人教版八年级上数学截长补短专题
数学人教版八年级上册三角形全等证明专题2(截长补短法)
A Q
B P
D
C
• 如图1，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，点P、Q分别在 BC，AC上，AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线，求证： AB+BP=AC • 证法二：在AC上截取AD=AB，连接PD • ∵AD=AB， ∠DAP= ∠BAP，AP=AP • ∴△ DAP≌△ BAP(SAS） • ∴ ∠ADP= ∠ABC,BP=DP A • ∵ ∠BAC+ ∠ ABC+ ∠ ACB=180° Q • ∴ ∠ ABC=180°-60°-40°=80° D • ∴ ∠ADP = ∠ABC= 80° • ∵ ∠ADP= ∠C+ ∠CPD B C • ∴ ∠CPD=80°-40°=40° P • ∴ ∠C= ∠CPD • ∴DC=DP=BP • ∴AB+BP=AD+DC=AC
• 证法一：延长AB至点D，使得AD=AC，连接PD
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∵AD=AC， ∠DAP= ∠CAP，AP=AP ∴△ DAP≌△ CAP(SAS） ∴ ∠D= ∠C=40° ∵ ∠BAC+ ∠ ABC+ ∠ ACB=180° ∴ ∠ ABC=180°-60°-40°=80° ∵ ∠ABC= ∠D+ ∠BPD ∴ ∠BPD=80°-40°=40° ∴ ∠D= ∠BPD ∴BP=BD ∴AB+BP=AB+BD=AD=AC
全等三角形应用专题2
南宁市25中 林成山 2016年11月17日
教学目标
• 理解截长补短法构造全等三角形的方法 • 会应用截长补短法构造全等三角形并进行 相关证明
知识点拨
• 应用全等三角形性质：对应边相等、对应角相等， 来证明线段相等、角相等以及线段和差关系时， 证三角形全等是最常用的方法之一，但在一些情 况下，需要通过添加辅助线来构造全等三角形， “截长补短”法是一种有效的构造全等三角形的 方法 。 • “截长”是在较长的线段上截取一线段等于较短 的一条线段，“补短”是将较短的一条线段延长 与较长的线段相等，从而构造出全等三角形。
人教版数学八年级上册第12章全等三角形专题课截长补短法教学设计
-通过小组间的交流，分享解题思路和经验，提高学生之间的相互学习和借鉴。
4.实践操作，加深理解：
-安排尺规作图实践，让学生动手操作，加深对截长补短法的理解和记忆。
-教师巡回指导，及时纠正学生在作图和证明过程中的错误，确保学习效果。
5.反思评价，促进成长：
-在复杂问题中识别应用截长补短法的时机，并能够结合全等三角形的判定定理进行有效证明。
-对于一些非标准图形，能够创造性地运用截长补短法，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
（二）教学设想
1.创设情境，引入新课：
-通过展示一些生活中的实际例子，如建筑设计中的几何图形，引出全等三角形的应用。
-设计问题，让学生在实际情境中发现全等三角形，并感受到截长补短法在解决问题时的便捷性。
2.教学实施：
-分组讨论：将学生分成小组，每组分配一个或多个问题，要求运用截长补短法解决。
-教师巡回指导：观察学生的讨论过程，适时给予提示和指导，引导学生深入思考。
-小组分享：鼓励各小组展示解题过程和结果，其他小组给予评价和反馈。
（四）课堂练习
1.教学设计：设计具有梯度性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
-鼓励学生在课后进行反思，总结截长补短法在解决问题时的优势和局限。
-通过自我评价和同伴评价，帮助学生认识自身的进步和需要提升的地方，促进他们的个性化发展。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学设计：通过生活实例和问题情境，自然导入新课——截长补短法在全等三角形中的应用。
-展示图片：呈现一些包含全等三角形的生活场景，如建筑物的立面图、拼图游戏等。
人教版数学八年级上册第12章全等三角形专题课截长补短法教学设计
人教版数学八年级上册第12章全等三角形专题课截长补短法优秀教学案例
3.引导学生运用数学符号和语言，表达和阐述解题过程和思路。例如，要求学生用数学语言描述全等三角形的判定方法，并解释其原理。
4.鼓励学生积极思考和解决问题，培养他们的自主学习能力和问题解决能力。例如，在解决问题的过程中，引导学生独立思考，寻找解决方案，并进行验证。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论和实践活动，培养他们的团队协作能力和交流能力。例如，将学生分成小组，让他们共同解决一个实际问题，要求学生在讨论中交流思路、分享解题方法。
在全等三角形专题课中，学生已经学习了全等三角形的定义、性质和判定方法。通过对全等三角形的性质和判定方法的学习，学生已经能够熟练地运用SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法判断两个三角形是否全等。然而，在解决实际问题时，学生往往需要灵活运用多种方法，而截长补短法作为一种特殊的方法，可以帮助学生更加简洁地解决问题。
3.小组合作培养团队协作能力：组织学生进行小组讨论和实践活动，培养他们的团队协作能力和交流能力。通过小组合作，学生能够在合作中发现问题、解决问题，并培养批判性思维和自我反思能力。
4.反思与评价提高自我认知：教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结经验和教训。通过互评和自我评价，学生能够培养批判性思维和自我反思能力，提高自我认知。
2.引导学生通过观察、分析和归纳，发现全等三角形的性质和判定方法。例如，通过展示两个全等三角形的图形，让学生观察并分析它们的性质，引导学生归纳出全等三角形的判定方法。
人教版八年级上册数学第十二章全等三角形 专题——全等三角形辅助线之截长补短训练(含答案)
专题——全等三角形辅助线之截长补短1.如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，垂足为D，判断AB、CD和BD这三条线段的数量关系（用等式表示），并证明．2.已知：在△ABC中，∠CAB=42∘，AP平分∠CAB，∠B=32∘，且AP交BC于点P，试探究线段AB、AC与PB之间的数量关系，并证明．3.如图，在△ABC中，∠BAC=108∘，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，求证：BC=CD+AB．4.如图所示，在△ABC中，AH⊥BC于点H，∠C=35∘，且AB+BH=HC，求∠B的度数．5.如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AD⊥BC于D，且AC+CD=BD，若BD=6，则CD=．6.五边形ABCDE中，AB=CD=AE=BC+DE=5，∠ABC=∠AED=90∘，求五边形ABCED的面积．7.如图，点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，连接AP、BP、CP，∠ACB=60∘，且CA+ AP=BC，则∠CAB的度数为．8.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180∘−a，BD平分∠ABC．(1)如图①，若α=90∘，则DA DC，（填写“>”“<”或“=”）．(2)问题解决：如图①，求证：AD=CD．(3)问题拓展：如图①，在等腰△ABC中，∠BAC=100∘，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC．9.在△ABC中，AD为△ABC的角平分线．(1)如图1，∠C=90∘，∠B=45∘，点E在边AB上，AE=AC，请直接写出图中所有与BE相等的线段．(2)如图2，∠C≠90∘，如果∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD．10.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C．求证：AC=AB+BD．小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法1：如图2，在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．(1)根据阅读材料，任选一种方法证明AC=AB+BD．(2)根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA=ED，∠DCB=2∠B，∠DAE+∠B=90∘，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．11.在△ABC中，∠ACB=2∠B．(1)如图①，当∠C=90∘，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证：CD=DE=，AC+CD=．（请直接写出结论，不用证明．）(2)如图①，当∠C≠90∘，AD为∠BAC的角平分线时，模仿题（1）的思路，求证：AB=AC+CD．(3)如图①，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．`12.课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD=AC．求证：∠ABC=2∠ACB．小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE=AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF=，连接DF．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线．(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD=AC．求证：∠ABC=2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题．(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD=AC，那么AD平分∠BAC．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．答案与解析1.AB=CD−BD，证明见解析．解析: 在BC上取一点E，使BD=DE，连接AE，如图，①AD⊥BC，①∠ADB=∠ADE，在△ABD和△AED中，BD=DE，AD=AD，①△ABD①△AED(SAS)，①AB=AE，∠B=∠AED，又①∠B=2∠C=∠AED=∠C+∠EAC，①∠C=∠EAC，①AE=EC，①AB=AE=EC=CD−DE=CD−BD．2.AB=AC+PB，证明见解析．解析: 证明：如图，在AB上截取AD，使AD=AC，连接PD，①AP平分∠CAD，①∠PAC=∠PAD=12∠CAB=21∘，在△PAC和△PAD中，{AC=AD∠PAC=∠PAD AP=AP，①△PAC①△PAD（SAS），①∠C=∠ADP，①∠C+∠CAB+∠B=180∘，①∠C=180∘−42∘−32∘=106∘，①∠ADP=106∘，①∠PDB=180∘−106∘=74∘，①∠PDB+∠B+∠DPB=180∘，①∠DPB=180∘−32∘−74∘=74∘，①∠DPB=∠PDB，①PB=DB，①AB=AD+DB，AC=AD，①AB=AC+PB．3.证明见解析．解析: （截长法）在BC上取点E使BE=BA，连接DE，①BD平分∠ABC，①∠ABD=∠EBD，在△ABD和△EBD中，{AB=EB∠ABD=∠EBD BD=BD，①△ABD①△EBD(SAS)，①∠BAC=∠BED=108∘，AB=EB，①∠DEC=72∘，①AB=AC，①∠C=∠ABC=36∘，①∠CDE=72∘，①∠CDE=∠CED=72∘，①CD=CE，则BC=BE+EC=AB+CD．（补短法）延长BA至E，使BE=BC，连接DE，①BD平分∠ABC，①∠ABD=∠CBD，在△EBD和△CBD中，{EB=CB∠ABD=∠CBD BD=BD，①△EBD①△CBD(SAS)，①DE=DC，∠E=∠C=12(180∘−∠BAC)=36∘，①∠EAD=180∘−∠BAC=72∘，①∠EDA=∠EAD=72∘，①EA=ED，①CD=DE=AE，则BC=BE=AB+AE=AB+CD．4.∠B=70∘．解析: 在HC上取HD=BH．①AH垂直BC于H，①AH是BD的垂直平分线，①AB=AD，①∠B=∠ADB．①AB+BH=HC=HD+DC，①AB=DC．①AD=DC．①∠DAC=∠C=35∘．①∠B=∠ADB=∠DAC+∠C=70∘．5.2解析: 在DB上取一点E使得DE=DC，连接AE，①AD⊥BC，①AE=AC，①AC+CD=BD，BD=BE+ED，①AC=BE=AE，①∠B=∠BAE，①∠BAC=90∘，①∠B+∠C=90∘，∠BAE+∠EAC=90∘，①∠EAC=∠C，①EA=EC，设CD=DE=x，①AC=AE=EC=BE=2CD=2x，①BD=BE+ED=3x=6，①x=2，①CD=2．6.25解析: 延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，①AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90∘，由题中条件可得Rt△ABC①Rt△AEF，△ACD①△AFD，①S ABCDE=2S△ADF=2×12⋅DF⋅AE=2×12×5×5=25．7.80∘解析: 如图，在BC上截取CE=AC，连接PE，①∠ACB=60∘，①∠CAB+∠ABC=120∘，①点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，①∠CAP=∠BAP=12∠CAB，∠ABP=∠CBP=12∠ABC，∠ACP=∠BCP，①∠ABP+∠BAP=60∘，①CA=CE，∠ACP=∠BCP，CP=CP，①△ACP①△ECP（SAS），①AP=PE，∠CAP=∠CEP，①CA+AP=BC，且CB=CE+BE，①AP=BE，①BE=PE，①∠EPB=∠EBP，①∠PEC=∠EBP+∠EPB=2∠PBE=∠CAP，①∠PAB=2∠PBA，且∠ABP+∠BAP=60∘，①∠PAB=40∘，①∠CAB=80∘．故答案为：80∘．8.(1)=解析: 由角分线上的点到角的两边距离相等可得：DA=DC．(2)证明见解析．解析: 如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．①BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，①DE=DF，①∠BAD+∠C=180∘，∠BAD+∠EAD=180∘，①∠EAD=∠C，①∠E=∠DFC=90∘，①△DEA①△DFC，①DA=DC．(3)证明见解析．解析: 如图，在BC上截取BK=BD，BT=BA，连接DK．①AB=AC，∠A=100∘，①∠ABC=∠C=40∘，①BD平分∠ABC，①∠DBK=12∠ABC=20∘，①BD=BK，①∠BKD=∠BDK=80∘，即∠A+∠BKD=180∘，由（2）的结论得AD=DK，①∠BKD=∠C+∠KDC，①∠KDC=∠C=40∘，①DK=CK，①AD=DK=CK，①BD+AD=BK+CK=BC．9.(1)ED、CD．解析: 在△ABC中，AD为△ABC的角分平线，①∠EAD=∠CAD在△AED与△ACD中，{AE=AC∠EAD=∠CAD AD=AD①△AED①△ACD(SAS)①ED=CD．①∠C=90∘①∠AED=∠C=90∘①∠B=45∘①∠BDE=90∘−45∘=45∘①BE=ED．①BE=ED=CD．故答案为：ED、CD．(2)证明见解析．解析: 在AB上截取AE=AC，如图所示：连接ED，由（1）可知∠EAD=∠CAD，在△AED与△ACD中，{AE=AC∠EAD=∠CAD AD=AD①△AED①△ACD(SAS)．①ED=DC，∠C=∠AED．①∠C=2∠B，①∠AED=2∠B．又①∠AED=∠B+∠EDB，①∠B=∠EDE．①BE=ED．①AB=AE+BE，①AB=AC+CD．10.(1)证明见解析．解析: 选用方法一证明：①AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD，①△ABD①△AED，①BD=ED，∠AED=∠B=2∠C，①∠AED=∠C+∠EDC，①∠EDC=∠C，①ED=EC，①BD=EC，①AC=AB+BD．(2)BE=DC+CE．证明见解析．解析: 在EB上截取EF，使得EF=DC，连接AF，①EA=ED，①∠EAD=∠EDA，①2∠DAE+∠AED=180∘，①∠DAE+∠B=90∘，①2∠DAE+2∠B=180∘，①∠AED=2∠B=∠C，①∠BED=∠CDE+∠DAE，①∠AEB=∠CDE，①△AEF①△EDC，①EC=AF，∠AFE=∠C=2∠B，①∠AFE=∠B+∠BAF，①∠ABF=∠BAF，①BF=AF，①BF=CE，①BE=DC+CE．11.(1)EB，AB解析: ①AD平分∠CAB，①∠CAD=∠EAD，又AC=AE，AD=AD，①△ACD①△AED(SAS)，①DE=CD，∠AED=∠C=90∘，又∠ACB=2∠B，∠ACB=45∘，①∠B=12①△DEB是等腰直角三角形，①CD=DE=EB，①AC+CD=AE+EB=AB，故答案为：EB，AB．(2)证明见解析．解析: 如图①，在AB上截取AE=AC，连接DE，①AD为∠BAC的角平分线时，①∠BAD=∠CAD，①AD=AD，①△ADE①△ADC(SAS)，①∠AED=∠C，ED=CD，①∠ACB=2∠B，①∠AED=2∠B，①∠AED=∠B+∠EDB，①∠B=∠EDB，①EB=ED，①EB=CD，①AB=AE+DE=AC+CD．(3)AC+AB=CD，证明见解析．解析: 在BA的延长线截取AE=AC，连接ED，①AD平分∠FAC，①∠EAD=∠CAD，在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，①△EAD①△CAD(SAS)，①ED=CD，∠AED=∠ACD，①∠FED=∠ACB，又①∠ACB=2∠B，①∠FED=2∠B，∠FED=∠B+∠EDB，①∠EDB=∠B，①EB=ED，①EA+AB=EB=ED=CD，①AC+AB=CD．12.(1)BD；画图见解析．解析: 如图1所示，辅助线的画法是：延长AB至点F，使得BF=BD，连接DF．(2)证明见解析．解析: 如图2所示，延长AB至点F，使得BF=BD，连接DF．则∠AFD=∠BDF，∠ABD=2∠AFD．①BF=BD，AC=AB+BD，①AF=AB+BF=AB+BD=AC．①BD，CD平分∠ABC，∠ACB，①∠ACB=2∠ACD，∠ABC=2∠ABD=4∠AFD，又AD平分∠BAC，①∠FAD=∠CAD．在△DAF和△DAC中，{AD=AD∠FAD=∠CAD AF=AC，①△DAF≌△DAC(ASA)，①∠AFD=∠ACD，①∠ACB=2∠ACD=2∠AFD，①∠ABC=2∠ACB．(3)证明见解析．解析: 如图3所示，延长AB至点F，使得BF=BD，连接DF，CF，则∠AFD=∠BDF，∠ABC=2∠AFD，又∠ABC=2∠ACB，①∠AFD=∠ACD．①BF=BD，AC=AB+BD，①AF=AB+BF=AB+BD=AC，①∠AFC=∠ACF，即∠AFD+∠DFC=∠ACD+∠DCF，①∠DFC=∠DCF，①DF=DC．在△DAF和△DAC中，{AD=AD DF=DC AF=AC，①△DAF≌△DAC(SSS)，①∠DAF=∠DAC，①AD平分∠BAC．。
人教版八年级数学上册全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法.doc
全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法例 1、如图，ABC 中，AB=2 AC，AD平分BAC ，且AD =BD ，求证： CD ⊥ ACAB CD例 2、如图，AD ∥ BC ，AE, BE分别平分∠DAB, ∠ CBA ， CD 过点 E ，求证;AB ＝ AD+BCADEBCABC 内，0例 3、如图，已知在BAC 60 ，BC，CA 上，C 40 ，P，Q分别在并且AP ， BQ 分别是BAC ，ABC 的角平分线。
