学生版-2019年《必修二部分》选择题专项练习
2019-2020学年苏教版必修2 全册综合测试题
全册综合测试题(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(本题包括16小题，每小题3分，共48分)1．下列关于原子结构、元素性质的说法正确的是()A．非金属元素组成的化合物中只含共价键B．ⅠA族金属元素是同周期中金属性最强的元素C．同种元素的原子均有相同的质子数和中子数D．ⅦA族元素的阴离子还原性越强，共最高价氧化物对应水化物的酸性越强解析：NH4Cl全部由非金属元素组成，但含有离子键和共价键，选项A错误；同周期元素从左到右金属性逐渐减弱，各周期中ⅠA族元素的金属性最强，选项B正确；同种元素的原子的质子数相同，但中子数可以不同，选项C错误；ⅦA族元素的阴离子还原性越强，则元素的非金属性越弱，其最高价氧化物对应水化物的酸性越弱，选项D错误。
答案：B2．下列有关烷烃的叙述中，不．正确的是()A．在烷烃分子中，所有的化学键都为单键B．所有的烷烃在光照条件下都能与Cl2发生取代反应C．烷烃的分子通式为C n H2n＋2，符合该通式的烃不一定是烷烃D．烷烃的化学性质与CH4相似解析：烷烃中的碳碳键、碳氢键均为单键，烷烃都能与Cl2发生取代反应，这是烷烃的主要特征之一；因分子通式中C n H2n＋2中的氢原子已达饱和，故符合C n H2n＋2的有机物只能是烷烃；CH4是最简单的烷烃，不同碳原子数的烷烃之间互为同系物，化学性质相似。
答案：C3．在一定温度下，向a L密闭容器中加入1 mol X气体和2 mol Y气体，发生如下反应：X(g)＋2Y(g)2Z(g)，此反应达到平衡的标志是()A．容器内压强不随时间变化B．容器内密度不随时间变化C．容器内X、Y、Z的浓度之比为1∶2∶2D．单位时间消耗0.1 mol X同时生成0.2 mol Z解析：由于反应物与生成物均是气体且容器体积不变，故反应前后气体的密度不变，因此不能用密度不变来判断该可逆反应已达到平衡。
D项中所表示的是同一反应方向的速率，故只有A项可以说明该可逆反应已达到平衡状态。
新教材选择性必修二：第1章《种群及其动态》水平测试(学生版)
新教材选择性必修二：第1章水平测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间90分钟。
第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、单项选择题(共20小题，每小题2分，共40分。
每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的)1．某地区由于秋天过早降温，许多蝗虫在产卵前死亡。
第二年，该地区蝗虫的种群密度明显下降。
对第二年蝗虫种群密度下降合理的解释是() A．出生率下降B．死亡率上升C．迁入率下降D．迁出率上升2．下列有关种群数量特征的叙述，错误的是()A．不同物种的种群密度可以有很大差异B．年龄结构是指种群中各年龄期个体数目的比例C．迁入率是指在单位时间内迁入的个体数目占该种群个体总数的比值D．最理想的种群性别比例是雄∶雌＝1∶13．用标记重捕法测定某地区某动物的种群密度时，下列叙述不正确的是()A．若标记物会引起部分动物运动能力受限而饿死，则测定结果会偏大B．若标记后的个体在第二次捕捉时更容易被发现，则测定结果会偏大C．若标记后的部分个体从该地区迁出到其他地方，则测定结果会偏大D．若被标记个体会产生记忆导致第二次不易捕捉，则测定结果会偏大4．每年4月，来自南亚的粉红椋鸟聚集于新疆北部草原，它们通常以成百上千只的大群体活动。
粉红椋鸟喜食蝗虫，群体采取波浪式向前推进，飞行在前面的群体产生的气流和叫声惊扰蝗虫，使其暴露，紧跟其后的个体迅速捕食被惊起的蝗虫，前后个体不停地交换空间位置，保证每一只粉红椋鸟都能获得捕食机会。
下列说法不正确的是()A．一片草原上的所有粉红椋鸟是一个种群B．粉红椋鸟的种群数量会呈现“J”形增长C．粉红椋鸟种群数量会随季节而出现波动D．粉红椋鸟集群生活有利于其捕食和防御5．如图为种群数量特征的概念图，下列叙述错误的是()A．c表示种群密度，是种群最基本的数量特征B．a表示年龄结构，b表示性别比例，b可以用来预测种群密度的变化趋势C．若种群的数量增长呈“S”形曲线，则在种群数量达到K值前，种群的年龄结构一直是增长型D．对种群密度定期调查有利于合理利用生物资源6．种群密度是种群的数量特征之一，下列叙述错误的是()A．种群的“S”形增长是受资源等因素限制而呈现的结果B．样方法和标记重捕法都不能得到某种群密度的准确值C．鱼塘中某种鱼的养殖密度不同时，单位水体该鱼的产量有可能相同D．培养瓶中细菌种群数量达到K值前，密度对其增长的制约逐渐减弱7．下述古代诗句中，部分体现了非生物因素对生物的影响，其中不属于对种群数量变化产生影响的是()A．离离原上草，一岁一枯荣，野火烧不尽，春风吹又生B．昨夜雨疏风骤……却道海棠依旧，知否，知否，应是绿肥红瘦C．暮春三月，江南草长，杂花生树，群莺乱飞D．塞下秋来风景异，衡阳雁去无留意。
人教版(2019)化学选择性必修2《原子结构与性质》测试题(含答案)
《原子结构与性质》测试题一、单选题1．下列说法正确的是( )A ．我们常用的元素周期表中元素排序的依据是元素的相对原子质量B ．元素周期表中同一横行元素原子的电子层数相同C ．元素周期表有16个纵行D ．元素周期表已发展成一个稳定的形式，它不可能再有新的变化了 2．下列物质不属于同素异形体的是 A ．金刚石和石墨B ．水晶和石英C ．红磷和白磷D ．C 60和金刚石3．Q 、R 、T 、M 、W 五种短周期元素在周期表中的相对位置如图所示,其中M 的原子序数是R 的原子序数的2倍。
下列说法正确的是 ( )A ．原子半径大小顺序为r(Q)>r(R)>r(T)>r(M)>r(W)B ．Q 、W 的单核离子的核外电子数相等C ．五种元素均能形成氢化物D ．W 的氢化物水溶液酸性最强,说明W 的非金属性在五种元素中最强 4．关于As 元素性质的说法不正确的是 A ．As 很难与氢气发生化合反应 B ．As 的含氧酸有34H AsO 和33H AsO C ．As 的氢化物有3AsH 、5AsH D ．砷的常见化合价有-3，+3，+5 5．下列推测正确的是A ．硒(Se)是第VIA 族元素，则简单氢化物的稳定性：H 2Se>H 2SB ．铋(Bi)与氮同主族，其最高价氧化物对应的水化物的酸性比硝酸的强C ．钋(Po)(84号元素)与硫同主族，其主要化合价有-2和+6D ．铍(Be)的最高价氧化物对应的水化物为两性氢氧化物6．元素周期表和元素周期律可以指导人们进行规律性的推测和判断。
下列推测不合理的是（ ）选事实推测项A Li与水反应缓慢，Na与水反应剧烈K与水反应会更剧烈HBr的分解温度介于二者之B HCl在1500℃时分解，HＩ在230℃时分解间IV A族的元素均可做半导体材C Si是半导体材料，同族的Ge也是半导体材料料Ｄ磷酸是弱酸，碳酸是弱酸硅酸一定是弱酸A．A B．B C．C D．D7．下列各组指定原子序数的元素，能够形成A2B3型化合物的是（）A．12和17 B．11和9 C．13和8 D．16和88．短周期主族元素W、X、Y、Z的原子序数依次增大，W的原子序数是Z的原子序数的一半，W、X、Y三种元素形成的化合物M结构如图所示。
工业革命与工厂制度(选择题专项训练)-- 高三历史统编版(2019)选择性必修2一轮复习
高三高考历史一轮课时练习：工业革命与工厂制度（单选题）1．下表所示为1751年至1755年，伦敦某靛青印染场在民营保险公司的投保金额。
仅其投保总金额就超过了18世纪上半叶都柏林某知名印染工场的投资总额。
材料可用于印证此时伦敦（）投保主体建筑物及其土地/英镑器具、原材料和货物/英镑铅笔染色车间200 400单独的仓库200 3000印染车间和火炉200 1500 铜板车间（靛青印染）和办公室200 500排列分类车间、印染车间、碾磨车间、印花工的作坊—3000仓库的库存—100总计800 8500 A．产业资本的雄厚B．社会保障体系的完善C．生产资料的匮乏D．工业革命的中心地位2．马克思认为现代化是“以资本为基础的工业化、城市化、大规模生产、大消费、大交通体系等过程的总和”，包括资本主义市场经济、随之而生的大规模分工、强大的集权官僚国家、亲密的村庄群体变为不近人情的城市群体、公共的社会关系变为个人的社会关系。
马克思意在说明现代化的实现（）A．将改变人与人之间的社会关系B．会增强国家对社会经济的干预C．能促进人类社会生产力水平的提高D．使整个世界日益成为密不可分的整体3．19世纪末20世纪初，德国由劳动力过剩演变为劳动力短缺。
到一战前，外国劳工已达120万之多，他们遍布德国工农业生产的各个部门，德国因此而成为仅次于美国的第二大劳动力输入国。
出现这一现象的主要原因是德国（）A．工业化推进的速度较快B．大量海外移民活动导致劳动力不足C．战争使得人口大量减少D．民主政治发展，代议制形成4．钱乘旦、许洁明合著的《英国通史》中说：“……过去以天为单位，现在以分钟、秒为单位；……火车还教会人们守时，准时准点成为了现代生活的准则，人们开始随身带上一块表，时间概念是一个全新的概念。
”上述材料反映出（）A．相对论对人们生活方式的影响很大B．火车的发明使人养成了戴手表的习惯C．工业革命改变了人们的生活方式D．科技发明提高了人们的生活质量5．1874年，福州船政局完成第一期造船计划，造好的兵轮分拨给直隶、奉天、山东、浙江等地。
专项训练必修部分选择题第二章 信息获取(信息技术基础)
专项训练必修部分选择题第二章信息获取班级学号姓名1、要想熟练地在因特网上查找资料，应该学会使用( )。
A.FTP服务B. 电子邮件C.网页制作D. 搜索引擎2、关于获取信息的方法，下面说法正确的是( )。
A. 利用网络获取信息是最好的方法B. 电子邮件C. 应根据实际情况D.信息交流3、获取信息的来源决定了信息的可靠程度，下列信息来源中哪一种获得的信息最可靠？( )A. 朋友、同学B.因特网C.亲自进行科学实验D.报刊杂志4、小明急需查一本书中的内容，按最佳方案，他第一个应选择的方式是(A )。
A. 到书店的电脑查询系统上查找并购买B.找同学咨询，到指定书店购买C.找书店营业员咨询并购买D. 到因特网上查找能否下载此书中的内容5、下列信息来源属于文献型信息源的是（）A、图书B、同学C、老师D、网络6、一同学要搜索歌曲“Yesterday Once More”，他访问Google搜索引擎，键入关键词( )，搜索范围更为有效。
A.“Yesterdav”B.“0nce”C. “More”D. Yesterday Once More7、下列说法正确的是( )。
A.搜索引擎按其工作方式可划分为蜘蛛程序和机器人B.目录索引类搜索引擎的使用方法称为“关键词查询”C. C.全文搜索方式又被称为分类搜索D. 搜索引擎按其工作方式可划分为全文搜索引擎和目录搜索引擎8、使用全文搜索引擎（如Google）进行搜索时，关键词“综合性大学not 上海”表示（）。
A.上海的非综合性大学B. 上海的综合性大学C. 不包括上海的综合性大学D.上海和综合性大学9、下列各软件中不属于搜索类软件的有( ) A.北大天网B. Windows C.Sina D. Yahoo10、我们会把自己喜爱并且经常浏览的网站地址存放在浏览器的( )。
A. 收藏夹B.标题栏C. 电子邮箱D.状态栏11、下列说法正确的是( )。
A.FTP下载工具能自动登录FTP服务器快速浏览文件目录,多服务器、多文件下载B.流媒体下载工具将完整的影音文件变为影音片段C.网站下载工具可下载任意网站的全部文件D. D.通用下载工具不支持文件的批量下载12、关于网上信息下载，下列说法中正确的是( )。
【新教材】人教版(2019)选择性必修第二册 模块综合检测
【新教材】人教版（2019）选择性必修第二册模块综合检测Ⅰ.阅读理解(共15小题；每小题2.5分，满分37.5分)AThe other day I found my old certificates(证书)．We had exams called O levels when we were sixteen.(They are called something different now.) It's so long ago that I'd forgotten what we'd studied.I had nine O levels when I left school and one was in cookery.I was surprised because I'm a terrible cook!——Celia My main memory is what we had to wear! I had a purple skirt with yellow lines on it, and then we had those silly hats with a purple line round them.Girls would do anything to lose their hats.Then when I was about twelve, my parents moved to the United States and I went to my new school in my favourite clothes.It was great!——AliceI had a normal(正常的)day at school, but I also had music lessons because my parents wanted me to learn the violin.So I had special classes at school before everyone else arrived.So most pupils started at eight thirty, but I had to go to school at seven o'clock for my music lessons.Then at the end of the day, I'd do sport, so often I didn't finish until five in the afternoon.That was a long day for a ten-year-old.——DeanI travel a lot nowadays, and I suppose my interest in other countries began with geography and a teacher I liked called Mr.Byford.We'd learn about faraway places and strange areas.I think it made me want to visit them later in life.——Susan 【语篇解读】本文是应用文，四个人分享了各自对学生时代的回忆。
历史部编版高中选择性必修二(2019年新编)第4课 古代的生产工具与劳作 单元检测题
古代的生产工具与劳作工业革命与工厂制度(40分钟100分)第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12 小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的。
)1.据报道,在边疆地区出土的汉代农具中,铁器农具数量甚多。
相比之下,青铜农具已较少见，石器、蚌器、骨器农具更少见。
这反映了汉代A.政府对边疆地区经济的控制力增强B.民间冶铁业技术较先进C.各地农业发展趋向均衡D.边疆地区社会生产力水平的提高2.元朝王祯所著《农书》中记载了100多种农具,其中绝大多数宋代均已有之,并且构成一个相当完整的系列。
这个农具家族中的多数成员,一直生存到20 世纪中叶,寿命长达千年之久。
这表明在宋代A.传统农具的定型化基本完成B.农业生产动力有了重大突破C.技术革新推动种植面积扩大D.精耕细作的农业技术体系形成3.范仲淹称:“器以象制,水以轮济。
假一毂汲引之利,为万顷生成之惠。
扬清激浊,诚运转而有时,救患分灾,幸周旋于当世。
”材料所述“器”的运用A.使农业生产摆脱了自然束缚B.提高了农田抗旱的能力C.避免了农业自然灾害的发生D.变革了农业的产业结构4.西汉著作《方言》中,“繼车”和“道轨”是有关纺车的文献记载。
下图所示是汉代画像石上妇女使用单锭纺车纺丝织布时的场景。
由上述史料可以得出的结论是汉代画像石上的纺车A.汉代已使用纺车纺纱B.汉代纺纱业分工细密C.纺车最早出现于西汉D.纺车提高了纺织效率5.唐代,河南伏牛山地区某个窑场创烧出一种新产品,周边的其他窑场很快先对该产品进行外形上的仿造,然后逐渐探索和完善配釉、施釉、装烧等工序。
到了北宋时期,该地区的青瓷制作水平已经超过南方的越窑。
这说明A.技术创新推动了北方制瓷业发展B.南北经济交流加强C.北方制瓷业的生产规模日益扩大D.南方制瓷技术北传D.维护奴隶制庄园经济 C.调整公民内部的关系7.到18世纪中期,英国一家大呢绒工场拥有600台织机;金属加工已有500 种以上不同形状的锤。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：各章测验及模块综合测验(共6套)
第六章 平面向量及其引用章末检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π4解析：选C.因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.2．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( ) A ．135° B ．90° C ．45°D ．30°解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B ⇒2sin A ＝3sin B ，则sin A ＝23sin B ＝22.因为a <b ，所以A <B ，所以A ＝45°.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 3解析：选C.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，所以b ＝2.4．在△ABC 中，已知D 是边AB 上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13B.23C.12D.34解析：选B.由已知得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，因此λ＝23，故选B.5．设点A (－1，2)，B (2，3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为( ) A ．(2，16)B ．(－2，－16)C ．(4，16)D ．(2，0)解析：选A.设D (x ，y )，由题意可知AD →＝(x ＋1，y －2)，AB →＝(3，1)，BC →＝(1，－4)．所以2AB →－3BC →＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3，y －2＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.故选A. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则b sin Aa 的值为( )A ．1 B.12 C.22D.32解析：选D.由余弦定理a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，得2ac ·sin B ＝3ac ，得sin B ＝32，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b sin A a ＝sin B ＝32，故选D.7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ，且a >c ，cos B ＝14，则ac＝( )A ．2 B.12 C ．3D.13解析：选A.因为sin 2B ＝2sin A sin C ，所以由正弦定理，得b 2＝2ac .又a >c ，cos B ＝14，所以由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac ×14＝2ac ，即2×⎝⎛⎭⎫a c 2－5×a c ＋2＝0，解得a c ＝2或12(舍去)，故选A.8．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形D ．直角梯形解析：选C.由AB →＋CD →＝0，即AB →＝DC →，可得四边形ABCD 为平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0，即DB →·AC →＝0，可得DB →⊥AC →，所以四边形一定是菱形，故选C.9．