为202．【点睛】本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.4．（1）见解析；（2）DB DF =【解析】【分析】（1）①直接利用三角形的外角性质，即可得到；②过D作DG BC交AB于点G，由等腰三角形的性质，平行线的性质和等边对等角，得到BG DC=，DGB FCD∠=∠，然后证明三角形全等，即可得到结论成立；（2）连接BF，根据题意，可证得BCF BDF A∠=∠=∠，则B、C、D、F四点共圆，即可证明结论成立.【详解】解：（1）①∵BDC A ABD∠=∠+∠，即BDF FDC A ABD∠+∠=∠+∠，∵BDF A∠=∠，∴FDC ADB∠=∠；②过D作DG BC交AB于点G，∴ADG ACB∠=∠，AGD ABC∠=∠，又AB AC=，∴AABC CB=∠∠，∴AGD ADG∠=∠，∴AD AG=，∴AB AG AC AD-=-，∴BG DC=，又ECF ACB AGD∠=∠=∠，∴DGB FCD∠=∠，在GDB△与CFD△中，,,DGB FCDGB CDGBD FDC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()GDB CFD ASA△≌△∴DB DF=；（2）证明：如图：连接BF，由（1）可知，A ABC CB =∠∠，∵ECF ACB ∠=∠，∴ABC ECF ∠=∠，∵BC A C A BCF E F =∠+∠∠+∠，∴A BCF ∠=∠，∴BDF A BCF ∠=∠=∠，∴B 、C 、D 、F 四点共圆，∴180DCB DFB ∠+∠=︒，DBF ECF ∠=∠，∴ACB DFB ∠=∠，∵BC EC AC A F B =∠=∠∠，∴DBF DFB ∠=∠，∴DB DF =.【点睛】本题考查了四点共圆的知识，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，以及三角形外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而得到角的关系，再进行证明.5．（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析【解析】【分析】（1）①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ≅△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题；（2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ∆∆=，AFO CFO S S ∆∆=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ADF CDF S S ∆∆=；【详解】解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=︒，∴当PBM PCN ≅△△时，有BM NC =，即5t t -=①5 1.54t at -=-②由①②可得 1.1a =， 2.5t =．当MBP PCN ≅△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③54t at -=-④，由③④可得0.5a =，2t =．综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与PCN △全等；②AP BD ⊥，90BEP ∴∠=︒， 90APB CBD ∴∠+∠=︒，90ABC ∠=︒，90APB BAP ∴∠+∠=︒，BAP CBD ∴∠=∠，在ABP △和BCD 中，BAP CBD AB BCABC BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABP BCD ASA ∴≅△△，BP CD ∴=，即54t -=，1t ∴=；（2）当38a =，83t =时，1DN at ==，而4CD =， DN CD ∴<，∴点N 在点C 、D 之间，1.54AM t ==，4CD =，AM CD ∴=，如图②中，连接AC 交MD 于O ，90ABC BCD ∠=∠=︒，180ABC BCD ∴∠+∠=︒，//AB BC ∴，AMD CDM ∴∠=∠，BAC DCA ∠=∠，在AOM 和COD △中，AMD CDM AM CDBAC DCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOM COD ASA ∴≅△△，OA OC ∴=，ADO CDO S S ∆∆∴=，AFO CFO S S ∆∆=，ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆∴-=-，ADF CDF S S ∆∆∴=．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．6．（1）∠APC=60°，∠BPC=60°；（2）见解析；（315344）219【解析】【分析】（1）由△ABC是等边三角形，可知∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，由圆周角定理可知∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段利用AAS证得两三角形全等即可；（3）根据CM∥BP说明四边形PBCM是梯形，利用上题证得的两三角形全等判定△PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算四边形的面积即可；（4）过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，利用勾股定理求出AB的长，在△ABC中，利用等边三角形的性质求出BN，在△BON中利用勾股定理求出OB，最后根据弧长公式求出弧AB的长.【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，∵=BC BC，=AC AC，∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；（2）证明：∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，∵∠BPC=∠BAC=60°，∴∠PCM=∠BPC=60°，∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，∴∠M=∠BPC=60°，又∵A、P、B、C四点共圆，∴∠PAC+∠PBC=180°，∵∠MAC+∠PAC=180°∴∠MAC=∠PBC∵AC=BC，在△ACM和△BCP中，M BPCMAC PBCAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACM≌△BCP（AAS）；（3）∵CM∥BP，∴四边形PBCM为梯形，作PH⊥CM于H，∵△ACM≌△BCP，∴CM=CP，AM=BP，又∠M=60°，∴△PCM为等边三角形，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt△PMH中，∠MPH=30°，∴PH=332，∴S四边形PBCM=12（PB+CM）×PH=12(2+3)×33=153；（4）过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，∵∠APC=∠BPC=60°，∴∠BPQ=60°，∴∠PBQ=30°，∴PQ=12PB=1，∴在△BPQ中，2221=3-∴在△AQB中，()()2222=113=7AQ BQ+++∵△ABC为等边三角形，∴AN经过圆心O，∴BN=12AB=72，∴AN=2221=AB BN-，在△BON中，设BO=x，则ON=212x-，∴222721=22x x⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：x=21，∵∠BOA＝2∠BCA＝120°，∴AB=211202213=1809ππ⨯.【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，四边形的面积，勾股定理，弧长公式，是一道比较复杂的几何综合题，解题关键是能够掌握并灵活运用全等三角形的判定与性质等知识．7．（1）（1）5BQ x=；3FD x=（2）9AP=（3）12AP=或65AP=或3AP=【解析】【分析】（1）由:3:4AQ AB=、3AQ x=，易得4AB x=，由勾股定理得BQ，再由中位线的性质得12AH BH AB==，求得CD、FD；（2）利用（1）的结论，易得CQ的长，作OM AQ⊥于点M，则//OM AB，由垂径定理得32QM AM x==，由矩形性质得OD MC=，利用矩形面积求得x，得出结论；（3）点P在A点的右侧时，利用（1）、（2）的结论和正方形的性质得243x x+=，得AP ；点P 在A 点的左侧时，当点C 在Q 右侧，当407x <<时，473x x -=，解得x ，易得AP ；当4273x ≤<时，743x x -=，得AP ；当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，同理得AP ．【详解】解：（1）∵:3:4AQ AB =，3AQ x =∴4AB x =∴在Rt ABQ △中，225BQ AQ AB x =+= ∵OD m ⊥，m l ⊥∴//OD l∵OB OQ =∴122AH BH AB x === ∴2CD x =∴332FD CD x == （2）∵点P 关于点A 的对称点为Q∴3AP AQ x ==∵4PC =∴64CQ x =+过点O 作OM AQ ⊥于点M ，如图：∵90BAQ ∠=︒∴//OM AB∵O 是ABQ △的外接圆，90BAQ ∠=︒∴点O 是BQ 的中点 ∴1322QM AM AQ x ===∴3964422OD MC CQ QM x x ==-=+-=+ ∵1522OE BQ x == ∴9542422DE OD OE x x x =-=+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形∴13x =，25x =-（不合题意，舍去）∴39AP x ==∴当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，AP 的长为：9．（3）若矩形DEGF 是正方形，则DE DF =①点P 在A 点的右侧时，如图：∴243x x +=∴4x =∴312AP x ==②点P 在A 点的左侧时I.当点C 在Q 右侧时i.当 407x <<时，如图：∵47DE x =-，3DF x =∴473x x -=∴25x =∴635AP x x ==ii.当4273x ≤<时，如图：∵74DE x =-，3DF x =∴743x x -=∴1x =（不合题意，舍去）II. 当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，如图：∵74DE x =-，3DF x =∴743x x -=∴1x =∴33AP x ==∴综上所述，当12AP =或65AP =或3AP =时，矩形DEGF 是正方形．故答案是：（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =或3AP = 【点睛】本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等，综合性强，难度大，正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题．8．（1）见解析；（2）96；（3）AD=2OM ，理由见解析【解析】【分析】（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；（2）根据弧BD的度数为120°，得到∠BOD=120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算即可；（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE，证明结论．【详解】解：（1）证明：∵AC=BD，∴AC BD，则AB DC，∴AB=CD；（2）如图1，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，∵弧BD的度数为120°，∴∠BOD=120°，∴∠BOH=60°，则BH=3OB=43，∴BD=83，则四边形ABCD的面积=12×AC×BD=96；（3）AD=2OM，连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图2，∵OE⊥AD，∴AE=DE，∵∠BOC=2∠BAC，而∠BOC=2∠BOM，∴∠BOM=∠BAC，同理可得∠AOE=∠ABD，∵BD⊥AC，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠BOM+∠AOE=90°，∵∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OBM=∠AOE，在△BOM和△OAE中，OMB OEAOBM OAEOB OA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOM≌△OAE（AAS），∴OM=AE，∴AD=2OM．【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键．9．（1）ACD∠＝31︒；（2）①是；②34ab=.【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可；（2）①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可．【详解】（1）在ABC∆中，90ACB∠=︒.∴90B A∠=︒-∠9028=︒-︒62=︒，∵BC BD=，∴1802BBCD BDC︒-∠∠=∠=180622︒-︒=59=︒.∴DCA ACB BCD∠=∠-∠9059=︒-︒（2）①BD BC a ==，∴AD AB BD =-AB a =-.在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB ==∵2220x ax b +-=，∴x =a =-a AB =-±.∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根.②∵AE AD =，又∵AD EC =， ∴2b AE EC ==， ∴2b AD =. 在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+， ∴2222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 22224b a ab b a ++=+， ∴234b ab =. ∵0b >， ∴34b a =， ∴34a b =. 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．10．（12）BE ．【分析】（1）作PT⊥BE于点T，根据垂径定理和勾股定理求BQ的值，再根据相似三角形的判定和性质即可求解；（2）根据菱形性质和勾股定理求出菱形边长，此时点E和点Q重合，再根据扇形面积公式即可求解．【详解】解：（1）如图：过点P作PT⊥BQ于点T，∵AB＝2，AD＝BC＝3，DQ3∴AQ3在Rt△ABQ中，根据勾股定理可得：BQ7．又∵四边形BPDQ是平行四边形，∴BP＝DQ3，∵∠AQB＝∠TBP，∠A＝∠BTP，∴△AQB∽△TBP，∴3,37 BT BDAQ BQ==即∴BT 33 7∴BE＝2BT 63 7（2）设菱形BPDQ的边长为x，则AQ＝3x，在Rt△ABQ中，根据勾股定理，得AB2+AQ2＝BQ2，即4+（3x）2＝x2，解得x 43 3.∵四边形BPDQ为菱形，∴43 3,又CP=BC-BP=233,即DP=2CP,∴∠DPC=60°，∴∠BPD=120°，∴连接PQ,易得△BPQ为等边三角形，∴PQ=BP,∴点Q也在圆P上，圆P经过点B,D,Q,如图.∴点E、Q重合，∴BE 43 3∴菱形与圆重叠部分面积即为菱形的面积，∴S菱形833．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式，解决本题的关键是综合运用以上知识．11．（1）35，5784y x=+；（2172r≤.【解析】【分析】（1）①由矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，得出最优覆盖矩形的长为：2+5=7，宽为3+2=5，即可得出结果；②由定义可知，t=-3或6，即点C坐标为（-3，-2）或（6，-2），设AC表达式为y=kx+b，代入即可求出结果；（2）OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，OD所在的直线表达式为y=x，得出点E的坐标为（2，2），⊙P的半径最小2，当点E的纵坐标为1时，⊙P的半径最大17，即可得出结果．【详解】（1）①∵A（﹣2，3），B（5，0），C（2，﹣2），矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，∴最优覆盖矩形的长为：2+5＝7，宽为3+2＝5，∴最优覆盖矩形的面积为：7×5＝35；②∵点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，∴由定义可知，t＝﹣3或6，即点C坐标为（﹣3，﹣2）或（6，﹣2），设AC表达式为y＝kx+b，∴3223k bk b=-+⎧⎨-=-+⎩或3226k bk b=-+⎧⎨-=+⎩∴513kb=⎧⎨=⎩或5874kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y＝5x+13或5784y x=-+；（2）①OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，如图1所示：∵点D（1，1），∴OD所在的直线表达式为y＝x，∴点E的坐标为（2，2），∴OE＝222+2=22，∴⊙P的半径最小r＝2，②当DE∥x轴时，即：点E的纵坐标为1，如图2所示：∵点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝4x （x ＞0）的图象上一点 ∴1＝4x ，解得x ＝4，∴OE ═，∴⊙P 的半径最大r ，2r ≤．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求直线的解析式、坐标与图形性质、反比例函数等知识；本题综合性强，有一定难度．12．（1）见解析；（2）EF ＝32；（3）存在【解析】【分析】（1）先判断出∠ECB ＝∠EBC ，再判断出∠OCB ＝∠OBC ，即可得出结论；（2）先求出EF ，再分两种情况，利用锐角三角函数和相似三角形的性质即可得出结论；（3）先利用面积关系得出53CO FO =，进而利用△OAF ∽△EFC 得出比例式，即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，连接BC ，∵AC BD = ，∴∠ECB ＝∠EBC ，∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠OCD ＝∠ECF ＝∠ECB ﹣∠OCB ＝∠EBC ﹣∠OBC ＝∠OBA ；（2）∵OA ＝OB ，∴∠OAF ＝∠OBA ，∴∠OAF ＝∠ECF ，①当∠AFO ＝90°时，∵OA tan ∠OBA ＝12，∴OC ＝OA OF ＝1，AB ＝4，∴EF ＝CF •tan ∠ECF ＝CF•tan ∠OBA ＝12②当∠AOF ＝90°时，∵OA ＝OB ，∴∠OAF ＝∠OBA ，∴tan ∠OAF ＝tan ∠OBA ＝12， ∵OA∴OF ＝OA •tan ∠OAF， ∴AF ＝52， ∵∠OAF ＝∠OBA ＝∠ECF ，∠OFA ＝∠EFC ，∴△OFA ∽△EFC ，∴5EF CF OC OF OF AF AF +===， ∴EFOF ＝32, 即：EF ＝32；（3）存在，如图2，连接OE ，∵∠ECB ＝∠EBC ，∴CE ＝EB ，∵OE ＝OE ，OB ＝OC ，∴△OEC ≌△OEB ，∴S △OEC ＝S △OEB ，∵S △CEF ＝4S △BOF ，∴S △CEO +S △EOF ＝4（S △BOE ﹣S △EOF ）， ∴53CEO EFO S S ∆∆=， ∴53CO FO =， ∴FO ＝35CO， ∵△OFA ∽△EFC ， ∴53CE AD CO EF FO FO ===， ∴BF ＝BE ﹣EF ＝CE ﹣EF ＝23EF ， ∴AF ＝AB ﹣BF ＝4﹣23EF ，∵△OAF∽△EFC，∴CF EFFA FO=，∴85523543EF=-，∴EF＝3﹣35．【点睛】圆的综合题，主要考查了圆的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论的思想，判断出53CE AD COEF FO FO===是解本题的关键．。

人教版数学九年级上册第二十四章《圆》压轴题综合培优训练(含答案)

《圆》压轴题综合培优训练1．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC 交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．2．如图，在△ABC中，CA＝CB，E是边BC上一点，以AE为直径的⊙O经过点C，并交AB 于点D，连结ED．（1）判断△BDE的形状并证明．（2）连结CO并延长交AB于点F，若BE＝CE＝3，求AF的长．3．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．4．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD 的延长线于点E．（1）求证：∠BDC＝∠A；（2）若CE＝2，DE＝2，求AD的长．（3）在（2）的条件下，求弧BD的长．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当⊙O半径为3，CE＝2时，求BD长．6．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD＝CF．7．如图，AH是圆O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AD＝8，EB＝5，求⊙O的直径．8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OA，垂足为点M，连接并延长CO交⊙O于点E，分别连接DE，BE，DB，其中∠EDB＝30°，∠CDE的平分线DN交CE于点G，交⊙O于点N，延长CE至点F，使FG＝FD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若⊙O半径r为8，求线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．9．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE＝DB：（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长10．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．（I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小；（II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．11．如图，AB是圆O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交圆O于点F，且CE＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果OA＝3，求AE•AB的值．12．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，O是BC上一点，⊙O交AB于点D，交BC 延长线于点E．连接ED，交AC于点G，且AG＝AD．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）设⊙O与AC的延长线交于点F，连接EF，若EF∥AB，且EF＝5，求BD的长．13．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD．（Ⅰ）如图①，求∠ODE的大小；（Ⅱ）如图②，连接OC交DE于点F，若OF＝CF，求∠A的大小．14．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB是圆O的直径，C是圆上的一点，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．（1）求证：DE是圆O的切线．（2）若AB＝6，AE＝4.8，求BD和BC的长．15．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上．（1）如图1，MA＝6，MB＝8，∠NOB＝60°，求NB的长；（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究∠MCP、∠NAB、∠MBA之间的数量关系，并证明．参考答案一．解答题1．解：（1）连接BD、OE，∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，∴∠DBC＝∠CAB，∴∠EDB＝∠EBD，则∠BDC＝90°，∴E为BC的中点；（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，∴AD：BM＝，而△ADH∽△MBH，∴DH：BH＝，则DH＝HM，∴HM：BH＝，∴∠BMH＝30°＝∠BAC，∴∠C＝60°，E是直角三角形的中线，∴DE＝CE，∴△DEC为等边三角形，⊙O 的面积：12π＝（AB ）2π，则AB ＝4，∠CAB ＝30°，∴BD ＝2，BC ＝4，AC ＝8，而OE ＝AC ＝4，四边形OBED 的外接圆面积S 2＝π（2）2＝4π，等边三角形△DEC 边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，故△DEC 的内切圆面积S 1和四边形OBED 的外接圆面积S 2的比为：． 2．（1）证明：△BDE 是等腰直角三角形．∵AE 是⊙O 的直径∴∠ACB ＝∠ADE ＝90°，∴∠BDE ＝180°﹣90°＝90°．∵CA ＝CB ，∴∠B ＝45°，∴△BDE 是等腰直角三角形．（2）过点F 作FG ⊥AC 于点G ，则△AFG 是等腰直角三角形，且AG ＝FG ．∵OA ＝OC ，∴∠EAC ＝∠FCG ．∵BE ＝CE ＝3，∴AC ＝BC ＝2CE ＝6，∴tan ∠FCG ＝tan ∠EAC ＝．∴CG ＝2FG ＝2AG ．∴FG ＝AG ＝2，∴AF ＝2． 3．【解答】（1）证明：∵⊙O 切BC 于D ，∴OD ⊥BC ，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC＝60°，OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE＝OA，∠AOE＝60°，∴AE＝AO＝OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD＝60°，∴S△AEM ＝S△DMO，∴S阴影＝S扇形EOD＝＝π．4．（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O切线，∴∠ODC＝90°，即∠ODB+∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB+∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A；（2）∵CE⊥AE，∴∠E＝∠ADB＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE，∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴＝，∴EC2＝DE•AE，∴（2）2＝2（2+AD），∴AD＝4．（3）∵直角△CDE中，tan∠DCE＝＝＝，∴∠DCE＝30°，又∵△AEC∽△CED，∴∠A＝∠DCE＝30°，∴∠DOB＝2∠A＝60°，BD＝AD•tan A＝4×＝，∴△OBD是等边三角形，则OD＝BD＝，则弧BD的长是＝．5．（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，即DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙0的切线；（2）证明：∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°，∴△DEC∽△ADB，∴，∴BD•CD＝AB•CE，∵BD＝CD，∴BD2＝AB•CE，∵⊙O半径为3，CE＝2，∴BD＝＝2．6．证明：（1）连接OA，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC＝30°，∠BCA＝60°，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵AD＝DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF，∠DAF＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF．7．解：（1）如图1，连接OE，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∵AE平分∠FAH，∴∠EAO＝∠FAE，∴∠FAE＝∠AEO，∴AF∥OE，∴∠AFE+∠OEF＝180°，∵AF⊥GF，∴∠AFE＝∠OEF＝90°，∴OE⊥GF，∵点E在圆上，OE是半径，∴GF是⊙O的切线．（2）设AB＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝x，BC＝AD＝8，∴CE＝BC﹣BE＝3，∵AE是∠BAF的角平分线，BE⊥AB，EF⊥AF，∴EF＝BE＝5，在Rt△CEF中，根据勾股定理得，CF＝4，∴DF＝CD﹣CF＝x﹣4，在Rt△ABE和Rt△AFE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），∴AF＝AB＝x，在Rt△ADF中，x2﹣（x﹣4）2＝64，∴x＝10，∴AB＝10，设⊙O的半径为r，∴OB＝10﹣r，在Rt△BOE中，r2﹣（10﹣r）2＝25，∴r＝，∴⊙O的直径为．8．（1）证明：连接OD，∵CD垂直平分OA，∴OM＝OA＝OD，∴∠ODC＝30°，∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∵DN平分∠CDE，∴∠CDN＝45°，∴∠ODN＝45°﹣30°＝15°，∵OD＝OC，∴∠DCO＝∠ODC＝30°，∴∠FGD＝45°+30°＝75°，∵FD＝FG，∴∠FDG＝∠FGD＝75°，∴∠ODF＝∠ODN+∠FDG＝15°+75°＝90°，∴DF是⊙O的切线；（2）解：∵∠EDB＝30°，∴∠EOB＝60°，Rt△CDE中，∠DEC＝60°，∴∠DEC＝∠EOB＝60°，∴DE∥AB，∴S△DOE ＝S△ODE，∴S阴影＝S扇形ODE＝＝；答：线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积是，9．（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠BED＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠5+∠4＝∠DBE，∴DB＝DE；（2）解：连接CD，如图，∵∠BAC＝90°，∴BC为直径，∴∠BDC＝90°，∵∠1＝∠2，∴DB＝BC，∴△DBC为等腰直角三角形，∴BC＝BD＝4，∴△ABC外接圆的半径为2；（3）解：∵∠5＝∠2＝∠1，∠FDB＝∠BDA，∴△DBF∽△ADB，∴＝，即＝，∴AD＝9．10．解：（I）如图①，连接OB，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∴∠OBF＝90°，∵OA⊥CD，∴∠OED＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠F＝180°﹣50°＝130°，∵OA＝OB，∴∠1＝∠A＝（180°﹣130°）＝25°，∴∠2＝90°﹣∠1＝65°，∴∠BGF＝180°﹣∠2﹣∠F＝180°﹣65°﹣50°＝65°；（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∵AC∥BF，∴BH⊥AC，与（Ⅰ）方法可得到∠AOB＝180°﹣∠F＝180°﹣36°＝144°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝（180°﹣144°）＝18°，∵∠AOB＝∠OHA+∠OAH，∴∠OAH＝144°﹣90°＝54°，∴∠BAC＝∠OAH+∠OAB＝54°+18°＝72°，∴∠BDG＝∠BAC＝72°．11．（1）证明：连接OB．∵CD⊥OA，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵CE＝CB，∴∠CBE＝∠CEB＝∠AED，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∴∠OBC＝90°，∴OB⊥BC．（2）解：连接OF．∵AD＝OD，FD⊥OA，∴FA＝FO＝AO，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴∠ABF＝∠AOF＝30°．（3）解：延长AO交⊙O于H，连接BH．∵AH是直径，∴∠ABH＝∠ADE＝90°，∵∠DAE＝∠HAB，∴△DAE∽△BAH，∴＝，∴AE•AB＝AD•AH＝×6＝9．12．（1）证明：连结OD，∵∠ACB＝90°，∴∠OED+∠EGC＝90°，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵AG＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGD＝∠EGC，∴∠OED+∠EGC＝∠ADG+∠ODE＝∠ADO＝90°，∴OD⊥AB，∵OD为半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接OF，∵EF∥AB，AC：BC＝4：3，∴CF：CE＝4：3，又∵EF＝5，∴CF＝4，CE＝3，设半径＝r，则OF＝r，CF＝4，CO＝r﹣3．在Rt△OCF中，由勾股定理，可得r＝，∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠B，∵∠ECF＝∠ODB＝90°，∴△CEF∽△DBO，∴＝，∴＝，∴BD＝．13．证明：（Ⅰ）连接OE，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°，∵E点是BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∵OD＝OB，OE＝OE，∴△ODE≌△OBE，∴∠ODE＝∠OBE，∵∠ABC＝90°，∴∠ODE＝90°；（Ⅱ）∵CF＝OF，CE＝EB，∴FE是△COB的中位线，∴FE∥OB，∴∠AOD＝∠ODE，由（Ⅰ）得∠ODE＝90°，∴∠AOD＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝．14．解：（1）如图，连接OC，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC＝∠BA C；又在圆中OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠EAC＝∠ACO，∴OC∥AE，由AE⊥DC知OC⊥DC，∴DE是⊙O的切线．（2）∵∠D＝∠D，∠E＝∠OCD＝90°，∴△DCO∽△DEA，∴＝，∴＝，∴＝，∴BD＝2；∵Rt△EAC∽Rt△CAB，∴＝，∴＝∴AC2＝，由勾股定理得：BC＝＝．15．解：（1）如图1，∵AB是半圆O的直径，∴∠M＝90°，在Rt△AMB中，AB＝，∴AB＝10．∴OB＝5，∵OB＝ON，又∵∠NOB＝60°，∴△NOB是等边三角形，∴NB＝OB＝5．（2）结论：∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．理由：方法一：如图2中，画⊙O，延长MC交⊙O于点Q，连接NQ，NB．∵MC⊥AB，又∵OM＝OQ，∴MC＝CQ，即C是MQ的中点，又∵P是MQ的中点，∴CP是△MQN的中位线，∴CP∥QN，∴∠MCP＝∠MQN，∵∠MQN＝∠MON，∠MBN＝∠MON，∴∠MQN＝∠MBN，∴∠MCP＝∠MBN，∵AB是直径，∴∠ANB＝90°，∴在△ANB中，∠NBA+∠NAB＝90°，∴∠MBN+∠MBA+∠NAB＝90°，即∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．方法二：如图2﹣1中，连接MO，OP，NO，BN．∵P是MN中点，又∵OM＝ON，∴OP⊥MN，且∠MOP＝∠MON，∵MC⊥AB，∴∠MCO＝∠MPO＝90°，∴设OM的中点为Q，则QM＝QO＝QC＝QP，∴点C，P在以OM为直径的圆上，在该圆中，∠MCP＝∠MOP＝∠MQP，又∵∠MOP＝∠MON，∴∠MCP＝∠MON，在半圆O中，∠NBM＝∠MON，∴∠MCP＝∠NBM，∵AB是直径，∴∠ANB＝90°，∴在△ANB中，∠NBA+∠NAB＝90°，∴∠NBM+∠MBA+∠NAB＝90°，即∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．。

九年级上册上册数学压轴题(培优篇)(Word版含解析)

