关于圆锥曲线的146个二级结论
圆锥曲线最最常用二级结论总结
圆锥曲线最最常用二级结论总结圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。
2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。
3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。
4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。
5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。
6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。
7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。
8.切线：对于任意一条圆锥曲线，其切线斜率等于该点处的导数。
经过改写后的内容如下：圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。
2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。
3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。
4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。
5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。
6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。
7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。
数学圆锥曲线二级结论大全
数学圆锥曲线二级结论大全
《数学圆锥曲线二级结论大全》
一、圆锥曲线关于它的一级结论：
1、圆锥曲线的象限是双对称的，在其主象限内都有自己明显的特征。
2、圆锥曲线的终点处离原点越远，它的凹凸性越明显，终点越近，它的凹凸性越不明显。
3、圆锥曲线的宽度随着它距离原点的距离而增大，离原点越远，它的宽度越宽。
4、圆锥曲线的长度随着它距离原点的距离而减小，离原点越近，它的长度越短。
二、圆锥曲线的二级结论：
1、圆锥曲线的起点与终点位于原点的对称轴上，其宽度和长度的变化规律也同样遵循这一原则。
2、圆锥曲线的宽度和长度是由它的凹凸性来决定的，凹凸性越明显，宽度和长度越小，反之亦然。
3、圆锥曲线的宽度和长度还受长短轴的影响，长短轴越大，圆锥曲线的宽度和长度也就越大。
4、圆锥曲线的起点处和终点处的宽度和长度总是比较接近的，而在它们之间的距离就会随着它们离原点的距离变化而变化。
圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线的二级结论是指在圆锥曲线中，一些经过推导和证明的特殊性质和定理。
这些结论通常用于简化解题过程和提高解题效率。
以下是一些圆锥曲线的二级结论及证明：
焦点弦长公式：对于过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲线交于两点A和B，有AB=2ex1ex2*sin(θ)，其中e为离心率，x1和x2为A、B两点对应的横坐标，θ为直线AB的倾斜角。
证明：设直线AB的方程为x=my+n，联立直线和圆锥曲线方程，得到二次方程。
利用韦达定理得到x1+x2和x1*x2的值，再利用弦长公式得到AB的长度。
切线与法线的关系：对于圆锥曲线上的点P(x0,y0)，其切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中k为切线的斜率。
同时，该点的法线方程可以表示为y-y0=-1/k(x-x0)。
证明：设点P处的切线斜率为k，则切线方程可以表示为
y-y0=k(x-x0)。
求出该点处的导数即为切线的斜率。
利用点斜式方程得到切线方程，然后利用法线和切线的垂直关系得到法线方程。
离心率与曲线的形状关系：对于椭圆，离心率e越小，曲线越扁；对于双曲线，离心率e越大，曲线越扁。
证明：利用椭圆的焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率
e与半轴长之间的关系。
对于双曲线，同样利用焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率e与半轴长之间的关系。
以上是一些圆锥曲线的二级结论及证明，这些结论可以应用于具体的解题过程中，提高解题效率。
圆锥曲线常用二级结论及推导
圆锥曲线常用二级结论及推导
一级定理：
圆锥曲线以圆锥为开口的曲面，可以分为无穷类：双曲线、抛物线、圆环等，它们具有相同的曲线性质：
其曲线方程与相应圆锥的椭球坐标方程有关；
1. 每条曲线都由两个圆锥内切，且两个圆锥圆心恒定；
2. 每条曲线都内切于两个椭球相同的u轴对称，且保证轴线恒定；
3. 每条曲线都具有特定的v轴对称性，即它的曲线的曲线的v值是它的相反数；
4. 各曲线的曲率系数及曲率半径都是椭球坐标系中固定的；
5.曲线的凹凸性及其轮廓都是椭圆的图形而不受其开口的圆锥影响。
1. 椭圆圆锥曲线的抛物线曲线方程：
uV=C。
其中，C为椭球坐标系中定义的一个常量，用来表示曲线定义的空间维度。
证明：由三维圆锥的椭球坐标方程u2/ a2+v2 /b2=1，得到uV/a2b2=1，即uV=a2b2，故结论得证。
圆锥曲线中的几个常用二级结论
结论 2 椭圆、双曲线共焦点
已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1， e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，则sien2122θ＋coes2222θ＝1．
2 (1)已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为 F1，F2，记它们其中的一个交点为 P，
且∠F1PF2＝23π，则该椭圆离心率 e1 与双曲线离心率 e2 必定满足的关系式为( C )
点，F1，F2 分别为左、右焦点，若∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1
＝β，则
S△PF1F2＝ b2θ，离心率 tan2
e＝|sinαs－inθsinβ|x22＋by22＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2 分别为左、右焦点，若 P→F1·P→F2＝0，tan∠PF1F2＝12，则椭圆的离心率为___3_5__．
【解析】 因为 tan∠PF1F2＝12，P→F1·P→F2＝0，所以 sin∠PF1F2＝sinα＝ 15，sin∠PF2F1
＝sinβ＝
25，sin∠F1PF2＝sinθ＝1，所以
e＝sinαs＋inθsinβ＝
1
1 ＋
2
＝
35．
55
3 (2)已知 F1，F2 是双曲线x42－y2＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且P→F1· P→F2＝0，则△PF1F2 的面积为__1___．
2 (2)已知 F1，F2 为椭圆 C1：ax221＋by221＝1(a1＞b1＞0)与双曲线 C2：ax222－by222＝1(a2＞
0，b2＞0)的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝π3，e1，e2 分别为 C1，
C2 的离心率，则 e1e2 的最小值为
( A)
圆锥曲线部分二级结论
圆锥曲线部分二级结论一：1：定圆上一动点与圆内一定点的线段的垂直平分线，与动点和圆心之间的半径交点的轨迹是椭圆。
2：定圆上一动点与圆外一定点的线段的垂直平分线，与动点和圆心之间的半径交点的轨迹是双曲线。
3：定直线上一动点与直线外一定点的线段垂直平分线，与过动点和定直线垂直的直线的交点的轨迹是抛物线。
二：1：动点到一定点和一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆。
2：动点到一定点和一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线。
3：动点到一定点和一定直线的距离之比等于1，则动点的轨迹是抛物线。
三：圆锥曲线上任一点的切线和过焦点与该点焦半径垂直的直线的交点，轨迹为该圆锥曲线相应之准线。
四：椭圆，双曲线的焦点在切线上的射影的轨迹是一个以原点为圆心，以a为半径的圆。
抛物线的焦点在切线上的射影的轨迹为过抛物线顶点的切线。
五：1：以椭圆焦半径以为直径的圆和以长轴为直径的圆相切。
2：以双曲线焦半径以为直径的圆和以实轴为直径的圆相切。
3：以抛物线焦半径为直径的圆必与过顶点的切线相切。
六：1：椭圆中以焦点弦为直径的圆必与椭圆的准线相离。
2：双曲线中以焦点弦为直径的圆必与双曲线的准线相交。
3：抛物线中以焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。
七：1：椭圆焦点三角形的内切圆圆心轨迹为以原焦点为顶点的椭圆（不含焦点）。
2：双曲线焦点三角形的内切圆圆心的轨迹是过双曲线实轴顶点的两条开线段。
①都垂直实轴。
②纵坐标范围（-b，b）。
椭圆和双曲线在这里还各有一个重要性质。
八：1：圆锥曲线焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数。
2：圆锥曲线相互垂直的两个焦点弦长度倒数之和为常数。
九：圆锥曲线焦点弦的中垂线与长轴（或实轴或对称轴）的交点到焦点的距离，与焦点弦长度之比为离心率的一半。
十：圆锥曲线的的焦点弦的端点在相应准线上的投影与另一端点的连线必过定点，且平分焦点与准线交轴点之间的线段。
数学-圆锥曲线常考的93个二级结论
圆锥曲线常考的93 个二级结论一、椭圆1.是椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，则的取值范围是.2.是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，则的取值范围是.3.是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，则的取值范围是.4.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，，则..5.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，则为短轴端点时最大.6.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右顶点，则为短轴端点时最大.7.已知椭圆，若点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭P 12222=+by a x 1F 1PF [,]a c a c -+P 12222=+by a x 1F 2F 12PF PF ⋅22[,]b a P 12222=+by a x 1F 2F 12PF PF ⋅u u u r u u u r2222[,]b c a c --P ()012222>>=+b a by a x 21,F F θ=∠21PF F 122tan2F PF S b θ∆=1222F PF C a c ∆=+P ()012222>>=+b a by a x 21,F F P 12F PF ∠P ()012222>>=+b a by a x 12,A A P 12A PA ∠12222=+by a x ()0>>b a B A ,M圆上异于的一点.若的斜率分别为，则.8.若是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则. 9.若是椭圆不垂直于对称轴的切线，为切点，则.10.过圆上任意点作椭圆（）的两条切线，则两条切线垂直.11.过椭圆（）上任意不同两点作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于，则动点的轨迹为圆. 12.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离.13.以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆内切.14.设为椭圆的左、右顶点，则在边（或）上的旁切圆，必与所在的直线切于（或）.15.椭圆的两个顶点为,，与轴平行的直线交椭圆于时与交点的轨迹方程是.16.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.,A B MB MA ,21,k k 2122b k k a⋅=-AB 22221x y a b +=M AB 22OM ABb k k a⋅=-l 22221x y a b +=M 22l OM b k k a ⋅=-2222x y a b +=+P 22221x y a b+=0a b >>22221x y a b+=0a b >>,A B P P 2222x y a b +=+1PF 12,A A 12F PF ∆2PF 1PF 12A A 2A 1A 22221x y a b +=()0>>b a 1(,0)A a -2(,0)A a y 12,P P 11A P 22A P 22221x y a b-=00(,)P x y 22221x y a b +=P 00221x x y ya b+=17.若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是. 18.若点在椭圆（）内，过点作椭圆的弦（不过椭圆中心），分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线. 19.若在椭圆内，则被所平分的中点弦的方程是. 20.若在椭圆内，则过的弦中点的轨迹方程是. 21.若是椭圆上对中心张直角的弦，则. 22.过椭圆焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值.23.过椭圆焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值.24.过椭圆焦点互相垂直的直线与椭圆相交构成四边形面积的取值范围是00(,)P x y 22221x y a b+=P 12,P P 12PP 00221x x y ya b+=()00,M x y 22221x y a b+=0a b >>M AB ,A B P 00221x x y ya b+=00(,)P x y 22221x y a b +=P 2200002222x x y y x y a b a b+=+00(,)P x y 22221x y a b +=P 22002222x x y yx y a b a b+=+PQ 22221x y a b+=()0>>b a 22221111||||OP OQ a b+=+22ab2222a b ab +.25.过椭圆焦点互相垂直的直线被椭圆截得弦长之和的取值范围是.26.设为椭圆上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.27.若是过椭圆（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则. 28. 若是椭圆（）的左右顶点，点是直线（）上的一个动点（不在椭圆上），直线及分别与椭圆相交于，则直线必与轴相交于定点.29.过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与轴相交于，若，，则为定值，且.30.