新修订版全国各地中考数学试题分类汇编考点9一元二次方程及应用含答案说课材料

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七年级政治导学案课题4.1 走进青春课时1主备审核班级姓名授课时间授课类型新授课授课节次1【学习目标】1.知识目标：了解青春期一些基本的生理和心理常识。

2．能力目标：能从容面对青春期生理和心理的变化；正确对待自己的生理变化。

3．情感、态度、价值观目标：以积极乐观的心态迎接青春期的到来。

【重点】了解青春期基本的生理和心理知识以及由生理变化生理变化引起的一系列心理变化。

【难点】悦纳青春、热爱青春。

【学习过程】一导入新课：（2分钟）童年留给我们最美好的回忆，好像就在昨天，你还在父母的扶助下蹒跚学步；好像就在昨天，你还在和伙伴们坐着过家家的游戏；好像就在昨天，……那么下面我们就来听一首歌，带你回到童年。

时光总是很无情，童年必须要告别，随着你进入初中，你已经跨入了人生新的阶段，一个最重要的时期——“青春期”。

今天就让老师带你们一起走进青春之门。

二、自主学习内容、指导、检测：（15分钟） 1、自主学习内容： ①青春期身体变化主要表现在哪几方面？ ②青春期心理发展有哪些特点？ ③如何处理青春期心理矛盾和烦恼？ 2、课堂检测： ①青春期的变化：青春期是人一生中身体发育的? 期，在这一时期，我们的身体将发生显著的变化。

青春期的身体变化主要表现在三个方面：、、? 。

②在青春期，我们的身体会出现一系列特殊的生理现象，如长痘痘、变声等，这些都是? 的生理现象。

③在我们的身体悄悄变化的同时，我们的? 也在发生着一系列变化。

这些变化让我们感到既? 又。

④青春期的矛盾：青春期心理充满着。

这些内心矛盾，是我们成长过程中的心理现象。

当我们感到很难解决内心矛盾时，可以采取以下方法予以解决。

向、? 、亲友以及社会寻求帮助。

学会当自己的“? ”。

例如，在情绪不好的时候，听听音乐或打打球，? 自己的不良情绪；在感到孤独的时候，与同学聊聊天，给朋友写信等。

三、释疑点拨：（8分钟）（一）青春悄悄来（板书）　活动一：《长大的感觉》提到改变，说到成长，来看看咱班同学的照片，你能猜出她是谁吗？提问：照片上的同学是否长大了？从哪里可以看得出来？长大的感觉到底是什么呢？活动二：故事欣赏 ①出示故事中谈到的同学到底怎么了？ ②结合青春期“生长高峰图”理解青春期并总结身体发育特点。

2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)：一元二次方程及其应用(解析版)

专题07一元二次方程及其应用A ．23.2(1) 3.7xB ．23.2(1) 3.7xC ．23.7(1) 3.2xD ．23.7(1) 3.2x 【答案】B【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x ，根据题意列出一元二次方程即可．【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x ，根据题意得，23.2(1) 3.7x ．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．4．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为100m ，宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m ，则小路的宽是（）A ．5mB ．70mC ．5m 或70mD ．10m【答案】A【分析】设小路宽为m x ，则种植花草部分的面积等于长为 1002m x ，宽为 502m x 的矩形的面积，根据花草的种植面积为23600m ，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小路宽为m x ，则种植花草部分的面积等于长为 1002m x ，宽为 502m x 的矩形的面积，依题意得： 1002502=3600x x 解得：15 x ，270x （不合题意，舍去），∴小路宽为5m ．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．（2023·河南·统考中考真题）关于x 的一元二次方程280x mx 的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根移项得，241x x 两边同时加上4，即2445x x ∴2(2)5x ，故选：C ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．2 ．故答案为：2 ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．31．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知一元二次方程230x x k 的两个实数根为12,x x ，若1212221x x x x ，则实数k _____________．【答案】5【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出12123,x x x x k ，代入已知等式，即可求解．【详解】解：∵一元二次方程230x x k 的两个实数根为12,x x ，∴12123,x x x x k∵1212221x x x x ，∴61k ，解得：5k ，故答案为：5 ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．32．（2023·湖南·统考中考真题）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x ，则依题意列方程为__________．【答案】 2100011440x 【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为x ，依题意列出一元二次方程即可求解．【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为x ，则依题意列方程为 2100011440x ，故答案为： 2100011440x ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．33．（2022秋·北京东城·九年级景山学校校考阶段练习）关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．【答案】k ＜1．【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=2241k 0 ，解得：k 1 ，故答案为：k 1 .【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k 的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程 2ax bx c 0a 0 中，若方程有两个不相等的实数根，则△=2b 4ac 0 ”是解答本题的关键.34．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程22220x mx m m 有两个不相等．．．．．的实数根，且12122x x x x ，则实数m _________．【答案】3【分析】利用一元二次方程22220x mx m m 有两个不相等．．．．．的实数根求出m 的取值范围，由根与系数关系得到212122,2x x m x x m m ，代入12122x x x x ，解得m 的值，根据求得的m 的取值范围，确定m 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22220x mx m m 有两个不相等．．．．．的实数根，∴22242480m m m m ，解得m>2，∵212122,2x x m x x m m ，12122x x x x ，∴2222m m m ，解得123,0m m （不合题意，舍去），∴3m 故答案为：3.【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．三、解答题35．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）解方程：2320x x ．【答案】11x ，22x 【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．【详解】解：2320x x (1)(2)0x x ∴10x 或20x ∴11x ，22x ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．36．（2023·辽宁大连·统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求20202022 年买书资金的平均增长率．【答案】20%【分析】设20202022 年买书资金的平均增长率为x ，根据2022年买书资金 2020年买书资金 21x 建立方程，解方程即可得．【详解】解：设20202022 年买书资金的平均增长率为x ，由题意得： 2500017200x ，解得0.220%x 或 2.20x （不符合题意，舍去），答：20202022 年买书资金的平均增长率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．37．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程 22210x m x m m ．(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若 2220a b a b ，求m 的值．【答案】(1)见解析；(2)m 的值为1或2【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】（1）证明：∵ 22Δ21410m m m ，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．。

全国各地中考数学试卷分类汇编：一元二次方程及其应用.doc

一元二次方程及其应用一、选择题1.（2013湖北黄冈，6，3分）已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根为（）A ．2B ．3C ．4D ．8/exercise/math/321058/?mty2.（2013贵州安顺，4，3分）已知关于x 的方程错误!未找到引用源。

的一个根为x =3，则实数k 的值为（）A ．1B ．-1C ．2D ．-2/exercise/math/10660/?mty3．（2013四川宜宾，5，3分）已知错误!未找到引用源。

是一元二次方程错误!未找到引用源。

的一个解，则m 的值是 ( )A ．-3B ．3C ． 0D ．0或3/exercise/math/109070/?mty4.（2013四川泸州，8，2分）若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．1k >-B ．1k <且0k ≠C ． 1k ≥-且0k ≠D ． 1k >-且0k ≠ /exercise/math/151339/?mty5. （2013四川泸州，10，2分）设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则2112x x x x +的值为（）A ．5B ．－5C ．1D ．－1/exercise/math/348367/?mty6. （2013福建福州，5，4分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A ．x 2＋3＝0B ．x 2＋2x ＝0C ．(x ＋1)2＝0D ．(x ＋3)(x －1)＝0/exercise/math/268827/?mty7．（2013山东滨州，10，3分）对于任意实数k ，关于x 的方程程x 2－2(k +1)x －k 2+2k －1=0的根的情况为A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定/exercise/math/266748/?mty8．（2013江苏泰州，3，3分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A ．错误!未找到引用源。

全国中考数学一元二次方程的综合中考真题分类汇总及详细答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题2．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根， ∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣+1=﹣．∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数， ∴﹣是负整数，即是正整数．∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6， ∴a 的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．3．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点. （1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点， ∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根． ∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34；（2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1， ∵=== 32-，解得：k=-1或k= 13-（舍去）， ∴k=﹣14．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，设AD=x ，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt △CFH 中，根据勾股定理，得.∵以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边， ∴，即，解得.④设AD=x ，易知，即. 而，当时，；当时，.∴△FCD 的面积s 的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.5．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)． (1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值. 【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3. 【解析】分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值．详解: （1）证明：∵m ≠0，∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程， ∴△=（m -3）2-4m ×（-3）=（m+3）2，∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x=()() 332m mm--±+，∴x1=-3m，x2=1，∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m=-1或-3．点睛: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．6．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【解析】试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得 x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用．7．已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．(1)若该方程的一个根为1，求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x ＝1代入方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0得1﹣(k ﹣3)+3k ＝0， 1﹣k ﹣3+3k ＝0 解得k ＝1； (2)证明：1,(3),3a b k c k ==-+= 24b ac ∆=-∴ △＝(k +3)2﹣4•3k ＝(k ﹣3)2≥0，所以不论k 取何实数，该方程总有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.8．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1254y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m 关于t 的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<. 【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得:98=k b94=3k b +⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+. （2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21151002t t =-++()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--⎪⎝⎭()211525001002t a t a =-+++-，∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤， ∴15220a +≥， ∴ 2.5a ≥， ∴2.54a ≤<. 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.9．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元．（1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加 20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的售价定位为每千克多少元？（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调 a %出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了 a %，且储备排骨的销量占总销量的57，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了128a %，求 a 的值．【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a =35. 【解析】【分析】（1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x 元，则每千克的利润为10-x 元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克， 11月的进货价为： 340602元/千克设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克则(10020)(10)1000x x ，解得10x =，25x =因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元. （2）根据题意可得52170(1%)100(1%)70100(1%)701001%7728a a a a ⎛⎫-++⨯+=⨯+⎪⎝⎭解得135a =,20a =(舍去) 所以a =35. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.10．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=6，x 1x 2=2m+1，再利用2x 1x 2+x 1+x 2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m 的取值范围．试题解析：（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m ＋1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m ＋1，而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．。

