直线的方程期末复习题

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直线、圆与方程期末复习题

直线、圆与方程(基础练习)1．圆22(4)9x y -+=和圆22(3)4x y +-=的位置关系是( )A ．外切B ．内切C ．外离D ．内含2.方程220x y x y m +-++=表示圆则m 的取值范围是 ( )A ． m ≤2B ． m<2C ． m<21D ． m ≤21 3．已知直线:20l ax y a +--=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或14．已知P (3,2)与Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为 .5.圆222410x y x y ++-+=关于直线10ax y ++=对称，则a = ．6. 两条平行线011801243=++=-+y ax y x 与间的距离为____________7.已知空间中A (6, 0, 1)，B (3, 5, 7)，则A 、B 两点间的距离为 .8.已知点A （﹣2，4），B （4，2），直线:80l ax y a -+-=，若直线与直线AB 平行，则a = ．9.直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是___________10．直线(2)10m x y -++=与直线(2)(2)20m x m y +---=相互垂直，则m = ．11.点P(x,y)在直线02=+-y x 上，则22y x +的最小值为___________12.直线0)11()3()12(=--++-a y a x a 经过的定点坐标为__________13. 设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点，则PQ 的最小值为___________14.已知圆C 经过A （5，1），B （1，3）两点，圆心在x 轴上，求圆C 的方程15.求以点(2,-1)为圆心且与直线x+y =6相切的圆的方程．16.在圆22260x y x y +--=内,求过点()0,1E 的最长弦和最短弦的长度17.求过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长18.过点（-1,2）的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为__________.19．三角形的三个顶点是(4,0)A ,(2,4)B ,(0,3)C .（1）求AB 边的中线所在直线1l 的方程；（2）求AC 边的中垂线方程.（3）求过A 、B 、C 三点的圆的方程.20.过直线x+y-=0上点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线，若两条切线的夹角是 60°，求点P 的坐标.(巩固提高)1.已知△ABC 中，A(0,1)，B(1,0)，且|AB|=|BC|,求第三个顶点C 的轨迹方程.2.已知直线063:=-+y x l 和圆C ：04222=--+y y x ，判断直线和圆的位置关系.若相交，求直线被圆截得的弦长；若直线与圆相离，求圆心到直线的距离.3.已知圆C ：(x-1)2+y 2=9内一点P(2,2),过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点.(1)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长.4．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点，求k的取值范围.5.已知过点(3,3)M--的直线l被圆224210x y y++-=所截得的弦长为45，求直线l的方程．6.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆22++=上运动，x y(1)4求线段AB的中点M的轨迹方程．解：设点M的坐标是(,)x y，则7.已知圆C过点(2,1)，圆心在直线y=2x上，且和圆x2＋(y－4)2＝4相外切，求圆C的方程.8.等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和26，高为3. 求这个等腰梯形的外接圆E的方程40km 9.已知在A市正东方向300km的B处有一台风中心形成，并以每小时2100km以内的地区将受的速度向西北方向(北偏西45°)移动，在距台风中心5其影响，问从现在起经过多长时间，台风将影响A市？持续时间多长？10.已知一圆C 的圆心为（2，-1），且该圆被直线l ：x-y-1=0 截得的弦长为22，（1）求该圆的方程；（2）求过点P （0，3）的该圆的切线方程；（3）设问（2）中的切点为A ，B ，求过A 、B 、C 的圆的方程；（4）求切点弦AB 的方程.11．已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点)3,2(-Q（1）P(a,a +1)在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；（2）若P 为圆C 上任一点，求|PQ|的最大值和最小值；（3）若N(m,n)在圆C 上，23+-=m n k ，求k 的最大值和最小值.。

直线方程专题

期末复习专题------直线方程一、直线的倾斜角与斜率1.已知直线的倾斜角为α，且54sin =α，则此直线的斜率是___________. 2.如果直线l 按x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移一个单位后又回到了原来的位置，那么直线l 的斜率为___________.3.点)2,4(),4,2(B A -，直线l 过点)2,0(-与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是___________.5.直线01)1(2=+-+y m x 的倾斜角的取值范围是___________.6.已知直线0325:=++y x l ，直线l '经过点)1,2(P 且与l 的夹角等于45︒，则直线l '的一般方程是．7.若直线l 的倾斜角是直线13+-=x y 的倾斜角的21，且与y 轴的交点到x 轴的距离是3，则直线l 的方程是___________.8.直线013:1=-+-y x l 绕着它上面一点)3,1(沿逆时针方向旋转 15，则旋转后的直线2l 的方程为___________.二、直线的方程1.直线l 过点)2,(),1,2(m B A ，求直线l 的方程.2.（1）求经过点)2,3(P ，在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（2）求过点)3,1(-P ,且横截距与纵截距的绝对值相等的直线方程.3.经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程是________________．4.求经过点()2,3P -且到原点距离为2的直线方程．5.直线l 经过点()0,3P ,若点()0,0O 和点()6,6M 到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是．6.设直线l 的方程为(1)20a x y a +++-=．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 方程;(2)若l 不经过第二象限，求a 的范围．.7.求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程．8.求斜率为43，且与两坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程．三、直线的位置关系1.若直线220ax y -+=与直线(3)10x a y +-+=平行，则a = ．2.直线(3)10x a y --+=与直线220ax y -+=垂直，则垂足坐标为．3.若直线1:l y kx =与2:30l x y +-=的交点M 在第二象限,则1l 的倾斜角α 的取值范围是．4.已知直线1:20,l x y -=过点(3,1)A -作直线l 交x 轴于点,B 交直线1l 于点,C 若,BC AB =求直线l 的方程.5.过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．6.三条直线123:210,:310,:230l x y l x y l ax y -+=+-=+-=能围成三角形，求实数a 的取值范围.7.正方形的中心为（-1,0），正方形一边所在直线方程为350,x y +-=求正方形其它三边所在的直线方程.8.ABC ∆的顶点()3,1,A AB -边上的中线所在直线方程为610590,x y B +-=∠的平分线所在直线方程为4100,x y -+=求BC 边所在直线方程.9.直线l 过点(3,2)P 且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，求：（1）截距之和最小时直线方程；（2）ABO ∆面积最小时直线的方程．10.直线l 被两平行直线063=-+y x 033=++y x 和所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求直线l 的方程.五、直线的对称1.光线从点)3,2(-A 射到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点)32,1(C ，则光线BC 所在直线的倾斜角为．2.已知点P （3，2）与点Q （1，4）关于直线l 对称，则直线l 的方程．3.已知A （-5，6）关于直线 l 的对称点为B （7，-4），则直线l 的方程是________.4.直线1:10,:220,l x y l x y --=--=直线2l 与1l 关于直线l 对称，求直线2l 的方程.5.在直线:310l x y --=上求一点,P 使得P 到(4,1)A 和(0,4)B 的距离之差最大.6.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(,)m n 重合，求m n +的值.。

直线与方程复习题-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线与方程复习题一、知识梳理：1距离公式(1)在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为：|AB |＝__________．（2）线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则x=_______________; y=_______________;(3)点到直线的距离公式：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝．(4)两条平行直线间的距离公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝____________________．2．直线的斜率(1)直线的倾斜角与斜率：___________(2)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝．(3)直线的一般式为0Ax By C ++=,则该直线的斜率k =____________3．直线的方程(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距．(2)直线方程的主要形式：①点斜式：斜截式：①一般式：截距式：4．两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1①l 2①____________，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为____________．(2)垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1①l 2①____________，特别地，若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为____________．5．两条直线的交点坐标：两条直线的交点坐标即方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.的解。

高数下复习

′ 例1. 已知 z = ln(cos(x- 2y)), 求z′ , z′yx x 1 解： z′ = (− sin(x − 2 y)) = −tg ( x − 2 y) x cos(x − 2 y) 1 z′y = (− sin(x − 2 y))(−2) = 2tg ( x − 2 y) cos(x − 2 y) ′yx = (2tg ( x − 2 y))′x = 2 sec2 ( x − 2 y) z′
3.利用极坐标计算二重积分
.例 3. 计算I = sin x2 + y2 dσ , D: π 2 ≤ x2 + y2 ≤ 4π 2 ∫∫
D
x = r cD π ≤ r ≤ 2π y = r sinθ I = ∫ dθ ∫ sinr ⋅ rdr = −2π ∫ rd cosr
0 ≤ y ≤ 1 ∴ D: ， y ≤ x ≤ 2 − y 原式 = ∫ dy ∫
0 1 2− y y
f（x，y）dx
2.利用直角坐标计算二重积分
. 例2.
( x 2 + y 2 )dσ ∫∫
D
D由y = x，y = x + a， = a和y = 3a (a > 0)围成 y
a ≤ y ≤ 3a 解： D ： y − a ≤ x ≤ y 原式 =
4.全微分的求法全微分的求法
1 (1)直接法：直接利用微分法则求出全微分。
2 (2)公式法：先求出偏导数，然后利用公式： = z ′ dx + z ′ dy dz x y 写出全微分。
例4. 已知cos2 x + cos2 y + cos2 z = 1, 求dz. 解法一： d(cos x + cos y + cos z) = d1

高中数学人教版必修二直线与圆的方程综合复习题(含答案)

直线与圆的方程综合复习（含答案）一．选择题1.已知点A(1,. 3),B(-1,33),则直线AB 的倾斜角是（ C ） A 3B 6C 23D 562.已知过点A(-2,m)和B （m,4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ C ） A 0 B 2 C -8 D 103.若直线L 1:ax+2y+6=0与直线L 2:x+(a-1)y+(2a -1)=0平行但不重合，则a 等于（ D ）A -1或2B 23C 2D -14.若点A （2，-3）是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点，则相异两点（a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是( A ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=05.直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 ( D )A.[)π，0B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,06.“m=12”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+(m+2y)-3=0相互垂直”的（ B ）A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件7.已知A(7,-4)关于直线L 的对称点为B （-5,6），则直线L 的方程为（B ） A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0 8.已知直线1l 的方向向量a=(1,3),直线2l 的方向向量b=(-1,k).若直线2l 经过点（0,5）且1l 2l ，则直线2l 的方程为（ B ）A x+3y-5=0B x+3y-15=0C x-3y+5=0D x-3y+15=0 9. 过坐标原点且与圆2x +2y -4x+2y+52=0相切的直线方程为（ A ）A y=-3x 或y= 13xB y=3x 或y= -13xC y=-3x 或y= -13xD y=3x 或y= 13x10.直线x+y=1与圆2x +2y -2ay=0(a>0)没有公共点,则a 的取值范围是（A ）A (02-1,)B (2-1, 2+1)C (-2-1, 2-1)D (0, 2+1) 11.圆2x +2y -4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ C ）A 36B 18C 62D 5212.以直线：y=kx-k 经过的定点为P 为圆心且过坐标原点的圆的方程为（D ）， A 2x +2y +2x=0 B 2x +2y +x=0 C 2x +2y -x=0 D 2x +2y -2x-013.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所包围的面积等于（ B ）A B 4 C 8 D 914.若直线3x+y+a=0过圆2x +2y +2x-4y=0的圆心，则a 的值为（ B ）A 1B -1C 3D -315.若直线2ax-by+2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长，则ba11+的最小值是（ C ）A.41B.2C.4D.2116.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ A ）A.⎥⎦⎤⎝⎛43,125 B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 C.⎥⎦⎤⎝⎛43,21D.⎪⎭⎫⎝⎛125,17.设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且过点（4,1），则两圆心的距离︱1C 2C ︱等于（ C ）A 4B 42C 8D 8218.能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为（ C ） A.2B.5C.3D.3519.若直线by ax +=1与圆x 2+y 2=1有公共点，则( D )A.a 2+b 2≤1B.a 2+b 2≥1C.2211ba +≤1 D.2211ba +≥120.已知A （-3，8）和B （2，2），在x 轴上有一点M ，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M 的坐标为（ B ） A.(-1,0)B.(1,0)C.⎪⎭⎫⎝⎛0522，D. ⎪⎭⎫⎝⎛522,021.直线y=kx+3与圆2(3)x+2(2)y =4相交于M 、N 两点，若︱MN ︱≥23,则k 的取值范围是（ A ）A [-34,0] B [-∞,-34] [0，∞） C [-33,33] D [-23,0] 22.（广东理科2）已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则AB 的元素个数为（C ）A ．0B ．1C ．2D ．3 23.（江西理科9）若曲线02221=-+x y x C ：与曲线 0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( B ) A. )33,33(-B. )33,0()0,33( -C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞--∞ 答案：B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是)33,0()0,33( -二．填空题24．已知圆C 经过)3,1(),1,5(B A 两点，圆心在X 轴上，则C 的方程为10)2(22=+-y x ___________。