过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.2422228[,2](+)a b b a b 2222282(+)[,]+ab a b a b a()000,y x P ()012222>>=+b a by a x 21P P 21P P 21P P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-022*******,y b a b a x b a b a M AB 22221x y a b+=0a b >>F AB x N 2AB NF e=,A B 22221x y a b+=0a b >>P x t =,0t a t ≠≠P PA PB ,M N MNx 2,0a Q t ⎛⎫⎪⎝⎭22221x y a b+=0a b >>F ,M N y P PM MF λ= PN NF λ= λμ+222a bλμ+=-22221x y a b+=0a b >>F ,M N P PM MF λ= PN NF μ=λμ+0λμ+=31.若是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.32.若是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.33.若是椭圆（）上任意两点，点关于轴对称点为，若直线与轴分别相交于点，则为定值，且.34.若是椭圆（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交椭圆于另一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.35.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线必过相应的焦点，且垂直切点弦.36.为椭圆的焦点弦，则过的切线的交点必在相应的准线上.注：本文以焦点在轴上的椭圆为例，焦点在轴时上述结论未必完全一致，请慎用.MN 22221x y a b+=0a b >>P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b+=0a b >>P ,MP NP x ,E F A OE EA λ= OF FA μ=λμ+1λμ+=-,M P 2222:1x y C a b+=0a b >>M x N ,PM PN x ()(),0,,0A m B n mn 2mn a =,A B 2222:1x y C a b +=0a b >>x (),0P m x PB C E AE x 2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭M ,A B AB F MF AB AB ,A B M x y二、双曲线1.为双曲线左上一点，若是左焦点，则的取值范围是，若是右焦点，则的取值范围是.2.是双曲线上的任意一点，、是双曲线的左右焦点，则的取值范围是.3.是双曲线上的任意一点，、是双曲线的左右焦点，则的取值范围是.4.为双曲线上一点，其中是双曲线的左右焦点，，则.5.已知双曲线，若点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点.若的斜率分别为，则.6.是双曲线的不平行于对称轴的弦，为的中点，则.7.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交.P )0,0(12222>>=-b a b y a x F PF [,)c a -+∞F PF [,)c a ++∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 1F 2F 12PF PF ⋅2[,)b +∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 1F 2F 12PF PF ⋅2[,)b -+∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 21,F F θ=∠21PF F 122tan2FP F b S θ∆=)0,0(12222>>=-b a b y a x B A ,M B A ,MB MA ,21,k k 2122b k k a⋅=AB 22221x y a b -=M AB 22OM AB b k k a⋅=8.以焦半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.9.设为双曲线上一点，则的内切圆必切于与在同侧的顶点.10.双曲线的两个顶点为,，与轴平行的直线交双曲线于时与交点的轨迹方程是.11.若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是. 12.若在双曲线外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是. 13.若在双曲线内，则被所平分的中点弦的方程是. 14.若在双曲线内，则过的弦中点的轨迹方程是. 15.设为双曲线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.PF P 12F PF ∆P )0,0(12222>>=-b a b y a x 1(,0)A a -2(,0)A a y 12,P P 11A P 22A P 22221x y a b+=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 00221x x y ya b-=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a by a x P 12,P P 12PP 00221x x y ya b-=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 2200002222x x y y x y a b a b-=-00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 22002222x x y yx y a b a b-=-()000,y x P ()012222>>=-b a by a x 21P P 21P P 21P P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+022*******,y b a b a x b a b a M16.为双曲线上一点，若是一个焦点，以为直径的圆与圆的位置关系是外切或内切.17.过双曲线焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值. 18.过双曲线焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值.19.过双曲线（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.20.若是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.21.若是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.22.若是双曲线（）上任意两点，点关于轴对称点为，若直线与轴分别相交于点，则为定值，且.23.若是双曲线（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交双曲线一点，则直线恒过轴上的定P )0,0(12222>>=-b a by a x F PF 222a y x =+22ab 2222a b ab +22221x y a b-=0,0a b >>F ,M N P PM MF λ= PN NF μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b-=0,0a b >>P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b-=0,0a b >>P ,MP NP x ,E F A OE EA λ=OF FA μ=λμ+1λμ+=-,M P 2222:1x y C a b -=0,0a b >>M x N,PM PN x ()(),0,,0A m B n mn 2mn a =,A B 2222:1x y C a b-=0,0a b >>x (),0P m x PB C E AE x点，且定点为.24.从双曲线（）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：.25.双曲线上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交双曲线于，则必与该双曲线相切，且.26.若是过双曲线（）的焦点的一条弦（非通径，且为单支弦），弦的中垂线交轴于，则2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭22221x y a b-=0,0a b >>222x y a +=P M P F Q MQ MF PQ ⊥AB 22221x y a b-=0,0a b >>F AB x M 2AB MF e=三、抛物线1.以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．2.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切.3.以抛物线焦半径为直径的圆与轴相切.4.过抛物线焦点弦的抛物线上端点向y 轴作垂线，垂足为M ，则以OM 为直径的圆与焦半径相切.5.若线段为抛物线的一条焦点弦，则. 6.设抛物线方程为，过焦点的弦的倾斜角为，则焦点弦. 7.若是抛物线的焦点弦，且，，则，. 8.抛物线方程为，过的直线与之交于、两点，则.反之也成立.9.抛物线上一点处的切线方程为.10.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在抛物线的准线上. 11.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点. 12.切线交点与弦中点连线平行于对称轴.y AB 2:2(0)C y px p =>112AF BF p+=)0(22>=p px y AB α222sin 2sin AOB p p AB S αα∆==，AB 22(0)y px p =>11(,)A x y 22(,)B x y 2124p xx =212y y p =-22(0)y px p =>(2,0)p A B OA OB ⊥22y px =00(,)x y 00()y y p x x =+13.过抛物线焦点且互相垂直的直线被抛物线截得弦长倒数之和是定值. 14.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线相交构成四边形面积的取值范围是，15.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线截得弦长之和的取值范围是.16.过直线（）上但在抛物线（）外（即抛物线准线所在区域）一点向抛物线引两条切线，切点分别为，则直线必过定点，且有. 17.过抛物线（）的对称轴上任意一点（）作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦所在的直线必过点.18.若是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.19.过抛物线（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.20.是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是抛物线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.12p2[8,)p +∞[8,)p +∞x m =0m ≠22y px =0p >M ,A B AB (),0N m -2AB MN p k k m=22y px =0p >(),0M m -0m >,A B AB (),0N m MN 22y px =0p >P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ= λμ+0λμ+=22y px =0p >F ,M N P PM MF λ= PN NF μ= λμ+0λμ+=MN 22y px =0p >P ,MP NP x ,E F A OE EA λ= OF FA μ= λμ+112λμ+=21.若是抛物线（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交抛物线一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.22.抛物线的准线上任一点处的切点弦过其焦点，且.23.抛物线上任一点处的切线交准线于，与焦点的连线交抛物线于，则必与该抛物线相切，且.24.若是过抛物线（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则. 25.设为抛物线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.26.若是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若，过作，则动点的轨迹方程为（）.27.若是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若，则.28.过抛物线（）上任一点作两条弦，则（）的充要条件是直线过定点. 29.在抛物线（）的对称轴上存在一个定点，使得过该点的任,A B 2:2C y px =0p >x (),0P m x PB E AE x (),0Q m -M PQ F MF PQ ⊥P M P F Q MQ MF PQ ⊥AB 22y px =0p >F AB x M 2AB MF=()00,N x y px y 22=AB AB AB ()002,x p y +-,A B 22y px =0p >O OA OB ⊥O OM AB ⊥M 2220x y px +-=0x ≠,A B 22y px =0p >O OA OB ⊥()2min 4AOB S p ∆=22y px =0p >()00,M x y ,MA MB MA MB k k λ=0λ≠AB 002,p N x y λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭22y px =0p >(),0M p意弦恒有. 30.抛物线（）上两点、连线斜率若存在即为. 31.抛物线（）上一点处切线的斜率若存在即为. 注：本文以为例，其他情况上述结论未必完全一致，请慎用.AB 222111p MA MB +=22y px =0p >A B 2A Bp k y y =+22y px =0p >A A p k y =22y px =。
圆锥曲线的二级结论(完整版)
( ) F1F=2 2c c=2 a2 − b2
关于 x 轴、 y 轴、原点对称
离心率
e= c = a
1−
b2 a2
(0
<
e
< 1) e
越小，椭圆越圆；e
越大，椭圆越扁
( ) 结论
1.（1）、与椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1共焦点的椭圆的方程可设为
a
x2 2+
λ
+
y2 = b2 + λ
1, b2 + λ > 0
.
x2 （2）、与椭圆 a2
+
y2 b2
= 1有相同的离心率的椭圆可设为
x a
2 2
+
y2 b2
= λ , bx22
+
y2= a2
λ,(λ > 0).