九年级上册上册数学压轴题（培优篇）（Word 版含解析）一、压轴题1．点P 为图形M 上任意一点，过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ，记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值，则称其为“图形M 到直线l 的限距离”，记作()max ,D M l ；定义二:若d 存在最小值，则称其为“图形M 到直线l 的基距离”，记作()min ,D M l ；（1）已知直线1:2l y x =--，平面内反比例函数2y x=在第一象限内的图象记作,H 则()1,min D H l = ．（2）已知直线2:33l y x =+，点()1,0A -，点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点，T 的半径为3，点C 在T 上，若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范围，（3）已知直线21211k k y x k k --=+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫⎪⎝+-+⎭+，点(),D a b 恒在直线3l 上，点(),28E m m +是平面上一动点，记以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =，若请直接写出m 的取值范围． 2．如图①，O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ．（1）求证：BD BE =．（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．3．数学概念若点P 在ABC ∆的内部，且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等，则称P 是ABC ∆的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是ABC ∆的“强等角点”. 理解概念（1）若点P 是ABC ∆的等角点，且100APB ∠=，则BPC ∠的度数是 . （2）已知点D 在ABC ∆的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足180BDC BAC ∠+∠<，作BCD ∆的外接圆O ，连接AD ，交圆O 于点P .当BCD ∆的边满足下面的条件时，求证：P 是ABC ∆的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）①如图①，DB DC = ②如图②，BC BD =深入思考（3）如图③，在ABC ∆中，A ∠、B 、C ∠均小于120，用直尺和圆规作它的强等角点Q .（不写作法，保留作图痕迹）（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法： ①直角三角形的内心是它的等角点； ②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点； ③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）4．如图, AB 是⊙O 的直径,点D 、E 在⊙O 上,连接AE 、ED 、DA ,连接BD 并延长至点C ,使得DAC AED ∠=∠．（1）求证: AC 是⊙O 的切线；（2）若点E 是BC 的中点, AE 与BC 交于点F ，①求证: CA CF =；②若⊙O 的半径为3，BF =2,求AC 的长．5．在长方形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．（1）填空：______＝______，______＝______（用含t 的代数式表示）；（2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．6．如图，已知矩形ABCD 中，BC =2cm ，AB =23cm ，点E 在边AB 上，点F 在边AD 上，点E 由A 向B 运动，连结EC 、EF ，在运动的过程中，始终保持EC ⊥EF ，△EFG 为等边三角形．（1）求证△AEF ∽△BCE ；（2）设BE 的长为xcm ，AF 的长为ycm ，求y 与x 的函数关系式，并写出线段AF 长的范围；（3）若点H 是EG 的中点，试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上，并求在点E 由A 到B 运动过程中，点H 移动的距离．7．如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的弦，AE 平分BAF ∠，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED AF ⊥，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C .(1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若10,6AB AF ==，求AE 的长.8．如图，B 是O 的半径OA 上的一点（不与端点重合），过点B 作OA 的垂线交O 于点C ，D ，连接OD ，E 是O 上一点，CE CA =，过点C 作O 的切线l ，连接OE 并延长交直线l 于点F.（1）①依题意补全图形. ②求证：∠OFC=∠ODC ．（2）连接FB ，若B 是OA 的中点，O 的半径是4，求FB 的长.9．如图，一次函数122y x =-+的图象交y 轴于点A ，交x 轴于点B 点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点．（1）求A ，B 两点的坐标；并求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．10．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积（请在图1中探索）（3）设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上．要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标（请在图2中探索）11．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，AC＝BD，点D在AB上，连接CO，并延长CO交线段AB于点F，连接OA、OB，且OA＝5，tan∠OBA＝12．（1）求证：∠OBA＝∠OCD；（2）当△AOF是直角三角形时，求EF的长；（3）是否存在点F，使得S△CEF＝4S△BOF，若存在，请求EF的长，若不存在，请说明理由．12．如图，在边长为5的菱形OABC中，sin∠AOC＝45，O为坐标原点，A点在x轴的正半轴上，B，C两点都在第一象限．点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周，设运动时间为t（秒）．请解答下列问题：（1）当CP⊥OA时，求t的值；（2）当t＜10时，求点P的坐标（结果用含t的代数式表示）；（3）以点P为圆心，以OP为半径画圆，当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切时，请直接写出t的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）2+；（2）610t ≤≤-或1016-≤≤-3）325m ≤-或0m ≥ 【解析】【分析】（1）作直线：y x b =-+平行于直线1l ，且与H 相交于点P ，连接PO 并延长交直线1l 于点Q ，作PM ⊥x 轴，根据只有一个交点可求出b ，再联立求出P 的坐标，从而判断出PQ 平分∠AOB ，再利用直线1l 表达式求A 、B 坐标证明OA=OB ，从而证出PQ 即为最小距离，最后利用勾股定理计算即可；（2）过点T 作TH ⊥直线2l ，可判断出T 上的点到直线2l的最大距离为TH +后根据最大距离的范围求出TH 的范围，从而得到FT 的范围，根据范围建立不等式组求解即可；（3）把点P 坐标带入表达式，化简得到关于a 、b 的等式，从而推出直线3l 的表达式，根据点E 的坐标可确定点E 所在直线表达式，再根据最小距离为0，推出直线3l 一定与图形K 相交，从而分两种情况画图求解即可．【详解】解：（1）作直线：y x b =-+平行于直线1l ，且与H 相交于点P ，连接PO 并延长交直线1l 于点Q ，作PM ⊥x 轴，∵ 直线：y x b =-+与H 相交于点P ， ∴2x b x-+=，即220x bx -+=，只有一个解， ∴24120b ∆=-⨯⨯=，解得b =∴y x =-+联立2y x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P ，∴PM OM ==P 在第一、三象限夹角的角平分线上，即PQ 平分∠AOB ，∴Rt POM 为等腰直角三角形，且OP=2， ∵直线1l ：2y x =--，∴当0y =时，2x =-，当0x =时，2y =-， ∴A(－2，0)，B(0，－2)， ∴OA=OB=2，又∵OQ 平分∠AOB ， ∴OQ ⊥AB ，即PQ ⊥AB ，∴PQ 即为H 上的点到直线1l 的最小距离， ∵OA=OB ，∴45OAB OBA AOQ ∠=∠=∠=︒， ∴AQ=OQ ，∴在Rt AOQ 中，OA=2，则OQ=2，∴22PQ OP OQ =+=+，即()1,22min D H l =+；（2）由题过点T 作TH ⊥直线2l ，则T 上的点到直线2l 的最大距离为3TH + ∵()max 243,63ABC l D V ≤≤ 即43363TH ≤ ∴3353TH ≤≤ 由题60HFO ∠=︒，则3FT =， ∴610FT ≤≤，又∵3FT t =，∴610t ≤≤，解得610t ≤≤1016-≤≤-；（3）∵直线21211k k y x k k --=+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫⎪⎝+-+⎭+，∴把点P 代入得：2111211184184k k a b c a b c k k --⎛⎫+-+=++ ⎪--⎝⎭，整理得：()()2416828162828a b c k a b c a b c k a b c +-+--+-=++---，∴2416828281628a b c a b c a b c a b c +-+=++⎧⎨--+-=---⎩，化简得224801a b c c +-+=⎧⎨=⎩，∴182b a =-+，又∵点(),D a b 恒在直线3l 上， ∴直线3l 的表达式为：182y x =-+， ∵()min 3,0D K l =，∴直线3l 一定与以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形图形相交， ∵(),28E m m +，∴点E 一定在直线28y x =+上运动，情形一：如图，当点E 运动到所对顶点F 在直线3l 上时，由题可知E 、F 关于原点对称， ∵(),28E m m +， ∴(),28m m F ---，把点F 代入182y x =-+得：18282m m +=--，解得：325m =-， ∵当点E 沿直线向上运动时，对角线变短，正方形变小，无交点， ∴点E 要沿直线向下运动，即325m ≤-；情形二：如图，当点E 运动到直线3l 上时，把点E 代入182y x =-+得：18282m m -+=+，解得：0m =， ∵当点E 沿直线向下运动时，对角线变短，正方形变小，无交点， ∴点E 要沿直线向上运动，即0m ≥，综上所述，325m ≤-或0m ≥．【点睛】本题考查新型定义题，弄清题目含义，正确画出图形是解题的关键． 2．(1)证明见解析；(2)13(3) 2330a 【解析】【分析】(1)根据△ABC 是等边三角形，从而可以得出∠BAC=∠C ，结合圆周角定理即可证明； (2)过点A 作AG ⊥BC 于点G ，根据△ABC 是等边三角形，可以得到BG 、AG 的值，由BF ∥AG 可得到AF BGEF EB=，求出BE ，最后利用勾股定理即可求解； (3)过点O 作OM ⊥BC 于点M ，由题(2)知AF BGEF EB =，CG=BG=1122AC a =，可以得到BM 的值，根据BF ∥AG ，可证得△EBF ∽△EGA ，列比例式求出BF ，从而表示出△OFB 的面积．【详解】(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC=∠C=60°，∵∠DEB=∠BAC=60°，∠D=∠C=60°， ∴∠DEB=∠D ， ∴BD=BE ；(2)解：如图所示，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，∵△ABC 是等边三角形，AC=6， ∴BG=11322BC AC ==， ∴在Rt △ABG 中，333AG BG == ∵BF ⊥EC ， ∴BF ∥AG ，∴AF BG EF EB=， ∵AF ：EF=3：2，∴BE=23BG=2， ∴EG=BE+BG=3+2=5，在Rt △AEG 中，()2222335213AE AG EG =+=+=(3)解：如图所示，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，由题(2)知AF BG EF EB =，CG=BG=1122AC a =， ∴3=2AF BG EF EB =， ∴22113323EB BG a a ==⨯=， ∴EC=CG+BG+BE=11142233a a a a ++=， ∴EM=12EC =23a ， ∴BM=EM-BE=211333a a a -=， ∵BF ∥AG ，∴△EBF ∽△EGA ， ∴123=11532a BF BE AG EG a a ==+， ∵332AG BG a ==， ∴2335BF ==， ∴△OFB 的面积＝21313223BF BM a a ⋅=⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质求解．3．（1）100、130或160；（2）选择①或②，理由见解析；（3）见解析；（4）③⑤【解析】【分析】（1）根据“等角点”的定义，分类讨论即可；（2）①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明；②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；（3）根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；（4）根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可．【详解】（1）（i ）若APB ∠=BPC ∠时，∴BPC ∠=APB ∠=100°（ii ）若BPC CPA ∠=∠时， ∴12BPC CPA ∠=∠=（360°－APB ∠）=130°；（iii ）若APB ∠=CPA ∠时，BPC ∠=360°－APB ∠－CPA ∠=160°，综上所述：BPC ∠=100°、130°或160°故答案为：100、130或160．（2）选择①：连接,PB PC ∵DB DC =∴=DB DC∴BPD CPD ∠=∠∵180APB BPD ∠+∠=，180APC CPD ∠+∠=∴APB APC ∠=∠∴P 是ABC ∆的等角点．选择②连接,PB PC∵BC BD =∴BC BD =∴BDC BPD ∠=∠∵四边形PBDC 是圆O 的内接四边形，∴180BDC BPC ∠+∠=∵180BPD APB ∠+∠=∴BPC APB ∠=∠∴P 是ABC ∆的等角点（3）作BC的中垂线MN，以C为圆心，BC的长为半径作弧交MN与点D，连接BD，根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC∴△BCD为等边三角形∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°作CD的垂直平分线交MN于点O以O为圆心OB为半径作圆，交AD于点Q，圆O即为△BCD的外接圆∴∠BQC=180°－∠BDC=120°∵BD=CD∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=12（360°－∠BQC）=120°∴∠BQA=∠CQA=∠BQC如图③，点Q即为所求．（4）③⑤．①如下图所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心假设∠BAC=60°，∠ACB=30°∵点O是△ABC的内心∴∠BAO=∠CAO=12∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=12∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=12∠ACB=15°∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO－∠BCO=120°显然∠AOC ≠∠AOB ≠∠BOC ，故①错误；②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误； ③正三角形的每个中心角都为：360°÷3=120°，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故③正确；④由（3）可知，点Q 为△ABC 的强等角，但Q 不在BC 的中垂线上，故QB ≠QC ，故④错误；⑤由（3）可知，当ABC ∆的三个内角都小于120时，ABC ∆必存在强等角点Q ．如图④，在三个内角都小于120的ABC ∆内任取一点'Q ，连接'Q A 、'Q B 、'Q C ，将'Q AC ∆绕点A 逆时针旋转60到MAD ∆，连接'Q M ，∵由旋转得'Q A MA =，'Q C MD =，'60Q AM ∠=∴'AQ M ∆是等边三角形．∴''Q M Q A =∴'''''Q A Q B Q C Q M Q B MD ++=++∵B 、D 是定点，∴当B 、'Q 、M 、D 四点共线时，''Q M Q B MD ++最小，即'''Q A Q B Q C ++最小．而当'Q 为ABC ∆的强等角点时，'''120AQ B BQ C CQ A AMD ∠=∠=∠==∠，此时便能保证B 、'Q 、M 、D 四点共线，进而使'''Q A Q B Q C ++最小．故答案为：③⑤．【点睛】此题考查的是新定义类问题、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形综合大题，掌握“等角点”和“强等角点”的定义、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形中心角公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．4．（1）详见解析；（2）①详见解析；②8【解析】【分析】（1）先得到90ADB ∠=︒，利用圆周角定理得到DBA DAC ∠=∠，即可证明AC 是切线；（2）①利用等弧所对的圆周角相等，得到BAE DAE ∠=∠，然后得到CFA CAF ∠=∠，即可得到结论成立；②设AC CF x ==，利用勾股定理，即可求出AC 的长度.【详解】（1）证明： ∵AB 是⊙O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴90DBA DAB ∠+∠=︒，∵DEA DBA ∠=∠,DAC DEA ∠=∠，∴DBA DAC ∠=∠，∴90DAC DAB ∠+∠=︒，∴90CAB ∠=︒，∴AC 是⊙O 的切线；（2）① ∵点E 是弧BD 的中点，∴BAE DAE ∠=∠，∵CFA DBA BAE ∠=∠+∠，CAF CAD DAE ∠=∠+∠，∴CFA CAF ∠=∠∴CA CF =；② 设CA CF x ==，在Rt ABC ∆中，2BC x =+，CA x =，6AB =，由勾股定理可得222(2)6x x +=+，解得：8x =，∴8AC =.【点睛】本题考查了切线的判定，等角对等边，以及勾股定理，要证直线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．5．（1）BQ ,2tcm ,PB ,()5t cm -；（2）当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由见解析.【解析】【分析】（1）根据点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，可以求得BQ ,PB .（2）用含t 的代数式分别表示PB 和BQ 的值，运用勾股定理求得PQ 为22(5)(2)t t -+＝25据此求出t 值.（3）根据题干信息使得五边形APQCD 的面积等于226cm 的t 值存在，利用长方形ABCD 的面积减去PBQ △的面积即可，有PBQ △的面积为4，由此求得t 值.【详解】解：（1）点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，故BQ 为2tcm ,点P从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，AB ＝5cm ，故PB 为()5t cm -.（2）由题意得：22(5)(2)t t -+＝25，解得：1t ＝0，2t ＝2；当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由如下：长方形ABCD 的面积是：56⨯＝()230cm ，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ，则PBQ △的面积为3026-＝()24cm ，()15242t t -⨯⨯=，解得：1t ＝4（不合题意舍去），2t ＝1．即当t ＝1秒时，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．【点睛】本题结合长方形考查动点问题，其本质运用代数式求值，利用含t 的代数式表示各自线段的直接，根据题干数量关系即可确立等量关系式，从而求出t 值.6．（1）详见解析；（2）21y 2x =-,302AF ≤≤；(3)3. 【解析】【分析】（1）由∠A =∠B =90°，∠AFE =∠BEC ，得△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BCE 得AF AEBE BC =，y x =，即212y x =-+，然后求函数最值；（3）连接FH ，取EF 的中点M ，证MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；连接AH ，证∠EFH =30°由A 、E 、H 、F 在同一圆上，得∠EAH =∠EFH =30°，线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH 中，60AH sin AB =︒=，可进一步求AH. 【详解】解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠B =90°，∴∠AEF +∠AFE =90°，∵EF ⊥CE ，∴∠AEF +∠BEC =90°，∴∠AFE =∠BEC ，∴△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BEC 得AF AE BE BC =，y x =，∴2132y x x =-+， ∵2132y x x =-+=213(3)22x --+，当3x =时，y 有最大值为32， ∴302AF ≤≤；（3）如图1，连接FH ，取EF 的中点M ，在等边三角形EFG 中，∵点H 是EG 的中点，∴∠EHF =90°，∴ME =MF =MH ，在直角三角形AEF 中，MA =ME =MF ，∴MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；如图2，连接AH ，∵△EFG 为等边三角形，H 为EG 中点，∴∠EFH =30°∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°，如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH 中，360AH sin AB =︒=， ∵AB =23∴AH =3，所以点H 移动的距离为3．【点睛】此题主要考查圆的综合问题，会证明三角形相似，会分析四点共圆，会运用二次函数分析最值，会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键．7．（1）详见解析；（2）5【解析】【分析】（1）通过证明OE ∥AD 得出结论OE ⊥CD ，从而证明CD 是⊙0的切线；（2）在Rt △ADE 中，求出AD ，DE ，利用勾股定理即可解决问题．（1）证明：∵AE 平分∠DAC ，∴∠CAE ＝∠DAE ．∵OA ＝OE ，∴∠OEA ＝∠OAE ．∴∠DAE ＝∠AEO ，．∴AD ∥OE ．∵AD ⊥CD ，∴OE ⊥CD ．∴CD 是⊙O 的切线．（2）解：连接BF 交OE 于K ．∵AB 是直径，∴∠AFB ＝90°，∵AB ＝10，AF ＝6，∴BF 22106-8，∵OE ∥AD ，∴∠OKB ＝∠AFB ＝90°，∴OE ⊥BF ，∴FK ＝BK ＝4，∵OA ＝OB ，KF ＝KB ，∴OK ＝12AF ＝3， ∴EK ＝OE ﹣OK ＝2，∵∠D ＝∠DFK ＝∠FKE ＝90°，∴四边形DFKE 是矩形，∴DE ＝KF ＝4，DF ＝EK ＝2，∴AD ＝AF+DF ＝8，在Rt △ADE 中，AE 22AD DE +2284+45．【点睛】本题考查切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．8．（1）①补图见解析；②证明见解析；（2）FB=21【解析】（1）①根据题意，补全图形即可；②由CD⊥OA可得∠ODC+∠AOD=90°，根据垂径定理可得AD AC=，利用等量代换可得AD CE=，根据圆周角定理可得∠EOC=∠AOD，由切线性质可得OC⊥FC，可得∠OFC+∠FOC=90°，即可证明∠OFC=∠ODC；（2）连接BF，作BG⊥l于G，根据OB=12OA，可得∠OCB=30°，利用勾股定理可求出BC的长，根据垂径定理可得CD的长，由（1）可知∠OFC=∠ODC，可得FC=CD，由BG⊥l，OC⊥l可得OC//BG，根据平行线的性质可得∠CBG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出CG的长，利用勾股定理可求出BG的长，即可求出FG的长，利用勾股定理求出FB 的长即可.【详解】（1）①延长OE，交直线l于F，如图即为所求，②∵OA⊥CD，OA为⊙O半径，∴AD AC=，∵CE CA=，∴AD CE=，∴∠EOC=∠AOD，∵FC是⊙O的切线，∴OC⊥FC，∴∠OFC+∠FOC=90°，∴∠OFC=∠ODC.（2）连接BF，作BG⊥l于G，∵B是OA的中点，⊙O半径为4，∴OB=12OA=12OC=2，∵OA⊥CD，∴∠OCD=30°，22OC OB-2242-3∴CD=2BC=43由（1）可知∠OFC=∠ODC，∴FC=CD=3∵BG ⊥l ，OC ⊥l ，∴OC//BG ，∴∠CBG=∠OCD=30°，∴CG=12BC=3，BG=22BC CG -=3， ∴FG=FC+CG=53，∴BF=22FG BG +=221.【点睛】本题考查切线的性质、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；30°角所对的直角边，等于斜边的一半；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.9．(1) A （0，2），B(4，0)，2722y x x =-++；(2)当t=2时，MN 有最大值4；(3) D 点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）．【解析】【分析】 (1)首先求得A 、B 的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)本问要点是求得线段MN 的表达式，这个表达式是关于t 的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN 的最大值；(3)本问要点是明确D 点的可能位置有三种情况，如答图2所示，其中D 1、D 2在y 轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D 3点在第一象限是直线D 1N 和D 2M 的交点，利用直线解析式求得交点坐标即可．【详解】解：(1)∵122y x =-+的图象交y 轴于点A ，交x 轴于点B 点， ∴A 、B 点的坐标为：A （0，2），B(4，0)，将x=0，y=2代入2y x bx c =-++得c=2，将x=4，y=0,代入2y x bx c =-++得b=72， ∴抛物线解析式为：2722y x x =-++；(2)如答图1所示，设MN 交x 轴于点E ，则E(t ，0)，则M(t ，122t -)，又N 点在抛物线上，且x N =t ，∴2722N y t t =-++， ∴()22271224=2422N M MN y y t t t t t t ⎛⎫=-=-++--=-+--+ ⎪⎝⎭， ∴当t=2时，MN 有最大值4．(3)由(2)可知A （0，2）、M(2，1)、N(2，5)，以A 、M 、N 、D 为顶点做平行四边形，D 点的可能位置有三种情况，如答图2所示，当D 在y 轴上时，设D 的坐标为（0，a ），由AD=MN ，得|a-2|=4，解得a 1=6，a 2=-2，从而D 点坐标为（0，6）或D （0，-2），当D 不在y 轴上时，由图可知D 3为D 1N 与D 2M 的交点，分别求出D 1N 的解析式为：162y x =-+， D 2M 的解析式为：322y x =-，联立两个方程得：D 3（4，4），故所求的D 点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）．【点睛】本题主要考查的是二次函数综合，经常作为压轴题出现，正确的掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（1）21322y x x =-++；（2）92；（3）点P 的坐标为：3(2,)2或（4，52-）或（4-，212-）．【解析】【分析】（1）由图可知点B 、点D 的坐标，利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；（2）过点M 作ME ⊥AB 于点E ，由二次函数的性质，分别求出点A 、C 、M 的坐标，然后得到OE 、BE 的长度，再利用切割法求出四边形的面积即可；（3）由点Q 在y 轴上，设Q （0，y ），由平行四边形的性质，根据题意可分为：①当AB 为对角线时；②当BQ 2为对角线时；③当AQ 3为对角线时；分别求出三种情况的点P 的坐标，即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意，抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点，点D 为（2-，52-），点B 为（3，0），则2215(2)22213302b c b c ⎧-⨯--+=-⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩，解得：132b c =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为21322y x x =-++；（2）∵22131(1)2222y x x x =-++=--+， ∴点M 的坐标为（1，2）令213022x x -++=，解得：11x =-，23x =，∴点A 为（1-，0）；令0x =，则32y =， ∴点C 为（0，32）； ∴OA=1，OC=32，过点M 作ME ⊥AB 于点E ，如图：∴2ME =，1OE =，2BE =，∴111()222ABMC S OA OC OC ME OE BE ME =•++•+•四边形， ∴131313791(2)122222222442ABMC S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=++=四边形；（3）根据题意，点Q 在y 轴上，则设点Q 为（0，y ），∵点P 在抛物线上，且以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，如图所示，可分为三种情况进行分析：①AB 为对角线时，则11PQ 为对角线；由平行四边形的性质，∴点E 为AB 和11PQ 的中点，∵E 为（1，0），∵点Q 1为（0，y ），∴点P 1的横坐标为2；当2x =时，代入21322y x x =-++， ∴32y =，∴点13(2,)2P ；②当BQ 2是对角线时，AP 也是对角线，∵点B （3，0），点Q 2（0，y ），∴BQ 2中点的横坐标为32，∵点A 为（1-，0），∴点P 2的横坐标为4，当4x =时，代入21322y x x =-++， ∴52y =-， ∴点P 2的坐标为（4，52-）； ③当AQ 3为对角线时，BP 3也是对角线；∵点A 为（1-，0），点Q 3（0，y ），∴AQ 3的中点的横坐标为12-， ∵点B （3，0），∴点P 3的横坐标为4-，当4x =-时，代入21322y x x =-++， ∴212y =-， ∴点P 3的坐标为（4-，212-）；综合上述，点P 的坐标为：3(2,)2或（4，52-）或（4-，212-）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，以及坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意利用分类讨论和数形结合的思想进行分析．11．（1）见解析；（2）EF ＝32或12；（3）存在【解析】【分析】（1）先判断出∠ECB ＝∠EBC ，再判断出∠OCB ＝∠OBC ，即可得出结论；（2）先求出EF ，再分两种情况，利用锐角三角函数和相似三角形的性质即可得出结论；（3）先利用面积关系得出53CO FO =，进而利用△OAF ∽△EFC 得出比例式，即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，连接BC ，∵AC BD = ，∴∠ECB ＝∠EBC ，∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠OCD ＝∠ECF ＝∠ECB ﹣∠OCB ＝∠EBC ﹣∠OBC ＝∠OBA ；（2）∵OA ＝OB ，∴∠OAF ＝∠OBA ，∴∠OAF ＝∠ECF ，①当∠AFO ＝90°时，∵OAtan ∠OBA ＝12， ∴OC ＝OAOF ＝1，AB ＝4，∴EF ＝CF •tan ∠ECF ＝CF•tan ∠OBA＝12 ②当∠AOF ＝90°时，∵OA ＝OB ，∴∠OAF ＝∠OBA ，∴tan ∠OAF ＝tan ∠OBA ＝12， ∵OA∴OF ＝OA •tan ∠OAF， ∴AF ＝52， ∵∠OAF ＝∠OBA ＝∠ECF ，∠OFA ＝∠EFC ，∴△OFA ∽△EFC ，∴EF CF OC OF OF AF AF +=== ∴EF＝5OF ＝32, 即：EF ＝32或12；（3）存在，如图2，连接OE ，∵∠ECB ＝∠EBC ，∴CE ＝EB ，∵OE ＝OE ，OB ＝OC ，∴△OEC ≌△OEB ，∴S △OEC ＝S △OEB ，∵S △CEF ＝4S △BOF ，∴S △CEO +S △EOF ＝4（S △BOE ﹣S △EOF ）， ∴53CEO EFO S S ∆∆=，∴53 COFO=，∴FO＝3 5CO＝355，∵△OFA∽△EFC，∴53CE AD COEF FO FO===，∴BF＝BE﹣EF＝CE﹣EF＝23EF，∴AF＝AB﹣BF＝4﹣23EF，∵△OAF∽△EFC，∴CF EFFA FO=，∴85523543EF=-，∴EF＝3﹣35．【点睛】圆的综合题，主要考查了圆的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论的思想，判断出53CE AD COEF FO FO===是解本题的关键．12．（1）t＝3；（2）P（35t+2，45t﹣4）；（3）t的值为209秒或4秒或16秒或1609秒【解析】【分析】（1）如图1，过点C作CP⊥OA，交x轴于点P．就可以求出OP的值，由勾股定理就可以求出的OP值，进而求出结论；（2）t＜10时，P在OA或AB上运动，所以分两种情况：①当0≤t≤5时，如图1，点P在OA上，OP=t，可得P的坐标；②当5＜t＜10时，如图2，点P在AB上，构建直角三角形，根据三角函数定义可得P 的坐标；（3）设切点为G ，连接PG ，分⊙P 与四边相切，其中P 在AB 和BC 时，与各边都不相切，所以分两种情况：①当P 在OA 上时，根据三角函数列式可得t 的值；②当P 在OC 上时，同理可得结论．【详解】（1）如图1，当CP ⊥OA 时，sin ∠AO 45CP C OC＝＝， 4455CP CP 即＝，＝，在Rt △OPC 中，OC ＝5，PC ＝4，则OP ＝3，∴331t ＝＝（2）当0≤t ≤5时，如图1，点P 在OA 上，∴P （t ，0）；当5＜t ＜10时，如图2，点P 在AB 上，过P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，则∠AOC ＝∠PAH ，∴sin ∠PAH ＝sin ∠AO 45C ＝， 44 4555PH PH t t ∴=-即＝﹣， ∴333255HA t OH OA AH t ++＝﹣，＝＝，∴34P t+2t 455（，﹣）；（3）设切点为G ，连接PG ，分两种情况：①当P在OA上时，如图3，⊙P与直线AB相切，∵OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAG，∴sin∠AOC＝sin∠OA45PGGAP＝＝，t45-t5 ＝，∴209t＝；⊙P与BC相切时，如图4，则PG＝t＝OP＝4；②当点P在OC上时，⊙P与AB相切时，如图5，∴OP＝PG＝4，∴4×5﹣t＝4，t＝16，⊙P与直线BC相切时，如图6，∴PG⊥BC，∵BC∥AO，∴∠AOC＝∠GCP，∴sin∠AOC＝sin∠GC45PGPPC＝＝，∵OP＝PG＝20﹣t，∴42051tt-=-，∴1609t＝，综上所述，t的值2016041699为秒或秒或秒或秒【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解答时运用等角的三角函数列方程是关键，并注意运用分类讨论的思想，做到不重不漏．。

九年级上册数学圆几何综合(培优篇)(Word版含解析)