新教材高考数学第二章直线和圆的方程章末复习练习含解析新人教A版选择性必修第一册

章末复习一、两直线的平行与垂直 1．判断两直线平行、垂直的方法(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2. (2) 若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况)2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养．例1 (1)已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－a ＋13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13，C (2－2a ，1)，D (－a ，0)四点，若直线AB 与直线CD 平行，则a ＝________.答案 3解析 k AB ＝－13＋a ＋130－1＝－a3，当2－2a ＝－a ，即a ＝2时，k AB ＝－23，CD 的斜率不存在．∴AB 和CD 不平行；当a ≠2时，k CD ＝0－1－a －2＋2a ＝12－a.由k AB ＝k CD ，得－a 3＝12－a，即a 2－2a －3＝0.∴a ＝3或a ＝－1.当a ＝3时，k AB ＝－1，k BD ＝0＋13－3＝－19≠k AB ，∴AB 与CD 平行．当a ＝－1时，k AB ＝13，k BC ＝1＋134＝13，k CD ＝1－04－1＝13，∴AB 与CD 重合．∴当a ＝3时，直线AB 和直线CD 平行．(2)若点A (4，－1)在直线l 1：ax －y ＋1＝0上，则l 1与l 2：2x －y －3＝0的位置关系是________．答案垂直解析将点A (4，－1)的坐标代入ax －y ＋1＝0，得a ＝－12，则12·l l k k ＝－12×2＝－1，∴l 1⊥l 2. 反思感悟一般式方程下两直线的平行与垂直：已知两直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且C 1B 2－C 2B 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.跟踪训练1 (1)已知直线l 1：ax －3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________．答案－3(2)已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，若l 1∥l 2，则m ＝________. 答案－1解析因为直线x ＋my ＋6＝0与(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧1×3－m m －2＝0，2m ≠6m －2，解得m ＝－1.二、两直线的交点与距离问题1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养．例2 (1)若点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322，则实数a 的值为( )A ．－1B ．5C ．－1或5D ．－3或3答案 C解析 ∵点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322，∴|1－a ＋1|2＝322，即|a －2|＝3，解得a ＝－1或a ＝5，∴实数a 的值为－1或5.(2)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 反思感悟跟踪训练2 (1)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是关于x 的方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为( ) A ．2 3 B. 2 C ．2 2 D.322答案 D解析根据a ，b 是关于x 的方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，可得a ＋b ＝－1，ab ＝－2， ∴a ＝1，b ＝－2或a ＝－2，b ＝1，∴|a －b |＝3，故两条直线之间的距离d ＝|a －b |2＝32＝322.(2)已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0,4)到直线l 的距离为2，则这样的直线l 的条数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即直线l 过点(1,2)．设点Q (1,2)，因为|PQ |＝1－02＋2－42＝5＞2，所以满足条件的直线l 有2条．故选C.方法二依题意，设经过直线l 1与l 2交点的直线l 的方程为2x ＋3y －8＋λ(x －2y ＋3)＝0(λ∈R )，即(2＋λ)x ＋(3－2λ)y ＋3λ－8＝0.由题意得|12－8λ＋3λ－8|2＋λ2＋3－2λ2＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或185，代入得直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0，故选C.三、直线与圆的位置关系 1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径长为r .若d <r ，则直线和圆相交；若d ＝r ，则直线和圆相切；若d >r ，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养．例3 已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0. (1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长． (1)证明直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)，由点斜式可知，直线恒过点P (4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交． (2)解圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.如图，当圆心C (3，－6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，又k PC ＝－3－－64－3＝3，所以直线l 的斜率为－13，则2m ＝－13，所以m ＝－16.在Rt△APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5. 所以|AB |＝2|AC |2－|PC |2＝215.故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215.反思感悟直线与圆问题的类型(1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得．(2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解．跟踪训练3 已知圆C 关于直线x ＋y ＋2＝0对称，且过点P (－2, 2)和原点O . (1)求圆C 的方程；(2)相互垂直的两条直线l 1，l 2都过点A (－1, 0)，若l 1，l 2被圆C 所截得的弦长相等，求此时直线l 1的方程．解 (1)由题意知，直线x ＋y ＋2＝0过圆C 的圆心，设圆心C (a ，－a －2)．由题意，得(a ＋2)2＋(－a －2－2)2＝a 2＋(－a －2)2，解得a ＝－2.因为圆心C (－2,0)，半径r ＝2，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝4.(2)由题意知，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，所以l 1：y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，l 2：y ＝－1k(x ＋1)，即x ＋ky ＋1＝0.由题意，得圆心C 到直线l 1，l 2的距离相等，所以|－2k ＋k |k 2＋1＝|－2＋1|k 2＋1，解得k ＝±1，所以直线l 1的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0. 四、圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：一般利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． 2．圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养．例4 已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0. (1)证明圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．解 (1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C 1(－2,2)，r 1＝13；C 2(4，－2)，r 2＝13.因为|C 1C 2|＝－2－42＋2＋22＝213＝r 1＋r 2，所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，得12x －8y －12＝0，即3x －2y －3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43(3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.反思感悟两圆的公共弦问题(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练4 (1)已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ， B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________．答案 x ＋y －3＝0解析 AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2. 又C 1(3,0)，C 2(0,3)，所以C 1C 2所在直线的方程为x ＋y －3＝0.(2)已知圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2y －4＝0. ①求证：两圆相交；②求两圆公共弦所在直线的方程．①证明圆C 1的方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆C 2的方程可化为x 2＋(y －1)2＝5， ∴C 1(2，－1)，C 2(0,1)，两圆的半径均为5， ∵|C 1C 2|＝2－02＋－1－12＝22∈(0,25)，∴两圆相交．②解将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程， (x 2＋y 2－4x ＋2y )－(x 2＋y 2－2y －4)＝0，即x －y －1＝0.1．(2019·天津改编)设a ∈R ，直线ax －y ＋2＝0和圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0相切，则a 的值为________．答案 34解析由已知条件可得圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(2,1)，半径为2，由直线和圆相切可得|2a －1＋2|a 2＋1＝2，解得a ＝34. 2．(2017·北京改编)在平面直角坐标系中，点A 在圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0上，点P 的坐标为(1，0)，则||AP 的最小值为________．答案 1解析 x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心坐标为C (1,2)，半径长为1. ∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外．又∵点A 在圆C 上，∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.3．(2017·天津改编)已知点C 在直线l ：x ＝－1上，点F (1,0)，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A . 若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________________．答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°.又因为∠FAC ＝120°，所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝3，所以点C 的纵坐标为 3.所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.4．(2019·江苏改编)如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径)．规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA .规划要求：线段PB ，QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C ，D 为垂足)，测得AB ＝10，AC ＝6，BD ＝12(单位：百米)．(1)若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；(2)在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由．解 (1)如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H .以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为BD ＝12，AC ＝6，所以OH ＝9，直线l 的方程为y ＝9，点A ，B 的纵坐标分别为3，－3. 因为AB 为圆O 的直径，AB ＝10，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝25.从而A (4,3)，B (－4，－3)，直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为－43，直线PB 的方程为y ＝－43x －253.所以P (－13,9)，|PB |＝－13＋42＋9＋32＝15.所以道路PB 的长为15(百米)．(2)①若P 在D 处，取线段BD 上一点E (－4,0)，则EO ＝4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求．②若Q 在D 处，连接AD ，由(1)知D (－4,9)，又A (4,3)，所以线段AD ：y ＝－34x ＋6(－4≤x ≤4)．在线段AD 上取点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，154，因为|OM |＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1542<32＋42＝5，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径．因此Q 选在D 处也不满足规划要求．综上，P 和Q 均不能选在D 处．。

专题9.1 直线的方程(练习)【必考点专练】2023届高考数学二轮复习专题

专专9.1直线的方程一、单选题1. 点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为( ) A. 1B. 2C. 3D. 22. 若平面内三点(1,)A a -，2(2,)B a ，3(3,)C a 共线，则a =( ) A. 12±或0B.252-或0 C.252± D.252+或0 3. “4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 在平面直角坐标系中，记d 为点到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知(2,3)A ，(1,2)B -，若点(,)P x y 在线段AB 上，则3yx -最大值为 ( ) A. 1B.35C. 12-D. 3-6. 已知00(,)P x y 是直线:0++=l Ax By C 外一点，则方程00()0Ax By C Ax By C +++++=表示( )A. 过点P 且与l 垂直的直线B. 过点P 且与l 平行的直线C. 不过点P 且与l 垂直的直线D. 不过点P 且与l 平行的直线7. 2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点。

有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近。

为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1234,,,OO OO OO OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，3OO 与x 轴所成的角16α︒≈，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为( )A. 0︒B. 1︒C. 2︒D. 3︒8. 已知直线1:0()l kx y k R +=∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为( )A. B. C. 5+ D. 3+9. 著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代点(,)M x y 与点(,)N a b 最小值为( )A. B. C. 8 D. 610. 已知圆C ：221x y +=，直线l ：2x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点( )A. 1(,0)2B. (0,2)C. (2,1)D. 1(,1)2二、多选题11. 已知直线12:10,:10l x l x +=-=，直线:10l kx y k -+-=被12,l l 截，则k 的值可能为( )A. 2+B. 2-C. 2D. 212. 已知在平面直角坐标系中，3(,0)2A ，(0,3)B ，点(,)M m n 位于线段AB 上，M与端点A ，B 不重合，则11212m n +++的可能取值为( ) A.13B.23C. 1D. 313. 下列说法中，正确的有.( )A. 点斜式11()y y k x x -=-可以表示任何直线B. 直线42y x =-在y 轴上的截距为2-C. 直线20x y -=关于0x y +=对称的直线方程是20x y -=D. 点(2,3)P 到直线的(1)30ax a y +-+=的最大距离为5 14. 下列说法正确的是( )A. 直线 10xsin y α-+=的倾斜角的取值范围为3[0,][,)44πππ⋃B. “5c =”是“点(2,1)到直线340x y c ++=距离为3”的充要条件C. 直线l ：30()x y R λλλ+-=∈恒过定点(3,0)D. 直线25y x =-+与210x y ++=平行，且与圆225x y +=相切三、填空题15. 曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为__________.16. 已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，的最大值为__________. 17. 已知函数，函数()f x 的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是__________.18. 已知直线l 过点(0,2)A 和2(1213)()B m m m R ++∈，则直线l 的倾斜角的取值范围为__________. 四、解答题19. 已知直线l 过点(1,1)M ，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当||||OA OB +取得最小值时，直线l 的方程；(2)当22||||MA MB +取得最小值时，直线l 的方程．20. 已知直线l 经过直线1l ：250x y +-=与2l ：20x y -=的交点．(1)若点(5,0)A 到l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求直线l 的方程，使点(5,0)A 到直线l 的距离最大；(3)求直线l 的方程，使直线l 和直线1l 关于直线2l 对称．答案和解析1.【答案】B解：因为直线(1)y k x =+恒过点(1,0)-，可知：点(0,1)-到直线(1)y k x =+的最大距离，即为点(0,1)-与(1,0)-两点的距离，则点(0,1)-到直线(1)y k x =+ 故选.B2.【答案】A解：平面内三点(1,)A a -，2(2,)B a ，3(3,)C a 共线，,AB AC k k ∴=232131a a a a ++∴=--，化为：2(21)0a a a --=，解得0a =或1a =± 故选.A3.【答案】C解：由题意知a ，b 均不为0，则直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的充要条件是22b a -=-且11a≠，即4ab =且1a ≠，故“4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的必要不充分条件．故选.C4.【答案】C解：由题意，当0m =时，，∴当cos 1θ=-时，max 3;d =当0m ≠时，222222|cos sin 2||sin cos 2||1sin()2|111m m m d mmm θθθθθα---++++===+++，(其中1tan )mα=-，∴当sin()1θα+=时，max 13d =+<，d ∴的最大值为3.故选.C5.【答案】C解：设(3,0)Q ，3yx -表示直线PQ 的斜率，则30323AQ k -==--，201132BQ k -==---，点(,)P x y 是线段AB 上的任意一点，3y x ∴-的取值范围是1[3,]2--，故3yx -的最大值为12-，故选：.C6.【答案】D解：因为点00(,)P x y 不在直线0Ax By C ++=上，所以000Ax By C ++≠，所以直线00()0Ax By C Ax By C +++++=不经过点P ，排除A 、B ；又直线00()0Ax By C Ax By C +++++=与直线l ：0Ax By C ++=平行，排除C ，故选.D7.【答案】C解：过3O 作x 轴平行线3O E ，则316.OO E α∠=≈︒ 由五角星的内角为36︒，可知318BAO ∠=︒，所以直线AB 的倾斜角为18162︒-︒=︒，故选.C8.【答案】C解：联立消去参数k 得22(1)(1)2x y -+-=，所以点A 在以(1,1)C 为圆心，2为半径的圆上.又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --，半径为2，且22||(12)(13)5CD =+++=，两圆相离，所以||AB 的最大值为||2252 2.CD ++=+ 故选.C9.【答案】B解：设()f x =则()f x()f x ∴的几何意义为点(,0)M x 到两定点(2,4)A 与(1,3)B 的距离之和.设点(2,4)A 关于x 轴的对称点为A '，则A '的坐标为(2,4).- 要求()f x 的最小值，可转化为求||||MA MB +的最小值，利用对称思想可知||||||||||MA MB MA MB A B +='+'=即()f x故选.B10.【答案】A解：根据题意，因为P 为直线l ：2x =上的动点，设(2,)P t ，圆C ：221x y +=，其圆心C 的坐标为(0,0)，半径为1，PA 、PB 为圆C 的切线，则以线段PC 为直径的圆N 的方程为2220x y x ty +--=，则有2222120x y x y x ty ⎧+=⎨+--=⎩，联立可得210x ty +-=，即两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，即12()2ty x -=-，所以直线AB 过定点1(,0).2故选：.A11.【答案】AD解：直线12:310,:310l x y l x y -+=--=平行，倾斜角为，两平行线间距离为1112+=，因为直线:10l kx y k -+-=被12,l l 截得的线段长为2，所以直线:10l kx y k -+-=的倾斜角为或，，，则斜率为23+或3 2.- 故选.AD12.【答案】BC解：由题意知，直线AB 的方程为2133x y+=，点(,)M m n 位于线段AB 上，M 与端点A ，B 不重合，则2133m n+=，即23m n +=，(0,3)n ∈，所以111121242m n n n +=+++-+ 266.(4)(2)(1)9n n n ==-+--+ 因为(0,3)n ∈，所以2(1)9(5,9],n --+∈ 所以2626[,).(1)935n ∈--+故选.BC13.【答案】BCD解：A ：点斜式11()y y k x x -=-不能表示斜率不存在的直线，故A 错误； B ：直线42y x =-在y 轴上的截距为2-，正确；C ：在直线20x y -=上任取一点(,)P m n ，它关于0x y +=的对称点(,)Q m n --在直线20x y -=上，所以直线20x y -=关于0x y +=对称的直线方程是20x y -=，C 正确；D ：因为直线的(1)30ax a y +-+=即()30a x y y +-+=过定点(3,3)M -，所以点(2,3)P 到直线的(1)30ax a y +-+=的最大距离为||5MP =，D 正确. 故选：.BCD14.【答案】ACD解：直线 sin 10x y α-+=的倾斜角θ，可得tan sin [1,1]θα=∈-，所以θ的取值范围为3[0,][,),44πππ⋃所以A 正确； “点(2,1)到直线340x y c ++=距离为3”，可得22|64| 3.34c ++=+解得5c =，25c =-，所以“5c =”是“点(2,1)到直线340x y c ++=距离为3”的充分不必要条件，所以B 不正确；直线l ：30()x y R λλλ+-=∈，即，恒过定点(3,0)，所以C 正确；直线25y x =-+即250x y +-=与直线210x y ++=平行，22|5|521-=+，所以直线25y x =-+与圆225x y +=相切，所以D 正确；故选：.ACD15.【答案】3y x =解：23()x y x x e =+，223(21)3()3(31)x x x y x e x x e e x x ∴'=+++=++， ∴当0x =时，3y '=，23()x y x x e ∴=+在点(0,0)处的切线斜率3k =， ∴曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为：3.y x =故答案为3.y x =16.+解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，O 为坐标原点，11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，由22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，可得A ，B 两点在圆221x y +=上，且1212111cos 2OA OB AOB x x y y ⋅=⨯⨯∠=+=，即有60AOB ︒∠=，即三角形OAB 为等边三角形，1AB =，A ，B 两点到直线:10l x y +-=的距离1d 与2d 之和，设AB 中点为M ，则距离1d 与2d 之和等于M 到直线l 的距离的两倍，圆心(0,0)到线段AB 中点M 的距离2d =，圆心到直线l 的距离d '=M ∴到直线l 的距离的最大值为d d +'=+，+17.【答案】解：由题意，，则，所以点和点，12,xxAM BN k e k e =-=，所以12121,0xx e e x x -⋅=-+=，所以，所以，同理，所以故答案为：18.【答案】[0,](,)62πππ⋃解：设此直线的倾斜角为θ，[0,).θπ∈ 则2tanθ=232).3m =+ [0,](,).62ππθπ∴∈⋃故答案为：[0,](,).62πππ⋃19.【答案】解：(1)设(,0)A a ，(0,)(0,0).B b a b >>设直线l 的方程为1x y a b +=，则111a b+=，所以2224a b a bb a b a=+++⋅=，当且仅当2a b ==时取等号，此时直线l 的方程为20.x y +-=(2)方法一：设直线l 的斜率为k ，则0k <，直线l 的方程为1(1)y k x -=-，则，(0,1)B k -，所以22222211||||2224MA MB k k k k +=+++⋅=，当且仅当221k k=，即1k =-时， 22||||MA MB +取得最小值4，此时直线l 的方程为20.x y +-=方法二：设(,0)A a ，(0,)(0,0).B b a b >>设直线l 的方程为1x y a b +=，则111a b+=，即a b ab +=， 2222||||(1)1(1)1MA MB a b +=-++-+222()4a b a b =+-++2224a b ab =+-+2()4a b =-+∴当且仅当2a b ==时，22||||MA MB +取得最小值4，此时直线方程为122x y +=，即20.x y +-=20.【答案】解：(1)易知l 不可能为2l ，故可设经过两已知直线交点的直线系方程为(25)(2)0x y x y λ+-+-=，即(2)(12)50x y λλ++--=，点(5,0)A 到l 的距离为3， 22|1055|3(2)(12)λλλ+-∴=++-，化简得22520λλ-+=，解得12λ=或2λ=， ∴直线l 的方程为2x =或4350.x y --=(2)由解得直线1l 与2l 的交点为(2,1)P ，显然当l PA ⊥时，点(5,0)A 到直线l 的距离最大，又101253PA k -==--， 3l k ∴=，∴所求直线l 的方程是13(2)y x -=-，即350.x y --=(3)在直线1l 上取点(0,5)E ，设点E 关于直线2l 的对称点是(,)F a b ，则052022a b ++-⋅=且520b a -=--，解得4a =，3b =-，由直线l 经过两点(2,1)P ，(4,3)F -，可得直线l 的方程是341324y x +-=+-，即250.x y +-=。