2021年全国各地中考数学试题分类汇编(第三期) 专题9 一元二次方程及其应用(含解析)

一元二次方程及其应用1.（2019•湖北省鄂州市•3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）A．B．C．D．0【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，代入代数式计算即可．【解答】解：∵x1+x2＝4，∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，解得：m＝，故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝是解题的关键．2.（2019•湖北省仙桃市•3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A．12 B．10 C．4 D．﹣4【分析】根据根与系数的关系可得α+β＝2，αβ＝﹣4，再利用完全平方公式变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求解；【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；故选：A．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．3.（2019•湖北省咸宁市•3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≤1C．m＞1 D．m≥1【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，解得：m≤1．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．4.（2019•四川省达州市•3分）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500（1+x）2＝9100B．2500（1+x%）2＝9100C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．5. （2019•广东广州•3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（）A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，解得：k＝±2．∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，∴△＝[﹣（k ﹣1）]2﹣4×1×（﹣k +2）≥0，解得：k ≥2﹣1或k ≤﹣2﹣1，∴k ＝2．故选：D ．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合（x 1﹣x 2+2）（x 1﹣x 2﹣2）+2x 1x 2＝﹣3，求出k 的值是解题的关键．6. （2019•广西北部湾•3分）扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为xm ，则可列方程为（） A ．(30﹣x ) (20﹣x ) =43×20× 30 B ． (30﹣2x ) (20﹣x ) =41×20× 30 C ． 30 x +2×20x ) =41×20× 30 D ． (30﹣2x ) (20﹣x ) =43×20× 30。

全国各地中考数学分类：一元二次方程组综合题汇编附答案解析

全国各地中考数学分类：一元二次方程组综合题汇编附答案解析一、一元二次方程1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围；（2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2， ∴k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤12，∴k ＝－3.2．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．（1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0和（2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--．【解析】【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论m 取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为．令y=0，解得∴A()，B(4,0)作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--，即AM 的解析式为112y x =--．3．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长．【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0，解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0，解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．4．已知：关于x 的方程x 2－4mx ＋4m 2－1＝0. (1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC 为等腰三角形，BC ＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2 【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17 【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x 2﹣4mx +4m 2﹣1=0的根，将x =5代入原方程可求出m 值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m ）2﹣4（4m 2﹣1）=4＞0，∴无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC 为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x 2﹣4mx +4m 2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．5．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为1、2、3或6，∴a的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．6．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0 a=1 b=﹣7 c=10 ∵b 2﹣4ac=9＞0∴x=b 2a-=732±∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根．（1）当m=2时，求△ABC 的周长；（2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1，可求得m. 【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x 2﹣2x+34=0， ∴x 1=12，x 2=32．当12为腰时，12+12<32， ∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC 的周长为72．（2）若△ABC 为等边三角形，则方程有两个相等的实数根， ∴△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1=0， ∴m 1=m 2=1．答：当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.7．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（）【答案】124x x 23==-，【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）解得124x x 23==-，8．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.月份用水量（吨）水费（元）四月3559.5五月80151【答案】9．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S 的值为2 ∴S 的值能为2，此时k 的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．10．关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x .（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值. 【答案】(1) k ＜14;(2) k=0. 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0，即可求出k 值．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k-1）x+k 2=0有两个不等实根x 1，x 2， ∴△=（2k-1）2-4×1×k 2=-4k+1＞0，解得：k ＜14，即实数k 的取值范围是k ＜14；（2）由根与系数的关系得：x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2， ∵x 1+x 2+x 1x 2-1=0， ∴1-2k+k 2-1=0， ∴k 2-2k=0 ∴k=0或2，∵由（1）知当k=2方程没有实数根， ∴k=2不合题意，舍去， ∴k=0．【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．11．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) .(1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）55t ±= 【解析】【分析】（1）首先根据勾股定理计算AB 的长，再根据相似比例表示PE 的长度，再结合矩形的性质即可求得t 的值.（2）根据面积相等列出方程，求解即可. 【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，90,8,6C AC BC ︒∠===Q ，22228610AB AC BC ∴=+=+=102//,,1068PA PE AE t PE AEPE BC AB BC AC -∴==∴==Q 34(102),(102)55PE t AE t ∴=-=-，当PE CF =时，四边形PECF 是矩形，3(102)5t t ∴-= 解得3011t = （2）由题意22424116825552t t =+=⨯⨯⨯ 整理得2t 550t -+=，解得55t ±=552t ∴=，ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍。

全国中考数学一元二次方程的综合中考真题汇总附详细答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．2．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34；（2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，∵=== 32-，解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣13．将m 看作已知量，分别写出当0<x<m 和x>m 时，与之间的函数关系式；4．解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0(配方法)；(2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋2x 2＝1－21＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32. ∴(x －1)2＝32.∴x －1＝.∴x 1＝1x 2＝1 (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.5．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x （元）之间的关系式为y ＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x ﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w 元，根据题意得：w ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a ＝﹣10＜0，∴当x ＝50时，w 取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.6．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元降至 32.4元就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ．40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由题意，得()4030y (448)5100.5y --⨯+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5，∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．7．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.8．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【解析】【分析】设每件商品涨价x 元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解【详解】解：设每件商品涨价x 元，则销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件．根据题意，得(50010)[(50)40]8000x x -+-=．解得110x =，230x =．经检验，110x =，230x =都符合题意．当10x =时，5060x +=，50010400x -=；当30x =时，5080x +=，50010200x -=．所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解9．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.【答案】x 1＝2－5 ，x 2＝2＋5.【解析】试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式24b b ac x -±-=求解即可. 试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x ＝420±＝2±5 ， ∴x 1＝2－5 ，x 2＝2＋5.10． ∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m 吨（或水费是按y=1.7x 来计算的），五月份用水量超过m 吨（或水费是按来计算的）则有151=1.7×80+（80－m ）×即m 2－80m+1500=0解得m 1=30，m 2=50．又∵四月份用水量为35吨，m 1=30＜35，∴m 1=30舍去．∴m=50【解析】。

全国各地中考数学分类：一元二次方程综合题汇编及答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．（1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114xx +=-，此时函数图象与x 轴的交点分别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--．【解析】【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论m 取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为．令y=0，解得∴A()，B(4,0)作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--，即AM 的解析式为112y x =--．2．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0 a=1 b=﹣7 c=10 ∵b 2﹣4ac=9＞0∴2b b 4ac -±-732±∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根．（1）当m=2时，求△ABC 的周长；（2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1，可求得m. 【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x 2﹣2x+34=0， ∴x 1=12，x 2=32．当12为腰时，12+12<32， ∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC 的周长为72．（2）若△ABC 为等边三角形，则方程有两个相等的实数根， ∴△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1=0， ∴m 1=m 2=1．答：当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.3．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（）【答案】124x x 23==-，【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）解得124x x 23==-，4．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4， ∵无论m 为何值时m 2≥0， ∴m 2+4≥4＞0，即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ，解得t=0，所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.5．关于x 的方程()2204kkx k x +++=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【解析】【分析】()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0>，由此可以得到关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围.()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.【详解】解：()1依题意得2(2)404kk k =+-⋅>， 1k ∴>-，又0k ≠，k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程()2204kkx k x +++=的两根分别为1x ，2x ，由根与系数的关系有：1212214k x x kx x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，212k k +∴-=， 43k ∴=-，由()1知，1k >-，且0k ≠，43k ∴=-不符合题意，因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。

2022中考真题分类9——一元二次方程 (参考答案)