九年级上册数学圆几何综合（培优篇）（Word版含解析）一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB于点D，联结AO、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；（2）如图2，设AC=x，ACOOBDSS=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．【答案】（1）2；（2）2825x x x-+（0＜x＜8）;（3）AD=145或6．【解析】【分析】(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长.(2)分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式.(3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论.【详解】解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，∴OD⊥AB，AC=12AB=4，在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，∴22AO AC-，∴OD=5，∴CD=OD﹣OC=2；（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则由（1）可得AH=4，OH=3，∵AC=x，∴CH=|x﹣4|，在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，∴22HO HC+223|x4|+-2825x x-+∴CD=OD ﹣OC=5过点DG ⊥AB 于G ， ∵OH ⊥AB ， ∴DG ∥OH ， ∴△OCH ∽△DCG ， ∴OH OCDG CD=， ∴DG=OH CD OC⋅35， ∴S △ACO =12AC ×OH=12x ×3=32x ， S △BOD =12BC （OH +DG ）=12（8﹣x ）×（335）=32（8﹣x ）∴y=ACO OBDS S=()323582x x -（0＜x ＜8）（3）①当OB ∥AD 时，如图3，过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ，垂足为点F ，则OF=AE ， ∴S=12AB•OH=12OB•AE ， AE=AB OH OB ⋅=245=OF ，在Rt △AOF 中，∠AFO=90°，AO=5，∴75∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴AD=2AF=145．②当OA ∥BD 时，如图4，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，则由①的方法可得DG=BM=245，在Rt △GOD 中，∠DGO=90°，DO=5，∴GO=22DO DG -=75，AG=AO ﹣GO=185，在Rt △GAD 中，∠DGA=90°，∴AD=22AG DG +=6综上得AD=145或6．故答案为（1）2；（2）y=()2825x x x -+（0＜x ＜8）;（3）AD=145或6．【点睛】本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.2．在直角坐标系中，A （0，4），B （4，0）．点C 从点B 出发沿BA 方向以每秒2个单位的速度向点A 匀速运动，同时点D 从点A 出发沿AO 方向以每秒1个单位的速度向点O 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点C 、D 运动的时间是t 秒(t>0)．过点C 作CE ⊥BO 于点E ，连结CD 、DE ． ⑴ 当t 为何值时，线段CD 的长为4；⑵ 当线段DE 与以点O 为圆心，半径为的⊙O 有两个公共交点时，求t 的取值范围； ⑶ 当t 为何值时，以C 为圆心、CB 为半径的⊙C 与⑵中的⊙O 相切？【答案】(1); (2) 4-＜t≤; (3)或．【解析】试题分析：（1）过点C 作CF ⊥AD 于点F ，则CF ，DF 即可利用t 表示出来，在Rt △CFD 中利用勾股定理即可得到一个关于t 的方程，从而求得t 的值；（2）易证四边形ADEC是平行四边形，过点O作OG⊥DE于点G，当线段DE与⊙O相切时，则OG=，在直角△OEG中，OE可以利用t表示，则OG也可以利用t表示出来，当OG＜时，直线与圆相交，据此即可求得t的范围；（3）分两圆外切与内切两种情况进行讨论，当外切时，圆心距等于两半径的和，当内切时，圆心距等于圆C的半径减去圆O的半径，列出方程即可求得t的值．（1）过点C作CF⊥AD于点F，在Rt△AOB中，OA=4，OB=4，∴∠ABO=30°，由题意得：BC=2t，AD=t，∵CE⊥BO，∴在Rt△CEB中，CE=t，EB=t，∵CF⊥AD，AO⊥BO，∴四边形CFOE是矩形，∴OF=CE=t，OE=CF=4-t，在Rt△CFD中，DF2+CF2=CD2，∴（4-t-t）2+（4-t）2=42，即7t2-40t+48=0，解得：t=，t=4，∵0＜t＜4，∴当t=时，线段CD的长是4；（2）过点O作OG⊥DE于点G（如图2），∵AD∥CE，AD=CE=t∴四边形ADEC是平行四边形，∴DE∥AB∴∠GEO=30°，∴OG=OE=（4-t）当线段DE与⊙O相切时，则OG=，∴当（4-t）＜，且t≤4-时，线段DE与⊙O有两个公共交点．∴当 4-＜t≤时，线段DE与⊙O有两个公共交点；（3）当⊙C与⊙O外切时，t=；当⊙C与⊙O内切时，t=；∴当t=或秒时，两圆相切．考点：圆的综合题．3．如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD 的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E.（1）求证：∠E=∠C；（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）48 5.【解析】试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.试题解析：（1）如解图，连接OB，∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，∴∠ABD＝∠CBO.∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，∴∠E＝∠C；（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，∴AO＝5，∴AB＝4.∵BD∥OE，∴＝，∴＝，∴BE＝6，AE=6+4=10（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△ABC= S△AOE==4．如图，点A在直线l上，点Q沿着直线l以3厘米/秒的速度由点A向右运动，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，tan∠ABQ= 34，点C在点Q右侧，CQ=1厘米，过点C作直线m⊥l，过△ABQ的外接圆圆心O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=13CD，以DE、DF为邻边作矩形DEGF．设运动时间为t秒．（1）直接用含t的代数式表示BQ、DF；（2）当0＜t＜1时，求矩形DEGF的最大面积；（3）点Q在整个运动过程中，当矩形DEGF为正方形时，求t的值．【答案】（1）BQ=5t，DF=23t;（2）16;（3）t的值为35或3．【解析】试题分析：（1）AB与OD交于点H ，根据题中的比例关系和勾股定理可表示出BQ的长；根据垂直于同一条直线的两直线平行和三角形的中位线定理可求得AH的长，再根据矩形的判定定理和矩形的性质可求CD 的长，即可表示出FD ；（2）根据题意表示出矩形的长和宽，然后构造二次函数，通过二次函数的最值可求解；（3）当矩形为正方形时，分别让其长与宽相等，列方程求解即可. 试题解析：（1）5t BQ =，2DF=t 3；（2）DE=OD-OE=32t+1-52t=1-t ，()22211·t 13326S DF DE t t ⎛⎫==-=--+ ⎪⎝⎭，∴当t=12时，矩形DEGF 的最大面积为16；（3）当矩形DEGF 为正方形时，221133t t t t -=-=或,解得335t t ==或.5．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，30CAB ∠=︒，10AB =，点D 在线段AB 上，2AD =．点P 从D 点出发，沿DB 方向运动，以DP 为直径作O ，当P 运动到点B 时停止运动，设DP m =．（1）AO =___________，BP =___________．（用m 的代数式表示）（2）当m 为何值时，O 与ABC ∆的一边相切？（3）在点P 整个运动过程中，过点P 作O 的切线交折线AC CB -于点E ，将线段EP绕点E 顺时针旋转60︒得到EF ，过F 作FG EP ⊥于G ．①当线段FG 长度达到最大时，求m 的值；②直接写出点F 所经过的路径长是________．（结果保留根号）【答案】（1）22mAO =+，8BP m =-；（2）4m =或32348m =；（3）①1121153762【解析】【分析】（1）观察图中AO和DP的数量关系可得22DPAO=+，而BP AB AP=-，将DP m=代入即可.（2）O与ABC∆的一边相切有两种情况，先与AC相切，再与BC相切；两种情况的解答方法都是连接圆心与切点，构造直角三角形，根据条件所给的特殊角的三角函数解答.（3）①根据旋转的性质可得PF PE=，在Rt EFG∆中根据三角函数可得cos30FG PE︒=⋅，故当E点与C点重合，PE取得最大值时，FG有最大值，解之即可.②明显以E点与C点重合前后为节点，点F的运动轨迹分两部分，第一部分为从P开始运动到E点与C点重合，即图中的12F F，根据1212F F AC AF CF=--求解；第二部分，根据tanEF EPEBFEB EB∠==为定值可知其轨迹为图中的2F B，在2Rt F BC中用勾股定理求解即可.【详解】（1）2222DP mAO=+=+，8BP AB AP m=-=-（2）情况1：与AC相切时，Rt AOH∆中，∵30A∠=︒∴2AO OH=∴22mm+=解得4m=情况2：与BC相切时，Rt BON∆中，∵60B∠=︒∴3cos2ONBOB==即3282mm=-解得348m=（3）①在Rt EFG ∆中，∵30EFG A ∠=∠=︒，90EGF ∠=︒， ∴3cos30cos302FG EF PE EP ︒︒=⋅=⋅=， ∴当FG 最大时即PE 最大当点E 与点C 重合时，PE 的值最大．易知此时53553102AC BC EP AB ⨯⨯===．在Rt EAP ∆中，∵30A ∠=︒∴1532AP EP == ∴1511222m DP ==-= （3）F 轨迹如图：从1F 到2F 到B1133233233AF AE EF AD PE =-=-==, 253CF CP ==，故1212235311353F F AC AF CF =--==2F 到B 轨迹是线段理由如下：∵60FEP ∠=︒，30PEB ∠=︒，∴90FEB ∠=︒．∴tan EF EPEBF EB EB∠==为定值， ∴点F 的第二段的轨迹是线段2BF ．在2Rt F BC 中，222222535752BF BC F C ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以点F 所经过的路径长是1153762+. 【点睛】本题是综合了圆的性质，直线与圆相切的条件，锐角三角函数，勾股定理以及旋转的性质等知识的动点动图问题，熟练掌握各个知识点是基础，充分理解题意并作图，化动为静是解答关键.6．已知AB 是O 的一条弦，点C 在O 上，联结CO 并延长，交弦AB 于点D ，且CD CB =．（1）如图1，如果BO 平分ABC ∠，求证：AB BC =；（2）如图2，如果AO OB ⊥，求:AD DB 的值；（3）延长线段AO 交弦BC 于点E ，如果EOB ∆是等腰三角形，且O 的半径长等于2，求弦BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）33（351和22【解析】【分析】（1）由题意利用弦心距即可求证结果，（2）此题关键先求出AO ，做辅助线构造特殊三角形，并求证出∠AOD ，再根据平行线分线段成比例求出比值即可，（3）分情况讨论两种情况：OE=BE 时或OB=BE 时两种情况，利用三角形相似即△COE ~△CBO 找到相似比，利用相似比求解即可．【详解】（1）过点O作OP⊥AB，垂足为点P；OQ⊥BC，垂足为点Q，∵BO平分∠ABC，∴OP=OQ，∵OP，OQ分别是弦AB、BC 的弦心距，∴AB= BC；（2）∵OA=OB，∴∠A=∠OBD，∵CD=CB，∴∠CDB =∠CBD，∴∠A+∠AOD =∠CBO +∠OBD，∴∠AOD =∠CBO，∵OC=OB，∴∠C =∠CBO，∴∠DOB =∠C +∠CBO = 2∠CBO = 2∠AOD，∵AO⊥OB，∴∠ AOB =∠AOD +∠BOD =3∠AOD = 90°，∴∠AOD=30°，过点D作DH⊥AO，垂足为点H，∴∠AHD=∠DHO=90°，∴tan∠AOD =HDOH3∵∠AHD=∠AOB=90°，∴HD‖OB，∴DA OBH AHO=，∵OA=OB，∴HD=AH，∵HD‖OB，∴3AH HDOH OAHDB H===；（3）∵∠C=∠CBO，∴∠OEB =∠C+∠COE >∠CBO，∴OE≠OB；若OB = EB =2时，∵∠C=∠C，∠COE =∠AOD =∠CBO，∴△COE~△CBO，∴CO CE BC CO=，∴222BCBC=-，∴2BC-2BC -4=0，∴BC =5- +1 (舍去)或BC =5+1，∴BC =5+1；若OE = EB时，∵∠EOB =∠CBO，∵∠OEB =∠C+∠COE =2∠C =2∠CBO且∠OEB +∠CBO +∠EOB = 180°，∴4∠CBO=180°，∠CBO=45°，∴∠OEB=90°，∴cos∠CBO=2 EBOB=，∵OB=2，∴EB =2，∵OE过圆心，OE⊥BC，∴BC =2EB =22．【点睛】此题考查圆的相关知识：圆心距及圆内三角形相似的相关知识，属于综合题型，难度较高．7．△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D，交⊙O于点E，连接AE．（1）如图1，求证：∠BAC=2∠CAE；（2）如图2，射线AO交线段BD于点F，交BC边于点G，连接CE，求证：BF=CE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CO并延长，交线段BD于点H，交⊙O于点M，连接FM，交AB边于点N，若BH=DH，四边形BHOG的面积为52，求线段MN的长．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）6MN【解析】【分析】（1）先依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明∠BAC+2∠C=180°，然后得到2∠CAE+2∠E=180°，然后根据同弧所对的圆周角相等得到∠E=∠C，即可得到结论；（2）连接OB、OC．先依据SSS证明△ABO≌△ACO，从而得到∠BAO=∠CAO，然后在依据ASA证明△ABF≌△ACE，最后根据全等三角形的性质可证明BF=CE；（3）连接HG、BM．由三线合一的性质证明BG=CG，从而得到HG是△BCD的中位线，则∠FHO=∠AFD=∠HFO，于是可得到HO=OF，然后得到∠OGH=∠OHG，从而得到OH=OG，则OF=OG，接下来证明四边形MFGB是矩形，然后由MF∥BC证明△MFH∽△CBH，从而可证明HF=FD．接下来再证明△ADF≌△GHF，由全等三角形的性质的到AF=FG，然后再证明△MNB≌△NAF，于是得到MN=NF．设S△OHF=S△OHG=a，则S△FHG=2a，S△BHG=4a，然后由S四边形BHOG=52，可求得a=2，设HF=x，则BH=2x，然后证明△GFH∽△BFG，由相似三角形的性质可得到HG=2x，然后依据S△BHG=12BH•HG=42，可求得x=2，故此可得到HB、GH的长，然后依据勾股定理可求得BG的长，于是容易求得MN的长．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠BAC+2∠C=180°．∵BD⊥AC，∴∠ADE=90°．∴∠E+∠CAE=90°．∴2∠CAE+2∠E=180°．∵∠E=∠ACB，∴2∠CAE+2∠ACB=180°．∴∠BAC=2∠CAE．（2）连接OB、OC．∵AB=AC，AO=AO，OB=OC，∴△ABO≌△ACO．∵∠BAC=2∠CAE，∴∠BAO=∠CAE．在△ABF和△ACE中，ABF ACEAB ACBAF CAE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF≌△ACE．∴BF=CE．（3）连接HG、BM．∵AB=AC，∠BAO=∠CAO，∴AG⊥BC，BG=CG．∵BH=DH，∴HG是△BCD的中位线．∴HG∥CD．∴∠GHF=∠CDE=90°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∵∠OAC+∠AFD=90°，∠OCA+∠FHO=90°，∴∠FHO=∠AFD=∠HFO．∴HO=OF．∵∠HFO+∠OGH=90°，∠OHF+∠OHG=90°，∴∠OGH=∠OHG．∴OH=OG．∴OF=OG．∵OM=OC，∴四边形MFCG是平行四边形．又∵MC是圆O的直径，∴∠CBM=90°．∴四边形MFGB是矩形．∴MB=FG，∠FMB=∠AFN=90°．∵MF∥BC，∴12HF MF BH CB ==． ∴HF ：HD=1：2．∴HF=FD ．在△ADF 和△GHF 中，AFD GFH ADF GHF FH FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△GHF ．∴AF=FG ．∴MB=AF ．在△MNB 和△NAF 中，90BMF AFN ANF BNM MB AF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MNB ≌△NAF ．∴MN=NF ．设S △OHF =S △OHG =a ，则S △FHG =2a ，S △BHG =4a ，∴S 四边形BHOG．∴．设HF=x ，则BH=2x ．∵∠HHG=∠GFB ，∠GHF=∠FGB ，∴△GFH ∽△BFG ． ∴HF GH HG BH =，即2x HG HG x=． ∴． ∴S △BHG =12BH•HG=12，解得：x=2．∴HB=4，．由勾股定理可知：．∴．∴．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判断、勾股定理的应用、矩形的性质和判定，找出图中相似三角形和全等三角形是解题的关键．8．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），D为的AC中点，过点D作弦DE⊥AB于F，P是BA延长线上一点，且∠PEA＝∠B．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接CA与DE相交于点G，CA的延长线交PE于H，求证：HE＝HG；（3）若tan∠P＝512，试求AHAG的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1310 AHAG=．【解析】【分析】（1）连接OE，由圆周角定理证得∠EAB+∠B＝90°，可得出∠OAE＝∠AEO，则∠PEA+∠AEO＝90°，即∠PEO＝90°，则结论得证；（2）连接OD，证得∠AOD＝∠AGF，∠B＝∠AEF，可得出∠PEF＝2∠B，∠AOD＝2∠B，可证得∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，则结论得证；（3）可得出tan∠P＝tan∠ODF＝512OFDF=，设OF＝5x，则DF＝12x，求出AE，BE，得出23AEBE=，证明△PEA∽△PBE，得出23PAPE=，过点H作HK⊥PA于点K，证明∠P＝∠PAH，得出PH＝AH，设HK＝5a，PK＝12a，得出PH＝13a，可得出AH＝13a，AG＝10a，则可得出答案．【详解】解：（1）证明：如图1，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠B＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠B+∠AEO＝90°，∵∠PEA＝∠B，∴∠PEA+∠AEO＝90°，∴∠PEO＝90°，又∵OE为半径，∴PE是⊙O的切线；（2）如图2，连接OD，∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，设垂足为M，∴∠AMO＝90°，∵DE⊥AB，∴∠AFD＝90°，∴∠AOD+∠OAM＝∠OAM+∠AGF＝90°，∴∠AOD＝∠AGF，∵∠AEB＝∠EFB＝90°，∴∠B＝∠AEF，∵∠PEA＝∠B，∴∠PEF＝2∠B，∵DE⊥AB，∴AE AD，∴∠AOD＝2∠B，∴∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，∴HE＝HG；（3）解：如图3，∵∠PEF＝∠AOD，∠PFE＝∠DFO，∴∠P＝∠ODF，∴tan∠P＝tan∠ODF＝512 OFDF=，设OF＝5x，则DF＝12x，∴OD22OF DF+13x，∴BF＝OF+OB＝5x+13x＝18x，AF＝OA﹣OF＝13x﹣5x＝8x，∵DE⊥OA，∴EF＝DF＝12x，∴AE22AF EF+13，BE22EF BF+13，∵∠PEA＝∠B，∠EPA＝∠BPE，∴△PEA∽△PBE，∴41323613PA AEPE BE===，∵∠P+∠PEF＝∠FAG+∠AGF＝90°，∴∠HEG＝∠HGE，∴∠P＝∠FAG，又∵∠FAG＝∠PAH，∴∠P＝∠PAH，∴PH＝AH，过点H作HK⊥PA于点K，∴PK＝AK，∴13 PKPE=，∵tan∠P＝5 12，设HK＝5a，PK＝12a，∴PH＝13a，∴AH＝13a，PE＝36a，∴HE＝HG＝36a﹣13a＝23a，∴AG＝GH﹣AH＝23a﹣13a＝10a，∴13131010AH a AG a ==．【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定定和性质定理及方程思想是解题的关键．9．在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点A ，B 和图形ω，如果在图形ω上存在点P ，Q （P ，Q 可以重合），使得AP ＝2BQ ，那么称点A 与点B 是图形ω的一对“倍点”．已知⊙O 的半径为1，点B （0，3）．（1）①点B 到⊙O 的最大值，最小值；②在A 1（5，0），A 2（0，10），A 3）这三个点中，与点B 是⊙O 的一对“倍点”的是；（2）在直线y =x +b 上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”，求b 的取值范围；（3）正方形MNST 的顶点M （m ，1），N （m +1，1），若正方形上的所有点与点B 都是⊙O 的一对“倍点”，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）①点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2；②A 1；（2）b -≤≤；（3）3≤m ≤1或≤m ≤﹣4【解析】【分析】（1）①根据点与圆的位置关系求解即可；②先求出123,,A A A 三个点到⊙O 的最大值与最小值，再根据“倍点”的定义求解即可；（2）如图1（见解析），过点O 作OD l ⊥，先求428BQ ≤≤，再求出直线:3l y x b =+上的点到⊙O 的最小值，只要这个最小值小于等于8即可满足题意，然后求解即可；（3）根据正方形的位置，可分20,01,1,2m m m m -≤<≤≤><-四种情况，分别求出每种情况下，正方形最近顶点、最远顶点到⊙O 的最大值与最小值，然后根据“倍点”的定义列出不等式组求解即可.【详解】（1）①点B 到⊙O 的最大值是314BO r +=+=点B 到⊙O 的最小值是312BO r -=-=；②1A 到⊙O 的最大值6，最小值4；2A 到⊙O 的最大值11，最小值9；3A 到⊙O 的最大值3，最小值1由（1）知，点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2因此，在⊙O 上存在点P ，Q ，使得12A P BQ =，则1A 与B 是⊙O 的一对“倍点”故答案为1A ；（2）∵点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2428BQ ∴≤≤如图1，过点O 作OD l ⊥由直线:l y x b =+的解析式可知：60,DCO OC b ∠=︒=由直角三角形的性质可得：1,2CD b OD === 则点D 到⊙O1-，即直线:3l y x b =+上的点到⊙O的最小值为1-要使直线:3l y x b =+上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”18-≤解得：b ≤b -≤≤；（3）由（2）知，428BQ ≤≤依题意，需分20,01,1,2m m m m -≤<≤≤><-四种情况讨论：①当20m -≤<时，顶点(1,1)N m +到⊙O14<，此时顶点N 不符题意②当01m ≤≤时，顶点(,1)M m 到⊙O14<，此时顶点M 不符题意③当1m ，如图2，正方形MNST 处于1号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,0),(,0)S m T m +此时，点T 到⊙O 的最小值为1m -，最大值为1m +；点N 到⊙O的最小值为11则1418m +≥⎧≤，解得：31m ≤≤ 当正方形MNST 处于2号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,2),(,2)S m T m +此时，点M 到⊙O1-1；点S 到⊙O 的最小11则1418≥≤，解得：1m ≤≤或1m ≤≤-故当1m 时，m 的取值范围为3771m ≤≤-④当2m <-时，正方形MNST 处于3号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,0),(,0)S m T m +此时，点S 到⊙O 的最小值为2m --，最大值为m -；点M 到⊙O 的最小值为2211m +-，最大值为2211m ++则224118m m -≥⎧⎪⎨+-≤⎪⎩，解得：454m -≤≤- 当正方形MNST 处于4号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,2),(,2)S m T m +此时，点N 到⊙O 的最小值为22(1)11m ++-，最大值为22(1)11m +++；点T 到⊙O 的最小值为2221m +-，最大值为2221m ++则2222(1)114218m m ⎧+++≥⎪⎨+-≤⎪⎩，解得：77122m -≤≤--或22177m -≤≤（舍去）故当2m <-时，m 的取值范围为774m -≤≤-综上，m 的取值范围为3771m ≤≤-或774m -≤≤-.【点睛】本题考查了直线与圆的的位置关系、点与圆的位置关系、正方形的性质，较难的是（3），根据点与圆的位置关系分四种情况讨论是解题关键.10．在O 中，AB 为直径，CD 与AB 相较于点H ，弧AC=弧AD（1）如图1，求证：CD AB ⊥;（2）如图2，弧BC 上有一点E ，若弧CD=弧CE ，求证：3EBA ABD ∠=∠;（3）如图3，在（2）的条件下，点F 在上，连接,//FH FH DE ，延长FO 交DE 于点K，若165,55FK DB BE ==，求AB ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1855AB =．【解析】【分析】（1）连接,OC OD ,根据AC AD = 得出COA DOA ∠=再根据OC OD =得出OCD ODC ∠=∠，从而得证；（2）连接,BC BD ,根据AC AD =得出,BC BD BA CD =⊥，CBA ABD ∠=∠，再根据CE CD =,得出CBE CBD ∠=∠,从而得出结论；（3）作,CM DB CN BE ⊥⊥，过点P 作,PT BE PS BD ⊥⊥，,5BE BP a DB a ===先证CDM CEN ∆≅∆，DM EN =，再证,CMB CNB BM BN ∆≅∆=，设DM b =，得出2b a =，再算出,CM CD 得出CPD ∆为等腰三角形，再根据BP 是角平分线利用角平分线定理得出BCP EBP S DP BD S PE BE∆==，从而算出,PE DE ,再根据三角函数值算出BG ,,,,AB r OG OH ，再根据//FH DE 得出HO OF GO OK=，从而计算AB ．【详解】（1）连接OC ，CD因为AC AD =，所以COA DOA ∠=∠ OC OD =，,OA CD CD AB ∴⊥∴⊥;(2)连接BC ，,BC BD BA CD =⊥所以AB 平分CBD ∠，设ABD ABC α∠=∠=2CBD α∴∠=CD CE∴=2CBE CBDα∴∠=∠=，3EBAα∴∠=3EBA ABD∴∠=∠．(3) 2,90EBC BPE PEBαα︒∠=∠=∠=-设,5BE BP a DB a===作,CM DB CN BE⊥⊥，可证：CDM CEN∆≅∆，DM EN=，再证：,CMB CNB BM BN∆≅∆=设,5,2DM EN b a b a b b a==+=-∴=在CBM∆中勾股4CM a=在CDM∆中勾股25CD a=得CPD∆为等腰三角形25DP DC a==因为BP为角平分线，过点P作,PT BE PS BD⊥⊥可证：5BCPEBPS DP BDS PE BE∆===2525,PE DE∴==14tan,tan223αα==2555,32BG a AB a∴==557535,,r OG OH a===//FH DE97HO OFGO OK∴==9951851655OF KF AB===【点睛】本题是一道圆的综合题目，难度较大，考查了圆相关的性质以及与三角形综合，掌握相关的线段与角度转化是解题关键．。

苏教版初三九年级数学上册压轴解答题(Word版含解析)

苏教版初三九年级数学上册压轴解答题（Word 版含解析）一、压轴题1．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（3，4），一次函数23y x b =-+的图像与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD BE =，M 是线段DE 上的一个动点（1）求b 的值；（2）连接OM ，若ODM △的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3，求点M 的坐标；（3）设N 是x 轴上方平面内的一点，以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，求点N 的坐标．2．点P 为图形M 上任意一点，过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ，记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值，则称其为“图形M 到直线l 的限距离”，记作()max ,D M l ；定义二:若d 存在最小值，则称其为“图形M 到直线l 的基距离”，记作()min ,D M l ；（1）已知直线1:2l y x =--，平面内反比例函数2y x=在第一象限内的图象记作,H 则()1,min D H l = ．（2）已知直线2:33l y x =+，点()1,0A -，点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点，T 3C 在T 上，若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范围，（3）已知直线21211k k y x k k --=+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫⎪⎝+-+⎭+，点(),D a b 恒在直线3l 上，点(),28E m m +是平面上一动点，记以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =，若请直接写出m 的取值范围． 3．如图①，O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ．（1）求证：BD BE =．（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．4．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使32DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x =（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长．（3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．5．已知：在ABC 中，,90AC BC ACB ︒=∠=，点F 在射线CA 上，延长BC 至点D ，使CD CF =，点E 是射线BF 与射线DA 的交点．（1）如图1，若点F 在边CA 上； ①求证：BE AD ⊥；②小敏在探究过程中发现45BEC ︒∠=，于是她想：若点F 在CA 的延长线上，是否也存在同样的结论？请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想BEC ∠的度数．（2）选择图1或图2两种情况中的任一种，证明小敏或你的猜想．6．如图1，有一块直角三角板，其中AB 16=，ACB 90∠=，CAB 30∠=，A 、B 在x 轴上，点A 的坐标为()20,0，圆M 的半径为33，圆心M 的坐标为()5,33-，圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右做平移运动，运动时间为t 秒；()1求点C 的坐标；()2当点M 在ABC ∠的内部且M 与直线BC 相切时，求t 的值；()3如图2，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点，连接EM 、FM ，在运动过程中，是否存在某一时刻，使EMF 90∠=？若存在，直接写出t 的值，若不存在，请说明理由．7．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，连结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ．（1）若ED ＝BE ，求∠F 的度数：（2）设线段OC ＝a ，求线段BE 和EF 的长（用含a 的代数式表示）；（3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长． 8．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝23．点P ，Q 分别是BC ，AD 边上的一个动点，连结BQ ，以P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 交线段BQ 于点E ，连结PD ．（1）若DQ ＝3且四边形BPDQ 是平行四边形时，求出⊙P 的弦BE 的长；（2）在点P ，Q 运动的过程中，当四边形BPDQ 是菱形时，求出⊙P 的弦BE 的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．9．MN 是O 上的一条不经过圆心的弦，4MN =，在劣弧MN 和优弧MN 上分别有点A,B （不与M,N 重合），且AN BN =，连接,AM BM .（1）如图1，AB 是直径，AB 交MN 于点C ，30ABM ︒∠=，求CMO ∠的度数；（2）如图2，连接,OM AB ，过点O 作//OD AB 交MN 于点D ，求证：290MOD DMO ︒∠+∠=；（3）如图3，连接,AN BN ，试猜想AM MB AN NB ⋅+⋅的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.10．如图，抛物线2()20y ax x c a =++＜与x 轴交于点A 和点B (点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧)，与y 轴交于点C ，3OB OC ==．(1)求该抛物线的函数解析式．(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当32COFCDFSS=：:时，求点D 的坐标．(3)如图2，点E 的坐标为(03)2-，，点P 是抛物线上的点，连接EB PB PE ，，形成的PBE △中，是否存在点P ，使PBE ∠或PEB ∠等于2OBE ∠？若存在，请直接写出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积（请在图1中探索）（3）设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上．要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标（请在图2中探索）12．()1尺规作图1：已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形．作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．()2特例思考：如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用：如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）b=3；（2）点M 坐标为7(1,)3；（3）93(,)42-或3654(,)1313【解析】【分析】（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D 的坐标，则OD=b ，则E 的坐标即可利用b 表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b 的方程，求得b 的值；（2）首先求得四边形OAED 的面积，则△ODM 的面积即可求得，设出M 的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M 的横坐标，进而求得M 的坐标；（3）分两种情况进行讨论，①四边形OMDN 是菱形时，M 是OD 的中垂线与DE 的交点，M 关于OD 的对称点就是N ；②四边形OMND 是菱形，OM=OD ，M 在直线DE 上，设出M 的坐标，根据OM=OD 即可求得M 的坐标，则根据OD ∥MN,且OD=MN 即可求得N 的坐标．【详解】（1）在23y x b =-+中，令x=0，解得y=b ，则D 的坐标是(0,b)，OD=b ， ∵OD=BE ，∴BE=b ，则点E 坐标为（3,4-b ），将点E 代入23y x b =-+中，得：4-b=2+b, 解得：b=3； (2)如图，∵OAED S 四边形=11()(31)3622OD AE OA +=⨯+⨯=, ∵三角形ODM 的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3, ∴13=42ODM OAED S S ∆=四边形设M 的横坐标是a ，则13322a ⨯=，解得：1a =，将1x a ==代入233y x =-+中，得： 27333y =-⨯+=则点M 坐标为7(1,)3；（3）依题意，有两种情况：①当四边形OMDN 是菱形时，如图(1),M 的纵坐标是32，把32y =代入233y x =-+中，得： 23332x -+=，解得：94x =， ∴点M 坐标为93(,)42，点N 坐标为93(,)42-；②当四边形OMND 是菱形时，如图(2)，OM =OD =3，设M 的坐标2(,3)3m m -+，由OM=OD 得：222(3)93m m +-+=，解得：3613m =或m=0(舍去)，则点M 坐标为3615(,)1313，又MN ∥OD ，MN=OD=3，∴点N 的坐标为3654(,)1313，综上，满足条件的点N 坐标为93(,)42-或3654(,)1313．【点睛】本题考查一次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、图形的面积计算、菱形的性质、方程等知识，解答的关键是认真审题，找出相关知识的联系点，运用待定系数法、数形结合法、分类讨论法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算． 2．（1）22+；（2）63103t ≤≤-或103165-≤≤-3）325m ≤-或0m ≥ 【解析】【分析】（1）作直线：y x b =-+平行于直线1l ，且与H 相交于点P ，连接PO 并延长交直线1l 于点Q ，作PM ⊥x 轴，根据只有一个交点可求出b ，再联立求出P 的坐标，从而判断出PQ 平分∠AOB ，再利用直线1l 表达式求A 、B 坐标证明OA=OB ，从而证出PQ 即为最小距离，最后利用勾股定理计算即可；（2）过点T 作TH ⊥直线2l ，可判断出T 上的点到直线2l 的最大距离为3TH +后根据最大距离的范围求出TH 的范围，从而得到FT 的范围，根据范围建立不等式组求解即可；（3）把点P 坐标带入表达式，化简得到关于a 、b 的等式，从而推出直线3l 的表达式，根据点E 的坐标可确定点E 所在直线表达式，再根据最小距离为0，推出直线3l 一定与图形K 相交，从而分两种情况画图求解即可．【详解】解：（1）作直线：y x b =-+平行于直线1l ，且与H 相交于点P ，连接PO 并延长交直线1l 于点Q ，作PM ⊥x 轴，∵ 直线：y x b =-+与H 相交于点P ，∴2x bx-+=，即220x bx-+=，只有一个解，∴24120b∆=-⨯⨯=，解得22b=，∴22y x=-+，联立222y xyx⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，解得22xy⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()2,2P，∴2PM OM==，且点P在第一、三象限夹角的角平分线上，即PQ平分∠AOB，∴Rt POM为等腰直角三角形，且OP=2，∵直线1l：2y x=--，∴当0y=时，2x=-，当0x=时，2y=-，∴A(－2，0)，B(0，－2)，∴OA=OB=2，又∵OQ平分∠AOB，∴OQ⊥AB，即PQ⊥AB，∴PQ即为H上的点到直线1l的最小距离，∵OA=OB，∴45OAB OBA AOQ∠=∠=∠=︒，∴AQ=OQ，∴在Rt AOQ中，OA=2，则OQ=2，∴22PQ OP OQ=+=+，即()1,22minD H l=+；（2）由题过点T作TH⊥直线2l，则T 上的点到直线2l 的最大距离为3TH + ∵()max 243,63ABC l D V ≤≤ 即43363TH ≤ ∴3353TH ≤≤ 由题60HFO ∠=︒，则3FT =， ∴610FT ≤≤，又∵3FT t =， ∴6310t ≤≤，解得63103t ≤≤103165-≤≤-；（3）∵直线21211k k y x k k --=+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫⎪⎝+-+⎭+，∴把点P 代入得：2111211184184k k a b c a b c k k --⎛⎫+-+=++ ⎪--⎝⎭，整理得：()()2416828162828a b c k a b c a b c k a b c +-+--+-=++---，∴2416828281628a b c a b c a b c a b c +-+=++⎧⎨--+-=---⎩，化简得224801a b c c +-+=⎧⎨=⎩，∴182b a =-+，又∵点(),D a b 恒在直线3l 上， ∴直线3l 的表达式为：182y x =-+， ∵()min 3,0D K l =，∴直线3l 一定与以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形图形相交， ∵(),28E m m +，∴点E 一定在直线28y x =+上运动，情形一：如图，当点E 运动到所对顶点F 在直线3l 上时，由题可知E 、F 关于原点对称， ∵(),28E m m +，∴(),28m m F ---，把点F 代入182y x =-+得：18282m m +=--，解得：325m =-， ∵当点E 沿直线向上运动时，对角线变短，正方形变小，无交点， ∴点E 要沿直线向下运动，即325m ≤-；情形二：如图，当点E 运动到直线3l 上时，把点E 代入182y x =-+得：18282m m -+=+，解得：0m =， ∵当点E 沿直线向下运动时，对角线变短，正方形变小，无交点，∴点E 要沿直线向上运动，即0m ≥，综上所述，325m ≤-或0m ≥．【点睛】本题考查新型定义题，弄清题目含义，正确画出图形是解题的关键．3．(1)证明见解析；(2)213；(3)2330a 【解析】【分析】 (1)根据△ABC 是等边三角形，从而可以得出∠BAC=∠C ，结合圆周角定理即可证明；(2)过点A 作AG ⊥BC 于点G ，根据△ABC 是等边三角形，可以得到BG 、AG 的值，由BF ∥AG 可得到AF BG EF EB=，求出BE ，最后利用勾股定理即可求解； (3)过点O 作OM ⊥BC 于点M ，由题(2)知AF BG EF EB =，CG=BG=1122AC a =，可以得到BM 的值，根据BF ∥AG ，可证得△EBF ∽△EGA ，列比例式求出BF ，从而表示出△OFB 的面积．【详解】(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，∵∠DEB=∠BAC=60°，∠D=∠C=60°，∴∠DEB=∠D ，∴BD=BE ；(2)解：如图所示，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，∵△ABC 是等边三角形，AC=6，∴BG=11322BC AC ==， ∴在Rt △ABG 中，333AG BG ==∵BF ⊥EC ，∴BF ∥AG ，∴AF BG EF EB=， ∵AF ：EF=3：2， ∴BE=23BG=2，∴EG=BE+BG=3+2=5，在Rt △AEG 中，()2222335213AE AG EG =+=+=(3)解：如图所示，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，由题(2)知AF BG EF EB =，CG=BG=1122AC a =， ∴3=2AF BG EF EB =， ∴22113323EB BG a a ==⨯=， ∴EC=CG+BG+BE=11142233a a a a ++=， ∴EM=12EC =23a ， ∴BM=EM-BE=211333a a a -=， ∵BF ∥AG ，∴△EBF ∽△EGA ， ∴123=11532a BF BE AG EG a a ==+， ∵33AG BG ==， ∴233525BF a a =⨯=， ∴△OFB 的面积＝21313223BF BM a a ⋅=⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质求解．4．（1）（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =或3AP = 【解析】【分析】（1）由:3:4AQ AB =、3AQ x =，易得4AB x =，由勾股定理得BQ ，再由中位线的性质得12AH BH AB ==，求得CD 、FD ；（2）利用（1）的结论，易得CQ 的长，作OM AQ ⊥于点M ，则//OM AB ，由垂径定理得32QM AM x ==，由矩形性质得OD MC =，利用矩形面积求得x ，得出结论；（3）点P 在A 点的右侧时，利用（1）、（2）的结论和正方形的性质得243x x +=，得AP ；点P 在A 点的左侧时，当点C 在Q 右侧，当407x <<时，473x x -=，解得x ，易得AP ；当4273x ≤<时，743x x -=，得AP ；当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，同理得AP ．【详解】解：（1）∵:3:4AQ AB =，3AQ x =∴4AB x =∴在Rt ABQ △中，5BQ x == ∵OD m ⊥，m l ⊥∴//OD l∵OB OQ = ∴122AH BH AB x === ∴2CD x = ∴332FD CD x == （2）∵点P 关于点A 的对称点为Q∴3AP AQ x ==∵4PC =∴64CQ x =+过点O 作OM AQ ⊥于点M ，如图：∵90BAQ ∠=︒∴//OM AB∵O 是ABQ △的外接圆，90BAQ ∠=︒∴点O 是BQ 的中点 ∴1322QM AM AQ x === ∴3964422OD MC CQ QM x x ==-=+-=+ ∵1522OE BQ x == ∴9542422DE OD OE x x x =-=+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形∴13x =，25x =-（不合题意，舍去）∴39AP x ==∴当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，AP 的长为：9．（3）若矩形DEGF 是正方形，则DE DF =①点P 在A 点的右侧时，如图：∴243x x +=∴4x =∴312AP x ==②点P 在A 点的左侧时I.当点C 在Q 右侧时i.当 407x <<时，如图：∵47DE x =-，3DF x =∴473x x -=∴25x = ∴635AP x x ==ii.当4273x ≤<时，如图：∵74DE x =-，3DF x =∴743x x -=∴1x =（不合题意，舍去）II. 当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，如图：∵74DE x =-，3DF x =∴743x x -=∴1x =∴33AP x ==∴综上所述，当12AP =或65AP =或3AP =时，矩形DEGF 是正方形．故答案是：（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =或3AP = 【点睛】本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等，综合性强，难度大，正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题．5．（1）①详见解析；②图见解析，猜想∠BEC=45°；（2）详见解析【解析】【分析】（1）①证明△ACD ≌△BCF ，得到∠CAD=∠CBF 即可得到∠AEF=∠BCF=90°即可； ②根据已知条件画图即可；（2）取AB 的中点M ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆M 上，再利用圆周角定理即可证明．【详解】解：（1）①∵,90AC BC ACB ︒=∠=，CD CF =∴在△ACD 与△BCF 中，AC BC ACD ACB CD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCF （SAS ）∴∠CAD=∠CBF又∵∠AFE=∠BFC∴∠AEF=∠BCF=90°，∴BE ⊥AD②图如下所示：猜想∠BEC=45°，（2）选择图1证明，连接CE，取AB的中点M，连接MC，ME ∵△ABC和△ABE都是直角三角形∴12MC ME AB AM BM ====，∴点A，B，C，E四点在同一个圆M上，∴∠BEC=∠BAC=45°，∴∠BEC=45°【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理等知识点，解题的关键是根据已知条件选择全等三角形的判定定理，并充分利用数形结合的思想解答．6．（1）(C8,43；（2）t=18s；（3）t1513=【解析】【分析】（1）如图1中，作CH⊥AB于H．解直角三角形求出CH，OH即可．（2）如图1﹣1中，设⊙M与直线BC相切于点N，作MH⊥AB于H．求出OH的长即可解决问题．（3）设M（﹣5+t，3），EF12=AB=8，由∠EMF=90°，可得EM2+MF2=EF2，由此构建方程即可解决问题．【详解】（1）如图1中，作CH⊥AB于H．∵A（20，0），AB=16，∴OA=20，OB=4．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=16，∠CAB=30°，∴BC12=AB=8，CH=BC•sin60°=43，BH=BC•cos60°=4，∴OH=8，∴C（8，43）．（2）如图1﹣1中，设⊙M与直线BC相切于点N，作MH⊥AB于H．∵MN=MH=33，MN⊥BC，MH⊥BA，∴∠MBH=∠MBN=30°，∴BH3=MH=9，∴点M的运动路径的长为5+4+9=18，∴当点M在∠ABC的内部且⊙M与直线BC相切时，t的值为18s．（3）∵C（8，43），B（4，0），A（20，0）．∵CE=EB，CF=FA，∴E（6，23），F（14，23），设M（﹣5+t，33），EF12=AB=8．∵∠EMF=90°，∴EM2+MF2=EF2，∴（6+5﹣t）2+（3）2+（14+5﹣t）2+（3）2=82，整理得：t2﹣30t+212=0，解得：t=15±13．【点睛】本题是圆的综合题，考查了平移变换，解直角三角形，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．7．（1）30°；（2）EF=；（3）CO的长为或时，△PEB为等腰三角形．【解析】试题分析：（1）利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可；（2）首先证明△HBO≌△COD（AAS），进而利用△COD∽△CBF，得出比例式求出EF的长；（3）分别利用①当PB=PE，不合题意舍去；②当BE=EP，③当BE=BP，求出即可．试题解析：（1）如图1，连接EO，∵∴∠BOE=∠EOD，∵DO∥BF，∴∠DOE=∠BEO，∵BO=EO，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，∵CF⊥AB，∴∠FCB=90°，∴∠F=30°；（2）如图1，作HO⊥BE，垂足为H，∵在△HBO和△COD中，∴△HBO≌△COD（AAS），∴CO=BH=a，∴BE=2a，∵DO∥BF，∴△COD∽△CBF，∴∴，∴EF=；（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，∴∠COD=∠DOE，∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，若△PEB为等腰三角形，设CO=x，∴OP=OC=x，则PE=EO-OP=4-x，由（2）得：BE=2x，①当PB=PE，不合题意舍去；②当BE=EP，2x=4-x，解得：x=，③当BE=BP，作BM⊥EO，垂足为M，∴EM=PE=，∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，∴△BEM∽△DOC，∴，∴，整理得：x2+x-4=0，解得：x=（负数舍去），综上所述：当CO的长为或时，△PEB为等腰三角形．考点：圆的综合题．8．（16372）BE433833．【解析】【分析】（1）作PT⊥BE于点T，根据垂径定理和勾股定理求BQ的值，再根据相似三角形的判定和性质即可求解；（2）根据菱形性质和勾股定理求出菱形边长，此时点E和点Q重合，再根据扇形面积公式即可求解．【详解】解：（1）如图：过点P作PT⊥BQ于点T，∵AB＝2，AD＝BC＝3，DQ3∴AQ3在Rt△ABQ中，根据勾股定理可得：BQ7．又∵四边形BPDQ是平行四边形，∴BP＝DQ3，∵∠AQB＝∠TBP，∠A＝∠BTP，∴△AQB∽△TBP，∴3,37 BT BDAQ BQ==即∴BT 33 7∴BE＝2BT 63 7（2）设菱形BPDQ的边长为x，则AQ＝3x，在Rt△ABQ中，根据勾股定理，得AB2+AQ2＝BQ2，即4+（3x）2＝x2，解得x 43 3.∵四边形BPDQ为菱形，∴43 3,又233即DP=2CP,∴∠DPC=60°，∴∠BPD=120°，∴连接PQ,易得△BPQ为等边三角形，∴PQ=BP,∴点Q也在圆P上，圆P经过点B,D,Q,如图.∴点E 、Q 重合，∴BE 433∴菱形与圆重叠部分面积即为菱形的面积，∴S 菱形833．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式，解决本题的关键是综合运用以上知识．9．（1）15°；（2）见解析；（3）16【解析】【分析】（1）先求得45AMN BMN ︒∠=∠=，再由OM OB =得到30OMB OBM ︒∠=∠=，于是可解；（2）连接,,OA OB ON .可证AON BON ∠=∠，ON AB ⊥，由//OD AB 可知90DON ︒∠=，在MON ∆中用内角和定理可证明；（3）延长MB 至点M '，使BM AM '=，连接NM '，作NE MM '⊥于点E.证明AMN BM N '≅，得到'MM N ∆是等腰三角形，然后在MNE ∆中用勾股定理即可求出16AM MB AN NB ⋅+⋅=.【详解】（1）AB 是O 的直径，90AMB ︒∴∠=AN BN =45AMN BMN ︒∴∠=∠=OM OB =30OMB OBM ︒∴∠=∠=453015CMO ︒︒︒∴∠=-=（2）连接,,OA OB ON .AN BN =AON BON ∴∠=∠，ON AB ⊥//OD AB90DON ︒∴∠=OM ON =OMN ONM ∴∠=∠180OMN ONM MOD DON ︒∠+∠+∠+∠=290MOD DMO ︒∴∠+∠=（3）延长MB 至点M '，使BM AM '=，连接NM '，作NE MM '⊥于点E.设AM a =，BM b =.四边形AMBN 是圆内接四边形180A MBN ︒∴∠+∠=180NBM MBN '︒∠+∠=A NBM '∴∠=∠AN BN =AN BN ∴=(SAS)AMN BM N '∴≅MN NM '∴=，BM AM a '==，NE MM '⊥于点E.11()22ME EM MM a b ''∴===+， ()2222ME BN BE MN +-=22211()()1622a b BN b a ⎡⎤⎡⎤∴++--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦化简得216ab NB +=， 16AM MB AN NB ∴⋅+⋅=【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及的知识点有圆周角定理和垂径定理以及圆内接四边形的性质，综合性质较强，能够做出相应的辅助线是解题的关键.10．（1）2y x 2x 3=-++；（2）点D 的坐标为(14)，或(2)3，；（3）点P 的坐标为：(14)，或17()24-，或13209()24--，或．【解析】【分析】（1）由3OB OC ==及图像可得B 、C 两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可；（2）由题意易得35COF COD S S =，进而得到点D 、F 横坐标之间的关系为53D F x x =，设F 点横坐标为3t ，则D 点横坐标为5t ，则有直线BC 的解析式为3y x =-+，然后可直接求解；（3）分∠PBE 或∠PEB 等于2∠OBE 两种情况分别进行求解即可．【详解】解：(1)3OB OC ==，则：()()3003B C ，，，，把B C 、坐标代入抛物线方程，解得抛物线方程为：2y x 2x 3=-++①；(2)∵32COF CDF S S =△△：：， ∴35COF COD S S =，即：53D F x x =，设F 点横坐标为3t ，则D 点横坐标为5t ，点F 在直线BC 上，而BC 所在的直线表达式为：3y x =-+，则33(3)F t t -，，则直线OF 所在的直线表达式为：3313t t y x x t t--==，则点55(5)D t t -，，把D 点坐标代入抛物线解析式，解得：15t =或2 5，则点D 的坐标为(14)，或(2)3，； (3)①当2PBE OBE ∠=∠时，当BP 在x 轴上方时，如图2，设1BP 交y 轴于点E '， ∴12PBE OBE ∠=∠ ， ∴E BO EBO ∠'=∠ ，又60E OB EBO BO BO ∠'=∠=︒=，，∴()E BO EBO AAS '≌ ，∴32EO EO ==， ∴点3(20)E '，，直线1BP 过点BE '、，则其直线方程为：1322y x =-+②，联立①②并解得：12x =- ，故点P 1的坐标为17()24-，；当BP 在x 轴下方时，如图2，过点E 作//EF BE '交2BP 于点F ，则FEB EBE ∠=∠'，∴222E BE OBE EBP OBE ∠'=∠∠=∠，，∴FEB EBF ∠=∠ ，∴FE BF = ，直线EF 可以看成直线BE '平移而得，其k 值为12-，则其直线表达式为：1322y x =-- ，设点13()22F m m --，，过点F 作FH y ⊥轴交于点H ，作BK HF ⊥于点K ，则点13()202H m --，，13()232K m --，， ∵EF BF =，则22FE BF =，即：()2222331313()()22222m m m m +-++=-++，解得：52m =，则点511()24F -，，则直线BF 表达式为：113322y x =-…③，联立①③并解得：132x =-或3(舍去3)，则点213209()24P --，； ②当2PEB OBE ∠=∠时，当EP 在BE 上方时，如图3，点E '为图2所求，设BE '交3EP 于点F ，∵2EBE OBE ∠'=∠，∴3EBE P EB ∠'=∠ ，∴FE BF = ，由①知，直线BE '的表达式为：1322y x =-+，设点13()22F n n -+，，13()232K n -+，，由FE BF =，同理可得：12n =，故点15()24F ，，则直线EF 的表达式为：11322y x =-④，联立①④并解得：1n =或92- (舍去负值)， ∴34(1)P ，；当EP 在BE 下方时，同理可得：x =舍去负值)，故点458(417P +-+，．故点P 的坐标为：(14)，或17()24-，或13209()24--，或(54178+-+，．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质，利用数形结合及分类讨论思想进行求解．11．（1）21322y x x =-++；（2）92；（3）点P 的坐标为：3(2,)2或（4，52-）或（4-，212-）．【解析】【分析】（1）由图可知点B 、点D 的坐标，利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；（2）过点M 作ME ⊥AB 于点E ，由二次函数的性质，分别求出点A 、C 、M 的坐标，然后得到OE 、BE 的长度，再利用切割法求出四边形的面积即可；（3）由点Q 在y 轴上，设Q （0，y ），由平行四边形的性质，根据题意可分为：①当AB 为对角线时；②当BQ 2为对角线时；③当AQ 3为对角线时；分别求出三种情况的点P 的坐标，即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意，抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点，点D 为（2-，52-），点B 为（3，0），则2215(2)22213302b c b c ⎧-⨯--+=-⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩，解得：132b c =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为21322y x x =-++；（2）∵22131(1)2222y x x x =-++=--+， ∴点M 的坐标为（1，2）令213022x x -++=，解得：11x =-，23x =，∴点A 为（1-，0）；令0x =，则32y =， ∴点C 为（0，32）； ∴OA=1，OC=32，过点M 作ME ⊥AB 于点E ，如图：∴2ME =，1OE =，2BE =，∴111()222ABMC S OA OC OC ME OE BE ME =•++•+•四边形， ∴131313791(2)122222222442ABMC S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=++=四边形；（3）根据题意，点Q 在y 轴上，则设点Q 为（0，y ），∵点P 在抛物线上，且以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，如图所示，可分为三种情况进行分析：①AB 为对角线时，则11PQ 为对角线；由平行四边形的性质，∴点E 为AB 和11PQ 的中点，∵E 为（1，0），∵点Q 1为（0，y ），∴点P 1的横坐标为2；当2x =时，代入21322y x x =-++， ∴32y =， ∴点13(2,)2P ；②当BQ 2是对角线时，AP 也是对角线，∵点B （3，0），点Q 2（0，y ），∴BQ 2中点的横坐标为32， ∵点A 为（1-，0），∴点P 2的横坐标为4，当4x =时，代入21322y x x =-++， ∴52y =-， ∴点P 2的坐标为（4，52-）； ③当AQ 3为对角线时，BP 3也是对角线；∵点A 为（1-，0），点Q 3（0，y ），∴AQ 3的中点的横坐标为12-， ∵点B （3，0），∴点P 3的横坐标为4-，当4x =-时，代入21322y x x =-++， ∴212y =-， ∴点P 3的坐标为（4-，212-）；综合上述，点P 的坐标为：3(2,)2或（4，52-）或（4-，212-）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，以及坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意利用分类讨论和数形结合的思想进行分析．12．(1) 见解析；(2) 2，2 ；(3)0或222-或222x <<.【解析】【分析】()1根据等腰三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；()2通过画图分析可得，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；()3分三种情形讨论求解即可．【详解】解：()1如图1中，点1C ，2C ，3C ，4C 即为所求．()2如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当∠1=90°或∠1=60°时，符合条件的点C 都是在点B 左右各一个，当∠1=60°时，符合条件的点C 如图所示：故答案为2，2．()3①如图31-中，当x 0=时，当PM PN =时，有点1P ，当ON OP =时，有点2P ，当NO NP =时，有点3P ，此时有3个P 点．②如图32-中，当N 与OB 相切于点1P 时，1OP N 是等腰直角三角形，1ON 2NP 22∴==，OM ON MN 222∴=-=-，此时有3个P 点．③如图33-中，当M 经过点O 时，此时只有2个P 点，如图34-中，M 与OB 相交时，此时有3个P 点，如图35-中，当M 与OB 相切时，只有2个P 点．此时OM 22=，综上所述，当2x 22<<3个P 点．∴满足条件的x 的值为0或222或2x 22<<【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，尺规作图，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