结论 2.椭圆的两焦点分别为 F1, F2 , P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立: （1）、第一定义： PF1 + PF2 = 2a ； （2）、焦半径的最大值与最小值： a − c ≤ PF1 ≤ a + c ；
一．有关椭圆的经典结论
焦点的位置
圆锥曲线的二级结论
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程 范围
顶点
轴长 焦点 焦距 对称性
x2 + y2= a2 b2
1(a > b > 0)
y2 + x2= a2 b2
1(a > b > 0)
−a ≤ x ≤ a 且 −b ≤ y ≤ b
−b ≤ x ≤ b 且 −a ≤ y ≤ a
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。
3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。
4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。
5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。
6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。
7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。
10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。
圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。
史上最全圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)二级结论
史上最全圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）二级结论第一部分 椭圆二级结论大全1.122PF PF a += 2.标准方程22221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+. 15．若PQ 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b+=+;(2) L = 17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b -+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M2222002222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=-⋅-. 19．过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=，2(tan )2b Pc γ± . 21．若P 为椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+.22．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立. 25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k -≤+.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b+=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b+=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bx ay α=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,ce a=);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b +=+.39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m =(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b+=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A 到椭圆两焦点的距离，ab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a m b n a --∠=⇔=++. 52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc eα≤（当且仅当||PH =.55．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a -≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=-. 57．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b+=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b-=.60．过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a+≤+≤+. 61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e e±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a b x y e e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b-+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠.69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b +--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠). 70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b+=≠. 72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b -+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时,22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB a-+⋅=. 73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a -c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a -c. 77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by x a =-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122ab S S +=. 92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b y x a =-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.第二部分 双曲线二级结论1.122PF PF a -=2.标准方程22221x y a b -= 3.111PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角。
圆锥曲线146二级结论
圆锥曲线146个相关结论结论1：过圆2222+=x y a 上任意点P 作圆222x y a +=的两条切线，则两条切线垂直，反之也成立.结论2：过圆2222x y a b +=+上任意点P 作椭圆()22221,0x y a b a b+=>>的两条切线，则两条切线垂直，反之也成立.结论3：过圆2222x y a b +=−上任意点P 作双曲线()22221,0,0−=>>x y a b a b的两条切线，则两条切线垂直，反之也成立.结论4：点0(,)M x y 在椭圆()()()22221,0,,x m y n a b m n a b −−+=>>∈上，过点M 作椭圆的切线方程为()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−+=.结论5：点0(,)M x y 在椭圆()()()22221,0,,x m y n a b m n a b −−+=>>∈外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−+=.结论6：点0(,)M x y 在椭圆()()()22221,0,,x m y n a b m n a b −−+=>>∈内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过,A B 作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−+=.结论7：点0(,)M x y 在双曲线()()()22221,0,0,,x m y n a b m n ab−−−=>>∈上，过点M 作双曲线的切线方程为()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−−=.结论8：点0(,)M x y 在双曲线()()()22221,0,0,,x m y n a b m n ab−−−=>>∈外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−−=.结论10：点0(,)M x y 在双曲线()()()22221,0,0,,x m y n a b m n a b −−−=>>∈内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过,A B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−−=.结论11：点00(,)M x y 在抛物线()()22,(0,,)y n p x m p m n −=−>∈上，过点M 作抛物线的切线方程为()()()002y n y n p x x m −−=+−.结论12：点00(,)M x y 在抛物线()()22,(0,,)y n p x m p m n −=−>∈外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()002y n y n p x x m −−=+−.结论13：点00(,)M x y 在抛物线()()22,(0,,)y n p x m p m n −=−>∈内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过,A B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线()()()002y n y n p x x m −−=+−.结论14：过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 的所在的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论15：过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 的所在的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论16：过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 的所在的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论17：AB 为椭圆的焦点弦，则过A ,B 的切线的交点M 必在相应的准线上. 结论18：AB 为双曲线的焦点弦，则过A ,B 的切线的交点M 必在相应的准线上. 结论19：AB 为抛物线的焦点弦，则过A ,B 的切线的交点M 必在准线上.结论20：点M 是椭圆准线与长轴的交点，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 就是通径. 结论21：点M 是双曲线准线与实轴的交点，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 就是通径.结论22：点M 是抛物线准线与对称轴的交点，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 就是通径.结论23：过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上任意一点(,0)(0)M m m −>作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 所在的直线必过(,0)N m .结论24：过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的对称轴上任意一点(,)M m n −作抛物线的两条切线，切点分别为,A B .（1） 当0n m a =>，时，则切点弦AB 所在的直线必过点2,0a P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2） 当0m n b =>，时，则切点弦AB 所在的直线必过点20b P n ⎛⎫⎪⎝⎭，. 结论25：过双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的实轴上任意一点(,0)()M m m a <作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 所在的直线必过2,0a P m ⎛⎫⎪⎝⎭.结论26：过抛物线22(0)y px p =>外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，弦,A B 的中点为N ，则直线MN 必与其对称轴平行.结论27：若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n−=>>共焦点，则在它们交点处的切线相互垂直.结论28：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，则满足||||||||AP BQ AQ BP =的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论29：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，则满足||||||||AP BQ AQ BP =的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论30：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，则满足||||||||AP BQ AQ BP =的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论31：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，过,A B 分别作双曲线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程. 结论32：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，过,A B 分别作椭圆的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程. 结论33：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，过,A B 分别作抛物线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论34：从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222x y a +=.结论35：从双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222x y a +=.结论36：F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，M 是椭圆上任意一点，则焦半径[],MF a c a c ∈−+.结论37：F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点，M 是双曲线上任意一点.（1） 当M 在双曲线右支上，则焦半径MF c a ≥−； （2） 当M 在双曲线左支上，则焦半径MF c a ≥+.结论38：F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，M 是抛物线上任意一点，则焦半径022p p MF x ∈+≥. 