2022中考真题分类9——一元二次方程一、方程的解1. （2022·青海）已知关于x 的方程230x mx +=+的一个根为1x =，则实数m 的值为（） A ．4 B ．4− C ．3 D ．3−【答案】B【分析】根据方程根的定义，将1x =代入方程，解出m 的值即可．【详解】解：关于x 的方程230x mx +=+的一个根为1x =，所以130++=m ，解得4m =−．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．2. （2022·湖南益阳）若x ＝−1是方程x 2+x +m ＝0的一个根，则此方程的另一个根是（） A ．−1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】B【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】设x 2+x +m ＝0另一个根是α， ∴−1+α＝−1， ∴α＝0，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．3. （2022·广西贵港）若2x =−是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（） A ．0，2−B ．0，0C ．2−，2−D ．2−，0【分析】直接把2x =−代入方程，可求出m 的值，再解方程，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意，∵2x =−是一元二次方程220x x m ++=的一个根，把2x =−代入220x x m ++=，则 2(2)2(2)0m −+⨯−+=，解得：0m =； ∴220x x +=， ∴(2)0x x +=， ∴12x =−，0x =， ∴方程的另一个根是0x =；故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．4. （2022·江苏连云港）若关于x 的一元二次方程()2100mx nx m +−=≠的一个解是1x =，则m n +的值是_______．【答案】1【分析】根据一元二次方程解的定义把1x =代入到()2100mx nx m +−=≠进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()2100mx nx m +−=≠的一个解是1x =，∴10m n +−=， ∴1m n +=，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．5. （2022·山东聊城）用配方法解一元二次方程23610x x +−=时，将它化为()2x a b+=的形式，则a b +的值为（） A ．103 B ．73C ．2D ．43二、根的判别式6.（2022·四川攀枝花）若关于x的方程20x x m−−=有实数根，则实数m的取值的范围是（）A．14m<B．14m≤C．14m≥−D．14m>−【详解】解析：关于7.（2022·湖北荆州）关于x的方程2320x kx−−=实数根的情况，下列判断正确的是（）A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根C．没有实数根D．有一个实数根【分析】根据根的判别式直接判断即可得出答案．【详解】解：对于关于x 的方程2320x kx −−=， ∵()22341(2)980k k ∆=−−⨯⨯−=+>， ∴此方程有两个不相等的实数根．故选B ．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8. （2022·江苏淮安）若关于x 的一元二次方程220−−=x x k 没有实数根，则k 的值可以是（） A ．2− B ．1− C ．0 D ．1【答案】A【分析】根据根的判别式列出不等式求出k 的范围即可求出答案．【详解】解：∵一元二次方程220−−=x x k 没有实数根， ∴()()2241440k k ∆=−−⨯⨯−=+<， ∴1k <−，故选：A.【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ0<时，方程无实数根”是解题的关键．9. （2022·辽宁盘锦）关于x 的一元二次方程m 2x −mx −14＝0有两个相等的实数根，则m＝_____．10. （2022·山东东营）关于x 的一元二次方程（k －1）x 2－2x +1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_______．【答案】k ＜2且k ≠1【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k −1≠0且∆＝（−2）2−4（k −1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程（k －1）x 2－2x +1=0有两个不相等的实数根， ∴k －1≠0且∆=（－2）2－4（k －1）＞0，解得：k ＜2且k ≠1．故答案为：k ＜2且k ≠1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式∆＝b 2−4ac ：当∆＞0，方程有两个不相等的实数根；当∆＝0，方程有两个相等的实数根；当∆＜0，方程没有实数根．11. （2022·四川宜宾）若关于x 的一元二次方程2210ax x 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A ．0a ≠ B ．1a >−且0a ≠C ．1a ≥−且0a ≠D ．1a >−【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a ≠0，Δ=22−4a ×（−1）=4+4a ＞0，再求出即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2+2x −1=0有两个不相等的实数根， ∴a ≠0，Δ=22−4a ×（−1）=4+4a ＞0，解得：a ＞−1且a ≠0，故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为常数，a ≠0），当b 2−4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2−4ac =0时，方程有两个相等的实数根；当b 2−4ac ＜0时，方程没有实数根．12. （2022·西藏）已知关于x 的一元二次方程（m −1）x 2+2x −3＝0有实数根，则m 的取值范围是（） A ．m ≥23B ．m ＜23C ．m ＞23且m ≠1D ．m ≥23且m ≠1(2=2410m m ⎧−⎨−≠⎩解得：m ≥23且故选D ．【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围．注意不要忽略一元二次13. （2022·四川巴中）对于实数a ，b 定义新运算：2a b ab b =−※，若关于x 的方程1x k =※有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（） A ．14k >−B ．14k <−C ．14k >−且0k ≠D ．14k ≥−且0k ≠【答案】A【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．【详解】解：∵1x k =※， ∴2x x k −=，即20x x k −−=，14. （2022·贵州安顺）定义新运算a b *，对于任意实数a ，b 满足()()1a b a b a b *=+−−，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如43(43)(43)1716*=+−−=−=，若x k x *=（k 为实数）是关于x 的方程，则它的根的情况是（） A ．有一个实根 B ．有两个不相等的实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根【答案】B【分析】将x k *按照题中的新运算方法展开，可得()()1x k x k x k *=+−−，所以x k x*=可得()()1x k x k x +−−=，化简得：2210x x k −−−=，()()222141145k k ∆=−−⨯⋅−−=+，可得0∆>，即可得出答案.【详解】解：根据新运算法则可得：()()2211x k x k x k x k *=+−−=−−，则x k x *=即为221x k x −−=，整理得：2210x x k −−−=，则21,1,1a b c k ==−=−−，可得：()()222141145k k ∆=−−⨯⋅−−=+20k ≥， 2455k ∴+≥；0∴∆>，∴方程有两个不相等的实数根；故答案选：B.【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.三、韦达定理15. （2022·内蒙古包头）若12,x x 是方程2230x x −−=的两个实数根，则212x x ⋅的值为（） A ．3或9− B ．3−或9 C ．3或6− D ．3−或621223x x x x =−122··3x x x x =−【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是16. （2022·四川乐山）关于x 的一元二次方程2320x x m −+=有两根，其中一根为1x =，则这两根之积为（） A ．13B ．23C ．1D ．13−【详解】解：关于17.（2022·四川宜宾）已知m、n是一元二次方程2250x x+−=的两个根，则22m mn m++的值为（）A．0B．－10C．3D．10【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m−5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．【详解】解：∵m、n是一元二次方程2250x x+−=的两个根，∴mn=－5，m2+2m−5=0，∴m2+2m=5，∴22m mn m++=5－5=0，故选：A．【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=−5，m2+2m=5是解题的关键．18.（2022·山东日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且22123 16x x+=，则m=__________．【答案】18−##−0.12519. （2022·贵州黔东南）已知关于x 的一元二次方程220x x a −−=的两根分别记为1x ，2x ，若11x =−，则2212a x x −−的值为（）A ．7B ．7−C ．6D ．6−【答案】B【分析】根据根与系数关系求出2x =3，a =3，再求代数式的值即．【详解】解：∵一元二次方程220x x a −−=的两根分别记为1x ，2x ， ∴1x +2x =2， ∵11x =−， ∴2x =3， ∴1x ·2x =−a =−3， ∴a =3，∴22123917a x x −−=−−=−．故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．20. （2022·四川巴中）α、β是关于x 的方程210x x k −+−=的两个实数根，且224ααβ−−=，则k 的值为________．【答案】4−【分析】222()4ααβαααβ−−=−−+=，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k 的一元一次方程，即可解得答案．【详解】解：∵αβ、是方程210x x k −+−=的根 ∴210k αα−+−=，1αβ+=∴222()114k k ααβαααβ−−=−−+=−+−=−= ∴k =−4 故答案是−4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键．21. （2022·四川眉山）设1x ，2x 是方程2230x x +−=的两个实数根，则2212x x +的值为________．【答案】10【分析】由根与系数的关系，得到122x x +=−，123x x =−，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵1x ，2x 是方程2230x x +−=的两个实数根， ∴122x x +=−，123x x =−，∴2212122212()2(2)2(3)10x x x x x x =+−=−−⨯−=+；故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握得到122x x +=−，123x x =−．22. （2022·黑龙江绥化）设1x 与2x 为一元二次方程213202x x ++=的两根，则()212x x −的值为________．23. （2022·四川泸州）已知关于x 的方程()22210x m x m −−+=的两实数根为1x ，2x ，若()()12113++=x x ，则m 的值为（）A ．3−B ．1−C ．3−或3D ．1−或324. （2022·湖北鄂州）若实数a 、b 分别满足a 2−4a +3＝0，b 2−4b +3＝0，且a ≠b ，则11a b+的值为 _____．25. （2022·四川内江）已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2−2x +k −1＝0的两实数根，且2112x x x x +＝x 12+2x 2−1，则k 的值为 _____．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．26. （2022·内蒙古呼和浩特）已知1x ，2x 是方程220220x x −−=的两个实数根，则代数式321122022−+x x x 的值是（）A ．4045B ．4044C ．2022D ．1【答案】A【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：解：∵1x ，2x 是方程220220x x −−=的两个实数根，∴2112022x x −=，122022x x =−，121x x =+321122022−+x x x ()()()2222211212121220222122022x x x x x x x x x =−+=+=+−=−⨯−4045= 故选A【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．27. （2022·湖北武汉）若关于x 的一元二次方程222410x mx m m −+−−=有两个实数根1x ，2x ，且()()121222217x x x x ++−=，则m =（）A ．2或6B ．2或8C ．2D ．62124x x m =−，再代入得方程的一元二次方程1)0≥,∵212122,41x x m x x m m +==−−，又()()121222217x x x x ++−= ∴12122()130x x x x +−−=把212122,41x x m x x m m +==−−代入整理得,28120m m −+=解得,122,6m m == 故选A【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合12122()130x x x x +−−=，找出关于m 的一元二次方程．28. （2022·四川遂宁）已知m 为方程2320220x x +−=的根，那么32220252022m m m +−+的值为（）A ．2022−B ．0C ．2022D ．4044【答案】B【分析】根据题意有2320220m m +−=，即有32320220m m m +−=，据此即可作答．【详解】∵m 为2320220x x +−=的根据， ∴2320220m m +−=，且m ≠0， ∴32320220m m m +−=，则有原式=322(32022)(32022)000m m m m m +−−+−=−=，故选：B ．【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m 为2320220x x +−=得到2320220m m +−=是解答本题的关键．29. （2022·湖北十堰）已知关于x 的一元二次方程22230x x m −−=．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值．【答案】(1)见解析 (2)1m =±【分析】（1）根据根的判别式24b ac ∆=−，即可判断；（2）利用根与系数关系求出2αβ+=，由25αβ+=即可解出α，β，再根据23m αβ⋅=−，即可得到m 的值．【详解】（1）()22224241(3)412b ac m m ∆=−=−−⨯⋅−=+， ∵2120m ≥， ∴241240m +≥>，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）方程的两个实数根α，β，由根与系数关系可知，2αβ+=，23m αβ⋅=−， ∵25αβ+=， ∴52αβ=−， ∴522ββ−+=，解得：3β=，1α=−， ∴23133m −=−⨯=−，即1m =±．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．30. ．（2022·湖北随州）已知关于x 的一元二次方程()222110x k x k ++++=有两个不等实数根1x ，2x ． (1)求k 的取值范围； (2)若125x x =，求k 的值．）解：关于四、实际应用31. （2022·宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x ，根据题意列出方程，正确的是（） A ．26.2(1)8.9x += B ．28.9(1) 6.2x +=C ．26.2(1)8.9x +=D ．26.2(1) 6.2(1)8.9x x +++=【答案】A【分析】设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x ，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x 的一元二次方程即可．【详解】解：依题意，得26.2(1)8.9x +=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键．32. （2022·江苏南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（） A ．10.5% B ．10%C ．20%D ．21%【答案】B【分析】设每月盈利的平均增长率为x ，根据今年1月盈利3000元，3月盈利3630元，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设每月盈利的平均增长率为x ，依题意，得：3000（1＋x ）2＝3630，解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝−2.1（不合题意，舍去）．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．33. （2022·广西河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x ．则所列方程为( ) A ．30（1+x ）2＝50B ．30（1−x ）2＝50C ．30（1+x 2）＝50D ．30（1−x 2）＝50【答案】A【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到()230150x +=，从而可以判断哪个选项是符合题意的．【详解】解：由题意可得，230(1)50x +=，故选：A ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．34. （2022·山东泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（） A ．()316210x x −= B ．()316210x −= C ．()316210x x −= D ．36210x =【答案】A【分析】设这批椽的数量为x 株，则一株椽的价钱为3（x −1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵这批椽的数量为x 株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x −1）文，依题意得：3（x −1）x ＝6210，故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．35.（2022·江苏泰州）如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？【答案】4m【分析】根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得(50−2x)×(38−2x)=1260解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)答：道路的宽应为4m．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程．36.（2022·江苏无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m（如图）．(1)若矩形养殖场的总面积为362m，求此时x的值；(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？37.（2022·辽宁沈阳）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．∴当10x =时，S 有最大值，即为150S =；故答案为：150．【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系．38. （2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．39. （2022·湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． (1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值； (3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y ，5月份再生纸的产量为a 吨， 21200(1)(1)(125%)1200(1)y a y y a +⋅+=+⨯+⋅∴()2120011500y +=答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．40. （2022·辽宁朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y （件）与每件售价x （元）之间存在一次函数关系（其中8≤x ≤15，且x 为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． (1)求y 与x 之间的函数关系式．(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ (3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w （元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)5150y x =−+ (2)13(3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y 与x 之间的函数关系式；（2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可；（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w 关于x 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．【详解】（1）解：设y 与x 之间的函数关系式为()0y kx b k =+≠，根据题意得：91051195k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：5150k b =−⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为5150y x =−+；（2）解：（−5x +150）（x −8）=425，整理得：2383450x x −+=，解得：1213,25x x ==， ∵8≤x ≤15，∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；（3）解：根据题意得：()()()851508w y x x x =−=−+− 251901200x x =−+− ()2519605x =−−+∵8≤x ≤15，且x 为整数，当x <19时，w 随x 的增大而增大， ∴当x =15时，w 有最大值，最大值为525．答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系，41. （2022·辽宁丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y （件）与销售单价x （元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：(1)直接写出y 与x 的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？【答案】(1)y ＝−2x +160 (2)销售单价应定为50元(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元【分析】（1）设每天的销售数量y （件）与销售单价x （元/件）之间的关系式为y ＝kx +b ，用待定系数法可得y ＝−2x +160；（2）根据题意得（x−30）•（−2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；（3）设每天获利w元，w＝（x−30）•（−2x+160）＝−2x2+220x−4800＝−2（x−55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．【详解】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，把（35，90），（40，80）代入得：3590 4080k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得2160kb=−⎧⎨=⎩，∴y＝−2x+160；（2）根据题意得：（x−30）•（−2x+160）＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，∴x＝50，答：销售单价应定为50元；（3）设每天获利w元，w＝（x−30）•（−2x+160）＝−2x2+220x−4800＝−2（x−55）2+1250，∵−2＜0，对称轴是直线x＝55，而x≤54，∴x＝54时，w取最大值，最大值是−2×（54−55）2+1250＝1248（元），答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．42.（2022·湖北荆门）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝−110x+9．同时销售过程中的其它开支为50万元．(1)求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？(2)若净利润预期不低于17．5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？43. （2022·辽宁锦州）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y （个）与销售单价x （元）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？(3)设该玩具日销售利润为w 元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)2100y x =−+； (2)40元或20元；(3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x 元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；（3）根据题意，列出w 与x 的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．【详解】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为y kx b =+，把点（25，50）和点（35，30）代入，得 25503530k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2100k b =−⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为2100y x =−+；（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是x 元，则(10)(2100)600x x −⨯−+=，解得：140x =，220x =，∴当天玩具的销售单价是40元或20元；（3）解：根据题意，则(10)(2100)w x x =−⨯−+，整理得：22(30)800w x =−−+； ∵20−<，∴当30x =时，w 有最大值，最大值为800；∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．44. （2022·贵州毕节）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A 、B 两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价−进货价）(1)网店第一次用850元购进A 、B 两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A 、B 两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B 款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B 款钥匙扣平均每天销售利润为90元？【答案】(1)A 、B 两款钥匙扣分别购进20件和10件(2)购进A 款冰墩墩钥匙扣40件，购进B 款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元(3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B 款钥匙扣平均每天销售利润为90元【分析】(1)设A 、B 两款钥匙扣分别购进x 和y 件，根据“用850元购进A 、B 两款钥匙扣2022中考真题分类因赛理科31 共30件”列出二元一次方程组即可求解； (2)设购进A 款冰墩墩钥匙扣m 件，则购进B 款冰墩墩钥匙扣(80−m )件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式3025(80)2200m m 求出40m ≤；设销售利润为w 元，得到3960w m ，w 随着m 的增大而增大，结合m 的范围由此即可求出最大利润；(3)设B 款冰墩墩钥匙扣降价a 元销售，则平均每天多销售2a 件，每天能销售(4+2a )件，每件的利润为(12−a )元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a )(12−a )=90，求解即可．【详解】（1）解：设A 、B 两款钥匙扣分别购进x 和y 件，由题意可知：303025850x y x y +=⎧⎨+=⎩，解出：2010x y =⎧⎨=⎩，故A 、B 两款钥匙扣分别购进20和10件．（2）解：设购进A 款冰墩墩钥匙扣m 件，则购进B 款冰墩墩钥匙扣(80−m )件，由题意可知：3025(80)2200m m ，解出：40m ≤，设销售利润为w 元，则(4530)(3725)(80)3960w m m m ，∴w 是关于m 的一次函数，且3＞0，∴w 随着m 的增大而增大，当40m =时，销售利润最大，最大为3409601080元，故购进A 款冰墩墩钥匙扣40件，购进B 款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．（3）解：设B 款冰墩墩钥匙扣降价a 元销售，则平均每天多销售2a 件，每天能销售(4+2a )件，每件的利润为(12−a )元，由题意可知：(4+2a )(12−a )=90，解出：a 1=3，a 2=7，故B 款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．【点睛】本题考察了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键．。