北师大版九年级数学上学期期末压轴题培优第六章：反比例函数(含答案)

九年级上学期期末压轴题培优：反比例函数1．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）．（1）若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；（2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值．解：（1）∵AB＝AC＝，BC＝4，点A（3，5）．∴B（1，），C（5，），若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则＝，解得，k＝，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵点A（3，5）．C（5，），将△ABC向下平移m个单位长度，∴A（3，5﹣m），C（5，﹣m），∵A，C两点同时落在反比例函数图象上，∴3（5﹣m）＝5（﹣m），∴m＝．2．一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝的图象相交于A （﹣1，m ），B （n ，1）两点．（1）求出这个一次函数的表达式；（2）求△OAB 的面积．解：（1）把A （﹣1，m ），B （n ，﹣1）分别代入y ＝得﹣m ＝﹣2，﹣n ＝﹣2，解得m＝2，n ＝2，所以A 点坐标为（﹣1，2），B 点坐标为（2，﹣1），把A （﹣1，2），B （2，﹣1）代入y ＝kx +b 得，解得，所以这个一次函数的表达式为y ＝﹣x +1；（2）设直线AB 交y 轴于P 点，如图，当x ＝0时，y ＝1，所以P 点坐标为（0，1），所以S △OAB ＝S △AOP +S △BOP ＝×1×1+×1×2＝．3．如图所示，已知双曲线y＝（k＞0，x＞0）的图象上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且x1＜x2，分别过P1，P2向x轴作垂线，垂足为B，D，过P1，P2向y轴作垂线，垂足分别为A，C．（1）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的面积分别为S1，S2，试比较S1和S2的大小．（2）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的周长分别为C1和C2，试比较C1，C2的大小．（3）若P是双曲线y＝（k＞0，x＞0）上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M，N．试问当P在何处时四边形PMON的周长最小，最小值为多少？解：（1）根据反比例函数系数k的几何意义可知S1＝S2＝k；（2）∵C1＝2OB+2AO＝2BO+2CO+2AC，C2＝2CO+2OD＝2CO+2OB+2BD，∴当y1﹣y2＝x2﹣x1，即AC＝BD时，C1＝C2；当y1﹣y2＜x2﹣x1，即AC＜BD时，C1＜C2；当y1﹣y2＞x2﹣x1，即AC＞BD时，C1＞C2．（3）设P（x，y），即（x，），四边形PMON的周长＝2（x+y）＝2（x+），因为面积相等的四边形中正方形的周长最小，所以x＝，即x2＝k，解得x＝，故P点坐标为（，）．∴最小值为4．4．如图，在平面直角坐标系中，过点M （0，2）的直线l 与x 轴平行，且直线l 分别与反比例函数y ＝（x ＞0）和y ＝（x ＜0）的图象分别交于点P ，Q ．（1）求P 点的坐标；（2）若△POQ 的面积为9，求k 的值．解：（1）∵PQ ∥x 轴， ∴点P 的纵坐标为2，把y ＝2代入y ＝得x ＝3， ∴P 点坐标为（3，2）；（2）∵S △POQ ＝S △OMQ +S △OMP ，∴|k |+×|6|＝9， ∴|k |＝12，而k ＜0， ∴k ＝﹣12．5．如图，四边形OABC是矩形，A、C分别在y轴、x轴上，且OA＝6cm，OC＝8cm，点P 从点A开始以2cm/s的速度向B运动，点Q从点B开始以1cm/s的速度向C运动，设运动时间为t．（1）如图（1），当t为何值时，△BPQ的面积为4cm2？（2）当t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（3）如图（2），在运动过程中的某一时刻，反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、Q 两点，求这个反比例函数的解析式．解：（1）由题意AB＝OC＝8cm，AO＝BC＝6cm，∠B＝90°，∵P A＝2t，BQ＝t，∴PB＝8﹣2t，∵△BPQ的面积为4cm2，∴•（8﹣2t）•t＝4，解得t＝2，∴t＝2s时，△PBQ的面积为4．（2）①当△BPQ∽△BAC时，＝，∴＝，解得t＝．②当△BPQ∽△BCA时，＝，∴＝，解得t＝，∴t为s或s时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．（3）由题意P（2t，6），Q（8，6﹣t），∵反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、Q两点，∴12t＝8（6﹣t），解得t＝，∴P（，6），∴m＝，∴反比例函数的解析式为y＝．6．如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（1，m）都在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．（1）直接写出m和k的值；（2）如图2，将线段AB向右平移n个单位长度（n≥0），得到对应线段CD，连接AC，BD．①在平移过程中，若反比例函数图象与线段AB有交点，求n的取值范围；②在平移过程中，连接BC，若△BCD是直角三角形，请直接写出所有满足条件n的值．解：（1）∵点A（0，4）在直线y＝﹣2x+b上，∴﹣2×0+b＝4，∴b＝4，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4，将点B（1，m）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+4中，得﹣2×1+4＝m，∴b＝2，∴B（1，2），将B（1，2）在反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝1×2＝2；（2）①∵将线段AB向右平移n个单位长度，∴A（n，4），把A（n，4）代入y＝中，得，4＝，∴n＝，∴在平移过程中，若反比例函数图象与线段AB有交点，n的取值范围为0≤n≤；②∵将线段AB向右平移n个单位长度（n≥0），得到对应线段CD，∴AB∥CD，∴∠CDB≠90°，当∠CBD＝90°时，△BCD是直角三角形，∴CB⊥BC，∴C（1，4），∴n＝1；当∠BCD＝90°，△BCD是直角三角形，则C（n，4），D（n+1，2），∵BC2+CD2＝BD2，∴（n﹣1）2+（4﹣2）2+12+（4﹣2）2＝n2，解得：n＝5，综上所述，若△BCD是直角三角形，n的值为1或5．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与图数y＝的限象交于A（﹣2，a），B两点．（1）求a，k的值；（2）已知点P（0，n），过点P作平行于x轴的直线l，交函数y＝的图象于点C（x1，y1），交直线y＝﹣x+1的图象于点D（x2，y2），若|x1|≤|x2|，结合函数图象，请求出m的取值范围．解：（1）∵直线y＝﹣x+1与函数y＝的图象交于A（﹣2，a），把A（﹣2，a）代入y＝﹣x+1解得a＝3，∴A（﹣2，3）．把A（﹣2，3）代入y＝，解得k＝﹣6；（2）画出函数图象如图解得或，∵A （﹣2，3）， ∴B （3，﹣2），根据图象可得：若|x 1|≤|x 2|，则m ≥3或﹣2≤m ＜0．8．如图，在直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的DC 边在x 轴上，D 点坐标为（﹣6，0）边AB 、AD 的长分别为3、8，E 是BC 的中点，反比例函数y ＝的图象经过点E ，与AD 边交于点F ．（1）求k 的值及经过A 、E 两点的一次函数的表达式；（2）若x 轴上有一点P ，使PE +PF 的值最小，试求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF 、PE 、PF ，在直线AE 上找一点Q ，使得S △QEF ＝S △PEF 直接写出符合条件的Q 点坐标．解：（1）在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝8， ∴CD ＝AB ＝3，BC ＝AD ＝8， ∵D （﹣6，0），∴A （﹣6，8），C （﹣3，0），B （﹣3，8）， ∵E 是BC 的中点， ∴E （﹣3，4），∵点D 在反比例函数y ＝的图象上， ∴k ＝﹣3×4＝﹣12，设经过A 、E 两点的一次函数的表达式为y ＝k 'x +b ，∴，∴，∴经过A 、E 两点的一次函数的表达式为y ＝﹣x ；（2）如图1，由（1）知，k ＝﹣12，∴反比例函数的解析式为y ＝﹣，∵点F 的横坐标为﹣6， ∴点F 的纵坐标为2， ∴F （﹣6，2），作点F 关于x 轴的对称点F '，则F '（﹣6，﹣2），连接EF '交x 轴于P ，此时，PE +PF 的值最小， ∵E （﹣3，4），∴直线EF '的解析式为y ＝2x +10，令y ＝0，则2x +10＝0， ∴x ＝﹣5， ∴P （﹣5，0）；（3）如图2，由（2）知，F '（﹣6，﹣2）， ∵E （﹣3，4），F （﹣6，2），∴S △PEF ＝S △EFF '﹣S △PFF '＝×（2+2）×（﹣3+6）﹣（2+2）×（﹣5+6）＝4， ∵E （﹣3，4），F （﹣6，2），∴直线EF 的解析式为y ＝x +6，由（1）知，经过A 、E 两点的一次函数的表达式为y ＝﹣x ，设点Q （m ，﹣m ），过点Q 作y 轴的平行线交EF 于G ，∴G （m ， m +6），∴QG ＝|﹣m ﹣m ﹣6|＝|2m +6|， ∵S △QEF ＝S △PEF ，∴S △QEF ＝|2m +6|×（﹣3+6）＝4，∴m ＝﹣或m ＝﹣，∴Q （﹣，）或（﹣，）．9．如图，直线y ＝2x +6与反比例数y ＝（x ＞0）的图象交于点A （1，m ），与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ．（1）求m 的值和反比例函数的表达式；（2）在y 轴上有一动点P （0，n ）（n ＜6），过点P 作平行于x 轴的直线，交反比例函数的图象于点M ，交直线AB 于点N ，连接OM ，MN①当n ＝4时，判断四边形BOMN 的形状，并简要写出证明思路； ②若S △BDM ＞S △BOD ，直接写出点P 的纵坐标n 的取值范围．解：（1）当x＝1时，m＝2x+6＝8，∴点A的坐标为（1，8）．∵点A（1，8）在反比例数y＝的图象上，∴k＝1×8＝8，∴反比例函数的解析式为y＝．（2）①四边形BOMN为平行四边形．证明：当y＝0时，2x+6＝0，解得：x＝﹣3，∴点A的坐标为（﹣3，0），OB＝3；当y＝4时，2x+6＝4，＝4，解得：x＝﹣1，x＝2，∴点M的坐标为（2，4），点N的坐标为（﹣1，4），∴MN＝2﹣（﹣1）＝3，∴MN＝OB．∵MN∥x轴，OB在x轴上，∴MN∥OB，∴四边形BOMN为平行四边形．②过点O作直线l∥AB，交反比例数y＝（x＞0）的图象于点M．∵直线AB的解析式为y＝2x+6，∴直线l的解析式为y＝2x．联立直线l 和反比例函数解析式成方程组，得：，解得：，（舍去），∴点M 的坐标为（2，4）；同理，可求出直线y ＝2x +12与反比例函数y ＝的图象交点M 3（﹣3﹣，6﹣2）（舍去），M 4（﹣3+，6+2）（舍去）．∵S △BDM ＞S △BOD ， ∴0＜n ＜4．10．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y （℃）与开机时间x （分）满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y （℃）与开机时间x （分）成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；（2）求图中t的值；（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？解：（1）当0≤x≤10时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b，依据题意，得，解得：，故此函数解析式为：y＝8x+20；（2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y＝，依据题意，得：100＝，即m＝1000，故y＝，当y＝20时，20＝，解得：t＝50；（3）∵57﹣50＝7≤10，∴当x＝7时，y＝8×7+20＝76，答：小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为76℃．11．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B，与x轴，y轴交于点D，E，BC⊥x轴于C，BA⊥y轴于A，＝，△ABE 的面积为24．（1）点E的坐标是（0，﹣2）；（2）求一次函数和反比例函数的表达式；（3）以BC为边作菱形CBMN，顶点M在点B左侧的一次函数y＝kx﹣2的图象上，判断边MN与反比例函数y＝（x＜0）的图象是否有公共点．解：（1）∵一次函数y＝kx﹣2的图象与y轴交于点E，令x＝0，得到y＝﹣2，∴E（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．（2）∵BC⊥x轴于C，BA⊥y轴于A，∴∠BCO＝∠BAO＝∠AOD＝90°，∴四边形ACOB是矩形，∴OC∥AB，OC＝AB，∵＝，∴＝＝＝，∵OE＝2，∴EA＝6，∴OA＝4，＝×AB×6＝24，∵S△ABE∴AB＝8，∴B（﹣8，4），∵点B在y＝上，∴m＝﹣32，把B（﹣8，4）代入y＝kx﹣2得到k＝﹣，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x ﹣2，反比例函数的解析式为y ＝﹣．（3）设M （m ，﹣m ﹣2），延长MN 交x 轴于H ．由题意D （﹣，0），∵BC ＝BM ＝4，BD ＝＝，∵BC ∥MH ，∴＝，∴＝，解得m ＝﹣，∴M （﹣，），N （﹣，），对于反比例函数y ＝﹣，当x ＝﹣时，y ＝，∵＜，∴线段MN 与反比例函数的图象有交点．12．如图，已知一次函数y 1＝ax +b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点D ，C ，与反比例函数y 2＝的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标是（1，3）、点B 的坐标是（3，m ）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求C 、D 两点的坐标，并求△AOB 的面积；（3）根据图象直接写出：当x 在什么取值范围时，y 1＞y 2？解：（1）把点A （1，3）代入y 2＝， ∴3＝，即k ＝3，故反比例函数的解析式为：y 2＝．把点B 的坐标是（3，m ）代入y 2＝，得：m ＝＝1， ∴点B 的坐标是（3，1）．把A （1，3），B （3，1）代入y 1＝ax +b ，得，解得，故一次函数的解析式为：y 1＝﹣x +4；（2）令x ＝0，则y 1＝4；令y 1＝0，则x ＝4， ∴C （0，4），D （4，0），∴S △AOB ＝S △AOD ﹣S △BOD ＝×4×3﹣×4×1＝4；（3）当x 满足1＜x ＜3时，则y 1＞y 2．13．如图，正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直x 轴于点C ，连结BC ．若△ABC 的面积为2．（1）求k 的值；（2）直接写出：①点A 坐标（1，2）；点B 坐标（﹣1，﹣2）；②当时，x 的取值范围 x ≥1或0＞x ≥﹣1 ；（3）x 轴上是否存在一点D ，使△ABD 为直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝2÷2＝1，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2；（2）①解得，或，∴点A坐标（1，2），点B坐标（﹣1，﹣2），②当时，x的取值范围为x≥1或0＞x≥﹣1；故答案为：（1，2），（﹣1，﹣2），x≥1或0＞x≥﹣1；（3）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），①当AD⊥AB时，如图1，设直线AD的关系式为y＝﹣x+b，将A（1，2）代入上式得：b＝，∴直线AD的关系式为y＝﹣x+，令y＝0得：x＝5，∴D（5，0）；②当BD⊥AB时，如图2，设直线BD的关系式为y＝﹣x+b，将B（﹣1，﹣2）代入上式得：b＝﹣，∴直线BD的关系式为y＝﹣x﹣，令y＝0得：x＝﹣5，∴D（﹣5，0）；③当AD⊥BD时，如图3，∵O为线段A的中点，∴OD＝AB＝OA，∵A（1，2），∴OC＝1，AC＝2，由勾股定理得：OA＝＝＝，∴OD＝，∴D（，0）．根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（﹣，0）．故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或（﹣，0）．14．如图，平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6），直线y ＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．（1）求k，m的值．（2）点P是直线y＝﹣2x位于第二象限上的一个动点，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数y＝（x＜0）的图象于点D，设P（n，﹣2n）．①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由②当PD≥2PC时，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．解：（1）∵函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6），∴k＝﹣1×6＝﹣6；将B（﹣1，0）代入y＝mx﹣2，得：0＝﹣m﹣2，解得：m＝﹣2．（2）①PD＝2PC，理由如下：当n＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2）．当y＝2时，﹣2x﹣2＝2，＝2，解得：x＝﹣2，x＝﹣3，∴点C 的坐标为（﹣2，2），点D 的坐标为（﹣3，2）， ∴PC ＝1，PD ＝2， ∴PD ＝2PC ．②当n ＝﹣3时，点P 的坐标为（﹣3，6）．当y ＝6时，﹣2x ﹣2＝6，＝6，解得：x ＝﹣4，x ＝﹣1，∴点C 的坐标为（﹣4，6），点D 的坐标为（﹣1，6）， ∴PC ＝1，PD ＝2， ∴PD ＝2PC ．∵点P 是直线y ＝﹣2x 位于第二象限上的一个动点， ∴当PD ≥2PC 时，﹣1≤n ＜0或n ≤﹣3．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点C 在y 轴的正半轴上，D 是BC 边上的一点，OC ：CD ＝5：3，DB ＝6．反比例函数y ＝（k ≠0）在第一象限内的图象经过点D ，交AB 于点E ，AE ：BE ＝1：2．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）动点P 在矩形OABC 内，且满足S △P AO ＝S 四边形OABC ． ①若点P 在这个反比例函数的图象上，求点P 的坐标；②若点Q 是平面内一点使得以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形求点Q 的坐标．解：（1）设点B 的坐标为（m ，n ），则点E 的坐标为（m ， n ），点D 的坐标为（m ﹣6，n ）．∵点D ，E 在反比例函数y ＝（k ≠0）的图象上， ∴k ＝mn ＝（m ﹣6）n ， ∴m ＝9．∵OC ：CD ＝5：3， ∴n ：（m ﹣6）＝5：3， ∴n ＝5，∴k ＝mn ＝×9×5＝15，∴反比例函数的表达式为y ＝．（2）∵S △P AO ＝S 四边形OABC ，∴OA •y P ＝OA •OC ，∴y P ＝OC ＝4．①当y ＝4时，＝4，解得：x ＝，∴若点P 在这个反比例函数的图象上，点P 的坐标为（，4）．②由（1）可知：点A 的坐标为（9，0），点B 的坐标为（9，5）， ∵y P ＝4，y A +y B ＝5，∴y P ≠，∴AP ≠BP ，∴AB不能为对角线．设点P的坐标为（t，4）．分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑（如图所示）：（i）当AB＝AP时，（9﹣t）2+（4﹣0）2＝52，解得：t1＝6，t2＝12（舍去），∴点P1的坐标为（6，4）．又∵P1Q1＝AB＝5，∴点Q1的坐标为（6，9）；（ii）当BP＝AB时，（9﹣t）2+（5﹣4）2＝52，解得：t3＝9﹣2，t4＝9+2（舍去），∴点P2的坐标为（9﹣2，4）．又∵P2Q2＝AB＝5，∴点Q2的坐标为（9﹣2，﹣1）．综上所述：点Q的坐标为（6，9）或（9﹣2，﹣1）．16．（1）如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，证明AB∥CD；（2）①如图2，点M，N在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，E，请利用（1）的结果，证明：MN∥EF；②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行（不用写理由）．（1）证明：在图1中，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ，则∠CP A ＝∠DQB ＝90°， ∴CP ∥DQ ．∵△ABC 与△ABD 的面积相等， ∴CP ＝DQ ，∴四边形CPQD 为平行四边形， ∴AB ∥CD ．（2）①证明：在图2中，连接FM ，EN ．设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2）．∵点M ，N 在反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上， ∴k ＝x 1y 1＝x 2y 2． ∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴OE ＝y 1，OF ＝x 2，ME ＝x 1，NF ＝y 2．∵S △EFM ＝ME •OE ＝x 1y 1＝k ，S △EFN ＝NF •OF ＝x 2y 2＝k ， ∴S △EFM ＝S △EFN ， ∴MN ∥EF ；②解：MN ∥EF ，理由如下：在图3中，连接MN ，FM ，EN ．设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2）．∵点M ，N 在反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上， ∴k ＝x 1y 1＝x 2y 2．∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴OE ＝y 1，OF ＝x 2，ME ＝x 1，NF ＝y 2．∵S △EFM ＝ME •OE ＝x 1y 1＝k ，S △EFN ＝NF •OF ＝x 2y 2＝k ， ∴S △EFM ＝S △EFN ， ∴MN ∥EF ；17．如图，正比例函数y 1＝kx 与反比例函数y ＝（x ＞0）交于点A （2，3），AB ⊥x 轴于点B ，平移直线y 1＝kx 使其经过点B ，得到直线y 2，y 2与y 轴交于点C ，与y ＝交于点D ．（1）求正比例函数y 1＝kx 及反比例函数y ＝的解析式；（2）求点D 的坐标；（3）求△ACD 的面积．解：（1）将点A （2，3）分别代入y 1＝kx 、得3＝2k 、，解得k ＝，m ＝6，∴正比例函数及反比例函数的解析式分别为y 1＝x 、；（2）∵y 2由y 1平移得到，所以设y 2＝x +b ，∵AB ⊥x 轴，∴B （2，0），将其代入y 2＝x +b 得b ＝﹣3，∴y 2＝x ﹣3，由题意得：解得：，（舍去），∴点D 坐标为（，）；（3）连接OD ，过点D 作DE ⊥y 轴，垂足为E ，则DE ＝1+，把x ＝0代入y 2＝x ﹣3得，y ＝﹣3， ∴C （0，﹣3） ∵直线y 1∥y 2，∴S △ACD ＝S △OCD ＝OC •DE ＝×3×（）＝．答：△ACD 的面积为．18．已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（10，8），已知直线AC与双曲线y＝（m≠0）在第一象限内有一交点Q（5，n）．（1）求直线AC和双曲线的解析式；（2）若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止．求△OPQ的面积S与的运动时间t秒的函数关系式，并求当t取何值时S＝10．解：设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），过A（10，0）、C（0，8），，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+8，又∵Q（5，n）在直线AC上，∴n＝﹣×5+8＝4，又∵双曲线y＝过Q（5，4），∴m＝5×4＝20，∴双曲线的解析式为：y＝；②当0≤t≤5时，OP＝10﹣2t，过Q作QD⊥OA，垂足为D，如图1，∵Q（5，4），∴QD＝4，∴S＝（10﹣2t）×4＝20﹣4t，当S＝10时，20﹣4t＝10解得t＝2.5，当5＜t≤9时，OP＝2t﹣10，过Q作QE⊥OC，垂足为E，如图2∵Q（5，4），∴QE＝5，∴S＝（2t﹣10）×5＝5t﹣25，当S＝10时，5t﹣25＝10，解得t＝7，综上，S＝，当t＝5秒时，△OPQ的面积不存在，∴当t＝2.5秒或t＝7秒时，S＝10．19．如图，一次函数y1＝k1x+2与反比例函数y2＝的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），与y轴交于点C．（1）k1＝，k2＝16；（2）根据函数图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC ：S△ODE＝3：1时，求直线OP的解析式．解：（1）把B（﹣8，﹣2）代入y1＝k1x+2得﹣8k1+2＝﹣2，解得k1＝，∴一次函数解析式为y1＝x+2；把B（﹣8，﹣2）代入y2＝得k2＝﹣8×（﹣2）＝16，∴反比例函数解析式为y2＝，故答案为：，16；（2）∵当y1＞y2时即直线在反比例函数图象的上方时对应的x的取值范围，∴﹣8＜x＜0或x＞4；故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4；（3）把A（4，m）代入y2＝得4m＝16，解得m＝4，∴点A的坐标是（4，4），而点C的坐标是（0，2），∴CO＝2，AD＝OD＝4．∴S梯形ODAC＝×（2+4）×4＝12，∵S梯形ODAC ：S△ODE＝3：1，∴S△ODE＝×12＝4，∴OD•DE＝4，∴DE＝2，∴点E的坐标为（4，2）．设直线OP的解析式为y＝kx，把E（4，2）代入得4k＝2，解得k＝，∴直线OP的解析式为y＝x．20．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过AB边的中点C，且与OA边交于点D．（1）求k的值；（2）连接OC，CD，求△OCD的面积；（3）若直线y＝mx+n与直线CD平行，且与△OAB的边有交点，直接写出n的取值范围．解：（1）∵等边△OAB，∴AB＝BO＝AO＝4，∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，∵点C是AB的中点，∴BC＝AC＝2，过点C作CM⊥OB，垂足为M，在Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣60°＝30°，BC＝2，∴BM＝1，CM＝，∴OM＝4﹣1＝3，∴点C的坐标为（﹣3，），代入y＝得：k＝﹣3答：k的值为﹣3．（2）过点A作AN⊥OB，垂足为N，由题意得：AN＝2CM＝2，ON＝OB＝2，∴A（﹣2，2），设直线OA的关系式为y＝kx，将A的坐标代入得：k＝﹣，∴直线OA的关系式为：y＝﹣x，31由题意得：，解得：舍去，，∴D（﹣，3）过D 作DE ⊥OB ，垂足为E ，S △OCD ＝S CMED +S △DOE ﹣S △COM ＝S CMED＝（+3）×（3﹣）＝3，答：△OCD 的面积为3．（3）①当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 过点O 时，此时y ＝mx +n 的n ＝0， ②当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 经过点A 时，设直线CD 的关系式为y ＝ax +b ，把C 、D 坐标代入得：，解得：a ＝1，b ＝3+∴直线CD 的关系式为y ＝x+3+， ∵y ＝mx +n 过与直线y ＝x+3+平行， ∴m ＝1，把A （﹣2，2）代入y ＝x +n 得：n ＝2+2因此：0≤n ≤2+2．答：n 的取值范围为：0≤n ≤2+2．。

