人教版八年级上数学截长补短专题

A

D

B

C

E

图2-1

截长补短法

人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.

例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .

求证：∠BAD +∠BCD =180°.

分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.

证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ，

在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，

⎩⎨

⎧==CD

AD DF

DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°

例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .

求证：CD =AD +BC .

分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.

证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2

在△FCE 与△BCE 中，

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.

A

B

C

D

图1-1

F

E

D

C

B

A

图1-2

A

D

B C

E

F

1

234

图2-2

又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，

⎪⎩

⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠43DE

DE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ， ∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .

例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .

求证：∠BAP +∠BCP =180°.

分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.

证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2

∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，

⎩⎨

⎧==BP

BP PD

PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .

∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE . 在Rt △APE 与Rt △CPD 中,

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°

例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.

求证：AB =AC +CD .

A

B

C

D

P

12

N

图3-1

P

12

N

A

B

C

D

E 图3-2

D

C

B A 12

图4-1

分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC . 证明：方法一（补短法）

延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2

∴∠ACB ＝2∠E ，

∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ， 在△ABD 与△AED 中,

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21 ∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC . 方法二（截长法）

在AB 上截取AF =AC ，如图4-3 在△AFD 与△ACD 中,

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21 ∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .

上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。

E

D

C

B

A

12

图4-2

F

D

C

B A 12

图4-3