求证：BQ+AQ=AB+BPABQPC例 4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC ，求证：A C180ADCB例 5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠ 1＝∠ 2，P为AD上任意一点，A 求证 ;AB －AC ＞ PB －PC1 2PCBD例、已知ABC 中，A 60 ，BD、CE分别平分ABC和 . ACB ，BD、CE交6于点 O ，试判断BE、CD、BC 的数量关系，并加以证明． AEODB C例7 、如图，点M 为正三角形ABD 的边 AB 所在直线上的任意一点(点B除外 )，作DMN 60 ，射线 MN 与∠DBA外角的平分线交于点N ，DM与MN有怎样的数量关系 ?DNA MB E变式练习：如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM 且与∠ ABC 外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？D CNA MB E例8 、如图所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E为MC 上一点，且∠ BAE =2 ∠ DAM．求证：AE =BC+CE ．A DMECB。
截长补短经典例题20道
截长补短经典例题20道一、三角形中的截长补短例1：在△ABC中，∠ABC = 60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点O。
求证：AC = AE+CD。
解析：在AC上截取AF = AE，连接OF。
因为AD平分∠BAC，所以∠EAO = ∠FAO。
在△AEO和△AFO中，AE = AF，∠EAO = ∠FAO，AO = AO，所以△AEO≌△AFO(SAS)。
所以∠AOE = ∠AOF。
因为∠ABC = 60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，所以∠BAC+∠ACB = 120°，则∠AOE =∠COD =∠AOF = 60°。
所以∠COF = 180° - ∠AOF - ∠COD=60°，即∠COF = ∠COD。
又因为CE平分∠ACB，所以∠FCO = ∠DCO。
在△FOC和△DOC中，∠FOC = ∠DOC，∠FCO = ∠DCO，CO = CO，所以△FOC≌△DOC(ASA)。
所以CD = CF。
因为AC = AF+CF，AF = AE，CF = CD，所以AC = AE + CD。
例2：已知：如图，在△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，BD是∠ABC的平分线。
求证：BC = AB+AD。
解析：过点D作DE⊥BC于E。
因为BD是∠ABC的平分线，∠A = 90°，DE⊥BC，所以AD = DE。
因为AB = AC，∠A = 90°，所以∠C = 45°。
在Rt△DEC中，因为∠C = 45°，所以DE = EC。
又因为BD = BD，AD = DE，∠A = ∠BED = 90°，所以△ABD≌△EBD(HL)。
所以AB = BE。
因为BC = BE+EC，AB = BE，AD = EC，所以BC = AB+AD。
二、四边形中的截长补短例3：如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，且∠EAF = 45°。
部编数学八年级上册专题02模型方法课之截长补短解题方法专练(解析版)(人教版)含答案
专题02模型方法课之截长补短解题方法专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．如图，△ABC 中，E 在BC 上，D 在BA 上，过E 作EF ⊥AB 于F ，∠B ＝∠1+∠2，AB ＝CD ，BF ＝43，则AD 的长为________．【答案】83【分析】在FA 上取一点T ，使得FT=BF ，连接ET ，在CB 上取一点K ，使得CK=ET ，连接DK ．想办法证明AT=DK ，DK=BD ，推出BD=AT ，推出BT=AD 即可解决问题．【详解】在FA 上取一点T ，使得FT =BF ，连接ET ，在CB 上取一点K ，使得CK =ET ，连接DK ．∵EB =ET ，∴∠B =∠ETB ，∵∠ETB =∠1+∠AET ，∠B =∠1+∠2，∴∠AET =∠2，∵AE =CD ，ET =CK ，∴△AET ≌△DCK (SAS )，∴DK =AT ，∠ATE =∠DKC ，∴∠ETB =∠DKB ，∴∠B =∠DKB ，∴DB =DK ，∴BD =AT ，∴AD =BT ，∵BT =2BF =83，∴AD =83，故答案为：83．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．二、解答题2．如图，ABC D 中，BE ，CD 分别平分ABC Ð和ACB Ð，BE ，CD 相交于点F ，60A Ð=°．（1）求BFD Ð的度数；（2）判断BC ，BD ，CE 之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）∠BFD ＝60°；（2）BC ＝BD ＋CE ；证明见解析【分析】（1）根据角平分线和外角性质求解即可；（2）在BC 上截取BG ＝BD ，连接FG ，证明△BDF ≌△BGF ，△CGF ≌△CEF ，即可得到结果；【详解】（1）∵BE ，CD 分别平分ABC Ð和ACB Ð，BE ，∴ABE CBE Ð=Ð，ACD BCD Ð=Ð，∴120ABC ACB Ð+Ð=°，∴60FB C FC B Ð+Ð=°，∴60DFB Ð=°．（2）BC ＝BD ＋CE ；证明方法：在BC 上截取BG ＝BD ，连接FG ，在△BDF 和△BGF 中，BD BG DBF GBF BF BF =ìïÐ=Ðíï=î，∴()△△B DF BG F S A S @，∴60D FB B FG Ð=Ð=°，又∵G C F E C F Ð=Ð，∴△CGF ≌△CEF （ASA ）,∴CE ＝CG ，∴BC ＝BD ＋CE ．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、外角定理、三角形全等应用，准确分析是解题的关键．3．已知等边三角形ABC ，D 为△ABC 外一点，BDC 120Ð=°，BD=DC ，MDN 60Ð=°，射线DM 与直线AB 相交于点M ，射线DN 与直线AC 相交于点N ．（1）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，直接写出BM 、NC 、MN 之间的数量关系；（2）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM ¹DN 时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明；（3）当点M 、N 在边AB 、CA 的延长线上时，请画出图形，并求出BM 、NC 、MN【答案】（1）BM+NC=MN ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）NC-BM=MN ，证明见解析．【分析】（1）由DM=DN ，∠MDN=60°，可证得△MDN 是等边三角形，又由△ABC 是等边三角形，CD=BD ，易证得Rt △BDM ≌Rt △CDN ，然后由直角三角形的性质，即可求得BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ；（2）在CN 的延长线上截取CM 1=BM ，连接DM 1．可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN ≌△M 1DN ，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN 上截取CM 1=BM ，连接DM 1，可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN ≌△M 1DN ，则可得NC-BM=MN ．【详解】解（1）BM 、NC 、MN 之间的数量关系：BM+NC=MN ．证明如下：∵BD=DC ，DM=DN ，MDN 60Ð=°∴∠BDC=∠DCB=180302BDC °-Ð=°，△MDN 为等边三角形，∴MN=MD=DN ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=90°，∴Rt △BDM ≌Rt △CDN （HL ），∴∠BDM =∠CDN=302BDC MDN Ð-Ð=°，∴11,22BM DM NC DN ==,∴BM+NC=MN ．证明：在CN的反向延长线上截取CM1=BM，连接DM1．∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠M1DN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，（3）证明：在CN上截取CM1=BM，连接DM1．与（2）同理可证△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，与（2）同理可证∠CDN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N，∴NC-BM=MN．【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．4．在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC 平分BAE Ð，90ACE Ð=°，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE Ð，EC 平分AED Ð，若120ACE Ð=°，则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．【答案】（1）AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ，证明见解析．【分析】（1）在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ，由三角形全等的判定可证得△ACB ≌△ACF ，根据全等三角形的性质可得BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ，根据三角形全等的判定证得△CEF ≌△CED ，得到EF ＝ED ，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ，根据全等三角形的判定证得△ACB ≌△ACF 和△ECD ≌△ECG ，由全等三角形的性质证得CF ＝CG ，进而证得△CFG 是等边三角形，就有FG ＝CG ＝12BD ，从而可证得结论．【详解】解：（1）如图（1），在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FACAC AC ìïÐÐíïî＝＝＝∴BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ．∵C 是BD 边的中点，∴BC ＝CD ．∴CF ＝CD ．∵∠ACE ＝90°，∴∠ACB ＋∠DCE ＝90°，∠ACF ＋∠ECF ＝90°．∴∠ECF ＝∠ECD ．在△CEF 和△CED 中，CF CD ECF ECDCE CE ìïÐÐíïî＝＝＝∴△CEF ≌△CED （SAS ）．∴EF ＝ED ．∵AE ＝AF ＋EF ，∴AE ＝AB ＋DE ．故答案为：AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FACìïÐÐ＝＝∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴CF＝CB，∠BCA＝∠FCA．同理可证：△ECD≌△ECG∴CD＝CG，∠DCE＝∠GCE．∵CB＝CD，∴CG＝CF．∵∠ACE＝120°，∴∠BCA＋∠DCE＝180°−120°＝60°．∴∠FCA＋∠GCE＝60°．∴∠FCG＝60°．∴△FGC是等边三角形．∴FG＝FC＝12BD．∵AE＝AF＋EG＋FG，∴AE＝AB＋DE＋12BD．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．5．在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DE//BC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，∠FDG12=∠BDE．（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC= ；（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_____________．【答案】（1）4；（2）FG=BF+EG，见解析；（3）FG=BF-EG【分析】（1）解直角三角形分别求出DF，CF即可解决问题．（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．在EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．（3）如图3中，结论：FG=BF-EG．在射线EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．【详解】（1）∵DE∥BC，∴∠BDE+∠ABC=180°，∵∠BDE=120°，∴∠ABC=60°，∵DF⊥BF，∴∠BFD=90°，∴DF=BF•tan60°1=，∵∠CDF12=∠BDE=60°，∠DFC=90°，∴CF=DF•tan60°3==，∴BC=BF+CF=1+3=4；（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．理由：在EA上截取EH，使得EH=BF．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴∠ADE=∠AED ，∴∠DEH=∠B ，在△DBF 和△DEH 中，BF EH B DEH BD DE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△DBF ≌△DEH （SAS ），∴DF=DH ，∠BDF=∠EDH ，∵∠FDG 12=∠BDE ，∴∠BDF+∠EDG=∠EDH+∠EDG=∠GDH 12=∠BDE ，∴∠GDF=∠GDH ，在△DGF 和△DGH 中，DF DH GDF GDH DG DG =ìïÐ=Ðíï=î，∴△DGF ≌△DGH （SAS ），∴FG=HG ，∵HG=EG+HE=EG+BF ，∴FG=BF+EG ；（3）如图3中，结论：FG=BF-EG ．理由：在射线EA 上截取EH ，使得EH=BF ．∵AB=AC ，∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴∠ADE=∠AED ，∴∠DEH=∠B ，在△DBF 和△DEH 中，BF EH B DEH BD DE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△DBF ≌△DEH （SAS ），∴DF=DH ，∠BDF=∠EDH ，∴∠BDE=∠FDH ，∵∠FDG 12=∠BDE 12=∠FDH ， ∴∠GDF=∠GDH ，在△DGF 和△DGH 中，DF DH GDF GDH DG DG =ìïÐ=Ðíï=î，∴△DGF ≌△DGH （SAS ），∴FG=HG ，∵HG=HE-GE=BF-EG ，∴FG=BF=-EG ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．6．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．（解决问题）如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF Ð=°，连接EF ，则EF BE DF =+，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG BE =，在ABE △与ADG V 中，90AB AD B ADG BE DG =ìïÐ=Ð=°íï=î∴ABE ADG V V ≌理由：（SAS ）进而证出：AFE △≌___________，理由：（__________）进而得EF BE DF =+．（变式探究）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD Ð=°点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF Ð=°．若B Ð、D Ð都不是直角，则当B Ð与D Ð满足等量关系________________时，仍有EF BE DF =+．请证明你的猜想．（拓展延伸）如图，若AB AD =，90¹°∠BAD ，45EAF й°，但12EAF BAD Ð=Ð，90B D Ð=Ð=°，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF之间的数量关系．【答案】（1）AFE AFG △≌△，理由：SAS ；（2）180B D Ð+Ð=°，证明见解析；（3）BE+DF=EF ．【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论AE AG =，进而证明AFE AFG △≌△，从而得出结论；（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造AFE AFG △≌△即可；（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可．【详解】（1）ABE ADG Q V V ≌，,,AE AG BAE DAG BE DG \=Ð=Ð=，则BAE FAD FAD ADG FAG Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，45EAF Ð=°Q ，45FAG \Ð=°，在AFG V 与AFE △中，AE AG EAF GAFAF AF =ìï=íï=î∠∠AFE AFG \△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE \==+=+；（2）满足180B D Ð+Ð=°即可，证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，180B ADF Ð+Ð=°Q ，180ADF ADG Ð+Ð=°，B ADG \Ð=Ð，在ABE △与ADG V 中，AB AD B ADGBE DG =ìïÐ=Ðíï=î()ABE ADG SAS \V V ≌，,,AE AG BAE DAG BE DG \=Ð=Ð=，则BAE FAD FAD ADG FAG Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，45EAF Ð=°Q ，45FAG \Ð=°，在AFG V 与AFE △中，AE AG EAF GAFAF AF =ìï=íï=î∠∠AFE AFG \△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE \==+=+；（3）BE+DF=EF ．证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，在ABE △与ADG V 中，90AB AD B ADG BE DG =ìïÐ=Ð=°íï=î()ABE ADG SAS \V V ≌，,AE AG BAE DAG \=Ð=Ð，则BAE FAD FAD ADG FAG Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，12EAF BAD Ð=ÐQ ，12FAG EAD FAE \Ð=Ð=Ð，在AFG V 与AFE △中，AE AG EAF GAFAF AF =ìï=íï=î∠∠AFE AFG \△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE \==+=+；．【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键．7．阅读题：如图1，OM 平分AOB Ð，以O 为圆心任意长为半径画弧，交射线OA ，OB 于C ，D 两点，在射线OM 上任取一点E （点O 除外），连接CE ，DE ，可证OCE ODE △△≌，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC V 中，2A B Ð=Ð，CD 平分ACB Ð交AB 于点D ，试判断BC 与AC 、AD 之间的数量关系；（2）如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD Ð，10BC CD ==，20AB =，8AD =，求ABC V 的面积．【答案】（1）BC=AC+AD ；（2）△ABC 的面积为80．【分析】（1）在CB 上截取CE=CA ，则由题意可得AD=DE ，∠CED=∠A ，再结合∠A=2∠B 可得DE=BE ，从而得到BC=AD+AC ；（2）在AB 上截取AE=AD ，连结CE ，过C 作CF ⊥AB 于F 点，由题意可得EC=BC ，从而得到EF 的长度，再由勾股定理根据EC 、EF 的长度求得CF 的长度，最后根据面积公式可以得到解答 ．