初三九年级数学上册上册数学压轴题(培优篇)(Word版含解析)

初三九年级数学上册上册数学压轴题（培优篇）（Word 版含解析）一、压轴题 1．问题提出（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．问题探究（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．问题解决（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．2．如图1：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），试探索AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论．小明同学的思路是这样的：将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ，连接EC ，DE ．继续推理就可以使问题得到解决．（1）请根据小明的思路，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图2，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为△ABC 外的一点，且∠ADC ＝45°，线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；（3）如图3，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是⊙O 上的点，且∠ADC ＝45°． ①若AD ＝6，BD ＝8，求弦CD 的长为； ②若AD+BD ＝14，求2AD BD CD 2⎛⎫⋅+⎪ ⎪⎝⎭的最大值，并求出此时⊙O 的半径．3．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使32DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x =（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长．（3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．4．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝﹣13x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，使点C 落在第一象限，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，作CE ⊥x 轴于点E ，连接ED 并延长交y 轴于点F ．（1）如图（1），点P 为线段EF 上一点，点Q 为x 轴上一点，求AP +PQ 的最小值．（2）将直线l 进行平移，记平移后的直线为l 1，若直线l 1与直线AC 相交于点M ，与y 轴相交于点N ，是否存在这样的点M 、点N ，使得△CMN 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，有一块直角三角板，其中AB 16=，ACB 90∠=，CAB 30∠=，A 、B 在x 轴上，点A 的坐标为()20,0，圆M 的半径为33，圆心M 的坐标为(5,33-，圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右做平移运动，运动时间为t 秒；()1求点C 的坐标；()2当点M 在ABC ∠的内部且M 与直线BC 相切时，求t 的值；()3如图2，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点，连接EM 、FM ，在运动过程中，是否存在某一时刻，使EMF 90∠=？若存在，直接写出t 的值，若不存在，请说明理由．6．如图，⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（﹣3，1），点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（1，﹣3），点D 在x 轴上，且点D 在点A 的右侧．（1）求菱形ABCD 的周长；（2）若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD 沿x 轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t （秒），当⊙M 与AD 相切，且切点为AD 的中点时，连接AC ，求t 的值及∠MAC 的度数；（3）在（2）的条件下，当点M 与AC 所在的直线的距离为1时，求t 的值．7．某校网球队教练对球员进行接球训练，教练每次发球的高度、位置都一致．教练站在球场正中间端点A 的水平距离为x 米，与地面的距离为y 米，运行时间为t 秒，经过多次测试，得到如下部分数据： t 秒 0 1.5 2.5 4 6.5 7.5 9 … x 米 0 4 8 10 12 16 20 … y 米24.565.8465.844.562…（2）网球落在地面时，与端点A 的水平距离是多少？（3）网球落在地面上弹起后，y 与x 满足()256y a x k =-+①用含a 的代数式表示k ；②球网高度为1.2米，球场长24米，弹起后是否存在唯一击球点，可以将球沿直线扣杀到A 点，若有请求出a 的值，若没有请说明理由．8．如图，函数y=-x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ）两点，m ，n 分别是方程x 2-2x -3=0的两个实数根，且m ＜n ．（1）求m ，n 的值以及函数的解析式；（2）设抛物线y=-x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为点C ，顶点为点D ，连结BD 、BC 、CD ，求△BDC 面积；（3）对于（1）中所求的函数y=-x 2+bx +c ， ①当0≤x ≤3时，求函数y 的最大值和最小值；②设函数y 在t ≤x ≤t +1内的最大值为p ，最小值为q ，若p-q =3，求t 的值． 9．如图，一次函数122y x =-+的图象交y 轴于点A ，交x 轴于点B 点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点．（1）求A ，B 两点的坐标；并求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．10．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ，(30)B ，．抛物线的对称轴和x 轴交于点M ．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P 点在该抛物线上，求当PAB △的面积为8时，求点P 的坐标．（3）点G 是抛物线上一个动点，点E 从点B 出发，沿x 轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F 由点M 出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t ．①若点G 到AE 和MF 距离相等，直接写出点G 的坐标．②点C 是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG 和FC 为边做矩形FGDC ，直接写出点E 恰好为矩形FGDC 的对角线交点时t 的值． 11．()1尺规作图1：已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形．作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．()2特例思考：如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用：如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值．12．如图，PA 切⊙O 于点A ，射线PC 交⊙O 于C 、B 两点，半径OD ⊥BC 于E ，连接BD 、DC 和OA ，DA 交BP 于点F ；（1）求证：∠ADC+∠CBD ＝12∠AOD ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）12；（2）53；（3）202．【解析】【分析】（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，135BAC ∠=，180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，BD AD ∴=，在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，42AB =2222(42)32BD AB ∴===，解得：4BD =，6AC =，11641222ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=．（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ， PD PQ ∴=，PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，点P 为AB 上的动点，PC PD CQ ∴+≥，∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度，点C 为半圆AB 的中点，90COB ∴∠=，90BOD COD COB ∠+∠=∠=，11903033BOD COB ∴∠=∠=⨯=，10AB =，1110522OD AB ∴==⨯=，在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=，155,222DH OD QH DH ∴==∴==，2222553522OH OD DH ⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭，由作图知，四边形OMQH 为矩形，553,22OM QH MQ OH ∴====， 515522CM OM OC ∴=+=+=， 222215535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，PC PD ∴+的最小值为53．（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠， E 为OA 上的点，F 为OB 上的点 PE EF FP SN ∴++≥，∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，45POA POB AOB ∠+∠=∠=， 45SOA NOB ∴∠+∠=，454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．扇形AOB 的半径为20，20OS ON OP ∴===，在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=PE EF FP ∴++的长度的最小值为202【点睛】本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.2．（1）CD2+BD2＝2AD2，见解析；（2）BD2＝CD2+2AD2，见解析；（3）①2，②最大值为4414，半径为104【解析】【分析】（1）先判断出∠BAD＝CAE，进而得出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，∠B＝∠ACE，再根据勾股定理得出DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝2AD2，即可得出结论；（2）同（1）的方法得，ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，再用勾股定理的出DE2＝2AD2，CE2＝CD2+DE2＝CD2+2AD2，即可得出结论；（3）先根据勾股定理的出DE2＝CD2+CE2＝2CD2，再判断出△ACE≌△BCD（SAS），得出AE ＝BD，①将AD＝6，BD＝8代入DE2＝2CD2中，即可得出结论；②先求出CD＝2，再将AD+BD＝14，CD＝2代入2AD BD⎛⎫⋅ ⎪⎪⎝⎭，化简得出﹣（AD﹣212）2+4414，进而求出AD，最后用勾股定理求出AB即可得出结论．【详解】解：（1）CD2+BD2＝2AD2，理由：由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝2AD2，∴CD2+BD2＝2AD2；（2）BD2＝CD2+2AD2，理由：如图2，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE，同（1）的方法得，ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，在Rt△ADE中，AD＝AE，∴∠ADE＝45°，∴DE2＝2AD2，∵∠ADC＝45°，∴∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝90°，根据勾股定理得，CE2＝CD2+DE2＝CD2+2AD2，即：BD2＝CD2+2AD2；（3）如图3，过点C作CE⊥CD交DA的延长线于E，∴∠DCE＝90°，∵∠ADC＝45°，∴∠E＝90°﹣∠ADC＝45°＝∠ADC，∴CD＝CE，根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝2CD2，连接AC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵∠ADC＝45°，∴∠BDC＝45°＝∠ADC，∴AC＝BC，∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，①AD＝6，BD＝8，∴DE＝AD+AE＝AD+BD＝14，∴2CD2＝142，∴CD＝72，故答案为72；②∵AD+BD＝14，∴CD＝72，∴22AD BD CD⎛⎫⋅+⎪⎪⎝⎭＝AD•（BD+22×72）＝AD•（BD+7）＝AD•BD+7AD＝AD（14﹣AD）+7AD＝﹣AD2+21AD＝﹣（AD﹣212）2+4414，∴当AD＝212时，2AD BD CD⎛⎫⋅+⎪⎪⎝⎭的最大值为4414，∵AD+BD＝14，∴BD＝14﹣212＝72，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB＝22710 2AD BD+=，∴⊙O的半径为OA＝12AB＝710．【点睛】本题考查圆与三角形的结合,关键在于熟记圆的性质和三角形的性质.3．（1）（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =或3AP = 【解析】【分析】（1）由:3:4AQ AB =、3AQ x =，易得4AB x =，由勾股定理得BQ ，再由中位线的性质得12AH BH AB ==，求得CD 、FD ；（2）利用（1）的结论，易得CQ 的长，作OM AQ ⊥于点M ，则//OM AB ，由垂径定理得32QM AM x ==，由矩形性质得OD MC =，利用矩形面积求得x ，得出结论；（3）点P 在A 点的右侧时，利用（1）、（2）的结论和正方形的性质得243x x +=，得AP ；点P 在A 点的左侧时，当点C 在Q 右侧，当407x <<时，473x x -=，解得x ，易得AP ；当4273x ≤<时，743x x -=，得AP ；当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，同理得AP ．【详解】解：（1）∵:3:4AQ AB =，3AQ x =∴4AB x =∴在Rt ABQ △中，5BQ x == ∵OD m ⊥，m l ⊥∴//OD l∵OB OQ = ∴122AH BH AB x === ∴2CD x = ∴332FD CD x == （2）∵点P 关于点A 的对称点为Q∴3AP AQ x ==∵4PC =∴64CQ x =+过点O 作OM AQ ⊥于点M ，如图：∵90BAQ ∠=︒∴//OM AB∵O 是ABQ △的外接圆，90BAQ ∠=︒∴点O 是BQ 的中点 ∴1322QM AM AQ x === ∴3964422OD MC CQ QM x x ==-=+-=+ ∵1522OE BQ x == ∴9542422DE OD OE x x x =-=+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形∴13x =，25x =-（不合题意，舍去）∴39AP x ==∴当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，AP 的长为：9．（3）若矩形DEGF 是正方形，则DE DF =①点P 在A 点的右侧时，如图：∴243x x +=∴4x =∴312AP x ==②点P 在A 点的左侧时I.当点C 在Q 右侧时i.当 407x <<时，如图：∵47DE x =-，3DF x =∴473x x -=∴25x = ∴635AP x x ==ii.当4273x ≤<时，如图：∵74DE x =-，3DF x =∴743x x -=∴1x =（不合题意，舍去）II. 当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，如图：∵74DE x =-，3DF x =∴743x x -=∴1x =∴33AP x ==∴综上所述，当12AP =或65AP =或3AP =时，矩形DEGF 是正方形．故答案是：（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =或3AP = 【点睛】本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等，综合性强，难度大，正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题．4．（1）AP +PQ 的最小值为4；（2）存在，M 点坐标为(﹣12，﹣4)或(12，8)．【解析】【分析】（1）由直线解析式易求AB 两点坐标，利用等腰直角△ABC 构造K 字形全等易得OE ＝CE ＝4，C 点坐标为（4，4）DB ＝∠CEB ＝90︒，可知B 、C 、D 、E 四点共圆，由等腰直角△ABC 可知∠CBD ＝45︒，同弧所对圆周角相等可知∠CED ＝45︒，所以∠OEF ＝45︒，CE 、OE 是关于EF 对称，作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于Q ，AK ⊥EC 于K ．把AP +PQ 的最小值问题转化为垂线段最短解决问题．（2）由直线l 与直线AC 成45︒可知∠AMN ＝45︒，由直线AC 解析式可设M 点坐标为（x ，122x +），N 在y 轴上，可设N （0，y ）构造K 字形全等即可求出M 点坐标．【详解】解：（1）过A 点作AK ⊥CE ，在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90︒，AC ＝BC ，∵CE ⊥x 轴，∴∠ACK +∠ECB ＝90︒，∠ECB +∠CBE ＝90︒，∴∠ACK ＝∠CBE在△AKC 和△CEB 中，AKC CEB ACK CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△AKC ≌△CEB （AAS ）∴AK ＝CE ，CK ＝BE ，∵四边形AOEK 是矩形，∴AO ＝EK ＝BE ，由直线l ：y ＝﹣13x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，可知A 点坐标为（0，2），B （6，0）∴E 点坐标为（4，0），C 点坐标为（4，4），∵∠CDB ＝∠CEB ＝90︒，∴B 、C 、D 、E 四点共圆，∵CD CD =，∠CBA ＝45︒，∴∠CED ＝45︒，∴FE 平分∠CEO ，过P 点作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于G ，过A 点作AK ⊥EC 于K ．∴PH ＝PQ ，∵PA +PQ ＝PA +PH ≥AK ＝OE ，∴OE ＝4，∴AP +PQ ≥4，∴AP +PQ 的最小值为4．（2）∵A 点坐标为（0，2），C 点坐标为（4，4），设直线AC 解析式为：y ＝kx+b把（0，2），（4，4）代入得244b k b =⎧⎨=+⎩解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC 解析式为：y ＝122x +，设M 点坐标为（x ，122x +），N 坐标为（0，y ）． ∵MN ∥AB ，∠CAB ＝45︒，∴∠CMN ＝45︒，△CMN 为等腰直角三角形有两种情况：Ⅰ．如解图2﹣1，∠MNC ＝90︒，MN ＝CN ．同（1）理过N 点构造利用等腰直角△MNC 构造K 字形全等，同（1）理得：SN ＝CR ，MS ＝NR ．∴41242x yx y-=-⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得：128xy=-⎧⎨=-⎩，∴M点坐标为（﹣12，﹣4）Ⅱ．如解图2﹣2，∠MNC＝90︒，MN＝CN．过C点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）得：MS＝CF，CS＝FN．∴4412442x yx-=-⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得：1212xy=⎧⎨=⎩，∴M点坐标为（12，8）综上所述：使得△CMN为等腰直角三角形得M点坐标为（﹣12，﹣4）或（12，8）．【点睛】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是中用转化的思想思考问题，学会添加常用辅助线，在平面直角坐标系中构造K字形全等三角形求点坐标解决问题，属于中考压轴题．5．（1）()C 8,43；（2）t=18s ；（3）t 1513=±．【解析】【分析】（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．解直角三角形求出CH ，OH 即可．（2）如图1﹣1中，设⊙M 与直线BC 相切于点N ，作MH ⊥AB 于H ．求出OH 的长即可解决问题．（3）设M （﹣5+t ，33），EF 12=AB =8，由∠EMF =90°，可得EM 2+MF 2=EF 2，由此构建方程即可解决问题．【详解】（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．∵A （20，0），AB =16，∴OA =20，OB =4．在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，AB =16，∠CAB =30°，∴BC 12=AB =8，CH =BC •sin60°=43，BH =BC •cos60°=4，∴OH =8，∴C （8，43）．（2）如图1﹣1中，设⊙M 与直线BC 相切于点N ，作MH ⊥AB 于H ．∵MN =MH 3MN ⊥BC ，MH ⊥BA ，∴∠MBH =∠MBN =30°，∴BH 3==9，∴点M 的运动路径的长为5+4+9=18，∴当点M 在∠ABC 的内部且⊙M 与直线BC 相切时，t 的值为18s ．（3）∵C （8，3B （4，0），A （20，0）．∵CE =EB ，CF =FA ，∴E （6，3），F （14，3），设M （﹣5+t ，3），EF 12=AB =8． ∵∠EMF =90°，∴EM 2+MF 2=EF 2，∴（6+5﹣t ）2+32+（14+5﹣t ）2+32=82，整理得：t2﹣30t+212=0，解得：t=15±13．【点睛】本题是圆的综合题，考查了平移变换，解直角三角形，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．（1）菱形的周长为8；（2）t=65，∠MAC=105°；（3）当t=1﹣3或t=1+3时，圆M与AC相切．【解析】试题分析：（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E．由点A和点B的坐标可知：BE=3，AE=1，依据勾股定理可求得AB的长，从而可求得菱形的周长；（2）记 M与x轴的切线为F，AD的中点为E．先求得EF的长，然后根据路程=时间×速度列出方程即可；平移的图形如图3所示：过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接MF，F为 M与AD的切点．由特殊锐角三角函数值可求得∠EAB=60°，依据菱形的性质可得到∠FAC=60°，然后证明△AFM是等腰直角三角形，从而可得到∠MAF的度数，故此可求得∠MAC的度数；（3）如图4所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．先求得∠MAE=30°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE的长，然后依据3t+2t=5-AE可求得t的值；如图5所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．依据菱形的性质和切线长定理可求得∠MAE=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可得到EA=3，最后依据3t+2t=5+AE．列方程求解即可．试题解析：（1）如图1所示：过点B作BE AD⊥，垂足为E，∵(B1,3，()A2,0，∴BE3=AE1=，∴22AB AE BE2=+=，∵四边形ABCD为菱形，∴AB BC CD AD===，∴菱形的周长248=⨯=．（2）如图2所示，⊙M与x轴的切线为F，AD中点为E，∵()M 3,1-，∴()F 3,0-，∵AD 2=，且E 为AD 中点，∴()E 30，，EF 6=， ∴2t 3t 6+=，解得6t 5=．平移的图形如图3所示：过点B 作BE AD ⊥，垂足为E ，连接MF ，F 为⊙M 与AD 切点， ∵由（1）可知，AE 1=，BE 3= ∴tan EAB 3∠=∴EAB 60∠=︒，∴FAB 120∠=︒，∵四边形ABCD 是菱形，∴11FAC FAB 1206022∠∠==⨯︒=︒， ∵AD 为M 切线，∴MF AD ⊥，∵F 为AD 的中点，∴AF MF 1==，∴AFM 是等腰直角三角形，∴MAF 45∠=︒，∴MAC MAF FAC 4560105∠∠∠=+=︒+︒=︒．（3）如图4所示：连接AM ，过点作MN AC ⊥，垂足为N ，作ME AD ⊥，垂足为E ，∵四边形ABCD 为菱形，DAB 120∠=︒，∴DAC 60∠=︒． ∵AC 、AD 是圆M 的切线∴MAE 30∠=︒，∵ME MN 1==．∴EA 3=，∴3t 2t 53+=-，∴3t 1=-．如图5所示：连接AM ，过点作MN AC ⊥，垂足为N ，作ME AD ⊥，垂足为E ，∵四边形ABCD 为菱形，DAB 120∠=︒，∴DAC 60∠=︒，∴NAE 120∠=︒，∵AC 、AD 是圆M 的切线，∴MAE 60∠=︒，∵ME MN 1==，∴3EA 3=，∴3t 2t 53+=+，∴t 1=+．综上所述，当t 1=-t 1=+时，圆M 与AC 相切．点睛：此题是一道圆的综合题.圆中的方法规律总结：1、分类讨论思想：研究点、直线和圆的位置关系时，就要从不同的位置关系去考虑，即要全面揭示点、直线和元的各种可能的位置关系.这种位置关系的考虑与分析要用到分类讨论思想.1、转化思想：（1）化“曲面”为“平面”（2）化不规则图形面积为规则图形的面积求解.3、方程思想：再与圆有关的计算题中，除了直接运用公式进行计算外，有时根据图形的特点，列方程解答，思路清楚，过程简捷.7．（1）10；（2）10+米；（3）①100k a =-；②不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用表格中数据直接得出网球达到最大高度时的时间及最大值；（2）首先求出函数解析式，进而求出网球落在地面时，与端点A 的水平距离；（3）①由（2）得网球落在地面上时，得出对应点坐标，代入计算即可； ②由球网高度及球桌的长度可知其扣杀路线解析式为110y x =，若要击杀则有(2110010a x a x --=，根据有唯一的击球点即该方程有唯一实数根即可求得a 的值，继而根据对应x 的值取舍可得．【详解】（1）由表格中数据可得4t =，（秒），网球达到最大高度，最大高度为6；（2）以A 为原点，以球场中线所在直线为x 轴，网球发出的方向为x 轴的正方向，竖直运动方向为y 方向，建立平面直角坐标系．由表格中数据，可得y 是x 的二次函数，且顶点坐标为(10，6)，可设2(10)6y m x =-+，将（0，2）代入，可得：125m =-， ∴21(10)625y x =--+，当0y =，得10x =±(负值舍去)，∴网球落在地面上时，网球与端点A 的距离为10+米；（3）①由（2）得网球落在地面上时，对应的点为(10+，0)代入(2y a x k =-+，得100k a =-；②不存在．∵网高1.2米，球网到A 的距离为24122=米， ∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（12，1.2）点， ∴扣杀路线在直线110y x =上，令(2110010a x a x --=，整理得：2150010ax x a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，当0=时符合条件， 221106200010a a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得1400a =，2400a =．开口向下，0a ＜， ∴1a ，2a 都可以，将1a ，2a 分别代入(2110010a x a x --=，得到得解都是负数，不符合实际．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键．8．（1）m ＝﹣1，n ＝3，y ＝﹣x 2+2x +3；（2）S=3；（3）①y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；②t ＝﹣1或t ＝2【解析】【分析】（1）首先解方程求得A 、B 两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（2）根据解方程直接写出点C 的坐标，然后确定顶点D 的坐标，根据两点的距离公式可得BDC ∆三边的长，根据勾股定理的逆定理可得90DBC ∠=︒，据此求出 △BDC 面积；（3）①确定抛物线的对称轴是1x =，根据增减性可知：1x =时，y 有最大值，当3x =时， y 有最小值；②分5种情况：1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧；2、当11t +=时；3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧；4、当1t =时，5、函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．【详解】解：（1）m ，n 分别是方程2230x x --=的两个实数根，且 m n <，用因式分解法解方程：(1)(3)0x x +-=，11x ∴=-，23x =，1m ∴=-，3n =，(1,0)A ∴-，(0,3)B ，把(1,0)-，(0,3)代入得， 103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴函数解析式为2y x 2x 3=-++．（2）令2230y x x =-++=，即2230x x --=，解得11x =-，23x =，∴抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴的交点为 (1,0)A -，(3,0)C ，1OA ∴=，3OC =，∴对称轴为1312x -+==，顶点(1,123)D -++，即 (1,4)D ，∴BC = BD ==DC ==222CD DB CB =+，BCD ∴∆是直角三角形，且90DBC ∠=︒，∴112322S BCD BD BC ==⨯⨯=；（3）∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +3的对称轴为x ＝1，顶点为D （1，4），①在0≤x ≤3范围内，当x ＝1时，y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；②1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x t =时取得最小值 223q t t =-++，最大值2(1)2(1)3p t t =-++++，令22(1)2(1)3(23)3p q t t t t -=-++++--++=，即 213t -+=，解得1t =-．2、当11t +=时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧，此时4p =，令24(23)3p q t t -=--++=，即 2220t t --=解得：11t =)，21t = )；或者24[(1)2(1)3]3p q t t -=--++++=，即 t =4、当1t =时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；5、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x t =时取得最大值 223p t t =-++，最小值2(1)2(1)3q t t =-++++，令2223[(1)2(1)3]3p q t t t t -=-++--++++=，解得 2t =．综上，1t =-或2t =．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，直角三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，注意运用分类讨论的思想解决问题． 9．(1) A （0，2），B(4，0)，2722y x x =-++；(2)当t=2时，MN 有最大值4；(3) D 点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）．【解析】【分析】 (1)首先求得A 、B 的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)本问要点是求得线段MN 的表达式，这个表达式是关于t 的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN 的最大值；(3)本问要点是明确D 点的可能位置有三种情况，如答图2所示，其中D 1、D 2在y 轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D 3点在第一象限是直线D 1N 和D 2M 的交点，利用直线解析式求得交点坐标即可．【详解】解：(1)∵122y x =-+的图象交y 轴于点A ，交x 轴于点B 点， ∴A 、B 点的坐标为：A （0，2），B(4，0)，将x=0，y=2代入2y x bx c =-++得c=2，将x=4，y=0,代入2y x bx c =-++得b=72， ∴抛物线解析式为：2722y x x =-++； (2)如答图1所示，设MN 交x 轴于点E ，则E(t ，0)，则M(t ，122t -)，又N 点在抛物线上，且x N =t ，∴2722N y t t =-++， ∴()22271224=2422N M MN y y t t t t t t ⎛⎫=-=-++--=-+--+ ⎪⎝⎭， ∴当t=2时，MN 有最大值4．(3)由(2)可知A （0，2）、M(2，1)、N(2，5)，以A 、M 、N 、D 为顶点做平行四边形，D 点的可能位置有三种情况，如答图2所示，当D 在y 轴上时，设D 的坐标为（0，a ），由AD=MN ，得|a-2|=4，解得a 1=6，a 2=-2，从而D 点坐标为（0，6）或D （0，-2），当D 不在y 轴上时，由图可知D 3为D 1N 与D 2M 的交点，分别求出D 1N 的解析式为：162y x =-+， D 2M 的解析式为：322y x =-，联立两个方程得：D 3（4，4），故所求的D 点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）．【点睛】本题主要考查的是二次函数综合，经常作为压轴题出现，正确的掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（1）243y x x =-+-；（2）点P 坐标为（－1，－8），（5，－8）；（3）①G 的坐标．3551+-，3551(---5515(+--，5515--+；②513t +=或513t -= 【解析】【分析】（1）将A 、B 两点坐标代入抛物线解析式，可确定抛物线解析式；（2）根据A 、B 两点坐标得AB=3-1=2，由三角形面积公式求P 点纵坐标的绝对值，得出P 点纵坐标的两个值，代入抛物线解析式求P 点横坐标；（3）①根据题意，可分为两种情况进行分析：当点G 在对称轴右侧；当点G 在对称轴左侧；结合图像，分别求出点G 的坐标即可；②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点G 在对称轴左侧；当点G 在对称轴右侧；结合图像，分别列出方程，求出t 的值即可．【详解】解：（1）把点(1,0)A ，(3,0)B 代入抛物线2y x bx c =-++上，求得：4b =，3c =-，∴243y x x =-+-；（2）依题意，得312AB =-=，设P 点坐标为(,)a n ，当0n >时，则8n =，故2–438x x +-=，即24110x x ++=，∴441111644280∆=-⨯⨯=-=-<2（-），方程24110x x -++=无实数根；当0n <时，则8n =-故2438x x -+-=-，即2450x x -+-=，解得：11x =-，25x =所求点P 坐标为（－1，－8），（5，－8）．（3）①分两种情况当点G 在对称轴右侧，设点G D 的横坐标为m ，则点D 到对称轴的距离为2m -，∵点D 到x 轴和到对称轴的距离相等所以点D 的纵坐标为2m -或2m -﹐当点D 的坐标为(,2)m m -，有2243m m m -=-+-，解得：135m +=235m -=（不符题意舍去），此时点D 的坐标为：3551(,)22．当点D 的坐标为(,2)m m -时，有 2243m m m -=-+-，解得：155m +=255m -= 此时点D 的坐标为：5515(+--．当点G 在对称轴左侧，设点D 的横坐标为m ，则点D 到对称轴的距离为2m -﹐因为点D 到x 轴和到对称轴的距离相等所以点D 的纵坐标为2m -或2m -，分别代入解析式可求出点D 的坐标分别为：3551(,)---，5515(,)--+．综上所述点D 的坐标为：3551(,)+-﹐5515(,)+--，3551(,)---，5515(,)--+． ②分两种情况当点G 在对称轴左侧，此时有1EN t =-，2NF t =﹐因为//EN GF ，点E 为CG 的中点，所以222GF EN t ==-，所以点G 的坐标为(42,2)t t --，将(42,2)t t --代入243y x x =-+-中，得 2(42)4(42)3t t t -=--+-2-，解得：1513t +=2513t -=（不合题意舍去）．当点G 在对称轴右侧，此时有1EN t =-，2NF t =，因为//EN GF ，点E 为CG 的中点，所以222GF EN t ==-，所以点G 的坐标为(42,2)t t --，将(42,2)t t --代入243y x x =-+-中，得 2(42)4(42)3t t t -=--+-2-，解得：1513t +=2513t -=．综上所述：513t +=或513t -=．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，三角形面积公式的运用．关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法，掌握三角形的高与P 点纵坐标的关系，注意运用数形结合和分类讨论的思想进行解题．11．(1) 见解析；(2) 2，2 ；(3)0或222或222x <<【解析】【分析】()1根据等腰三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；()2通过画图分析可得，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；()3分三种情形讨论求解即可．【详解】解：()1如图1中，点1C ，2C ，3C ，4C 即为所求．()2如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当∠1=90°或∠1=60°时，符合条件的点C 都是在点B 左右各一个，当∠1=60°时，符合条件的点C 如图所示：故答案为2，2．()3①如图31-中，当x 0=时，当PM PN =时，有点1P ，当ON OP =时，有点2P ，当NO NP =时，有点3P ，此时有3个P 点．②如图32-中，当N 与OB 相切于点1P 时，1OP N 是等腰直角三角形，1ON 2NP 22∴==，OM ON MN 222∴=-=-，此时有3个P 点．③如图33-中，当M 经过点O 时，此时只有2个P 点，如图34-中，M 与OB 相交时，此时有3个P 点，如图35-中，当M 与OB 相切时，只有2个P 点．此时OM 22=，综上所述，当2x 22<<3个P 点． ∴满足条件的x 的值为0或222或2x 22<<【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，尺规作图，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（1）详见解析；（2）详见解析；【解析】【分析】()1根据垂径定理得到BD CD =，根据等腰三角形的性质得到()111809022ODA AOD AOD ∠=-∠=-∠，即可得到结论； ()2根据垂径定理得到BE CE =，BD CD =，根据等腰三角形的性质得到ADO OAD ∠=∠，根据切线的性质得到90PAO ∠=，求得90OAD DAP ∠+∠=，推出PAF PFA ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【详解】()1证明：OD BC ⊥，BD CD ∴=，CBD DCB ∴∠=∠，90DFE EDF ∠+∠=，90EDF DFE ∴∠=-∠，OD OA =，()111809022ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠， 190902DFE AOD ∴-∠=-∠， 12DEF AOD ∴∠=∠， DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠，12ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠； ()2解：OD BC ⊥，BE CE ∴=，BD CD =，BD CD ∴=，OA OD =，ADO OAD ∴∠=∠，PA 切O 于点A ，90PAO ∴∠=， 90OAD DAP ∴∠+∠=， PFA DFE ∠=∠，90PFA ADO ∴∠+∠=，PAF PFA ∴∠=∠，PA PF ∴=．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．。

