多元线性回归模型

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多元线性回归的计算模型

多元线性回归模型的数学表示可以表示为：

Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y表示因变量，Xi表示第i个

自变量，βi表示第i个自变量的回归系数（即自变量对因变量的影响），ε表示误差项。

1.每个自变量与因变量之间是线性关系。

2.自变量之间相互独立，即不存在多重共线性。

3.误差项ε服从正态分布。

4.误差项ε具有同方差性，即方差相等。

5.误差项ε之间相互独立。

为了估计多元线性回归模型的回归系数，常常使用最小二乘法。最小

二乘法的目标是使得由回归方程预测的值与实际值之间的残差平方和最小化。具体步骤如下：

1.收集数据。需要收集因变量和多个自变量的数据，并确保数据之间

的正确对应关系。

2.建立模型。根据实际问题和理论知识，确定多元线性回归模型的形式。

3.估计回归系数。利用最小二乘法估计回归系数，使得预测值与实际

值之间的残差平方和最小化。

4.假设检验。对模型的回归系数进行假设检验，判断自变量对因变量

是否显著。

5. 模型评价。使用统计指标如决定系数（R2）、调整决定系数（adjusted R2）、标准误差（standard error）等对模型进行评价。

6.模型应用与预测。通过多元线性回归模型，可以对新的自变量值进

行预测，并进行决策和提出建议。

多元线性回归模型的计算可以利用统计软件进行，例如R、Python中

的statsmodels库、scikit-learn库等。这些软件包提供了多元线性回

归模型的函数和方法，可以方便地进行模型的估计和评价。在计算过程中，需要注意检验模型的假设前提是否满足，如果不满足可能会影响到模型的

多元线性回归模型多元线性回归模型

假设5，样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数，即n∞时，
1
n
x
2 ji
1 n
(X ji X j )2 Q j
或
1 xx Q n
其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是
由各解释变量的离差为元素组成的nk阶矩阵
x11 x
x1n
xk1 xkn
假设6，回归模型的设定是正确的。
var(n )
0
0 2I
2
i E(i )
假设3，E(X’)=0，即
E
X 1i i
Байду номын сангаас
X 1i E(i
)
0
X Ki i X Ki E(i )
假设4，向量有一多维正态分布，即
μ~ N(0, 2I)
同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：
• 如果存在＞k+1个变量与随机项不相关，可以构成一组包含＞k+1方程的矩条件。这就是GMM。
四、参数估计量的性质
在满足基本假设的情况下，其结构参数的
普通最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有：
线性性、无偏性、有效性。
同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：渐近无偏性、渐近有效性、一致性。
3.630145 2.651125
R-squared

多元线性回归模型

第三章多元线性回归模型

一、名词解释

1、多元线性回归模型：在现实经济活动中往往存在一个变量受到其他多个变量影响的现象，表现在线性回归模型中有多个解释变量，这样的模型被称做多元线性回归模型，多元是指多个解释变量

2、调整的可决系数2R ：又叫调整的决定系数，是一个用于描述多个解释变量对被解释变量的联合影响程度的统计量，克服了2

R 随解释变量的增加而增大的缺陷，与2

R 的关系为22

1(1)

n R R n k -=----。

3、偏回归系数：在多元回归模型中，每一个解释变量前的参数即为偏回归系数，它测度了当其他解释变量保持不变时，该变量增加1单位对被解释变量带来的平均影响程度。

4、正规方程组：采用OLS 方法估计线性回归模型时，对残差平方和关于各参数求偏导，并令偏导数为0

后得到的方程组，其矩阵形式为ˆX X X Y β'

'=。 5、方程显著性检验：是针对所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著所作的检验，旨在对模型中