直线方程重点题型

直线方程重难点题型1、斜率问题1. 若三点)2,2(A ，)0,(a B ，),0(b C )0(≠ab 共线，则=+ba 11 。

2. 若直线先向做平移一个单位，再向上平移两个单位，所得直线与原直线重合，则该直线的斜率为。

3. 直线01=++y ax 与连接)3,2(A ，)2,3(-B 的线段相交，则a 的取值范围是（）A . ]2,1[-B . ),2[)1,(+∞⋃--∞C . ]1,2[-D . ),1[)2,(+∞⋃--∞4. 已知实数y x ,满足222+-=x x y )11(≤≤-x ，试求23++x y 的最大值与最小值。

拓展：著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。

”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决。

如：22)()(b y a x -+-可以转化为平面上的点),(y x M 与点),(b a N 的距离。

结合上述观点，可得102204)(22+++++=x x x x x f 的最小值为。

2、求直线方程 5. 已知两直线07:111=++y b x a l ，07:222=++y b x a l 都经过点)5,3(，则经过点),(11b a ，),(22b a )(21a a ≠的直线方程。

3、中点问题6. 一条直线l 被两条直线064:1=++y x l 和0653:2=--y x l 截得的线段中点M 恰好是坐标原点，求直线l 的方程。

7. 过点)1,0(M 作直线，使得它被两条直线0103:1=+-y x l 和082:2=-+y x l 所截得的线段恰好被点M 平分，求此直线的方程。

4、距离问题8. 到直线012:=++y x l 的距离为55的点的轨迹方程为（） A . 直线022=-+y x B . 直线02=+y xC . 直线02=+y x 或直线022=-+y xD . 直线02=+y x 或直线022=++y x9.已知正方形的中心为直线2x－y＋2=0和x＋y＋1=0的交点，正方形一边所在直线的方程为x＋3y－5=0，求其他三边所在直线的方程．5、对称问题及应用（1）点关于直线对称10.已知P(2,3)和直线l:x＋y＋1=0．求(1)点P关于直线l的对称点；(2)若一束光线由P点射到l上，反射后经过点Q(1,1)，求入射光线及反射光线的方程．11.如图，已知)0,4(A，)4,0(B，从点)0,2(P射出的光线经直线AB反射后再射到OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是。

必修2直线和圆复习题及答案

1．直线方程的几种基本形式及适用条件：(1)点斜式：，注意斜率k 是存在的．(2)斜截式：，其中b 是直线l 在上的截距．(3)两点式： (x 1≠x 2且y 1≠y 2)，当方程变形为(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0时，对于一切情况都成立．(4)截距式：，其中a ·b ≠0，a 为l 在x 轴上的截距，b 是l 在y 轴上的截距．(5)一般式：，其中A 、B 不同时为0.1．判定两条直线的位置关系(1)两条直线的平行①假设l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔ 且，l 1与l 2重合⇔ .②当l 1，l 2都垂直于x 轴且不重合时，则有 .③假设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2≠B 2C 1，l 1与l 2重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝(2)两条直线的垂直①假设l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1⊥l 2⇔ . ②假设两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线．③假设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔ .(3)直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2相交的条件是 . 直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交的条件是 .自测题1．过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜斜角为45° ，则m 的值为2. 以下四个命题中真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)－(x －x 1)(y 2－y 1)＝0表示C ．不过原点的直线都可以用x a ＋y b ＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示3．假设三点A (2,3)，B (3，－2)，C (12，m )共线，则m 的值是________．4．已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为________．5．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于________．例题例1.已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求：(1)求直线AB 的斜率； (2)求直线AB 的方程；例2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是______例3.已知直线：l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)l 1⊥l 2时，求a 的值例4.已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使：(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2； (3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.练习题1．以下命题中，正确的选项是( )A ．假设直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是αB ．假设直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．假设直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D ．直线的倾斜角α∈[0，π2)∪(π2，π)时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增2.．假设直线l 1，l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7，则l 2的斜率是( ) A.7B ．－77 C.77 D ．－7 3.．两直线x m －y n ＝1与x n －y m ＝1的图像可能是图中的哪一个( )4.．假设点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a >0，b <0)三点共线，则a －b 的最小值等于______5.．过点M (1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，假设M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为______6.．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l 的方程．7.．已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得到的直线l ′的方程．8.．在△ABC 中，已知A (1,1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．9.．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)假设l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)假设l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．高中数学必修二直线和圆练习一、选择题1．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为〔〕A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x2．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为〔〕A ．0B ．8-C ．2D ．103．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过〔〕A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 4．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，假设线段AB 的中点为 (1,1)M -，则直线l 的斜率为〔〕A ．23B ．32C ．32-D ． 23-. 5. 圆C 1:x 2+y 2+4x-4y+7=0和圆C 2:x 2+y 2-4x-10y+13=0的公切线有( )条条条 D.以上均错6. 已知空间两点A(1,3,5)、B(-3,1,3),则线段AB 的中点坐标为( )A.(-1,2,4)B.(2,1,1)C.(1,0,4)D.(3,3,-1)7.假设直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为( )、、8.已知圆C ：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l ：x-y+3=0，当直线l 被圆C 截得的弦长为32时，则a 等于( ) A.2 B.22- C.12- D.12+二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2.经过点P(1,2)与圆x 2+y 2=1相切的直线方程为______________.3. 与两平行直线x+3y-5=0和x+3y-3=0相切,圆心在直线2x+y+3=0上的圆的方程是________.4. 已知圆x 2+y 2-4x+6y-12=0的内部有一点A(4，-2)，则以A 为中点的弦所在的直线方程为______________________.三、解答题1．求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。