初三数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案解析)

初三数学九上压轴题难题提高题培优题一．解答题（共8小题）1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM 于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B （6，0）两点，交y轴于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y 轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、O、B三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．6．如图1，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．初三数学九上压轴题难题提高题培优题参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM 于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=﹣．（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．设直线MA的表达式为y=kx+b，则．解得．∴直线MA的表达式为y=x+1．设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）．DF==．当时，DF的最大值为．此时，即点D的坐标为（）．（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，）．在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MA上，∴只能PN=3AN，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）．③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3，即m2+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当m=2时，．此时点P的坐标为（2，﹣）．若PN=3NA，则﹣，即m2﹣7m﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥y轴于点D，∵AO=OB=4，∴B（4，0）．∵∠AOB=120°，∴∠AOD=30°，∴AD=OA=2，OD=OA=2．∴A（﹣2，2）．将A（﹣2，2），B（4，0）代入y=ax2+bx，得：，解得：，∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣x；（2）过点M作ME⊥x轴于点E，∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，∴M（2，﹣），即OE=2，EM=．∴tan∠EOM==．∴∠EOM=30°．∴∠AOM=∠AOB+∠EOM=150°．（3）过点A作AH⊥x轴于点H，∵AH=2，HB=HO+OB=6，∴tan∠ABH==．∴∠ABH=30°，∵∠AOM=150°，∴∠OAM＜30°，∴∠OMA＜30°，∴点C不可能在点B的左侧，只能在点B的右侧．∴∠ABC=180°﹣∠ABH=150°，∵∠AOM=150°，∴∠AOM=∠ABC．∴△ABC与△AOM相似，有如下两种可能：①△BAC与∽△OAM，②△BAC与∽△OMA∵OD=2，ME=，∴OM=，∵AH=2，BH=6，∴AB=4．①当△BAC与∽△OAM时，由=得，解得BC=4．∴C1（8，0）．②当△BAC与∽△OMA时，由=得，解得BC=12．∴C2（16，0）．综上所述，如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，则点C的坐标为（8，0）或（16，0）．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B （6，0）两点，交y轴于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y 轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，0），B（6，0），；∴，解得；∴抛物线的解析式为：；（2）易知抛物线的对称轴是x=4，把x=4代入y=2x，得y=8，∴点D的坐标为（4，8）；∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8；连接DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M；在Rt△MFD中，FD=8，MD=4，∴cos∠MDF=；∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°；∴劣弧EF的长为：；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b；∵直线AC经过点，∴，解得；∴直线AC的解析式为：；设点，PG交直线AC于N，则点N坐标为，∵S△PNA ：S△GNA=PN：GN；∴①若PN：GN=1：2，则PG：GN=3：2，PG=GN；即=；解得：m1=﹣3，m2=2（舍去）；当m=﹣3时，=；∴此时点P的坐标为；②若PN：GN=2：1，则PG：GN=3：1，PG=3GN；即=；解得：m1=﹣12，m2=2（舍去）；当m=﹣12时，=；∴此时点P的坐标为；综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分．4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、O、B三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由OB=2，可知B（2，0），将A（﹣2，﹣4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得解得：∴抛物线的函数表达式为．答：抛物线的函数表达式为．（2）由，可得，抛物线的对称轴为直线x=1，且对称轴x=1是线段OB的垂直平分线，连接AB交直线x=1于点M，M点即为所求．∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴AB=∴MO+MA的最小值为．答：MO+MA的最小值为．（3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线x=1对称，由A（﹣2，﹣4），得P（4，﹣4），则得梯形OAPB．②若OA∥BP，设直线OA的表达式为y=kx，由A（﹣2，﹣4）得，y=2x．设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=﹣4，∴直线BP的表达式为y=2x﹣4由，解得x1=﹣4，x2=2（不合题意，舍去）当x=﹣4时，y=﹣12，∴点P（﹣4，﹣12），则得梯形OAPB．③若AB∥OP，设直线AB的表达式为y=kx+m，则，解得，∴AB的表达式为y=x﹣2．∵AB∥OP，∴直线OP的表达式为y=x．由，得x2=0，解得x=0，（不合题意，舍去），此时点P不存在．综上所述，存在两点P（4，﹣4）或P（﹣4，﹣12）使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．答：在此抛物线上，存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形，点P的坐标是（4，﹣4）或（﹣4，﹣12）．5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3），∴，解得，所以，抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+1；（2）如图，过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D，∵A（0，1），B （4，3），∴OA=1，OC=4，BC=3，根据勾股定理，OB===5，∵∠OAD+∠AOD=90°，∠AOD+∠BOC=90°，∴∠OAD=∠BOC，又∵∠ADO=∠OCB=90°，∴△AOD∽△OBC，∴==，即==，解得OD=，AD=，∴BD=OB﹣OD=5﹣=，∴tan∠ABO===；（3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数），则，解得，所以，直线AB的解析式为y=x+1，设点M（a，﹣a2+a+1），N（a，a+1），则MN=﹣a2+a+1﹣a﹣1=﹣a2+4a，∵四边形MNCB为平行四边形，∴MN=BC，∴﹣a2+4a=3，整理得，a2﹣4a+3=0，解得a1=1，a2=3，∵MN在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∴a=1，∴﹣12+×1+1=，∴点M的坐标为（1，）．6．如图1，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将x=2，y=2代入抛物线的解析式得：﹣×4×（2﹣m）=2，解得：m=4，经检验：m=4是分式方程的解．∴m的值为4．（2）y=0得：0=﹣（x+2）（x﹣m），解得x=﹣2或x=m，∴B（﹣2，0），C（m，0）．由（1）得：m=4，∴C（4，0）．将x=0代入得：y=﹣×2×（﹣m）=2，∴E（0，2）．∴BC=6，OE=2．∴S=BC•OE=×6×2=6．△BCE（3）如图1所示：连接EC交抛物线的对称轴于点H，连接BH，设对称轴与x 轴的交点为P．∵x=﹣，∴抛物线的对称轴是直线x=1．∴CP=3．∵点B与点C关于x=1对称，∴BH=CH．∴BH+EH=EH+HC．∴当H落在线段EC上时，BH+EH的值最小．∵HP∥OE，∴△PHC∽△EOC．∴，即．解得HP=．∴点H的坐标为（1，）．（4）①如图2，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．∵BF∥EC，∴∠BCE=∠FBC．∴当，即BC2=CE•BF时，△BCE∽△FBC．设点F的坐标为（x，﹣（x+2）（x﹣m）），由，得．解得x=m+2．∴F′（m+2，0）．∵∠BCE=∠FBC．∴，得，解得：．又∵BC2=CE•BF，∴，整理得：0=16．此方程无解．②如图3，作∠CBF=45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，∵OE=OB，∠EOB=90°，∴∠EBO=45°．∵∵∠CBF=45°，∴∠EBC=∠CBF，∴当，即BC2=BE•BF时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′=BF′，得（x+2）（x﹣m）=x+2，解得x=2m．∴F′（2m，0）．∴B F′=2m+2，∴BF=2m+2．由BC2=BE•BF，得（m+2）2=2×（2m+2）．解得．∵m＞0，∴m=2+2．综上所述，点m的值为2+2．7．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为（b，0），点C的坐标为（0，）（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0，即y=x2﹣（b+1）x+=0，解得：x=1或b，∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，∴点B的坐标为（b，0），令x=0，解得：y=，∴点C的坐标为（0，），故答案为：（b，0），（0，）；（2）存在，假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP．=S△PCO+S△POB=••x+•b•y=2b，则S四边形PCOB∴x+4y=16．过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．∴四边形PEOD是矩形．∴∠EPD=90°．∴∠EPC=∠DPB．∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y．由解得由△PEC≌△PDB得EC=DB，即﹣=b﹣，解得b=＞2符合题意．∴P的坐标为（，）；（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．∵b＞2，∴AB＞OA，∴∠Q0A＞∠ABQ．∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，由QA⊥x轴知QA∥y轴．∴∠COQ=∠OQA．∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．（I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．∴AQ=CO=．由AQ2=OA•AB得：（）2=b﹣1．解得：b=8±4．∵b＞2，∴b=8+4．∴点Q的坐标是（1，2+）．（II）当∠OQC=90°时，△OCQ∽△QOA，∴=，即OQ2=OC•AQ．又OQ2=OA•OB，∴OC•AQ=OA•OB．即•AQ=1×b．解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，∴点Q的坐标是（1，4）．∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB 中的任意两个三角形均相似．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．【解答】解：（1）A（1，4）．由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）2+4，解得，a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．（2）∵A（1，4），C（3，0），∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．∵点P（1，4﹣t）．∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣．∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．又∵点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣，即S=S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG（2﹣）△ACG=•2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．的最大值为1．当t=2时，S△ACG（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由四边形CQEH是菱形知CQ=CE=t，根据△APE∽△ABC，知=，即=，解得t=20﹣8；第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由四边形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t，EM=2﹣t，MQ=4﹣2t．则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2﹣t）2+（4﹣2t）2=t2，解得，t1=，t2=4（不合题意，舍去）．综上所述，t=20﹣8或t=．。

九年级上册上册数学压轴题(培优篇)(Word版含解析)

你能和小菲一起解决下列各问题吗？（以下各问只要求写出必要的计算过程和简洁的文字说明即可。

）（1）如图①，小菲同学把一个边长为1的正三角形纸片（即△OAB ）放在直线l 1上，OA 边与直线l 1重合，然后将三角形纸片向右翻转一周回到初始位置，求顶点O 所经过的路程；并求顶点O 所经过的路线；图①（2）小菲进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC 放在直线l 2上，OA 边与直线l 2重合，然后将正方形纸片向右翻转若干次．她提出了如下问题：图②问题①：若正方形纸片OABC 接上述方法翻转一周回到初始位置，求顶点O 经过的路程；问题②：正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是41202π+。

北师大版数学九年级上学期期末备考压轴题培优：反比例函数(含答案)

期末备考压轴题培优：反比例函数1．如图，在直角坐标系xOy中，直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1．（1）求m、n的值；（2）求直线AC的解析式．（3）点P在双曲线上，且△POC的面积等于△ABC面积的，求点P的坐标．2．如图，一次函数y＝﹣x+的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1．（1）求反比例函数的解析式；并直接写出不等式≤﹣+的解集．（2）在x轴上求一点P，使|P A﹣PB|的值最大，并求出其最大值和P点坐标．（3）连接OB，求三角形AOB的面积．3．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A （1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；（3）直接写出不等式﹣x+3＜的解集．4．已知A（a，﹣2a）、B（﹣2，a）两点是反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△ABO的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．5．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；（3）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．6．如图所示，双曲线y＝（x＞0，k＞0）与直线y＝ax+b（a≠0，b为常数）交于A（2，4），B（m，2）两点．（1）求m的值；（2）若C点坐标为（n，0），当AC+BC的值最小时，求出n的值；（3）求△AOB的面积．7．如图，在平面直角坐标系xOy内，点P在直线y＝x上（点P在第一象限），过点P作P A⊥x轴，垂足为点A，且OP＝2．（1）求点P的坐标；（2）如果点Q在直线OP上，且S＝6，求点Q的坐标；△APQ（3）如果点M和点P都在反比例函数y＝（k≠0）图象上，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，如果△MNA和△OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），求点M 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC 的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．9．如图，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝ax+b的图象相交于点A（1，4）和B（﹣2，n）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）请根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数（x＞0）的图象经过点A，动直线x＝t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．（1）求k的值；（2）当t＝4时，求△BMA面积；（3）若MA⊥AB，求t的值．12（1）求A、B两点的坐标和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．12．如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求E点的坐标；②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是等腰三形，求所有满足条件的m的值．12两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．14．如图，一次函数y＝k1x﹣3（k1＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函y＝（k2＞0）的图象交于C，D两点，作CE⊥y轴，垂足为点E，作DF⊥y轴，垂足为点F，已知CE＝1．（1）①直接写出点C的坐标（用k1来表示）②k2﹣k1＝；（2）若B为AC的中点，求反比例函数的表达式；（3）在（2）的条件下，设点M是x轴负半轴上一点，将线段MF绕点M旋转90°，得到线段MN，当点M滑动时，点N能否在反比例函数的图象上？如果能，求出点N的坐标；如果不能，请说明理由．15．对于一个函数给出如下定义：对于函数y，当a≤x≤b，函数值y满足c≤y≤d，且满足k（b﹣a）＝d﹣c，则称此函数为“k属函数”．例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3，﹣9≤y≤﹣3，则k（3﹣1）＝﹣3﹣（﹣9），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属函数”．（1）反比例函数y＝（1≤x≤5）为“k属函数”，求k的值；（2）若一次函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“2属函数”，求a的值．16．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数的图象于点A（2，﹣4）和点B（n，﹣2），交x轴于点C．（1）求这两个函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）请直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的范围．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于P （2，4），已知点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），连结AB．将Rt△AOB沿OP方向平移，得到△A′PB′，点O与点P是对应点．过点A′作A′C∥y轴交双曲线于点C．（1）求k1、k2的值；（2）求点C的坐标；（3）判断四边形PCA′B′是否为平行四边形，请说明理由．18．探索函数y＝x+（x＞0）的图象和性质．已知正比例函数y＝x与反比例函数y＝在第一象限内的图象如图所示．若P为函数y ＝x+（其中x＞0）图象上任意一点，过P作PC垂直于x轴且与已知函数的图象、x 轴分别交于点A、B、C，则PC＝x+＝AC+BC，从而发现下述结论：“点P可以看作点A沿竖直方向向上平移BC个长度单位（P A＝BC）而得到”．（1）根据该结论，在图中作出函数y＝x+（x＞0）图象上的一些点，并画出该函数的图象；（2）观察图象，写出函数y＝x+（x＞0）两条不同类型的性质．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点A（﹣1，6），直线y ＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．（1）求k，m的值；（2）过第二象限的点P（n，﹣2n）作平行于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数的图象于点D．①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；②若PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．参考答案1．解：（1）∵直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣1，a）、B两点，∴B点横坐标为1，即C（1，0），∵△AOC的面积为1，∴A（﹣1，2），将A（﹣1，2）代入y＝mx，y＝可得m＝﹣2，n＝﹣2；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵y＝kx+b经过点A（﹣1，2）、C（1，0）∴，解得k＝﹣1，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1；（3）∵A（﹣1，2），C（1，0），∴B（1，﹣2），∴S＝×2×2＝2，△ABC∵△POC的面积等于△ABC面积的，＝，∴S△POC∵S＝OC•|y P|，△POC∴＝•|y P|，解得y P＝±1，∴P（﹣2，1）或（2，﹣1）．2．解：（1）∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1，∴|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2，故反比例函数的解析式为：y＝，由，解得或，∴A（1，2），B（4，），∴不等式≤﹣+的解集为1≤x≤4或x≤0；（2）一次函数y＝﹣x+的图象与x轴的交点即为P点，此时|P A﹣PB|的值最大，最大值为AB的长．∵A（1，2），B（4，），∴AB＝＝，∴|P A﹣PB|的最大值为；∵一次函数y＝﹣x+，令y＝0，则﹣x+＝0，解得x＝5，∴P点坐标为（5，0）；（3）∵P （5，0），∴OP ＝5，∴S △AOB ＝S △AOP ﹣S △BOP ＝×5×2﹣＝．3．解：（1）把点A （1，a ）代入y ＝﹣x +3，得a ＝2，∴A （1，2）把A （1，2）代入反比例函数y ＝，∴k ＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为y ＝；（2）∵一次函数y ＝﹣x +3的图象与x 轴交于点C ，∴C （3，0），设P （x ，0），∴PC ＝|3﹣x |，∴S △APC ＝|3﹣x |×2＝5，∴x ＝﹣2或x ＝8，∴P 的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；（3）解得或，∴B （2，1），由图象可知：不等式﹣x +3＜的解集是0＜x ＜1或x ＞2．4．解：（1）∵A （a ，﹣2a ）、B （﹣2，a ）两点在反比例函数y ＝的图象上， ∴m ＝﹣2a •a ＝﹣2a ，解得a ＝1，m ＝﹣2，∴A （1，﹣2），B （﹣2，1），反比例函数的解析式为y ＝﹣．将点A （1，﹣2）、点B （﹣2，1）代入到y ＝kx +b 中，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x ﹣1．（2）在直线y ＝﹣x ﹣1中，令y ＝0，则﹣x ﹣1＝0，解得x ＝﹣1，∴C （﹣1，0），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝×1×2+×1＝；（3）观察函数图象，发现：当x ＜﹣2或0＜x ＜1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，∴不等式kx +b ﹣＞0的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜1．5．解：（1）∵直线l 1：y ＝﹣x 经过点A ，A 点的纵坐标是2，∴当y ＝2时，x ＝﹣4，∴A （﹣4，2），∵反比例函数y ＝的图象经过点A ，∴k ＝﹣4×2＝﹣8，∴反比例函数的表达式为y ＝﹣；（2）∵直线l 1：y ＝﹣x 与反比例函数y ＝的图象交于A ，B 两点， ∴B （4，﹣2）， ∴不等式﹣x ＞的解集为x ＜﹣4或0＜x ＜4；（3）如图，设平移后的直线l 2与x 轴交于点D ，连接AD ，BD ，∵CD ∥AB ，∴△ABC 的面积与△ABD 的面积相等，∵△ABC 的面积为30，∴S △AOD +S △BOD ＝30，即OD （|y A |+|y B |）＝30， ∴×OD ×4＝30，∴OD ＝15，∴D（15，0），设平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+b，把D（15，0）代入，可得0＝﹣×15+b，解得b＝，∴平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+．6．解：（1）把A（2，4）代入y＝（x＞0，k＞0），∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝，把B（m，2）代入y＝得，2＝，解得m＝4；（2）由（1）可知：A（2，4），B（4，2），∴B点关于x轴的对称点B′（4，﹣2），连接AB′，交x轴与C，此时AC+BC＝AB′，AC+BC的值最小，设直线AB′的解析式为y＝mx+t，把A（2，4），B′（4，﹣2）代入得，解得：，∴直线AB′的解析式为y＝﹣3x+10，把（n，0）代入得y＝﹣3n+10，∴n＝；（3）把A（2，4），B（4，2）代入y＝ax+b得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6，∴直线AB 与x 轴的交点C （6，0），∴S △AOB ＝S △AOC ﹣S △BOC ＝×6×4﹣×6×2＝6．7．解：（1）设AP ＝h ，则OA ＝2h ，由勾股定理得，OP 2＝AP 2+OA 2，即（2）2＝h 2+（2h ）2，解得，h ＝2，∴AP ＝h ＝2，则OA ＝2h ＝4，∴点P 的坐标为（4，2）；（2）设点Q 到AP 的距离为a ，由题意得，×2×a ＝6，解得，a ＝6，∴点Q 的横坐标为4﹣6或4+6，当x ＝4﹣6时，y ＝2﹣3，当x ＝4+6，y ＝2+3，综上所述，点Q 的坐标为（4﹣6，2﹣3）或（4+6，2+3）；（3））∵点P （4，2）在反比例函数y ＝的图象上，∴2＝，解得，k ＝8，∴y ＝，在Rt △P AO 中，∠P AO ＝90°，P A ＝2，AO ＝4，∵∠MNA ＝90°，∴当△MNA 和△APO 全等时，分以下两种情况：①点N 在点A 的左侧时，MN ＝AO ＝4，AN ＝AP ＝2，∴ON ＝OA ﹣AN ＝4﹣2＝2，∴M（2，4），且点M在反比例函数y＝的图象上．②点N在点A的右侧时，AO＝MN＝4，AN＝AP＝2，∴ON＝AN+AO＝4+2＝6．∴M（6，4），但点M不在反比例函数y＝的图象上，综合①②，满足条件的点M的坐标为（2，4）．8．解：（1）作BD⊥OC于D，∵△BOC是等边三角形，∴OB＝OC＝2，OD＝OC＝1，∴BD＝＝，＝OD×BD＝，∴S△OBDS＝|k|，△OBD∴|k|＝，∵反比例函数y＝（k≠0）的图象在一三象限，∴k＝，∴反比例函数的表达式为y＝；＝OC•BD＝＝，（2）∵S△OBC∴S＝3﹣＝2，△AOC＝OC•y A＝2，∵S△AOC∴y A＝2，把y＝2代入y＝，求得x＝，∴点A的坐标为（，2）．9．解：（1）∵反比例函数y1＝的图过点A（1，4），∴4＝，即k＝4，∴反比例函数的解析式为：y1＝，∵反比例函数y1＝的图象过点B（﹣2，n），∴n＝＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），∵一次函数y2＝ax+b的图象过点A（1，4）和点B（﹣2，﹣2），∴，解得：∴一次函数的解析式为：y2＝2x+2；（2）由图象可知：当﹣2＜x＜0或x＞1．10．解：（1）∵反比例函数（x＞0）的图象经过点A，∴1＝，解得k＝8；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把点A（8，1），B（0，﹣3）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，当t＝4时，则M（4，2），N（4，﹣1），∴MN＝2﹣（﹣1）＝3，∴S△BMA＝×3×8＝12；（3）由题意可知M（t，），∵A（8，1），B（0，﹣3），∴MA2＝（t﹣8）2+（﹣1）2，MB2＝t2+（+3）2，AB2＝82+（1+3）2＝80，∵MA⊥AB，∴MB2＝MA2+AB2，即t2+（+3）2＝（t﹣8）2+（﹣1）2+80，整理得：2t+＝17，解得t＝或t＝8（舍去），故若MA⊥AB，t的值为．11．解：（1）分别把A（1，m）、B（4，n）代入y1＝﹣x+5，得m＝﹣1+5＝4，n＝﹣4+5＝1，所以A点坐标为（1，4），B点坐标为（4，1），把A（1，4）代入y2＝，得k＝1×4＝4，所以反比例函数解析式为y2＝；（2）如图，设一次函数图象与x轴交于点C，当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝5，则C点坐标为（5，0），所以S△AOB ＝S△AOC﹣S△BOC＝×5×4﹣×5×1＝7.5．12．解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，∴﹣2×0+b＝8，∴b＝8，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，∴a＝4，∴B（2，4），将B（2，4）代入反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，∴反比例函数解析式为y＝，当m＝3时，将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，∴D（2+3，4），即D（5，4），∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，∴E（5，）；②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，∴CD＝AB，AC＝BD＝m，∵A（0，8），B（2，4），∴C（m，8），D（（m+2，4），∵△BCD是以BC为腰的等腰三形，当BC＝CD时，BC＝AB，∴点B在线段AC的垂直平分线上，∴m＝2×2＝4，当BC＝BD时，B（2，4），C（m，8），∴BC＝，∴＝m，∴m＝5，当BD＝AB时，m＝AB＝＝2，综上所述，△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5或2．13．解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y2＝的图象上，∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y2＝．（2）∵点B（﹣4，n）在反比例函数y2＝的图象上，∴n＝＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣4，﹣2）．观察函数图象，发现：使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围为x≤﹣4或0＜x≤2．（3）将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入到y1＝ax+b中，得：解得：，∴一次函数的解析式为y＝x+2，令y＝0，求得x＝﹣2，∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝×2×2+2×4＝6．14．解：（1）如图1，∵CE ⊥y 轴于点E 且CE ＝1，∴C 的横坐标为1，当x ＝﹣1时，y ＝﹣k 1﹣3∴C （﹣1，﹣k 1﹣3），∵C 在反比例函数的图象上，∴﹣1×（﹣k 1﹣3）＝k 2，∴k 2﹣k 1＝3；故答案为（﹣1，﹣k 1﹣3），3；（2）如图1，∵CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，∴CE ∥DF ，∵B 为AC 的中点，∴AB ＝BC ，∵∠AOB ＝∠BEC ＝90°，∠ABO ＝∠CBE ，∴△ABO ≌△CBE （AAS ），∴AO ＝CE ＝1，∴A （1，0），当x ＝1时，y ＝k 1+3＝0，∴k 1＝3，由（1）得：k 2﹣k 1＝3，∴k 2＝6；∴反比例函数的解析式：y ＝；（3）当点M 滑动时，点N 能在反比例函数的图象上如图2，MF ＝MN ，∠FMN ＝90°过N 作NH ⊥x 轴于H ，易得：△MNH ≌△FMO ，∴FO ＝MH ，OM ＝NH ，由（2）知：反比例函数的解析式：y＝；设D（m，），∵tan∠ABO＝＝＝，∴＝，解得：m＝2，m＝﹣1（舍去），∴N（2，3），∴OF＝MH＝3，设M（x，0），∴N（x+3，x），当点N落在反比例函数的图象上时，x（x+3）＝6，x2+3x﹣6＝0，解得x＝（舍去），x＝，∴点N的坐标为（，）．15．解：（1）∵反比例函数y＝中，k＝5＞0，∴y随x的增大而减小，当1≤x≤5时，1≤y≤5，∴k（5﹣1）＝5﹣1，∴k＝1；（2）①a＞0时，对于一次函数y＝ax﹣1，y随x增大而增大，当1≤x≤5时，a﹣1≤y≤5a﹣1，∴k（5﹣1）＝4a，∵k＝2，∴a＝2；②当a＜0时，y随x增大而减小，当1≤x≤5时，a﹣1≤y≤5a﹣1，∴k（5﹣1）＝﹣4a，∵k＝2，∴a＝﹣2．16．解：（1）把A（2，﹣4）的坐标代入得：，∴4﹣2m＝﹣8，反比例函数的表达式是；把B（n，﹣2）的坐标代入得，解得：n＝4，∴B点坐标为（4，﹣2），把A（2，﹣4）、B（4，﹣2）的坐标代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数表达式为y＝x﹣6；（2）当y＝0时，x＝0+6＝6，∴OC＝6，∴△AOB的面积＝×6×4﹣×6×2＝6；（3）由图象知，一次函数值大于反比例函数值的x的范围为0＜x＜2或x＞4．17．解：（1）∵直线y＝k1x过点P（2，4），∴4＝2k1，∴k1＝2，∵双曲线y＝（x＞0）过点P（2，4），∴k2＝2×4＝8；（2）由平移知，点O（0，2）向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点P（2，4），∴点A（4，0）也向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点A'（6，4），∵A'C∥y轴，∴点C的横坐标为6，由（1）知，k2＝8，双曲线的解析式为y＝，∵点C在双曲线y＝上，∴y＝＝，∴C（6，）；（3）四边形PCA′B′不是平行四边形，理由：∵B（0，3），∴OB＝3，由平移知，PB'＝OB＝3，PB'∥y轴，∵A'C∥y轴，∴PB'∥A'C，由（2）知，A'（6，4），C（6，），∴A'C＝4﹣＝≠PB'，∴四边形PCA′B′不是平行四边形．18．解：（1）如图所示：（2）函数两条不同类型的性质是：①图象是轴对称图形：②当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大；③当x＝1时，函数y＝x+（x＞0）的最小值是2；19．解：（1）∵函数的图象经过点A（﹣1，6），∴k＝﹣6．∵直线y＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0），∴m＝﹣2．（2）①判断：PD＝2PC．理由如下：当n＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2），∵y＝﹣2x﹣2交于于点C，且点P（﹣1，2）作平行于x轴的直线，∴点C的坐标为（﹣2，2），∵函数的图象于点D，且点P（﹣1，2）作平行于x轴的直线，点D的坐标为（﹣3，2）．∴PC＝1，PD＝2．∴PD＝2PC．②当PD＝2PC时，有两种情况，分别为：y＝2，或者y＝6．若PD≥2PC，0＜y≤2，或y≥6即0＜﹣2n≤2，或﹣2n≤6解得﹣1≤n＜0．或n≤﹣3。

九年级数学上册几何模型压轴题(培优篇)(Word版含解析)