被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出判断。

二、单项选择题

1、C ：F 统计量的意义

2、A ：F 统计量的定义

3、B ：随机误差项方差的估计值1

ˆ2

--=∑k n e

4、A ：书上P92和P93公式

5、C ：A 参看导论部分内容；B 在判断多重共线等问题的时候，很有必要；D 在相同解释变量情况下可以衡量

6、C ：书上P99，比较F 统计量和可决系数的公式即可

7、A ：书P81

8、D ：A 截距项可以不管它；B 不考虑beta0；C 相关关系与因果关系的辨析 9、B ：注意！只是在服从基本假设的前提下，统计量才服从相应的分布

多元线性回归模型的估计与解释

多元线性回归模型的估计与解释多元线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。与简单线性回归模型相比，多元线性回归模型允许我们将多个自变量

引入到模型中，以更准确地解释因变量的变化。

一、多元线性回归模型的基本原理

多元线性回归模型的基本原理是建立一个包含多个自变量的线性方程，通过对样本数据进行参数估计，求解出各个自变量的系数，从而

得到一个可以预测因变量的模型。其数学表达形式为：

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε

其中，Y为因变量，X1、X2、...、Xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn为模型的系数，ε为误差项。

二、多元线性回归模型的估计方法

1. 最小二乘法估计

最小二乘法是最常用的多元线性回归模型估计方法。它通过使残差

平方和最小化来确定模型的系数。残差即观测值与预测值之间的差异，最小二乘法通过找到使残差平方和最小的系数组合来拟合数据。

2. 矩阵求解方法

多元线性回归模型也可以通过矩阵求解方法进行参数估计。将自变

量和因变量分别构成矩阵，利用矩阵运算，可以直接求解出模型的系数。

三、多元线性回归模型的解释

多元线性回归模型可以通过系数估计来解释自变量与因变量之间的

关系。系数的符号表示了自变量对因变量的影响方向，而系数的大小

则表示了自变量对因变量的影响程度。

此外，多元线性回归模型还可以通过假设检验来验证模型的显著性。假设检验包括对模型整体的显著性检验和对各个自变量的显著性检验。

对于整体的显著性检验，一般采用F检验或R方检验。F检验通过

比较回归平方和和残差平方和的比值来判断模型是否显著。

多元线性回归模型原理

Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βn*Xn+ε

其中，Y表示因变量，X1、X2、..、Xn表示自变量，β0、β1、

β2、..、βn表示模型的参数，ε表示误差项。通过对数据进行拟合，即最小化误差平方和，可以估计出模型的参数。

多元线性回归模型的原理是基于最小二乘法，即通过最小化残差平方和来估计参数的值。残差是指模型预测值与真实值之间的差异，最小二乘法的目标是找到一组参数，使得所有数据点的残差平方和最小。通过求解最小二乘估计，可以得到模型的参数估计值。

为了评估模型的拟合程度，可以使用各种统计指标，例如R方值、调整R方值、标准误差等。R方值表示模型解释因变量方差的比例，取值范围在0到1之间，值越接近1表示模型对数据的拟合程度越好。调整R方值考虑了模型中自变量的个数和样本量之间的关系，可以更准确地评估模型的拟合程度。标准误差表示模型预测值与真实值之间的标准差，可以用于评估模型的预测精度。

在建立多元线性回归模型之前，需要进行一些前提条件的检查，例如线性关系、多重共线性、异方差性和自变量的独立性。线性关系假设要求自变量与因变量之间存在线性关系，可以通过散点图、相关系数等方法来检验。多重共线性指的是自变量之间存在高度相关性，会导致参数估计的不稳定性，可以使用方差膨胀因子等指标来检测。异方差性指的是残差的方差不恒定，可以通过残差图、方差齐性检验等方法来检验。自变量的独立性要求自变量之间不存在严重的相关性，可以使用相关系数矩阵等方法来检验。