2022年全国各地中考数学试卷分类汇编一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用一、选择题1.〔2022湖北黄冈，6，3分〕一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，那么另一根为〔〕A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】C ．【解析】根据一元二次方程的根的定义，将x ＝2代入原方程，得4－12＋c ＝0，c ＝8，所以原方程就是x 2－6x ＋8＝0，解之得x ＝2或4，所以另一根为4．【方法指导】此题考查一元二次方程的根的定义和解法．解答此题还可设另一根为x ，由一元二次方程的根与系数的关系，得x ＋2＝6，所以x ＝4．如果x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ．2.〔2022贵州安顺，4，3分〕关于x 的方程062=--kx x 的一个根为x =3，那么实数k 的值为〔〕A ．1B ．-1C ．2D ．-2【答案】：A ．【解析】因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32﹣3k ﹣6=0成立，解得k=1．【方法指导】此题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．3．〔2022四川宜宾，5，3分〕2=x 是一元二次方程022=++mx x 的一个解，那么m 的值是 ()A ．-3B ．3C ．0D ．0或3【答案】A ．【解析】把2=x 代入原方程可得到一个关于m 的一元一次方程，再求解，应选A.【方法指导】此题考查了一元一次方程的解法及方程解的定义，解题时遇到方程的解可把解代入原方程，这是常用方法.4.〔2022四川泸州，8，2分〕假设关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围是〔〕A ．1k >-B ．1k <且0k ≠C ． 1k ≥-且0k ≠D ． 1k >-且0k ≠【答案】D【解析】根据条件得(－2)2－4×k×(－1)＞0，且k≠0；解得1k >-且0k ≠，所以选D ．【方法指导】此题从考查一元二次方程的概念及根的判别式出发，同时也考查了列、解不等式(组)的知识，有较大的综合度．【易错警示】容易只注重根的判别式，而无视二次项不为0这个暗含条件．5. 〔2022四川泸州，10，2分〕设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根，那么2112x x x x +的值为〔〕A ．5B ．－5C ．1D ．－1【答案】B【解析】由得x 1+x 2＝－3，x 1×x 2＝－3，那么原式＝21212212)(x x x x x x -+＝3)3(2)3(2--⨯--＝－5．应选B ．【方法指导】此题着重考查一元二次方程根与系数关系的应用，同时也考查了代数式变形、求值的方法．6. 〔2022福建福州，5，4分〕以下一元二次方程有两个相等实数根的是〔〕A ．x 2＋3＝0B ．x 2＋2x ＝0C ．(x ＋1)2＝0D ．(x ＋3)(x －1)＝0【答案】C【解析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b 2－4ac 的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．A 、△＝0－4×3＝－12＜0，那么方程没有实数根，所以A 选项错误；B 、△＝4－4×0＝4＞0，那么方程有两个不相等的实数根，所以B 选项错误；C 、x 2＋2x ＋1＝0，△＝4－4×1＝0，那么方程有两个相等的实数根，所以C 选项正确；D 、x 1＝－3，x 2＝1，那么方程有两个不相等的实数根，所以D 选项错误．应选C ．【方法指导】此题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△＝0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．【易错警示】运用根的判别式时，要先化为一般形式否那么易出错吆！7．〔2022山东滨州，10，3分〕对于任意实数k ，关于x 的方程程x 2－2(k +1)x －k 2+2k －1=0的根的情况为A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定【答案】：C ．【解析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b 2-4ac 的值的符号就可以了．：∵a=1，b=-2(k+1)，c=-k 2+2k-1，∴△=b 2-4ac=[-2(k+1)]2-4×1×(-k 2+2k-1)=8+8k 2＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，应选C .【方法指导】此题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．8．〔2022江苏泰州，3，3分〕以下一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是〔〕A ．2310x x -+=B ．210x +=C ．2210x x -+=D ．2230x x ++=【答案】A ．【解析】A ．2310x x -+=，∵b 2-4ac=〔-3〕2-4×1×1=5＞0，∴方程有两个不相等的实数根；同理，在方程210x +=，2210x x -+=，2230x x ++=中，b 2-4ac=-3＜0无实数根、b 2-4ac=0有两个相等实数根、b 2-4ac=-8＜0无实数根.【方法指导】此题考查一元二次方程根的判别式.在一元二次方程ax 2+bx+c=0中，需要把握根的存在三种情况：b 2-4ac ≥0，方程有实数根〔两个或一个〕；b 2-4ac ＜0，无实数根.9．〔2022广东广州，9，4分〕假设0205<+k ，那么关于x 的一元二次方程042=-+k x x的根的情况是〔〕A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断【答案】A .【解析】△=16+4k=)205(54+k ，∵0205<+k ，∴△＜0，故答案选A . 【方法指导】解决一元二次方程根的判别式的问题，通常都是先算判别式，然后根据条件作出判断。