2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习2.1 坐标平面上的直线解析版

专题2.1 坐标平面上的直线【章节复习专项训练】【考点1】：直线的方程例题1．（2020·上海师大附中高二期末）直线方程20x y m -+=的一个方向向量d 可以是（） A ．(2,1)- B ．(2,1) C ．(1,2)- D ．(1,2)【答案】D【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量. 【详解】解：依题意，()2,1-为直线的一个法向量，∴方向向量为()1,2，故选：D .【变式1】（2021·上海市奉贤中学高二期末）如图，平面上过点P (1，2)的直线与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B .过点P 分别作直线垂直于x 轴与y 轴，垂足分别为M ，N .则满足2020PAMPBNS S-=的直线有（）条A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】设直线AB 为y =k (x -1)+2()0k <，分别令x =0，y =0，求得点A ，B 的坐标，然后由2020PAMPBNSS-=求解.【详解】因为过点P (1，2)，且斜率存在，设直线AB 为y =k (x -1)+2()0k <，令x =0，y =2-k ；令y =0，x =2k k- 2(,0),(0,2)k A B k k-∴-， 2,2,AM PM BN k k∴=-==-，2020PAMPBNSS-=，121()21()202022k k ∴⨯-⨯-⨯⨯-=，即2404040k k --=，0k <，所以k 的取值只有一个，故这样的直线有一条. 故选：B【变式2】（2021·上海高二期末）直线1123x y l -+=:的一个方向向量可以是（） A ．(2，3) B ．(2-，3)C ．(3，2)D ．(3-，2)【答案】A【分析】将直线方程转化为()3112y x +=-，求得斜率即可. 【详解】直线1123x y l -+=:可化为：()3112y x +=-，所以直线的斜率为32k，所以直线的一个方向向量可以是(2,3) 故选：A【变式3】（2020·上海曹杨二中高二期末）已知直角坐标系xOy 平面上的直线1x ya b+=经过第一、第二和第四象限，则,a b 满足（） A ．0,0a b >> B ．0a >，0b < C ．0a <，0b < D ．0a <，0b <【答案】A【分析】求出直线与坐标轴的交点，即可得出答案. 【详解】令0x =，则y b =；令0y =，则x a = 所以(0,),(,0)b a 在直线1x ya b+=上因为直线1x ya b+=经过第一、第二和第四象限所以0,0a b >> 故选：A【点睛】本题主要考查了由直线所过象限求参数范围，属于基础题.例题2．（2020·上海市建平中学高二期末）过点()1,2C ，且与直线20x y --=垂直的直线方程为______. 【答案】30x y +-=【分析】先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程【详解】解：因为所求直线与直线20x y --=垂直，所以所求直线的斜率为1-，因为所求直线过点()1,2C ，所以所求直线方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=，故答案为：30x y +-=【点睛】此题考查两直线的位置关系，考查直线方程的求法，属于基础题【变式1】（2020·上海曹杨二中高二期末）过点()3,2P -且与直线210x y ++=垂直的直线方程是______. 【答案】270x y --=【分析】根据直线的垂直关系，设出所求直线方程，将()3,2P -代入方程，即可求解. 【详解】所求直线与直线210x y ++=垂直，设该直线方程为20x y c -+=，()3,2P -代入上式方程得7c =-，所以所求的直线方程为270x y --=. 故答案为：270x y --=.【点睛】本题考查直线的位置关系求方程，利用直线的位置关系合理设方程是解题的关键，属于容易题. 【变式2】（2020·上海市控江中学高二期末）经过点()1,0，且以()2,5d =为一个方向向量的直线l 的方程为_____.【答案】5250x y --=【分析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】直线l 的斜率为52k =，所以，直线l 的方程为()512y x =-，即5250x y --=. 故答案为：5250x y --=.【点睛】本题考查直线的方程，考查直线的方向向量与斜率的关系，考查计算能力，属于基础题. 【变式3】（2020·上海高二期末）已知点()1,2A ,()3,0B ,则线段AB 的垂直平分线的方程是_____．【答案】10x y --=【分析】先求出AB 的中点M 的坐标,再求出直线AB 的斜率,根据两直线垂直时斜率乘积为1-得到垂直平分线的斜率,最后用点斜式公式即可求出直线方程. 【详解】解:设M 的坐标为(),x y ，则1322x,2012y,所以()2,1M . 因为直线AB 的斜率为120113k , 所以线段AB 垂直平分线的斜率2111k , 则线段AB 的垂直平分线的方程为112y x 化简得10x y --=. 故答案为：10x y --=【点睛】本题考查求线段AB 的垂直平分线:即要求垂直平分线线上一点与直线的斜率，根据中点坐标公式求出AB 的中点M 的坐标利用A 与B 的坐标求出直线AB 的斜率根据两直线垂直时斜率乘积为1-得到垂直平分线的斜率根据M 的坐标和求出的斜率写出AB 的垂直平分线的方程即可.【变式4】（2020·上海高二期末）若直线l 过点3(2,)A -且平行于向量(6,5)d =，则直线l 的点方向式方程是___________. 【答案】2365x y -+= 【分析】利用直线l 的点方向式方程即可得出．【详解】由已知可得：直线l 的点方向式方程是2365x y -+=．故答案为：2365x y -+=．【点睛】本题考查直线的点方向式方程，考查推理能力与计算能力，属于基础题．【变式5】（2021·上海市松江二中高二期末）若关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =________ 【答案】2-【分析】根据方程组无解，得到直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，所以直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，所以24024m m m m ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，解得：2m =-.故答案为：2-【点睛】本题主要考查由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的判定条件，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.【变式6】（2020·上海师大附中高二期末）直线10x y -+= 上一点P 的横坐标是3，若该直线绕点P 逆时针旋转90°得直线l ，则直线l 的方程是____________．【答案】70x y +-=【详解】(,3,4)P l 的倾斜角为4590135,tan1351k ︒-︒=︒=︒=-，则其方程为43y x -=-+，即70x y +-=. 故答案为：70x y +-=.【变式7】（2021·上海市奉贤中学高二期末）数学家欧拉在1765年提出定理；三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC 的顶点A (4，0)，B (0，2)，AC BC =，则ABC 的欧拉线所在直线方程为___________.【答案】2x -y -3=0【分析】根据题意求出线段AB 的垂直平分线即可求解. 【详解】线段AB 的中点为(2，1)，201042AB k -==--，线段AB 的垂直平分线为：y =2(x -2)+1，即2x -y -3=0 AC =BC ，∴三角形的外心､重心､垂心依次位于AB 的垂直平分线上，因此ABC 的欧拉线方程为2x -y -3=0. 故答案为：2x -y -3=0.【变式8】（2020·华东师范大学附属周浦中学高二期末）直线l 经过点(3,5)P -，且(1,2)n =是直线l 的一个法向量，则直线l 的一般式方程是________. 【答案】270x y ++=【分析】由直线的法向量可得直线的方向向量，进而可得直线的斜率，由直线方程的点斜式即可得出结果. 【详解】直线的法向量为(1,2)n =，则直线的方向向量为(2,1)m =-，直线的斜率为12k =- 由点斜式可得：1(5)(3)2y x --=--，即270x y ++= 故答案为：270x y ++=【变式9】（2020·上海市三林中学高二期末）过点()1,0且与直线20x y +=垂直的直线的方程______. 【答案】210x y --=【分析】方法一，利用两条直线互相垂直，斜率之积等于-1，求出垂线的斜率，再求垂线的方程；方法二，根据两条直线互相垂直的关系，设出垂线的方程，利用垂线过某点，求出垂线的方程. 【详解】方法一，直线20x y +=的斜率是-2，则与这条直线垂直的直线方程的斜率是12， ∴过点()1,0且与直线20x y +=垂直的直线方程为()1012y x -=-，即210x y --=；方法二，设与直线20x y +=垂直的直线方程为20x y a -+=，且该垂线过过点()1,0，∴11200a ⨯-⨯+=，解得1a =-，∴这条垂线的直线方程为210x y --=. 故答案为：210x y --=.【点睛】本题考查了直线方程的求法与应用问题，也考查了直线垂直的应用问题，是基础题目.例题3．（2021·上海高二期末）已知直线l 与直线250x y +-=平行，并且直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的一般式方程. 【答案】240x y ++=或240x y +-=【分析】设所求直线方程为()205x y C C ++=≠-，求出直线l 与两坐标轴的交点坐标，结合已知条件可得出关于C 的方程，进而可求得直线l 的方程.【详解】由于直线l 与直线250x y +-=平行，设直线l 的方程为()205x y C C ++=≠-，在直线l 的方程中，令0x =，可得y C =-；令0y =，可得2Cx =-. 所以，直线l 交x 轴于点,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭，交y 轴于点()0,C -. 由于直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则214224C C C ⨯-⨯-==，解得4C =±. 因此，直线l 的方程为240x y ++=或240x y +-=.【变式1】（2020·上海高二期末）已知直线1:220l x y +-=和2:10l mx y -+=. (1)当12l l //时，求m 的值； (2)当1l 与2l 的夹角为4π时，求m 的值. 【答案】(1)2-；(2)3或13-. 【分析】（1）直接利用线线平行的充要条件的应用求出结果．（2）直接利用夹角公式的应用求出结果．【详解】（1）直线1:220l x y +-=和2:10l mx y -+=．所以20m --=，解得：2m =-．（2）由于1:220l x y +-=的斜率12k =-，2:10l mx y -+=的斜率2=k m ．所以2112tan||141k kk kπ-==+，解得3m=或13-．【点睛】本题考查的知识要点：线线平行的充要条件的应用，夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．【考点2】：直线的倾斜角和斜率例题1．（2020·上海市杨浦高级中学高二期末）直线210x y+-=的倾斜角为（）.A．arctan2B．arctan2-C．()arctan2π--D．arctan2π-【答案】D【分析】先根据所给直线的斜率-2，直线的斜率是倾斜角的正切，得到[)tan=20ααπ-∈，，，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果.【详解】因为直线210x y+-=的斜率2k=-，所以[)tan=20ααπ-∈，，，所以=arctan2απ-.所以直线210x y+-=的倾斜角为arctan2π-.故选：D【点睛】求斜率的方法：①定义法：()tan90kαα=≠；②两点法求斜率：()212121y yk x xx x-=≠-；③由直线方程求斜率；④由直线的方向向量求斜率.【变式1】（2020·上海高二期末）下图中的直线1l、2l、3l的斜率分别为1k、2k、3k,则（）A．123k k k<<B．312k k k<<C．321k k k<<D．132k k k<<【答案】D【分析】根据斜率与直线倾斜角的关系判断即可.【详解】由图可知：10k <,20k >,30k >,且直线3l 的倾斜角小于直线2l 的倾斜角,所以32k k <,综上可知：132k k k <<.故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题.【变式2】（2020·上海高二期末）已知l 过定点()4,5的直线的一个方向向量是()2,3d =-，则直线l 的点方向式方程可以为（） A ．()()3425x y -=- B ．45=23x y --- C ．()()34250x y -+-= D ．45=32x y -- 【答案】B【分析】利用直线的点向式方程可以直接得到所求的方程．【详解】因为直线l 的方向向量为()2,3d =-且经过点()4,5，故直线l 的点向式方程为45=23x y ---．故选：B ．【点睛】本题考查直线的点向式方程，注意点向式方程的标准形式，此题属于基础题．【变式3】．（2021·上海市建平中学高二期末）直线l 的倾斜角为θ，则直线l 关于直线y =x 对称的直线l '的倾斜角不可能为（） A ．θ B ．2θπ- C ．πθ-D ．32πθ- 【答案】C【分析】可分类讨论求出对称直线l '的倾斜角，然后判断．【详解】当[0,]2πθ∈时，直线l '的倾斜角为2θπ-，当,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线l '的倾斜角为32πθ-，当4πθ=时，直线l '的倾斜角为4πθ=，因此ABD 均可能，只有C 不可能．实际上当直线l '倾斜角为πθ-时，直线l '与直线l 关于和x 轴垂直的直线对称．故选：C ．【变式4】．（2020·上海市洋泾中学高二期末）若直线0ax by c 的一个法向量()3,1n =-，则该直线的倾斜角为（） A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 【答案】B【分析】根据直线的方程可得直线的法向量，结合题设条件可得,a b 的关系，从而可求直线的斜率进而得到直线的倾斜角.【详解】由直线的方程为0ax by c可得直线的法向量为(),m a b =，故,m n 共线，所以()1b a ⨯-=，即ab-=，设直线的倾斜角为[)()0,θθπ∈，则tan θ=3πθ=.故选：B.例题2．（2020·上海市进才中学高二期末）直线210x y -+=的倾斜角为________．【答案】1arctan2【分析】根据直线方程求出直线的斜率，从而求出倾斜角. 【详解】直线210x y -+=的斜率12k =，所以直线的倾斜角是1arctan 2. 故答案为：1arctan2. 【变式1】（2020·上海高二期末）直线40x my 的倾斜角为4π,则m 的值是_____．【答案】1【分析】由直线的倾斜角求出斜率,再由斜率列式求得m 值. 【详解】解：直线40x my 的倾斜角为4π. 所以该直线的斜率为tan 14π=,所以11m=,解得：1m =. 故答案为：1.【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系,是基础题.【变式2】（2020·上海市七宝中学）直线l 的倾斜角范围是__________；【答案】0,【分析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】由直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度. 范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 故答案为：0,【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 【变式3】（2020·上海高二期末）若直线l 的倾斜角的范围为,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则l 的斜率的取值范围是__________.【答案】【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性即可得出．【详解】直线l 的倾斜角,43θππ⎡⎫⎪⎢∈⎣⎭，则l 的斜率tan [1θ∈．故答案为：．【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于基础题．【变式4】（2020·上海复旦附中高二期末）一个方向向量为(1,3d =的直线的倾斜角的大小是__________．【答案】60︒【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角.【详解】因为直线的方向向量为(1,3d =，所以直线的斜率为k = 所以直线的倾斜角的大小是60︒. 故答案为：60︒.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，明确直线的方向向量与直线的斜率间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.【变式5】（2020·上海市金山中学高二期末）直线l ：4y =+的倾斜角的大小为______.【答案】3π；【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得tan θ=. 【详解】解：设直线的倾斜角为θ，由直线l 的方程为：4y =+可得tan θ= 又[)0,θπ∈，所以3πθ=，故答案为：3π.【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题.【变式6】（2021·上海市松江二中高二期末）若直线l 的参数方程是2,()12x t t y t =+⎧∈⎨=--⎩R ，则l 的斜率为________．【答案】-2【分析】把参数方程消参化为斜截式方程即可求出斜率．【详解】由2,()12x t t y t =+⎧∈⎨=--⎩R ，消去参数t 可得23y x =-+，所以直线的斜率2k =- 故答案为2-【点睛】本题考查直线的参数方程与一般方程的互化，属于基础题．【变式7】（2021·上海市奉贤中学高二期末）直线23y x =-+的倾斜角是___________(结果用反三角表示). 【答案】arctan 2π-【分析】根据斜率公式tan k α=化简即可.【详解】解：由题意得tan 2,arctan 2k ααπ==-∴=- 故答案为：arctan 2π-.【变式8】（2021·上海高二期末）直线1:10l x y +-=与直线2:20l x y -+=夹角的大小为___________. 【答案】2π 【分析】根据直线方程求得两直线的斜率，进而可求得倾斜角，即可求得答案.【详解】直线1:10l x y +-=的斜率为-1，因为倾斜角[0,)απ∈，即tan 1α=-，所以1l 的倾斜角为34π，同理直线2:20l x y -+=的斜率为1，所以2l 的倾斜角为4π，所以直线1l 与2l 的夹角为3442πππ-=. 