【详解】解：（1）如图，在CB 上截取CE=CA ，则由题意得：△CAD ≌△CED ，∴AD=DE，∠CED=∠A，∵∠A=2∠B，∴∠CED=2∠B，又∠CED=∠B+∠EDB，∴∠B+∠EDB=2∠B，∴∠EDB=∠B，∴DE=BE，∴BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC；（2）如图，在AB上截取AE=AD，连结CE，过C作CF⊥AB于F点，∴由题意可得：△CDA≌△CEA，∴EC=CD=BC=10，AE=AD=8，∵CF⊥AB，∴EF=FB=208622AB AE--==，∴8 CF===，∴112088022ABCS AB CF=´=´´=V．【点睛】本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理是解题关键．8．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC ＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明VABE ≌V ADG ，再证明V AEF ≌V AGF ，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 12=∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【答案】（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明V ABE ≌V ADG ，可得AE=AG ，再证明V AEF ≌V AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明V ABE ≌V ADG ，可得AE=AG ，再证明V AEF ≌V AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（3）连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，然后与（2）同理可证．【详解】解：（1）EF ＝BE +DF ，证明如下：在V ABE 和V ADG 中，DG BE B ADG AB AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴V ABE ≌V ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF，∴∠EAF ＝∠GAF ，在V AEF 和V GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴V AEF ≌V AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为 EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，在V ABE 和V ADG 中，DG BE B ADG AB AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴V ABE ≌V ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在V AEF 和V GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴V AEF ≌V AGF （SAS ），∴EF ＝FG，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°，∴∠EOF 12=∠AOB ，又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF ＝2×（45+60）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AGF 是解题的关键．9．在ABC V 中，60ABC Ð=°，点D 、E 分别在AC 、BC 上，连接BD 、DE 和AE ；并且有AB BE =，AED C Ð=Ð．（1）求CDE Ð的度数；（2）求证：AD DE BD +=．【答案】（1）60°；（2）见解析【分析】（1）由AB BE =，60ABC Ð=°，可得ABE △为等边三角形，由AEB EAC C Ð=Ð+Ð，CDE EAC AED Ð=Ð+Ð，AED C Ð=Ð，可证60CDE AEB Ð=Ð=° （2）延长DA 至F ，使AF DE =，连接FB ， 由60BED AED Ð=°+Ð，60BAF C Ð=°+Ð，且C AED Ð=Ð，可证()FBA DBE SAS V V ≌ 由=DB FB ，可证FBD V 为等边三角形，可得BD FD =， 可推出结论，【详解】解：（1）∵AB BE =，60ABC Ð=°，∴ABE △为等边三角形，∴60BAE AEB Ð=Ð=°，∵AEB EAC C Ð=Ð+Ð，CDE EAC AED Ð=Ð+Ð，∵AED C Ð=Ð，∴60CDE AEB Ð=Ð=°（2）如图，延长DA 至F ，使AF DE =，连接FB ， 由（1）得ABE △为等边三角形，∴60AEB ABE Ð=Ð=°，∵60BED AEB AED AED Ð=Ð+Ð=°+Ð，又∵60BAF ABE C C Ð=Ð+Ð=°+Ð，且C AED Ð=Ð，∴BED BAF Ð=Ð，在FBA V 与DBE V 中，AB BE BAF BEDAF DE =ìïÐ=Ðíï=î∴()FBA DBE SAS V V ≌∴=DB FB ，DBE FBAÐ=Ð∴DBE ABD FBA ABD Ð+Ð=Ð+Ð，∴60ABE FBD Ð=Ð=°又∵=DB FB ，∴FBD V 为等边三角形∴BD FD =，又∵FD AF AD =+，且AF DE =，∴FD DE AD BD =+=，【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形．10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，点D 是△ABC 内一点，DB ＝DC ，∠DCB ＝30°，点E 是BD 延长线上一点，AE ＝AB ．（1）求∠ADB 的度数；（2）线段DE ，AD ，DC 之间有什么数量关系？请说明理由．【答案】（1）120°；（2）DE ＝AD +CD ，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC ＝∠ACB ＝75°，根据全等三角形的性质得到∠BAD ＝∠CAD ＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）在线段DE 上截取DM ＝AD ，连接AM ，得到△ADM 是等边三角形，根据△ABD ≌△AEM ，得到BD ＝ME ，结合图形证明结论【详解】解：（1）∵AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12（180°﹣30°）＝75°，∵DB ＝DC ，∠DCB ＝30°，∴∠DBC ＝∠DCB ＝30°，∴∠ABD ＝∠ABC ﹣∠DBC ＝45°，在△ABD 和△ACD 中，AB AC DB DC AD AD =ìï=íï=î，∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝15°，∴∠ADE ＝∠ABD +∠BAD ＝60°，∴∠ADB ＝180°﹣∠ADE ＝180°﹣60°＝120°；（2）DE ＝AD +CD，理由如下：在线段DE 上截取DM ＝AD ，连接AM ，∵∠ADE ＝60°，DM ＝AD ，∴△ADM 是等边三角形，∴∠ADB ＝∠AME ＝120°．∵AE ＝AB ，∴∠ABD ＝∠E ，在△ABD 和△AEM 中，ABD E ADB AME AB AE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△AEM （AAS ），∴BD ＝ME ，∵BD ＝CD ，∴CD ＝ME ．∵DE ＝DM +ME ，∴DE ＝AD +CD ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．11．如图，120CAB ABD Ð+Ð=°，AD 、BC 分别平分CAB Ð、ABD Ð，AD 与BC 交于点O ．（1）求AOB Ð的度数；（2）说明AB AC BD =+的理由．【答案】（1）120°；（2）见解析【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=60°，从而得到∠AOB；（2）在AB上截取AE=AC，证明△AOC≌△AOE，得到∠C=∠AEO，再证明∠C+∠D=180°，从而推出∠BEO=∠D，证明△OBE≌△OBD，可得BD=BE，即可证明AC+BD= A B．【详解】解：（1）∵AD，BC分别平分∠CAB和∠ABD，∠CAB+∠ABD=120°，∴∠OAB+∠OBA=60°，∴∠AOB=180°-60°=120°；（2）在AB上截取AE=AC，∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，∴△AOC≌△AOE（SAS），∴∠C=∠AEO，∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，∴∠AEO+∠D=180°，∵∠AEO+∠BEO=180°，∴∠BEO=∠D，又∠EBO=∠DBO，BO=BO，∴△OBE≌△OBD（AAS），∴BD=BE，又AC=AE，∴AC+BD=AE+BE=A B．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，全等三角形的判定和性质，解题的关键是截取AE=AC，利用全等三角形的性质证明结论．12．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【答案】见解析【分析】因为AB ＞AC ，所以在AB 上截取线段AE ＝AC ，则BE ＝AB －AC ，连接EM ，在△BME 中，显然有MB －ME ＜BE ，再证明ME ＝MC ，则结论成立．【详解】证明：在AB 上截取AE ＝AC ，连接ME ，在△MBE 中，MB －ME ＜BE （三角形两边之差小于第三边）,∵AD 是∠BAC 的平分线，∴BAD CAD Ð=Ð,在△AMC 和△AME 中，∵AC AE CAM EAMAM AM =ìïÐ=Ðíï=î∴△AMC ≌△AME （SAS ），∴MC ＝ME （全等三角形的对应边相等）．又∵BE ＝AB －AE ，∴BE ＝AB －AC ，∴MB －MC ＜AB －AC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造全等三角形．13．如图所示，已知AC 平分∠BAD ，180B D Ð+Ð=°，CE AB ^于点E ，判断AB 、AD 与BE 之间有怎样的等量关系，并证明．【答案】2AB AD BE =+，证明见解析【分析】在AB 上截取EF ，使EF=BE ，联结CF ．证明()BCE ECF SAS V V ≌，得到B BFC Ð=Ð，又证明AFC ADC V V ≌，得到AF AD =，最后结论可证了．【详解】证明:在AB 上截取EF ，使EF=BE ，联结CF ．CE AB^Q 90BEC FEC \Ð=Ð=°在BCE V 和ECF △BE EF BEC FECCE CE =ìïÐ=Ðíï=î()BCE ECF SAS \V V ≌B BFC \Ð=Ð 180BD Ð+Ð=°Q 180BFC AFC Ð+Ð=°Q 又D AFC \Ð=ÐQ AC 平分∠BADFAC DAC\Ð=Ð在AFC △ 和ADC V中AFC D FAC DACAC AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()AFC ADC AAS \V V ≌AF AD\=AB AF BE EF=++Q 2AB AD BE\=+【点睛】本题考查三角形全等知识的综合应用，关键在于寻找全等的条件，作适当的辅助线加以证明．14．如图所示，//AB DC AB AD BE ^，，平分ABC CE Ð，平分BCD Ð；（1）求AB CD 、与BC 的数里关系，并说明你的理由．（2）若把AB AD ^条件去掉，则（1）中AB CD 、与BC 的数里关系还成立吗?并说明你的理由．【答案】（1）AB CD BC +=，见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）先写出数量关系，过E 作EF BC ^于F ，然后证明CDE CFE D @D 和ABE FBE @D D ，便可得结论了．（2）成立, 在BC 上截取CF CD =证明CDE CFE D @D 和ABE FBE @D D ，便可得到结论．【详解】()1AB CD BC+=理由是：过E 作EF BC ^于FCE 为角平分线DCE FCE \Ð=Ð//AB DC AB AD^Q，90D \Ð=oEF BC^Q D CFE \Ð=ÐCE CE =Q()CDE CFE AAS D @D CD CF\=同理可证()ABE FBE AAS D @D AB BF \=CF BF AB+=AB CD BC\+=()2成立理由：在BC 上截取CF CD=CE 为角平分线DCE FCE\Ð=ÐCE CE=Q ()CDE CFE SAS D @D CD CF \= D CFE Ð=ÐQ //AB DC180D A \Ð+Ð=o又180CFE EFB Ð+=o QA EFB \Ð=Ð又BE Q 是角平分线ABE FBE \Ð=ÐBE BE =Q()BAE BFE AAS D @D AB FB\=\ CF BF AB+=AB CD BC\+=15．如图，ABC V 是边长为1的等边三角形，BD CD =，120BDC Ð=°，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且60EDF Ð=°，求AEF V 的周长．【答案】2【分析】延长AC 至点P ，使CP BE =，连接PD ，证明()BDE CDP SAS △△推出DE DP =，BDE CDP Ð=Ð，进而得到60EDF PDF Ð=Ð=°，从而证明()DEF DPF SAS ≌△△，推出EF=CP ，由此求出AEF V 的周长=AB+AC 得到答案.【详解】解：如图，延长AC 至点P ，使CP BE =，连接PD ．∵ABC V 是等边三角形，∴60ABC ACB Ð=Ð=°．∵BD CD =，120BDC Ð=°，∴30DBC DCB Ð=Ð=°，∴90EBD DCF Ð=Ð=°，∴90DCP DBE Ð=Ð=°．在BDE V 和CDP V 中，BD CD DBE DCP BE CP =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BDE CDP SAS △△，∴DE DP =，BDE CDP Ð=Ð．∵120BDC Ð=°，60EDF Ð=°，∴60BDE CDF Ð+Ð=°，∴60CDP CDF Ð+Ð=°，∴60EDF PDF Ð=Ð=°．在DEF V 和DPF V 中，DE DP EDF PDF DF DF =ìïÐ=Ðíï=î，∴()DEF DPF SAS ≌△△，∴EF FP =，∴EF FC BE =+，∴AEF V 的周长2AE EF AF AB AC =++=+=.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形等边对等角的性质，题中辅助线的引出是解题的关键.16．已知，90POQ Ð=o ，分别在边OP ，OQ 上取点A ，B ，使OA OB =，过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ．点E ，F 分别是射线OP ，OQ 上动点，连接CE ，CF ，EF ．（1）求证：OA OB AC BC ===；（2）如图1，当点E ，F 分别在线段AO ，BO 上，且45ECF Ð=o 时，请求出线段EF，AE ，BF 之间的等量关系式；（3）如图2，当点E ，F 分别在AO ，BO 的延长线上，且135ECF Ð=o 时，延长AC 交EF 于点M ，延长BC 交EF 于点N ．请猜想线段EN ，NM ，FM 之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）EF AE BF =+；（3）222MN EN FM =+，见解析【分析】（1）连接AB ,通过90POQ Ð=o ，OA OB =得到AOB V 为等腰直角三角形，进而得到45OAB OBA Ð=Ð=o ，根据过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ，可推出45CBA Ð=o ，45BAC Ð=o ，最后通过证明AOB V ≌ACB △，可以得出结论；（2）在射线AP 上取点D ，使AD BF =，连接CD ，通过证明CAD V ≌CBF V ，得到CD CF =，ACD BCF Ð=Ð，再结合45ECF Ð=o ，90ACB Ð=o 推导证明ECD V ≌ECF △，得到ED EF =，最后等量代换线段即可求解；（3）延长AO 到点D ，使得AD BF =，连接CD ，通过证明CAD V ≌CBF V ，得到CD CF =，ACD BCF Ð=Ð，再结合135ECF Ð=o ，推导证明ECD V ≌ECF △，得到D CFM Ð=Ð，根据D CFB Ð=Ð，等量代换可知CFM CFB Ð=Ð，又因为//AC OQ ，推出MCF CFB Ð=Ð，进而得到MC MF =，同理可证CN EN =，最后根据勾股定理即可求解．【详解】解：（1）证明：连接AB ．Q 90POQ Ð=o ，OA OB =，\AOB V 为等腰直角三角形，\45OAB OBA Ð=Ð=o ，又Q //BC OP ，且90POQ Ð=o ，\BC OQ ^，\90CBF Ð=o ，\45CBA Ð=o ，同理，45BAC Ð=o ，在AOB V 与ACB △中OAB CAB AB ABOBA CBF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，\AOB V ≌ACB △()ASA ，\90AOB ACB Ð=Ð=o ，OA OB AC BC ===；（2）如图1，在射线AP 上取点D ，使AD BF =，连接CD ．在CAD V 与CBF V 中CA CB CAD CBF AD BF =ìïÐ=Ðíï=î，\CAD V ≌CBF V ()SAS ，\CD CF =，ACD BCF Ð=Ð，Q 45ECF Ð=o ，90ACB Ð=o ，\45ACE BCF Ð+Ð=o ，\45ACE ACD ECD Ð+Ð=Ð=o ，\ECD ECF Ð=Ð，在ECD V 与ECF △中CD CF ECD ECFCE CE =ìïÐ=Ðíï=î\ECD V ≌ECF △()SAS ，\ED EF =，又Q ED AD AE BF AE =+=+，\EF AE BF =+．（3）222MN EN FM =+．证明如下：如图2，延长AO 到点D ，使得AD BF =，连接CD ．\90CAD CBF Ð=Ð=o ，在CAD V 与CBF V 中CA CB CAD CBF AD BF =ìïÐ=Ðíï=î，\CAD V ≌CBF V ()SAS ，\CD CF =，ACD BCF Ð=Ð，Q 90ACD DCB Ð+Ð=o ，\90BCF DCB DCF Ð+Ð==Ðo ，\90FCD BCA Ð=Ð=o ，Q 135ECF Ð=o ，\36090135135ECD Ð=--=o o o o ，\ECF ECD Ð=Ð，在ECD V 与ECF △中EC EC ECD ECF CD CF =ìïÐ=Ðíï=î，\ECD V ≌ECF △()SAS ，\D CFM Ð=Ð，Q CAD V ≌CBF V ，\D CFB Ð=Ð，\CFM CFB Ð=Ð，Q //AC OQ ，\MCF CFB Ð=Ð，\CFM MCF Ð=Ð，\MC MF =，同理可证：CN EN =，\在Rt MCN △中，由勾股定理得：22222MN CN CM EN FM =+=+．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定,勾股定理以及正方形的有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键．17．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D Ð+Ð=°，连接AC ．①小明发现，此时AC 平分BCD Ð．他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB 到点E ，使得BE CD =，连接AE ，证明ABE ADC △≌△，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC 平分BCD Ð．