中考数学真题分类汇编(第三期)专题9 一元二次方程及其应用试题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试

一元二次方程及其应用一.选择题1.（2018·某某省某某·4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值X围是（）A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3 D．m≥3【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根可得△=（﹣2）2﹣4m＞0，求出m的取值X围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m＞0，∴m＜3，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．2. （2018•呼和浩特•3分）下列运算及判断正确的是（）#ERR1A．﹣5×÷（﹣）×5=1B．方程（x2+x﹣1）x+3=1有四个整数解C．若a×5673=103，a÷103=b，则a×b=D．有序数对（m2+1，m）在平面直角坐标系中对应的点一定在第一象限【解答】解：A．﹣5×÷（﹣）×5=﹣1×（﹣5）×5=25，故错误；B．方程（x2+x﹣1）x+3=1有四个整数解：x=1，x=﹣2，x=﹣3，x=﹣1，故正确；C．若a×5673=103，a÷103=b，则a×b=×=，故错误；D．有序数对（m2+1，m）在平面直角坐标系中对应的点一定在第一象限或第四象限或x轴正半轴上，故错误；故选：B．3.（2018·某某某某·3分）已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（）A. x1+x2=1B. x1•x2=﹣1C. |x1|＜|x2|D. x12+x1=【答案】D【解析】【分析】直接利用根与系数的关系对A.B进行判断；由于x1+x2＜0，x1x2＜0，则利用有理数的性质得到x1.x2异号，且负数的绝对值大，则可对C进行判断；利用一元二次方程解的定义对D进行判断．【详解】根据题意得x1+x2=﹣=﹣1，x1x2=﹣，故A.B选项错误；∵x1+x2＜0，x1x2＜0，∴x1.x2异号，且负数的绝对值大，故C选项错误；∵x1为一元二次方程2x2+2x﹣1=0的根，∴2x12+2x1﹣1=0，∴x12+x1=，故D选项正确，故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关内容是解题的关键.4.（2018·某某某某·3分）如图，有一X矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32 C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）=32．故选B．二.填空题1. （2018·某某荆州·3分）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1.x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是．【解答】解：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1.x2，∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k，∵x12+x22=4，∴=4，（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，2k2+2k﹣4=0，k2+k﹣2=0，k=﹣2或1，∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，k≥0，∴k=1，∴x1•x2=k2﹣k=0，∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4．故答案为：4．2.（2018·某某省某某·3分）关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a= ﹣2 （一个即可）．【解答】解：∵关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，∴△=42+8a≥0，解得a≥﹣2，∴负整数a=﹣1或﹣2．故答案为﹣2．3.（2018·某某省某某·5分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个相等的实数根，则m=．【分析】利用判别式的意义得到△=32﹣4m=0，然后解关于m的方程即可，【解答】解：根据题意得△=32﹣4m=0，解得m=．故答案为．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．4. （4分）已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22=．【分析】找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．【解答】解：∵x1.x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，∴x1+x2=．x1x2=﹣，∴x12+x22=，故答案为：【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．三.解答题1. （2018·某某某某·6分）解方程：2x2﹣4x﹣30=0．【分析】利用因式分解法解方程即可；【解答】解：∵2x2﹣4x﹣30=0，∴x2﹣2x﹣15=0，∴（x﹣5）（x+3）=0，∴x1=5，x2=﹣3．【点评】本题考查一元二次方程的解法﹣因式分解法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法，属于中考基础题．2. （2018·某某江汉·7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m 的X围，再在此X围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2=21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的X围确定m的值．【解答】解：（1）根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，解得m≥﹣，所以m的最小整数值为﹣2；（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，∵（x1﹣x2）2+m2=21，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，整理得m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，∵m≥﹣，∴m的值为2．3. （2018·某某某某·7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．（1）求k的取值X围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解得k≤．（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，∵x12+x22=11，∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，∵k≤，∴k=4（舍去），∴k=﹣1．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．4．（2018·某某省某某市）（8.00分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2.3.4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．5．（2018·某某市B卷）（10.00分）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．【分析】（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；（2）根据单价=总价÷数量可求出修建每个沼气池的平均费用，进而可求出修建每个垃圾集中点的平均费用，设y=a%结合总价=单价×数量即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，进而可得出a的值．【解答】解：（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，根据题意得：x≥4（50﹣x），解得：x≥40．答：按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池．（2）修建每个沼气池的平均费用为78÷[40+（50﹣40）×2]=1.3（万元），×2=2.6（万元）．×（1+a%）×40×（1+5a%）+×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×（1+10a%），设y=a%，整理得：50y2﹣5y=0，解得：y1=0（不合题意，舍去），y2=0.1，∴a的值为10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，列出关于x的一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．6. （2018•呼和浩特•7分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1•x2=．解：∵ax2+bx+c=0（a≠0），∴x2+x=﹣，∴x2+x+（）2=﹣+（）2，即（x+）2=，∵4a2＞0，∴当b2﹣4ac≥0时，方程有实数根，∴x+=±，∴当b2﹣4ac＞0时，x1=，x2=；当b2﹣4ac=0时，x1=x2=﹣；∴x1•x2====，或x1•x2=（﹣）2===，∴x1•x2=．7. （2018•某某•10分）先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m是方程x2+x﹣2=0的根解：原式=4m2﹣1﹣（m2﹣2m+1）+8m3÷（﹣8m）=4m2﹣1﹣m2+2m﹣1﹣m2=2m2+2m﹣2=2（m2+m﹣1）．∵m是方程x2+x﹣2=0的根，∴m2+m﹣2=0，即m2+m=2，则原式=2×（2﹣1）=2．7. （2018•某某•10分）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．（1）证明：由题意可得：△=（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）=1+25m2﹣20m+20m=25m2+1＞0，故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5=0，解得：x1=﹣，x2=5，由|x1﹣x2|=6，得|﹣﹣5|=6，解得：m=1或m=﹣；（3）解：由（2）得：当m＞0时，m=1，此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x=2，由题已知，P，Q关于x=2对称，∴ =2，即2a=4﹣n，∴4a2﹣n2+8n=（4﹣n）2﹣n2+8n=16．。

全国2019—2020年最新中考数学真题分类汇编 9 一元二次方程及其应用专题精品试题及答案解析

一元二次方程及其应用考点一、一元二次方程的解法（10分）1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

考点二、一元二次方程根的判别式（3分）根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆考点三、一元二次方程根与系数的关系（3分）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