在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，BC ＝26，则AB →·AC →＝( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－1解析：选 C.AB →·AC →＝(AD →＋DB →)·(AD →＋DC →)＝(AD →＋DB →)·(AD →－DB →)＝AD →2－DB →2＝4－6＝－2.10．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC →|BC →|＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：选B.由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos 120°|BC →|＝－12.11．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积等于( )A ．16B ．352C ．18D ．32解析：选A.设AB ＝CD ＝a ，AD ＝BC ＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋b ）＝18，65＋17＝2（a 2＋b 2），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4. 所以cos ∠BAD ＝52＋42－172×5×4＝35，所以sin ∠BAD ＝45，S ＝4×5×45＝16.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，已知△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，则a 的值为( )A.233B.253C.263D.283解析：选B.由3a cos C ＝4c sin A 得a sin A ＝4c 3cos C ，又由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得csin C ＝4c 3cos C ⇒tan C ＝34，由S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4⇒c sin A ＝5，由tan C ＝34⇒sin C ＝35，又根据正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝535＝253.故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 解析：因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝t (a ＋2b )＝t a ＋2t b ，又向量a ，b 不平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，所以⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.答案：1214．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．解析：由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b3，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.答案：2π315．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.若sin B ＝2sinA ，则△ABC 的面积为________．解析：因为sin B ＝2sin A ，所以b ＝2a . 又因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝4. 所以a ＝233，b ＝433.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝233.答案：23316．某人在点C 测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________米．解析：示意图如图，设塔高x 米，则BC ＝x 米，BD ＝3x 米(x >0)． 因为CD ＝100米，∠BCD ＝80°＋40°＝120°，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ，所以3x 2＝x 2＋1002－2×100×x ×⎝⎛⎭⎫－12， 所以2x 2－100x －10 000＝0.所以x 2－50x －5 000＝0.所以x ＝100或x ＝－50(舍去)． 答案：100三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ； (2)c ⊥d .解：由题意得a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d 时，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )． 所以3λ＝5，且kλ＝3，所以k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. 所以15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0， 所以k ＝－2914.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积为4，求b ，c 的值． 解：(1)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为a ＝2，b ＝4，所以sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)因为S △ABC ＝4＝12×2c ×45，所以c ＝5，所以b ＝4＋25－2×2×5×35＝17.19．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(3)已知点D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE →＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE →＝kEC →，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.因为e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，k －1－λ＝0，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．(3)因为A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD→＝(3－x ，5－y )．因为BC →＝(－7，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10，7)．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°.(1)求a ＋bsin A ＋sin B的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积．解：(1)因为c ＝2，C ＝60°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得a sin A ＝bsin B ＝a ＋b sin A ＋sin B ＝c sin C ＝2sin 60°＝433， 所以a ＋b sin A ＋sin B＝433.(2)由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即 4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab .因为a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)． 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.21．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )． 上式两边平方，整理得 17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. 所以b ＝2.22．(本小题满分12分)(2019·河南、河北重点中学第三次联考)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD ＝CD ，∠BAE ＝∠CAE .(1)求线段AD 的长； (2)求△ADE 的面积．解：(1)因为c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ， 所以cos C ＝b 2c ＝14.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4－164a ＝14，所以a ＝4，即BC ＝4.在△ACD 中，CD ＝2，AC ＝2，所以AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos ∠ACD ＝6， 所以AD ＝ 6.(2)因为AE 是∠BAC 的平分线，所以S △ABE S △ACE＝12AB ·AE ·sin ∠BAE12AC ·AE ·sin ∠CAE ＝AB AC ＝2，又S △ABE S △ACE ＝BE EC，所以BEEC ＝2，所以CE ＝13BC ＝43，DE ＝2－43＝23.又因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝154.所以S △ADE ＝S △ACD －S △ACE ＝12×DC ×AC ×sin C －12EC ×AC ×sin C ＝12×DE ×AC ×sin C＝156.第七章 复数 章末检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i解析：选C.i 3－2i ＝－i －2ii2＝－i ＋2i ＝i.2．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1·z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析：选D.z 1·z 2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i ，对应的点(4，－2)在第四象限．3．已知复数z ＝(m 2－m －6)＋(m 2＋2m －8)i(i 为虚数单位)，若z <6，则实数m ＝( ) A ．2 B ．2或－4 C ．4D ．－2或4解析：选A.因为z <6，所以z ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6<6，m 2＋2m －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－3<m <4，m ＝－4或m ＝2.所以m ＝2，故选A.4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 上的点，且AC →＝3 CB →，则点C 对应的复数是( )A ．4iB ．2＋4i C.72i D ．1＋72i解析：选C.两个复数对应的点分别为A (6，5)，B (－2，3)，设点C 的坐标为(x ，y )(x ，y ∈R )，则由AC →＝3CB →，得AB →＝4CB →，即(－8，－2)＝4(－2－x ，3－y )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝72，故点C 对应的复数为72i ，故选C.5．设i 为虚数单位，若复数z 满足z －1＋i ＝i ，其中z －为复数z 的共轭复数，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C.22D ．2解析：选B.由题意得z －＝i(1＋i)＝－1＋i ，所以z ＝－1－i ，所以|z |＝（－1）2＋（－1）2＝2，故选B.6．设i 是虚数单位，z －是复数z 的共轭复数．若z ·z －i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i解析：选A.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，又z ·z －i ＋2＝2z ，所以(a 2＋b 2)i ＋2＝2a＋2b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.7．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若2－ia ＋i 为纯虚数，则复数z ＝2a ＋1＋2i 的模为( )A. 2B. 3C. 6D.11解析：选C.2－i a ＋i ＝（2－i ）（a －i ）（a －i ）（a ＋i ）＝2a －1－（2＋a ）ia 2＋1.若2－ia ＋i 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝0－（2＋a ）≠0， 解得a ＝12，则z ＝2a ＋1＋2i ＝2＋2i ，则复数z 的模为22＋（2）2＝ 6.8．i 是虚数单位，复数z ＝a ＋i(a ∈R )满足z 2＋z ＝1－3i ，则|z |＝( ) A.2或 5 B ．2或5 C. 5D ．5解析：选 C.依题意，得z 2＋z ＝(a ＋i)2＋a ＋i ＝a 2－1＋a ＋(2a ＋1)i ＝1－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＋a ＝1，2a ＋1＝－3，解得a ＝－2， 所以|z |＝|－2＋i|＝（－2）2＋12＝ 5.9．复数cos π3＋isin π3经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n 的值等于( )A ．3B ．12C ．6k －1(k ∈Z )D ．6k ＋1(k ∈Z )解析：选C.由题意，得⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3n＝cos n π3＋isin n π3＝cos π3－isin π3由复数相等的定义，得⎩⎨⎧cos n π3＝cos π3＝12，sin n π3＝－sin π3＝－32.解得n π3＝2k π－π3，(k ∈Z )，所以n ＝6k －1(k ∈Z )．故选C.10．已知复数z 1的实部为2，复数z 2的虚部为－1，且z 1z 2为纯虚数，z 1·z 2为实数，若z 1＋z 2对应的点不在第一象限，则z 1－z 2对应的点在( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限解析：选D.设z 1＝2＋b i ，z 2＝a －i ，a ，b ∈R ，则z 1z 2＝2＋b i a －i ＝2a －b ＋（2＋ab ）ia 2＋1为纯虚数，所以2a －b ＝0且2＋ab ≠0.因为z 1·z 2＝(2＋b i)(a －i)＝(2a ＋b )＋(ab －2)i 为实数，所以ab ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，ab ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.又z 1＋z 2＝(2＋a )＋(b －1)i 对应的点不在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2不符合，于是z 1－z 2＝(2－a )＋(b ＋1)i ＝3－i 对应的点在第四象限．11．已知z 1与z 2是共轭复数，有4个命题：①z 21<|z 2|2；②z 1z 2＝|z 1z 2|；③z 1＋z 2∈R ；④z 1z 2∈R .其中一定正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①②③解析：选B.z 1与z 2是共轭复数，设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i(a ，b ∈R ，b ≠0)．①z 21＝a 2－b2＋2ab i ，|z 2|2＝a 2＋b 2，虚数不能比较大小，因此不正确；②z 1z 2＝|z 1z 2|＝a 2＋b 2，正确； ③z 1＋z 2＝2a ∈R ，正确；④z 1z 2＝a ＋b i a －b i ＝（a ＋b i ）2（a －b i ）（a ＋b i ）＝a 2－b 2a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2i 不一定是实数，因此不一定正确，故选B.12．已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z ＝( ) A ．－2－2i B ．2＋2i C ．－2＋2iD ．2－2i解析：选D.因为x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，所以b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0，即b 2＋4b ＋4＋(a ＋b )i ＝0.根据复数相等的充要条件，得b 2＋4b ＋4＝0且a ＋b ＝0，解得a ＝2，b ＝－2.故复数z ＝2－2i ，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．复数2＋i1＋i的共轭复数是________．解析：2＋i 1＋i ＝（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3－i 2＝32－12i ，其共轭复数为32＋12i.答案：32＋12i14．已知z 1＝32⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6，z 2＝2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3，则z 1z 2的代数形式为________．解析：z 1z 2＝32⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6×2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3＝32×2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π6＋π3＋isin ⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝3⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2＝3i.答案：3i15．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹为________． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， |x ＋1＋y i|＝（x ＋1）2＋y 2，|1＋i z |＝|1＋i(x ＋y i)|＝（y －1）2＋x 2， 则（x ＋1）2＋y 2＝（y －1）2＋x 2.所以复数z ＝x ＋y i 对应点(x ，y )的轨迹为到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线． 答案：到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线16．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．解析：|z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3.如图所示，⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝ 3.答案： 3三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是： (1)是实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. (1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或2， 即m ＝1或2时，z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0得m ≠1且m ≠2， 即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数．