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．②如图2，当90BAD Ð=°时，请你判断线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系，并证明．（2）如图3，等腰CDE △、等腰ABD △的顶点分别为A 、C ，点B 在线段CE 上，且180ABC ADC Ð+Ð=°，请你判断DAE Ð与DBE Ð的数量关系，并证明．【答案】（1）①见解析；②CD BC +=，证明见解析；（2）2DAE DBE Ð=Ð，证明见解析【分析】（1）①参考小明的想法，延长CB 到点E ，使得BE CD =，连接AE ，证明ABE ADC △≌△，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC 平分；②沿用①中辅助线，延长CB 到点E ，使得BE CD =，连接AE ，证得直角三角形CAE ，再利用勾股定理可求得AC ，BC ，CD 之间的数量关系；（2）类比（1）中证明的思路，延长CD 至F ，使得DF CB =，连AF ，证明ABC ADF ≌△△、ACD ACE V V ≌，再利用全等三角形的对应角相等和等腰三角形等边对等角的性质，找到DAE Ð与DBE Ð的数量关系．【详解】（1）如图，延长CB 到点E ，使得BE CD =，连接AE ．180ADC ABC Ð+Ð=°Q ，180ABE ABC Ð+Ð=°，ADC ABE\Ð=Ð在ADC V 与ABE △中，AD AB ADC ABECD EB =ìïÐ=Ðíï=îQ ()ADC ABE SAS \△≌△ACD AEB \Ð=Ð，AC AE=ACB AEB\Ð=ÐACD ACB \Ð=Ð．AC \平分BCDÐ（2）CD BC +=证明：如图，延长CB 到点E ，使得BE CD =，连接AE ．由（1）知，(SAS)ADC ABE V V ≌DAC BAE \Ð=Ð，AC AE=90BAD DAC CAB Ð=Ð+Ð=°Q90CAE BAE CAB DAC CAB BAD \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°在直角三角形CAE 中，90CAE Ð=°2CE \==CD BC \+=（3）2DAE DBEÐ=Ð证明：如图，延长CD 至F ，使得DF CB =，连AF ，由（1）知，()ABC ADF SAS △≌△AF AC \=，ACB FÐ=ÐACD F\Ð=ÐACD ACE\Ð=Ð在ACD △与ACE V 中，CD CEACD ACEAC AC=ìïÐ=Ðíï=îQ ()ACD ACE SAS \△≌△AD AE\=AD AE AB\==ADB ABD \Ð=Ð，AEB ABEÐ=Ð1802BAD ADB \Ð=°-Ð，1802BAE ABE Ð=°-Ð，360DAE BAD BAEÐ=°-Ð-ÐQ ()()36018021802DAE ADB ABE \Ð=°-°-Ð-°-Ð22ADB ABE=Ð+Ð2DBE=Ð【点睛】本题考查三角形的基本知识、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质与判定．综合性较强．18．在平行四边形ABCD 中，AB CD ^于E ，CF AD ^于F ，H 为AD 上一动点，连接CH ，CH 交AE 于G ，且4AE CD ==．（1）如图1，若60B Ð=°，求CF 、AF 的长；（2）如图2，当FH FD =时，求证：CG ED AG =+；（3）如图3，若60B Ð=°，点H 是直线AD 上任一点，将线段CH 绕C 点逆时针旋转60°，得到线段CH ¢AH ¢的最小值_____．【答案】（1）CF =，2AF =；（2）见解析；（3）4-．【分析】（1）由平行四边形性质可得60B D Ð=Ð=°，利用30°直角三角形性质开得122DF DC ==，根据勾股定理CF =，设DE a =，则2AD a =，根据勾股定理()22242a a +=，解得a =（2）方法1补短：如图3，延长GA 到M 使AM DE =，连接MB 、MC ，由平行四边形ABCD 性质，可得AB ∥CD ，AB =CD ，可证ADE BMA ≌△△（SAS ），可得BM AD =，D BMA Ð=Ð，由CF 垂直平分DH ，CH CD =，可证BM BC =，再证GM GC =即可；方法2截长：如图4，过点B 作BN CH ^于点N ，连接BG ，先证CFH CFD≌△△（SAS ），再证BNC AED ≌△△（AAS ），最后证Rt Rt ABG NBG ≌△△（HL ），可得AG GN=即可，（3）在DA 上截取DP DC =，连接CP 、PH ¢，先证CDP V 是等边三角形，可得60DCP HCH ¢Ð=Ð=°，CD CP =，可证CDH CPH ¢≌△△（SAS ），可证PH AE ¢^，设PH′交AE 与Q ，点H′在射线PQ 上运动，当点H′运动到点Q 是AH′最短由30DAE Ð=°，先求122QP AP ==，由勾股定理4AQ =-【详解】（1）由平行四边形性质可得60B D Ð=Ð=°，在Rt CFD V 中，60D Ð=°，30FCD Ð=°，4CD =，∴122DF DC ==，根据勾股定理CF ===在Rt AED △中，60D Ð=°，30DAE Ð=°，4AE =，设DE a =，则2AD a =，根据勾股定理222AE DE AD +=，即()22242a a +=，解得a ，∴AD =2AF AD DF =-=；（2）方法1补短：如图3，延长GA 到M 使AM DE =，连接MB 、MC ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，AB =CD ，∵AE CD^∴AE ⊥AB ，∴90AED BAM Ð=Ð=°，在△ADE 和△BMA 中，AE AB AED BAM DE MA =ìïÐ=Ðíï=î，∴ADE BMA ≌△△（SAS ），∴BM AD =，D BMA Ð=Ð，∵CF DH ^，DF HF =，∴CF 垂直平分DH ，∴CH CD =，∴D DHC Ð=Ð，∵D BMA Ð=Ð，DHC BCH Ð=Ð，∴BMA BCH Ð=Ð，∵AD BC =，∴BM BC =，∴BMC BCM Ð=Ð，∴GMC GCM Ð=Ð，∴GM GC =，∴GC GM AG AM AG DE ==+=+．方法2截长：如图4，过点B 作BN CH ^于点N ，连接BG ，∵CF ⊥AD ，∴CFH CFD Ð=Ð，在△CFH 和△CFD 中，FH FD CFH CFDCF CF =ìïÐ=Ðíï=î∴CFH CFD ≌△△（SAS ），∴CHF D Ð=Ð，∵//AD BC ，∴CHF HCB Ð=Ð，在△BNC 和△AED 中，NCB D BNC AEDBC AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴BNC AED ≌△△（AAS ），∴CN DE =，BN AE =，∵AE CD AB ==，∴BN AB =，∵//AB CD ，AE CD ^于E ，∴90BAG Ð=°=∠BNG ，在Rt △ABG 和Rt △NBG 中BG BG AB NB=ìí=î∴Rt Rt ABG NBG ≌△△（HL ），∴AG GN =，∴CG GN NC AG DE =+=+．（3）在DA 上截取DP DC =，连接CP 、PH ¢，∵60B D Ð=Ð=°，∴CDP V 是等边三角形，∴60DCP HCH ¢Ð=Ð=°，CD CP =，∴DCH PCH ¢Ð=Ð，在△CDH 和△CPH′中，CD CH DCH PCH CH CH =ìïÐ=Ðíï=¢¢î¢∴CDH CPH ¢≌△△（SAS ），∴60CPH D ¢Ð=Ð=°，∴CPH PCD ¢Ð=Ð，∴//PH CD ¢，∵AE CD ^，∴PH AE ¢^，设PH′交AE 与Q ，点H′在射线PQ 上运动，当点H ′运动到点Q 是AH′最短∵30DAE Ð=°由（1）得：AD ，4CD DP ==，4AP =，∴12QP AP ==，42AQ==-，∴AH ¢的最小值为4-．故答案为：4-．【点睛】本题考查平行四边形性质，30度直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，等边三角形判定与性质，垂线段最短，掌握平行四边形性质，30度直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，等边三角形判定与性质，垂线段最短是解题关键．19．问题提出，如图1所示，等边△ABC内接于⊙O，点P是¶AB上的任意一点，连结PA，PB，PC．线段PA、PB、PC满足怎样的数量关系?（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB，∠ACB=60°，从而将CP绕点逆时针旋转60°交PB延长线于点M，从而证明△PAC≌△MBC，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA、PB、PC的数量关系是；（自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，①PC与PA，PB有怎样的数量关系?请说明理由：②PC+PD与PA，PB的数量关系是．（直接写出结果）（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE与PA+PB的数量关系是．（直接写出结果）【答案】【尝试解决】PA+PB=PC；【自主探索】①PC PA=；理由见解析；②PC PD PE PA PB++=+．PC PD PA PB+=+；【灵活应用】2)()1)()【分析】尝试解决：利用旋转性质证明△PAC≌△MBC，得到PA=BM，得到PM等于PB与PA 的和，再证明△PCM是等边三角形，得到PM等于PC，即可得到结果；自主探索：①在PC上截取QC=PA，证出△CBQ全等于△ABP，得到△PBQ是等腰直角三角形，PQ等于PB②同①方法，即可得到PD与PA和PB的关系，即可求出PC+PD与PA和PB的关系；灵活应用：类比（自主探索）中的方法证明PC与PA和PB的关系，再用同样的方法证明PE与PA和PB的关系，构造△CDM全等于△CBP，得到PD与PC的关系，进一步得到PD与PA和PB的关系，最终求出PD+PE+PC的和即可得到与PA和PB的关系．【详解】尝试解决：PA+PB=PC；证明：因为∠ACP+∠PCB=60°，∠MCB+∠PCB=60°，∴∠ACP=∠MCB，又∵CP=CM，AC=MC，∴△ACP≌△BCM，所以PA=BM，∠CBM=∠CAP，∵四边形APBC内接于圆O，∴∠CAP+∠CBP=180°，∴∠CBM+∠CBP=180° ，∴P、B、M三点共线，∴△PCM 是等边三角形，∴PM=PC ，∴PC=PM=PB+BM=PB+PA ；自主探索：①PC 与PA 、PB 的数量关系为PC PA =；理由：截取CQ=PA ，，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=AB ，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∵PA=CQ ，∠BCQ=BAP ，BC=AB∴△BCQ ≌△BAP ，∴∠CBQ=∠ABP ，BQ=BP ，∵∠CBQ+∠ABQ=90°，∴90ABP ABQ Ð+Ð=°，∴△PBQ 是等腰直角三角形，∴PB ，∴PC CQ PQ PA =+=；②1)()PC PD PA PB +=+证明：在PD 上截取DH=PB ，∵DH=PB ，∠ADH=∠ABP ，AD=AB∴△ADH ≌△ABP∴∠DAH=∠BAP ，AH=AP ，∵∠DAH+∠HAP=90°，∴∠BAP+∠HAP=90°，∴△HAP 是等腰直角三角形，∴PA ，∴PD=DH+PH=PB+，∴1)()PC PD PA PB +=+．灵活应用：2)()PC PD PE PA PB ++=++．。
八年级数学上册三角形全等作辅助线模型截长补短(人教版)(1)
一、填空题1．如图，已知 ABC 中，∠A =60︒，D 为AB 上一点，且AC =2AD +BD ,∠B =4∠ACD ，则∠DCB 的度数是_________八年级数学上册三角形全等作辅助线模型截长补短（人教版）．2．如图，△ABC 中，E 在BC 上，D 在BA 上，过E 作EF ⊥AB 于F ，∠B ＝∠1+∠2，AB ＝CD ，BF ＝43，则AD 的长为________．二、解答题3．思维探索：在正方形ABCD 中，AB ＝4，∠EAF 的两边分别交射线CB ，DC 于点E ，F ，∠EAF ＝45°．（1）如图1，当点E ，F 分别在线段BC ，CD 上时，△CEF 的周长是；（2）如图2，当点E ，F 分别在CB ，DC 的延长线上，CF ＝2时，求△CEF 的周长；拓展提升：如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，过点B 作BD ⊥BC ，连接AD ，在BC 的延长线上取一点E ，使∠EDA ＝30°，连接AE ，当BD ＝2，∠EAD ＝45°时，请直接写出线段CE 的长度．4．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．（1）求证：AE=EF；（2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？；（填“成立”或“不成立”）；（3）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由．5．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.6．已知等边ABC ∆中，点O 是边AC ，BC 的垂直平分线的交点，M ，N 分别在直线AC ，BC 上且60MON ∠=°，（1）如图所示，点M ，N 分别在边AC ，BC 上，求证：AM CN MN =+；（2）如图所示，点M 在边AC 上，点N 在BC 的延长线上，求AM CN MN+的值.7．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD ，以D 为顶点作MDN ∠，交边AC ，BC 于点M ，N ．（1）如图（1），若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，当MDN ∠绕点D 旋转时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M ，N 分别改在CA ，BC 的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM ，MN ，BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．8．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积．9．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．10．数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD ∠=∠；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ⊥交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB ∠与HFC ∠有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD ∠=∠；（2）猜想AFB ∠与HFC ∠的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．11．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：如图①，在四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 是BAD ∠的平分线，AD BC ∥．求证：AB AD BC =+．小聪同学发现以下两种方法：方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点F ．方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CG ．（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；（2）如图④，在四边形ABCD 中，AE 是BAD ∠的平分线，E 是边CD 的中点，60BAD ∠=︒，11802D BCD ∠+∠=︒，求证：CB CE =．12．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC的度数；（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明．13．如图1，在ABC 中，AB AC =，AC 平分BCD ∠，连接BD ，2ABD CBD ∠=∠，BDC ABD ACD ∠=∠+∠．（1）求A ∠的度数：（2）如图2，连接AD ，AE AD ⊥交BC 于E ，连接DE ，求证：DEC BAE ∠=∠；（3）如图3，在（2）的条件下，点G 为CE 的中点，连接AG 交BD 于点F ，若32ABC S =△，求线段AF 的长．14．如图所示，已知AC 平分∠BAD ，180B D ∠+∠=︒，CE AB ⊥于点E ，判断AB 、AD 与BE 之间有怎样的等量关系，并证明．15．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠EAF=12∠BAC ，BF ⊥AE 于E 交AF 于点F ，连结CF ．（1）如图1所示，当∠EAF 在∠BAC 内部时，求证：EF ＝BE +CF ．（2）如图2所示，当∠EAF 的边AE 、AF 分别在∠BAC 外部、内部时，求证：CF ＝BF +2BE ．16．如图，在ABC 中，AC BC =，AD 平分CAB ∠．（1）如图1，若90ACB =︒，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，若AB AC BD =+，求ACB ∠的度数；（3）如图3，若100ACB ∠=︒，求证：AB AD CD =+．17．如图所示，//AB DC AB AD BE ⊥，，平分ABC CE ∠，平分BCD ∠；（1）求AB CD 、与BC 的数里关系，并说明你的理由．、与BC的数里关系还成立吗?并说明你（2）若把AB AD⊥条件去掉，则（1）中AB CD的理由．18．已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC （1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP ＋∠QBC（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP ＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．⊥，且EF交正19．如图，在正方形ABCD中，点E迕射线BC上，连接AE，作EF AE方形外角的平分线CF于点F．（1）若点E 在边BC 的中点处时，AE ________EF （填“＞”“＜”或“=”）（2）若点E 为边BC 上的任意一点（不含点B ，C ），探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由．（3）若点E 是边BC 延长线上的一点，探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由．20．如图，ABC 是边长为1的等边三角形，BD CD =，120BDC ∠=︒，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且60EDF ∠=︒，求AEF 的周长．21．已知等腰△ABC 中，AB=AC ，点D 在直线AB 上，DE ∥BC ，交直线AC 与点E ，且BD=BC ，CH ⊥AB ，垂足为H ．（1）当点D 在线段AB 上时，如图1，求证DH=BH+DE ；（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明．参考答案1．20°【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用等边三角形的性质，得到角相等，边相等，根据三角形全等，得到角相等，利用外角的性质列方程求解；【详解】解：如图，延长AB 至点E 使BE AD =，连接CE ．∴2=++=+AE AD DB BE AD BD ．∵2=+AC AD BD ，∴AE AC =．∵60A ∠=︒，∴AEC 是等边三角形，∴60∠=∠=︒E ACE ．∵4∠=∠ABC ACD ，∴设ACD x ∠=，则4∠=ABC x ．