考点四、分式方程（8分）1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。

全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题分类汇总附详细答案

全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题分类汇总附详细答案一、一元二次方程1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值．【答案】0. 【解析】【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝，由条件，知12121211x x x x x x ++==3，即33a -=，且94a ≤，故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-.Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤，又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义.综上，代数式2216k k k -+-的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，2．如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2cm/s 的速度向C 点移动．如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2？【答案】经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2．【解析】【分析】作出辅助线，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，即可得出S △PQB =12×PB×QE ，有P 、Q 点的移动速度，设时间为t 秒时，可以得出PB 、QE 关于t 的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】解：如图，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，则∠QEB ＝90°． ∵∠ABC ＝30°， ∴2QE ＝QB ． ∴S △PQB ＝12•PB•QE ．设经过t 秒后△PBQ 的面积等于4cm 2，则PB ＝6﹣t ，QB ＝2t ，QE ＝t ．根据题意，12•（6﹣t ）•t ＝4． t 2﹣6t+8＝0． t 2＝2，t 2＝4．当t ＝4时，2t ＝8，8＞7，不合题意舍去，取t ＝2．答：经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．3．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0. 【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n，要注意n的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x1+x2=2n，x1x2=324n+-，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2，由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍.②若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14 (舍)，综上所述，n=0.4．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，整理得：x2﹣65x﹣750=0，（x﹣75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用5．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣26a a + ，x 1x 2=6aa + ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣+1=﹣．∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数， ∴﹣是负整数，即是正整数．∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6， ∴a 的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．6．已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）1x =，2x =. 【解析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404mm m +->g g，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得134x +=，234x =. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.7．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.【答案】x 1，x 2 【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x ＋1)(x －1)＝x 2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1 ∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴∴x 1x 2.8．关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x .（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值. 【答案】(1) k ＜14;(2) k=0. 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0，即可求出k 值．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个不等实根x1，x2，∴△=（2k-1）2-4×1×k2=-4k+1＞0，解得：k＜14，即实数k的取值范围是k＜14；（2）由根与系数的关系得：x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1•x2=k2，∵x1+x2+x1x2-1=0，∴1-2k+k2-1=0，∴k2-2k=0∴k=0或2，∵由（1）知当k=2方程没有实数根，∴k=2不合题意，舍去，∴k=0．【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．9．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w ，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610, ∵-10<0,二次函数向下,函数有最大值, 当x=59时, 利润最大，为3610元. 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.10．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根. (1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m>2; (2)17 【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2；（2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为17．点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．11．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +a ﹣1＝0．（1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；（2）当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根．【答案】（1）a=15，方程的另一根为12；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b 2－4ac ＝0求出a 的值，再代入解方程即可．【详解】（1）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15．将a＝15代入原方程得24x2054x5-+-=，解得：x1＝12，x2＝2．∴a＝15，方程的另一根为12；（2）①当a＝1时，方程为2x＝0，解得：x＝0.②当a≠1时，由b2－4ac＝0得4－4(a－1)2＝0，解得：a＝2或0．当a＝2时，原方程为：x2＋2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝－1；当a＝0时，原方程为：－x2＋2x－1＝0，解得：x1＝x2＝1．综上所述，当a＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1.考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.12．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值．【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，150（x﹣20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，m﹣m2=12，60m﹣3m2=192，m2﹣20m+64=0，m1=4，m2=16，∵要使销售量尽可能大，∴m=16．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．13．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2=0①有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x 1，x 2，当k =1时，求x 12+x 22的值．【答案】（1）k >–14；（2）7 【解析】【分析】（1）由方程根的判别式可得到关于k 的不等式，则可求得k 的取值范围；（2）由根与系数的关系，可求x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，代入求值即可．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴>0∆，即()22214410k k k +-=+>，解得14k >-；（2）当2k =时，方程为2x 5x 40++=， ∵125x x +=-，121=x x ，∴()222121212225817x x x x x x +=+-=-=. 【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．14．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1254y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m 关于t 的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得:98=k b94=3k b +⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+. （2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21151002t t =-++()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--⎪⎝⎭()211525001002t a t a =-+++-，∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤， ∴15220a +≥， ∴ 2.5a ≥， ∴2.54a ≤<. 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.15．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元，在不考虑其他因素的条件下，当a 定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元【解析】【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润⨯销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据题意得：()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩，解得：{56x y ==．答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件． ()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据题意得：()()250010001500a a -+=，整理得：22310a a -+=，解得：10.5a =，21a =．答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．。

全国中考数学一元二次方程的综合中考真题分类汇总附答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．【答案】x1x2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，解得：x1，x2=12．发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x2﹣7x+10=0a=1 b=﹣7 c=10∵b2﹣4ac=9＞0∴732±∴x1=5，x2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+m2﹣14=0的两个实数根．（1）当m=2时，求△ABC的周长；（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC的周长为72；（2）当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1，可求得m.【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+34=0，∴x1=12，x2=32．当12为腰时，12+12<32，∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.3．计算题（1）先化简，再求值：21xx-÷（1+211x-），其中x=2017．（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21xx-÷（1+211x-）=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.4．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.5．已知关于x 的一元二次方程()2204m mx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）1x =，234x =. 【解析】【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可.【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404m m m +->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根. （2）把4m =带入得24610x x -+=，解得135x +=，235x -=. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.6．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =，∴8AB =．∴BQ x =，82PB x =-；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ，则()1168821622x x ⨯⨯--=，整理得：2480x x -+=，∵1632160=-=-<，∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.7．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根.(1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m>2; (2)17【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2；（2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为17．点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．8．解方程：（x 2+x ）2+（x 2+x ）＝6．【答案】x 1＝﹣2，x 2＝1【解析】【分析】设x 2+x ＝y ，将原方程变形整理为y 2+y ﹣6＝0，求得y 的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】解：设x 2+x ＝y ，则原方程变形为y 2+y ﹣6＝0，解得y 1＝﹣3，y 2＝2．①当y ＝2时，x 2+x ＝2，即x 2+x ﹣2＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝1；②当y ＝﹣3时，x 2+x ＝﹣3，即x 2+x+3＝0，∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；∴原方程的解为x 1＝﹣2，x 2＝1．【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.9．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。

(最新修订版)全国各地中考数学试题分类汇编考点9一元二次方程及应用2.pdf

七年级政治导学案课题4.2 感悟青春课时1主备审核班级姓名授课时间授课类型新授课授课节次1【学习目标】1.知识目标：了解青春期特有的一些心理矛盾和心理特征。

2．能力目标：自觉减少心理上的混乱与恐慌，促进生理和心理协调发展。

3．情感、态度、价值观目标：深刻体会青春的内涵，体验青春的幸福，珍惜美好的青春。

【重点】决定青春最重要的因素是心态、怎样追求青春。

【难点】决定青春最重要的因素是心态、怎样追求青春。

【学习过程】一复习导入：（2分钟）伴随着欢快的青春节拍，我们会想起许多美好的事物、优美的诗篇、动听的歌声、动感的画面，你怎样理解青春、解读青春呢？让我们一起来探讨青春的涵义。

二、自主学习内容、指导、检测：（15分钟） 1、自主学习内容： ①同学交往的基本准则是什么？ ②如何表现自己的个性？ ③男女同学之间应该如何交往？ ④怎样理解青春？ 2、课堂检测：、对于青春，我们充满了，在与同学交往中，? 是我们需要遵循的基本准则。

　、追求个性不一定要在装扮上，真正的个性在于从深处散发的? 。

　、男女生正常交往有益我们? 。

　、青春是活力的象征，它蕴涵着、? 和? ?。

b.你认为男女同学可以交往吗？为什么？ c.如果你认为异性同学之间可以交往，那么在交往中应该注意什么小结：正常交往，优势互补团结氛围。

（二）青春畅想 ①小活动：（注：教材41页上方框）小结：1.青春不仅带来身体变化，更多地体现在一个人的心态、气质、想象力和情感中。

②有人说，青春是一颗划破天宇的流星，虽然绚烂却很短暂，也有人说，青春是一棵常青树，永不凋零。

思考：决定青春的最重要的因素是什么呢？有的人年纪轻轻却毫无理想和激情，显得未老先衰，而有的人白发苍苍却依旧充满豪情壮志，原因是什么？青春永驻。

小结：2.青春是活力的象征，它蕴含着智慧、勇敢和意志。

3.青春和年迈不在于年龄的大小而在于心境。

③知识拓展：（幻灯12）“人的四种年龄” 实际年龄：人们出生后的自然年龄。

中考数学真题分类汇编第一期专题9一元二次方程及其应用试题含解析

中考数学真题分类汇编第一期专题9一元二次方程及其应用试题含解析一元二次方程及其应用一、选择题1. 〔2021?山东菏泽?3 分〕关于x 的一元二次方程〔k+1〕x 2﹣2x+1=0 有两个实数根，那么k 的取值范围是〔〕A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0 且k≠﹣1 D．k≤0 且k≠﹣1【考点】AA：根的鉴识式；A1：一元二次方程的定义．【解析】依照一元二次方程的定义和鉴识式的意义获取k+1≠0 且△=〔﹣2〕 2 ﹣4〔k+1〕≥0，尔后求出两个不等式的公共局部即可．【解答】解：依照题意得k+1≠0 且△=〔﹣2〕 2 ﹣4〔k+1〕≥0，解得k≤0 且k≠﹣1．应选：D．【议论】此题察看了根的鉴识式：一元二次方程ax 2+bx+c=0〔a≠0〕的根与△=b2﹣4ac 有以下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数根．2. 〔2021?江苏盐城?3 分〕一元二次方程有一个根为1，那么的值为〔〕A. -2B. 2C. -4D. 48. 【答案】B【考点】一元二次方程的根【解析】【解答】解：把x=1 代入方程可得1+k-3=0 ，解得k=2。