18．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i（2＋i ）2，求：(1)z 1z 2；(2)z 1z 2.解：因为z 2＝15－5i （2＋i ）2＝15－5i 3＋4i ＝（15－5i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25－75i25＝1－3i. (1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝（2－3i ）（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ）＝11＋3i 10＝1110＋310i. 19．(本小题满分12分)已知复数z 1＝－2＋i ，z 1z 2＝－5＋5i(其中i 为虚数单位)． (1)求复数z 2；(2)若复数z 3＝(3－z 2)[(m 2－2m －3)＋(m －1)i]在复平面内所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．解：(1)因为z 1z 2＝－5＋5i ， 所以z 2＝－5＋5i z 1＝－5＋5i －2＋i ＝3－i.(2)z 3＝(3－z 2)[(m 2－2m －3)＋(m －1)i] ＝i[(m 2－2m －3)＋(m －1)i] ＝－(m －1)＋(m 2－2m －3)i ，因为z 3在复平面内所对应的点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（m －1）>0，m 2－2m －3<0，解得－1<m <1，故实数m 的取值范围是(－1，1)．20．(本小题满分12分)设z －为复数z 的共轭复数，满足|z －z －|＝2 3. (1)若z 为纯虚数，求z ； (2)若z －z －2为实数，求|z |.解：(1)设z ＝b i(b ∈R )，则z －＝－b i ， 因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，所以b ＝±3，所以z ＝±3i.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ， 因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，z －z －2＝a ＋b i －(a －b i)2＝a －a 2＋b 2＋(b ＋2ab )i. 因为z －z －2为实数，所以b ＋2ab ＝0， 因为|b |＝3，所以a ＝－12，所以|z |＝⎝⎛⎭⎫－122＋（±3）2＝132. 21．(本小题满分12分)满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的辐角的主值是3π4的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，说明理由．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋5aa 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i ，因为z ＋5z ∈R ，所以b －5ba 2＋b 2＝0，因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5，又z ＋3＝a ＋3＋b i 的辐角的主值为3π4，所以a ＋3＝－b .把a ＋3＝－b 与a 2＋b 2＝5联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i ，此时z ＋3＝2－2i 或z ＋3＝1－i 的辐角的主值均为7π4.所以满足条件的虚数z 不存在．22．(本小题满分12分)复数z ＝⎝⎛⎭⎫12－32i 2是一元二次方程mx 2＋nx ＋1＝0(m ，n ∈R )的一个根．(1)求m 和n 的值；(2)若(m ＋n i)u －＋u ＝z (u ∈C )，求u . 解：(1)因为z ＝⎝⎛⎭⎫12－32i 2＝－12－32i ， 所以z －＝－12＋32i ，由题意，知z ，z －是一元二次方程mx 2＋nx ＋1＝0(m ，n ∈R )的两个根，所以⎩⎨⎧－n m ＝⎝⎛⎭⎫－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－12＋32i ，1m ＝⎝⎛⎭⎫－12－32i ⎝⎛⎭⎫－12＋32i ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝1.(2)设u ＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则(1＋i)(c －d i)＋(c ＋d i)＝－12－32i ，即2c ＋d ＋c i ＝－12－32i ，所以⎩⎨⎧2c ＋d ＝－12，c ＝－32，解得⎩⎨⎧c ＝－32，d ＝－12＋3，所以u ＝－32＋⎝⎛⎭⎫3－12i.第八章 立体几何初步 章末检测（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.空间中有三条线段AB ，BC ，CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是（ ）A.平行B.异面C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能 解析：选D.如图可知AB ，CD 有相交，平行，异面三种情况， 故选D.2.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这个平面图形的面积为（ ）A.14＋24 B.2＋22C.14＋22D.12＋ 2 解析：选 B.将直观图 ABCD 还原后为直角梯形 A ′BCD ′，其中 A ′B ＝2AB ＝2，BC ＝1＋22， A ′D ′＝AD ＝1.所以平面图形的面积 S ＝12×（1＋1＋22）×2＝2＋22.3.对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得（ ） A.a ⊂α，b ⊂α B.a ⊂α，b ∥α C.a ⊥α，b ⊥αD.a ⊂α，b ⊥α解析：选B.因为已知两条不相交的空间直线a 和b ，所以可以在直线a 上任取一点A ，则A ∉b ，过A 作直线c ∥b ，则过直线a ，c 必存在平面α且使得a ⊂α，b ∥α.4.正方体的表面积与其外接球的表面积的比为（ ） A.3∶π B.2∶π C.1∶2πD.1∶3π解析：选B.设正方体的棱长为a ，则球的直径为2R ＝3a ，所以R ＝32a .正方体的表面积为6a 2.球的表面积为4πR 2＝4π·⎝⎛⎭⎫32a 2＝3πa 2，所以它们的表面积之比为6a 2∶3πa 2＝2∶π.5.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1ABCD 的体积与长方体的体积的比值为（ ）A.12B.16C.13D.15解析：选C.设长方体过同一顶点的棱长分别为a ，b ，c ，则长方体的体积为V 1＝abc ，四棱锥A 1ABCD 的体积为V 2＝13abc ，所以棱锥A 1ABCD 的体积与长方体的体积的比值为13.6.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点Q 是棱DD 1上的动点，则过A ，Q ，B 1三点的截面图形是（ ）A.等边三角形B.矩形C.等腰梯形D.以上都有可能解析：选D.当点Q 与点D 1重合时，截面图形为等边三角形AB 1D 1，如图（1）；当点Q 与点D 重合时，截面图形为矩形AB 1C 1D ，如图（2）；当点Q 不与点D ，D 1重合时，令Q ，R 分别为DD 1，C 1D 1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB 1，如图（3）.故选D.7.给出下列命题：①过平面外一直线有且仅有一个平面和这个平面平行；②如果一个平面经过另一个平面的斜线，那么这两个平面不可能垂直； ③若直角三角形ABC 在平面α内的射影仍是直角三角形，则平面ABC ∥平面α. 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2D.3解析：选A.对于①，平面外的直线有两类，其一是与平面相交的直线，其二是与平面平行的直线，显然①不正确；对于②，容易判断②是错误的；对于③，平面ABC 与平面α也有可能相交，因此③不正确.故选A.8.如图，在三棱锥D -ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A.平面ABC ⊥平面ABDB.平面ABD ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED.平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE解析：选C.因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC .同理，DE ⊥AC ，又DE ∩BE＝E ，于是AC ⊥平面BDE .又AC ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ADC ，所以平面ABC ⊥平面BDE ，平面ADC ⊥平面BDE .故选C.9.若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是（ ）A.l 1⊥l 4B.l 1∥l 4C.l 1与l 4既不垂直也不平行D.l 1与l 4的位置关系不确定解析：选D.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA ，若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若l 4＝DC 1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.10.在等腰Rt △A ′BC 中，A ′B ＝BC ＝1，M 为A ′C 的中点，沿BM 把它折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C -BM -A 的大小为（ ）A.30°B.60°C.90°D.120°解析：选C.如图所示，由A ′B ＝BC ＝1，∠A ′BC ＝90°，得A ′C ＝2.因为M 为A ′C 的中点，所以MC ＝AM ＝22.且CM ⊥BM ，AM ⊥BM ，所以∠CMA 为二面角C -BM -A 的平面角.因为AC ＝1，MC ＝AM ＝22，所以∠CMA ＝90°.11.如图，已知六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是（ ）A.PB ⊥ADB.平面P AB ⊥平面PBCC.直线BC ∥平面P AED.直线PD 与平面ABC 所成的角为45°解析：选D.选项A ，B ，C 显然错误.因为P A ⊥平面ABC ，所以∠PDA 是直线PD 与平面ABC 所成的角.因为ABCDEF 是正六边形，所以AD ＝2AB .因为tan ∠PDA ＝P A AD ＝2AB2AB ＝1，所以直线PD 与平面ABC 所成的角为45°.故选D.12.已知四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4＋43，则球O 的体积等于（ ）A.423πB.823πC.1623πD.3223π解析：选B.由题意可知四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可知底面正方形的对角线长度的一半为球的半径r ，且四棱锥的高h ＝r ，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为2r 的正三角形，底面为边长为2r 的正方形，所以该四棱锥的表面积为S ＝4×34（2r ）2＋（2r ）2＝23r 2＋2r 2＝（23＋2）r 2＝4＋43，因此r 2＝2，r ＝2，所以球O 的体积V ＝43πr 3＝43π×22＝82π3，故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.如果用半径R ＝23的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是 Ｗ.解析：设圆锥筒的底面半径为r ，则2πr ＝πR ＝23π，则r ＝3，所以圆锥筒的高h ＝R 2－r 2＝（23）2－（3）2＝3. 答案：314.已知a ，b 表示不同的直线，α，β，γ表示不重合的平面. ①若α∩β＝a ，b ⊂α，a ⊥b ，则α⊥β；②若a ⊂α，a 垂直于β内任意一条直线，则α⊥β； ③若α⊥β，α∩β＝a ，α∩γ＝b ，则a ⊥b ； ④若a ⊥α，b ⊥β，a ∥b ，则α∥β. 上述命题中，正确命题的序号是 Ｗ.解析：对①可举反例，如图，需b ⊥β才能推出α⊥β；对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可知a ，b 不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确.答案：②④15.已知直二面角α-l -β，A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足.若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离为 Ｗ.解析：如图，作DE ⊥BC 于点E ，由α-l -β为直二面角，AC ⊥l ，得AC ⊥β，进而AC ⊥DE ，又BC ⊥DE ，BC ∩AC ＝C ，于是DE ⊥平面ABC ，故DE 为D 到平面ABC 的距离.在Rt △BCD 中，利用等面积法得DE ＝BD ·DC BC ＝1×23＝63. 答案：6316.如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱P A，PB的中点，有下列结论：①PC∥平面OMN；②平面PCD∥平面OMN；③OM⊥P A；④直线PD与直线MN所成角的大小为90°.其中正确结论的序号是Ｗ.解析：连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确.同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确.由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝P A2＋PC2＝AC2，所以PC⊥P A，又PC∥OM，所以OM⊥P A，结论③正确.由于M，N分别为侧棱P A，PB 的中点，所以MN∥AB.又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以直线PD与直线MN 所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即为∠PDC.又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，故④错误.答案：①②③三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.（1）求证：BD⊥PC；（2）若平面PBC与平面P AD的交线为l，求证：BC∥l.证明：（1）连接AC，交BD于点O，连接PO.因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又因为PB＝PD，O为BD的中点，所以BD⊥PO.因为PO∩AC＝O，所以BD⊥平面P AC，因为PC⊂平面P AC，所以BD⊥PC.（2）因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.因为BC⊄平面P AD，AD⊂平面P AD.所以BC∥平面P AD.又因为BC⊂平面PBC，平面PBC与平面P AD的交线为l.所以BC∥l.18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥平面P AC，∠APC＝90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N在PB上，且PB＝4PN.（1）求证：平面PCE⊥平面P AB；（2）求证：MN∥平面P AC.证明：（1）因为AB⊥平面P AC，所以AB⊥PC.又∠APC＝90°，所以AP⊥PC，又AB∩AP＝A，所以PC⊥平面P AB.又PC⊂平面PCE，所以平面PCE⊥平面P AB.（2）取AE的中点Q，连接QN，QM，在△AEC中，因为M是CE的中点，所以QM∥AC.又PB＝4PN，AB＝4AQ，所以QN∥AP，又QM∩QN＝Q，AC∩AP＝A，所以平面QMN∥平面P AC.又MN⊂平面QMN，所以MN∥平面P AC.19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点.（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C-A1DE的体积.解：（1）证明：连接AC交A1C于点F，连接DF，则F为AC1的中点.又D是AB中点，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.（2）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.因为AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面ABB1A1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2， 即DE ⊥A 1D .所以V 三棱锥C -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，N 是PB 的中点，E 为AD 的中点，过A ，D ，N 的平面交PC 于点M .求证：（1）EN ∥平面PDC ； （2）BC ⊥平面PEB ； （3）平面PBC ⊥平面ADMN .证明：（1）因为AD ∥BC ，BC ⊂平面PBC ， AD ⊄平面PBC ， 所以AD ∥平面PBC .又平面ADMN ∩平面PBC ＝MN ， 所以AD ∥MN . 又因为AD ∥BC ， 所以MN ∥BC .又因为N 为PB 的中点， 所以M 为PC 的中点， 所以MN ＝12BC .因为E 为AD 的中点， DE ＝12AD ＝12BC ＝MN ，所以DE ═∥MN ， 所以四边形DENM 为平行四边形， 所以EN ∥DM .又因为EN ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， 所以EN ∥平面PDC .（2）因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠BAD ＝60°，E 为AD 的中点， 所以BE ⊥AD .又因为PE ⊥AD ，PE ∩BE ＝E ， 所以AD ⊥平面PEB . 因为AD ∥BC ， 所以BC ⊥平面PEB . （3）由（2）知AD ⊥PB .又因为P A ＝AB ，且N 为PB 的中点， 所以AN ⊥PB . 因为AD ∩AN ＝A ， 所以PB ⊥平面ADMN . 又因为PB ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面ADMN .21.（本小题满分12分）如图（1），在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将△ABE 沿BE 折起到图（2）中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1BCDE .（1）求证：CD ⊥平面A 1OC ；（2）当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值. 解：（1）证明：在题图（1）中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝90°，所以BE ⊥AC ，BC ＝ED ，即在题图（2）中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC . 又BC ═∥ED ，所以四边形BCDE 是平行四边形， 所以CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .（2）由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，即A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高.由题图（1），可知A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1BCDE 的体积V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3.由26a 3＝362，得a ＝6.22.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点.AB＝BC，AC＝2，AA1＝ 2.（1）求证：B1C∥平面A1BM；（2）求证：AC1⊥平面A1BM；（3）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时BNBB1的值；如果不存在，请说明理由.解：（1）证明：连接AB1交A1B于O，连接OM.如图所示.在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，所以OM∥B1C.又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM.（2）证明：因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM.因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC.又AA1∩AC＝A，所以BM⊥平面ACC1A1，所以BM⊥AC1.因为M为棱AC的中点，AC＝2，所以AM＝1.又AA1＝2，所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝2，所以∠AC1C＝∠A1MA，所以∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，所以A1M⊥AC1.因为BM∩A1M＝M，所以AC 1⊥平面A 1BM .（3）存在点N ，且当点N 为BB 1的中点， 即BN BB 1＝12时，平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C . 设AC 1的中点为D ，连接DM ，DN .如图所示. 因为D ，M 分别为AC 1，AC 的中点， 所以DM ∥CC 1，且DM ＝12CC 1.又N 为BB 1的中点，所以DM ∥BN ，且DM ＝BN ， 所以四边形DMBN 是平行四边形， 所以BM ∥DN .因为BM ⊥平面ACC 1A 1， 所以DN ⊥平面ACC 1A 1. 又DN ⊂平面AC 1N ，所以平面AC 1N ⊥平面ACC 1A 1.第九章 统计 章末检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，其产量之比为2∶3∶4，为检验该公司的产品质量，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n ＝( )A ．96B ．72C ．48D ．36解析：选B.由题意得39n －29n ＝8，所以n ＝72.故选B.2．从某一总体中抽取一个个体数为200的样本，得到分组与频数如下：[10，15)，6；[15，20)，8；[20，25)，13；[25，30)，35；[30，35)，46；[35，40)，34；[40，45)，28；[45，50)，15；[50，55)，10；[55，60]，5.则样本在[35，60]上的频率是( )A ．0.69B ．0.46C ．1D ．不存在解析：选B.由题可知，样本在[35，60]上的频率应为(34＋28＋15＋10＋5)÷200＝0.46.3．2019年高考某题的得分情况如下：其中众数是(A．37.0% B．20.2%C．0分D．4分解析：选C.因为众数出现的频率最大．4．如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过21%的为()A．网易与搜狗的访问量所占比例之和B．腾讯和百度的访问量所占比例之和C．淘宝与论坛的访问量所占比例之和D．新浪与小说的访问量所占比例之和解析：选A.本题考查扇形统计图中部分占总体的百分比的大小．由访问网站的扇形比例图得，网易与搜狗的访问量所占比例之和为18%，不超过21%；腾讯和百度的访问量所占比例之和为23%，超过21%；淘宝与论坛的访问量所占比例之和为22%，超过21%；新浪与小说的访问量所占比例之和为22%，超过21%.故选A.5．(2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位：千克)作了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图如图所示，则这30只宠物狗体重(单位：千克)的平均值大约为()A．15.5 B．15.6C．15.7 D．16解析：选B.由频率分布直方图可以计算出各组频率分别为0.1，0.2，0.25，0.25，0.15，0.05，频数分别为3，6，7.5，7.5，4.5，1.5，所以平均值为11×3＋13×6＋15×7.5＋17×7.5＋19×4.5＋21×1.530＝15.6.故选B.6．若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为s 2，则3x 1＋5，3x 2＋5，…，3x n ＋5的平均数和标准差分别为( )A.x －，s B ．3x －＋5，sC ．3x －＋5，3sD ．3x －＋5，9s 2＋30s ＋25解析：选C.因为x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －， 所以3x 1＋5，3x 2＋5，…，3x n ＋5的平均数为3x －＋5， s ′2＝1n [(3x 1＋5－3x －－5)2＋…＋(3x n ＋5－3x －－5)2]＝1n ×32[(x 1－x －)2＋…＋(x n －x －)2]＝9s 2. 所以s ′＝3s .7．某地区某村前三年的经济收入分别为100，200，300万元，其统计数据的中位数为x ，平均数为y ，经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这四年里收入的统计数据中，下列说法正确的是( )A ．中位数为x ，平均数为1.5yB ．中位数为1.25x ，平均数为yC ．中位数为1.25x ，平均数为1.5yD ．中位数为1.5x ，平均数为2y解析：选C.依题意，前三年经济收入的中位数x ＝200，平均数y ＝100＋200＋3003＝200，第四年收入为600万元，故这四年经济收入的中位数为200＋3002＝250＝1.25x ，平均数为100＋200＋300＋6004＝300＝1.5y .故选C.8．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是( )①甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值； ②甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值； ③乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平； ④甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值． A ．①② B ．①③ C ．②③D ．②④解析：选B.对于①，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，故①正确；对于②，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，故②错误；对于③，甲的六维能力指标值的平均值为16×(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝236，乙的六维能力指标值的平均值为16×(5＋4＋3＋5＋4＋3)＝4，236<4，故③正确；对于④，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故④错误．所以正确为①③，故选B.9．在一次20千米的汽车拉力赛中，50名参赛选手的成绩全部介于13分钟到18分钟之间，将其比赛成绩分为五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18]，其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13，15)之间的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为( )A ．39B ．35C ．15D ．11解析：选D.由频率分布直方图知，成绩在[13，15)内的频率为1－0.38－0.32－0.08＝0.22，所以成绩在[13，15)内的人数为50×0.22＝11，所以获奖的人数为11.故选D.10．小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()A．1% B．2%C．3% D．5%解析：选C.由图1所示，食品开支占总开支的30%.由图2所示，鸡蛋开支占食品开支的3030＋40＋100＋80＋50＝110，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×110＝3%.故选C.11．设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确的结论是()A．甲批次的总体平均数与标准值更接近B．乙批次的总体平均数与标准值更接近C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定解析：选A.计算可得甲批次样本的平均数为0.617，乙批次样本的平均数为0.613，由此估计两个批次的总体平均数分别为0.617，0.613，则甲批次的总体平均数与标准值更接近．故选A.12．对“小康县”的经济评价标准：①年人均收入不小于7 000元；②年人均食品支出不大于收入的35%.某县有40万人，调查数据如下：则该县( ) A ．是小康县B ．达到标准①，未达到标准②，不是小康县C ．达到标准②，未达到标准①，不是小康县D ．两个标准都未达到，不是小康县解析：选B.由图表可知：年人均收入为7 050＞7 000，达到了标准①；年人均食品支出为2 695，而年人均食品支出占收入的2 6957 050×100%≈38.2%＞35%，未达到标准②，所以不是小康县．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a 的值为________．解析：由题意知，1245＋15＝30120＋a ，解得a ＝30.答案：3014．数据148，149，154，154，155，155，157，157，158，159，161，161，162，163的第25百分位数为________，第75百分位数为________．解析：因为14×25%＝3.5，14×75%＝10.5，所以第25百分位数为第4个数据154，第75百分位数为第11个数据161.答案：154 16115．一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x ，5，10，其中x ≠5，已知该组数据的中位数是众数的32倍，则该组数据的标准差为________．解析：由题意，可得该组数据的众数为2，所以2＋x 2＝32×2＝3，解得x ＝4，故该组数据的平均数为1＋2＋2＋4＋5＋106＝4.所以该组数据的方差为16×[(1－4)2＋(2－4)2＋(2－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9，即标准差为3.答案：316．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试的平均分为________．解析：在频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1，设[70，80)的小长方形面积为x ，则(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x ＝1， 解得x ＝0.3， 即该组频率为0.3，所以本次考试的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.答案：71三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)某校高三年级在5月份进行了一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：其中文科考生抽取了2名．(1)求z 的值；(2)若不低于550分的6名文科考生的语文成绩分别为111，120，125，128，132，134.计。
第1章 原子结构与元素性质 检测题-高二下学期化学鲁科版(2019)选择性必修2
第1章《原子结构与元素性质》检测题一、单选题1．下列图示或化学用语表达不正确的是A．过氧化氢的空间填充模型：B．中子数为20的氯原子：37Cl17Cr原子的价层电子轨道表示式：C．基态24D．次氯酸的结构式：H—O—Cl2．已知a、b、c、d 四种短周期主族元素，在周期表中相对位置如图，已知化合物中的b 元素不存在正价，下列说法正确的是A．a、c 两种元素形成的化合物中可能存在离子键B．元素对应形成的简单离子半径大小顺序为：d>c>a>bC．b 单质的电子式为：b××bD．c、d 两种元素气态氢化物的稳定性比较：d >c3．短周期元素R、X、Y、Z、M原子序数依次递增，原子最外层电子数存在关系：3Z+M=X+Y，其中元素R、X、Y、M形成的化合物(结构式)具有如图所示转化关系。
下列说法正确的是>>>A．原子半径：Z Y X RB．M在同周期的元素中，第一电离能最大C．R、X、Y形成的化合物可能会使酸性高锰酸钾溶液褪色4．用化学用语表示222242COS 4H O CO H SO H d 3O P +++硫酸中的相关微粒，其中正确的是A ．中子数56，质量数102的Pd 原子：10256PdB ．COS 的结构式：O=C=SC ．硫原子核外电子排布式：226261s 2s 2p 3s 3pD ．22H O 的电子式：5．某核素核外共有 15 个不同运动状态的电子，以下说法正确的A ．若将该原子的电子排布式写成 1s 22s 22p 63s 23p 2x 3p 1y ，它违背了泡利原理 B ．原子中所有的电子占有 3 个能级，9 个轨道 C ．该元素的最高价氧化物的水化物为两性氢氧化物 D ．基态原子中能量最高的电子的电子云的形状为哑铃形 6．四种元素的基态原子的电子排布式如下：下列说法中正确的是 ①1s 22s 22p 63s 23p 4；①1s 22s 22p 63s 23p 3；①1s 22s 22p 3；①1s 22s 22p 5。
2019版人教A版选择性必修二模块综合检测卷二
模块综合检测(二)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知函数f (x )＝e 2x ＋1，则f ′(0)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2C 解析：∵f (x )＝e 2x ＋1，∴f ′(x )＝2e 2x ＋1，∴f ′(0)＝2e.故选C ．2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝36，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为( ) A ．27 B ．30 C ．33D ．36B 解析：因为a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝36，所以a 4＝12.因为a 2＋a 5＋a 8＝33，所以a 5＝11.所以d ＝a 5－a 4＝－1，所以a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝3(a 5＋d )＝30.故选B ．3．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项为2，则a ＋1b ＋b ＋1a 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．42C 解析：∵a ＋1b ＋b ＋1a ＝(a ＋b )＋a ＋b ab ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab ＝54(a ＋b )≥54·2ab ＝5，等号成立当且仅当a ＝b ＝2，原式的最小值为5.4．函数y ＝x －12x ＋1在(1,0)处的切线与直线l ：y ＝ax 垂直，则a ＝( )A ．－3B ．3C ．13D ．－13A 解析：∵y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫x －12x ＋1′＝3(2x ＋1)2，∴y ′|x ＝1＝13，∴函数在(1,0)处的切线的斜率是13，所以，与此切线垂直的直线的斜率是－3，∴a ＝－3.故选A ． 5．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 37－S 23＝a ，则S 60＝( ) A ．4a B ．307aC ．5aD ．407aB 解析：因为S 37－S 23＝a 24＋a 25＋…＋a 37＝a 24＋a 372×14＝7(a 24＋a 37)＝a .所以S 60＝a 1＋a 602×60＝30(a 24＋a 37)＝307a .故选B ．6．函数f (x )＝(x 2＋2x )e 2x 的图象大致是( )A 解析：由于f ′(x )＝2(x 2＋3x ＋1)·e 2x ，而y ＝x 2＋3x ＋1的判别式Δ＝9－4＝5>0，所以y ＝x 2＋3x ＋1开口向上且有两个根x 1，x 2.不妨设x 1<x 2，所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上递增，在(x 1，x 2)上递减．所以C ，D 选项不正确．当x <－2时，f (x )>0，所以B 选项不正确．由此得出A 选项正确．故选A ．7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为( ) A ．一尺五寸 B ．二尺五寸 C ．三尺五寸D ．四尺五寸B 解析：由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{a n }，S n 是其前n 项和，则S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝85.5，所以a 5＝9.5，由题知a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝31.5， 所以a 4＝10.5，所以公差d ＝a 5－a 4＝－1. 所以a 12＝a 5＋7d ＝2.5尺．故选B ．8．已知函数f (x )＝x 3－x 和点P (1，－1)，则过点P 与该函数图象相切的直线条数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4B 解析：因为f (1)＝13－1＝0，所以点P (1，－1)没有在函数的图象上．设切点坐标为(x 0，y 0) ，则y 0＝x 30－x 0，则f ′(x )＝3x 2－1.由导数的几何意义可知，过切点的斜率为k ＝3x 20－1， 过P (1，－1)和切点的斜率表示为k ＝y 0＋1x 0－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 30－x 0，y 0＋1x 0－1＝3x 20－1，化简可得x 20(2x 0－3)＝0， 所以x 0＝0或x 0＝32.所以切点有两个，因而有两条切线方程．故选B ．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －2，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝64，则( ) A ．数列{a n }为等差数列 B ．数列{a n }为等比数列C ．a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4n －13D ．