故答案为：2π 【变式9】（2021·上海曹杨二中高二期末）若直线l 的倾斜角为34π，则l 的一个方向向量d 可以是______.(只需填写一个) 【答案】()1,1-【分析】利用直线倾斜角确定直线斜率，进而确定方向向量的横纵坐标之比，写出方向向量. 【详解】直线l 的倾斜角为34π，故直线的斜率3tan 14k π==-，故方向向量的横纵坐标之比为1-，故d 可以是()1,1-，故答案为：()1,1-.【变式10】（2020·上海曹杨二中高二期末）设()1,2A ，()3,1B -，若直线2y kx =-与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是______. 【答案】(][),14,-∞-+∞【分析】画出图象求出定点与A 、B 两点连线的斜率，即可求出实数k 的取值范围．【详解】解：直线2y kx =-恒过定点()0,2-，由题意平面内两点()1,2A ，()3,1B -，直线2y kx =-与线段AB 恒有公共点，如图求出定点与A 、B 两点连线的斜率，()122410k --==-．()212130k --==---，所以直线2y kx =-与线段AB 恒有公共点，则实数k 的取值范围是(][),14,-∞-+∞，故答案为：(][),14,-∞-+∞【点睛】本题考查直线斜率的求法，考查数形结合的思想的应用，考查计算能力．【变式11】（2020·上海高二期末）已知直线l 的一个方向向量是(1,2)，则它的斜率为______________. 【答案】2【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系求斜率即可. 【详解】直线l 的一个方向向量是(1,2)，则直线的斜率为：2=21故答案为：2【点睛】本题考查直线方向向量以及直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题. 【变式12】（2020·上海高二期末）直线210x y +-=的倾斜角为________．【答案】arctan 2π-【分析】先求直线210x y +-=的斜率,进而用反三角函数转化为倾斜角即可. 【详解】直线210x y +-=的斜率为2k =-,设倾斜角为α,所以tan 2α,则arctan 2απ-= 故答案为：arctan 2π-【点睛】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题,考查计算能力．【变式13】（2020·上海市控江中学高二期末）若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为25，则实数k 的值为_____.【答案】34【分析】设直线20x y -=的倾斜角为α，记β=k 的方程，进而可求得实数k 的值.【详解】设直线20x y -=的倾斜角为α，记β=，则tan 2α=，cos 5β=，sin 5β=，1tan 2β=，由题意可得tan 21tan 1tan 122k k k k αβα--===++，解得34k =.故答案为：34. 【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，涉及两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 【变式14】．（2020·上海交大附中高二期末）直线223x ty t =+⎧⎨=+⎩（参数t R ∈）的倾斜角为_________.【答案】12arctan【分析】代入消参，将参数方程化为普通方程，再根据斜率求得倾斜角. 【详解】由3y t =+可得3t y =-，代入22x t =+，可得()223x y =+- 整理得：直线的一般式方程为240x y -+= 则直线的斜率为12k =，设其倾斜角为θ，[)0,θπ∈ 故12arctanθ=. 故答案为：12arctan. 【点睛】本题考查将直线的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题.例3．（2019·上海高二期末）已经直线:1l y kx =-与两点()()1,5,4,2.A B - （1）若l 与直线AB 平行，求它们之间的距离以及l 的倾斜角；（2）若l 与线段AB 无公共点，求k 的取值范围. 【答案】（1）d =；3arctan 5θπ=-；（2）36,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由两点连线斜率公式可求得AB k ，即k ，从而得到直线l 方程及tan θ、直线AB 方程；根据反三角函数可求得倾斜角θ，利用平行直线间距离公式可求得所求距离d ；（2）首先确定直线恒过定点()0,1C -，可知临界状态为,AC BC ，利用两点连线斜率公式求得,AC AB k k ，可知(),AC AB k k k ∈，从而得到结果. 【详解】（1）由,A B 坐标可得：523145AB k -==--- ∴直线AB 方程为：()3245y x -=--，即35220x y +-= l 与直线AB 平行 35AB k k ∴==- 3:15l y x ∴=--，即3550x y ++=设直线l 倾斜角为θ 3tan 5θ∴=- 3arctan 5θπ∴=-直线l 与直线AB之间距离34d ==（2）由题意知，直线l 恒过点()0,1C -51610AC k +∴==---，213404BC k +==- l 与线段AB 无公共点 (),AC AB k k k ∴∈，即36,4k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【点睛】本题是对直线部分知识的综合考查，涉及到直线斜率与倾斜角的关系、两条直线平行的位置关系的应用、平行直线间距离公式、根据直线与线段交点情况求解斜率范围的问题，属于基础题. 【考点3】：两条直线的位置关系例题1．（2020·上海高二期末）直线210x y ++=与直线36100x y 的位置关系是（） A ．相交 B ．重合C ．平行D ．垂直【答案】C【分析】根据直线的一般方程满足111222A B C A B C =≠,则两直线平行. 【详解】解: 直线210x y ++=与直线36100x y ,满足1213610, 故直线210x y ++=与直线36100x y 平行. 故选:C【点睛】本题考查直线与直线的位置关系,若两直线满足111222A B C A B C =≠,则两直线平行. 【变式1】．（2020·上海市金山中学高二期末）已知两条直线1l 与2l 不重合，则“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】“1l 与2l 的平行”则有“1l 与2l 的斜率相等”或“1l 与2l 的斜率均不存在”两种情况，再判断即可得解. 【详解】解：因为两条直线1l 与2l 不重合，由“1l 与2l 的斜率相等”可得“1l 与2l 的平行”；由“1l 与2l 的平行”则可得“1l 与2l 的斜率相等”或“1l 与2l 的斜率均不存在”，即“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查了两直线平行的充分必要条件，重点考查了直线的斜率，属基础题. 【变式2】．（2020·上海市嘉定区封浜高级中学高二期末）14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的（）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】对a 分类讨论，利用两条相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．【详解】解：对于：直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=，当0a =时，分别化为：10x +=，30x y -+-=，此时两条直线不垂直，舍去；当1a =-时，分别化为：310y -+=，230x --=，此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足条件；当1a ≠-，0时，两条直线的斜率分别为：13a a +-，11a a -+，由于两条直线垂直，可得11131a aa a +--⨯=-+，解得14a =或1-（舍去）．综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：14a =或1-． ∴14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的充分而不必要条件．故选：A ．【点睛】本题考查了两条相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了分类讨论思想、推理能力与计算能力，属于中档题．例题2．（2021·上海闵行中学高二期末）过点()3,5与直线y x m =+垂直的直线方程是___________. 【答案】80x y +-=【分析】设与y x m =+垂直的直线方程为y x n =-+，利用过的点，求出n 即可. 【详解】设所求直线为y x n =-+ 过点()3,5，故8n = 直线方程为80x y +-= 故答案为：80x y +-=【变式1】．（2021·上海位育中学高二期末）已知直线1:230l ax y a ++=与直线2:3(1)70l x a y a +-+-=互相垂直，则a =________ 【答案】25【分析】利用两条直线垂直的等价条件可得()3210a a +-=，解方程即可求a 的值. 【详解】因为直线1:230l ax y a ++=与直线2:3(1)70l x a y a +-+-=互相垂直，所以()3210a a +-=，解得：25a =，故答案为：25.【变式2】．（2021·上海市进才中学高二期末）若直线1:210l ax y ++=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直，则a 的值为_________. 【答案】23-【分析】根据两个直线垂直的公式代入计算. 【详解】因为12l l ⊥，所以2(1)0a a ++=，得23a =-. 故答案为：23-【变式3】．（2021·上海市复兴高级中学高二期末）已知直线220x y +-=和10x y -+=的夹角为______. 【答案】arctan 3【分析】求出两直线的斜率，利用相交两直线的夹角公式求解而得. 【详解】直线220x y +-=和10x y -+=的斜率分别为k 1=-2，k 2=1，设直线220x y +-=和10x y -+=的夹角为(0)2πθθ<≤，而两直线不垂直，由夹角公式得：121221tan ||||311(2)1k k k k θ---===++-⋅，所以arctan 3θ=. 答案为：arctan 3【变式4】．（2020·上海闵行中学高二期末）已知直线1:10l ax y -+=，2:10l x ay --=，且12l l ⊥，则实数a =_________. 【答案】0【分析】依据两条直线垂直充要条件12120A A B B +=直接计算即可. 【详解】因为12l l ⊥，所以()()1100a a a ⨯+-⨯-=⇒= 故答案为：0【变式5】．．（2020·上海高二期末）已知直线1:42l mx y m +=+，2:l x my m +=，若12//l l ，则实数m =________．【答案】2-【分析】根据直线互相平行的判定公式得到结果. 【详解】直线1:42l mx y m +=+，2:l x my m +=，若12//l l ，则24102m m -⨯=⇒=±，当2m =时，1l 和2l 化简为：1:22l x y +=，2:22l x y +=，此时，1l 与2l 重合，故2m =时不符合题意当2m =-时，1l 和2l 化简为：1:20l x y -=，2:220l x y -+=，此时，1l 与2l 不重合且平行，故2m =-时符合题意故答案为：2-.【点睛】这个题目考查了已知两直线的位置关系求参数的应用，属于基础题.【变式6】．（2020·上海高二期末）直线10x y ++=与直线30x y -+=的夹角大小等于___________. 【答案】2π【分析】算出两条直线的斜率，根据它们的乘积为1-可得它们的夹角．【详解】设两条直线的夹角为θ，直线10x y ++=的斜率为11k =-，直线30x y -+=的斜率为21k =，因为121k k =-，所以两条直线垂直，所以2πθ=．故答案为：2π．【点睛】本题考查直线的夹角，注意先判断它们是否垂直，如果不垂直，则利用夹角公式1212tan 1k k k k θ-=+来计算，本题属于容易题．【变式7】．（2020·上海市洋泾中学高二期末）已知直线1:220++=l x ay 与直线2:(1)310l a x y -++=平行，则实数a 的值为__________ 【答案】2-或3【分析】根据两直线平行，直接列式求解. 【详解】12//l l ，22131a a ∴=≠-，解得：2a =-或3a =. 故答案为：2-或3【变式8】．（2020·上海高二期末）直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的夹角为______________. 【答案】90︒【分析】先利用斜率之积为1-，判定两直线垂直，即可得解.【详解】由直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的方程可知，两直线的斜率分别为：1212,2k k ==-，∴121k k =-，∴12l l ⊥,∴两直线的夹角为90︒. 故答案为：90︒.【点睛】本题考查两直线的夹角的求法，关键根据两直线的方程求得斜率，根据斜率是否乘积为1-，从而判定两直线是否垂直是关键点.【变式9】．（2020·上海格致中学高二期末）若直线1:2310l x y +-=的方向向量是直线2:20l ax y a -+=的法向量，则实数a 的值等于__________. 【答案】32【分析】由题意结合直线方向向量、法向量的概念可得12l l ⊥，再由直线垂直的性质即可得解. 【详解】直线1l 的方向向量是直线2l 的法向量，∴12l l ⊥，∴230a -=，解得32a =. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了直线方向向量、法向量概念的应用，考查了直线垂直的性质，属于基础题.【变式10】．（2020·上海高二期末）已知直线1l ：210ax y -+=、2l ：()130x a a y ++-=，若12l l ⊥，则实数a =_________.【答案】0或12- 【分析】若直线1l ：1110A x B y C ++=与直线2l ：2220A x B y C ++=垂直，则12120A A B B +=，代入数据计算即得. 【详解】直线1l ：210ax y -+=、2l ：()130x a a y ++-=，且12l l ⊥，()()1+210a a a ∴⨯-⨯+=,即220a a +=，解得0a =或12a =-. 故答案为：0a =或12a =-. 【点睛】本题考查直线的位置关系，属于基础题.【变式11】．（2020·上海市三林中学高二期末）已知直线1l ：()6180x t y +--=，直线2l ：()()46160t x t y +++-=，若1l 与2l 平行，则t =______.【答案】-5【分析】由平行关系可得()()()6641t t t ⨯+=+-，解方程验证排除重合可得.【详解】由题意可得()()()6641t t t ⨯+=+-，解方程可得5t =-或8t =，经验证8t =时直线重合，应舍去故当5t =-时，两直线平行.故答案为：-5.【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题.【变式12】．（2021·上海市奉贤中学高二期末）已知直线()()1:3410l k x k y -+-+=与()2:23230l k x y --+=平行，则k 的值是____．【答案】3或5【分析】由两直线平行得出()()()23243k k k --=--，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证. 【详解】直线()()1:3410l k x k x y -+-++=与()2:23230l k x y --+=平行，()()()23243k k k ∴--=--，整理得()()350k k --=，解得3k =或5.当3k =时，直线1:10l y +=，23:02l y -=，两直线平行；当5k =时，直线1:210l x y -+=，23:202l x y -+=，两直线平行. 因此，3k =或5.故答案为3或5.【点睛】本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证，考查运算求解能力，属于基础题.例题3．（2020·上海高二期末）已知二元一次方程组()()32232120k x y k x k y k ⎧--=⎪⎨++++=⎪⎩无解，求k 的值：【答案】32k 【分析】根据题意知两直线平行,根据直线与直线平行的关系建立方程,求解验证即可.【详解】解:因为二元一次方程组()()32232120k x y k x k y k ⎧--=⎪⎨++++=⎪⎩无解, 则()322k x y k --=与()32120x k y k ++++=平行, 由3223212k k k k ---=≠++，解得：32k ．经过验证满足题意． 32k ∴=时方程组无解．【点睛】本题考查两直线平行,求参数,是基础题.【考点4】：点到直线的距离例题1．（2020·上海市七宝中学）直线l 经过点()2,1P -，且点()1,2--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为______．【答案】2x =-或4350x y ++=【分析】当直线l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=；当直线与x 轴垂直时，l 方程为2x =-也符合题意．由此即可得到此直线l 的方程．【详解】设直线l 的方程为()12y k x -=+，即210kx y k -++=∵点()1,2--A 到l 的距离为1，1=，解之得43k =-，得l 的方程为4350x y ++=．当直线与x 轴垂直时，方程为2x =-，点()1,2--A 到l 的距离为1，∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=．故答案为：2x =-或4350x y ++=【点睛】本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l 方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．【变式1】．（2020·上海高二期末）若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则||OP 的最小值为______________.【分析】线段OP 的最小值，就是原点到已知直线的距离，根据点到直线的距离公式即可得出．【详解】解：原点到直线的距离d==故||OP【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、转化方法，属于基础题．【变式2】．（2020·上海高二期末）已知点()4,1P,点Q的坐标(),x y满足212x y=,则点P与点Q距离的最小值为_____．【分析】先将212x y=转化为直线220x y--=,再求点P到直线220x y--=的距离即可.【详解】解: 点Q的坐标(),x y满足212x y=,则点Q在直线220x y--=上,则点P与点Q距离的最小值即为点P到直线220x y--=的距离:d===故点P与点Q故答案为:【点睛】本题考查二阶行列式的运算,考查点到直线的距离公式,是基础题.【变式3】．（2019·上海市进才中学高二期末）圆22240x y x y+-+=的圆心到直线3450x y+-=的距离等于________。