故答案为： B【解析】将x=1 代入原方程可得关于k 的一元一次方程，解之即可得k 的值。

3．〔2021?山西?3 分〕用配方法将二次函数y x2 8x 9 化为y a x h 2 k 的形式为〔〕A. y x 4 2 7B. y x 4 2 25C. y x 4 2 7D. y x 4 2 25【答案】 B【考点】二次函数的顶点式【解析】y x2 8x 9 x2 8x 16 16 9 x 4 2 254．〔2021?山西?3 分〕以下一元二次方程中，没有实数根的是〔〕A. x2 2x 0B. x2 4x 1 0C. 2x2 4x 3 0D. 3x2 5x 21【答案】 C【考点】一元二次方程根的判别式【解析】△＞0 ，有两个不相等的实数根，△=0，有两个相等的实数根，△＜0 ，没有实数根.A. △=4B. △=20C. △=-8D. △=15. 〔2021·山东临沂·3 分〕一元二次方程y2﹣y﹣=0 配方后可化为〔〕A．〔y+ 〕2=1 B．〔y﹣〕2=1 C．〔y+ 〕2= D．〔y﹣〕2=【解析】依照配方法即可求出答案．2【解答】解：y ﹣y﹣=0y2﹣y=2y ﹣y+ =1〔y﹣〕2 =1应选：B．【议论】此题察看一元二次方程的配方法，解题的要点是熟练运用配方法，此题属于基础题型．6. 〔2021?安徽?4 分〕假设关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0 有两个相等的实数根，那么实数 a 的值为〔〕A. B. 1 C. D.【答案】 A【解析】【解析】整理成一般式后，依照方程有两个相等的实数根，可得△=0，获取关于 a 的方程，解方程即可得.【详解】x(x+1)+ax=0 ，x2+(a+1)x=0 ，由方程有两个相等的实数根，可得△=〔a+1〕2- 4×1×0=0，解得：a1=a2=-1，应选 A.【点睛】此题察看一元二次方程根的情况与鉴识式△的关系：〔1〕△＞0? 方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0? 方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0? 方程没有实数根．27. 〔2021?甘肃白银，定西，武威?3 分〕关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】 C【解析】【解析】关于的一元二次方程有两个实数根，得解不等式即可.【解答】关于的一元二次方程有两个实数根，得解得：应选 C.【议论】察看一元二次方程根的鉴识式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.8. 〔2021?安徽?4 分〕据省统计局宣布，2021 年我省有效创立专利数比2021 年增加22.1% 假设2021 年的平均增加率保持不变，2021 年和2021 年我省有效创立专利分别为 a 万件和 b 万件，那么〔〕A. B.C. D.【答案】 B【解析】【解析】依照题意可知2021 年我省有效创立专利数为〔1+22.1%〕a 万件，2021 年我省有效创立专利数为〔1+22.1%〕?〔1+22.1%〕a，由此即可得.【详解】由题意得：2021 年我省有效创立专利数为〔1+22.1%〕a 万件，2021 年我省有效创立专利数为〔1+22.1%〕?〔1+22.1%〕a 万件，即b=〔1+22.1%〕2a 万件，应选 B.【点睛】此题察看了增加率问题，弄清题意，找到各量之间的数量关系是解题的要点.29. 〔2021 年江苏省泰州市?3 分〕x1、x2 是关于x 的方程x ﹣ax﹣2=0 的两根，以下结论必然正确的选项是〔〕A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0【解析】A、依照方程的系数结合根的鉴识式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论 A正确；3B、依照根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a 的值不确定，可得出B 结论不用然正确；C、依照根与系数的关系可得出x1?x2=﹣2，结论C错误；D、由x1?x2=﹣2，可得出x1＜0，x2 ＞0，结论D错误．综上即可得出结论．22+8＞0，【解答】解：A∵△=〔﹣a〕﹣4×1×〔﹣2〕=a∴x1≠x2，结论 A 正确；2B、∵x1、x2 是关于x 的方程x ﹣ax﹣2=0 的两根，∴x1+x2=a，∵a 的值不确定，∴B 结论不用然正确；C、∵x1、x2 是关于x 的方程x2﹣ax﹣2=0 的两根，∴x1?x2=﹣2，结论C错误；D、∵x1?x2=﹣2，∴x1＜0，x2＞0，结论D错误．应选：A．【议论】此题察看了根的鉴识式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根〞是解题的要点．10. 〔2021·四川宜宾·3 分〕某市从2021 年开始大力睁开“竹文化〞旅游产业．据统计，该市2021 年“竹文化〞旅游收入约为 2 亿元．预计2021“竹文化〞旅游收入到达亿元，据此预计该市2021 年、2021 年“竹文化〞旅游收入的年平均增加率约为〔〕A．2% B．4.4% C．20% D．44%【考点】AD：一元二次方程的应用．【解析】设该市2021 年、2021 年“竹文化〞旅游收入的年平均增加率为x，依照2021 年及2021 年“竹文化〞旅游收入总数，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正立即可得出结论．【解答】解：设该市2021 年、2021 年“竹文化〞旅游收入的年平均增加率为x，2依照题意得：2〔1+x〕，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣〔不合题意，舍去〕．答：该市2021 年、2021 年“竹文化〞旅游收入的年平均增加率约为20%．应选：C．【议论】此题察看了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的要点．11. 〔2021·四川宜宾·3 分〕一元二次方程x 1 和x2，那么x1x2 为〔〕2 ﹣2x=0 的两根分别为xA．﹣2 B．1 C．2 D．04【考点】AB：根与系数的关系．【解析】依照根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．【解答】解：∵一元二次方程x 1 和x2， 2﹣2x=0 的两根分别为x∴x1x2=0．应选：D．【议论】此题察看了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的要点．12. 〔2021·台湾·分〕假设一元二次方程式x 2﹣8x﹣3×11=0 的两根为a、b，且a＞b，那么 a ﹣2b 之值为何？〔〕A．﹣25 B．﹣19 C．5 D．17【解析】先利用因式分解法解方程获取a=11，b=﹣3，尔后计算代数式a﹣2b 的值．【解答】解：〔x﹣11〕〔x+3〕=0，x﹣11=0 或x﹣3=0，因此x1=11，x2 =﹣3，即a=11，b=﹣3，因此a﹣2b=11﹣2×〔﹣3〕=11+6=17．应选：D．【议论】此题察看认识一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右侧化为0，再把左边经过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能获取两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转变成解一元一次方程的问题了〔数学转变思想〕．13. 〔2021·广东·3 分〕关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是〔〕A．m＜B．m≤C．m＞D．m≥【解析】依照一元二次方程的根的鉴识式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b 2﹣4ac=〔﹣3〕2 ﹣4×1×m＞0，∴m＜．应选：A．【议论】此题察看了根的鉴识式，一元二次方程根的情况与鉴识式△的关系：〔1〕△＞0?方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0? 方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0? 方程没有实数根．514. 〔2021?广西桂林?3 分〕关于x 的一元二次方程有两个相等的实根，那么k 的值为〔〕A. B. C. 2 或3 D. 或【答案】 A【解析】解析：依照方程有两个相等的实数根结合根的鉴识式即可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出结论．详解：∵方程有两个相等的实根，2-24=0 ，∴△=k 2- 4×2×3=k2- 4×2×3=k解得：k= ．应选：A．点睛：此题察看了根的鉴识式，熟练掌握“当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根．〞是解题的要点．15. (2021 四川省绵阳市) 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，若是一共举杯55 次，那么参加酒会的人数为〔〕人人人人【答案】 C【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设参加酒会的人数为x 人，依题可得：x〔x-1 〕=55，化简得：x 2-x-110=0 ，解得：x1=11，x2=-10 〔舍去〕，故答案为： C.【解析】设参加酒会的人数为x 人，依照每两人都只碰一次杯，若是一共举杯55 次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.16. (2021 四川省眉山市2 分) 我市某楼盘准备以每平方6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观看，为了加快资本周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860 元的均价开盘销售，那么平均每次下调的百分率是〔〕。

部编数学九年级上册专题09《一元二次方程的应用综合》重难点题型分类(解析版)含答案

专题09 《一元二次方程的应用综合》重难点题型分类专题简介：本份资料专攻《一元二次方程的应用综合》中“与一元二次方程有关的动点问题”、“一元二次方程与一次函数的综合”、“与一元二次方程有关的阅读探究问题”等重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1：与一元二次方程有关的动点问题方法点拨：一元二次方程在几何动点问题中运用的关键是找到合适的直角三角形，用设定的字母把三边表示出来，再根据勾股定理列出方程进行求解，最后必须根据题意判定结果的合理性。