m ＋n 为定值BD 解析：由题意，当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，所以S n －S n －1＝a n ＝2a n －2－(2a n －1－2)＝2a n －2a n －1，所以a na n －1＝2，数列{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，a n ＝2n ，故选项A 错误，选项B 正确；数列{a 2n }是以a 21＝4为首项，q 1＝4为公比的等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 21(1－q n 1)1－q 1＝4×(1－4n )1－4＝4n ＋1－43，故选项C 错误；a m a n ＝2m 2n ＝2m ＋n ＝64＝26，所以m ＋n ＝6为定值，故选项D 正确．故选BD ．10．若函数e x f (x )(e ＝2.718 2…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数为( ) A ．f (x )＝2－x B ．f (x )＝3－x C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝x 2＋2AD 解析：对于选项A ，f (x )＝2－x ，则g (x )＝e x f (x )＝e x ·2－x ＝⎝⎛⎭⎫e 2x 为实数集上的增函数；对于选项B ，f (x )＝3－x ，则g (x )＝e x f (x )＝e x ·3－x ＝⎝⎛⎭⎫e 3x 为实数集上的减函数；对于选项C ，f (x )＝x 3，则g (x )＝e x f (x )＝e x ·x 3，g ′(x )＝e x ·x 3＋3e x ·x 2＝e x (x 3＋3x 2)＝e x ·x 2(x ＋3)，当x ＜－3时，g ′(x )＜0，∴g (x )＝e x f (x )在定义域R 上先减后增；对于选项D ，f (x )＝x 2＋2，则g (x )＝e x f (x )＝e x (x 2＋2)，g ′(x )＝e x (x 2＋2)＋2x e x ＝e x (x 2＋2x ＋2)＞0在实数集R 上恒成立，∴g (x )＝e x f (x )在定义域R 上是增函数．故选AD ．11．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 6a 7>1，a 6－1a 7－1<0，则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 6a 8>1C ．S n 的最大值为S 7D ．T n 的最大值为T 6AD 解析：易知q >0，若q >1，则a 6>1，a 7>1，与a 6－1a 7－1>0矛盾，故0<q <1.所以0<a 7<1.所以a 6a 8＝a 27<1.因为a 7>0，a 8>0，所以S n 的最大值一定不为S 7.因为0<a 7<1，a 6>1，所以T n的最大值为T 6，故选AD ．12．设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论正确的是( )A ．xf (x )在(1，＋∞)单调递增B ．xf (x )在(0,1)单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12ABD 解析：由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x 得x ＞0， 则xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，由[xf (x )]′＝ln xx .设g (x )＝xf (x )，即g ′(x )＝ln xx>0得x ＞1.由g ′(x )＜0得0＜x ＜1，即xf (x )在(1，＋∞)单调递增，在(0,1)单调递减， 即当x ＝1时，函数g (x )＝xf (x )取得极小值g (1)＝f (1)＝12.故选ABD ．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，则其通项公式a n ＝________.12－n 解析：∵等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝8，a 8＝a 1＋7d ＝4，解得a 1＝11，d ＝－1， ∴a n ＝11＋(n －1)×(－1)＝12－n .14.已知正项等比数列{a n }满足a 1＝1，a 2a 6a 7＝116a 1a 9，则a n ＝________，数列{log 2a n }的前n 项和为________． 2－n ＋1－n (n －1)2 解析：由a 1＝1，a 2a 6a 7＝116a 1a 9得a 5＝a 1q 4＝116，q ＝12，a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1＝2－n ＋1.而log 2a n ＝－n ＋1，所以{log 2a n }的前n 项和为－n (n －1)2.15.函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间是________．(0,1] 解析：f (x )＝12x 2－ln x ，则f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x ＋1)(x －1)x≤0，故0<x ≤1.16.已知函数f (x )＝ln x ＋mx，若函数f (x )的极小值不小于0，则实数m 的取值范围为________．⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ 解析：由f (x )＝ln x ＋m x 得f ′(x )＝1x －m x 2＝x －m x 2，定义域为(0，＋∞)．当m ≤0时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增，函数无极值； 当m >0时，令f ′(x )＝0⇒x ＝m ，当x ∈(0，m )时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减； 当x ∈(m ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增． 所以当x ＝m 时，函数y ＝f (x )取极小值，且为f (m )＝ln m ＋1. 依题意有ln m ＋1≥0⇒m ≥1e ，因此，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞. 四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a 3，a 5分别是等差数列{b n }的第4项和第16项，求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n . 解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，所以a n ＝2n . (2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 4＝8，b 16＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋3d ＝8，b 1＋15d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，d ＝2.从而b n ＝2＋2(n －1)＝2n . 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝(2＋2n )n 2＝n 2＋n . 18.(12分)已知函数f (x )＝12x 2－3ln x .(1)求f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)试判断f (x )在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数． 解：(1)由已知得f ′(x )＝x －3x ，有f ′(1)＝－2，f (1)＝12，∴在(1，f (1))处的切线方程为y －12＝－2(x －1)，化简得4x ＋2y －5＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝(x －3)(x ＋3)x ，因为x >0，令f ′(x )＝0，得x ＝ 3.所以当x ∈(0，3)时，有f ′(x )<0，则(0，3)是函数f (x )的单调递减区间； 当x ∈(3，＋∞)时，有f ′(x )>0，则(3，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间； 当x ∈(1，e)时，函数f (x )在(1，3)上单调递减，在(3，e)上单调递增． 又因为f (1)＝12，f (e)＝12e 2－3>0，f (3)＝32(1－ln 3)<0，所以f (x )在区间(1，e)上有两个零点.19.(12分)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且a 3＝2，S 9＝54.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.(1)解：设数列{a n }的公差为d ，∵S 9＝9a 5＝54，∴a 5＝6，∴d ＝a 5－a 35－3＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －4. (2)证明：∵1a n ＋3＝12n －1>22n －1＋2n ＋1＝2n ＋1－2n －1， ∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>(3－1)＋(5－3)＋…＋(201－199)＝201－1>14－1＝13， ∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.20.(12分)设函数 f (x )＝e x －ax －1(a ∈R )．(1)若a ＝2，求函数f (x )在区间[0,2]上的最大值和最小值； (2)当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝e x －2x －1，取f ′(x )＝e x －2＝0，即x ＝ln 2， 函数在[0，ln 2]上单调递减，在(ln 2,2]上单调递增， 且f (0)＝0，f (2)＝e 2－5，f (ln 2)＝1－2ln 2，故函数的最大值为f (2)＝e 2－5，最小值为f (ln 2)＝1－2ln 2. (2)f (x )＝e x －ax －1，f ′(x )＝e x －a ，f (0)＝0.当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a >0，函数单调递增，故f (x )≥f (0)＝0，成立； 当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，即x ＝ln a ，故函数在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增， 故f (ln a )<f (0)＝0，不成立． 综上所述，a 的取值范围为(－∞，0].21.(12分)等差数列{a n }中，S 3＝21，S 6＝24，(1)求数列{a n }的前n 项和公式S n ； (2)求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解：(1)设{a n }首项为a 1，公差为d ， 由S 3＝21，S 6＝24， 得⎩⎨⎧3a 1＋3×22d ＝21，6a 1＋6×52d ＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2. ∴S n ＝n ×9＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋10n .(2)由(1)知，a n ＝9＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋11， 由a n ≥0得－2n ＋11≥0，即n ≤112.当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n ； 当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋…＋|a 5|＋|a 6|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 6＋…＋a n ) ＝S 5－(S n －S 5)＝n 2－10n ＋50.综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50(n ≥6).22.(12分)已知a ，b ∈R ，设函数f (x )＝e x －ax －b x 2＋1.(1)若b ＝0，求f (x )的单调区间；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )的最小值为0，求a ＋5b 的最大值．注：e ＝2.718 28…为自然对数的底数．解：(1)f (x )＝e x －ax ，f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，函数单调递增；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0，函数单调递减； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数单调递增．综上所述，a ≤0时，f (x )在R 上单调递增；a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)f (x )＝e x －ax －b x 2＋1≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立，f ⎝⎛⎭⎫12＝e －12a －52b ≥0，故a ＋5b ≤2e ，现在证明存在a ，b ，a ＋5b ＝2e ，使f (x )的最小值为0.取a ＝3e 4，b ＝5e 4(此时可使f ′⎝⎛⎭⎫12＝0)，f ′(x )＝e x －a －bx x 2＋1， f ″(x )＝e x－b (x 2＋1)x 2＋1，b ＝5e4<1， 故当x ∈[0，＋∞)时，(x 2＋1)x 2＋1≥1，e x ≥1，故f ″(x )≥0，f ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，f ′⎝⎛⎭⎫12＝0，故f (x )在⎣⎡⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增，故f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 综上所述，a ＋5b 的最大值为2 e.。
统编版(2019)高一必修下册第二单元 专项练 小题组合训练及解析
统编版（2019）高一必修下册第二单元专项练小题组合训练注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题每个人的心中都有一个舞台，心有多大，舞台就有多大。
也许，你只是理所当然地享受着父母的关爱，却从来就无心注意他们两鬓日益斑白的发丝；也许，你只是运用自己过人的智慧，将商场上的对手攻击得，甚至倾家荡产，而此时你会说“这就是竞争”，但你可曾想过，这会招来更多的“虎视眈眈”。
也许，你只是为了自己的一些而欺诈行骗，到头来，却喜滋滋地沉醉于苦心赚得的“战利品”上。
也许，在自己心的舞台上，你一直是一个独舞者。
宇宙由一个微小粒子爆炸开来，从此浩浩苍穹间出现了一个美丽的地球，人类出现、繁衍，从茹毛饮血的时代渐渐发展而来，形成了社会，拥有了文明。
（）然而，事物往往都有一个“度”，人总是生活在一个群体之中，如果眼中只有自己，而不给别人留下的话，那么，他将永远生活在“自我”之中，直至孤独地死去。
我们生活在人群中间，我们总希望得到别人的关爱，那么，就别做那个独舞者，看到自己的同时也看到别人吧。
凭栏回首，我们得到了什么付出了什么，赠与了什么收到了什么也无关紧要，即使心中装着他人，也可以无怨无悔了。
每个人的心中都有一个舞台，上面的舞蹈者，要看一看舞台有多大；而舞台有多大，就要看你的心有多大！1.依次填入文中横线处的成语，全部恰当的一项是A. 狼狈不堪蝇头小利众叛亲离立足之地B. 体无完肤蝇头小利分崩离析弹丸之地C. 狼狈不堪蜗角虚名分崩离析立足之地D. 体无完肤蜗角虚名众叛亲离弹丸之地2.下列在文中括号内补写的语句，最恰当的一项是A. 人的社会性，决定了他不可能心中只装着自己而不看到别人，他也会有私欲。
B. 人“个体”的本性，决定于他不可能心中不装着自己或只看到别人，他也会有私欲。
C. 人的社会性，决定了他不可能心中不装着自己而只看到别人，他也会有私欲。
D. 人“个体”的本性，决定了他不可能心中不装着自己而只看到别人，他也会有私欲。
高一数学必修第二册-2019(A版)-《平面向量的应用》高考达标练
《平面向量的应用》高考达标练一、选择题1.（2019·银川一中单元测试）点P 在平面上做匀速直线运动，速度(4,3)v =-（即点P 的运动方向与υ相同，且每秒移动的距离为||v 个单位）。
设开始时点P 的坐标为(10,10)-，则5s 后点P 的坐标为（ ）A.(2,4)-B.(30,25)-C.(10,5)-D.(5,10)-2.（2019·郑州九中模块检测）在直角梯形ABCD 中，//,,45AB CD AD AB B ︒⊥=，22,AB CD M ==为腰BC 的中点，则MA MD ⋅=（ ）A.1B.2C.3D.43.（2019·长春模拟）在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且a b >，则角B 的大小为（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π4.（2019·东北育才中学单元检测）在ABC △中，222a c b ab -+=，则角C 的大小为（ ）A.60°B.45°或135°C.120°D.30°5.（2019·大理一中单元检测）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，。
若120c b B ︒===，则a 等于（ ）B.2二、填空题6.（2019·合肥模拟）如图所示，两座相距60m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20m ，50m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角（视角）为___________。
7.（2018·合肥模拟）在ABC △中，75,45AB A B ︒︒===，则AC =_________。
8.（2018·海淀一模）在ABC △中，12a b ==，，1cos 4C =，则c =_______，sin A =________。
人教A版2019选择性必修第二册 精品复习卷 专题03数列与函数、不等式