结论39：（椭圆的光学性质）椭圆上任一点M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的切线平分过该点的两条焦半径夹角的外角）. 结论40：（双曲线的光学性质）双曲线上任一点M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的法线平分过该点的两条焦半径夹角的外角）. 结论41：（抛物线的光学性质）抛物线上任一点M 处的切线平分该点的两条焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角.结论42：椭圆的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ，且MF ⊥PQ . 结论43：双曲线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ，且MF ⊥PQ . 结论44：抛物线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其焦点F ，且MF ⊥PQ .结论45：椭圆上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与相应的焦点F 的连线交椭圆于Q ，则MQ 必与该椭圆相切，且MF ⊥PQ .结论46：双曲线上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与相应的焦点F 的连线交双曲线于Q ，则MQ 必与该双曲线相切，且MF ⊥PQ .结论47：抛物线上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与焦点F 的连线交抛物线于Q ，则MQ 必与该椭圆相切，且MF ⊥PQ .结论48：焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴）上三点P ,Q ,M 的焦半径成等差数列的充要条件为P ,Q ,M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论49：焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴）上三点P ,Q ,M 的焦半径成等差数列的充要条件为P ,Q ,M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论50：焦点在x 轴上的抛物线（或焦点在y 轴）上三点P ,Q ,M 的焦半径成等差数列的充要条件为P ,Q ,M 的横坐标（纵坐标）成等差数列. 结论51：椭圆上一个焦点F 2关于椭圆上任一点P 处的切线的对称点为Q ，则直线PQ 必过该椭圆的另一个焦点F 1.结论52：双曲线上一个焦点F 2关于双曲线上任一点P 处的切线的对称点为Q ，则直线PQ 必过该双曲线的另一个焦点F 1. 结论53：椭圆上任一点P （非顶点），过P 的切线和法线分别与短轴相交于Q ,S ，则有P ,Q ,S 及两个焦点共于一圆上.结论54：双曲线上任一点P （非顶点），过P 的切线和法线分别与短轴相交于Q ,S ，则有P ,Q ,S 及两个焦点共于一圆上.结论55：椭圆上任一点P （非顶点）处的切线与过长轴两个顶点A ,A ′的切线相交于M ,M ′，则必得到以MM ′为直径的圆经过该椭圆的两个焦点. 结论56：双曲线上任一点P （非顶点）处的切线与过实轴两个顶点A ,A ′的切线相交于M ,M ′，则必得到以MM ′为直径的圆经过该双曲线的两个焦点.结论57：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆． 结论58：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆． 结论59：以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切．结论60：焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴上）上任一点M （非短轴顶点）与短轴的两个顶点B , B ′的连线分别交x 轴（或y 轴）于P , Q ，则2P Q x x a =（或2P Q y y a =）. 结论61：焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴上）上任一点M （非顶点）与实轴的两个顶点B , B ′的连线分别交y 轴（或x 轴）于P , Q ，则2P Q y y b =−（或2P Q x x b =−）.结论62：P 为焦点在x 轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则12PF F ∆与边21PFPF （或）相切的旁切圆与x 轴相切于右顶点A （或左顶点A ′）.结论63：P 为焦点在x 轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则12PF F ∆与的内切圆与x 轴相切于右顶点A （或左顶点A ′）.结论64：AB 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点F 的一条弦（非通径），弦AB 的中垂线交x 轴于N ，则||2||AB NF e=.结论65：AB 是过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的焦点F 的一条弦（非通径，且为单支弦），弦AB 的中垂线交x 轴于N ，则||2||AB NF e=. 结论66：AB 是过抛物线22(0)=>y px p 的焦点F 的一条弦（非通径），弦AB 的中垂线交x 轴于N ，则||2||AB NF =. 结论67：AB 是抛物线的焦点弦，分别过A ，B 作抛物线的切线，则两条切线的交点P 在其准线上.结论68：AB 是椭圆的焦点弦，分别过A ，B 作椭圆的切线，则两条切线的交点P 在其相应的准线上.结论69：AB 是双曲线的焦点弦，分别过A ，B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 在其相应的准线上.结论70：AB 是过抛物线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其准线相切.结论71：AB 是过椭圆焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相切，与另一条准线相离.结论72：AB 是过双曲线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相交，截得的圆弧度数为定值，且为12arccos e.结论73：以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必为抛物线；若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必为椭圆.结论74：以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必为双曲线，且此时截得的圆弧度数为定值，且为12arccos e.结论75：AB 为过抛物线22(0)=>y px p 焦点F 的焦点弦，()()1122,,,,A x y B x y 则12||AB x x p =++.结论76：AB 为过椭圆22221(0)+=>>x y a b a b焦点F 的焦点弦，()()1122,,,,A x y B x y 则12||2AB a e x x =−+.结论77：AB 为过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b焦点F 的焦点弦，()()1122,,,,A x y B x y 若AB 为单支弦，则12||2AB e x x a =+−；若AB 为双支弦，则12||2AB e x x a =++.结论78：F 为抛物线的焦点，A ，B 是抛物线上不同的两点，直线AB 交其准线l 于M ，则FM 平分∠AFB 的外角.结论79：F 为椭圆的一个焦点，A ，B 是椭圆上不同的两点，直线AB 交其相应的准线l 于M ，则FM 平分∠AFB 的外角.结论80：F 为双曲线的一个焦点，A ，B 是双曲线上不同的两点（左右支各一点），直线AB 交其相应的准线l 于M ，则FM 平分∠AFB .结论81：F 为双曲线的一个焦点，A ，B 是双曲线上不同的两点（同一支上），直线AB 交其相应的准线l 于M ，则FM 平分∠AFB 的外角.结论82：AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过焦点F 的弦，点P 是椭圆上异于A ，B 的任一点，直线PA 、PB 分别交相应于焦点F 的准线l 于M 、N ，则点M 与点N 的纵坐标之积为定值，且为42b c−.结论83：AB 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b过焦点F 的弦，点P 是双曲线上异于A ，B 的任一点，直线PA 、PB 分别交相应于焦点F 的准线l 于M 、N ，则点M 与点N 的纵坐标之积为定值，且为42b c −.结论84：AB 是抛物线2(0)=>y px p 过焦点F 的弦，点P 是抛物线上异于A ，B 的任一点，直线PA 、PB 分别交准线l 于M 、N ，则点M 与点N 的纵坐标之积为定值，且为2p −.结论85：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴顶点，()(,0),(,0)0E m F m m a −<<，点P 是椭圆上任一点（非长轴顶点），若直线PA 、PB 分别交直线2a x m=于M 、N ，则有如EM FN EN FM ⋅⋅、()()222222am a m b m−+−FM FN ⋅()()222222a m a mb m−−−EM EN ⋅()()2222222a mb a m m+−−BM FN ⋅()()22222am a am b m−+−AM FN ⋅()()2222am a am b −−−AM BN ⋅()()2222am a b −−M N y y ⋅AP BP AM BN AN BMk k k k k k ⋅⋅⋅ 结论86：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b 的实轴顶点，()(,0),(,0)E m F m m a −>，点P 是双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线PA 、PB 分别交直线2()a x m a m=>于M 、EM FN EN FM ⋅⋅、()()222222a m a mb m−++FM FN ⋅()()222222a m a mb m−−+EM EN ⋅()()2222222amb a m m++−BM FN ⋅()()22222am a am b m −++AM FN ⋅()()22222am a am b m −−+AM BN ⋅()()22222am a b m −+M N y y ⋅()2222b m am −AP BP AM BN AN BMk k k k k k ⋅⋅⋅ 21e −AN AM k k ⋅()21a m e a m+−− BN BM k k ⋅()21a m e a m−−+k k ⋅2b 结论87：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一直径（中心弦），点P 是椭圆上任一点（不与A ，B 重合），则PA PB k k ⋅=21e −.结论88：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），点M是弦AB 的中点，若,OM AB k k 均存在，则OM AB k k ⋅=21e −.结论89：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一弦（不与对称轴平行），若平行于AB 的弦的中点的轨迹为直线PQ ，则有PQ AB k k ⋅=21e −.结论90：过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点P （不是其顶点）作椭圆的切线PA ，则有PA OP k k ⋅=21e −.结论91：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及定点()(,0)F m a m a −<<，过F 的弦的端点为A ，B ，过点A ，B 分别作直线2a x m =的垂线，垂足分别为D ，C ，直线2a x m=与x 轴相交于E ，则直线AC 与BD 恒过EF 的中点，且有0AE BE k k +=.结论92：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及定点()(,0)F m m c =±，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为椭圆上任意一点，连接AE ，BE ，且分别与准线2a x m=相交于P ，Q ，则有1FQ FP k k ⋅=−.结论93：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及定点()(,0),0F m a m a m −<<≠，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为椭圆上任意一点，连接AE ，BE ，且分别与直线2a x m=相交于P ，Q ，则有222FQ FPb k k m a ⋅=−.结论94：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的任一直径（中心弦），点P 是双曲线上任一点（不与A ，B 重合），则PA PB k k ⋅=21e −.结论95：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），点M 是弦AB 的中点，若,OM AB k k 均存在，则OMAB k k ⋅=22b a.结论96：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的任一弦（不与对称轴平行），若平行于AB的弦的中点的轨迹为直线PQ ，则有PQ AB k k ⋅=21e −.结论97：过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b上任意一点P （不是其顶点）作双曲线的切线PA ，则有PA OP k k ⋅=21e −.结论98：双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b及定点()(,0)F m m a m a >∨<−，过F 的弦的端点为A ，B ，过点A ，B 分别作直线2a x m =的垂线，垂足分别为D ，C ，直线2a x m=与x 轴相交于E ，则直线AC 与BD 恒过EF 的中点，且有0AE BE k k +=.结论99：双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b及定点()(,0)F m m c =±，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为双曲线上任意一点，连接AE ，BE ，且分别与准线2a x m=相交于P ，Q ，则有1FQ FP k k ⋅=−.结论100：双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b及定点()(,0)F m m a m a >∨<−，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为双曲线上任意一点，连接AE ，BE ，且分别与直线2a x m=相交于P ，Q ，则有222FQ FPb k k a m ⋅=−. 结论101：抛物线22(0)y px p =>及定点(,0)(0)F m m >，过F 的弦的端点为A ，B ，过A ，B 分别作直线x m =−的垂线，垂足分别为D ，C ，直线x m =−与x 轴相交于E ，则直线AC 与BD 恒过EF 的中点，且有0AE BE k k +=. 结论102：抛物线22(0)y px p =>及定点(,0)2p F m m ⎛⎫=⎪⎝⎭，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为抛物线上任意一点，连接AE ，BE ，分别与准线x m =−相交于P ，Q ，则有1FP FQ k k ⋅=−. 结论103：抛物线22(0)y px p =>及定点()(,0)0F m m >，过F 的弦的端点为A 、B ，E为抛物线上任意一点，连接AE ，BE ，分别与直线x m =−相交于P ，Q ，则有2FP FQ pk k m⋅=−. 结论104：抛物线22(0)y px p =>的焦点弦与抛物线相交于A ，B ，过B 作直线BC 与x 轴平行，交准线于C ，则直线AC 必过原点（及其准线与x 轴交点E 与焦点F 的线段的中点）.结论105：AB 为过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点F 的弦，其相应的准线与x 轴交点为E ，过A ，B 作x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于M ，N ，则直线AN ，BM 均过线段EF 的中点.