利用导数研究不等式问题
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1.已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln x (a ∈R )．
(1)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值；
(2)在(1)的条件下，求证：f (x )≥－x 33＋5x 22－4x ＋116
.
2．(优质试题·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2－ax ，g (x )＝ln x ，h (x )＝f (x )＋g (x )．
(1)若函数y ＝h (x )的单调减区间是⎝⎛⎭⎫12，1，求实数a 的值；
(2)若f (x )≥g (x )对于定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围．
3．(优质试题·山西四校联考)已知f (x )＝ln x －x ＋a ＋1.
(1)若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围；
(2)求证：在(1)的条件下，当x >1时，12x 2＋ax －a >x ln x ＋12
成立．
4.已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x
＋2ax . (1)当a <0时，讨论f (x )的单调性；
(2)若对任意的a ∈(－3，－2)，x 1，x 2∈[1,3]，恒有(m ＋ln 3)a －2ln 3>|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围．
5．(优质试题·福州质检)设函数f (x )＝e x －ax －1.
(1)当a >0时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求证：g (a )≤0；
(2)求证：对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1<(n ＋1)n ＋1.
答案精析
1．(1)解 f ′(x )＝2x －a －a x
，由题意可得f ′(1)＝0，解得a ＝1.经检验，a ＝1时f (x )在x ＝1处取得极值，所以a ＝1.
(2)证明 由(1)知，f (x )＝x 2－x －ln x ，
令g (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫－x 33＋5x 22
－4x ＋116 ＝x 33－3x 22＋3x －ln x －116
， 由g ′(x )＝x 2
－3x ＋3－1x ＝x 3－1x －3(x －1)＝(x －1)3x (x >0)，可知g (x )在(0,1)上是减函数， 在(1，＋∞)上是增函数，所以g (x )≥g (1)＝0，所以f (x )≥－x 33＋5x 22－4x ＋116
成立． 2．解 (1)由题意可知，h (x )＝x 2－ax ＋ln x (x >0)，
由h ′(x )＝2x 2－ax ＋1x
(x >0)， 若h (x )的单调减区间是⎝⎛⎭⎫12，1，
由h ′(1)＝h ′⎝⎛⎭⎫12＝0，解得a ＝3，
而当a ＝3时，h ′(x )＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x
(x >0)． 由h ′(x )<0，解得x ∈⎝⎛⎭⎫12，1，
即h (x )的单调减区间是⎝⎛⎭⎫12，1，
∴a ＝3.
(2)由题意知x 2－ax ≥ln x (x >0)，
∴a ≤x －ln x x
(x >0)． 令φ(x )＝x －ln x x
(x >0)，
则φ′(x )＝x 2＋ln x －1x 2
， ∵y ＝x 2＋ln x －1在(0，＋∞)上是增函数，且x ＝1时，y ＝0.
∴当x ∈(0,1)时，φ′(x )<0；
当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )>0，
即φ(x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
∴φ(x )min ＝φ(1)＝1，故a ≤1.
即实数a 的取值范围为(－∞，1]．
3．(1)解 原题即为存在x >0，
使得ln x －x ＋a ＋1≥0，
∴a ≥－ln x ＋x －1，
令g (x )＝－ln x ＋x －1，
则g ′(x )＝－1x ＋1＝x －1x
. 令g ′(x )＝0，解得x ＝1.
∵当0 当x >1时，g ′(x )>0，g (x )为增函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝0，a ≥g (1)＝0. 故a 的取值范围是[0，＋∞)． (2)证明 原不等式可化为12x 2＋ax －x ln x －a －12 >0(x >1，a ≥0)． 令G (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －12 ，则G (1)＝0. 由(1)可知x －ln x －1>0， 则G ′(x )＝x ＋a －ln x －1≥x －ln x －1>0， ∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴G (x )>G (1)＝0成立， ∴12x 2＋ax －x ln x －a －12 >0成立， 即12x 2＋ax －a >x ln x ＋12 成立． 4．解 (1)求导可得f ′(x )＝2－a x －1x 2＋2a ＝(2x －1)(ax ＋1)x 2 ， 令f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝－1a ， 当a ＝－2时，f ′(x )≤0，函数f (x )在定义域(0，＋∞)内单调递减；