只要认真审题，牢固掌握并灵活运用各个特殊几何图形的性质定理，并根据边角间的数量关系列出等式，就能轻松应对这类题型。

1．（2022·安徽合肥·八年级期末）如图，在Rt ABC V 中，6cm AB =，8cm BC =．点P 从点A 出发，沿AB 边以1cm/s 的速度向点B 移动；点Q 从点B 同时出发，沿BC 边以2cm/s 的速度向点C 移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，P ，Q 两点的距离是？2．（2022·河北唐山·八年级期中）如图1，90B C ∠=∠=︒，点P 从A 出发，沿A B C D ---路线运动，到D停止；点P 的速度为每秒1cm ，运动时间为x 秒，如图1是ABP △的面积()2cm S 与x （秒）的图像．(1)______时间段内点P 在线段AB 上运动；______时间段内点P 在线段BC 上运动；(2)根据题目中提供的信息，请你推断出图1中的AB =______cm ；BC =______cm ；CD =______cm ；图2中的m =______2cm ；(3)当点P 运动______秒时，AP PD =．此时，BP ＝x ﹣2，则PC ＝BC ﹣BP ＝3﹣（x ﹣2）＝5﹣x ，则AP 2＝AB 2+BP 2＝4+（x ﹣2）2，DP 2＝PC 2+CD 2＝1+（x ﹣5）2，当AP ＝PD 时，即4+（x ﹣2）2＝1+（x ﹣5）2，解得x ＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．3．（2021·江苏泰州·九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，12BC cm =，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm /秒的速度运动，同时，点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm /秒的速度移动．如果P 、Q 两点在分别到达B 、C 两点后就停止移动，回答下列问题：(1)点P 运动开始后第几秒时，PBQ △的面积等于28cm ；(2)设点P 运动开始后第t 秒时，五边形APQCD 的面积为2Scm ，写出S 与t 的函数关系式，并指出t 的取值范围．【答案】(1)2秒或4秒(2)()267206S t t t =-+<<【分析】（1）根据t 秒时，P 、Q 两点的运动路程，分别表示PB 、BQ 的长度，可得PBQ △的面积，后令其为28cm ，求出t 的值即可；（2）用PBQ ABCD S S S =-△矩形求面积即可．（1）解：第t 秒钟时，AP t =，2BQ t =，4．（2022·山东淄博·九年级期中）如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C ∠=︒，16BC =，12DC =，21AD =．动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q 从点C 出发，沿射线CB 的方向以每秒1个单位的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点P 运动到点A 时，点Q 随之停止运动．设运动的时间为t （秒），当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？由图可知，CM =PD =2t ，CQ =t ，若以①若PQ =BQ ，在Rt △PMQ 中，PQ 2=由PQ 2=BQ 2得t 2+122=（16﹣t ）2，解得考点2：一元二次方程与一次函数的综合方法点拨：利用一次函数与韦达定理进行求解最值问题。

全国各地中考数学分类：一元二次方程组综合题汇编附详细答案

全国各地中考数学分类：一元二次方程组综合题汇编附详细答案一、一元二次方程1．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.【解析】试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm 的两段；（2）两正方形面积之和为48时，，，∵，∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．2．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c b a++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．3．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【解析】【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝12•PB•QE．设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根据题意，12•（6﹣t）•t＝4．t2﹣6t+8＝0．t2＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．4．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．【答案】x1x2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，解得：x1，x2=15．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．6．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=1 2 .【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．7．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，整理得：x2﹣65x﹣750=0，（x﹣75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用8．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0．（1）求证：对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为±2，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b 2-4ac 证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m 的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0，∴x 2﹣7x+12﹣m 2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m 2）=1+4m 2，∵m 2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m 2=0，解得m=±， ∴原方程为x 2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m 的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根.9．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34 ；（2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，∵=== 32-，解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣110．由图看出，用水量在m 吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m 吨，需要加收．11．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.12．如图，在Rt ABC V 中，90B =o ∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：∵90B ∠=o ，10AC =，6BC =，∴8AB =．∴BQ x =，82PB x =-；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ，则()1168821622x x ⨯⨯--=，整理得：2480x x -+=，∵1632160=-=-<V ，∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.13．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解．【答案】(1)k ＞﹣12；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1．【解析】【分析】 (1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论．【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0， ∴k ＞﹣12； (2)∵k 取最小整数，∴k ＝0，∴原方程可化为x 2+x ＝0， ∴x 1＝0，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 14．关于x 的一元二次方程．（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）-1.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根.(2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗的最小值.【详解】(1)证明：依题意，得．，∴． ∴方程总有两个实数根．由．可化为：得， ∵ 方程的两个实数根都是正整数，∴． ∴． ∴ 的最小值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.15．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．【答案】（1）换元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2．【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．。

2019年全国各地中考数学试题分类汇编：一元二次方程及其应用(含答案解析)

2019年全国中考数学试题分类汇编：一元二次方程及其应用一、选择题1.（2019湖南怀化，6，4分）一元一次方程x-2=0的解是（）A.x=2B.x=-2C.x=0D.x=1【答案】A.【解析】解：方程x-2=0，解得：x=2．故选A．【知识点】一元一次方程的解2. (2019四川巴中,5,4分) 已知关于x,y的二元一次方程组434ax yx by的解是22xy,则a+b的值是( )A.1B.2C.－1D.0 【答案】B【解析】将22xy代入方程组,得:224624ab,解之,得:11ab,所以a+b＝2,故选B【知识点】二元一次方程组3.（2019四川乐山，7，3分）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。

问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（）A．1，11 B．7，53C．7，61 D．6，50【答案】B【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得：8374x yy x-=⎧⎨-=⎩，，解得753xy=⎧⎨=⎩，，故选B．【知识点】二元一次方程组的应用4.（2019天津市，9，3分）方程组的解是（）【答案】D【解析】观察方程组可以发现，两个方程中y的系数互为相反数，所以可以选择加减消元法，将两个方程相加，消去未知数y，可得x=2，从而求出y的值，故选D【知识点】加减法解二元一次方程组.5. (2019浙江宁波,11,4分)小慧去花店购买鲜花,若买5支玫瑰和3支百合,则她所带的钱还剩下10元;若买3支玫瑰和5支百合,则她所带的钱还缺4元,若只买8支玫瑰,则她所带的钱还剩下（）A.31元B.30元C.25元D.19元【答案】A【解析】设一支玫瑰x元,一支百合y元,小慧带了z元,根据题意得:5x+3y＝z－10,3x+5y＝z+4,∴x+y＝34z-,∴3x+3y＝394z-,∴2x＝314z-,∴8x＝z－31,即小慧买8支玫瑰后,还剩31元,故选A.【知识点】二元一次方程组,消元法小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题,设未知数x,y 已经列出一个方程3460+=,则另一个方程正确的是( )A.424360x y +=B. 425460x y +=C.424560x y +=D.423460x y += 【答案】B【解析】从方程543460x y +=可以得到上坡的路程为xkm,平路的路程为ykm,且返程上坡成为了下坡,故方程为425460x y +=,故选B. 【知识点】二元一次方程组7.（2019重庆A 卷，7，4分）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其23的钱给乙．则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，则可建立方程组为（）A ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩D ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩【答案】A ．【解析】根据“甲的钱＋乙的钱的一半＝50；甲的钱的23＋乙的钱＝50”可得方程组15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，故选A ．【知识点】二元一次方程组；古代问题8.（2019四川南充，9，4分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为( ) A ．56156x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩B ．65156x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩C ．56145x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩D ．65145x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩【答案】C【解析】解：由题意可得，56145x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩，故选：C ．【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组9.（2019贵州黔东南，6，4分）如果3ab 2m ﹣1与9ab m +1是同类项，那么m 等于（） A ．2B ．1C ．﹣1D ．0【答案】A【解析】解：根据题意，得：2m ﹣1＝m +1，解得m ＝2．故选：A ．【知识点】同类项二、填空题1.（2019湖南岳阳，15，4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺，问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布尺．【答案】531 【解析】设该女子第一天织布x 尺，根据题意得：x ＋2x ＋4x ＋8x ＋16x =5 解得：531x =所以，该女子第一天织布531尺. 【知识点】一元一次方程的应用2. (2019山东泰安,14,4分)《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:”今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金,银一枚各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子的重量忽略不计),问黄金,白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x 两,每枚白银重y 两,根据题意可列方程组为_______________.【答案】()()9x 11y10y x 8x y 13=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩【解析】甲袋中装有黄金9枚,乙袋中装有白银11枚,称重两袋相等,设每枚黄金重x 两,每枚白银重y 两,可得9x＝11y,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两,可得(10y+x)－(8x+y)＝13,∴方程组为()()9x 11y10y x 8x y 13=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩【知识点】二元一次方程组的应用3.（2019四川凉山，13，4分）方程10216x y x y +=⎧⎨+=⎩，的解是．【答案】64x y =⎧⎨=⎩，【解析】由方程②减去方程①，得x =6，把x =6 代入x +y =10，得y =4，∴⎩⎨⎧==46y x .故答案为64x y =⎧⎨=⎩，.【知识点】二元一次方程组的解法4.（2019四川眉山，15，3分）已知关于x 、y 的方程组1254x y k x y k +=-⎧⎨+=+⎩的解满足x +y =5，则k 的值为．【答案】2【解析】解：21254x y k x y k +=-⎧⎨+=+⎩①②，①+②，得x+y=2k+1，又∵x+y=5，∴2k+1=5，解得：k=2，故答案为：2.【知识点】解二元一次方程组5. （2019四川自贡，16，4分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为 . 【答案】【解题过程】解：根据“篮球的单价比足球的单价多4元”可列方程x =y +4; 根据“买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元”可列方程4x +5y =466. 联立组成方程组. 【知识点】二元一次方程组的应用.6.（2019浙江衢市，13，4分）已知实数m ，n 满足1,3.m n m n -=⎧⎨+=⎩则代数式m 2-n 2的值为。