结论106：AB 为过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的焦点F 的弦，其相应的准线与x 轴交点为E ，过A ，B 作x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于M ，N ，则直线AN ，BM 均过线段EF 的中点. 结论107：过圆锥曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线，垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点.结论108：AB 为垂直于椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的动弦，其准线与x 轴交点为Q ，则直线AF 与BQ （或直线BF 与AQ ）的交点M 必在该椭圆上.结论109：AB 为垂直于双曲线2222(0)λλ−=≠x y a b实轴的动弦，其准线与x 轴交点为Q ，则直线AF 与BQ （或直线BF 与AQ ）的交点M 必在该双曲线上.结论110：AB 为垂直于抛物线()()220==≠或y tx x ty t 对称轴的动弦，其准线与x 轴交点为Q ，则直线AF 与BQ （或直线BF 与AQ ）的交点M 必在该抛物线上.结论111：已知圆锥曲线的焦点弦AM （不为通径，若为双曲线则为单支弦），则在x 轴上有且只有一点Q 使AQF MQF ∠=∠.结论112：过F 作圆锥曲线的一条弦AB （若为双曲线则为单支弦），分别过A ，B 作准线l 的垂线（Q 是其相应准线与x 轴的交点），垂足为A 1，B 1，则直线AB 1与直线A 1B 都经过QF 的中点K ，即A 、K 、B 1及B 、K 、A 1三点共线.结论113：A ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点和左顶点，P 为椭圆上任一点（非长轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2a x m =于M ，N ，则以线段MN 为直径的圆必经过两个定点，且椭圆外定点为222a b a m Q m ⎛⎫+− ⎪ ⎪⎝⎭，椭圆内定点为222,0a b a m R m ⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭.结论114：A ，B 分别为双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的右顶点和左顶点，P 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2a x m =(m >a )于M ，N ，则以线段MN 为直径的圆必经过两个定点，且椭圆外定点为222a b m a Q ⎫+−⎪⎪⎝⎭，椭圆内定点为222,0a b m a R m ⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭. 结论115：过直线()0x m m =≠但在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()222222,0AB MN a b m N k k m a a m ⎛⎫⋅= ⎪−⎝⎭，且有.结论116：过直线()0x m m =≠但在双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b外（即双曲线中心所在区域）一点M 向双曲线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()222222,0AB MN a b m N k k m a m a ⎛⎫⋅= ⎪−⎝⎭，且有. 结论117：过直线()0x m m =≠但在抛物线22(0)=>y px p 外（即抛物线准线所在区域）一点M 向抛物线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点(),02AB MN p N m k k m−⋅=，且有. 结论118：设点M 是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上），过点M 向圆锥曲线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过准线对应的焦点F ，且FM ⊥AB .结论119：过直线1mx ny +=但在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()22,N ma nb.结论120：过直线1mx ny +=但在双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b外（即双曲线中心所在区域）一点M 向双曲线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()22,N ma nb.结论121：过直线()10mx ny m +=≠但在抛物线22(0)=>y px p 外（即抛物线准线所在区域）一点M 向抛物线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点1,pn N m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭. 结论122：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，点P 是直线()||,0x t t a t =≠≠上的一个动点（P 不在椭圆上），直线PA 及PB 分别与椭圆相交于M ，N ，则直线MN 必与x 轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫⎪⎝⎭.结论123：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的顶点，点P 是直线()||,0x t t a t =≠≠上的一个动点（P 不在双曲线上），直线PA 及PB 分别与双曲线相交于M ，N ，则直线MN必与x 轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.结论124：A ，B 是抛物线22(0)=>y px p 上异于顶点O 的两个动点， 若直线AB 过定点N (2p ,0) OA ⊥OB A ，B 的横坐标之积、纵坐标之积均为定值 若OA ⊥OB 直线AB 过定点N (2p ,0)A ，B 的横坐标之积、纵坐标之积均为定值()2min 4AOB S p ∆=若OA ⊥OB 过O 作OM ⊥AB动点M 的轨迹方程为()22200x y px x +−=≠结论125：过抛物线22(0)=>y px p 上任意一点M ()00,x y 作两条弦MA ，MB ，则MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N ()002,x p y +−.结论126：过抛物线22(0)=>y px p 上任意一点M ()00,x y 作两条弦MA ，MB ，则()0MA MB k k λλ⋅=≠的充要条件是直线AB 过定点N 002,p x y λ⎛⎫−− ⎪⎝⎭. 结论127：过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点M ()00,x y 作两条弦MA ，MB ，则MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N 2222002222,a b b a x y a b b a ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭. 特别地，（1）当M 为左、右顶点时，即00,0x a y =±=时，MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N ()22222,0a a b a b ⎛⎫±− ⎪ ⎪+⎝⎭．（2）当M 为上、下顶点时，即000,x y b ==±时，MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N ()222220,b b a a b ⎛⎫±− ⎪ ⎪+⎝⎭．结论128：过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b上任意一点M ()00,x y 作两条弦MA ，MB ，则MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N 2222002222,a b b a x y a b b a ⎛⎫++ ⎪−−⎝⎭. 特别地，当M 为左、右顶点时，即00,0x a y =±=时，MA ⊥MB 的充要条件是直线AB过定点N ()22222,0a a b a b ⎛⎫±+ ⎪ ⎪−⎝⎭．结论129：过二次曲线()22,,,,,0+++=∈+≠Ax By Cx Dy E A B C D E A B 上任意一点M()00,x y 作两条弦MA ，MB ，若MA ⊥MB ，则直线AB 过定点N 000022,Ax C By D x y A B A B ++⎛⎫−− ⎪++⎝⎭.结论130：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上不同的两个动点，若OA ⊥OB ，则22222211||||a b OA OB a b ++=，()22min max21111||||||||a b a b OA OB ab OA OB +⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结论131：A ，B 是双曲线22221(0)−=>>x y b a a b上不同的两个动点（在同一支上），若OA ⊥OB ，则22222211||||b a OA OB a b−+=.抛物线 22(0)=>y pxp对称轴存在定点 (),0M p使得过该点的任意弦AB 恒有 222111||||MA MB p+= 椭圆 22221(0)+=>>x y a b a b 长轴 2222,0a b M a a b⎛⎫−± ⎪ ⎪+⎝⎭2222411||||a b MA MB b ++= 双曲线22221(0)−=>>x y a b a b 实轴结论133：过圆锥曲线()2210,0x y m n m n+=>≠的焦点F 作一条直线与圆锥曲线相交于M ，N ，与y 轴相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则2m nλμ+=−.结论134：过抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条直线与抛物线相交于M ，N ，与y 轴相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则1λμ+=−.结论135：过圆锥曲线的焦点F 作一条直线与圆锥曲线相交于M ，N ，与相应的准线相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则0λμ+=.结论136：MN 是垂直椭圆22221(0)+=>>x y a b a b长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，若,PE EM PF FN λμ==，则0λμ+=.结论137：MN 是垂直双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，若,PE EM PF FN λμ==，则0λμ+=. 结论138：MN 是垂直抛物线()220y px p =>对称轴的动弦，P 是抛物线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，若,PE EM PF FN λμ==，则0λμ+=.结论139：MN 是垂直椭圆22221(0)+=>>x y a b a b长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，A 为长轴顶点，若,OE EA OF FA λμ==，则1λμ+=−.结论140：MN 是垂直双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，A 为实轴顶点，若,OE EA OF FA λμ==，则1λμ+=−.结论141：MN 是垂直抛物线()220y px p =>对称轴的动弦，P 是抛物线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，A 为抛物线焦点，若,OE EA OF FA λμ==，则112λμ+=.结论142：P 是圆锥曲线221(0,0)x y s t s t+=>≠上任意一点，弦PA ，PB 分别过定点((,0),(,0)0M m N m m s −<<，若,λμ==PM MA PN NB ，则()222λμ++=−s m s m.结论143：M ，P 是圆C ：222(0)x y r r +=>上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于点A (m ,0)、B (n ,0)，则mn =r 2.结论144：M ，P 是圆锥曲线221(0,0)x y s t s t+=>≠上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于点A (m ,0)、B (n ,0)，则mn =s .结论145：A ，B 是圆锥曲线C ：221(0,0)x y s t s t+=>≠上关于x 轴对称的任意两个不同的点，点P (m ,0)是x 轴上的定点，直线PB 交C 于另一点E ，则直线AE 恒过x 轴上的定点Q,0s m ⎛⎫⎪⎝⎭. 结论146：A ，B 是抛物线C ：2(0)y px p =>上关于x 轴对称的任意两个不同的点，点P (m ,0)是x 轴上的定点，直线PB 交C 于另一点E ，则直线AE 恒过x 轴上的定点Q (),0m −.。
圆锥曲线常用的二级结论(非常实用)
圆锥曲线常用的二级结论如图，直线l过焦点F1与椭圆相交于A, B 两点.则△ABF2的周长为4a.（即F2 A +F2 B +AB = 4a）如图，直线l过焦点F1与双曲线相交于A, B两点.则F2A +F2B -AB = 4a.倾斜角为的直线l过焦点F与椭圆相交于A, B两点.2ab2焦点弦长AB =(a2-b2)sin2+b2.最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径. 倾斜角为的直线l过焦点F与双曲线相交于A, B两点.2ab2焦点弦长AB =(a2+b2)sin2-b2.. .AF与BF 数量关系直线l过焦点F与椭圆相交于A, B两点，1 1 2a则+=.AF BF b2直线l过焦点F与双曲线相交于A, B两点1 1 2a，则+=.AF BF b2已知点P是椭圆上一点，O坐标原点，则b ≤PO ≤a.已知点P是双曲线上一点，O坐标原点，则PO ≥a.焦三角形如图，P是椭圆上异于长轴端点的一点，已知∠F1PF2 =，∠PF1F2 =，∠PF2F1=，则（1）S =b2 tan；△PF1F2 2sin（2）离心率e =.sin+ sin如图，P是双曲线上异于实轴端点的一点，已知∠F1PF2 =，∠PF1F2 =，∠PF2F1=，则2b2（1）S△PF1F2=b cot2=；tan2sin（2）离心率e =.sin- sin垂径定理如图，已知直线l与椭圆相交于A, B两点，点M为AB的中点，O为原点，则b2kOMkAB=-a2如图，已知直线l与双曲线相交于A, B两点，点M为AB的中点，O为原点，则b2kOMkAB=a2（注：直线l与双曲线的渐近线相交于A, B两点，其他条件不变，结论依然成立）.周角定理如图，已知点 A , B 椭圆长轴端点（短轴端点）， P 是椭圆上异于 A , B 的一点，b 2则 k PA k PB = - a2.推广：如图，已知点 A , B 是椭圆上关于原点对称的两点， P 是椭圆上异于 A , B 的一点，若直线 PA , PB 的斜率存在且不为零 ，b 2k PA k PB = - a2如图，已知点 A , B 双曲线实轴端点， P 是双曲线上异于 A , B 的一点，b 2则 k PA k PB = a2.推广：如图，已知点 A , B 是双曲线上关于原点对称的两点， P 是双曲线上异于 A , B 的一点，若直线 PA , PB 的斜率存在且不为零，b 2 k PA k PB =a2直线l 过焦点 F (c , 0)与椭圆相交于 A , B ⎛ a 2 ⎫两点，点 P c , 0 ⎪，⎝ ⎭则∠APF = ∠BPF （即 k PA + k PB = 0）.直线l 过焦点 F (c , 0)与双曲线相交于⎛ a 2 ⎫A ,B 两点，点 P c , 0 ⎪，⎝ ⎭则∠APF = ∠BPF （即 k PA + k PB = 0）.切线方程已知点 P (x 0 , y 0 )是椭圆上一点，则椭圆x x y y 在点 P 处的切线方程为0 + 0 = 1. a 2b 2已知点 P (x 0 , y 0 )是双曲线上一点，则双 曲线在点 P 处的切线方程为x 0 x - y 0 y = 1. a 2 b2双曲线的结论1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：x 2 y 2设斜率为 k 的直线l 过定点 P (0, t )(t ≠ 0)，双曲线方程为 a 2 - b2 线相切时的斜率为 k 0.b= 1(a > 0, b > 0)，过点 P 与双曲（1）当0 ≤ k b<时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上； a（2）当 k b =时，直线l 与双曲线只有一个交点；a（3）当 < k a< k 0 时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上；（4）当 k（5）当 k = k 0> k 0 时，直线l 与双曲线只有一个交点；时，直线l 与双曲线没有交点.x 2 y 22．如图， F (c , 0)是双曲线 a 2 - b2 = 1(a > 0, b > 0)的焦点，过点 F 作 FH 垂直双曲线的其中一条渐近线，垂足为 H ， O 为原点，则OH = a , FH = b .x 2 y 2 3．点 P 是双曲线-a2b 2= 1(a > 0, b > 0)上任意一点，则点 P 到双曲线的渐近线的距离之积为定值a 2b 2a 2 +b 2.x 2 y 2 4．点 P 是双曲线-a2b 2= 1(a > 0, b > 0)上任意一点，过点 P 作双曲线的渐近线的平行线分别与渐ab 近线相交于 M , N 两点， O 为原点，则平行四边形OMPN 的面积为定值.21 ⎪ 1 2． =p 2抛物线的结论 如图，抛物线方程为 y = 2 px (p > 0)，准线 x = - p与 x 轴相交于点 P ，过焦点 F⎛ p, 0 ⎫的直线l 与 22 ⎪ ⎝ ⎭抛物线相交于 A (x 1 , y 1 )， B (x 2 , y 2 )两点， O 为原点，直线l 的倾斜角为.⎧x x = p , ⎨ 4 ⎪⎩ y 1 y 2 = - p 2 .pp 2．焦半径： AF = x 1 + 2， BF = x 2 + 2， AB = x 1 + x 2 + p .2 p3．焦点弦： AB . sin 211 2p 24． AF , BF 的数量关系：+=， AF ⋅ BF = .AF BF psin 225．三角形 AOB 的面积 S △ AOB =2 sin.6．以焦点弦 AB 为直径的圆与准线相切；以焦半径 AF 为直径的圆与 y 轴相切.7．直线 PA , PB 的斜率之和为零（ k PA + k PB = 0），即∠APF = ∠BPF .8．点 A , O , N 三点共线；点 B , O , M 三点共线.9．如图，点 A , B 是抛物线 y = 2 px (p > 0)， O 为原点，若∠AOB = 90o ，则直线 AB 过定点(2 p , 0).。