九年级数学上册几何模型压轴题（培优篇）（Word 版含解析）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；（2）由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1）PM PN =，PM PN ⊥；已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得 12PM EC =，12PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，AD AE =可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=︒即得PM PN =，PM PN ⊥故答案为：PM PN =；PM PN ⊥．（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得BAD CAE ∠=∠，又AB AC =，AD AE =∴BAD CAE ∆∆≌∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠， ∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点∴PM 是DCE ∆的中位线∴12PM CE =，且//PM CE ，同理可证12PN BD =，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠，∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠，∴90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，即PMN ∆为等腰直角三角形．（3）把ADE ∆绕点A 旋转的如图的位置，此时1()72PN AD AB =+=，1()72PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥ 所以PMN ∆面积最大值为1497722⨯⨯=．【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．2．综合与探究：如图1，Rt AOB 的直角顶点O 在坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴正半轴上，4OA =，2OB =，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，抛物线23y ax x c =++经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ，直线AC 与x 轴交于点H ．（1）求点C 的坐标及抛物线的表达式；（2）如图2，已知点G 是线段AH 上的一个动点，过点G 作AH 的垂线交抛物线于点F （点F 在第一象限），设点G 的横坐标为m ．①点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为________；②如图3，当直线FG 经过点B 时，求点F 的坐标，判断四边形ABCF 的形状并证明结论；③在②的前提下，连接FH ，点N 是坐标平面内的点，若以F ，H ，N 为顶点的三角形与FHC 全等，请直接写出点N 的坐标．【答案】（1）点C 的坐标为(6,2)，21322y x x =-++；（2）①143m -+；②点F 的坐标为(4,6)，四边形ABCF 为正方形，证明见解析；③点N 的坐标为(10,4)或4226,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或384,55⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）根据已知条件与旋转的性质证明ABO BCD ≌，根据全等三角形的性质得出点C 的坐标，结合点E 的坐标，根据待定系数法求出抛物线的表达式；（2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+，由点A 、C 的坐标求出直线AC 的表达式，进而得解；②过点G 作GM x ⊥轴于点M ，过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与DC 的延长线交于点Q ，根据等腰三角形三线合一得出AG CG =，结合①由平行线分线段成比例得出点G 的坐标，根据待定系数法求出直线BG 的表达式，结合抛物线的表达式求出点F ；利用勾股定理求出AB BC CF FA ===，结合90ABC ︒∠=可得出结论； ③根据直线AC 的表达式求出点H 的坐标，设点N 坐标为(,)s t ，根据勾股定理分别求出2FC ，2CH ，2FN ，2NH ，然后分两种情况考虑：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH ＝CH ，若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，分别列式求解即可．【详解】解：（1）4=OA ，2OB =，∴点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ，AB BC ∴=，90ABC ︒∠=，90ABO DBC ︒∴∠+∠=，在Rt AOB 中，90ABO OAB ︒∴∠+∠=，=OAB DBC ∴∠∠，CD x ⊥轴于点D ，90BDC ︒∴∠=，90AOB BDC ︒∴∠=∠=．AB BC =，ABO BCD ∴△≌△，2CD OB ∴==，4BD OA ==，6OB BD ∴+=，∴点C 的坐标为(6,2)，∵抛物线23y ax x c =++的图象经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ， 236182c a c =⎧∴⎨++=⎩，解得，122a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的表达式为21322y x x =-++；（2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+，∵直线AC 经过点()6,2C ，(0,4)A ，∴624k b b +=⎧⎨=⎩，解得，134k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即143y x =-+， ∴点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为：143m -+，故答案为：143m -+．②过点G 作GM x ⊥轴于点M ，OM m ∴=，143GM m =-+， AB BC =，BG AC ⊥，AG CG ∴=，90AOB GMH CDH ︒∠=∠=∠=，OA GMCD ∴， 1OM AG MD GC∴==， 132OM MD OD ∴===， 3m ∴=，1433m -+=，∴点G 为(3,3)，设直线BG 的表达式为y kx b =+，将(3,3)G 和(2,0)B 代入表达式得，2033k b k b +=⎧⎨+=⎩， 36k b =⎧∴⎨=-⎩，即表达式为36y x =-，点F 为直线BG 和抛物线的交点，∴得2132362x x x -++=-， 14x ∴=，24x =-（舍去），∴点F 的坐标为(4,6)，过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与DC 的延长线交于点Q ，4PF ∴=，2AP =，2FQ =，4CQ =，在Rt AFP △中和Rt FCQ △中，根据勾股定理，得25AF FC ==，同理可得25AB BC ==，AB BC CF FA ∴===，∴四边形ABCF 为菱形，90ABC ︒∠=，∴菱形ABCF 为正方形；③∵直线AC ：143y x =-+与x 轴交于点H ，∴1403x -+=，解得，x ＝12，∴(12,0)H ， ∴222(64)(26)20FC =-+-=，222(126)(02)40CH =-+-=，设点N 坐标为(,)s t ，∴222(4)(6)FN s t =-+-，222(12)(0)NH s t =-+-，第一种情况：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH ＝CH ， ∴2222(4)(6)20(12)40s t s t ⎧-+-=⎨-+=⎩，解得，11425265s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2262s t =⎧⎨=⎩（即点C ）， ∴4226,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭；第二种情况：若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，∴2222(4)(6)40(12)20s t s t ⎧-+-=⎨-+=⎩，解得，1138545s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22104s t =⎧⎨=⎩， ∴384,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭或(10,4)N ，综上所述，以F ，H ，N 为顶点的三角形与△FHC 全等时，点N 坐标为(10,4)或4226,55⎛⎫⎪⎝⎭或384,55⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题是函数与几何的综合题，考查了待定系数法求函数的表达式，全等三角形的判定与性质，菱形与正方形的判定，旋转的性质，勾股定理等知识，其中对全等三角形存在性的分析，因有一条公共边，可对另外两边进行分类讨论，本题有一定的难度，是中考压轴题．3．(1)如图①，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD ．①求证：四边形BFDE 是菱形；②直接写出∠EBF 的度数；(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，点G 、I 分别在BF 、BE 边上，且BG=BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH ＝3FH ；（3）EG 2＝AG 2+CE 2．【解析】【分析】（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题．（2）IH ＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，∴∠EDO ＝∠FBO ，在△DOE 和△BOF 中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△DOE ≌△BOF ，∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，∴EB＝ED，∴四边形EBFD是菱形．②∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠EBD，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∴∠ABD＝2∠ADB，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°，∴∠ABE＝∠EBO＝∠OBF＝30°，∴∠EBF＝60°．（2）结论：IH＝3FH．理由：如图2中，延长BE到M，使得EM＝EJ，连接MJ．∵四边形EBFD是菱形，∠B＝60°，∴EB＝BF＝ED，DE∥BF，∴∠JDH＝∠FGH，在△DHJ和△GHF中，DHG GHFDH GHJDH FGH∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△DHJ≌△GHF，∴DJ＝FG，JH＝HF，∴EJ＝BG＝EM＝BI，∴BE＝IM＝BF，∵∠MEJ＝∠B＝60°，∴△MEJ是等边三角形，∴MJ＝EM＝NI，∠M＝∠B＝60°在△BIF和△MJI中，BI MJB MBF IM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BIF≌△MJI，∴IJ＝IF，∠BFI＝∠MIJ，∵HJ＝HF，∴IH⊥JF，∵∠BFI+∠BIF＝120°，∴∠MIJ+∠BIF＝120°，∴∠JIF＝60°，∴△JIF是等边三角形，在Rt△IHF中，∵∠IHF＝90°，∠IFH＝60°，∴∠FIH＝30°，∴IH＝3FH．（3）结论：EG2＝AG2+CE2．理由：如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，∵∠FAD+∠DEF＝90°，∴AFED四点共圆，∴∠EDF＝∠DAE＝45°，∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠EDC＝45°，∵∠ADF＝∠CDM，∴∠CDM+∠CDE＝45°＝∠EDG，在△DEM和△DEG中，DE DEEDG EDMDG DM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DEG≌△DEM，∴GE＝EM，∵∠DCM＝∠DAG＝∠ACD＝45°，AG＝CM，∴∠ECM＝90°∴EC2+CM2＝EM2，∵EG＝EM，AG＝CM，∴GE2＝AG2+CE2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.4．如图，△ABC和△DEC都是等腰三角形，点C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F 为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当D点在BC上时，BE与CF的数量关系是__________；（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转90°，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，把△DEC绕C点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如成立，请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．【答案】（1）BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据“SAS”证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE，又因为AD=2CF，从而BE=2CF；（2）由点F是AD中点，可得AD=2DF，从而AC= 2DF+CD，又由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，可知BC=2DF+CE，所以BE= 2（DF+CE），CF= DF+CD，从而BE=2CF；（3）延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，可证△CDF≌△GAF，再证明△BCE≌△ACG，从而BE=CG=2CF成立.解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=CE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，在Rt△ACD中，点F是AD中点，∴AD=2CF，∴BE=2CF，故答案为BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由：∵点F是AD中点，∴AD=2DF，∴AC=AD+CD=2DF+CD，∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∴BC=2DF+CE，∴BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2（DF+CE），∵CF=DF+CD=DF+CD，∴BE=2CF；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由：如图3，延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，∵点F是AD中点，∴AF=DF，在△CDF和△GAF中，，∴△CDF≌△GAF，∴AG=CD=CE，∠CDF=∠GAF，∴∠CAG=∠CAD+∠GAF=∠CAD+∠ADC=180°﹣∠ACD，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=360°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，∴∠CAG=∠BCE，连接BE，在△BCE和△ACG中，，∴△BCE≌△ACG，∴BE=CG=2CF，即：BE=2CF．点睛：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质，考查了学生综合运用知识的能力，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．5．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，则BD ＝CE , (1)在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题： (2)如图2，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BDC ＝60°，求证：AD+CD ＝BD ；(3)如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝m°，点E 为△ABC 外一点，点D 为BC 中点，∠EBC ＝∠ACF ，ED ⊥FD ，求∠EAF 的度数（用含有m 的式子表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =12m°. 【解析】分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC ，只要证明△DAB ≌△EAC 即可；（2）如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE ．首先证明△BDE 是等边三角形，再证明△ABD ≌△CBE 即可解决问题；（3）如图3中，将AE 绕点E 逆时针旋转m°得到AG ，连接CG 、EG 、EF 、FG ，延长ED 到M ，使得DM=DE ，连接FM 、CM ．想办法证明△AFE ≌△AFG ，可得∠EAF=∠FAG=12m°. 详（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE ， ∴∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC ， ∴BD=EC ．（2）证明：如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE ．∵DB=DE，∠BDC=60°，∴△BDE是等边三角形，∴∠BD=BE，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBE，∵AB=BC，∴△ABD≌△CBE，∴AD=EC，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD．∴AD+CD=BD．（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．由（1）可知△EAB≌△GAC，∴∠1=∠2，BE=CG，∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，∴△EDB≌△MDC，∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，∵∠EBC=∠ACF，∴∠MCD=∠ACF，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，∴△CFG≌△CFM，∴FG=FM，∵ED=DM，DF⊥EM，∴FE=FM=FG，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，∴∠EAF=∠FAG=12 m°．点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．6．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=12AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=12AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=12AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=12AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．7．两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．【解析】试题分析：（1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，即可推出答案；（2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；（3）连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案．试题解析：（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案为相等，垂直．（2）答：成立，证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，由（1）知：FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，∴FH=FG，FH⊥FG，∴（1）中的猜想还成立．（3）答：成立，结论是FH=FG ，FH ⊥FG ．连接AD ，BE ，两线交于Z ，AD 交BC 于X ，同（1）可证∴FH=12AD ，FH ∥AD ，FG=12BE ，FG ∥BE ， ∵三角形ECD 、ACB 是等腰直角三角形， ∴CE=CD ，AC=BC ，∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中AC BC ACD BCE CE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ACD ≌△BCE ， ∴AD=BE ，∠EBC=∠DAC ，∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB ， ∴∠DXB+∠EBC=90°， ∴∠EZA=180°﹣90°=90°，即AD ⊥BE ， ∵FH ∥AD ，FG ∥BE ， ∴FH ⊥FG ，即FH=FG ，FH ⊥FG ，结论是FH=FG ，FH ⊥FG.【点睛】运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．8．如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点. 分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG =2OD ，OE =2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ． (1)求证：DE ⊥AG ；(2)正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转角(0°< <360°)得到正方形，如图2．①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由．【答案】（1）DE⊥AG （2）①当∠为直角时，α=30°或150°.②315°【解析】分析：（1）延长ED交AG于点H，证明≌，根据等量代换证明结论；（2）根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到，分两种情况求出的度数；（3）根据正方形的性质分别求出OA和OF的长，根据旋转变换的性质求出AF′长的最大值和此时的度数．详解：如图1，延长ED交AG于点H，点O是正方形ABCD两对角线的交点，，，在和中，，≌，，，，，即；在旋转过程中，成为直角有两种情况：Ⅰ由增大到过程中，当时，，在中，sin∠AGO=，，，，，即；Ⅱ由增大到过程中，当时，同理可求，．综上所述，当时，或．如图3，当旋转到A、O、在一条直线上时，的长最大，正方形ABCD的边长为1，，，，，，，此时．点睛：考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数，旋转变换的性质的综合应用，有一定的综合性，注意分类讨论的思想.二、初三数学圆易错题压轴题（难）9．如图，抛物线的对称轴为轴，且经过(0，0)，()两点，点P在抛物线上运动，以P为圆心的⊙P经过定点A(0，2)，(1)求的值；(2)求证：点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交；(3)设⊙P与轴相交于M，N(＜)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．【答案】（1）a=，b=c=0；（2）证明见解析；（3）P的纵坐标为0或4+2或4﹣2．【解析】试题分析：（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可；（2）设P（x，y），表示出⊙P的半径r，进而与x2比较得出答案即可；（3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN 时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可．试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，∴抛物线的一般式为：y=ax2，∴=a（）2，解得：a=±，∵图象开口向上，∴a=，∴抛物线解析式为：y=x2，故a=，b=c=0；（2）设P（x，y），⊙P的半径r=，又∵y=x2，则r=，化简得：r=＞x2，∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设P（a，a2），∵PA=，作PH⊥MN于H，则PM=PN=，又∵PH=a2，则MH=NH==2，故MN=4，∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），又∵A（0，2），∴AM=，AN=，当AM=AN时，=，解得：a=0，当AM=MN时，=4，解得：a=2±2（负数舍去），则a2=4+2；当AN=MN时，=4，解得：a=﹣2±2（负数舍去），则a2=4﹣2；综上所述，P的纵坐标为0或4+2或4﹣2．考点：二次函数综合题．10．如图，矩形ABCD中，BC＝8，点F是AB边上一点（不与点B重合）△BCF的外接圆交对角线BD于点E，连结CF交BD于点G．（1）求证：∠ECG＝∠BDC．（2）当AB＝6时，在点F的整个运动过程中．①若BF＝22时，求CE的长．②当△CEG为等腰三角形时，求所有满足条件的BE的长．（3）过点E作△BCF外接圆的切线交AD于点P．若PE∥CF且CF＝6PE，记△DEP的面积为S1，△CDE的面积为S2，请直接写出12SS的值．【答案】（1）详见解析；（2182当BE为10，395或445时，△CEG为等腰三角形；（3）724.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ABD＝∠BDC，根据圆周角定理得出∠ABD＝∠ECG，即可证得结论；（2）根据勾股定理求得BD＝10，①连接EF，根据圆周角定理得出∠CEF＝∠BCD＝90°，∠EFC＝∠CBD．即可得出sin∠EFC＝sin ∠CBD ，得出35CE CD CF BD ==，根据勾股定理得到CF ＝CE ； ②分三种情况讨论求得：当EG ＝CG 时，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到∠GEC ＝∠GCE ＝∠ABD ＝∠BDC ，从而证得E 、D 重合，即可得到BE ＝BD ＝10；当GE ＝CE 时，过点C 作CH ⊥BD 于点H ，即可得到∠EGC ＝∠ECG ＝∠ABD ＝∠GDC ，得到CG ＝CD ＝6．根据三角形面积公式求得CH ＝245，即可根据勾股定理求得GH ，进而求得HE ，即可求得BE ＝BH ＋HE ＝395；当CG ＝CE 时，过点E 作EM ⊥CG 于点M ，由tan ∠ECM ＝43EM CM =．设EM ＝4k ，则CM ＝3k ，CG ＝CE ＝5k ．得出GM ＝2k ，tan ∠GEM ＝2142GM k EM k ==，即可得到tan ∠GCH ＝GH CH =12．求得HE ＝GH ＝125，即可得到BE ＝BH ＋HE ＝445；（3）连接OE 、EF 、AE 、EF ，先根据切线的性质和垂直平分线的性质得出EF ＝CE ，进而证得四边形ABCD 是正方形，进一步证得△ADE ≌△CDE ，通过证得△EHP ∽△FBC ，得出EH ＝16BF ，即可求得BF ＝6，根据勾股定理求得CF ＝10，得出PE ＝106，根据勾股定理求得PH ，进而求得PD ，然后根据三角形面积公式即可求得结果．【详解】（1）∵AB ∥CD ．∴∠ABD ＝∠BDC ，∵∠ABD ＝∠ECG ，∴∠ECG ＝∠BDC ．（2）解：①∵AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，∴BD ＝10，如图1，连结EF ，则∠CEF ＝∠BCD ＝90°，∵∠EFC ＝∠CBD ．∴sin ∠EFC ＝sin ∠CBD ， ∴35CE CD CF BD ==∴CF∴CE ②Ⅰ、当EG ＝CG 时，∠GEC ＝∠GCE ＝∠ABD ＝∠BDC ．∴E 与D 重合，∴BE ＝BD ＝10．Ⅱ、如图2，当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H，∴∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，∴CG＝CD＝6．∵CH＝BC CD24 BD5⋅=，∴GH185 =，在Rt△CEH中，设HE＝x，则x2+（245）2＝（x+185）2解得x＝75，∴BE＝BH+HE＝325+75＝395；Ⅲ、如图2，当CG＝CE时，过点E作EM⊥CG于点M．∵tan∠ECM＝43 EMCM=．设EM＝4k，则CM＝3k，CG＝CE＝5k．∴GM＝2k，tan∠GEM＝2142 GM kEM k==，∴tan∠GCH＝GHCH＝tan∠GEM＝12．∴HE＝GH＝12412 255⨯=，∴BE＝BH+HE＝321244 555+=，综上所述，当BE为10，395或445时，△CEG为等腰三角形；（3）解：∵∠ABC＝90°，∴FC是△BCF的外接圆的直径，设圆心为O，如图3，连接OE、EF、AE、EF，∵PE是切线，∴OE⊥PE，∵PE∥CF，∴OE⊥CF，∵OC＝OF，∴CE＝EF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，EF=2FC，∴∠ABD＝∠ECF＝45°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∴AB＝AD＝8，∴四边形ABCD是正方形，∵PE∥FC，∴∠EGF＝∠PED，∴∠BGC＝∠PED，∴∠BCF＝∠DPE，作EH⊥AD于H，则EH＝DH，∵∠EHP＝∠FBC＝90°，∴△EHP∽△FBC，∴16 EH PEBF FC==，∴EH＝16 BF，∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，∴△ADE≌△CDE，∴AE＝CE，∴AE＝EF，∴AF＝2EH＝13 BF，∴13BF+BF＝8，∴BF＝6，∴EH＝DH＝1，CF10，∴PE＝16FC＝53，∴PH4 3 =，∴PD＝47133 +=，∴1277 3824S PDS AD===．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，圆周角定理、三角形的面积以及相似三角形的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．11．在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB 于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.【答案】（1）12；（2）判断△OCD是直角三角形，证明见解析；（3）连接OC，交半圆O于点P，这时点P的关联图形的面积最大，理由风解析，82+【解析】试题分析：（1）判断出四边形AOPC是正方形，得到正方形的面积是4，根据BD⊥AB，BD=6，求出梯形OPDB的面积=()(26)2822OP DB OB+⨯+⨯==，二者相加即为点P的关联图形的面积是12．（2）根据CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，判断出△OCD是直角三角形．（3）要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，确定关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积﹣△PCD的面积，根据此思路，进行解答．试题解析：（1）∵A（﹣2，0），∴OA=2，∵P 是半圆O 上的点，P 在y 轴上，∴OP=2，∠AOP=90°，∴AC=2，∴四边形AOPC 是正方形，∴正方形的面积是4，又∵BD ⊥AB ，BD=6，∴梯形OPDB 的面积=()(26)2822OP DB OB +⨯+⨯==， ∴点P 的关联图形的面积是12．（2）判断△OCD 是直角三角形．证明：延长CP 交BD 于点F ，则四边形ACFB 为矩形，∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴∠OCD=90°，∴OC ⊥CD ，∴△OCD 是直角三角形．（3）连接OC 交半圆O 于点P ，则点P 即为所确定的点的位置．理由如下：连接CD ，梯形ACDB 的面积=()(26)41622AC DB AB +⨯+⨯==为定值，要使点P 的关联图形的面积最大，就要使△PCD 的面积最小，∵CD 为定长，∴P 到CD 的距离就要最小，连接OC ，设交半圆O 于点P ， ∵AC ⊥OA ，AC=OA ，∴∠AOC=45°，过C 作CF ⊥BD 于F ，则ACFB 为矩形， ∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴OC ⊥CD ，OC=2∴PC 在半圆外，设在半圆O 上的任意一点P′到CD 的距离为P′H ，则P′H+P′O ＞OH ＞OC ， ∵OC=PC+OP ，∴P′H ＞PC ，∴当点P 运动到半圆O 与OC 的交点位置时，点P 的关联图形的面积最大．∵CD=42CP=222，∴△PCD 的面积=()(26)41622AC DB AB +⨯+⨯==， ∴点P 的关联图形的最大面积是梯形ACDB 的面积﹣△PCD 的面积=16(842)842--=+考点：圆的综合题．12．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，12BC cm =，半圆O 的直径12DE cm =．点E 与点C 重合，半圆O 以2/cm s 的速度从左向右移动，在运动过程中，点D 、E 始终在BC 所在的直线上．设运动时间为()x s ，半圆O 与ABC ∆的重叠部分的面积为()2S cm ．（1）当0x =时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为_________；MN 的最小值为________．（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与ABC ∆重叠部分的面积S ；（3）当x 为何值时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切？【答案】（1）24cm ，()926cm ；（2）2(189)cm π+；（3）0x =或6x =或932x =-【解析】【分析】（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，261218()92()OB OC CB cm ON BN cm =+=+====，所以926()MN ON OM cm =-=；（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ，6OH OC OB ===，3602BOH HOC ∆阴影扇形（3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，所以0x =（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =，262OB OH ==，1262OC BC OB =-=-，移动的距离为612621862()cm +-=-，运动时间为18629322x -==-（秒)．【详解】解：解（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，45ABC ∠=︒，45NOB ∴∠=︒，在Rt ONB ∆中，61218()OB OC CB cm =+=+=292()ON BN OB cm ∴===， 926()MN ON OM cm ∴=-=-，故答案为24cm ，(926)cm -；（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ．BC 为直径，90CHB ∴∠=︒，45ABC ∠=︒45HCB ∴∠=︒，HC HB ∴=，OH BC ∴⊥，6OH OC OB ===，3602BOH HOC ∆阴影扇形（3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，0x ∴=（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =45B ∠=︒，90OHB ∠=︒，262OB OH ∴==，1262OC BC OB =-=-，移动的距离为612621862()cm +-=-，运动时间为1862932x -==-（秒)，综上所述，当x 为0或6或932-时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切．【点睛】本题考查了圆综合知识，熟练掌握勾股定理以及圆切线定理是解题的关键．要注意分类讨论.13．如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点G ，E 是CD 上一点，且BE ＝DE ，延长EB 至点P ，连接CP ，使PC ＝PE ，延长BE 与⊙O 交于点F ，连结BD ，FD ．（1）连结BC ，求证：△BCD ≌△DFB ；（2）求证：PC 是⊙O 的切线；（3）若tan F ＝23，AG ﹣BG ＝533，求ED 的值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE 133 【解析】【分析】（1）由BE=DE可知∠CDB=∠FBD，而∠BFD=∠DCB，BD是公共边，结论显然成立．（2）连接OC，只需证明OC⊥PC即可．根据三角形外角知识以及圆心角与圆周角关系可知∠PEC=2∠CDB=∠COB，由PC=PE可知∠PCE=∠PEC=∠COB，注意到AB⊥CD，于是∠COB+∠OCG=90°=∠OCG+∠PEC=∠OCP，结论得证．（3）由于∠BCD=∠F，于是tan∠BCD=tanF=23=BGCG，设BG=2x，则CG=3x．注意到AB是直径，连接AC，则∠ACB是直角，由射影定理可知CG2=BG•AG，可得出AG的表达式（用x表示），再根据AG-BG=533求出x的值，从而CG、CB、BD、CD的长度可依次得出，最后利用△DEB∽△DBC列出比例关系算出ED的值．【详解】解：（1）证明：因为BE＝DE，所以∠FBD＝∠CDB，在△BCD和△DFB中：∠BCD＝∠DFB∠CDB＝∠FBDBD＝DB所以△BCD≌△DFB（AAS）．（2）证明：连接OC．因为∠PEC＝∠EDB+∠EBD＝2∠EDB，∠COB＝2∠EDB，所以∠COB＝∠PEC，因为PE＝PC，所以∠PEC＝∠PCE，所以∠PCE＝∠COB，因为AB⊥CD于G，所以∠COB+∠OCG＝90°，所以∠OCG+∠PEC＝90°，即∠OCP＝90°，所以OC⊥PC，所以PC是圆O的切线．（3）因为直径AB⊥弦CD于G，所以BC＝BD，CG＝DG，所以∠BCD ＝∠BDC ，因为∠F ＝∠BCD ，tanF ＝23，所以∠tan ∠BCD ＝23＝BG CG，设BG ＝2x ，则CG ＝3x ．连接AC ，则∠ACB ＝90°，由射影定理可知：CG 2＝AG•BG ，所以AG ＝229922x C x G x G B ==，因为AG ﹣BG ，所以2392x x -=，解得x ，所以BG ＝2x CG ＝3x ＝所以BC =，所以BD ＝BC ，因为∠EBD ＝∠EDB ＝∠BCD ，所以△DEB ∽△DBC ，所以BDB DC DE D =，因为CD ＝2CG ＝所以DE ＝2DB CD =．【点睛】本题为圆的综合题，主要考查了垂径定理，圆心角与圆周角的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、射影定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等重要知识点．第（1）、（2）问解答的关键是导角，难度不大，第（3）问解答的要点在于根据射影定理以及条件当中告诉的两个等量关系求出BG 、CG 、BC 、BD 、CD 的值，最后利用“共边子母型相似”（即△DEB ∽△DBC ）列比例方程求解ED ．14．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ．（2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，。

华东师大版2024届九年级上学期期末综合培优检测数学试卷(含答案)

2023-2024学年华东师大版数学九年级上册期末综合培优检测试题一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项。

1.下列二次根式是最简二次根式的是( )A. B. C. D.2.计算的结果是( )A. B. C. D.3.用配方法解方程时，下列配方错误的是( )A. 化为B. 化为C. 化为D. 化为4.关于的方程有实数根，则的取值范围是( )A. B. C. 且 D. 且5.如图，在等腰三角形中，，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为，的面积为，则四边形的面积是( )A. B. C. D.6.如图，四边形中．，，为的平分线，，，分别是，的中点，则的长为( )A. B. C. D.7.如图，点，，在正方形网格的格点上，则等于( )A. B.C. D.8.若和两点关于轴对称，则的值是( )A. B. C. D.9.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，长米，坡度为：，的坡度为：，则长为米．( )A. B. C. D.10.用如图所示的两个转盘分别进行四等分和三等分，设计一个“配紫色“的游戏，任意转动两个指针，当指针停止，分别指向红色和蓝色时称为配紫色成功则能配紫色成功的概率为( )A. B. C. D.11.如图所示，有一天桥高为米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端延伸到处，使，则的长度约为参考数据：，( )A. 米B. 米C. 米D. 米12.如图，矩形的顶点，，，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转之后，点的坐标为( )A. B.C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

13.若、为实数，且，则______．14.设、为关于的方程的两个实数根，则______ ．15.如图，于点，于点，，当时，∽．16.如图，已知点，，以点为位似中心，按：的比例把缩小，则点的对应点的坐标为___________17.如图，在一笔直的海岸线上有相距的，两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在北偏东的方向上，则船到海岸线的距离是．三、计算题：本大题共2小题，共16分。

北师大版九年级数学上期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形(解析版)