在ADC 与EBC 中，∵,,,AD BE A E AC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ≌ADC EBC ，∴∠=∠=ACD ECB x ．∵∠=∠+∠ABC E BCE ，∴460=︒+x x ，∴20x =︒，∴60202020∠=︒-︒-︒=︒BCD．【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，准确分析是解题的关键．2．8 3【分析】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．想办法证明AT=DK，DK=BD，推出BD=AT，推出BT=AD即可解决问题．【详解】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．∵EB=ET，∴∠B=∠ETB，∵∠ETB=∠1+∠AET，∠B=∠1+∠2，∴∠AET=∠2，∵AE=CD，ET=CK，∴△AET≌△DCK(SAS)，∴DK=AT，∠ATE=∠DKC，∴∠ETB=∠DKB，∴∠B=∠DKB，∴DB=DK，∴BD=AT，∴AD=BT，∵BT=2BF=8 3，∴AD=8 3，故答案为：8 3．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．3．思维探索：（1）8；（2）12；拓展提升：CE＝﹣1．【分析】思维探索：（1）利用旋转的性质，证明△AGE≌△AFE即可；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，证明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，推出四边形ACBG是矩形，得到矩形ACBG是正方形，根据正方形的性质得到AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，根据全等三角形的性质得到AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∠ADF＝∠ADE＝30°，解直角三角形得到DE＝DF＝4，BE＝CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝﹣x，根据线段的和差即可得到结论．【详解】思维探索：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，在△AGE和△AFE中AG AF GAE EAF AE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝8，故答案为：8；（2）如，2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，同（1）可证得△AEF≌△AGF，∴EF＝GF，且DG＝BE，∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+DF﹣BE＝BC+DF+CF＝4+4+2+2＝12；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，∵BD⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBG＝∠G＝90°，∴四边形ACBG是矩形，∵AC＝BC，∴矩形ACBG是正方形，∴AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，∴△AEC≌△AGF（SAS），∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∵∠EAD＝∠BAC＝∠GAB＝45°，∴∠DAF＝∠DAE＝45°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（SAS），∴∠ADF＝∠ADE＝30°，∴∠BDE＝60°，∵∠DBE＝90°，BD＝2，∴DE＝DF＝4，BE＝设CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝x，∴DG＝x，∴DG﹣FG＝DF，即﹣x﹣x＝4，∴x﹣1，∴CE1．【点拨】本题以正方形为背景，结合旋转，三角形全等，解直角三角形进行综合性考查，熟知常见的全等模型，旋转性质，三角形的判定及性质，正方形，矩形的性质是解题的关键．4．（1）证明见解析；（2）成立；（3）成立，证明见解析.【解析】试题分析：（1）取AB中点M，连接EM，求出BM=BE，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；（2）截取BE=BM，连接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；（3）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．试题解析：（1）证明：取AB中点M，连接EM，∵AB=BC，E为BC中点，M为AB中点，∴AM=CE=BE，∴∠BME=∠BME=45°，∴∠AME=135°=∠ECF，∵∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEC=90°，在△AME和△ECF中，MAE CEF AM EC AME ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF；（2）成立，理由是：如图，在AB上截取BM=BE，连接ME，∵∠B=90°，∴∠BME=∠BEM=45°，∴∠AME=135°=∠ECF，∵AB=BC，BM=BE，∴AM=EC，在△AME和△ECF中，MAE CEF AM EC AME ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF；（3）成立．证明：如图，在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE，∴BN=BE，∴∠N=∠NEC=45°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCE=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，即∠DAE+90°=∠BEA+90°，∴∠NAE=∠CEF，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键是去AM=EC，然后构造出△AME和△ECF全等是解题的关键.5．（1）CD=2AD；（2）CD=3AD；（3）BC=AD+BD.【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=2DE，进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC 于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明△DAF≌△DEG，可得DA=DE，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE，即可得出结论．【详解】（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DE=AD，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=2DE=2AD，故答案为：CD=2AD（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，在△ABD 和△EBD 中，AB =BE ∠ABD =∠DBE BD =BD，∴△ABD ≌△EBD ，∴DE=AD ，∠BED=∠A=120°，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，∴CD=3DE=3AD.（3）如图，在BC 上取一点E ，是BE=BD ，作DF ⊥BA 于F ，DG ⊥BC 于G ，∴∠DFA=∠DGE=90°．∵BD 平分∠ABC ，DF ⊥BA ，DG ⊥BC ，∴DF=DG ．∵∠BAC=100°，AB=AC ，∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∴∠DBC=20°，∵BE=BD ，∴∠BED=∠BDE=80°，∴∠FAD=∠BED ．在△DAF 和△DEG 中，∠DFA =∠DGE ∠FAD =∠BED DF=DG，∴△DAF ≌△DEG （AAS ），∴AD=ED ．∵∠BED=∠C+∠EDC ，∴80°=40+∠EDC ，∴∠EDC=40°，∴∠EDC=∠C ，∴DE=CE ，∴AD=CE ．∵BC=BE+CE ，∴BC=BD+AD ．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．6．（1）见解析，（2）1AM CN MN+=【解析】【分析】（1）在AM 上截取AN′=CN ，连接ON′，OC ，OA ，根据等边三角形的性质和线段垂直平分线得出∠OCN=∠OAN′，OC=OA ，证△OCN ≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根据SAS 证△MON ≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案；（2）延长CA 到N′，使AN′=CN ，连接OC ，OA ，ON′，证△OCN ≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根据SAS 证△MON ≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案.【详解】（1）在AM 上截取AN′=CN ，连接ON′，OC ，OA ，∵O 是边AC 和BC 垂直平分线的交点，△ABC 是等边三角形，∴OC=OA ，由三线合一定理得：∠OCB=∠OCA=∠OAC=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，∴∠OCN=∠OAN′=30°，∵在△OCN 和△OAN′中OC OA NCO OAN AN CN ⎧⎪∠∠'⎨⎪'⎩＝＝＝，∴△OCN ≌△OAN′（SAS ），∴ON=ON′，∠CON=∠AON′∴∠N′ON=∠COA=120°，又∵∠MON=60°，∴∠MON=∠MON′=60°∵在△NOM 和△N′OM 中ON ON NOM N OM OM OM '⎧⎪∠∠'⎨⎪⎩＝＝＝，∴△NOM ≌△N′OM ，∴MN=MN′，∵MN′=AM-AN′=AM-CN ，∴MN=AM-CN ．即AM CN MN =+；（2）延长CA 到N′，使AN′=CN ，连接OC ，OA ，ON′，∵O 是边AC 和BC 垂直平分线的交点，△ABC 是等边三角形，∴OC=OA ，由三线合一定理得：∠OCA=∠OAB=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，∴∠OCN=∠OAN′，∵在△OCN 和△OAN′中OA OC OCN OAN CN AN ⎧⎪∠∠'⎨⎪'⎩＝＝＝，∴△OCN ≌△OAN′（SAS ），∴ON′=ON ，∠CON=∠AON′，∵∠COA=120°，∠NOM=60°，∴∠CON+∠AOM=60°，∴∠AON′+∠AOM=60°，即∠NOM=∠N′OM ，∵在△NOM 和△N′OM 中ON ON NOM N OM OM OM '⎧⎪∠∠'⎨⎪⎩＝＝＝，∴△NOM ≌△N′OM ，∴MN=MN′，∵MN′=AM+AN′=AM+CN ，∴MN=AM+CN ．【点拨】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，主要考查学生的推理能力和猜想能力，题目具有一定的代表性，证明过程类似．7．（1）AM BN MN +=；证明见解析；（2）AM BN MN +=；证明见解析；（3）补图见解析；BN AM MN -=；证明见解析．【分析】（1）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（2）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（3）在CB 截取BE=AM ，连接DE ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可．【详解】（1）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒ ，90A EBD ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴ ≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．MDN ADC BDC ∠=∠=∠ ，ADM NDC BDE ∴∠=∠=∠，MDC NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+ ，AM BN MN ∴+=；（2）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒ ，90A DBE ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=，ADC CDB ∠=∠．在DAM △和DBE 中，AM BEA DBE AD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴ ≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．90MDN ACD ∠+∠=︒ ，90ACD ADC ∠+∠=︒，ADC CDB ∠=∠，NDM ADC CDB ∴∠=∠=∠，ADM CDN BDE ∴∠=∠=∠，CDM NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DEMDN EDN DN DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+ ，AM BN MN ∴+=；（3）补充完成题图，如图所示．BN AM MN -=．证明如下：如上图，在CB 上截取BE=AM ，连接DE ．90CDA ACD ∠+∠=︒ ，90MDN ACD ∠+∠=︒，MDN CDA ∴∠=∠，MDA CDN ∴∠=∠．90B CAD ∠=∠=︒ ，90B DAM ∴∠=∠=︒．在DAM △和DBE 中，AM BE DAM DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴ ≌，BDE ADM CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =．ADC BDC MDN ∠=∠=∠ ，ADN CDE ∴∠=∠，MDN EDN ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BN BE BN AM =-=- ，BN AM MN ∴-=．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．8．（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S S S S S S =+=+== 四边形，故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK ≌，∴FH=FK ，又 FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，∴FMK FMH ≌，∴MK=FN=2cm ，∴12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S S S S S MK FN =++=⨯⋅= 五边形．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．9．（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析．【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ，∠ACF 即可解决问题;（2）根据在图2的AC 上截取CG=CD ，证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF=GF ；再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ，得EF=FG ，故得出EF=FD ；（3）根据(2)的证明方法，在图3的AC 上截取AG=AE ，证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA ；再根据ASA 证明△FDC ≌△FGC ，得CD=CG 即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAC ＝90°﹣60°＝30°，∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴∠FAC ＝15°，∠FCA ＝45°，∴∠AFC ＝180°﹣（∠FAC+∠ACF ）＝120°（2）解：FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由：如图2，在AC 上截取CG ＝CD，∵CE 是∠BCA 的平分线，∴∠DCF ＝∠GCF ，在△CFG 和△CFD 中，CG CD DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG ≌△CFD （SAS ），∴DF ＝GF ．∠CFD ＝∠CFG由（1）∠AFC ＝120°得，∴∠CFD ＝∠CFG ＝∠AFE ＝60°，∴∠AFG ＝60°，又∵∠AFE ＝∠CFD ＝60°，∴∠AFE ＝∠AFG ，在△AFG 和△AFE 中，AFE AFG AF AF EAF GAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AFG ≌△AFE （ASA ），∴EF ＝GF ，∴DF ＝EF ；（3）结论：AC ＝AE+CD ．理由：如图3，在AC 上截取AG ＝AE ，同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC ＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°，∴∠EFA ＝∠GFA ＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC ，∴∠CFG ＝∠CFD ＝60°，同（2）可得，△FDC ≌△FGC （ASA ），∴CD ＝CG ，∴AC ＝AG+CG ＝AE+CD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．10．（1）见解析；（2）HFC BFA ∠=∠，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD ≅ 可得结论；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，推出=45BFA x ∠︒+，=45HFC x ∠︒+，即可证明HFC BFA ∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明△ABE ≌△CAM ，得出BE AM =和M BEA ∠=∠，从而证明△NFC ≌△MFC ，得到FM FN =和M FNC ∠=∠，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.【详解】解：（1）∵在△ABE 和△ACD 中，==AB AC A A AE AD ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，ABE ACD ∴∆≅∆（SAS ），ABE ACD ∴∠=∠；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，AF BE ⊥ ，90BAF x ∴∠=︒-，()=9045=45BFA x x ∴∠︒-︒-︒+，ACD x ∠= ，45HCF x ∴∠=︒-，FP CD ⊥ ，()9045=45HFC x x ∴∠=︒-︒-︒+，HFC BFA ∴∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC ∠+∠=︒ ，90BAF ABG ∠+∠=︒，FAC ABG ∴∠=∠，在△ABE 和△CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，ABE CAM ∴∆≅∆（ASA ），BE AM ∴=，M BEA ∠=∠，BFA MFC NFC ∠=∠=∠ ，FC FC =，45ACB BCM ∠=∠=︒，NFC MFC ∴∆≅∆（ASA ），FM FN ∴=，M FNC ∠=∠，FNC BEA ∴∠=∠，PN PE ∴=，∴BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度.11．