专题03数列与函数、不等式（共38题）一、单选题 1．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(),nn S 在函数()22f x x x =+的图象上，则2021a =（ ）A ．2021B ．4041C ．4042D ．4043【答案】D 【解析】根据点(),n n S 在函数()22f x x x =+的图象上，得到22n S n n =+，再利用数列通项与前n 项和的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解.因为点(),n n S 在函数()22f x x x =+的图象上，所以22n S n n =+， 当1n =时，113a S ==，当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦，又13a =适合上式， 所以21n a n =+，所以20212202114043a =⨯+=， 故选：D 【点睛】方法点睛：1、数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是11,1,2nn n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示． 2．数列{}n a 满足性质：对于任意的正整数n ，212n nn a a a +++都成立，且11a =，2058a =，则a 10的最小值为（ ） A ．18 B ．20C ．28D ．58【答案】C 【解析】令1nn n d a a +=-，根据已知不等式可以判断出1n n d d +，根据1020,a a 之间的关系进行求解即可.令1n n n d a a +=-，由212n nn a a a +++得121n n n n a a a a +++--，即1n n d d +.又101129199a a d d d a d =+++++，()1020191810201010a a d d d a d =-+++-，即10199a a d -，10201010a ad --，10110209100910a a a a d d --∴+-， 即10101580910a a --+，1028a ∴. 故选：C. 【点睛】关键点睛：根据已知不等式的结构，构造新数列，利用累和法进行求解. 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n n n S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ）A ．52-B ．116C ．332D ．1【答案】C 【解析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭，设272n nn c -=，利用数列的单调性即可求解．解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n n n S S S n +-+=+≥，所以112nn n n n S S S S +--=+-， 故()122n n na a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121n n n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=，则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以()123122122222221n n n nSn n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--， 因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立，所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272nnn c -=，则111252792222n n n n n n n nc c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出n a 的通项；4．已知正项数列{}n a 满足110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2*11ln 2n n n a a a n N +-=∈，则（ ） A ．对任意的*n N ∈，都有01n a << B ．对任意的*n N ∈，都有10n n a a +≥> C ．存在*n N ∈，使得112n n a a +< D ．对任意的*n N ∈，都有112n n a a +≥【答案】D 【解析】特值法可以排除A 、B 选项，再令()()()ln 11f x x x x =+->-，可求出函数的单调性，从而可以得出212n n n a a a +≤，再根据累乘法可得112n na a +≥，由此得出答案．解：∵110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴可取112a e =， 则由()211ln 2nn n a a a +-=得22211ln ln 14a a e e-==-，∴22121ln 014a a a e=>⇒>>，故选项A ，B 错误； 令()()()ln 11f x x x x =+->-，则()1111x f x x x -'=-=++， 故()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，∴()()00f x f ≤=，即()ln 1x x ≤+，当且仅当0x =时等号成立，∴()()21111ln 2ln 21121nn n n n n n a a a a a a a +++-==+-≤-，即212n n n a a a +≤，∴112n n a a +≥，累乘可得11211112n n n n n n a a a a a a a a ++-⋅⋅⋅⋅=≥， ∴112n n a a +≥，故选项C 错误，选项D 正确． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列与不等式，解题的关键是构造函数()()()ln 11f x x x x =+->-，从而得到212n n n a a a +≤，进一步用累乘法可以得到112n na a +≥，考查了转化与化归思想，考查数学运算能力，属于中档题． 5．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，()()11n n n S nS n N *++<∈．若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S D ．n S 的最小值是7S【答案】D 【解析】由等差数列求和公式整理可得1n n a a +<，确定{}n a 为递增数列；根据871a a <-可判断数列前7项为负，由此得到结果.由()11n n n S nS ++<得：()()()()1111122n n n n a a n n a a +++++<，整理可得：1n n a a +<， ∴等差数列{}n a 为递增数列，又871a a <-，80a ∴>，70a <， ∴当7n ≤且n *∈N 时，0n a <；当8n ≥且n *∈N 时，0n a >；n S ∴有最小值，最小值为7S .故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列前n 项和的最值问题，解题关键是能够确定等差数列中由负变正或由正变负的项. 6．设数列{}n x 满足2*12,n n n x x x n +=-∈N ，且对于任意10x ≠，都存在正整数n 使得nx m ，则实数m 的最大值为（ ）A ．12- B C ．2 D ．3【答案】B 【解析】2()2f x x x =-，f =，f =，因此取112x +=，得m ≤，然后分类讨论证明对任意的10x ≠，存在*n N ∈，使得n x ≥．注意结合()f x 的性质．因为21(1)1n n x x +=--，2()(1)1f x x =--在[1,)+∞上递增，在(,1]-∞上递减．若112x+=，则2n x =2112n x -+=，因此m ≤，下证对任意的10x ≠，存在*n N ∈，使得12n x ≥．①112x ≥时，显然存在1n =，使得12n x +≥，②1x ≤2x f ==，存在2n =，使得n x ≥，1x ≤<时，21x -≤≤②知，存在3n =，使得n x ≥，④102x <<时，20x <<，由③知，存在4n =，使得n x ≥，⑤1302x -<<时，2222432322111111112(2)2(2)424x x x x x x x x x x x =-=---=-++，所以3231111424x x x x x =-++，令32()424g x x x x =-++，则2()382g x x x '=-+， 易知存在11(0,)2r ∈，2(2,3)r ∈，使得12()0,()0g r g r ==，1x r <时，()0g x '<，12r x r <<时，()0g x '>， 所以()g x 在1(0,)r 上递增，在11(,)2r 上递减，所以311min{(0),()}42x g g x ≥≥，314x x ≥，若31342x x >≥，则由③，存在5=，使得12n x +≥，若104x <<，则253144x x x ≥≥，…，依此类推，必定存在正整数k，使得12114k k x x --≥≥，12114k k x x ++≥≥综上所述，m的最大值是12．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的递推公式，解题方法是结合函数性质，取一个特殊的1x 求得m 的最大值，然后证明对任意的10x ≠，存在*n N ∈，使得12n x ≥．证明时根据函数的性质需要对1x 的取值分类讨论．7．若等差数列{}n a 满足22132a a +=，且11a ≥，求2312a aa a ++的取值范围（ ）A ．(1,1)-B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞【答案】B 【解析】设13a a θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，[,)θππ∈-，根据11a ≥求出θ的范围，利用等差中项的性质得到2a ，再利用同角公式可求得结果.设13a a θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，[,)θππ∈-，又∵11a ≥，1θ≥，即cos [2θ∈，∴,44ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴132cos 222a a a θθ+==+，∴23123sin cos 3tan 183sin 3cos tan 3tan 3a a a a θθθθθθθθθθ+++++====-++++，又∵,44ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以tan [1,1]θ∈-，所以83[1,1]tan 3θ-∈-+， ∴2312[1,1]a a a a +∈-+．故选：B 【点睛】关键点点睛：利用三角换元化为三角函数求解是解题关键. 8．已知数列{}n a 满足134n n a a ++=（1n ≥），且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（ ） A ．9 B ．8C ．6D ．7【答案】D 【解析】将等式134n n a a ++=变形得到11113n n a a +-=--，然后根据数列1n n b a =-为等比数列，求出n S 代入绝对值不等式求解即可得到答案．对134n n a a ++=（1n ≥）变形得：()()1311n n a a +-=--即：11113n n a a +-=--，故数列1n n b a =-是首项为8公比为13-的等比数列. ∴11183n n n b a -⎛⎫=-=⨯- ⎪⎝⎭，从而11813n n a -⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭，181********n n n S n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭.由11663125nn S n ⎛⎫--=-⨯-< ⎪⎝⎭，解得最小的正整数7n =，故选：D . 【点睛】关键点睛：本题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，解答本题的关键是将条件变形为11113n n a a +-=--，判断出数列{}1n a -为等比数列，属于中档题.9．数列{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且10a <，202020210a a +<，202020210a a ⋅<，则使0n S <成立的最大正整数n 是（ ） A ．2020 B ．2021C ．4040D ．4041【答案】C 【解析】分析出20200a <，20210a >，计算得出40410S >，40400S <，即可得解.设数列{}n a 的公差为d ，由10a <，202020210a a +<，202020210a a ⋅<，可知20200a <，20210a >，所以0d>，数列{}n a 为递增数列，()14041404120214041404102a a S a +==>，()()14044020200420102202020200S a a a a +=+<=，所以可知n 的最大值为4040． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题求满足0nS <的最大正整数n 的值，关键就是求出0n S <，10n S +>时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解. 10．已知数列{}n a 的前n 项和为()*n S n ∈N ，12a =，()1221n nn n S a +=-，记数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .若对于任意的*n ∈Ν，不等式2113|2|n n n n ta na T ++-≥-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．30,32⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】由已知递推关系先求{} n a 的通项公式，用错位相减法求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n T ，再变量分离不等式2113|2|n n n n ta na T ++-≥-，构造新数列，确定新数列的单调性进而求最值.由()1221n nn n S a +=-，得1112n n n S a +⎛⎫=-⎪⎝⎭， 当2n ≥时，11112n n n S a --⎛⎫=-⎪⎝⎭， 两式作差，得()111111,222n n n nn a a a n +-⎛⎫⎛⎫=---≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得()122n na n a +=≥，当1n =时， 112122S a a ==⨯=，24a =，212a a =， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列； 2nn a =，2n n n na ∴=， 212222n n n T =+++，2311122222n n n T +=+++， 错位相减得21111222221n n n nT +=+++-，222n nn T +=-， 所以()2121111432232|2|22n n n n n n n n n n ta n na n n t t T +++++--+≥⇔⋅⋅≥⇔≥-⋅-. 令()()142n n n f n +-=，则()()()226312n n f n f n +--+-=，故当15n ≤≤时，()()1f n f n +>，()f n 单调递增，且()5564f =，当6n ≥时，()()1f n f n +<，()f n 单调递减，()3632f =， ()max 332f n ∴=，于是由题意得332t ≥. 故选: C. 【点睛】方法点睛:确定数列问题中的参数取值范围（或最值），常通过变量分离，构造数列转化为求新数列的最值. 11．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令21n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．13λ≥ B ．15λ> C ．15λ≥ D ．0λ>【答案】A 【解析】根据1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =⋅，根据d =2，即可求得1a 的值，即可求得n a ，进而可得211111()(21)(23)42123n n n b a a n n n n +===--+-+，利用裂项相消法即可求得n T 的表达式，分析即可得答案.因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =⋅ 所以2141214()()[]2a a a a a ++=⋅，整理可得2111(22)2(26)a a a +=⋅+ 解得11a =，所以*12(1)21,n a n n n N =+-=-∈，所以211111()(21)(23)42123n n n b a a n n n n +===--+-+，所以1111111111(1+++)45375923212123n T n n n n =-+-+-⋅⋅⋅---+-+=11111111(1)()432123342123n n n n +--=-+++++， 因为对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立， 所以111()042123n n +>++，即13n T <，所以13λ≥. 故选：A 【点睛】解题的关键是熟练掌握等差数列、等比数列的性质，并灵活应用，易错点为：在利用裂项相消法求和时，需注意是相邻项相消还是间隔项相消，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.12．已知函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，当1x >时，()0f x >；对任意的,(0,)x y ∈+∞，()()()f x f y f x y +=⋅成立.若数列{}n a 满足1(1)a f =，且*1()(21)()n n f a f a n N +=+∈，则2020a 的值为（ ） A ．10091a -B ．10101a - C ．201921- D ．202021-【答案】C 【解析】由已知，令120x x <<，即211x x k =>有()0f k >，结合递推式有()()21f x f x >，即()f x 在(0,)+∞上单调增，进而求1a 且121n n a a +=+，利用构造法确定{}1n a +为等差数列并写出通项公式，即可求2020a .当1x >时，()0f x >，在(0,)+∞上任取两数12,x x ，且12x x <，令211x x k =>，则()0f k >． ()()()()2111()f x f kx f k f x f x ∴==+>，即()f x 在(0,)+∞上是单调增函数．令1x y ==，则(1)(1)(1)f f f +=，解得(1)0f =．而数列{}n a 满足1(1)0a f ==，()()121,N n n f a f a n *+=+∈，121n n a a +∴=+，则()1121n n a a ++=+，∴数列{}1n a +是公比为2，首项为1的等比数列，得：112n n a -+=，∴121n na -=-，故2019202021a =-.故选：C ． 【点睛】关键点点睛：首先应用已知条件判断函数的单调性，求1a ；再由121n n a a +=+，应用构造法求数列通项，进而求项.二、多选题13．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，112n n naa +=⋅，则（ ）A ．数列{}n a 是等比数列B ．1n n a a +≤恒成立C ．3n S <恒成立D ．2n S ≤恒成立【答案】BC 【解析】根据条件写出12112n n n a a +++=⋅，两式作比可得212n n a a +=，为隔项等比数列，由112n n na a +=⋅，代入1n =计算可得212a =，代入212n na a +=可求出通项公式，进而求出前n 项和公式，从而判断选项的正误.11211122n n n n n n a a a a ++++=⇒=⋅⋅，故212n n a a +=， 又11a =，故212a =， 故1221,2121,22n n nn k a n k -⎧⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎩，k *∈N ，所以A 错误，B 正确； 32213,212133,22n n nn k S n k-⎧⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎩，k *∈N ，所以C 正确，D 错误. 故选：BC. 【点睛】思路点睛：数列中出现1,n n a a +两项的和或积时，经常令1n +代替n 再写一项，两式做差或做商，从而找出隔项的关系，进而求出通项公式. 14．（多选题）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为nT，并满足条件1201920201,1a a a >>，20192020101a a -<-，下列结论正确的是（ ）A ．S 2019<S 2020B ．2019202110a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值【答案】AB 【解析】当0q <时，22019202020190a a a q =<，不成立；当1q ≥时，201920201,1a a ≥>，20192020101a a -<-不成立；故01q <<，且，进而可得结果.