当满足前提条件之后，可以使用最小二乘法来估计模型的参数。最小

多元线性回归的计算模型

Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε

其中，Y表示因变量，X1、X2、..、Xn表示自变量，β0、β1、

β2、..、βn表示模型的回归系数，ε表示误差项。

为了估计模型参数，需要使用拟合准则，通常使用最小二乘法来拟合

多元线性回归模型。最小二乘法的目标是最小化残差平方和，即最小化观

测值与预测值之间的差异。

计算多元线性回归模型的步骤如下：

1.收集数据：收集因变量和自变量的数据，确保数据的质量和准确性。

2.确定模型：根据研究目的和领域知识，选择自变量和因变量之间的

关系。

3.拟合模型：使用最小二乘法估计模型的回归系数。通过求解正规方

程组或优化算法，得到回归系数的估计值。

4.模型评估：通过拟合优度、均方根误差等指标评估模型的拟合程度

和预测能力。

5.参数显著性检验：使用t检验或F检验检验模型的回归系数是否显

著不为零。

6.模型解释和预测：根据模型的回归系数和预测值，解释因变量与自

变量之间的关系，并进行预测。

在实际应用中，多元线性回归模型可以用于各种研究领域的预测和解释。例如，在经济学中，可以使用多元线性回归模型来解释产品价格受供

需关系、成本、市场竞争等因素的影响。在医学研究中，可以使用多元线性回归模型来预测患者疾病风险受年龄、性别、生活方式等因素的影响。

为了提高多元线性回归模型的准确性和可靠性，在模型构建过程中需要关注数据的预处理、变量选择、非线性关系的建模等问题。此外，还可以使用交叉验证、岭回归、Lasso回归等方法来优化模型的拟合和预测能力。

综上所述，多元线性回归是一种常用的统计模型，可以用于解释多个自变量与因变量之间的关系。通过估计模型的回归系数，可以根据自变量的取值预测因变量的值，并进行因素的解释和分析。在实际应用中，需要注意模型的评估和改进，以提高模型的拟合和预测能力。

3.1 多元线性回归模型概述

二、多元线性回归模型的基本假设
假设1，解释变量X是确定性变量或非随机变量，且X之间互不相关。假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性，即
E ( i ) 0
Var ( i ) E ( i2 ) 2 Cov ( i , j ) E ( i j ) 0
表示：各解释变量X值固定时Y的平均响应。
用来估计总体回归函数的样本回归函数为：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Yi 0 1 X 1i 2 X 2i ki X ki
多元线性回归模型的矩阵形式：
Yi 0 1 X 1i 2 X 2i k X k i i
第三章
§1
一、多元线性回归模型
多元线性回归模型
多元线性回归模型概述
多元线性回归模型：模型中有多个解释变量。多元线性回归模型的一般形式：
其中：k为解释变量的数目。
Yi 0 1 X1i 2 X 2i k X k i i
( i 1 , 2 , , n)
Yi 0 1 X1i 2 X 2i k X k i i
1 1 2 x ji ( X ji X j ) 2 Q j n n
该假设是为了避免伪Leabharlann Baidu归问题。假设6，回归模型设定正确。
上述基本假设可用矩阵符号表示为：

多元线性回归模型分析

b ( X X )1 X Y
样本回归线的数值性质
对于线性模型和相应的最小二乘估计，则有：
n
(1) 最小二乘残差的和为零。即 ei 0
i1
(2) 回归超平面通过数据的均值点，即 y xb
(3) 从回归方程中获得的拟合值的均值等于样本观测值的均值，即 yˆ y
需要注意的是，上述命题成立的前提是线性模型中包含常数项，也就是第一个解释变量是“哑变量”形式。这样一个思考题目就是，当线性模型中不包含常数项时，结论是什么样的？
t 1
t 1
1
T
T
x t ˆ t
1 T
T
xt (yt b0 b1xt ) 0
t 1
t 1
▪ 可见，与OLS估计量的正规方程组是相同的。 ▪ 多元线性回归模型矩估计的矩条件通常是这样构造的：
对于多元线性回归模型 Y=Xβ+ε
两边分别左乘 X ，即得到
X Y X Xβ X ε
E(X Y) E(X Xβ)
方法 2 根据拟合值的定义 yˆ X b ，有 XYˆ XXb XX(XX)1XY Xy
则有：
1 1 1
x12 x22
xn2
x1K T yˆ1 1
x2K xnK
yˆ 2
yˆ n
1 1
x12 x22
xn2
x1K T y1 x2K y2