（1）方法1：证明见解析；方法2：证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）方法1：先根据角平分线的定义、平行线的性质得出BAF DAE F ∠=∠=∠，再根据等腰三角形的性质可得AB BF =，根据三角形全等的判定定理与性质得出AD FC =，然后根据线段的和差即可得证；方法2：先根据角平分线的定义得出DAE GAE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得,DE GE D AGE =∠=∠，然后根据线段中点的定义、等腰三角形的性质可得ECG EGC ∠=∠，最后根据平行线的性质、平角的定义可得BCG BGC ∠=∠，由等腰三角形的定义可得BG BC =，由此根据线段的和差即可得证；（2）如图（见解析），参照方法1构造辅助线，先根据等腰三角形的性质得出EF 平分AFG ∠，从而有12EFC AFG ∠=∠，再根据平行线的性质、角的和差得出60EFC BFC ∠=∠=︒，ECF BCF ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．【详解】（1）方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点FAE ∵是BAD ∠的平分线BAF DAE∴∠=∠//AD BCDAE F∴∠=∠BAF F∴∠=∠AB BF FC BC ∴==+E 是边CD 的中点DE CE∴=在ADE 和FCE △中，DAE F AED FEC DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FCE AAS ∴≅ AD FC∴=AB FC BC AD BC ∴=+=+；方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CGAE ∵是BAD ∠的平分线DAE GAE∴∠=∠在ADE 和AGE 中，AD AG DAE GAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE AGE SAS ∴≅ ,DE GE D AGE∴=∠=∠ E 是边CD 的中点DE CE∴=CE GE∴=ECG EGC∴∠=∠//AD BC180D BCD ︒∴∠+∠=，即180D ECG BCG ∠+∠+∠=︒180AGE EGC BCG ∴∠+∠+∠=︒，即180AGC BCG ∠+∠=︒又180AGC BGC ∠+∠=︒BCG BGC∴∠=∠BG BC∴=AB AG BG AD BC ∴=+=+；（2）如图，过点C 作//CG AD ，交AE 延长线于点G ，延长GC 交AB 于点F ，连接EF 由方法1可知：,AF GF AE GE==AFG ∴ 是等腰三角形EF ∴平分AFG ∠12EFC AFG ∴∠=∠//CG AD ，60BAD ∠=︒60,180120BFC BAD AFG BAD ∴∠=∠=︒∠=︒-∠=︒60EFC ∴∠=︒//CG AD180D ECF ∴∠+∠=︒11802D BCD ︒∠+∠= ，即1()1802D ECF BCF ∠+∠+∠=︒1()2ECF ECF BCF ∴∠=∠+∠ECF BCF∴∠=∠在ECF △和BCF △中，60EFC BFC CF CF ECF BCF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ECF BCF ASA ∴≅ CB CE ∴=．【点拨】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），参照方法1，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．12．（1）60°；（2）EF=AF+FC ，证明见解析；（3）AF=EF+2DF ，证明见解析．【分析】（1）可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠AEC ＝∠ACE ＝β，在△ACE 中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC 的度数；（2）在EC 上截取EG ＝CF ，连接AG ，证明△AEG ≌△ACF ，然后再证明△AFG 为等边三角形，从而可得出EF ＝EG ＋GF ＝AF ＋FC ；（3）在AF 上截取AG ＝EF ，连接BG ，BF ，证明方法类似（2），先证明△ABG ≌△EBF ，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF ．证明如下：同（1）可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠ACE ＝∠AEC ＝β，∴∠CAE ＝180°－2β，∴∠BAE ＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE 为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD ＝∠BEF ，在AF 上截取AG ＝EF ，连接BG ，BF ，又AB=BE ，∴△ABG ≌△EBF （SAS ），∴BG ＝BF ，又AF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG 为等边三角形，∴BG=BF ，又BC ⊥FG ，∴FG=BF=2DF ，∴AF ＝AG ＋GF ＝BF ＋EF ＝2DF ＋EF ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．13．（1）90A ∠=︒；（2）见解析；（3）4【分析】（1）设.DBC x ∠=推出2ABC x ∠=，3ABC ACB ACD x ∠=∠=∠=，5D x ∠=，利用三角形内角和定理构建方程求出x 即可；（2）先依据ASA 证明BEA CDA △≌△，再依据全等三角形的性质得到AE AD =，结合AE AD ⊥，依据三角形内角和求出45AED ∠=︒,再依据三角形外角的性质及等式的基本性质即可求证；（3）根据直角三角形的面积公式求出AB ，延长AG 至K ，使GK AG =，连接CK ，先依据SAS 证明AEG KCG △≌△，结合等量代换得到AE KC AD ==，ACK BAD ∠=∠，再依据SAS 证明AKC BDA △≌△，依据全等的性质求得CAG ABD ∠=∠215=⨯︒30=︒，从而得到60BAF ∠=︒，继而得到90AFB ∠=︒，最后依据直角三角形30度角的性质解决问题．【详解】()1解：如图1中，设DBC x ∠=．2ABD DBC ∠=∠ ，AB AC =，2ABD x ∴∠=，3ABD ACB x ∠=∠=，AC 平分BCD ∠，3ACD ACB x ∴∠=∠=，26DCB ACB x ∠=∠=,5D ABD ACD x ∠=+∠= ，又∵在BCD ∆中，180D DBC DCB ∠+∠+∠=︒，56180x x x ∴++=︒，15x ∴=︒，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，30ABD ∠=︒，180454590A ∴∠=︒-︒-︒=︒；（2）AE AD ⊥ ,90EAD ∴∠=︒,90BAC EAD ∠=∠=︒ ,BAC EAC EAD EAC ∴∠-∠=∠-∠,BAE CAD ∴∠=∠,=345ABE x ACD ∠=︒=∠ ，AB AC=()BEA CDA ASA ∴△≌△AE AD ∴=，又∵90EAD ∠=︒,∴45AED ADE ∠=∠=︒又AEC ABE BAE AED DEC ∠=∠+∠=∠+∠ ，DEC BAE ∴∠=∠；（3）延长AG 至K ，使GK AG =，连接CK点G 为CE 的中点，EG CG ∴=，AGE KGC ∠=∠ ，()AEG KCG SAS ∴△≌△，AE KC ∴=，AEG KCG ∠=∠，AE KC AD ∴==，45ACK ACB KCG AEC∠=∠+∠=︒+∠4590ABE BAE BAE BAD=︒+∠+∠=︒+∠=∠AB AC= ()AKC BDA SAS ∴△≌△21530CAG ABD ∠=∠=⨯︒=︒60BAF ∴∠=︒90AFB ∴∠=︒32ABC S = 211=3222AB AC AB ∴⨯=8AB ∴=142AF AB ∴==．【点拨】本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，第（1）问的关键在于设未知数，列方程；第（2）问的关键得到了等腰直角三角形和利用三角形的外角性质建立起了两个待证量之间的等式；第（3）问的关键在于作辅助线证明了30CAG ∠=︒.14．2AB AD BE =+，证明见解析【分析】在AB 上截取EF ，使EF=BE ，联结CF ．证明()BCE ECF SAS ≌，得到 B BFC ∠=∠，又证明 AFC ADC ≌，得到 AF AD =，最后结论可证了．【详解】证明:在AB 上截取EF ，使EF=BE ，联结CF．CE AB⊥ 90BEC FEC ∴∠=∠=︒在BCE 和ECF△BE EFBEC FEC CE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BCE ECF SAS ∴ ≌ B BFC∴∠=∠180B D ∠+∠=︒180BFC AFC ∠+∠=︒又D AFC∴∠=∠ AC 平分∠BADFAC DAC∴∠=∠在AFC △和ADC 中AFC D FAC DAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AFC ADC AAS ∴ ≌ AF AD∴= AB AF BE EF=++ 2AB AD BE∴=+【点拨】本题考查三角形全等知识的综合应用，关键在于寻找全等的条件，作适当的辅助线加以证明．15．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）在EF 上截取EH BE =，由“SAS ”可证ACF AHF ∆≅∆，可得CF HF =，可得结论；（2）在BE 的延长线上截取EN BE =，连接AN ，由“SAS ”可证ACF ANF ∆≅∆，可得CF NF =，可得结论．【详解】解：证明：（1）如图，在EF 上截取EH BE =，连接AH，EB EH = ，AE BF ⊥，AB AH ∴=，AB AH = ，AE BH ⊥，BAE EAH ∴∠=∠，AB AC = ，AC AH ∴=，12EAF BAC ∠==∠ BAE CAF EAF ∴∠+∠=∠，BAE CAF EAH FAH ∴∠+∠=∠+∠，CAF HAF ∴∠=∠，在ACF ∆和AHF ∆中，AC AH CAF HAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF AHF SAS ∴∆≅∆，CF HF ∴=，EF EH HF BE CF ∴=+=+；（2）如图，在BE 的延长线上截取EN BE =，连接AN，AE BF ⊥ ，BE EN =，AB AC =，AN AB AC ∴==，AN AB = ，AE BN ⊥，BAE NAE ∴∠=∠，12EAF BAC ∠==∠ 1(2)2EAF NAE BAC NAE ∴∠+∠=∠+∠12FAN CAN ∴∠=∠，FAN CAF ∴∠=∠，在ACF ∆和ANF ∆中，AC AN CAF NAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF ANF SAS ∴∆≅∆，CF NF ∴=，2CF BF BE ∴=+．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．16．（1）见详解；（2）108°；（3）见详解【分析】（1）如图1，过D 作DM ⊥AB 于M ，由CA ＝CB ，90ACB =︒，得ABC 是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD ＝MD ，∠ABC ＝45°，根据全等三角形的性质得到AC ＝AM ，于是得到结论；（2）如图2，设∠ACB ＝α，则∠CAB ＝∠CBA ＝90°−12α，在AB 上截取AK ＝AC ，连结DK ，根据角平分线的定义得到∠CAD ＝∠KAD ，根据全等三角形的性质得到∠ACD ＝∠AKD ＝α，根据三角形的内角和即可得到结论；（3）如图3，在AB 上截取AH ＝AD ，连接DH ，根据等腰三角形的性质得到∠CAB ＝∠CBA ＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD ＝∠CAD ＝20°，求得∠ADH ＝∠AHD ＝80°，在AB 上截取AK ＝AC ，连接DK ，根据全等三角形的性质得到∠ACB ＝∠AKD ＝100°，CD ＝DK ，根据等腰三角形的性质得到DH ＝BH ，于是得到结论．【详解】（1）如图1，过D 作DM ⊥AB 于M，∴在ABC 中，AC BC =，∴∠ABC ＝45°，∵∠ACB ＝90°，AD 是角平分线，∴CD ＝MD ，∴∠BDM ＝∠ABC ＝45°，∴BM ＝DM ，∴BM ＝CD ，在RT △ADC 和RT △ADM 中，CD MD AD AD ⎧⎨⎩＝＝，∴RT △ADC ≌RT △ADM （HL ），∴AC ＝AM ，∴AB ＝AM ＋BM ＝AC ＋CD ，即AB ＝AC ＋CD ；（2）设∠ACB ＝α，则∠CAB ＝∠CBA ＝90°−12α，在AB 上截取AK ＝AC ，连结DK ，如图2，∵AB ＝AC ＋BD ，AB=AK+BK∴BK ＝BD ，∵AD 是角平分线，∴∠CAD ＝∠KAD ，在△CAD 和△KAD 中，AC AK CAD KAD AD AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△CAD ≌△KAD （SAS ），∴∠ACD ＝∠AKD ＝α，∴∠BKD ＝180°−α，∵BK ＝BD ，∴∠BDK ＝180°−α，∴在△BDK 中，180°−α＋180°−α＋90°−12α＝180°，∴α＝108°，∴∠ACB ＝108°；（3）如图3，在AB 上截取AH ＝AD ，连接DH ，∵∠ACB ＝100°，AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ＝40°，∵AD 是角平分线，∴∠HAD ＝∠CAD ＝20°，∴∠ADH ＝∠AHD ＝80°，在AB 上截取AK ＝AC ，连接DK ，由（1）得，△CAD ≌△KAD ，∴∠ACB ＝∠AKD ＝100°，CD ＝DK ，∴∠DKH ＝80°＝∠DHK ，∴DK ＝DH ＝CD ，∵∠CBA ＝40°，∴∠BDH ＝∠DHK -∠CBA =40°，∴DH ＝BH ，∴BH ＝CD ，∵AB ＝AH ＋BH ，∴AB ＝AD ＋CD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．17．（1）AB CD BC +=，见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）先写出数量关系，过E 作EF BC ⊥于F ，然后证明CDE CFE ∆≅∆和ABE FBE ≅∆∆，便可得结论了．（2）成立,在BC 上截取CF CD =证明CDE CFE ∆≅∆和ABE FBE ≅∆∆，便可得到结论．【详解】()1AB CD BC+=理由是：过E 作EF BC ⊥于FCE 为角平分线DCE FCE∴∠=∠//AB DC AB AD⊥ ，90D ∴∠=EF BC⊥ D CFE∴∠=∠CE CE= ()CDE CFE AAS ∆≅∆CD CF∴=同理可证()ABE FBE AAS ∆≅∆AB BF∴=CF BF AB+=AB CD BC∴+=()2成立理由：在BC 上截取CF CD=CE 为角平分线DCE FCE∴∠=∠CE CE= ()CDE CFE SAS ∆≅∆CD CF∴=D CFE∠=∠ //AB DC 180D A ∴∠+∠=又180CFE EFB ∠+=A EFB∴∠=∠又BE 是角平分线ABE FBE∴∠=∠BE BE= ()BAE BFE AAS ∆≅∆AB FB∴=∴CF BF AB+=AB CD BC∴+=18．（1）7DC =；（2）见解析；（3）1902PBQ ADC ∠=︒+∠，证明见解析【分析】（1）根据已知条件得出BDC 为直角三角形，再根据HL 证出△≌△Rt BAD Rt BCD ，从而证出AD CD =即可得出结论；（2）如图2，延长DC 到K ，使得CK=AP ，连接BK ，通过证△BPA ≌△BCK （SAS ）得到：∠1=∠2，BP=BK ．然后根据SSS 证明得≌PBQ BKQ ，从而得出21PBQ CBQ CBQ ∠=∠+∠=∠+∠，然后得出结论；。
人教版初中数学八上 微专题19 构造等腰三角形的方法二——截长补短法
证明：延长BD到点F，使DF＝BC，连接EF． ∵CE＝DE， ∴∠ECD＝∠EDC， ∴∠ECB＝∠EDF． ∵BC＝FD， ∴△ECB≌△EDF（SAS）， ∴BE＝FE．
2．如图，在△ABC中，∠A＝108°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D．求 证：BC＝CD＋AB． 证明：在BC上取点E，使BE＝BA，连接DE． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD． ∵AB＝EB，BD＝BD， ∴△ABD≌△EBD（SAS）， ∴∠BED＝∠A＝108°，AB＝EB， ∴∠DEC＝180°－∠BED＝72°．
微专题19 构造等腰三角形的方法 二——截长补短法
Байду номын сангаас
方法点拨：
如图1，作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，则可构造等腰三角形BDC； 如图2，作∠BCE＝2∠ACB，交BA的延长线于点E，则可构造等腰三角形BCE； 如图3，延长CB至点D，使BD＝AB，连接AD，则可构造两个等腰三角形： △ABD，△ADC； 如图4，作∠BCE＝∠ACB，交AB的延长线于点E，则可构造等腰三角形BCE．
图1
图2
图3
图4
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB＋BD＝ AC． 证明：延长CB至点E， 使EB＝AB，连接AE． ∵EB＝AB， ∴∠BAE＝∠E． ∵∠ABC＝2∠C， ∠ABC＝∠E＋∠BAE＝2∠E， ∴∠C＝∠E，∴AC＝AE．
∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∴∠EAD＝∠BAE＋∠BAD＝∠E＋∠BAD． ∵∠BDA＝∠C＋∠DAC， ∴∠EAD＝∠BDA， ∴EA＝ED，∴ED＝AC． ∵ED＝BE＋BD， ∴AB＋BD＝AC．
3．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到点D，延长BA到点E，使AE＝BD， 连接CE，DE，CE＝DE．求证：△ABC是等边三角形． 证明：延长BD到点F，使DF＝BC，连接EF． ∵CE＝DE， ∴∠ECD＝∠EDC， ∴∠ECB＝∠EDF． ∵BC＝FD， ∴△ECB≌△EDF（SAS）， ∴BE＝FE．
人教版八年级数学上截长补短法证明三角形全等
初中数学试卷灿若寒星整理制作一、截长补短法证明三角形全等例1已知：AC 平分/BAD, CE，AB,NB+ND=180°,求证：AE=AD+BE练习1如图，四边形ABCD中，AB〃DC, BE、CE分别平分/ABC、/BCD,且点E在AD上。
求证: BC=AB+DC。
2.已知NABC=3NC,N1=N2, BELAE,求证:AC-AB=2BE3如图，已知AD〃BC,NPAB的平分线与NCBA的平分线相交于E, CE的连线交AP于D.求证: AD+BC=AB.4 在4ABC中，/ACB = 90。
，AC = BC，直线MN经过点C，且AD± MN于D，BE± MN 于E .(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①AADC 0 A CEB:② DE = AD + BE；6.如图，已知AC〃BD, EA、EB分别平分NCAB和/DBA, CD过点E,则AB与AC+BD相等吗？请说明理由例2已知，如图1-1,在四边形ABCD中，BOAB, AD=DC, BD平分/ABC.求证：NBAD+NBCD=180°.图1-例1. 练习已知，如图3-1,/1=/2, P为BN上一点，且PDLBC于点D, AB+BC=2BD.求证：/BAP+/BCP=180°.2、倍长中线法证三角形全等例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