数学圆锥曲线二级结论汇总
数学圆锥曲线二级结论汇总一、离心率公式离心率 e 是描述圆锥曲线形状的重要参数，对于椭圆，其离心率 e 的公式为：e = c/a其中，c 是焦点到中心的距离，a 是椭圆长轴的半径。
对于双曲线，其离心率 e 的公式为：e = c/a其中，c 是焦点到中心的距离，a 是双曲线实轴的半径。
二、焦点弦长公式焦点弦长是过圆锥曲线焦点的弦的长度，其公式如下：L = 2b^2/a其中，L 是焦点弦长，b 是半短轴长度，a 是半长轴长度。
三、切线长公式切线长是过圆锥曲线上的点作切线的长度，其公式如下：T = a*sqrt(1-k^2)其中，T 是切线长，a 是半长轴长度，k 是切线的斜率。
四、中点弦公式中点弦是过圆锥曲线上的中点的弦，其公式如下：x = (1-k^2)x0^2/[(1+k^2)a^2] - 2x0(y0/a)/[1+k^2] + y0^2/[(1+k^2)*a^2]其中，x0 和 y0 是中点的坐标，a 是半长轴长度，k 是切线的斜率。
五、渐近线方程渐近线是描述圆锥曲线接近其极限位置的线，其方程如下：y = ±(b/a)*x其中，a 和 b 分别是半长轴和半短轴长度。
对于双曲线，b 和 a 分别是实轴和虚轴长度。
六、焦半径公式焦半径是描述圆锥曲线上任意一点到焦点的距离的公式，其公式如下：|PF1| = a - ex, |PF2| = a + ex, |PF1| = |PF2| - 2*ex其中，P 是圆锥曲线上的任意一点，F1 和 F2 分别是左右焦点，e 是离心率。
对于椭圆和双曲线，a 和 b 分别是半长轴和半短轴长度。
对于抛物线，p 是焦点到准线的距离。
圆锥曲线常用的二级结论6069-修订编选
圆锥曲线常用的二级结论6069-修订编选
圆锥曲线是数学中引入的一种曲线形式，它具有几何学美学以及功能特点，即可以用于描绘封闭曲线，又可用来描述非封闭曲线。
一般来说，圆锥曲线可以用极坐标和直角坐标系中的方程进行研究，常用的结论也有二级结论，如下：
1、轴线相等双曲线本地主轴线的倾斜角的余弦的平方和，等于圆锥面（斜截面）的一半的投影距离的和，即：
cos2α + cos2β = X2 + Y2
3、近似双曲线环带角和第三轴相等时，环带角的余弦，加上投影距离的平方，乘以一个常数，ch等于近似双曲线椭圆面乘以另一个常数，Cv，即：
cosδ + X2 × ch = Ab × Cv
5、双曲线的斜线与双曲线的曲线轴有关，即：
y2 = 4a2(cosα - sinα)
6、双曲线轴向，焦点点及渐近线方向的余弦的和，等于面的半长轴的平方，即：
7、双曲（抛物线）开口程度的余弦，等于半长轴的平方乘以一个常数，ch，即：
总结以上，圆锥曲线二级结论具有以上特点，可以帮助人们研究曲线的几何、功能特点，以此来提高曲线的研究价值。
高中数学圆锥曲线二级结论大全
高中数学圆锥曲线二级结论大全
以下是一些高中数学圆锥曲线的二级结论:
1. 过曲线和直线的交点的曲线系方程为 ,其中为参数。
2. 共焦点的有心圆锥曲线系方程为 ,其中表示椭圆，表示双曲线。
3. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式为 ,其中为直线的倾斜角，为直线的斜率。
4. 涉及到曲线上的点 A、B 及线段 AB 的中点 M 的关系时，可以利用点差法：当曲线上的点 A 和 B 重合时，线段 AB 的中点 M 的横坐标等于 A、B 两点的横坐标之差。
5. 圆锥曲线的两类对称问题：曲线关于点成中心对称的曲线是 ;曲线关于直线成轴对称的曲线是。
6. 椭圆与双曲线对偶结论：椭圆双曲线标准方程中，焦点焦点焦半径为离心率，为点的横坐标。
为椭圆上一点，为焦点;为双曲线上一点，为焦点。
7. 通径过焦点与长轴垂直的弦称为通径，通径长为。
8. 直线过焦点与椭圆相交于两点，则的周长为 ;直线过焦点与双曲线相交于两点，则。
9. 焦点弦倾斜角为的直线过焦点与椭圆相交于两点，焦点弦长最长为长轴，最短为通径;倾斜角为的直线过焦点与双曲线相交于两点，焦点弦长最长为通径，最短为。
10. 与数量关系直线过焦点与椭圆相交于两点，则 ;直线过焦点
与双曲线相交于两点，则。
这些结论有助于更好地理解和掌握圆锥曲线的性质和结构，有助于提高解题速度和效率。
圆锥曲线二级结论常用
圆锥曲线二级结论常用1. 圆锥曲线的离心率定义：$e=\frac{c}{a}$，其中$a$为长轴的长度，$c$为离心点到焦点的距离。
2. 椭圆和双曲线的离心率分别为$0<e<1$和$e>1$，而抛物线的离心率为$e=1$。
3. 圆锥曲线的直线方程：对于椭圆和双曲线，直线方程通常为$y=mx+n$或$x=my+n$形式；而对于抛物线，直线方程为$x=a$或$y=b$形式。
4. 圆锥曲线的参数方程：椭圆和双曲线通常由参数方程$x=a\cos t,\ y=b\sin t$或$x=a\sec t,\ y=b\tan t$等表示；而抛物线通常由参数方程$x=at^2,\ y=2at$表示。
5. 圆锥曲线的一般式：一般式通常为$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$形式，其中$B^2-4AC<0$表示椭圆，$B^2-4AC>0$表示双曲线，$B^2-4AC=0$表示抛物线。
6. 圆锥曲线焦点和准线：对于椭圆和双曲线，焦点分别位于中心点的两侧，而准线为离心点所在的直线；对于抛物线，焦点位于抛物线的顶点，准线为与对称轴平行的直线。
7. 圆锥曲线的离心角和离心距离：对于椭圆和双曲线，离心角$\theta$由$\cos \theta=\frac{c}{a}$或$\cosh\theta=\frac{a}{c}$计算，离心距离$d=\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{2}$；对于抛物线，离心角和离心距离都为$0$。
8. 轴线、标准方程和对称性：对于椭圆和双曲线，轴线分别为长轴和短轴，标准方程为$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$或$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$形式，具有$x$轴、$y$轴或原点对称性；对于抛物线，轴线为对称轴，标准方程为$y=ax^2$或$x=ay^2$形式，具有$x$轴或$y$轴对称性。
圆锥曲线146二级结论
圆锥曲线146个相关结论结论1：过圆2222+=x y a 上任意点P 作圆222x y a +=的两条切线，则两条切线垂直，反之也成立.结论2：过圆2222x y a b +=+上任意点P 作椭圆()22221,0x y a b a b+=>>的两条切线，则两条切线垂直，反之也成立.结论3：过圆2222x y a b +=−上任意点P 作双曲线()22221,0,0−=>>x y a b a b的两条切线，则两条切线垂直，反之也成立.结论4：点0(,)M x y 在椭圆()()()22221,0,,x m y n a b m n a b −−+=>>∈上，过点M 作椭圆的切线方程为()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−+=.结论5：点0(,)M x y 在椭圆()()()22221,0,,x m y n a b m n a b −−+=>>∈外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−+=.结论6：点0(,)M x y 在椭圆()()()22221,0,,x m y n a b m n a b −−+=>>∈内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过,A B 作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−+=.结论7：点0(,)M x y 在双曲线()()()22221,0,0,,x m y n a b m n ab−−−=>>∈上，过点M 作双曲线的切线方程为()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−−=.结论8：点0(,)M x y 在双曲线()()()22221,0,0,,x m y n a b m n ab−−−=>>∈外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−−=.结论10：点0(,)M x y 在双曲线()()()22221,0,0,,x m y n a b m n a b −−−=>>∈内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过,A B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−−=.结论11：点00(,)M x y 在抛物线()()22,(0,,)y n p x m p m n −=−>∈上，过点M 作抛物线的切线方程为()()()002y n y n p x x m −−=+−.结论12：点00(,)M x y 在抛物线()()22,(0,,)y n p x m p m n −=−>∈外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()002y n y n p x x m −−=+−.结论13：点00(,)M x y 在抛物线()()22,(0,,)y n p x m p m n −=−>∈内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过,A B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线()()()002y n y n p x x m −−=+−.结论14：过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 的所在的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论15：过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 的所在的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论16：过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 的所在的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论17：AB 为椭圆的焦点弦，则过A ,B 的切线的交点M 必在相应的准线上. 结论18：AB 为双曲线的焦点弦，则过A ,B 的切线的交点M 必在相应的准线上. 结论19：AB 为抛物线的焦点弦，则过A ,B 的切线的交点M 必在准线上.结论20：点M 是椭圆准线与长轴的交点，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 就是通径. 结论21：点M 是双曲线准线与实轴的交点，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 就是通径.结论22：点M 是抛物线准线与对称轴的交点，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 就是通径.结论23：过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上任意一点(,0)(0)M m m −>作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 所在的直线必过(,0)N m .结论24：过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的对称轴上任意一点(,)M m n −作抛物线的两条切线，切点分别为,A B .（1） 当0n m a =>，时，则切点弦AB 所在的直线必过点2,0a P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2） 当0m n b =>，时，则切点弦AB 所在的直线必过点20b P n ⎛⎫⎪⎝⎭，. 结论25：过双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的实轴上任意一点(,0)()M m m a <作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 所在的直线必过2,0a P m ⎛⎫⎪⎝⎭.结论26：过抛物线22(0)y px p =>外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，弦,A B 的中点为N ，则直线MN 必与其对称轴平行.结论27：若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n−=>>共焦点，则在它们交点处的切线相互垂直.结论28：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，则满足||||||||AP BQ AQ BP =的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论29：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，则满足||||||||AP BQ AQ BP =的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论30：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，则满足||||||||AP BQ AQ BP =的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论31：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，过,A B 分别作双曲线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程. 结论32：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，过,A B 分别作椭圆的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程. 结论33：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，过,A B 分别作抛物线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论34：从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222x y a +=.