当0q <时，22019202020190a a a q =<，不成立；当1q ≥时，201920201,1a a ≥>，20192020101a a -<-不成立；故01q <<，且201920201,01a a ><<，故20202019S S >，A 正确；2201920212020110a a a -=-<，故B 正确；2019T 是数列{}n T 中的最大值，CD 错误；故选：AB15．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为nT，且满足11a >，202020211a a ⋅>，()()20202021110a a -⋅-<，则下列选项正确的是（ ）A ．01q <<B ．202020211S S +<C ．2020T 是数列{}n T 中的最大项D ．20211T >【答案】ACD 【解析】分析出01q <<，可得出数列{}n a 为正项递减数列，结合题意分析出正项数列{}n a 前2020项都大于1，而从第2021项起都小于1，进而可判断出各选项的正误.由()()20202021110a a -⋅-<可得20201a -与20211a -异号，2020202111a a >⎧⎨<⎩或2020202111a a <⎧⎨>⎩， 又11a >，且202020211a a ⋅>，可得2020a 与2021a 同号，即0q >，且一个大于1，一个小于1，若1q >，则111n n a a q-=>，不符合题意；若01q <<，则11a >，11n n a a q -=为递减数列，满足2021202001a a <<<，故A 正确； 对于B 选项，由于01q <<，数列{}n a 为正项递减数列，2021202001a a <<<，所以，2021202020211S S a -=<，故B 选项错误；对于C 选项，由上可知，正项数列{}n a 前2020项都大于1，而从第2021项起都小于1， 所以，2020T 是数列{}n T 中的最大值，故C 选项正确；对于D 选项，22021202120211011202120211111110121T a a q a q a q a q a ⨯=⨯⨯⨯⨯==>，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：在等比数列{}n a 的公比q 的取值不确定时，首先分析q 的符号，进一步确定q 的取值范围，解本题的关键就是结合已知条件分析出01q <<，并结合等比数列{}n a 的单调性来进行推导.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，22n n n S a a =+，著不等式()4111n n n S ka +≥-对任意的*n N ∈恒成立，则下列结论正确的为（ ） A ．n a n =B ．()12n n n S +=C ．k 的最大值为232D ．k 的最小值为15-【答案】ABC 【解析】先用两式相减的方法消去n S ，求出n a ，判断A 选项；再代入已知求出n S ，判断B 选项；然后将恒成立问题转化为最值问题，最后利用数列的单调性，求出最值即可判断C ，D 选项.依题意得当1n =时，21112a a a =+，由于20n a >，解得11a =；当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，因此有：22112n n n n n a a a a a --=-+-； 整理得：11n n a a --=， 所以数列{}n a 是以11a =为首项，公差1d =的等差数列，因此n a n =，故A 正确；()12n n n S +=，故B 正确；由()4111n nn S ka +≥-得：()11221nn k n++≥-， 令1122n c n n=++，则n 取2时，n c 取最小值，所以 ①当n 为偶数时，1123222n n ++≥，232k ∴≤，②当n 为奇数时，1135223n n ++≥，353k ∴-≤，353k ∴≥-，352332k ∴-≤≤ 故C 正确，D 错误.所以A 、B 、C 正确；D 错误. 故选：ABC 【点睛】知识点点睛：（1）已知n S 求n a ，利用前n 项和n S 与通项公式n a 的关系()()1*112,n n n S n a S S n n N-⎧=⎪=⎨-≥∈⎪⎩，此时一定要注意分类讨论.（2）数列与不等式的恒成立问题常用构造函数的方式，通过函数的单调性、最值解决问题，注意n 只能取正整数. 三、填空题 17．已知数列{}n a 的首项121a =，且满足()()21252341615n n n a n a n n +-=-+-+，则{}n a 中最小的一项是第___________项. 【答案】5 【解析】利用配凑法将题目所给递推公式转化为112325n n a a n n +=+--，即证得25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，由此求得25na n -的表达式，进而求得n a 的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当5n =时n a 有最小值．由已知得112325n n a a n n +=+--，1725a =--，所以数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，7(1)825na n n n =-+-=--，则(25)(8)n a n n =--，其对称轴10.55.252n ==，所以{}n a 的最小的一项是第5项. 故答案为：5. 【点睛】关键点点睛：利用配凑法将题目所给递推公式转化成等差数列是解题的关键． 18．数列{}n a 是等差数列，若10a >，202020210a a +>，202020210a a <则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是________． 【答案】4040 【解析】分析得出20200a >，20210a <，判断出4039S 、4040S 、4041S 的符号，由此可得出结论.由于数列{}n a 是等差数列，且10a >，202020210a a <. 若20200a <，则数列{}n a 为单调递减数列，从而20210a <，矛盾！若20200a >，则20210a <，数列{}n a 为单调递减数列，合乎题意.()14039403920204039403902a a S a +==>，()()140404040202020214040202002a a S a a +==+>，()14041404120214041404102a a S a +==<，因此，使得0n S >成立的最大自然数n 为4040. 故答案为：4040. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列前n 项和的应用，解题的关键在于分析出正负项的分隔项，结合等差数列的基本性质求解.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =--．若存在正整数n ，使得不等式216212(2)64n n na a n m m -+-≥-成立，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】1[,1]2- 【解析】先求{}n a 通项公式，再转化为不等式恒成立问题，构造新数列求最值.由2n n S a n =--，即2n n a S n +=- ①，可得1122n n a S n +++=-- ②．由②-①可得112n n n a a a ++-+=-，即112(2)2n n a a ++=+． 由112a S +=-，可得11a =-，所以121a +=，所以数列{2}n a +是首项为1，公比为12的等比数列， 所以1122nn a -+=，即1122nn a -=-， 所以166212(6)(2)2n n n n n na a n n a ---+-=-+=． 设16()2n n f n --=，则1567(1)()222n n n n n n f n f n ----+-=-=， 当70n ->，即07n <<时，()f n 递增； 当70n -<，即7n >时，()f n 递减， 故()f n 的最大值为1(7)(8)64f f ==． 若存在正整数n ，使得不等式216212(2)64n n na a n m m -+-≥-成立， 则ma 2x 1(2)66()2124n n m m na a n -≤--+， 所以211(2)6464m m -≤，即2210m m --≤，解得112m -≤≤， 故实数m 的取值范围为1[,1]2-． 故答案为：1[,1]2-． 【点睛】方法点睛：数列中不等式恒成立问题，常通过变量分离，构造新数列，判断数列的单调性，确定其最值.20．已知等比数列{}n a 的前n 项和与前n 项积分别为n S ，nT，公比为正数，且316a =，3112S =，则使1n T >成立的n 的最大值为________． 【答案】12. 【解析】首先利用等比数列的通项公式和前前n 项和公式求出首项和公比，进而可得{}n a 的通项公式，再利用等比数列的性质计算前n 项积n T ，令1n T >，解不等式即可求解.因为316a =，3112S =，333S a ≠，公比为正数显然不为1，所以231213(1)10a a q a q S q q ⎧=⎪-⎪=⎨-⎪⎪>⎩，解得164a =，12q =，所以1716422n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， 则6576571232222n nnn T a a a a -+++-=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=()67(13)6572222n n n n n +--+++-==， 要使1n T >，则(13)02n n ->，解得：013n <<， 故n 的最大值为12． 故答案为：12. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是求出{}n a 的通项公式，以及nT的表达式，利用指数函数的单调性解不等式.21．等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足下面条件，11a >，9910010a a ⋅->，99100101a a -<-.给出下列结论：①01q <<；②991010a a -<；③100T 的值是n T 中最大的；④1n T >成立最大的自然数n 等于198.其中正确的结论是__________. 【答案】①④ 【解析】由9910010a a ⋅->得0q >，()()99100110a a --<且11a >得99100>1,01a a <<，①10099a q a =；②100199101a q a a <⋅<=；③10099100T T a =⋅；④()99198991001T a a =⋅>，199199100()1T a =<，即可判断各项正误.①：由9910010a a ⋅->，得2197110a q >>，即0q >，又()()99100110a a --<且11a >，∴99100>1,01a a <<，即()100990,1a q a =∈，故正确； ②：由99100>1,1a a <且01q <<，知：1010011a a q =⋅<，即991010a a ->，故错误； ③：10099100T T a =⋅且10001a <<，知：10099T T <，故错误； ④：()()()198121981198219799100T a a a a a a a a a =⋅=⋅⋅⋅()99991001a a =⋅>()()()199121991199219899101100T a a a a a a a a a a =⋅=⋅⋅⋅⋅()9919999101100100()1a a a a =⋅⋅=<，故正确.故答案为：①④. 【点睛】关键点点睛：应用已知条件证明01q <<、99100>1,01a a <<，再结合等比中项及单调性，判断各项的正误. 22．已知数列{}n a 满足11a =，()12311111231n n a a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+>-．数列{}n a 的通项公式是______．【答案】1,1,22n n a nn =⎧⎪=⎨≥⎪⎩ 【解析】 由1231111(1)231n n a a a a a n n -=++++>-，得到112311111231n n n a a a a a a n n+-=+++++-，两式作差，得到11n n n a a a n+-=，整理得到11n n a n a n ++=，累乘求得22n a n a =，结合n 的条件，以及11a =，得到数列{}n a 的通项公式.1231111(1)231n n a a a a a n n -=++++>-，11a = 当2n =时，211a a == 当2n >时，112311111231n n n a a a a a a n n+-∴=+++++-， 两式相减得：11n n n a a a n +-=，即11n n n a a n++=， ∴11n n a n a n++=，11n n a n a n -=-， 1212n n a n a n ---=-， ⋯3232a a =， 累乘得：22n a n a =，所以2n na =，()2n > 1,1,22n n a n n =⎧⎪∴=⎨≥⎪⎩，故答案为：1,1,22n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关数列的通项公式的求解，利用题中所给的条件，类比得出相应的式子，两式相减，得到相邻两项之间的关系，解题的关键点是要时刻关注着n 的条件. 23．已知数列{}n a 与{}n b 满足11222n n a a a ++++=-，1(1)(1)nn n n a b a a +=--，数列{}n b 的前n 项的和为n S ，若n S M ≤恒成立，则M 的最小值为_________.【答案】1 【解析】由已知式写出n 为1n -的式子，相减求得n a ，检验1a 是否相符，求得n b ，用裂项相消法求得和n S ，由n S 表达式得M 的范围，从而得最小值．∵11222n n a a a ++++=-，所以2n ≥时，12122n n a a a -+++=-，两式相减得1222n n n n a +=-=，又21222a =-=，所以*n N ∈，有2nn a =，从而11211(21)(21)2121n n n n n n b ++==-----，122231111111212121212121n n n n S b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n +=--，显然1n S <，所以1M ≥，M 的最小值为1．故答案为：1． 【点睛】方法点睛：本题主要考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，数列求和的常用方法有：（1）公式法，（2）错位相减法，（3）裂项相消法，（4）分组（并项）求和法，（5）倒序相加法． 24．已知232nn n a +=，若4n n a λ≤⋅对于任意nN*恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】先用分离参数法分离出λ，再判断234nn n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的单调性，求出λ的范围.由题意，得2342n n nλ+≤⋅对于任意*n ∈N 恒成立，即2324nn nλ+≥对于任意*n ∈N 恒成立， 设234n n n n b +=，则当2n ≥时，()2211131135244n n n n n n n b ----+--+==， 所以当2n ≥时，()22214352392180444n n n n nn n n n n n b b -⨯-++-+--=-=<恒成立， 所以数列{}n b 单调递减，所以131214b λ+≥==，所以12λ≥， 即实数λ的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】求参数的范围通常用分离参数法，转化为恒（能）成立问题，求函数（数列）的最小（大）值． 25．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()11102n n na n a +-++=，且132a =．若对任意的*n N ∈，都有2nn S m >，则实数m 的取值范围为______． 【答案】()1,+∞【解析】在已知式()11102n n na n a +-++=中用1n +代n 得另一等式，两式相减可证得数列{}n a 是等差数列，由1a 求出2a ，得公差，从而可得前n 项和n S ，令2nn n S b =，求出n b 后确定数列{}n b 的最大值，得m 的取值范围．依题意，()11102n n na n a +-++=，则()()2111202n n n a n a +++-++=，两式相减，可得2120n n n a a a ++-+=，所以{}n a 为等差数列，由()11102n n na n a +-++=，得211202a a -+=，又132a =，解得252a =， 所以211d a a =-=，则3(1)22n n n S n -=+，所以21222n n n S n n++=. 令212=22n n n n S n n b ++=，21232n n n n b b ++--=， 当2n ≥时，10n nb b ，数列{}n b 单调递减，而134b =，21b =，31516b =，故1m ． 故答案为：()1,+∞．【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的地推公式，属于中档题，本题解题关键为设出212=22n n n n S n n b ++=，根据10nnb b ，得到数列{}n b 单调递减，从而得到数列{}n b 的最大值.26．已知数列{}n a 的前n 项和为12,1,3,n S a a ==且1222(2)nn n n S S S n +++=+≥.若()n n S a λλ-++5≥(2-λ)n对*n N ∀∈都成立，则实数λ的最小值为_______. 【答案】316【解析】根据累加法求出数列121,22nn n n a S n +=-=--，再代入已知条件后可得252nn λ-≥，构造函数25()2xx g x -=，再利用导数研究函数的最值，即可得答案；11S 22S (2)nn n n S n +-+=+≥， 11S S 2S (2)n n n n n S n +-∴-=+-≥，又()*2112,2n n n a a a a n N +-=∴-=∈，当2n ≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+12222121n n n --=++++=-，11,1n a ==满足上式，122n n S n +∴=--代入()5(2)nn S a n λλλ-++≥-，得252nn λ-≥， 构造函数25()2x x g x -=，求导25ln 22ln 2()2xx g x +-'=， 当15ln 22x =+时，()0g x '=; 当15ln 22x <+时，()0g x '>; 当15ln 22x >+时，()0g x '<. 于是函数()g x 在15ln 22x=+时取得最大值， 又∵1534ln 22<+<，13(3),(4),816g g ==故252n n -最大值为316，∴316λ≥，故实数入的最小值为316. 【点睛】本题考查根据数列的递推关系求数列的通项公式和前n 项和，不等式恒成立求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意导数的应用.四、解答题27．已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若32a -，52a -，72a +成等比数列且1d ≠，2(1)n n S n a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设112a n n n b a a -+=+⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，n *∀∈N ，n T m <恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2n a n =；（2）712m ≥. 【解析】（1）由条件可得递推关系1(1)n n n a na --=，由累乘法可得1n a na =，再根据条件结合等比中项，可得答案. （2）由（1）可得1111414n n b n n ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭=，由裂项相消和等比数列的前n 项和公式可求和，从而得出答案.