练习1：^ABC中，AB=5, AC=3,求中线AD的取值范围例2.已知在^ABC中，AB=AC, D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF,求证: BD=CE练习2已知在4ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE二AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EFB D C例3已知：如图，在A ABC中，AB牛AC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF //BA交AE 于点 F，DF=AC.求证：AE平分/BAC练习 3 已知 CD=AB,NBDA=NBAD, AE 是4ABD 的中线，求证：NC=NBAE作业1、已知：如图，ABCD是正方形，NFAEb/FAE.求证：BE+DF=AE.2、五边形 ABCDE 中，AB=AE, BC+DE=CD,/ABC+/AED=180°,求证：AD 平分NCDE3、在四边形ABCD中，AB〃DC, E为BC边的中点，NBAE二NEAF, AF与DC的延长线相交于点F。
三角形全等作辅助线模型二截长补短知识讲解20212022学年八年级数学上册基础知识专项讲练人教版
专题12.12 三角形全等作辅助线模型（二）-截长补短（知识讲解）有一类几何题其命题主要证明三条线段长段的“和”或“差”及其比例关系，这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。
所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已经线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。
所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段关系。
有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
【典型例题】1、 阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC V 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．李老师给出了如下简要分析：“要证AB BD AC +=就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD =__________即可，这就将证明线段和差问题__________为证明线段相等问题，只要证出V __________≌△__________，得出B AED Ð=Ð及BD =_________，再证出Ð__________=Ð___________，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD 平分BAC Ð，将ABD △沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处’成为可能．方法二：“补短法”如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可．此时先证Ð__________C =Ð，再证出V _________≌△_________，则结论成立．”“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【答案】方法一：CE ；转化；ABD ；AED ；DE ；EDC ；C ；方法二：F ；AFD ；ACD【分析】方法一：在AC 上截取AE AB =，由SAS 可证ABD AED D @D 可得B AED Ð=Ð，BD=DE ，根据等角对等边得到CE=DE ，即可求证；方法二：延长AB 至点F ，使BF BD =，由AAS 可证AFD ACD D @D ，可得AC=AF ，即可证明：方法一：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2∵AD 平分BAC Ð，∴BAD DAC Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴ABD AED D @D ，∴B AED Ð=Ð，BD=DE ，∵2B C Ð=Ð，∴2AED CÐ=Ð而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，∴EDC C Ð=Ð，∴DE=CE ，∴AB+BD=AE+CE=AC ，故答案为：CE ；转化；ABD ；AED ；DE ；EDC ；C ；方法二：如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，∴F BDFÐ=Ð∴2ABD F BDF FÐ=Ð+Ð=Ð∴2ABD CÐ=Ð∴F CÐ=Ð在AFD D 和ACD D 中FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴AFD ACD D @D ，∴AC=AF ，∴AC=AB+BF=AB+BD ，故答案为：F ；AFD ；ACD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式．举一反三：【变式】 数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC D 中，90BAC Ð=°，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD Ð=Ð；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ^交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB Ð与HFC Ð有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD Ð=Ð；（2）猜想AFB Ð与HFC Ð的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）HFC BFA Ð=Ð，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD @V V 可得结论；（2）设ABE ACD x Ð=Ð=，推出=45BFA x а+，=45HFC x а+，即可证明HFC BFA Ð=Ð；（3）过点C 作CM AC ^交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明△ABE ≌△CAM ，得出BE AM =和M BEA Ð=Ð，从而证明△NFC ≌△MFC ，得到FM FN =和M FNC Ð=Ð，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.（1）证明：∵在△ABE 和△ACD 中，==AB AC A A AE AD ìïÐ=Ðíïî，ABE ACD \D @D （SAS ），ABE ACD \Ð=Ð；（2）设ABE ACD x Ð=Ð=，AF BE ^ ，90BAF x \Ð=°-，()=9045=45BFA x x \а-°-°+，ACD x Ð= ，45HCF x \Ð=°-，FP CD ^ ，()9045=45HFC x x \Ð=°-°-°+，HFC BFA \Ð=Ð；（3）过点C 作CM AC ^交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC Ð+Ð=° ，90BAF ABG Ð+Ð=°，FAC ABG \Ð=Ð，在△ABE 和△CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ÐÐìïíïÐÐî，ABE CAM \D @D （ASA ），BE AM \=，M BEA Ð=Ð，BFA MFC NFC Ð=Ð=Ð ，FC FC =，45ACB BCM Ð=Ð=°，NFC MFC \D @D （ASA ），FM FN \=，M FNC Ð=Ð，FNC BEA \Ð=Ð，PN PE \=，∴BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度.2、 阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积．【答案】（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK V V ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH V V ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S S S S S S =+=+==V V V V V 四边形，故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，\∠FNK=∠FGH=90°，\FGH FNK V V ≌，\FH=FK ，又 FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，\FMK FMH V V ≌，\MK=FN=2cm ，\12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S S S S S MK FN =++=´×=V V V V 五边形．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．举一反三：【变式】在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．请证明AB=AC+CD；（2）①如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；②如图③，当∠C≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）①AB=AC+CD；②AC+AB=CD，证明见解析．【分析】（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，进而得出答案；（2）①首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE，求出BE=DE=CD，进而得出答案；②首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠EDC，求出BE=DE=CD，进而得出答案．（1）证明：∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED=90°，∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；①AB=AC+CD．理由如下：在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠B+∠BDE=∠AED，∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；②AC+AB=CD．理由如下：在射线BA上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠EAC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠ACD=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴设∠B=x，则∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，利用已知得出△AED≌△ACD是解题关键．3、（初步探索）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；（灵活运用）（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a 于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；（延伸拓展）（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．【答案】（1）DA=DC+DB，证明见详解；（2）见详解；（3）∠EAF=11802DAB°-Ð，证明见详解.【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB；（2）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CD+CE=CA；（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，进而推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．解答：DA=DC+DB，理由如下：（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD=AE ，∠BAD=∠CAE ，∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB ，即DA=DC+DB ；（2）证明：在AC 上截取CM=CD ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴△CDM 是等边三角形，∴MD=CD=CM ，∠CMD=∠CDM=60°，∴∠AMD=120°，∵∠ADE=60°，∴∠ADE=∠MDC ，∴∠ADM=∠EDC ，∵直线a ∥AB ，∴∠ACE=∠BAC=60°，∴∠DCE=120°=∠AMD ，在△ADM 和△EDC 中，ADM EDC MD CDAMD ECD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△ADM≌△EDC(ASA)，∴AM=EC，∴CA=CM+AM=CD+CE；即CD+CE=CA.（3）∠EAF=11802DAB°-Ð；证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，又∵AB=AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=11802DAB°-Ð.【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．举一反三：【变式1】 如图，AB CD ∥，BE 平分ABC Ð，CE 平分BCD Ð，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+.【分析】在BC 上取点F ，使BF=BA ，连接EF ，由角平分线的性质可以得出∠1=∠2，从而可以得出△ABE ≌△FBE ，可以得出∠A=∠5，进而可以得出△CDE ≌△CFE ，就可以得出CD=CF ，即可得出结论．证明：在BC 上取点F ，使BF=BA ，连接EF ，∵BE 、CE 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE 和△FBE 中，12AB FB BE BE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABE ≌△FBE(SAS)，∴∠A=∠5，∵AB ∥CD ，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180，∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D ，在△CDE 和△CFE 中，634D CE CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△CDE ≌△CFE(AAS)，∴CF=CD ．∵BC=BF+CF ，∴BC=AB+CD．【点拨】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用截取法正确作辅助线是关键．【变式2】如图，在△ABC 中，60BAC Ð=°，40ACB Ð=°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线．求证：（1）BQ CQ =；（2）BQ AQ AB BP +=+．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由三角形的内角和就可以得出∠ABC ＝80°，再由角平分线的性质就可以得出∠QBC ＝40°，就有∠QBC ＝∠C 而得出结论；（2）延长AB 至M ，使得BM ＝BP ，连结MP ，根据条件就可以得出∠M ＝∠C ，进而证明△AMP ≌△ACP 就可以得出结论．（1）证明：∵BQ 是ABC Ð的角平分线，∴12QBC ABC Ð=Ð．∵180ABC ACB BAC Ð+Ð+Ð=°，且60BAC Ð=°，40ACB Ð=°，∴80ABC Ð=°，∴180402QBC Ð=´°=°，∴QBC C Ð=Ð，∴BQ CQ =；（2）证明：延长AB 至M ，使得BM BP =，连结MP ．∴M BPM Ð=Ð，∵△ABC 中60BAC Ð=°，40C Ð=°，∴80ABC Ð=°，∵BQ 平分ABC Ð，∴40QBC C Ð=°=Ð，∴BQ CQ =，∵ABC M BPM Ð=Ð+Ð，∴40M BPM C Ð=Ð=°=Ð，∵AP 平分BAC Ð，∴MAP CAP Ð=Ð，在△AMP 和△ACP 中，∵M C MAP CAP AP AP Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AMP ≌△ACP ，∴AM AC =，∵AM AB BM AB BP =+=+，AC AQ QC AQ BQ =+=+，∴AB BP AQ BQ+=+【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．。
人教版初中八年级数学上册专题三角形全等之截长补短习题及答案
三角形全等之截长补短（习题）例题示范例1：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥CD 且BD =CD ，∠DBC =45°．过点C 作CE ⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，连接AF ． 求证：CF =AB +AF ．FED C BA【思路分析】题目中出现了线段的和差倍分（所求为一条线段是另外两条线段之和），所以考虑截长补短．① 考虑截长的方法，如图所示：A BCDEFH在线段CF 上截取CH =AB ，连接DH ，只需证明AF =HF 即可．结合题目条件，先证明△A B D ≌△H C D ，再证明△A D F ≌ △HDF ，从而得到AF =HF ，证明成立． ② 考虑补短的方法，如图所示：FEDCBA H延长BA 交CD 的延长线于点H ，只需证明BH =CF ，AH =AF 即可．可结合题目条件，先证明△CDF ≌△BDH ，再证明△ADF ≌△ADH ，从而得到BH =CF ，AH =AF ，证明成立． 【过程书写】 （截长的方法）在线段CF 上截取CH =AB ，连接DH ．A BCDEFH∵BD ⊥CD ，BE ⊥CE ∴∠BEF =∠FDC =90° ∴∠EBF +∠EFB =90° ∠FCD +∠DFC =90° ∵∠EFB =∠DFC ∴∠EBF =∠FCD 在△ABD 和△HCD 中，AB HC ABD HCD BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△HCD （SAS ） ∴AD =HD ，∠ADB =∠HDC ∵AD ∥BC∴∠ADB =∠DBC =45° ∴∠HDC =45°∴∠HDF =∠BDC -∠HDC =45° ∴∠ADB =∠HDF 在△ADF 和△HDF 中，AD HD ADF HDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△HDF （SAS ） ∴AF =HF∴CF =CH +HF =AB +AF巩固练习1. 如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =80°，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AC =AB +BD ．A A2. 如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，∠B +∠D =180°．求证：AE =AD +BE ．3. 如图，在△ABC 中，∠A =100°，∠ABC =40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使DE =AD ，连接EC ． 求证：BC =AB +CE ．CDE CD E EADC4.已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠F AD=∠F AE．求证：BE+DF=AE．思考小结1.证明线段或角相等时，可以考虑把线段或角放到两个三角形中证明全等．如果题目中没有可能全等的三角形，往往考虑通过添加辅助线，构造全等三角形来证明．常见构造辅助线的方法：①___________：当已知条件中有中线（中点）时，往往考虑延长中线构造全等三角形．②_________：当题目中出现线段的和差倍分时，往往考虑把多条线段间的数量关系转化为两条线段的等量关系来处理．2.利用“截长补短”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：30°角所对的直角边是斜边的一半．FE D CB A已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°． 求证：BC 12AB ．【参考答案】巩固练习 1. 证明略提示：方法一：在AC 上截取AE =AB ，连接DE ，证明△ABD ≌△AED ， 再证明CE =DE ；方法二：延长AB 到E ，使BE =BD ，连接DE ，证明△ADE ≌△ADC ． 2. 证明略提示：在AE 上截取AF =AD ，证明△CDA ≌△CF A ，再证明 BE =FE ． 3. 证明略提示：在BC 上截取BF =BA ，连接DF ，证明△ABD ≌△FBD ， 再证明△DFC ≌△DEC ． 4. 证明略30°A提示：延长CB至点G，使BG=DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，再证明AE=GE即可．思考小结1.倍长中线，截长补短2.证明略提示：延长BC到D，使BD=BA，得到△ABC为等边三角形，AD=AB，根据三线合一，可得BC=12BD，所以BC=12AB．。