多元线性回归模型

统计学第4章多元线性回归模型

第1节多元线性回归模型概述

（一）多元线性回归模型形式

一般来说，我们研究的变量往往受多个因素的影响，如作物的收成会受气温，施肥量，降雨量等等的影响，对某中商品的消费需求会受该商品价格，收入，其他商品价格等的影响。因此，我们要讨论一个变量对两个以上变量的统计依赖关系。

1）多元线性回归模型的一般表现形式：

122i i k ik i Y X X βββε=++++，1,2,

,i n =

其中，k 为解释变量的数目，(1,2,

,)j j k β= 习惯上，把常数项看成为取

值恒为1的变量的系数，上述表达式也被称为总体回归函数的随机表达形式。其非随机形式为：

12122(,,,)i i ik i k ik E Y X X X X X βββ=+++

表示各变量X 值固定时Y 的平均响应

j β 也称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，j X 每变化

一个单位时，Y 的均值()E Y 的变化。或者说j β给出了j X 单位变化对Y 均值的“直

接”或“净”（不含其它变量）影响。

总体线性回归模型n 个随机方程的矩阵表达式为：

1121211

122222

122Y X ...k k k k n n k nk n

X Y X X Y X X βββεβββεβββε=++++⎧⎪=++

++⎪⎪⎪⎨

⎪

⎪⎪=++

++⎪⎩

将此方程组写成矩阵形式：

112131122223222

231...1...............

..................1...k k n n n nk k n Y X X X Y X

多元线性回归模型

多元线性回归是一种用于分析多个自变量与一个因变量之间关系的统计方法。在这种分析中，我们试图根据已知自变量的值来预测因变量的值。该模型

常用于市场研究、金融分析、生物统计和其他领域。在本文中，我们将介绍多

元线性回归的基础概念和实践应用。

一般来说，线性回归的目的是找到一个线性函数y=ax+b来描述一个因变

量y与一个自变量x的关系。但是，在现实生活中，我们通常需要考虑多个自

变量对因变量的影响。这时就需要采用多元线性回归模型来描述这种关系。

多元线性回归模型可以表示为：

y=b0 + b1x1 + b2x2 + … + bnxn + ε

其中，y是因变量，x1, x2, …, xn是自变量，b0, b1, b2, …, bn是回归系数，ε是误差项，反映了因变量和自变量之间未能被回归方程中的自变量解释的差异。

多元线性回归的重要性质是，每个自变量对因变量的影响是独立的。也就

是说，当我们同时考虑多个自变量时，每个自变量对因变量的解释将被考虑到。

多元线性回归模型的核心是确定回归系数。回归系数表明了自变量单位变

化时，因变量的变化量。确定回归系数的一种方法是最小二乘法。

最小二乘法是一种通过最小化实际值与预测值之间的差值来确定回归系数

的方法。我们可以使用矩阵运算来计算回归系数。设X为自变量矩阵，y为因

变量向量，则回归系数向量b可以通过以下公式计算：

b = (XTX)-1XTy

其中，XT是X的转置，(XTX)-1是X的逆矩阵。

在计算回归系数之后，我们可以使用多元线性回归模型来预测因变量的值。我们只需要将自变量的值代入回归方程中即可。但是，我们需要记住，这种预

多元线性回归模型

多元线性回归模型是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。它通过使用多个自变量来建立与因变量之间的线性关系，从而进行预测和分析。在本文中，我们将介绍多元线性回归模型的基本概念、应用场景以及建模过程。