高考数学专题复习：直线的方程

高考数学专题复习：直线的方程一、单选题1．对于任意的实数k ，直线1y kx k =-+恒过定点P ，则点P 的坐标为（） A ．()1,1--B ．()1,1-C ．()1,1-D ．()1,12．直线()110ax a y a +++-=过定点（） A ．()2,1B ．()2,3-C ．()2,1-D ．()2,3-3．过点P -且倾斜角为135的直线方程为（）A ．30x y --B ．0x y -=C ．0x y +=D ．0x y +=4．已知直线l 经过点()1,2-，且与直线2310x y 垂直，则l 的方程为（） A ．2340x y ++=B ．2380x y +-=C ．3270x y --=D ．3210x y --=5．已知)(111,P a b 与)(222,Pa b 是直线2y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于111:20l a x b y +-=和222:20l a x b y +-=的交点情况是（） A ．无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一交点 B ．存在k ，1P ，2P 使之有无穷多个交点 C ．无论k ，1P ，2P 如何，总是无交点D ．存在k ，1P ，2P 使之无交点6．若630kxy x y -+-=表示两条直线，则实数k 的值为（） A ．3B ．2C ．1D ．07．在直角坐标系中，直线230x y -+=经过（） A ．一、二、三象限 B ．一、二、四象限 C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限8．“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．直线l 过点(3,4)A ，且与点(3,2)B -的距离最远，则直线l 的方程是（） A ．350x y --=B ．390x y -+=C ．3130x y +-=D ．3150x y +-=10．直线2360x y --=在y 轴上的截距为（） A ．2B ．2-C ．3D ．3-11．过点(1,3)-且与直线230x y -+=平行的直线方程是（） A ．250x y --=B ．270x y -+=C ．210x y +-=D ．250x y +-=12．若直线0Ax By C ++=（220A B +≠）经过第一、二、三象限，则系数A B C ，，满足的条件为（）A ．ABC ，，同号 B ．00AB BC <<， C ．00AC BC <>，D ．00AB AC ><，二、填空题13．直线31y kx k =++经过的定点为________.14．已知实数m ，n 满足21m n -=，则直线30mx y n -+=必过定点________． 15．过点()1,3P -且倾斜角为3π的直线方程是________. 16．已知两点()1,2A -，()5,0B ，则线段AB 的垂直平分线方程为________．三、解答题17．已知直线l 经过点(2,3)P(1)若()1,1A 在直线l 上，求l 的方程；(2)若直线l 与直线2310x y -+=垂直，求l 的方程．18．已知直线l ：(2)(12)430.m x m y m ++-+-=（1）求证：不论m 为任何实数，直线l 恒过一定点，并求出定点坐标；（2）过点(1,2)M --作一条直线1l ，使1l 夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线1l 的方程.19．设直线l 的方程为()()130a x y a a R ++-+=∈. （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；（2）若l 不经过第三象限，求a 的取值范围.20．已知直线l 的方程为2440,x my m m R +--=∈，点P 的坐标为(1,0)-．（1）求证：直线l 恒过定点，并求出定点坐标；（2）设点Q 为直线l 上的动点，且PQ l ⊥，求||PQ 的最大值，及取到最大值时m 的值．21．已知直线:3470l x y +-=，求（1）求直线l 的斜率：（2）若直线m 与l 平行，且过点(0,2)，求直线m 的方程．22．已知三角形ABC 的三个顶点是A (1，1)，B (-1，3)，C (3，4). （1）求边BC 的高所在直线l 1的方程；（2）若直线l 2过点C ，且A ､B 到直线l 2的距离相等，求直线l 2的方程.参考答案1．D 【分析】令参数k 的系数等于0，即可得,x y 的值，即为定点P 的坐标. 【详解】由1y kx k =-+可得()11y k x -=-，令10x -=可得1x =，此时1y =，所以直线1y kx k =-+恒过定点()1,1P ，故选：D. 2．C 【分析】将直线方程变形，可得出关于x 、y 的方程组，即可解得定点坐标. 【详解】直线方程可化为()110a x y y +++-=，由1010x y y ++=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，因此，直线()110ax a y a +++-=过定点()2,1-. 故选：C. 3．D 【分析】由倾斜角为135求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程【详解】解：因为直线的倾斜角为135，所以直线的斜率为135tan 1k =︒=-，所以直线方程为(y x +=-，即0x y +=，故选：D 4．C 【分析】求出直线l 的斜率，利用点斜式可得出直线l 的方程.直线l 与直线2310x y 垂直，且直线2310x y 的斜率为23-，所以直线l 的斜率为32，又因为直线l 经过点()1,2P -，所以直线l 的方程为()3212y x +=-，化简得3270x y --=. 故选：C ． 5．A 【分析】根据1,P 2P 在直线2y kx =+可得()21,2i i b ka i =+=，从而可得12,l l 有唯一交点，从而可得正确的选项. 【详解】因为)(111,P a b 与)(222,P a b 是直线2y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，所以()21,2i i b ka i =+=即()()1201,2i i a k b i ⨯-+⨯-==，故(),1k -既在直线1l 上，也在直线2l 上.因为)(111,P a b 与)(222,P a b 是两个不同的点，故1l 、2l 不重合，故无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一交点(),1k -. 故选：A. 6．B【分析】由题可得方程左边一定可以表示为两个一次式的乘积，设()()63kxy x y ax b cy d -+-=++比较系数可求出.【详解】若630kxy x y -+-=表示两条直线，则其左边一定可以表示为两个一次式的乘积，又因缺少22,x y 项，则可设()()63kxy x y ax b cy d -+-=++，即63kxy x y acxy adx bcy bd -+-=+++，则163k acad bc bd =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=-⎩，解得2k =.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出方程左边一定可以表示为两个一次式的乘积，可设为()()63kxy x y ax b cy d -+-=++.7．A 【分析】根据直线方程得到其与坐标轴的交点，从而可得出结果. 【详解】由230x y -+=，令0x =可得，32y =；令0y =可得3x =-；即直线230x y -+=过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭，()3,0-，所以直线230x y -+=经过一、二、三象限. 故选：A. 8．A 【分析】直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直得到a R ∈，再利用充分必要条件的定义判断得解. 【详解】因为直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直，所以1()(1)0a a ⨯+⨯-=，所以a R ∈.所以1a =时，直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直，所以“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的充分条件；当直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直时，1a =不一定成立，所以“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的非必要条件.所以“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A 【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.9．C 【分析】由已知求得直线的斜率，再运用直线的点斜式可求得直线的方程. 【详解】线l 过点(3,4)A 且与点(3,2)B -的距离最远，∴直线l 的斜率为：1134233AB k --==--+，∴直线l 的方程为43(3)y x -=--，即3130x y +-=，故选：C ． 10．B 【分析】直接令0x =，求出y 即可. 【详解】直线2360x y --=，令0x =，得2y =-.∴直线2360x y --=在y 轴上的截距为2-. 故选：B. 11．B 【分析】设直线方程为20x y c -+=，(3)c ≠，将点(1,3)-代入即可求解. 【详解】设直线方程为20x y c -+=，(3)c ≠，直线过点(1,3)-，∴代入直线方程的1230c --⨯+=，得7c =，则所求直线方程为270x y -+=，故选：B ． 12．B 【分析】将直线方程转化为斜截式，再利用直线斜率与截距的意义即可得出. 【详解】由题意得，直线0Ax By C ++=，即A C y x B B=--，直线经过第一、二、三象限，所以0A B ->,0CB->，即0AB <，0BC <，故选：B. 13．(3,1)- 【分析】把直线31y kx k =++化为1(3)y k x -=+，结合方程组3010x y +=⎧⎨-=⎩，即可求解.【详解】由题意，直线31y kx k =++可化为1(3)y k x -=+，又由3010x y +=⎧⎨-=⎩，解得3,1x y =-=，即直线过定点(3,1)-.故答案为：(3,1)-. 14．12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】将21n m =-代入直线30mx y n -+=得()()2310x m y ++--=，由20310x y +=⎧⎨--=⎩即可得结果.【详解】由已知得21n m =-，代入直线30mx y n -+=得3210mx y m -+-=，即()()2310x m y ++--=，由20310x y +=⎧⎨--=⎩，解得213x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴直线必过定点12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故答案为:12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭.1530y -= 【分析】先求出斜率，再用点斜式写出直线方程，最后化简即可得出答案. 【详解】∵直线倾斜角为3π，∴斜率tan 3k π==∵直线过点()1,3P -，∴直线方程为：)3130y x y -+-=.30y -=. 16．250x y +-= 【分析】先由两点坐标求出线段中点坐标，再由斜率公式以及垂直关系，得到所求直线的斜率，根据点斜式，即可得出直线方程. 【详解】因为()1,2A -，()5,0B 的中点坐标为1520,22+-+⎛⎫⎪⎝⎭，即()3,1-；又021512AB k +==-，所以线段AB 的垂直平分线所在直线的斜率为12ABk k =-=-，因此所求直线方程为()123y x +=--，即250x y +-=. 故答案为：250x y +-=.17．(1) 210x y --=； (2)32120x y +-= . 【分析】(1)利用待定系数法求直线l 方程；(2)利用两直线垂直求出直线l 的斜率，再用点斜式写方程整理得一般方程. 【详解】(1) 设直线l 的方程为y kx b =+，因为直线l 过点(2,3)P 和()1,1A ，所以23,1k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2,1k b =⎧⎨=-⎩. 所以直线l 的方程为21y x =-，即210x y --= . (2) 设直线l 的斜率为k ，直线2310x y -+=斜率为23，因为直线l 与直线2310x y -+=垂直，所以213k ⨯=- ，32k =- .又直线l 经过点(2,3)P ，所以直线l 的方程为()3322y x -=--，整理得32120x y +-=.18．（1）证明见解析，定点坐标为()1,2--；（2）直线1:240l x y ++=. 【分析】（1）将直线方程整理为()()24230x y m x y +++--=，据此可求定点坐标. （2）求出1l 的截距后可求直线1l 的方程. 【详解】（1）直线l ： ()()24230x y m x y +++--=即为()()24230x y m x y +++--=，由240230x y x y ++=⎧⎨--=⎩可得12x y =-⎧⎨=-⎩，故直线过定点且定点坐标为()1,2--.（2）由题设可得直线1l 的横截距和纵截距均存在且不为零，设直线1:1x yl a b+=，则该直线与x 轴交点的坐标为(),0a ，与y 轴交点的坐标为()0,b ，故012022a b +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩即24a b =-⎧⎨=-⎩，故直线1:240l x y ++=.19．（1）3a =或0a =；（2）13a -≤≤. 【分析】（1）分截距都为0，与截距都不为0两种情况讨论可得；（2）直线不经过第三象限则斜率小于等于0，纵截距大于等于0，即可得到不等式组，解得即可；【详解】（1）当截距都不为0，则斜率()11a -+=-时，即0a =，:30l x y +-=符合题意；当截距都为0，即纵截距30a -=时，即3a =，:40l x y +=符合题意；故3a =或0a =（2）因为()()130a x y a a R ++-+=∈，即()13y a x a =-++-，若l 不经过第三象限，则()1030a a ⎧-+≤⎨-≥⎩，解得13a -≤≤，故实数a 的取值范围为13a -≤≤.20．（1）定点()2,4；（2）||PQ 的最大值为5，83m =.【分析】（1）将直线方程化为()()2440x m y -+-=，由24040x y -=⎧⎨-=⎩可求出定点；（2）可得当且仅当点Q 为定点()2,4时，||PQ 取得最大值，由此即可得出所求.【详解】（1）将直线方程化为()()2440x m y -+-=，由24040x y -=⎧⎨-=⎩可得24x y =⎧⎨=⎩，故直线l 恒过定点()2,4；（2）设直线l 的定点()2,4M ，则由PQ l ⊥可得5PQ PM ≤=当且仅当点Q 为定点()2,4时，||PQ 取得最大值为5，此时044123PQ k -==--， PQ l ⊥，234l k m ∴=-=-，解得83m =，故||PQ 的最大值为5，取到最大值时m 的值为83. 【点睛】关键点睛：本题考查定点到动直线距离的最值，解题的关键是得出当且仅当点Q 为定点()2,4时，||PQ 取得最大.21．（1）34-；（2）3480x y +-=. 【分析】（1）根据直线方程，直接写出斜率即可；（2）由两线平行斜率相等，结合所过的点坐标写出直线方程.【详解】（1）由直线方程知：3744y x =-+，即直线l 的斜率为34k =-；（2）由（1），根据直线m 与l 平行，且过点(0,2)，则直线m ：324y x =-+， ∴直线m 一般形式为3480x y +-=.22．（1）450x y +-=；（2）70x y +-=或2360x y -+=.【分析】（1）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．（2）利用斜率计算公式、中点坐标公式、直线平行的性质、点斜式即可得出．【详解】（1）431314BC k -==+，114l BC k k =-=-， ∴直线1l 的方程是4(1)1y x =--+，即450x y +-=．（2）直线2l 过C 点且A 、B 到直线2l 的距离相等，∴直线2l 与AB 平行或过AB 的中点M ，31111AB k -==---，∴直线2l 的方程是(3)4y x =--+，即70x y +-=， AB 的中点M 的坐标为(0,2)， ∴422303CM k -==-，∴直线2l 的方程是2(3)43y x =-+，即2360x y -+=，综上，直线2l 的方程是70x y +-=或2360x y -+=．。

八年级数学线性方程专项练习题及答案

八年级数学线性方程专项练习题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性方程？A. 2x - 3y = 7B. 3x² + 4y = 5C. 5x + 2y = 0D. x + y = 9答案：B2. 解方程组 x + y = 10，x - y = 4，得出 x 和 y 的值分别为：A. x = 6, y = 4B. x = 7, y = 3C. x = 8, y = 2D. x = 9, y = 1答案：A3. 若 x = 3 是线性方程 2x + y = k 的解，则 k 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：D二、填空题1. 解方程 4x - 6 = 10，得出 x 的值为 __________。