期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形1．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N的坐标为（m，n）．（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣1）；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；（2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：连结MN：＝+1，＝﹣1）解：（1）如图1，以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵点B（﹣1，0），A（0，1），∴D（1，0），C（0，﹣1）；过N作NH⊥BD于h，∴∠NHB＝90°，∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴∠NBH＝60°，BM＝BN，∴NH＝BN＝t，∵0＜t≤2，∴点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；故答案为：（1，0），（0，﹣1）；0＜n≤；（2）如图所示，连接MN，过E作EH⊥BC，交CB的延长线于H，由旋转可得，BM＝BN，∠NBM＝60°，∴△BMN是等边三角形，∴MN＝BM，∵△ABE是等边三角形，∴BE＝BA，∠ABE＝60°，∴∠ABM＝∠EBN，∴△ABM≌△EBN（SAS），∴AM＝EN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，∴当E，N，M，C在同一直线上时，AM+BM+CN的最小值是CE的长，又∵∠ABE＝60°，∠ABH＝90°，∴∠EBH＝30°，∴Rt△EBH中，EH＝EB＝×2＝1，∴BH＝＝＝，∴CH＝2+，∴Rt△CEH中，CE＝＝＝＝；∴AM+BM+CM的最小值为+．2．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF 为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BD、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．解：（1）证明：，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴DM＝BD＝5．3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AD为边向外作等边△ADE，连接CE，交BD于F．（1）如图1，若AE＝，求DF的长；（2）如图2，点M为AB的延长线上一点，连接CM，连接FM且FM平分∠AMC，求证：CM＝MF﹣AM．解：（1）如图1，连接OE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，OA＝OD＝OB＝OC∵△ADE是等边三角形∴AD＝DE＝AE＝，∠ADE＝60°∴CD＝AD＝，OD＝OB＝∵AE＝DE，OD＝OA∴OE垂直平分AD即OE⊥AD，DH＝AH∴OE＝OH+EH＝+＝，∵∠ADC＝∠DHE＝90°∴CD∥OE∴△CDF∽△EOF∴＝，即DF＝OF∵DF+OF＝OD＝∴OF＝﹣DF∴DF＝（﹣DF），解得：DF＝﹣1．（2）如图2，连接EO，过点F作PQ⊥CD交EO于N，在MA上截取MT＝MC，连接FT，设正方形边长为a，∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形∴AD＝AB＝CD＝DE＝a，∠ADC＝∠DAB＝90°∠ADE＝60°易证OE⊥AD∴OE＝a，OD＝a，由（1）知△CDF∽△EOF∴＝，即a•DF＝a•OF∵DF+OF＝a∴OF＝a﹣DF∴a•DF＝a（a﹣DF）∴DF＝a，∵△DPF是等腰直角三角形∴DP＝PF＝DF＝a，∴FQ＝a﹣a＝a＝CP，∵FM平分∠AMC，∴∠CMF＝∠AMF在△MCF和△MTF中∴△MCF≌△MTF（SAS）∴CF＝FT∴Rt△CFP≌Rt△FTQ（HL）∴QT＝PF＝a，∵AQ＝DP∴AQ＝QT∵BM+AB﹣AT＝MT＝CM∴CM﹣BM＝AB﹣AT＝a﹣2×a＝a，CM+BM＝MT+BM＝BT+2BM＝a﹣2×a+2BM＝a+2BM∴CM2﹣BM2＝（CM﹣BM）（CM+BM）＝a（a+2BM）∵CM2﹣BM2＝BC2＝a2，∴a（a+2BM）＝a2，∴BM＝a在Rt△BCM中，tan∠BMC＝＝＝，∴∠BMC＝60°∴∠AMF＝30°∴＝cos∠AMF＝cos30°＝∴2MQ＝MF∵2MQ＝2BM+2BQ＝2BM+2BT+2QT＝（BM+BT）+（BM+BT+AT）＝CM+AM∴CM+AM＝MF即CM＝MF﹣AM．4．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BD为菱形的一条对角线．（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E，交BD于点F，若EF＝2，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，M为菱形ABCD外一点，过A作AN⊥BM交BM的延长线于点N，连接AM，DM，AG⊥DM于点G，且∠AMN＝∠AMD，求证：DM＝BM+AM．（1）解：如图1中，∵四边形ABC都是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵AE⊥BC，∴∠BEF＝90°，∵EF＝2，∴BF＝2EF＝4，∠BFE＝60°，∵∠BFE＝∠ABF+∠F AB，∴∠ABF＝∠F AB＝30°，∴BF＝AF＝4，∴AE＝AF+EF＝6，∴AB＝＝4，∴BC＝AB＝4，＝BC•AE＝24．∴S菱形ABCD（2）证明：如图2中，∵∠AMN＝∠AMG，AN⊥MN，AG⊥DM，∴AN＝AG，∵∠MNA＝∠MGA＝90°，AM＝AM，AN＝AG，∴Rt△MAN≌Rt△MAG（HL），∴NM＝MG，∵∠ANB＝∠AGD＝90°，AN＝AG，AB＝AD，∴Rt△ANB≌Rt△AGD（HL），∴∠ABN＝∠ADG，BN＝DG，∴∠BMD＝△BAD＝120°，∴∠NMG＝60°，∴∠AMN＝∠AMG＝30°，∴DM﹣BM＝MG+DG﹣（BN﹣MN）＝2MN＝AM，∴DM＝BM+AM．5．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD＝12，DC＝3，∠EBD＝60°，则BE＝6时，四边形BFCE是菱形．（只需完成填空，不需写出具体过程．）（1）证明：∵在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴BE＝FC，∠ABE＝∠DCF，∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥FC，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）解：当四边形BFCE是菱形，则BE＝EC，∵AD＝12，DC＝3，AB＝DC，∴BC＝6，∵∠EBD＝60°，EB＝EC，∴△EBC是等边三角形，∴BE＝6．故答案为：6．6．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD 上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴BD的中点在AC上，∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，∴E、F分别为OB、OD的中点，∵G是AD的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，同理：EH∥OC，EH＝OC，∴EH＝GF，EH∥GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：连接GH，如图2所示：则AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB∥GH，∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四边形GEHF是菱形；故答案为：AB⊥BD；（3）解：①四边形GEHF是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，∵BD＝2AB，∴AB＝BD＝EF，∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形；②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，如图3所示：则AM∥GN，∵G是AD的中点，∴GN是△ADM的中位线，∴GN＝AM，∵∠ABD＝120°，∴∠ABM＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝1，AM＝BM＝，∴GN＝，∵BD＝2AB＝4，∴EF＝BD＝2，∴△EFG的面积＝EF×GN＝×2×＝，∴四边形GEHF的面积＝2△EFG的面积＝．7．如图，边长为6的正方形ABCD中，E，F分别是AD，AB上的点，AP⊥BE，P为垂足．（1）如图1，AF＝BF，AE＝2，点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，求AT的长；（2）如图2，若AE＝AF，连接CP，求证：CP⊥FP．（1）解：在正方形ABCD中，可得∠DAB＝90°．∵在Rt△BAE中，tan∠ABE＝＝＝，∴∠ABE＝30°．点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，分三种情况：①当点T在AB的上方，∠ATB＝90°，显然此时点T和点P重合，即AT＝AP＝AB＝3；②当点T在AB的下方，∠ATB＝90°，如图①所示．在Rt△APB中，由AF＝BF，可得：AF＝BF＝PF＝3，∴∠BPF＝∠FBP＝30°，∴∠BFT＝60°．在Rt△ATB中，TF＝BF＝AF＝3，∴△FTB是等边三角形，∴TB＝3，AT＝＝3；③当点T在AB的下方，∠ABT＝90°时，如图②所示．在Rt△FBT中，∠BFT＝60°，BF＝3，BT＝BF•tan60°＝3．在Rt△ATB中：AT＝＝3．综上所述：当△ABT为直角三角形时，AT的长为3或3或3；（2）证明：如图③所示，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC，AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠3＝∠4．∵在Rt△EAB中，AP⊥BE，∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠3＝∠4，∵tan∠1＝，tan∠3＝，∴＝，∵AE＝AF，AB＝BC，∴＝，∴△PBC∽△P AF，∴∠5＝∠6．∵∠6+∠7＝90°，∴∠5+∠7＝90°，即∠CPF＝90°，∴CP⊥FP．8．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）已知AB＝5，AD＝8．求四边形GEHF是矩形时BD的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠GDE＝∠FBH，∵G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，∴在Rt△AED和Rt△CFB中，EG＝AD＝GD，FH＝BC＝HB，∴EG＝FH，∠GED＝∠GDE，∠FBH＝∠BFH，∴∠GED＝∠BFH，∴EG∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：连接GH，当四边形GEHF是矩形时，∠EHF＝∠BFC＝90°，∵∠FBH＝∠BFH，∴△EFH∽△CBF，∴＝，由（1）可得：GA∥HB，GA＝HB，∴四边形GABH是平行四边形，∴GH＝AB＝5，∵在矩形GEHF中，EF＝GH，且AB＝5，AD＝8，∴＝，解得：BF＝，∴BE＝BF﹣EF＝﹣5＝，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF＝，∴BD＝BF+DF＝+＝．9．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE 的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，∵BA＝BC，∴BA＝3x．在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，∴AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即40＝x2+9x2，解得x＝2．∴AB＝3x＝6．（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2．∵DE＝DA，DP⊥AF∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝45°．∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF ≌△ADH （SAS ）．∴AF ＝AH ，BF ＝DH ．∵Rt △F AH 是等腰直角三角形，∴HF ＝AF ．∵HF ＝DH +DF ＝BF +DF ，∴BF +DF ＝AF ．10．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的两条直线分别交边AB 、CD 、AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．【感知】如图①，若四边形ABCD 是正方形，且AG ＝BE ＝CH ＝DF ，则S四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ；【拓展】如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，试确定F 、G 、H 的位置，使直线EF 、GH 把四边形ABCD 的面积四等分．解：【感知】如图①，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠OAG ＝∠OBE ＝45°，OA ＝OB ，在△AOG 与△BOE 中，，∴△AOG ≌△BOE ，∴S 四边形AEOG ＝S △AOB ＝S 正方形ABCD ；故答案为：；【拓展】如图②，过O 作ON ⊥AD 于N ，OM ⊥AB 于M ，∵S △AOB ＝S 矩形ABCD ，S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，∴S △AOB ＝S 四边形AEOG ，∵S △AOB ＝S △BOE +S △AOE ，S 四边形AEOG ＝S △AOG +S △AOE ，∴S △BOE ＝S △AOG ，∵S △BOE ＝BE •OM ＝mb ＝mb ，S △AOG ＝AG •ON ＝AG •a ＝AG •a ， ∴mb ＝AG •a ，∴AG ＝；【探究】如图③，过O 作KL ⊥AB ，PQ ⊥AD ，则KL ＝2OK ，PQ ＝2OQ ，∵S 平行四边形ABCD ＝AB •KL ＝AD •PQ ，∴3×2OK ＝5×2OQ ， ∴＝，∵S △AOB ＝S 平行四边形ABCD ，S 四边形AEOG ＝S 平行四边形ABCD ，∴S △AOB ＝S 四边形AEOG ，∴S △BOE ＝S △AOG ，∵S △BOE ＝BE •OK ＝×1×OK ，S △AOG ＝AG •OQ ， ∴×1×OK ＝AG •OQ ，∴＝AG ＝，∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．证明：（1）在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE，∴∠BAF＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；（2）∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，∵CF＝CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD．13．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个点，过点O作直线MN∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝．在Rt△ACE中，AE＝．15．如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．（3）直接回答下面两个问题，不必证明：①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．。

九年级数学上册数学压轴题(Word版含解析)

九年级数学上册数学压轴题（Word版含解析）一、压轴题1．如图①，A（﹣5，0），OA＝OC，点B、C关于原点对称，点B（a，a+1）（a＞0）．（1）求B、C坐标；（2）求证：BA⊥AC；（3）如图②，将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，连接DC，问：∠BDC的角平分线DE，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．2．阅读理解：如图，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．解决问题：（1）如图1，⊙A的半径为1，A(0，2) ，分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是．(填序号)①ABM；②AOP；③ACQ（2）如图2，⊙A的半径为1，A(0，2)，直线y=kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积为12，求k的值．（3）点B在x轴上，以B3为半径画⊙B，若直线3与⊙B的“最美三角形”的面积小于32，请直接写出圆心B的横坐标B x的取值范围．3．如图，⊙O 的直径AB ＝26，P 是AB 上（不与点A ，B 重合）的任一点，点C ，D 为⊙O 上的两点．若∠APD ＝∠BPC ，则称∠DPC 为直径AB 的“回旋角”．（1）若∠BPC ＝∠DPC ＝60°，则∠DPC 是直径AB 的“回旋角”吗？并说明理由；（2）猜想回旋角”∠DPC 的度数与弧CD 的度数的关系，给出证明（提示：延长CP 交⊙O 于点E ）；（3）若直径AB 的“回旋角”为120°，且△PCD 的周长为3AP 的长．4．如图①，O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ．（1）求证：BD BE =．（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．5．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使32DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x = （1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长．（3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．6．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =.点P 从点A 出发，沿着A C B →→运动，速度为1个单位/s ，在点P 运动的过程中，以P 为圆心的圆始终与斜边AB 相切,设⊙P 的面积为S ，点P 的运动时间为t （s ）（07t <<）.（1）当47t <<时，BP = ；（用含t 的式子表示）（2）求S 与t 的函数表达式；（3）在⊙P 运动过程中，当⊙P 与三角形ABC 的另一边也相切时，直接写出t 的值.7．翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大，因此初三（5）班聪慧的小菲同学结合2011年苏州市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究。

九年级数学上册上册数学压轴题(培优篇)(Word版含解析)

九年级数学上册上册数学压轴题（培优篇）（Word 版含解析）一、压轴题1．已知，如图1，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，连接OC 交对角线BD 于点F ，延长AO 交BD 于点E ，OE=OF.（1）求证：BE=FD ；（2）如图2，若∠EOF=90°，BE=EF ，⊙O 的半径25AO =，求四边形ABCD 的面积；（3）如图3，若AD=BC ；①求证：22•AB CD BC BD +=；②若2•12AB CD AO ==，直接写出CD 的长. 2．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的外延矩形．点A ，B ，C 的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最佳外延矩形．例如，图中的矩形，，都是点A ，B ，C 的外延矩形，矩形是点A ，B ，C 的最佳外延矩形．（1）如图1，已知A （－2，0），B （4，3），C （0，）． ①若，则点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为；②若点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为24，则的值为；（2）如图2，已知点M （6，0），N （0，8）．P （，）是抛物线上一点，求点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P 的横坐标的取值范围；（3）如图3，已知点D （1，1）．E （，）是函数的图象上一点，矩形OFEG 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H 是矩形OFEG 的外接圆，请直接写出⊙H 的半径r 的取值范围．3．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD 内接于O ，对角线AC BD =，且AC BD ⊥．（1）求证：AB CD =；（2）若O 的半径为8，弧BD 的度数为120︒，求四边形ABCD 的面积；（3）如图2，作OM BC ⊥于M ，请猜测OM 与AD 的数量关系，并证明你的结论． 4．在长方形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．（1）填空：______＝______，______＝______（用含t 的代数式表示）；（2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．5．如图，已知矩形ABCD 中，BC =2cm ，AB 3cm ，点E 在边AB 上，点F 在边AD 上，点E 由A 向B 运动，连结EC 、EF ，在运动的过程中，始终保持EC ⊥EF ，△EFG 为等边三角形．（1）求证△AEF ∽△BCE ；（2）设BE 的长为xcm ，AF 的长为ycm ，求y 与x 的函数关系式，并写出线段AF 长的范围；（3）若点H是EG的中点，试说明A、E、H、F四点在同一个圆上，并求在点E由A到B 运动过程中，点H移动的距离．6．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，tan B＝34，OB＝8．（1）求OA、AB的长；（2）点Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD，QC．①当t为何值时，点Q与点D重合？②若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．7．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=13，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα=13BCAB，可设BC=x，则AB=3x，…．【问题解决】（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ=35，求sin2β的值．8．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P 为边BC 上一个动点（可以包括点C 但不包括点B ），以P 为圆心PB 为半径作⊙P 交AB 于点D 过点D 作⊙P 的切线交边AC 于点E ，（1）求证：AE=DE ；（2）若PB=2，求AE 的长；（3）在P 点的运动过程中，请直接写出线段AE 长度的取值范围．9．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝23．点P ，Q 分别是BC ，AD 边上的一个动点，连结BQ ，以P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 交线段BQ 于点E ，连结PD ．（1）若DQ ＝3且四边形BPDQ 是平行四边形时，求出⊙P 的弦BE 的长；（2）在点P ，Q 运动的过程中，当四边形BPDQ 是菱形时，求出⊙P 的弦BE 的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．10．抛物线G ：2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于C （0，-1），且AB =4OC ．（1）直接写出抛物线G 的解析式：；（2）如图1，点D （-1，m ）在抛物线G 上，点P 是抛物线G 上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ，当线段PQ 取最大值时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上，若S △CMN =2，求点M 的坐标．11．抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点为(),P h k ，作x 轴的平行线4y k =+与抛物线交于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4．（1）请直接写出a 的值____________；（2）若抛物线当0x =和4x =时的函数值相等， ①求b 的值；②过点()0,2Q 作直线2y =平行x 轴，交抛物线于M 、N 两点，且4QM QN +=，求c 的取值范围；（3）若1c b =--，2727b -<<，设线段AB 与抛物线所夹的封闭区域为S ，将抛物线绕原点逆时针旋转α，且1tan 2α=，此时区域S 的边界与y 轴的交点为C 、D 两点，若点D 在点C 上方，请判断点D 在抛物线上还是在线段AB 上，并求CD 的最大值．12．如图，PA 切⊙O 于点A ，射线PC 交⊙O 于C 、B 两点，半径OD ⊥BC 于E ，连接BD 、DC 和OA ，DA 交BP 于点F ；（1）求证：∠ADC+∠CBD ＝12∠AOD ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）见详解；（2）125；（3）①见详解，②32-6【解析】【分析】（1）如图1中，作OH⊥BD于H．根据等腰三角形的性质以及垂径定理即可；（2）如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB，求出AC，BD，根据S四边形ABCD=12•BD•AM+1 2•BD•CM=12•BD•AC即可求解；（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．利用等腰直角三角形的性质，完全平方公式等知识即可；②如图3中，连接OB，设DM=CM=x，想办法求出BC，DB，在Rt△BCM中，利用勾股定理构建方程即可．【详解】（1）证明：如图1中，作OH⊥BD于H．∵OE=OF，OH⊥EF，∴EH=HF，∵OH⊥BD，∴BH=HD，∴BE=DF；（2）解：如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB．∵∠EOF=90°，OE=OF，OA=OC，∴∠OEF=∠OAC=45°，∴∠AME=90°，即AC⊥BD，连接OB．设OH=a，∵BE=EF，∴BE=2EH=2OH=2a，在Rt△BOH中，∵OH2+BH2=OB2，∴a2+（3a）2=（25）2，∴a=2或-2（舍弃），∴BD=BE+EF+DF=6a=62，在Rt△AOC中，AC=2AO=210，∴S四边形ABCD=12•BD•AM+12•BD•CM=12•BD•AC=12×210×62=125；（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．∵OE=OF，OA=OC，∴∠EOH=12∠EOF=12（∠EAC+∠ACO）=12×2∠OAC=∠OAC，∴AC∥OH，∴AC⊥BD，∵AD=BC，∴∠ABD=∠CAB=∠CDB=45°，∴2BM，2DM，CM=DM，∴AB•CD+BC222DM+BM2+CM2=（BM+DM）2=BD2；②如图3中，连接OB，设DM=CM=x，∵∠BOC=2∠BDC=90°，∴26，∵AB•CD+BC2=BD2，AB•CD=AO2=12，∴12+24=BD2，∴BD=6（负根已经舍弃），在Rt△BCM中，∵BC2=BM2+CM2，∴（6）2=（6-x）2+x2，∴x=3-3或3+3（舍弃），∴CD=2x=32-6．【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．2．（1）①18；②t=4或t=－1；（2）48；，或；（3）【解析】试题分析：（1）根据给出的新定义进行求解；（2）过M点作轴的垂线与过N点垂直于轴的直线交于点Q，则当点P位于矩形OMQN内部或边界时，矩形OMQN是点M，N，P的最佳外延矩形，且面积最小；根据当y=0是y=8时求出x的值得到取值范围；（3）根据最佳外延矩形求出半径的取值范围.试题解析：（1）①18；②t=4或t=－1；（2）如图，过M点作轴的垂线与过N点垂直于轴的直线交于点Q，则当点P位于矩形OMQN内部或边界时，矩形OMQN是点M，N，P的最佳外延矩形，且面积最小．∵S矩形OMQN＝OM·ON＝6×8＝48，∴点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值为48．抛物线与轴交于点T（0，5）．令，有，解得：x=－1（舍去），或x=5．令y=8，有，解得x=1，或x=3．∴，或．（3）．考点：新定义的理解、二次函数的应用、圆的性质.3．（1）见解析；（2）96；（3）AD=2OM，理由见解析【解析】【分析】（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；（2）根据弧BD的度数为120°，得到∠BOD=120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算即可；（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE，证明结论．解：（1）证明：∵AC=BD ， ∴AC BD =，则ABDC ，∴AB=CD ；（2）如图1，连接OB 、OD ，作OH ⊥BD 于H ， ∵弧BD 的度数为120°， ∴∠BOD=120°， ∴∠BOH=60°，则BH=32OB=43， ∴BD=83，则四边形ABCD 的面积=12×AC×BD=96；（3）AD=2OM ，连结OB 、OC 、OA 、OD ，作OE ⊥AD 于E ，如图2， ∵OE ⊥AD ， ∴AE=DE ， ∵∠BOC=2∠BAC ，而∠BOC=2∠BOM ， ∴∠BOM=∠BAC ，同理可得∠AOE=∠ABD ， ∵BD ⊥AC ， ∴∠BAC+∠ABD=90°， ∴∠BOM+∠AOE=90°， ∵∠BOM+∠OBM=90°， ∴∠OBM=∠AOE ，在△BOM 和△OAE 中，OMB OEA OBM OAE OB OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BOM ≌△OAE （AAS ），∴AD=2OM ．【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键．4．（1）BQ ,2tcm ,PB ,()5t cm -；（2）当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由见解析. 【解析】【分析】（1）根据点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，可以求得BQ ,PB .（2）用含t 的代数式分别表示PB 和BQ 的值，运用勾股定理求得PQ 为22(5)(2)t t -+＝25据此求出t 值.（3）根据题干信息使得五边形APQCD 的面积等于226cm 的t 值存在，利用长方形ABCD 的面积减去PBQ △的面积即可，有PBQ △的面积为4，由此求得t 值. 【详解】解：（1）点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，故BQ 为2tcm ,点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，AB ＝5cm ，故PB 为()5t cm -.（2）由题意得：22(5)(2)t t -+＝25，解得：1t ＝0，2t ＝2；当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由如下：长方形ABCD 的面积是：56⨯＝()230cm，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ，则PBQ △的面积为3026-＝()24cm，()15242t t -⨯⨯=，解得：1t ＝4（不合题意舍去），2t ＝1．即当t ＝1秒时，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．【点睛】本题结合长方形考查动点问题，其本质运用代数式求值，利用含t 的代数式表示各自线段的直接，根据题干数量关系即可确立等量关系式，从而求出t 值.5．（1）详见解析；（2）21y 2x =-,302AF ≤≤；(3)3. 【解析】【分析】（1）由∠A =∠B =90°，∠AFE =∠BEC ，得△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BCE 得AF AEBE BC =，2y x x =，即212y x =-+，然后求函数最值；（3）连接FH ，取EF 的中点M ，证MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；连接AH ，证∠EFH =30°由A 、E 、H 、F 在同一圆上，得∠EAH =∠EFH =30°，线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH 中，60AH sin AB =︒=，可进一步求AH. 【详解】解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠B =90°，∴∠AEF +∠AFE =90°，∵EF ⊥CE ，∴∠AEF +∠BEC =90°，∴∠AFE =∠BEC ，∴△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BEC 得AF AE BE BC =，2y x x =，∴212y x =-+，∵212y x =-+=213(22x -+，当x =y 有最大值为32， ∴302AF ≤≤；（3）如图1，连接FH ，取EF 的中点M ，在等边三角形EFG 中，∵点H 是EG 的中点，∴∠EHF =90°，∴ME =MF =MH ，在直角三角形AEF 中，MA =ME =MF ，∴MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；如图2，连接AH ，∵△EFG为等边三角形，H为EG中点，∴∠EFH=30°∵A、E、H、F在同一圆上∴∠EAH=∠EFH=30°，如图2所示的线段AH即为H移动的路径，在直角三角形ABH中，3602 AHsinAB=︒=，∵AB=23∴AH=3，所以点H移动的距离为3．【点睛】此题主要考查圆的综合问题，会证明三角形相似，会分析四点共圆，会运用二次函数分析最值，会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键．6．（1）OA＝6，AB＝10；（2）3011；（3）0<t≤1813或3011<t≤5．【解析】【分析】（1）在Rt△AOB中，tan B＝34，OB＝8，即可求解；（2）利用△ACD∽△ABO、AD+OQ＝OA，即可求解；（3）分QC与圆P相切、QC⊥OA两种情况，求解即可．【详解】解：（1）在Rt△AOB中，tan B＝34，OB＝8，∴34OAOB=，∴OA＝6，则AB＝10；（2）OP＝AP﹣t，AC＝2t，∵AC是圆直径，∴∠CDA＝90°，∴CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴AC ADAB AO=，即：2,106t AD=∴AD＝65t，当Q与D重合时，AD+OQ＝OA，∴66,5t t += 30.11t ∴= （3）当QC 与圆P 相切时，∠QAC ＝90°，∵OQ ＝AP ＝t ，∴AQ ＝6﹣t ，AC ＝2t ，∵∠A ＝∠A ，∠QCA ＝∠ABO ，∴△AQC ∽△ABO ，∴,AQ AC AB AO = 即：62106t t -= ，18.13t ∴= ∴当18013t <≤时，圆P 与QC 只有一个交点，当QC ⊥OA 时，D 、Q 重合，由（1）知： 30.11t =∴30511t <≤时，圆P 与线段QC 只有一个交点，故：当圆P 与线段只有一个交点，t 的取值范围为：18013t <≤或30511t <≤. 【点睛】本题为圆的综合题，涉及到圆与直线的关系、三角形相似等知识点，（3）是本题的难点，要注意分析QC 和圆及线段的位置关系分类求解．7．（1）sin2α=9；（2）sin2β=sin∠MON=2425．【解析】试题分析：（1）如图1中，⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，所以∠ACB=90°，作CD ⊥AB 于D ．设∠BAC=α，则sinα=13BC AB =，可设BC=x ，则AB=3x ．利用面积法求出CD ，在Rt △COD 中，根据sin2α=CDOC ，计算即可．（2）如图2中，连接NO ，并延长交⊙O 于点Q ，连接MQ ，MO ，过点M 作MR ⊥NO 于点R ．首先证明∠MON=2∠Q=2β，在Rt △QMN中，由sinβ=35MN NQ =，设MN=3k ，则NQ=5k ，易得OM=12NQ=52k ，可得=4k ，由12•MN•MQ=12•NQ•MR，求出在Rt △MRO 中，根据sin2β=sin∠MON=MROM ，计算即可．试题解析：（1）如图1中，⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，所以∠ACB=90°，作CD ⊥AB 于D ．设∠BAC=α，则sinα=13BC AB =，可设BC=x ，则AB=3x ．∴AC=22AB BC-=22(3)x x-=22x，∵12•AC•BC=12•AB•CD，∴CD=223 x，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=α，∴∠COB=2α，∴sin2α=CDOC =429．（2）如图2中，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．在⊙O中，∠NMQ=90°，∵∠Q=∠P=β，∴∠MON=2∠Q=2β，在Rt△QMN中，∵sinβ=35 MNNQ=，∴设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=12NQ=52k，∴22QN MN-=4k，∵1122NMQS MN MQ NQ MR∆==，∴3k•4k=5k•MR∴MR=12k 5，在Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON=122455252kMRkOM==．考点：圆的综合题．8．（1）详见解析；（2）AE=194；（3）74≤AE＜254．【解析】【分析】（1）首先得出∠ADE+∠PDB=90°，进而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PB得∠EDA=∠A进而得出答案；（2）利用勾股定理得出ED2+PD2=EC2+CP2=PE2，求出AE即可；（3）分别根据当D（P)点在B点时以及当P与C重合时，求出AE的长，进而得出AE的取值范围．【详解】（1）证明：如图1，连接PD．∵DE切⊙O于D．∴PD⊥DE．∴∠ADE+∠PDB=90°．∵∠C=90°．∴∠B+∠A=90°．∵PD=PB．∴∠PDB=∠B．∴∠A=∠ADE．∴AE=DE；（2）解：如图1，连接PE，设DE=AE=x，则EC=8-x，∵PB=PD=2，BC=6．∴PC=4．∵∠PDE=∠C=90°，∴ED2+PD2=EC2+CP2=PE2．∴x2+22=（8-x）2+42．解得x=194．∴AE=194；（3）解：如图2，当P点在B点时，此时点D也在B点，∵AE=ED，设AE=ED=x，则EC=8-x，∴EC2+BC2=BE2，∴（8-x）2+62=x2，解得：x=254，如图3，当P与C重合时，∵AE=ED，设AE=ED=x，则EC=8-x，∴EC2=DC2+DE2，∴（8-x）2=62+x2，解得：x=74，∵P为边BC上一个动点（可以包括点C但不包括点B），∴线段AE长度的取值范围为：74≤AE＜254．【点睛】本题主要考查圆的综合应用、切线的性质与判定以及勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．9．（1）637；（2）BE＝433；菱形与圆重叠部分的面积为833．【解析】【分析】（1）作PT⊥BE于点T，根据垂径定理和勾股定理求BQ的值，再根据相似三角形的判定和性质即可求解；（2）根据菱形性质和勾股定理求出菱形边长，此时点E和点Q重合，再根据扇形面积公式即可求解．【详解】解：（1）如图：过点P作PT⊥BQ于点T，∵AB＝2，AD＝BC＝3，DQ3∴AQ3在Rt△ABQ中，根据勾股定理可得：BQ7．又∵四边形BPDQ是平行四边形，∴BP＝DQ3，∵∠AQB＝∠TBP，∠A＝∠BTP，∴△AQB∽△TBP，∴3,37 BT BDAQ BQ==即∴BT 33 7∴BE＝2BT 63 7（2）设菱形BPDQ的边长为x，则AQ＝3x，在Rt△ABQ中，根据勾股定理，得AB2+AQ2＝BQ2，即4+（3x）2＝x2，解得x 43 3.∵四边形BPDQ 为菱形，∴BP=DP=433, 又CP=BC-BP=233,即DP=2CP, ∴∠DPC=60°，∴∠BPD=120°，∴连接PQ,易得△BPQ 为等边三角形，∴PQ=BP,∴点Q 也在圆P 上，圆P 经过点B,D,Q,如图.∴点E 、Q 重合，∴BE 433∴菱形与圆重叠部分面积即为菱形的面积，∴S 菱形833．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式，解决本题的关键是综合运用以上知识．10．（1）2114y x =-；（2）点P 37(,)216-；（3）(222,222M --+ 【解析】【分析】（1）根据题意得到AB=4，根据函数对称轴x=0，得到OA=OB=2，得到A 、B 坐标，代入函数解析式即可求解；（2）首先求得直线OD 解析式，然后设P （21,14t t -），得到PQ 关于t 的解析式，然后求出顶点式即可求解；（3）设点21,14M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后求得直线CM 的解析式，得到EM 的表达式，然后根据CMN CNE MNE S S S =+即可求解．【详解】（1）∵AB =4OC ，且C （0，-1）∴AB=4∴OA=OB=2，即A 点坐标()2,0-，B 点坐标()2,0代入A 点坐标得2021a =-解得14a = ∴G 的解析式为2114y x =- 故答案为2114y x =-（2）当1x =-时，34y =-,即：点D 为（31,4--） ∴直线OD 为：34y x =设P （21,14t t -），则Q 为（22141,1334t t --），则： 22214141325()()33333212PQ t t t t t =--=-++=--+ ∴当32t =时，PQ 取得最大值2512，此时点P 位37(,)216- （3）设点21,14M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则N ()214,414m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭ ∵C 点坐标为(0,1)-∴可设直线CM 为1y kx =-，带入M 点坐标得：14k m =∴直线CM 为114y mx =- 过点N 作NE y ∥轴交CM 于点E ，则E 点为()14,414m m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭∴4EN m =--∵()()12CMN CNE MNE C N N M SS S x x x x EN ⎡⎤=+=-+-•⎣⎦ ∴()()104=22m m --- ∴2440m m +-=解得：1222m =--，2222m =-+（舍去）∴M (222,222--+【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数综合应用，是二次函数部分的压轴题，题目较难，应画出示意图，然后进行讨论分析．11．（1）1；（2）①4b =-；②26c ≤<；（3）D 一定在线段AB 上，5210+=CD 【解析】【分析】（1）根据题意顶点P （k ，h ）可将二次函数化为顶点式：()2y a x k h =-+，又4y k =+与抛物线交于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4，即可得出a 的值；（2）①根据抛物线x=0和x=4时函数值相等，可得到顶点P 的横坐标，根据韦达定理结合（1）即可得到b 的值，②根据（1）和（2）①即可得二次函数对称轴为x=2，利用点Q （0，2）关于对称轴的对称点R （4，2）可得QR=4，又QR 在直线y=2上，故令M 坐标（t ，2）（0≤t ＜2），代入二次函数即求得c 的取值范围；（3）由c=-b-1代入抛物线方程即可化简，将抛物线绕原点逆时针旋转αα，且tanα=2，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ，且tanα=2，可得到直线l 的解析式，最后联立直线方程与抛物线方程运算求解．【详解】解：（1）根据题意可知1二次函数2y ax bx c =++（a≠0）的顶点为P （k ，h ），故二次函数顶点式为()2y a x k h =-+，又4y k =+与抛物线交于点A 、B ，且无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4，∴a=1；故答案为：a=1．（2）①∵二次函数当0x =和4x =时的函数值相等 ∴222b b x a =-=-= ∴4b =-故答案为：4b =-． ②将点Q 向右平移4个单位得点()4,2R当2c =时，242y x x =-+令2y =，则2242x x =-+解得14x =，20x =此时()0,2M ，()4,2N ，4MN QR ==∵4QM QN +=∵QM NR =∴4QN NR QR +==∴N 在线段QR 上，同理M 在线段QR 上设(),2M m ，则02m ≤<，224m m c =-+ 2242(2)6c m m m =-++=--+∵10-<，对称轴为2m =，02m ≤<∴c 随着m 的增大而增大∴26c ≤<故答案为：26c ≤<．（3）∵1c b =--∴21y x bx b =+--将抛物线绕原点逆时针旋转α，且tan 2α=，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ，且tan 2α=，∴l 的解析式为2y x =221y x y x bx b =⎧⎨=+--⎩∴2(2)10x b x b +---= ∴2224(2)448b ac b b b ∆=-=-++=+∴22b x -+±=∴12D b -++⎝⎭222 44124 44244ABac b b b by k ba---+-+=+=+==-++124224ABDby yb b⎛⎫-+-=-++-++=⎪⎝⎭∵20b≥∴1240441444D ABby y-+-+-=≥==>∴点1D始终在直线AB上方∵2C b-+-⎝⎭∴24224BC Aby yb b⎛⎫-+-=-+--++=⎪⎝⎭∴224841644AB Cb by y-++--++-==)22164-+=∵b-<<2028b≤<，∴4≤<设n，4n≤<∴2(2)164AB Cny y--+-=∵14-<，对称轴为2n=∴当4n≤<时，AB Cy y-随着n的增大而减小∴当4n=时，0AB Cy y-=∴当4n≤<时，AB Cy y>∴区域S的边界与l的交点必有两个∵1D ABy y>∴区域S的边界与l的交点D一定在线段AB上∴D ABy y=∴2(2)164D C CABny y y y--+-=-=∴当n=D Cy y-有最大值1+此时1222D C x x +-= 由勾股定理得：()()225210C C D D CD x x y y +=-+-=，故答案为：5210+=CD ．【点睛】本题考查二次函数一般式与顶点式、韦达定理的运用，以及根与系数的关系判断二次函数交点情况，正确理解相关知识点是解决本题的关键．12．（1）详见解析；（2）详见解析；【解析】【分析】 ()1根据垂径定理得到BD CD =，根据等腰三角形的性质得到()111809022ODA AOD AOD ∠=-∠=-∠，即可得到结论； ()2根据垂径定理得到BE CE =，BD CD =，根据等腰三角形的性质得到ADO OAD ∠=∠，根据切线的性质得到90PAO ∠=，求得90OAD DAP ∠+∠=，推出PAF PFA ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【详解】()1证明：OD BC ⊥， BD CD ∴=，CBD DCB ∴∠=∠， 90DFE EDF ∠+∠=，90EDF DFE ∴∠=-∠，OD OA =，()111809022ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠， 190902DFE AOD ∴-∠=-∠， 12DEF AOD ∴∠=∠，DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠，12ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠； ()2解：OD BC ⊥，BE CE ∴=，BD CD =，BD CD ∴=，OA OD =，ADO OAD ∴∠=∠， PA 切O 于点A ，90PAO ∴∠=，90OAD DAP ∴∠+∠=，PFA DFE ∠=∠，90PFA ADO ∴∠+∠=，PAF PFA ∴∠=∠，PA PF ∴=．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．。

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