【第一部分：多元线性回归模型的基本概念】

多元线性回归模型是基于自变量与因变量之间的线性关系进行建模和预测的模型。它假设自变量之间相互独立，并且与因变量之间存在线性关系。多元线性回归模型的数学表达式如下：

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε

其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，β0、β1、

β2、…、βn表示回归系数，ε表示误差项。回归系数表示自变量对因变量的影响程度，误差项表示模型无法解释的部分。

【第二部分：多元线性回归模型的应用场景】

多元线性回归模型可以应用于各种预测和分析场景。以下是一些常见的应用场景：

1. 经济学：多元线性回归模型可以用于预测GDP增长率、失业率等经济指标，揭示不同自变量对经济变量的影响。

2. 医学研究：多元线性回归模型可以用于预测患者的生存时间、治疗效果等医学相关指标，帮助医生做出决策。

3. 市场研究：多元线性回归模型可以用于预测产品销量、市场份额等市场相关指标，帮助企业制定营销策略。

4. 社会科学：多元线性回归模型可以用于研究教育水平对收入的影响、家庭背景对孩子成绩的影响等社会科学问题。

【第三部分：多元线性回归模型的建模过程】

建立多元线性回归模型的过程包括以下几个步骤：

1. 数据收集：收集自变量和因变量的数据，确保数据的准确性和完整性。

多元线性回归模型

引言：

多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，用于确定多个自变量与一个连续型因变量之间的线性关系。它是简单线性回归模型的扩展，可以更准确地预测因变量的值，并分析各个自变量对因变量的影响程度。本文旨在介绍多元线性回归模型的原理、假设条件和应用。

一、多元线性回归模型的原理

多元线性回归模型基于以下假设：1）自变量与因变量之间的关系是线性的；2）自变量之间相互独立；3）残差项服从正态分布。多元线性回归模型的数学表达式为：

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε

其中，Y代表因变量，X1，X2，...，Xn代表自变量，β0，β1，

β2，...，βn为待估计的回归系数，ε为随机误差项。

二、多元线性回归模型的估计方法

为了确定回归系数的最佳估计值，常采用最小二乘法进行估计。最小二乘法的原理是使残差平方和最小化，从而得到回归系数的估计值。具体求解过程包括对模型进行估计、解释回归系数、进行显著性检验和评价模型拟合度等步骤。

三、多元线性回归模型的假设条件

为了保证多元线性回归模型的准确性和可靠性，需要满足一定的假

设条件。主要包括线性关系、多元正态分布、自变量之间的独立性、无多重共线性、残差项的独立性和同方差性等。在实际应用中，我

们需要对这些假设条件进行检验，并根据检验结果进行相应的修正。

四、多元线性回归模型的应用

多元线性回归模型广泛应用于各个领域的研究和实践中。在经济学中，可以用于预测国内生产总值和通货膨胀率等经济指标；在市场

营销中，可以用于预测销售额和用户满意度等关键指标；在医学研

多元线性回归模型

第三章多元线性回归模型

基本要求：

1、理解多元线性回归模型的定义

2、理解多元线性回归模型的假定

3、掌握参数估计的计算

4、理解参数统计性质

第一节多元线性回归模型及假定

一、多元线性回归模型

许多经济现象往往要受多个因素的影响，研究被解释变量受多个解释变量的影响，就要利用多元回归模型。

多元线性回归模型与一元线性回归模型基本类似，只不过解释变量由一个增加到两个以上，被解释变量Y 与多个解释变量k X X X ,,,21 之间存在线性关系。

假定被解释变量Y 与多个解释变量k X X X ,,,21 之间具有线性关系，是解释变量的多元线性函数，称为多元线性回归模型。即

μββββ+++++=k k X X X Y 22110 (3-1)

其中Y 为被解释变量，(1,2,

,)j X j k =为k 个解释变量，

(0,1,2,,)j j k β=为1k +个未知参数，

μ为随机误差项。

被解释变量Y 的期望值与解释变量k X X X ,,,21 的线性方程为： 01122

()k k E Y X X X ββββ=++++ (3-2)