答案：42. 若解方程组 2x - 3y = 7，-5x + 4y = -2，得出 x = __________，y = __________。

答案：x = -1，y = -13. 若线性方程 3x + 2y = 12 的一个解为 (3, 2)，则这个线性方程的另一个解为 _________。

答案：(6, 0)三、解答题1. 解方程 2(x + 3) = 4x + 10。

解法：首先将方程中的括号去掉，得到 2x + 6 = 4x + 10。

然后移项，将含有 x 的项放在一起，得到 2x - 4x = 10 - 6。

简化得到 -2x = 4。

最后将方程两边除以 -2，得到 x = -2。

答案：x = -22. 解方程组 2x - y = 3，x + 2y = 4。

解法：首先使用第二个方程解出 x 的值，得到 x = 4 - 2y。

然后将 x 的值代入第一个方程，得到 2(4 - 2y) - y = 3。

化简得到 8 - 4y - y = 3。

合并同类项得到 8 - 5y = 3。

移项得到 -5y = -5。

最后将方程两边除以 -5，得到 y = 1。

将 y 的值代入 x = 4 - 2y，得到 x = 4 - 2(1) = 2。

2024北京重点校高二(上)期末数学汇编：直线的方程

2024北京重点校高二（上）期末汇编直线的方程一、单选题1．（2024北京昌平高二上期末）已知直线过点()1,1P -，且倾斜角是45︒，则直线不经过（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．（202410y -+=的倾斜角为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π63．（2024北京顺义高二上期末）直线l ：10x y --=的倾斜角为（）A ．π6B ．π4C ．π3 D ．3π44．（2024北京顺义高二上期末）已知直线1l ：10ax y --=，2l ：()210ax a y ++-=.若12l l ∥，则实数a =（）A ．0或3-B ．0C ．3-D ．1-或25．（2024北京西城高二上期末）直线3410x y -+=不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（2024北京石景山高二上期末）已知直线1:370l x y +-=，直线2:20l kx y --=.若12l l ⊥，则实数k =（） A ．3- B ．13- C ．13 D ．37．（2024北京民大附中高二上期末）过点()1,2且与直线290x y +-=平行的直线方程是（） A ．20x y -= B ．230x y --=C ．250x y +-=D ．240x y +-=二、填空题8．（2024北京海淀高二上期末）经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +-=垂直的直线方程为． 9．（2024北京西城高二上期末）过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为 . 10．（2024北京东城高二上期末）直线l ：10x y ++=的斜率为；过点()1,3P 且垂直于l 的直线方程是 .11．（2024北京大兴高二上期末）经过原点()0,0且与直线3450x y ++=垂直的直线方程为 . 12．（2024北京房山高二上期末）若直线2(1)0x a y a +-+=与直线20ax y ++=垂直，则a 的值为．三、解答题13．（2024北京石景山高二上期末）菱形ABCD 的顶点,A C 的坐标分别为()()4,7,6,5,A C BC --边所在直线过点()4,1P -.(1)求,BC AD 边所在直线的方程；(2)求对角线BD 所在直线的方程.参考答案1．D【分析】根据题意，求出直线方程，画出图象，结合图象得到答案.【详解】直线过点()1,1P -，且倾斜角是45︒，所以直线斜率tan 451k =︒=，所以直线方程为y −1=x +1，即20x y -+=，画出直线图象为结合图象可知，直线不过第四象限，故选：D.2．C【分析】先求直线的斜率，根据公式求倾斜角.【详解】直线方程可化为1y =+，所以直线的斜率为：k =tan θ=又[)θ0,π∈，所以πθ3=. 故选：C3．B【分析】根据斜率即可求解倾斜角.【详解】直线10x y --=的斜率为1，故倾斜角为π4，故选：B4．B【分析】根据两直线平行得到方程，求出0a =或3-，检验后得到答案.【详解】由题意得()20a a a ++=，解得0a =或3-，当0a =时，直线1l ：1y =-，2l ：12y =，满足12l l ∥，当3a =-时，直线1l ：310x y ---=，2l ：310x y ---=，两直线重合，不合要求，舍去，综上，0a =.故选：B5．D【分析】将直线方程化为斜截式，根据直线的斜率和截距分析判断.【详解】由直线3410x y -+=，即3144y x =+，可知斜率304k =>，纵截距为104>，所以直线3410x y -+=不经过第四象限.故选：D.6．D【分析】代入两直线垂直的公式12120A A B B +=，即可求解.【详解】因为12l l ⊥，所以()1310k ⨯+⨯-=，得3k =.故选：D7．C【解析】设所求直线方程为20x y m ++=，将点()1,2的坐标代入所求直线方程，求出m 的值，即可得出所求直线的方程.【详解】因为所求直线与直线290x y +-=平行，可设所求直线方程为20x y m ++=，将点()1,2的坐标代入直线的方程20x y m ++=得1220m +⨯+=，解得5m =-.因此，所求直线方程为250x y +-=.故选：C.【点睛】结论点睛：已知直线l 的一般方程为0Ax By C ++=.（1）与直线l 平行的直线的方程可设为()110Ax By C C C ++=≠；（2）与直线l 垂直的直线的方程可设为20Bx Ay C -+=.8．210x y -+=【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为12-，则与直线:210l x y +-=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=.故答案为：210x y -+=9．10x y ++=【分析】根据平行得出斜率，利用过点()2,3A -即可得出直线方程.【详解】由题意，与直线30x y ++=平行的直线的斜率为1-，直线过点()2,3A -，∴过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为：()()312y x --=--，即：10x y ++=.故答案为：10x y ++=.10． 1- 20x y -+=【分析】根据直线的斜截式方程即可求解斜率，根据垂直的斜率关系，结合点斜式即可求解直线方程.【详解】直线10x y ++=可化为=1y x --，故斜率为1-，过点()1,3P 且垂直于l 的直线的斜率为1，故方程为31y x -=-，即20x y -+=故答案为：1-，20x y -+=11．430x y -=【分析】与直线3450x y ++=垂直的直线方程可设为：430x y b -+=，再将()0,0代入即可得出答案.【详解】与直线3450x y ++=垂直的直线方程可设为：430x y b -+=，又因为经过原点()0,0，所以0b =.所求方程为430x y -=故答案为：430x y -=.12．1-【分析】由两直线垂直的条件求解.【详解】结合题意：由两直线垂直可得：()2110,a a +-⨯=解得：1a =-.故答案为：1-.13．(1)BC 所在直线方程为270x y +-=，AD 所在直线方程为210x y ++=(2)5610x y -+=【分析】（1）求出2AD BC CP k k k ===-，由点斜式求出直线方程；（2）求出AC 的中点坐标，再根据垂直关系得到56BD k =，利用点斜式写出直线方程，得到答案. 【详解】（1）由菱形的性质可知BC ∥AD ，则15246AD BC CP k k k -+====--. 所以BC 边所在直线的方程为()526y x +=--，即270x y +-=；AD 边所在直线的方程为()724y x -=-+，即210x y ++=.（2）线段AC 的中点为()7561,1,465AC E k +==---，由菱形的几何性质可知，BD AC ⊥且E 为BD 的中点，则156BD AC k k =-=，所以对角线BD 所在直线的方程为()5116y x -=-，即5610x y -+=.。

第30讲直线方程(解析版)

第30讲直线方程一．选择题（共30小题）1．（2020秋•河南期末）已知直线l 经过原点(0,0)O 和A 两点，则直线l 的倾斜角是( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【解析】解：由(0,0)O 和A 两点，代入斜率公式得斜率3=，则直线l 的倾斜角是60︒，故选：C ．2．（2020秋•广安期末）直线310l y -+=的倾斜角为( ) A ．0B ．6πC ．4π D ．3π 【解析】解：设直线l 的倾斜角为α，则由直线310l y -+=知，3=．所以tan α 所以6πα=．故选：B ．3．（2020秋•丰台区期末）已知A ，(1,0)B ，则直线AB 的倾斜角为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【解析】解：(2,3)A ，(1,0)B ，∴直线AB 的斜率03-==， ∴直线AB 的倾斜角为3π．故选：B ．4．（2020秋•吕梁期末）若直线l 为51230x y -+=，则直线l 的斜率为( ) A ．125B ．512C ．512-D ．125-【解析】解：直线l 为51230x y -+=，则直线l 的斜率512=．故选：B ．5．（2020春•金湖县校级期中）若直线220mx y +-=与直线(1)20x m y +-+=平行，则m 的值为( ) A ．1-B ．1C ．2或1-D ．2【解析】解：由直线220mx y +-=与直线(1)20x m y +-+=平行，得(1)12021(2)0m m m --⨯=⎧⎨-⨯-≠⎩，解得2m =．故选：D ．6．（2020春•金湖县校级期中）过点(2,2)P -且平行于直线210x y ++=的直线方程为( ) A ．220x y +-=B ．220x y --=C ．260x y +-=D ．220x y ++=【解析】解：设与直线210x y ++=平行的直线方程为20x y m ++=，代入(2,2)P -，可得2220m ⨯-+=，即2m =-．∴过点(2,2)P -且平行于直线210x y ++=的直线方程为220x y +-=．故选：A ．7．（2019秋•铜官区校级期中）已知直线1:(3)(42)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=平行，则k 的值是( ) A ．1或3B ．1或52C ．3或52D ．1或2【解析】解：直线1:(3)(42)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=平行，当3k =时，直线1l 即：210y -+=，2l 即：230y +=，直线1l 与2l 平行．则3k ≠时，由34212(3)23k k k --=≠--，求得52k =，综上可得，3k = 或52k =，故选：C ．8．（2019秋•阎良区期末）已知直线1:(2)(2)20l m x m y +--+=，直线2:310l x my +-=，且12l l ⊥，则m 等于( ) A ．1-B ．6或1-C ．6-D ．6-或1【解析】解：由题意知，12l l ⊥，则3(2)[(2)]0m m m ++--⨯=；解得，6m =或1-．故选：B ．9．（2020秋•吉安期末）过点(1,1)-且倾斜角为135︒的直线方程为( )A ．0x y -=B ．0x y +=C ．1x y -=D ．1x y +=【解析】解：过点(1,1)-且倾斜角为135︒的直线的斜率为tan1351︒=-，故它的方程为11(1)y x -=-⨯+，即0x y +=，故选：B ．10．（2020秋•石景山区期末）直线l 过点(1,2)P -，且倾斜角为45︒，则直线l 的方程为( ) A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．30x y --=D ．30x y -+=【解析】解：直线l 过点(1,2)P -，且倾斜角为45︒，则直线l 的斜率为tan451=︒=，直线方程为21(1)y x -=⨯+，即30x y -+=．故选：D ．11．（2020秋•凯里市校级期末）斜率为2，且过直线4y x =-和直线2y x =+交点的直线方程为( ) A ．21y x =+B ．21y x =-C ．22y x =-D ．22y x =+【解析】解：直线4y x =-和直线2y x =+交点为(1,3)M ，又斜率为2，故直线的方程为32(1)y x -=-，即21y x =+，故选：A ．12．（2020秋•香坊区校级期末）过点(4,3)M -和(2,1)N -的直线方程是( ) A ．30x y -+=B ．10x y ++=C ．10x y --=D ．30x y +-=【解析】解：因为直线MN 的斜率31142-==--+，故直线MN 的方程1(2)y x -=-+，即10x y ++=．故选：B ．13．（2020秋•天津期末）经过(2,1)A ，(0,3)B -两点的直线方程为( ) A ．230x y --=B ．230x y +-=C ．230x y --=D ．230x y +-=【解析】解：由题意得，直线AB 的斜率13220+==-，故直线AB 的方程为32y x +=，即230x y --=．故选：A ．14．（2020秋•房山区期末）已知点(1,1)M -，(2,5)N ，则线段MN 的中点坐标为( ) A ．(3,4)B ．3(,2)2C ．(1,6)D ．1(,3)2【解析】解：点(1,1)M -，(2,5)N ，线段MN 的中点坐标：12(2+，51)2-，即3(2，2)．故选：B ．15．（2020秋•房山区期末）已知(3,2)A -，(1,2)B -，则线段AB 中点的坐标为( ) A ．(1,2)B ．(2,0)C ．1(,2)2D ．(1,0)【解析】解：由线段的中点坐标公式可知，线段AB 的中点M 的坐标为3(1)(2+-，(2)2)2-+，即(1,0)．故选：D ．16．（2020秋•海原县校级期末）直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点坐标为( )A ．(4,3)--B ．(4,3)C ．(4,3)-D ．(3,4)【解析】解：由题意得： 32602570x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得：43x y =-⎧⎨=⎩，故选：C ．17．（2019春•定州市期末）不论m 为何值，直线(21)(2)50m x m y -+++=恒过定点( )A ．(1,2)--B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)【解析】解：直线(21)(2)50m x m y -+++=恒过定点， (2)(25)0x y m x y ∴++-++=恒过定点，由20250x y x y +=⎧⎨-++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线(21)(2)50m x m y -+++=恒过定点(1,2)-．故选：B ．18．（2020秋•杨浦区校级期中）点(2,3)P 关于直线:0l x y +=的对称点的坐标是( ) A ．(2,3)--B ．(3,2)--C ．(2,3)-D ．(3,2)【解析】解：设点(2,3)P 关于直线0x y +=的对称点A 的坐标为(,)m n ，则由由3(1)1223022n m m n -⎧-=-⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩求得32m n =-⎧⎨=-⎩，故(3,2)A --，即答案为：(3,2)--．故选：B ．19．（2020秋•南岗区校级月考）点(2,1)P 关于直线10x y +-=的对称点坐标为( )A ．3(0,)2-B ．(1,0)-C ．(0,1)-D ．3(,0)2-【解析】解：设对称点的坐标为(,)x y ，则满足1112211022y x x y -⎧-⨯=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，即110y x x y =-⎧⎨++=⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，即对称点的坐标为(0,1)-，故选：C ．20．（2020春•雨花区校级月考）在平面直角坐标系中，点(1,2)A 关于直线:0l x y +=对称的点的坐标为()A ．(2,1)-B ．(2,1)C ．(2,1)-D ．(2,1)--【解析】解：设点(1,2)A 关于直线0x y += 对称点为(,)B m n ，则211n m -=- 且21022n m +++=，解得2m =-，1n =-，则点(1,2)A 关于直线:0l x y += 的对称点B 为(2,1)--，故选：D ．21．（2020春•石家庄期末）直线45y x =-关于点(2,1)P 对称的直线方程是( ) A ．45y x =+B ．45y x =-C ．49y x =-D ．49y x =+【解析】解：设直线45y x =-上的点0(P x ，0)y 关于点(2,1)的对称点的坐标为(,)x y ，所以022x x+=，012y y +=，所以04x x =-，02y y =-，将其代入直线45y x =-中，得到24(4)5y x -=--，化简，得49y x =-．故选：C ．22．（2020春•包头期末）与直线3450x y -+=关于坐标原点对称的直线方程为( ) A ．3450x y +-=B ．3450x y ++=C ．3450x y -+=D ．3450x y --=【解析】解：设直线3450x y -+=点1(Q x ，1)y 关于点(0,0)M 对称的直线上的点(,)P x y ，所求直线关于点(0,0)M 的对称直线为3450x y -+=，∴由中点坐标公式得102x x +=，102y y +=；解得1x x =-，1y y =-代入直线3450x y -+=，得3()4()50x y ---+=，整理得：3450x y --=，即所求直线方程为：3450x y --=．故选：D ．23．（2020秋•桥西区月考）已知点(2,1)A --，(,3)B a 且||5AB =，则a 等于( ) A ．1B ．5-C ．1或5-D ．其他值【解析】解：点(2,1)A --，(,3)B a 且||5AB =，∴5，即2(2)9a +=，解得1a =或5a =-．故选：C ．24．（2020秋•湖州期末）点(1,0)-到直线10x y +-=的距离是( )A B C ．1 D ．12【解析】解：由点到直线的距离公式可得：点(1,0)-到直线10x y +-=的距离是d =故选：A ．25．（2020秋•河南期末）直线1:2430l x y +-=与直线2:2470l x y ++=之间的距离是( )A B C D ．【解析】解：根据题意，直线1:2430l x y +-=与直线2:2470l x y ++=，则直线1l 与直线2l 之间的距离d ==故选：C ．26．（2020秋•渭滨区期末）两条平行直线3420x y +-=与8110ax y ++=之间的距离为( ) A ．135B ．1310C ．32D ．3【解析】解：根据两条平行直线3420x y +-=与8110ax y ++=，可得811342a =≠-，求得6a =，直线3420x y +-=，即直线6840x y +-=；直线8110ax y ++=，即直线68110x y ++=， 32=，故选：C ．27．（2020秋•凉山州期末）平行线3490x y +-=和620x my ++=的距离是( )A ．85B ．2C ．115D ．75【解析】解：由直线3490x y +-=和620x my ++=平行，得8m =．∴直线620x my ++=化为6820x y ++=，即3410x y ++=． ∴平行线3490x y +-=和620x my ++=1025==．故选：B ．28．（2020秋•西城区期末）已知(4,8)A ，(2,4)B ，(3,)C y 三点共线，则y 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】解：(4,8)A ，(2,4)B ，(3,)C y 三点共线，∴(2,4)AB =--，(1,8)AC y =--，//AB AC ， ∴1824y --=--，求得6y =，故选：C ．29．（2020秋•庐阳区校级期中）已知(1,2)A ，(0,1)B ，(,4)C m ，若A ，B ，C 三点共线，则(m = ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】解：已知(1,2)A ，(0,1)B ，(,4)C m ，若A ，B ，C 三点共线，则直线AB 的斜率和直线BC 的斜率相等，即2141100m --=--，求得3m =，故选：A ．30．（2020秋•镜湖区校级期中）已知(1,2)A ，(1,0)B -，(4,)C m 三点在一条直线上，则m 的值为( ) A ．3- B ．5-C ．3D ．5【解析】解：(1,2)A ，(1,0)B -，(4,)C m 三点在同一条直线上， AB AC k k ∴=，即2021(1)41m --=---，解得：5m =，故选：D ．二．填空题（共6小题）31．（2019秋•沈阳期末）已知直线1:20l ax y a -+=，2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直，则实数a 的值是 0或1 ．【解析】解：直线1:20l ax y a -+=与直线2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直， (21)(1)0a a a ∴⨯-+-⨯=，解之得0a =或1故答案为：0或132．（2020春•昌吉市期末）对任意实数m ，直线30mx y m --+=恒过定点，则该定点的坐标为 (1,3) ．【解析】解：由30mx y m --+=，得(1)30m x y --+=，联立1030x y -=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩．∴直线30mx y m --+=恒过定点(1,3)，故答案为：(1,3)．33．（2020秋•吕梁期末）方程(1)310a x ay a --+-=所表示的直线恒过定点 (1,2)- ．【解析】解：方程(1)310a x ay a --+-=，即(3)(1)0a x y x -+-+=，由3010x y x -+=⎧⎨+=⎩，解得定点坐标为(1,2)-，故答案为：(1,2)-．34．（2020秋•杭州期末）已知点(1,1)A -，直线:220l x y -+=，则点A 到直线lA且垂直于直线l 的直线方程是．【解析】解：已知点(1,1)A -，直线:220l x y -+=，则点A 到直线l的距离是d == 点A 为(1,1)-，垂直于直线l 的直线方程斜率为12l-=-，故过点A 且垂直于直线l 的直线方程为12(1)y x +=--，即210x y +-=．35．（2020秋•崇明区期末）点(0,0)到直线2x y +=【解析】解：由点(0,0)到直线20x y +-=的距离公式得d ==．36．（2020秋•池州期末）若直线1:210l x y -+=与2:440l x my ++=平行，则1l ，2l 间的距离为．【解析】解：因为直线1:210l x y -+=与2:440l x my ++=平行，直线1l 可变形为4220x y -+=，故2m =-，所以直线2:4240l x y -+=，即2:220l x y -+=，故1l ，2l间的距离d =．．三．解答题（共2小题）37．（2020春•西安区校级期末）已知两直线1:2(3)10l mx m y +-+=，2:220l x my m ++=．当m 为何值时，1l 和2l ．（1）平行；（2）垂直？【解析】解：（1）因为12//l l ，所以22(3)20m m m ⨯--⨯=，解得32m =-或1m =，当1m =时，两条直线重合，（2）因为12l l ⊥，所以22(3)20m m m ⨯+-⨯=，解得0m =或5m =．所以，当1l ，2l 平行时，32m =-，当1l ，2l 垂直时，0m =或5m =．38．（2019秋•拉萨期末）已知两条直线1:(1)10l x a y a +++-=，2:260l ax y ++=．（1）若12//l l ，求a 的值（2）若12l l ⊥，求a 的值【解析】（本题满分为10分）解：（1）当1a =-时，直线1l 的斜率不存在，直线2l 的斜率为12，1l 与2l 既不平行，也不垂直，⋯（2分）当1a ≠-时，直线1l 的斜率为11a -+，直线2l 的斜率为2a-，⋯（4分）因为12//l l ，所以112aa -=-+，解得1a =或2a =-．当1a =时，直线1:20l x y +=，2:260l x y ++=，1l 与2l 平行，当2a =-时，直线1l 与2l 的方程都是30x y --=，此时两直线重合，⋯（6分）故1a =．⋯（7分）（2）因为12l l ⊥，所以1()()112a a -⨯-=-+，解得23a =-．⋯（9分）经检验23a =-符合题意，故23a=-．⋯（10分）11。