人教版八年级数学上截长补短法证明三角形全等
初中数学试卷一、截长补短法证明三角形全等例1已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE练习1如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：BC=AB+DC。
2.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE3如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．4在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.6.如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等PEDCBA吗？请说明理由例2已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°.例1. 练习已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .求证：∠BAP +∠BCP =180°.2、倍长中线法证三角形全等例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
ABCD图1-1ABCDP12N图3-1练习 1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2.已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE练习2已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例3已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠B第 1 题图ABFDECCEDB A练习3已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 作业1、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .2、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE3、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
截长补短(教案)
-例如：在截长补短后，引导学生利用几何定理和性质，简化计算过程，如应用勾股定理、相似三角形的性质等。
（4）培养学生在操作过程中的观察能力和空间想象力：学生在进行截长补短操作时，需要具备较强的观察能力和空间想象力。
五、教学反思
在本次截长补短的教学中，我发现学生们对这一概念的理解程度有所不同。有的学生能够迅速掌握截长补短的基本方法，并将其应用于解决实际问题；而有的学生则在理解和应用上存在一定困难。针对这种情况，我认为在今后的教学中需要注意以下几点：
1.加强直观教学：在讲授截长补短的过程中，应充分利用教具、实物等辅助手段，让学生更直观地感受图形的变换过程，帮助他们更好地理解截长补短的本质。
-例如：在操作过程中，鼓励学生仔细观察图形变化，培养空间想象力，以便更好地理解截长补短的方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分பைடு நூலகம்）
同学们，今天我们将要学习的是《截长补短》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将一个较大的物品分割成合适大小的情况？”（例如：将一张大纸剪裁成合适的尺寸）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索截长补短的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了截长补短的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对截长补短的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
数学人教版八年级上册截长补短专题
3cm A 5cm B C D E F 8cm A b B C D E F a c D C BA专题课——截长补短教学目标：1.掌握运用截长补短的方法解决线段的有关问题。
2.体会截长补短法与其他辅助线作法的联系。
教学过程：一．问题创设：（3分钟）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且∠C =2∠B ，求证：AB =AC +CD（学生思考：如何解决关于线段和差问题）问题一：如何证明此题？（学生提出截长补短）问题二：你这样做辅助线的理由是什么？（可以得到全等，证明截下的线段等于CD ）总结：二．课题引入：同学们，为了解决像这样线段与线段关系的题目，今天我们来学习截长补短法。
如图：问题一：已知三条线段AB 、CD 、EF 的长度分别为8cm,5cm,3cm ，你能用CD 和EF 表示AB 吗？（AB=CD+EF ）问题二：如果图中线段长度分别变为a 、b 、c ，并且a=b+c ，你能采用适当的工 具证明AB=CD+EF 吗？方法一：用圆规在AB 上截取b ，再用圆规测量余下的部分（a-b),与c 相比较， 得到a-b=c ，即证明。
方法二：在CD （EF ）补一部分EF （CD ）得到b+c ，再用圆规和a 进行比较得到a=b+c 。
像刚才这样，通过在较长截取另一条线段，在较短线段上补一条线段研究线段间的关系，这种方法称为“截长补短”。
三、例题讲解回头来看刚在的例题：例1：如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且∠C =2∠B ，求证：AB =AC +CDD C B A D C B A2 1 E E D C B A34 E法一：截长法证明：在AB 上截取AE ，使得AE=AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC∴∠1＝∠2∵ AE ＝AB∠1＝∠2 AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠3=∠C CD=DE （全等三角形的性质） 又∵ ∠C=2∠B ∴∠3=2∠B 又∵∠3=∠4+∠B （外角定理） ∴∠4=∠B ∴EB=DE=CD （等角对等边） ∵AB=AE+EB AE=AC ，EB=CD∴AB=AC+CD （等量代换）学生小组交流讨论补短法法二：补短法证明：延长AC 至点E ，使AE ＝AB ，连接DE∵AD 平分∠BAC∴∠EAD ＝∠CAD∵ AE ＝AB∠EAD ＝∠CADAD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ）∴∠E ＝∠C又∵∠ACB ＝2∠C∴∠ACB ＝2∠E ∵∠ACB ＝∠E+∠CDE ∴∠E=∠CDE ∴CE=CD （等角对等边）∵AE ＝AC+CEAE=AB ，EC=CD∴AB ＝AC+CD四．学以致用D C B A 另一种的补短法 通过证明两次等腰 注：补短时注意是否合理简单，一般补短应在有角平分线的角一边，充分利用角平分线构造全等。
人教版八年级常见辅助线：截长补短专题
罕有的帮助线作法（截长补短）
截长法与补短法,具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延伸,使之与特定线段相等,再应用三角形全等的有关性质加以解释.这种作法,合适于证实线段的和.差.倍.分等类的标题.
思虑：碰到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般办法是截长法或补短法：
截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证实剩下部分等于另一条;
补短：将一条短线段延伸,延伸部分等于另一条短线段,然后证实新线段等于长线段.
例1.已知：如图,在△ABC中,∠C＝2∠B,∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
（分离用截长补短两种办法证实）
例2.已知：如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠ABE=∠CBE,CE⊥BD的延伸线于E.求证：BD=2CE.
例3.如图,△ABC中,AM是BC边上的中线,求证：
例4.如图①所示,OP是∠MON的等分线,请你应用该图形画一对以OP地点直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的办法,解答下列问题：
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD.CE分离是∠BAC.∠BCA的等分线,AD.CE订交于点F．请你断定并写出FE 与FD之间的数目关系;
(2)如图③,在△ABC中,假如∠ACB不是直角,而(1)中的其他前提不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证实;
若不成立,请解释来由．。
人教版八年级上数学截长补短专题
ADBCE图2-1截长补短法“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特别办法,在无法进行直接证实的情况下,运用此种办法常可使思绪名顿开.请看几例.例1.已知,如图1-1,在四边形ABCD 中,BC ＞AB ,AD =DC ,BD 等分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.剖析：因为平角等于180°,因而应斟酌把两个不在一路的经由过程全等转化成为平角,图中缺乏全等的三角形,因而解题的症结在于结构直角三角形,可经由过程“截长补短法”来实现.证实：过点D 作DE 垂直BA 的延伸线于点E ,作DF ⊥BC 于点F ,如图1-2 ∵BD 等分∠ABC ,∴DE =DF ,在Rt △ADE 与Rt △CDF 中,∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°,∴∠BAD +∠DCF =180°,即∠BAD +∠BCD =180°例2.如图2-1,AD ∥BC ,点E 在线段AB 上,∠ADE =∠CDE ,∠DCE =∠ECB .求证：CD =AD +BC .ABCD图1-1FEDCBA图1-2剖析：结论是CD =AD +BC ,可斟酌用“截长补短法”中的“截长”,即在CD 上截取CF =CB ,只要再证DF =DA 即可,这就转化为证实两线段相等的问题,从而达到简化问题的目标.证实：在CD 上截取CF =BC ,如图2-2 在△FCE 与△BCE 中,∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC ,∴∠ADC +∠BCD =180°,∴∠DCE +∠CDE =90°, ∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°,∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中,∴△FDE ≌△ADE （ASA ）,∴DF =DA , ∵CD =DF +CF ,∴CD =AD +BC .例3.已知,如图3-1,∠1=∠2,P 为BN 上一点,且PD ⊥BC 于点D ,AB +BC =2BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°.剖析：与例1相相似,证两个角的和是180°,可把它们移到一路,让它们是邻补角,即证实∠BCP =∠EAP ,因而此题实用“补短”进行全等三角形的结构.证实：过点P 作PE 垂直BA 的延伸线于点E ,如图3-2∵∠1=∠2,且PD ⊥BC ,∴PE =PD ,ADB CE F1234图2-2ABCDP12N图3-1在Rt △BPE 与Rt △BPD 中,⎩⎨⎧==BP BP PD PE∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .∵AB +BC =2BD ,∴AB +BD +DC =BD +BE ,∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE .在Rt △APE 与Rt △CPD 中,∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°例4.已知：如图4-1,在△ABC 中,∠C ＝2∠B ,∠1＝∠2.求证：AB =AC +CD .剖析：从结论剖析,“截长”或“补短”都可实现问题的转化,即延伸AC 至E 使CE =CD ,或在AB 上截取AF =AC .证实：办法一（补短法）延伸AC 到E ,使DC =CE ,则∠CDE ＝∠CED ,如图4-2∴∠ACB ＝2∠E ,P12NABCD E 图3-2DCBA 12图4-1EDCBA 12图4-2∵∠ACB ＝2∠B ,∴∠B ＝∠E , 在△ABD 与△AED 中,∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ,∴AB =AC +DC . 办法二（截长法）在AB 上截取AF =AC ,如图4-3 在△AFD 与△ACD 中, ∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ,∠AFD ＝∠ACD .又∵∠ACB ＝2∠B ,∴∠FDB ＝∠B ,∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ,∴AB =AC +CD .上述两种办法在现实运用中,时常是互为填补,但应联合具体标题适当选择适合思绪进行剖析.让控制学生控制好“截长补短法”对于更好的懂得数学中的化归思惟有较大的帮忙.FDCB A 12图4-3。
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A
D
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C
E
图2-1
截长补短法
人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.
例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .
求证：∠BAD +∠BCD =180°.
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ，
在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，
⎩⎨
⎧==CD
AD DF
DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°
例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .
求证：CD =AD +BC .
分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.
证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2
在△FCE 与△BCE 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.
A
B
C
D
图1-1
F
E
D
C
B
A
图1-2
A
D
B C
E
F
1
234
图2-2
又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠43DE
DE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ， ∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .
例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .
求证：∠BAP +∠BCP =180°.
分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.
证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2
∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，
⎩⎨
⎧==BP
BP PD
PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .
∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE . 在Rt △APE 与Rt △CPD 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°
例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.
求证：AB =AC +CD .
A
B
C
D
P
12
N
图3-1
P
12
N
A
B
C
D
E 图3-2
D
C
B A 12
图4-1
分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC . 证明：方法一（补短法）
延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2
∴∠ACB ＝2∠E ，
∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ， 在△ABD 与△AED 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21 ∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC . 方法二（截长法）
在AB 上截取AF =AC ，如图4-3 在△AFD 与△ACD 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21 ∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .
上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。
让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。
E
D
C
B
A
12
图4-2
F
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C
B A 12
图4-3。