（1）∵2(1)nn S n a =+，则112n n S na --=，()1n >∴12(1)n n n a n a na -=+-， 即1(1)n n n a na --=，()1n >即11n n a n a n -=-，()1n > 所以1211112112121n n n n n a a a n n a a na a a a n a n ----⋅⋅=⨯⨯⨯⨯-==- ()1n > 当1n =时，也成立. 所以1n a na =∵()()()2537222a a a -=-+，即2111(52)(32)(72)a a a -=-+化简得：211320a a -+=，解得∴12a =或11a =当12a =时，2n a n =，其公式2d =满足条件.当11a =时，n a n =，其公式1d =不满足条件.所以2n a n =. （2）∵21111111224(1)414n a n n n n n b a a n n n n --+⎛⎫=+=+=-+ ⎪⋅++⎝⎭，∴111111111111114411424234344114n n T n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+-+-+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 1111711413412n n ⎛⎫⎛⎫=-+-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. ∵*n ∀∈N ，n T m <恒成立， ∴712m ≥. 【点睛】关键点睛：本题考查求数列的同学公式和利用裂项相消法和等比数列的前n 项和公式可求和，解答本题的关键是由11n n a n a n -=-，利用累乘法求通项公式，以及由1111414n nb n n ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭=，由裂项相消和等比数列的前n 项和公式可求和，属于中档题. 28．已知数列{}n a 满足11a =，且()2111232121n n n n n n a a a ++++-+-=+-.（1）证明：211n n a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为等差数列；（2）令121n nna b +=-，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：对任意n *∈N ，122nn S S +≥+. 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解. 【解析】（1）设1211n n n b a -=+，利用等差数列的定义证明即可. （2）由（1）利用等差数列的通项公式可得2n b n =，再求出12n S +-以及2n S ，两式作差即可比较大小.（1）令121n n n a b +=-，则1211n n n b a -=+， 11111212111n n n n n n b b a a +++---=-++()1211212112321121n n n n n n n n a a a ++++--=-+-+-++-()()()()11121212112211n n n n n n n a a a +++-+--=-+-+ ()1212112112n n n n n a a a ++--=--=++，且11211112b -==+， 所以数列211n n a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列.（2）由（1）可得()1111222n n n b =+-⨯=， 所以2n b n=， 122222212341n S n n +=+++++++ 222221341n n =+++++++ 122221341n S n +-=+++++ 111212341n n ⎛⎫=+⨯++++ ⎪+⎝⎭， 111112234n S n=+++++， 111112222341n S n n +⎛⎫-=⨯+++++ ⎪+⎝⎭ 当1n =时， 122nn S S +=+， 当2n ≥时，111112111122122341234n n S S n n n +⎛⎫⎛⎫--=+++++-+++++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭1111212341n n =-+++++++11112012561n n =+++++>+， 所以122nn S S +≥+【点睛】关键点点睛：本题考查了等差数列的通项公式、证明数列不等式，解题的关键是求出2n b n=以及111112222341n S n n +⎛⎫-=⨯+++++ ⎪+⎝⎭，考查了基本运算能力、推理能力. 29．等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，其前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，11b =，且2264b S =，2213b a +=.（1）求a n 与b n ；（2）若不等式1211120174n m S S S -+++<对n *∈N 成立，求最小正整数m 的值. 【答案】（1）21n a n =+，18n n b -=；（2）2020.【解析】 （1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，根据2264b S =，2213b a +=，列出方程组，求得,d q 的值，即可求解；（2）由（1）可得35(21)(2)n S n n n =++++=+，得到1112n S n n =-+，结合裂项法求得1211132342(1)(2)n n S S S n n ++++=-++，求得即可求解.（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ， 则d 为正数，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=，因为2264b S =，2213b a +=，可得2222(6)64313b S d q b a q d =+=⎧⎨+=++=⎩，可得2440d d -+=，解得2,8d q ==，故32(1)21n a n n =+-=+，18n n b -=.（2）由（1）可得35(21)(2)n S n n n =++++=+，所以121111111132435(2)n S S S n n+++=++++⨯⨯⨯+1111111112324352n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭11113231221242(1)(2)n n n n n +⎛⎫=+--=- ⎪++++⎝⎭， 而3233201742(1)(2)44n m n n +--<≤++，解得2020m ≥， 所以m 的最小正整数是2020. 【点睛】关于数列的裂项法求和的基本策略： 1、基本步骤：裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式； 累加：将数列裂项后的各项相加；消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前n 项和. 2、消项的规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.30．某贫困地区截至2016年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户2016年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．（1）将家庭人均年纯收入不足5000元的家庭称为“特困户”，若从这50户中再取出10户调查致贫原因，求这10户中含有“特困户”的户数X 的数学期望；（2）假设2017年底该地区有1000户居民，其中900户为小康户，100户为“特困户”，若每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有90%变为小康户，但小康户仍有%t (0<t <10)变为“特困户”，假设该地区居民户数保持不变，记经过n 年脱贫工作后该地区小康户数为n a ．（i ）求1a 并写出1n a +与n a 的关系式；（ii ）要使经2年脱贫工作后该地区小康户数至少有950户，求最大的正整数t 的值． 【答案】（1）4.6户；（2）（i ）19909a t =-；110900(010)100n n ta a t +-=+<<；（ii ）4t =． 【解析】（1）首先计算的特困户得户数，根据超几何分布的公式直接求出期望； （2）（ⅰ）计算出1a 以及1n a +与n a 的关系； （ⅱ）根据2950a ≥可得()()9909105000t t --≥，设函数()()()990910f t t t =--，求出答案．（1）由频率分布直方图可知，家庭人均年收入在[)2000,3000元、[)3000,4000元、[)4000,5000元、[)5000,6000元、[)6000,7000元、[)7000,8000元的家庭数依次为：0.04502⨯=户；0.10505⨯=户；0.325016⨯=户；0.305015⨯=户；0.18509⨯=户；0.06503⨯=户；共计50户， 其中家庭人均年收入不足5000元的特困户有：251623++=户．· 若从这50户中再取出10户调查致贫原因， 这10户中含有“特困户”的户数X 服从H (10，23，50)的超几何分布，因为当(),,XH n M N 时，()ME X n N=⨯， 所以()2310 4.650EX =⨯=户； （2）因为每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有90%变为小康户，但小康户仍有%010t t <<（）变为"特困户”，所以有 （ⅰ）19019001009909100100t a t ⎛⎫=-+⨯=- ⎪⎝⎭()19011000100100n n n t a a a +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，即110900(010)100n n t a a t +-=+<<· （ⅱ）211010900(9909)900100100t ta a t --=+=-+， 由2950a ≥可得()()9909105000t t --≥，记函数()()()990910f t t t =--，其中0t 10<<，因函数()()()990910f t t t =--是开口向上的二次函数，且其对称轴为t=60，则函数()()()990910f t t t =--在()0,10上单调递减，又()45724f =，()54725f =，故最大的正整数4t =．【点睛】超几何分布的期望值计算公式：()ME X n N=⨯，[其中X 是样本数，n 为样本容量，M 为样本总数，N 为总体中的个体总数]，求出均值，这就是超几何分布的数学期望值. 31．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2． (1)证明：{a n }为等比数列；(2)记b n ＝log 2a n ，数列1n n b b λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，若T n ≥10恒成立，求λ的取值范围．【答案】(1)答案见解析； (2)[20,+∞). 【解析】(1)由递推公式12n n a S +=+消去S n ，得a n +1与a n 的关系式，推得等比数列；(2)求出b n 的表达式，利用裂项相消法求出T n ，再转化为恒成立问题解决.(1)S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=S 1=2，而1,2n n n N a S *+∀∈=+，2n ∴≥时，12n n a S -=+，所以1112n n n n n n n a a S S a a a +-+-=-=⇒=，211242a S a =+==，1,2n na n N a *+∴∀∈=，即数列{a n }是a 1=2，公比q =2的等比数列； (2)由(1)知22,log 2n n nn a b n ===，111()(1)1n n b b n n n n λλλ+∴==-++，1111111[(1)()()()]2233411n nT n n n λλ=-+-+-++-=⋅++，而T n ≥10，即11010(1)1n n n λλ⋅≥⇒≥⋅++，显然数列1{1}n +是递减的， n =1时，max 1(1)2n+=，所以20λ≥，即λ的取值范围是[20,+∞).【点睛】(1)给出S n 与a n 的递推关系，求a n ，常常是利用1n nn S S a +-=转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；(2)裂项法求和，未被消去的项具有前后对称的特点，不要漏项和添项．32．已知数列{}12,13n a a a ==，，且满足11212n n n a a a +-+=+（2n ≥且*n N ∈） （1）证明新数列{}1n n a a +-是等差数列，并求出n a 的通项公式． （2）令5(1)12n n n b a +=-设数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：25n n S S -<． 【答案】（1）证明见解析；22n n na +=；（2）证明见解析．【解析】（1）递推关系移项变形，根据等差数列定义可以求得新数列通项.（2）先求得数列通项，通过构造新函数的方法，得到数列的增减性，从而求得最值.解：（1）解：1121n n n a a a +-+=+ 111n n n n a a a a +--=-+()()111n n n n a a a a -+∴---={}1n n a a +∴-为公差为1的等差数列21312a a -=-= 11n n a a n +∴-=+()()()1122112n n n n a a a a a a n n ----+-+-=+-+1(2)(1)2n n n a a +-∴-=22n n na +∴= （2）()25110122n n b n n n +==-+， 2122n n n n n S S b b b ++∴-=++。
(46套)2019年高考物理人教版必修2 (全册) 章节练习题汇总(打包下载)
（46套）2019年高考物理人教版必修2 （全册）章节练习题汇总5.1 曲线运动（满分100分，60分钟完成）班级_______姓名_______第Ⅰ卷(选择题共48分)一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项正确，选对的得6分，对而不全得3分。
选错或不选的得0分。
1．关于物体曲线运动的条件，下列说法正确的是 ( ) A．物体所受的合外力是变力B．物体所受的合外力方向与加速度方向不在同一直线上C．物体所受的合外力方向与速度方向不在同一直线上D．物体在恒力作用下不可能做曲线运动2．下列说法中正确的是 ( ) A．曲线运动一定是变速运动B．变速运动一定是曲线运动C．曲线运动不一定是变速运动D．曲线运动一定是变加速运动3．一水滴由静止开始下落一段时间，突然受到一恒定的水平风力作用一段时间后，水滴在继续下落的过程中做（）A．匀速直线运动B．匀变速直线运动C．匀变速曲线运动D．非匀变速曲线运动4．下列关于力和运动的说法中正确的是（）A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动B．物体在变力作用下不可能做直线运动C．物体在变力作用下可能做曲线运动D．物体在受力方向与它的速度方向不在一条直线上时，有可能做直线运动5．关于运动的合成，下列说法中正确的是A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大B．两个分运动的时间一定与它的合运动的时间相等C．只要两个分运动是直线运动，其合运动就一定是直线运动D．以上说法都不对6．一汽艇顺流航行，至下午3点，突然发现系在艇后的皮筏已丢失，立即逆流而上返回寻找，到下午4点找到皮筏。
设汽艇动力大小不变，水速不变，则皮筏丢失的时间是（）A．下午2点以前B．下午2点C．下午2点以后D．以上均有可能7．关于物体的运动，下列说法中正确的是（）A．物体受恒力作用一定做直线运动B．两个直线运动的合运动一定是直线运动C．物体的运动轨迹可能会因观察者的不同而不同D．物体的运动轨迹对任何观察者来说都是不变的8．一轮船以一定的速度垂直河岸向对岸航行,当河水流速均匀时,轮船所通过的路程、过河所用的时间与水流速度的正确关系是（）A．水速越大，路程越长，时间越长B．水速越大，路程越大，时间越短C．水速越大，路程和时间都不变D．水速越大，路程越长，时间不变第Ⅱ卷（非选择题，共52分）二、填空、实验题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
人教a版(2019)必修第二册
C．第四象限
【解答】解：i2 1 ，
D． 4i )
D． 4 3
D． 1 D．虚轴
第 5页（共 10页）
z
i3
2 i4
2
i
2
2
4
i
，
则 z 所对应点的坐标为 (4, 1) ，位于第四象限．
故选： C ．
8．已知复数 z (1 i)2 (i 是虚数单位），则 z 在复平面内对应的点位于 (
)
1 i
2
所对应的点位于 (
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第四象限
D．虚轴
8．已知复数 z (1 i)2 (i 是虚数单位），则 z 在复平面内对应的点位于 (
)
1 i
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
9．已知 z(1 i) 2 3i ，其中 i 是虚数单位，则在复平面中 z 对应的点在 ( )
故答案为：4．
14．
1
1
i2019 i
i
．
【解答】解： i2 1 ，i4 1 ，i2019 i2016 i3 i3 i2 i i ，
1 i2019 1 11 i (1 i)(1 i) i ；
1i
1 i (1 i)(1 i)
故答案为： i
15．复数
z
1
1
i
对应的点在第
1 18
，
P1
P2i
所对应的点为
P( 1 18
,
11) 12
，
易判断
P( 1 18
, 11) 12
Байду номын сангаас
在
l2
:
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2019年高三高考地理三轮复习《必修二部分》选择题专项练习
1.日本以不足2%的世界人口、0.25%的世界面积，创造了17%的世界财富。
结合所学知识，完成下列各题。
下图为人口适度曲线图，1-18表示不同时间段。
当日本处于第Ⅲ阶段时，制约其适度人口数继续增加的关键因素是()
A．生产力水平
B．社会体制
C．资源(土地、水等)
D．科技水平
2.下图为最佳人口规模示意图。
下列说法中正确的是()
A． P为较低生产力水平条件下的环境人口容量
B．P′为环境承载力
C．P′为较高生产力水平条件下的人口合理容量
D． P为环境承载力
解放初期我国实行鼓励生育政策；1982年计划生育确定为基本国策，提倡一对夫妇只生育一个孩
子；2013年11月实施单独二孩政策；2016年1月1日起全面实施二孩政策。
下图为“我国1949-2014年出生人口统计图”。
据此完成下列各题。
3.有不少学者曾预言2013年以后会出现第四次婴儿潮，但并未出现，原因可能是()
①育龄妇女教育程度提高②严格的计划生育政策
③育龄妇女人数少④抚养成本太高
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
4.若第四次婴儿潮在2016～2020年之间如期而至，其后几年内就业人数增加的职业是()
A．中学老师
B．建筑设计师
C．外科医生
D．家政护理人员
5.下图为“某城市地价等级分布图”。
读图回答下题。
与图中M－N一线地价等级变化相符的是()
A．
B．
C．
D．
6.我国目前城市建设中出现了城市内涝、生态破坏、径流污染等诸多问题，为此正积极推进能“自然积存、自然渗透、自然净化”的海绵城市试点建设工作，其中活水公园雨水收集系统是海绵城市
建设的成功案例。
下图为“某活水公园雨水收集系统示意图”。
据此完成下列各题。
下列不适宜推广活水公园雨水收集系统的城市是()
A．敦煌
B．成都
C．广州
D．深圳
7.读“某地区城市人口占总人口比重变化图”和“劳动力在各行业中就业的比重图”，完成下题。
甲、乙表示不同城市化阶段的就业比重状况，其中乙最可能处在()
A． B时段
B． D时段
C． E时段
D． F时段
读“某城镇略图”，回答下列各题。
8.图中①②③所代表的城市功能区分别是()
A．住宅区、工业区、商业区
B．工业区、住宅区、商业区
C．商业区、住宅区、工业区
D．住宅区、商业区、工业区。