结论35：从双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222x y a +=.结论36：F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，M 是椭圆上任意一点，则焦半径[],MF a c a c ∈−+.结论37：F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点，M 是双曲线上任意一点.（1） 当M 在双曲线右支上，则焦半径MF c a ≥−； （2） 当M 在双曲线左支上，则焦半径MF c a ≥+.结论38：F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，M 是抛物线上任意一点，则焦半径022p p MF x ∈+≥. 结论39：（椭圆的光学性质）椭圆上任一点M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的切线平分过该点的两条焦半径夹角的外角）. 结论40：（双曲线的光学性质）双曲线上任一点M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的法线平分过该点的两条焦半径夹角的外角）. 结论41：（抛物线的光学性质）抛物线上任一点M 处的切线平分该点的两条焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角.结论42：椭圆的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ，且MF ⊥PQ . 结论43：双曲线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ，且MF ⊥PQ . 结论44：抛物线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其焦点F ，且MF ⊥PQ .结论45：椭圆上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与相应的焦点F 的连线交椭圆于Q ，则MQ 必与该椭圆相切，且MF ⊥PQ .结论46：双曲线上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与相应的焦点F 的连线交双曲线于Q ，则MQ 必与该双曲线相切，且MF ⊥PQ .结论47：抛物线上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与焦点F 的连线交抛物线于Q ，则MQ 必与该椭圆相切，且MF ⊥PQ .结论48：焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴）上三点P ,Q ,M 的焦半径成等差数列的充要条件为P ,Q ,M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论49：焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴）上三点P ,Q ,M 的焦半径成等差数列的充要条件为P ,Q ,M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论50：焦点在x 轴上的抛物线（或焦点在y 轴）上三点P ,Q ,M 的焦半径成等差数列的充要条件为P ,Q ,M 的横坐标（纵坐标）成等差数列. 结论51：椭圆上一个焦点F 2关于椭圆上任一点P 处的切线的对称点为Q ，则直线PQ 必过该椭圆的另一个焦点F 1.结论52：双曲线上一个焦点F 2关于双曲线上任一点P 处的切线的对称点为Q ，则直线PQ 必过该双曲线的另一个焦点F 1. 结论53：椭圆上任一点P （非顶点），过P 的切线和法线分别与短轴相交于Q ,S ，则有P ,Q ,S 及两个焦点共于一圆上.结论54：双曲线上任一点P （非顶点），过P 的切线和法线分别与短轴相交于Q ,S ，则有P ,Q ,S 及两个焦点共于一圆上.结论55：椭圆上任一点P （非顶点）处的切线与过长轴两个顶点A ,A ′的切线相交于M ,M ′，则必得到以MM ′为直径的圆经过该椭圆的两个焦点. 结论56：双曲线上任一点P （非顶点）处的切线与过实轴两个顶点A ,A ′的切线相交于M ,M ′，则必得到以MM ′为直径的圆经过该双曲线的两个焦点.结论57：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆． 结论58：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆． 结论59：以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切．结论60：焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴上）上任一点M （非短轴顶点）与短轴的两个顶点B , B ′的连线分别交x 轴（或y 轴）于P , Q ，则2P Q x x a =（或2P Q y y a =）. 结论61：焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴上）上任一点M （非顶点）与实轴的两个顶点B , B ′的连线分别交y 轴（或x 轴）于P , Q ，则2P Q y y b =−（或2P Q x x b =−）.结论62：P 为焦点在x 轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则12PF F ∆与边21PFPF （或）相切的旁切圆与x 轴相切于右顶点A （或左顶点A ′）.结论63：P 为焦点在x 轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则12PF F ∆与的内切圆与x 轴相切于右顶点A （或左顶点A ′）.结论64：AB 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点F 的一条弦（非通径），弦AB 的中垂线交x 轴于N ，则||2||AB NF e=.结论65：AB 是过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的焦点F 的一条弦（非通径，且为单支弦），弦AB 的中垂线交x 轴于N ，则||2||AB NF e=. 结论66：AB 是过抛物线22(0)=>y px p 的焦点F 的一条弦（非通径），弦AB 的中垂线交x 轴于N ，则||2||AB NF =. 结论67：AB 是抛物线的焦点弦，分别过A ，B 作抛物线的切线，则两条切线的交点P 在其准线上.结论68：AB 是椭圆的焦点弦，分别过A ，B 作椭圆的切线，则两条切线的交点P 在其相应的准线上.结论69：AB 是双曲线的焦点弦，分别过A ，B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 在其相应的准线上.结论70：AB 是过抛物线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其准线相切.结论71：AB 是过椭圆焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相切，与另一条准线相离.结论72：AB 是过双曲线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相交，截得的圆弧度数为定值，且为12arccos e.结论73：以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必为抛物线；若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必为椭圆.结论74：以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必为双曲线，且此时截得的圆弧度数为定值，且为12arccos e.结论75：AB 为过抛物线22(0)=>y px p 焦点F 的焦点弦，()()1122,,,,A x y B x y 则12||AB x x p =++.结论76：AB 为过椭圆22221(0)+=>>x y a b a b焦点F 的焦点弦，()()1122,,,,A x y B x y 则12||2AB a e x x =−+.结论77：AB 为过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b焦点F 的焦点弦，()()1122,,,,A x y B x y 若AB 为单支弦，则12||2AB e x x a =+−；若AB 为双支弦，则12||2AB e x x a =++.结论78：F 为抛物线的焦点，A ，B 是抛物线上不同的两点，直线AB 交其准线l 于M ，则FM 平分∠AFB 的外角.结论79：F 为椭圆的一个焦点，A ，B 是椭圆上不同的两点，直线AB 交其相应的准线l 于M ，则FM 平分∠AFB 的外角.结论80：F 为双曲线的一个焦点，A ，B 是双曲线上不同的两点（左右支各一点），直线AB 交其相应的准线l 于M ，则FM 平分∠AFB .结论81：F 为双曲线的一个焦点，A ，B 是双曲线上不同的两点（同一支上），直线AB 交其相应的准线l 于M ，则FM 平分∠AFB 的外角.结论82：AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过焦点F 的弦，点P 是椭圆上异于A ，B 的任一点，直线PA 、PB 分别交相应于焦点F 的准线l 于M 、N ，则点M 与点N 的纵坐标之积为定值，且为42b c−.结论83：AB 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b过焦点F 的弦，点P 是双曲线上异于A ，B 的任一点，直线PA 、PB 分别交相应于焦点F 的准线l 于M 、N ，则点M 与点N 的纵坐标之积为定值，且为42b c −.结论84：AB 是抛物线2(0)=>y px p 过焦点F 的弦，点P 是抛物线上异于A ，B 的任一点，直线PA 、PB 分别交准线l 于M 、N ，则点M 与点N 的纵坐标之积为定值，且为2p −.结论85：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴顶点，()(,0),(,0)0E m F m m a −<<，点P 是椭圆上任一点（非长轴顶点），若直线PA 、PB 分别交直线2a x m=于M 、N ，则有如EM FN EN FM ⋅⋅、()()222222am a m b m−+−FM FN ⋅()()222222a m a mb m−−−EM EN ⋅()()2222222a mb a m m+−−BM FN ⋅()()22222am a am b m−+−AM FN ⋅()()2222am a am b −−−AM BN ⋅()()2222am a b −−M N y y ⋅AP BP AM BN AN BMk k k k k k ⋅⋅⋅ 结论86：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b 的实轴顶点，()(,0),(,0)E m F m m a −>，点P 是双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线PA 、PB 分别交直线2()a x m a m=>于M 、EM FN EN FM ⋅⋅、()()222222a m a mb m−++FM FN ⋅()()222222a m a mb m−−+EM EN ⋅()()2222222amb a m m++−BM FN ⋅()()22222am a am b m −++AM FN ⋅()()22222am a am b m −−+AM BN ⋅()()22222am a b m −+M N y y ⋅()2222b m am −AP BP AM BN AN BMk k k k k k ⋅⋅⋅ 21e −AN AM k k ⋅()21a m e a m+−− BN BM k k ⋅()21a m e a m−−+k k ⋅2b 结论87：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一直径（中心弦），点P 是椭圆上任一点（不与A ，B 重合），则PA PB k k ⋅=21e −.结论88：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），点M是弦AB 的中点，若,OM AB k k 均存在，则OM AB k k ⋅=21e −.结论89：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一弦（不与对称轴平行），若平行于AB 的弦的中点的轨迹为直线PQ ，则有PQ AB k k ⋅=21e −.结论90：过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点P （不是其顶点）作椭圆的切线PA ，则有PA OP k k ⋅=21e −.结论91：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及定点()(,0)F m a m a −<<，过F 的弦的端点为A ，B ，过点A ，B 分别作直线2a x m =的垂线，垂足分别为D ，C ，直线2a x m=与x 轴相交于E ，则直线AC 与BD 恒过EF 的中点，且有0AE BE k k +=.结论92：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及定点()(,0)F m m c =±，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为椭圆上任意一点，连接AE ，BE ，且分别与准线2a x m=相交于P ，Q ，则有1FQ FP k k ⋅=−.结论93：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及定点()(,0),0F m a m a m −<<≠，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为椭圆上任意一点，连接AE ，BE ，且分别与直线2a x m=相交于P ，Q ，则有222FQ FPb k k m a ⋅=−.结论94：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的任一直径（中心弦），点P 是双曲线上任一点（不与A ，B 重合），则PA PB k k ⋅=21e −.结论95：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），点M 是弦AB 的中点，若,OM AB k k 均存在，则OMAB k k ⋅=22b a.结论96：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的任一弦（不与对称轴平行），若平行于AB的弦的中点的轨迹为直线PQ ，则有PQ AB k k ⋅=21e −.结论97：过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b上任意一点P （不是其顶点）作双曲线的切线PA ，则有PA OP k k ⋅=21e −.结论98：双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b及定点()(,0)F m m a m a >∨<−，过F 的弦的端点为A ，B ，过点A ，B 分别作直线2a x m =的垂线，垂足分别为D ，C ，直线2a x m=与x 轴相交于E ，则直线AC 与BD 恒过EF 的中点，且有0AE BE k k +=.结论99：双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b及定点()(,0)F m m c =±，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为双曲线上任意一点，连接AE ，BE ，且分别与准线2a x m=相交于P ，Q ，则有1FQ FP k k ⋅=−.结论100：双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b及定点()(,0)F m m a m a >∨<−，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为双曲线上任意一点，连接AE ，BE ，且分别与直线2a x m=相交于P ，Q ，则有222FQ FPb k k a m ⋅=−. 结论101：抛物线22(0)y px p =>及定点(,0)(0)F m m >，过F 的弦的端点为A ，B ，过A ，B 分别作直线x m =−的垂线，垂足分别为D ，C ，直线x m =−与x 轴相交于E ，则直线AC 与BD 恒过EF 的中点，且有0AE BE k k +=. 结论102：抛物线22(0)y px p =>及定点(,0)2p F m m ⎛⎫=⎪⎝⎭，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为抛物线上任意一点，连接AE ，BE ，分别与准线x m =−相交于P ，Q ，则有1FP FQ k k ⋅=−. 