人教版高一数学上学期期末复习专题(一)--直线与方程

高一数学上学期期末专题复习（一）----直线与方程【基础知识】一、直线的倾斜角α与斜率k 的关系1．直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为00；（2）直线的倾斜角的范围：00180α≤<．2．直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率．k ＝tan α(α≠90°)；（2）倾斜角为90°的直线没有斜率．3．经过两点11(,)A x y ，22(,)B x y 的直线的斜率公式为()212121x x x x y y k ≠--=；【注意1】每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率．【注意2】若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k =tan α=1212y y x x --．二、直线方程的五种形式经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121表示；三、直线1l 与直线2l 的的平行与垂直判断方法：（1）已知直线1l ：11y k x b =+，222:l y k x b =+，① 1l //2l ⇔12k k =，且12b b ≠；② 1l ⊥2l ⇔121k k =-； ③1l 与2l 相交⇔12k k ≠ 说明：这种判断方法要求两条直线的斜率都存在；；（2）已知直线0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l①1l ⊥2l ⇔12120A A B B +=； ②1l //2l ⇒12210A B A B -= ；③1l 与2l 相交⇔12210A B A B -≠ 四、几个公式（1）两点间的距离公式：12||PP =（2）已知111222(,),(,)P x y P x y 的中点坐标为1212,)22x x y y ++（（3）点000(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d =（4）两平行直线11:0l Ax By C ++=与22:0l Ax By C ++=的距离：d =五、三点共线的证明方法【典型例题】考点1 直线的倾斜角与斜率1．直线310x ++=的倾斜角是；2．设点(2,2),(3,1)A B ---，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围是；直线l 的斜率k 的取值范围是；考点2 两条直线的位置关系3．若直线1:(1)3l ax a y +-=与直线2:(1)(23)2l a x a y -++=互相垂直，则实数a 的值为 .4．已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=，2:2(3)230l k x y --+=平行，则k = ； 5．已知两条平行直线12:3450,:60l x y l x by c ++=++=间的距离为3，则b c += ．考点3 直线的方程6．（教参84页）过点(2,3)的直线l 被两平行直线1:2590l x y -+=与2:2570l x y --=所截线段AB 的中点恰好在直线410x y --=上，求直线l 的方程．7．（课本115也第8题）过点(3,0)P 有一条直线l ，它夹在两条直线1:220l x y --=与2:30l x y ++=之间的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程．考点4 应用（选讲）8．已知01x <<，01y <<，求证：+≥．9．（教参第91页）证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．10．（教参第97页）已知点(3,5),(2,15)M N -．在直线l ：3440x y -+=上找一点P ，使||||PM PN +最小，并求出最小值．直线与方程----练习一、基础巩固1．经过两点(4,21)A y +，(2,3)B -的直线的倾斜角为34π，则y ＝； 2．设点(2,3)A -，(3,2)B --，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是；3．过两点22(2,3)A m m +-、2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为045，则实数m = ；4．已知直线(3)453m x y m ++=-与直线2(5)8x m y ++=平行，则实数m = ； 5．已知直线(3)453m x y m ++=-与直线2(5)8x m y ++=相交，则实数m 的取值范围是；6．已知直线(32)(14)80a x a y ++-+=与直线(52)(4)70a x a y -++-=垂直，则实数a = ；7．两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=的距离等于； 8．直线l 过点(2,3)A -，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程是；9．已知点()()()30,0,0,,,O A b B a a ，若ABC ∆为直角三角形，则必有（）A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=10．若直线被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则的倾斜角可以是： ①15； ②30；③45；④60；⑤75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）11．已知直线l 经过点A (2，3)，且原点到直线l 的距离为2，则直线l 的方程是； 12．直线l 经过点(1,2)P ，且(2,3)A ，(0,5)B -到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是；13．已知直线l 经过直线3450x y +-=和2380x y -+=的交点，且垂直于直线250x y ++=,则直线l 的方程是；14．光线从点A （2，3）射出，若镜面的位置在直线l ∶10x y ++=上，反射线经过B （1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A 到B 所走过的路线长．二、能力提升15．函数()f x 的最小值是；16．已知直线1l 和2l 夹角的平分线所在直线的方程为y x =，如果1l 的方程是0(0)ax by c ab ++=> ，那么2l 的方程是（）A ．0bx ay c ++=B ．0ax by c -+=C ．0bx ay c +-=D ．0bx ay c -+=17．直线:(32)(4)220()l x y R λλλλ++++-=∈经过定点M ，则定点M 的坐标是；18．已知△ABC 三边所在直线方程为AB ∶34120x y ++=，BC :43160x y -+=，CA ∶220x y +-=，求：∠ABC 的平分线所在的直线方程．高一数学上学期期末专题复习（一）——直线与方程答案【典型例题答案】 1．0120; 2．3[,]44ππ,k ≥1或k ≤－1； 3．1a =或3a =-; 4．3或5; 5．-12或48; 6．4570x y -+=; 7．8240x y --=10．先求出点M 关于直线l 的对称(3,3)M '-，直线M N '的方程是：18510x y +-=，直线M N '与直线l 的交点P 即为所求的点，8(,3)3P ，||||PM PN +最小值等于||M N '=直线与方程课后练习答案1．－3； 2．k ≥34或k ≤－4； 3．2m =-；4．7-； 5．1m ≠-,且7m ≠-．6．0a =或1a =．7．72； 8．320x y +=或50x y -+=或10x y +-= 9．C 10．①⑤ 11．2x =或512260x y -+=； 12．420x y --=或1x =；13．250x y -+=14．入射光线所在直线的方程是：5420x y -+=反射光线所在直线的方程是：4510x y -+=15 16．A 17．(2,2)M - 18．740x y -+=17．在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段OA 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE 的方程：11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程：．【解析】本小题考查直线方程的求法。

专题24 直线的方程-【中职专用】中职高考数学二轮复习专项突破

专题24 直线的方程直线的方程平行垂直1. 直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴__ __与直线l__ __方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__ __．(2)倾斜角的取值范围为__ __．2.直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝__ __，倾斜角是90°的直线斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝_ __．3.直线方程的三种形式名称方程适用范围点斜式___不含直线x＝x0斜截式 _ 不含垂直于x 轴的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0其中要求__ __适用于平面直角坐标系内的所有直线4.线段中点的坐标一般地，设111(,)P x y 、222(,)P x y 为平面内任意两点，线段1P 2P 中点000(,)P x y 的坐标为5.设直线l 与 x 轴的交点 A(a,0),与 y 轴的交点B(0,b),则 a 叫直线l 的横截距，b 叫直线l 的纵截距.6.三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝．特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝． (2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝．(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝．1.求直线的倾斜角、斜率2.距离问题一．选择题：本大题共 18小题，每小题4 分，满分 72 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线2x + y + 3 = 0的斜率是 ()A.2B.−2C.12 D. -122. 点M(1, −1)关于点N(3,2)的对称点是 ()A.(5,5)B.(4,1)C.(6,4)D.(5,4)3. 直线6x + 2y + 1 = 0的斜率是（） A.6 B.−3 C.3D.24.的倾斜角是( )A.−60OB.120OC. 60O D.150O5. 已知两点A(−1, 5)，B(3,9)，则线段AB 的中点坐标为（） A.(1,7) B.(2,2)C.(−2, −2)D.(2,14)6. 直线x + y + 1 = 0与坐标轴围成的三角形的面积为（） A.1B.2C.3 D . 127. 直线3x − 2y − 6 = 0在x 轴上的截距与斜率分别是( ) A.2，32 B. 2，23C.− 3，32 D. − 3，238. 若直线l 过点(1,2)，在y 轴上的截距为 1，则直线l 方程式为（）A.3x − y − 1 = 0B. 3x − y + 1 = 0C.x − y − 1 = 0D. x − y + 1 = 09. 已知直线l 的倾斜角为，在y 轴上的截距为2 ，则l 的方程是 ( )A. y + x − 2 = 0B.y + x + 2 = 0C.y − x − 2 = 0D.y − x + 2 = 010. 点P(−1,2)到直线8x − 6y + 15 = 0的距离为（） A.2 B.12 C.1 D. 7211. 已知点P(1,1)到直线x + y + m = 0的距离等于2，则m 的值等于( )A ．B ．0 或− 4 C. 2或− 6 D. 612. 点P 1(3,4)), P 2(a, 6),P 为P 1P 2的中点,O 为坐标原点,且|OP | =5,则a 的值为 ( ) A.7 B.−13 C.7或 17 D. 7或−1313. 若两条直线l 2: x + 2y − 6 = 0与l 1: x + ay − 7 = 0平行，则l 1与l 2间的距离是( )A.B.C. 2D.514. 在xoy 平面上，如果将直线l 先沿 x 轴正向平移 3 个单位长度；再沿 y 轴负方向平移 5 个单位长度，所得的直线刚好与l 重合，那么l 的斜率是（）A.-53 B.-35C. 35 D. 53 15.直线l1的方程为x−E M BEDEqu a t i oy = 0x − y = 016. 若直线y ＝－12ax －12与直线y ＝3x －2垂直，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－23D ．2317. 直线x －y ＋2＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．9018. 两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( ) A ．m ＝1 B ．m ＝±1C ．⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ≠－1D ．⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠1二.填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分 28 分. 19. 已知直线y = ax + 1的倾斜角为3π，则a=__ __..20. 连结两点A (3,4), B(−7,6)的线段的中点坐标为__ __. 21. 过点A(−4,1)和点B(3,0)的直线方程为__ __. 22. 设l 是过点)及点(1,)的直线, 则点（12）到l 的距离是__ __.23. 在平面直角坐标系xoy 中，给定两点A(2,0)和B(6, −3)，那么点C(−1,3)到直线AB 的距离为__ _ . 24. 已知A (1，－1)、B (a,3)、C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝__ __． 25. 两直线3x ＋4y －2＝0与6x ＋8y －5＝0的距离等于__ .专题24 直线的方程（参考答案）1. 直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴__正向__与直线l__向上__方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__．(2)倾斜角的取值范围为__[0°，180°)__． 2.直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝__tan_α__，倾斜角是90°的直线斜率不存在． (2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝__y 2－y 1x 2－x 1__．3.直线方程的三种形式4.线段中点的坐标一般地，设111(,)P x y 、222(,)P x y 为平面内任意两点，线段1P 2P 中点000(,)P x y 的坐标为121200,.22x x y y x y ++== 5. 设直线l 与 x 轴的交点 A(a,0),与 y 轴的交点B(0,b),则 a 叫直线l 的横截距，b 叫直线l 的纵截距. 6.6.三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP | (2)点P (x0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d ＝|C 1－C2|A2＋B2．12345678910111213答案B A B B A D A D C B C D D 题号1415161718答案A D D B D题号19 20 21 22答案3(-2,5)x+7y−3=023题号23 24253 512110。