称为多元总体线性回归方程，简称总体回归方程。

对于n 组观测值),,2,1(,,,,21n i X X X Y ki i i i =，其方程组形式为：

01122,(1,2,

,)i i i k ki i Y X X X i n ββββμ=+++

++= (3-3)

即

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+++++=+++++=+++++=n

kn k n n n k k k k X X X Y X X X Y X X X Y μββββμββββμββββ 221102

多元线性回归模型

第三章多元线性回归模型

一、名词解释

1、多元线性回归模型：在现实经济活动中往往存在一个变量受到其他多个变量影响的现象，表现在线性回归模型中

有多个解释变量，这样的模型被称做多元线性回归模型，多元是指多个解释变量

2、调整的可决系数R2:又叫调整的决定系数，是一个用于描述多个解释变量对被解释变量的联合影响程

2 2~2 2 n

度的统计量，克服了R随解释变量的增加而增大的缺陷，与R的关系为R2 =1 -（1 - R2）-

n — k —1 3、偏回归系数：在多元回归模型中，每一个解释变量前的参数即为偏回归系数，它测度了当其他解释变

量保持不变时，该变量增加1单位对被解释变量带来的平均影响程度。

4、正规方程组：采用OLS方法估计线性回归模型时，对残差平方和关于各参数求偏导，并令偏导数为0

后得到的方程组，其矩阵形式为XX ^XY。

5、方程显著性检验：是针对所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著所作的检验，旨在对模型中被解释变

量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出判断。

、单项选择题

1、C : F统计量的意义

2、A : F统计量的定义

2Z e i

3、B :随机误差项方差的估计值：？-

n _k _1

4、A :书上P92和P93公式

5、C: A参看导论部分内容；B在判断多重共线等问题的时候，很有必要；D在相同解释变量情况下可以衡量

6、C :书上P99,比较F统计量和可决系数的公式即可

7、A :书P81

8、D : A截距项可以不管它；B不考虑beta0; C相关关系与因果关系的辨析

9、B :注意！只是在服从基本假设的前提下，统计量才服从相应的分布

多元线性回归模型

在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。

多元回归分析预测法是指通过对两个或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。

多元回归分析可以达到以下目的。

(1)了解因变量和自变量之间的关系是否存在，以及这种关系的强度。也就是以自变量所解释的因变量的变异部分是否显著，且因变量变异中有多大部分可以由自变量来解释。

(2)估计回归方程，求在自变量已知的情况下因变量的理论值或预测值，以达到预测目的。

(3)评价特定自变量对因变量的贡献，也就是在控制其他自变量不变的情况下，该处变量的变化所导致的因变量变化情况。

(4)比较各处变量在拟合的回归方程中相对作用大小，寻找最重要的和比较重要的自变量。

假定被解释变量Y与多个解释变量x1,x2,…,x k之间具有线性关系，是解释变量的多元线性函数，称为多元线性回归模型，即：

式中，Y为被解释变量；x j(j=1,2,…,k)为k个解释变量，β(j j=1,2,…,k)为k个未知参数，β0是常数项，β1,β2,…,βk是回归系数，β1是x2,x3,…,x k固定时，x1每增加一个单位对Y的效应，即x1对Y的偏回归系数，同理，β2是x2对Y的偏回归系数；μ为随机误差项。

多元线性回归的计算模型

多元线性回归的计算模型[1]

一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。

设y为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为：

其中，b

0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x1每增加一

个单位对y的效应，即x

1对y的偏回归系数；同理b2为固定时，x2每增加一

个单位对y的效应，即，x

2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为：

其中，b

0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x2每增加

一个单位对y的效应，即x

2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为：

y = b

0 + b1x1 + b2x2 + e

建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是：

(1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关；

(2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的；

(3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度；

(4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。

多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和()为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标准方程组为