结论103：抛物线22(0)y px p =>及定点()(,0)0F m m >，过F 的弦的端点为A 、B ，E为抛物线上任意一点，连接AE ，BE ，分别与直线x m =−相交于P ，Q ，则有2FP FQ pk k m⋅=−. 结论104：抛物线22(0)y px p =>的焦点弦与抛物线相交于A ，B ，过B 作直线BC 与x 轴平行，交准线于C ，则直线AC 必过原点（及其准线与x 轴交点E 与焦点F 的线段的中点）.结论105：AB 为过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点F 的弦，其相应的准线与x 轴交点为E ，过A ，B 作x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于M ，N ，则直线AN ，BM 均过线段EF 的中点.结论106：AB 为过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的焦点F 的弦，其相应的准线与x 轴交点为E ，过A ，B 作x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于M ，N ，则直线AN ，BM 均过线段EF 的中点. 结论107：过圆锥曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线，垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点.结论108：AB 为垂直于椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的动弦，其准线与x 轴交点为Q ，则直线AF 与BQ （或直线BF 与AQ ）的交点M 必在该椭圆上.结论109：AB 为垂直于双曲线2222(0)λλ−=≠x y a b实轴的动弦，其准线与x 轴交点为Q ，则直线AF 与BQ （或直线BF 与AQ ）的交点M 必在该双曲线上.结论110：AB 为垂直于抛物线()()220==≠或y tx x ty t 对称轴的动弦，其准线与x 轴交点为Q ，则直线AF 与BQ （或直线BF 与AQ ）的交点M 必在该抛物线上.结论111：已知圆锥曲线的焦点弦AM （不为通径，若为双曲线则为单支弦），则在x 轴上有且只有一点Q 使AQF MQF ∠=∠.结论112：过F 作圆锥曲线的一条弦AB （若为双曲线则为单支弦），分别过A ，B 作准线l 的垂线（Q 是其相应准线与x 轴的交点），垂足为A 1，B 1，则直线AB 1与直线A 1B 都经过QF 的中点K ，即A 、K 、B 1及B 、K 、A 1三点共线.结论113：A ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点和左顶点，P 为椭圆上任一点（非长轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2a x m =于M ，N ，则以线段MN 为直径的圆必经过两个定点，且椭圆外定点为222a b a m Q m ⎛⎫+− ⎪ ⎪⎝⎭，椭圆内定点为222,0a b a m R m ⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭.结论114：A ，B 分别为双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的右顶点和左顶点，P 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2a x m =(m >a )于M ，N ，则以线段MN 为直径的圆必经过两个定点，且椭圆外定点为222a b m a Q ⎫+−⎪⎪⎝⎭，椭圆内定点为222,0a b m a R m ⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭. 结论115：过直线()0x m m =≠但在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()222222,0AB MN a b m N k k m a a m ⎛⎫⋅= ⎪−⎝⎭，且有.结论116：过直线()0x m m =≠但在双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b外（即双曲线中心所在区域）一点M 向双曲线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()222222,0AB MN a b m N k k m a m a ⎛⎫⋅= ⎪−⎝⎭，且有. 结论117：过直线()0x m m =≠但在抛物线22(0)=>y px p 外（即抛物线准线所在区域）一点M 向抛物线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点(),02AB MN p N m k k m−⋅=，且有. 结论118：设点M 是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上），过点M 向圆锥曲线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过准线对应的焦点F ，且FM ⊥AB .结论119：过直线1mx ny +=但在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()22,N ma nb.结论120：过直线1mx ny +=但在双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b外（即双曲线中心所在区域）一点M 向双曲线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()22,N ma nb.结论121：过直线()10mx ny m +=≠但在抛物线22(0)=>y px p 外（即抛物线准线所在区域）一点M 向抛物线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点1,pn N m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭. 结论122：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，点P 是直线()||,0x t t a t =≠≠上的一个动点（P 不在椭圆上），直线PA 及PB 分别与椭圆相交于M ，N ，则直线MN 必与x 轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫⎪⎝⎭.结论123：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的顶点，点P 是直线()||,0x t t a t =≠≠上的一个动点（P 不在双曲线上），直线PA 及PB 分别与双曲线相交于M ，N ，则直线MN必与x 轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.结论124：A ，B 是抛物线22(0)=>y px p 上异于顶点O 的两个动点， 若直线AB 过定点N (2p ,0) OA ⊥OB A ，B 的横坐标之积、纵坐标之积均为定值 若OA ⊥OB 直线AB 过定点N (2p ,0)A ，B 的横坐标之积、纵坐标之积均为定值()2min 4AOB S p ∆=若OA ⊥OB 过O 作OM ⊥AB动点M 的轨迹方程为()22200x y px x +−=≠结论125：过抛物线22(0)=>y px p 上任意一点M ()00,x y 作两条弦MA ，MB ，则MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N ()002,x p y +−.结论126：过抛物线22(0)=>y px p 上任意一点M ()00,x y 作两条弦MA ，MB ，则()0MA MB k k λλ⋅=≠的充要条件是直线AB 过定点N 002,p x y λ⎛⎫−− ⎪⎝⎭. 结论127：过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点M ()00,x y 作两条弦MA ，MB ，则MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N 2222002222,a b b a x y a b b a ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭. 特别地，（1）当M 为左、右顶点时，即00,0x a y =±=时，MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N ()22222,0a a b a b ⎛⎫±− ⎪ ⎪+⎝⎭．（2）当M 为上、下顶点时，即000,x y b ==±时，MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N ()222220,b b a a b ⎛⎫±− ⎪ ⎪+⎝⎭．结论128：过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b上任意一点M ()00,x y 作两条弦MA ，MB ，则MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N 2222002222,a b b a x y a b b a ⎛⎫++ ⎪−−⎝⎭. 特别地，当M 为左、右顶点时，即00,0x a y =±=时，MA ⊥MB 的充要条件是直线AB过定点N ()22222,0a a b a b ⎛⎫±+ ⎪ ⎪−⎝⎭．结论129：过二次曲线()22,,,,,0+++=∈+≠Ax By Cx Dy E A B C D E A B 上任意一点M()00,x y 作两条弦MA ，MB ，若MA ⊥MB ，则直线AB 过定点N 000022,Ax C By D x y A B A B ++⎛⎫−− ⎪++⎝⎭.结论130：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上不同的两个动点，若OA ⊥OB ，则22222211||||a b OA OB a b ++=，()22min max21111||||||||a b a b OA OB ab OA OB +⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结论131：A ，B 是双曲线22221(0)−=>>x y b a a b上不同的两个动点（在同一支上），若OA ⊥OB ，则22222211||||b a OA OB a b−+=.抛物线 22(0)=>y pxp对称轴存在定点 (),0M p使得过该点的任意弦AB 恒有 222111||||MA MB p+= 椭圆 22221(0)+=>>x y a b a b 长轴 2222,0a b M a a b⎛⎫−± ⎪ ⎪+⎝⎭2222411||||a b MA MB b ++= 双曲线22221(0)−=>>x y a b a b 实轴结论133：过圆锥曲线()2210,0x y m n m n+=>≠的焦点F 作一条直线与圆锥曲线相交于M ，N ，与y 轴相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则2m nλμ+=−.结论134：过抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条直线与抛物线相交于M ，N ，与y 轴相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则1λμ+=−.结论135：过圆锥曲线的焦点F 作一条直线与圆锥曲线相交于M ，N ，与相应的准线相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则0λμ+=.结论136：MN 是垂直椭圆22221(0)+=>>x y a b a b长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，若,PE EM PF FN λμ==，则0λμ+=.结论137：MN 是垂直双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，若,PE EM PF FN λμ==，则0λμ+=. 结论138：MN 是垂直抛物线()220y px p =>对称轴的动弦，P 是抛物线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，若,PE EM PF FN λμ==，则0λμ+=.结论139：MN 是垂直椭圆22221(0)+=>>x y a b a b长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，A 为长轴顶点，若,OE EA OF FA λμ==，则1λμ+=−.结论140：MN 是垂直双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，A 为实轴顶点，若,OE EA OF FA λμ==，则1λμ+=−.结论141：MN 是垂直抛物线()220y px p =>对称轴的动弦，P 是抛物线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，A 为抛物线焦点，若,OE EA OF FA λμ==，则112λμ+=.结论142：P 是圆锥曲线221(0,0)x y s t s t+=>≠上任意一点，弦PA ，PB 分别过定点((,0),(,0)0M m N m m s −<<，若,λμ==PM MA PN NB ，则()222λμ++=−s m s m.结论143：M ，P 是圆C ：222(0)x y r r +=>上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于点A (m ,0)、B (n ,0)，则mn =r 2.结论144：M ，P 是圆锥曲线221(0,0)x y s t s t+=>≠上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于点A (m ,0)、B (n ,0)，则mn =s .结论145：A ，B 是圆锥曲线C ：221(0,0)x y s t s t+=>≠上关于x 轴对称的任意两个不同的点，点P (m ,0)是x 轴上的定点，直线PB 交C 于另一点E ，则直线AE 恒过x 轴上的定点Q,0s m ⎛⎫⎪⎝⎭. 结论146：A ，B 是抛物线C ：2(0)y px p =>上关于x 轴对称的任意两个不同的点，点P (m ,0)是x 轴上的定点，直线PB 交C 于另一点E ，则直线AE 恒过x 轴上的定点Q (),0m −.。
圆锥曲线常用二级结论 -回复
圆锥曲线常用二级结论 -回复
圆锥曲线的二级结论包括以下几点：
1. 椭圆的离心率e满足0<e<1，其中e越接近于0，椭圆形状越细长，e越接近于1，椭圆形状越圆。
2. 椭圆的长轴是短轴的两倍或多倍，且两轴的中点为椭圆的中心。
3. 双曲线的离心率e大于1，其中e越大，双曲线的形状越细长。
4. 双曲线的两支曲线无交点，且无端点或渐近线。
5. 抛物线的离心率为1，其焦点在顶点的对称轴上。
6. 抛物线的两面从焦点出发，无限延伸，无交点。
这些二级结论是在圆锥曲线的基础上通过观察和推理得出的，对于分析和解决一些几何问题具有重要的指导意义。
高中数学圆锥曲线二级结论大全
高中数学圆锥曲线二级结论大全高中数学圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，涵盖了椭圆、双曲线和抛物线三种曲线的性质和应用。
本文将为大家总结并介绍圆锥曲线的二级结论，包括椭圆、双曲线和抛物线的定义、特点、性质以及相关的公式和图像。
一、椭圆1. 定义：椭圆是平面上到两个固定点F1、F2的距离之和为常数2a的点的轨迹。
称F1、F2为椭圆的焦点，连结两焦点的线段称为主轴，垂直于主轴且通过椭圆中心的直线称为次轴，主轴的长度2a称为椭圆的长轴。
2. 特点：（1）椭圆的离心率e小于1；（2）对称性：椭圆关于椭圆的长轴、短轴的对称轴对称；（3）椭圆的焦距等于长轴的一半，即F1F2 = 2ae = 2a；（4）椭圆的直径与长轴和短轴之间满足关系d = √(a² - b²)，其中d为椭圆上两个焦点的距离。
3. 公式和图像：椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标。
椭圆的图像为平面上一个闭合的曲线，长轴与x轴平行或与y轴平行，短轴在y轴或x轴上。
椭圆沿长轴上下对称。
二、双曲线1. 定义：双曲线是平面上到两个固定点F1、F2的距离之差为常数2a的点的轨迹。
称F1、F2为双曲线的焦点，连结两焦点的线段称为主轴，垂直于主轴且通过双曲线中心的直线称为次轴，主轴的长度2a称为双曲线的长轴。
2. 特点：（1）双曲线的离心率e大于1；（2）对称性：双曲线关于双曲线的长轴、短轴的对称轴对称；（3）双曲线的焦距等于长轴的一半，即F1F2 = 2ae = 2a；（4）双曲线的直径与长轴和短轴之间满足关系 d = √(a² + b²)，其中d为双曲线上两个焦点的距离。
3. 公式和图像：双曲线的标准方程为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为双曲线的中心坐标。