优化方案(新课标)2016高考数学一轮复习第二章第5讲知能训练轻松闯关

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【优化方案】(新课标)高考数学一轮复习第一章第1讲知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第一章第1讲知能训练轻松闯关1．(2015·河南省洛阳市统一考试)已知集合A ＝{1，2，4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9解析：选D ．集合B 中元素有(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，共9个．2．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( )A ．AB B ．B AC ．A ⊆BD ．B ⊆A解析：选B ．由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，∴A ＝{x |－1≤x ≤1}，∴B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，∴B A ，故选B ．3．(2014·高考江西卷)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－3，0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3，3)解析：选C ．由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}， ∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}．4．(2015·福建南安一中期末)全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x ≤1}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D ．阴影部分表示的集合是A ∩B ．依题意知，A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |－1≤y ≤1}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}，故选D ．5．(2015·山东临沂期中)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D ．∵x 2－3x ＋2>0，∴x >2或x <1． ∴A ＝{x |x >2或x <1}，∵B ＝{x |x ≤a }， ∴∁U B ＝{x |x >a }．∵∁U B ⊆A ，借助数轴可知a ≥2，故选D ．6．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＞0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵1∉{x |x 2－2x ＋a ＞0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1．答案：(－∞，1]7．(2015·江西八校联考)已知R 是实数集，集合M ＝{x |3x<1}，N ＝{y |y ＝t －2t －3，t ≥3}，则N ∩∁R M ＝________．解析：解不等式3x<1，得x <0或x >3，所以∁R M ＝[0，3]．令t －3＝x ，x ≥0，则t ＝x 2＋3，所以y ＝x 2－2x ＋3≥2，即N ＝[2，＋∞)．所以N ∩∁R M ＝[2，3]．答案：[2，3]8．已知全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意； n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1； n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1； n ≤－2时，x ∉Z ．故A ＝{－2，2，1，－1}，又U ＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U A ＝{0}．答案：{0}9．已知集合A ＝{－4，2a －1，a 2}，B ＝{a －5，1－a ，9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B ．解：(1)∵9∈(A ∩B )，∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝3或a ＝－3．当a ＝5时，A ＝{－4，9，25}，B ＝{0，－4，9}；当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，不满足集合元素的互异性；当a ＝－3时，A ＝{－4，－7，9}，B ＝{－8，4，9}，所以a ＝5或a ＝－3．(2)由(1)可知，当a ＝5时， A ∩B ＝{－4，9}，不合题意，当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}．所以a ＝－3．10．(2015·河北衡水模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}， ∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ∴B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1＞5－a ，得a ＞3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝25－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}．1．(2015·河南郑州模拟)已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|x2＋y 2＝1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ．法一：(解方程组)集合A ∩B 的元素个数即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x 2＋y 2＝1解的个数，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，有两组解，故选C ．法二：(数形结合)在同一坐标系下画出直线x ＋y －1＝0和圆x 2＋y 2＝1的图象，如图，直线与圆有两个交点．即A ∩B 的元素个数是2，故选C ．2．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1，3，4}为“权集”B ．{1，2，3，6}为“权集”C ．“权集”中可以有元素0D ．“权集”中一定有元素1解析：选B ．由于3×4与43均不属于数集{1，3，4}，故A 不正确；由于1×2，1×3，1×6，2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1，2，3，6}，故B 正确；由“权集”的定义可知a j a i需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C ，D 错误，选B ．3．已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0}，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m (m －3)≤0，m ∈R }，若A ∩B ＝[2，4]，则实数m ＝________．解析：由题知A ＝[－2，4]，B ＝[m －3，m ]，因为A ∩B ＝[2，4]，故⎩⎪⎨⎪⎧m －3＝2m ≥4，则m ＝5．答案：54．某校田径队共30人，主要专练100 m ，200 m 与400 m ．其中练100 m 的有12人，练200 m 的有15人，只练400 m 的有8人．则参加100 m 的专练人数为________．解析：用Venn 图表示A 代表练100 m 的人员集合，B 代表练200 m 的人员集合，C 代表练400 m 的人员集合， U 代表田径队共30人的集合，设既练100 m 又练200 m 的人数为x ，则专练100 m 的人数为12－x ． ∴12－x ＋15＋8＝30，解得x ＝5．所以专练100 m 的人数为12－5＝7．答案：75．(2015·福建三明模拟)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13．综上知m ≥0即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．6．(选做题)(2015·浙江金丽衢十二校第一次联考)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．判断下列四个集合是否为“垂直对点集”．①M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y ＝1x ；②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}；③M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }；④M ＝{(x ，y )|y ＝e x－2}．解：依题意，要使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，只需过原点任作一直线l 1与该函数的图象相交，再过原点作与l 1垂直的直线l 2也与该函数的图象相交即可．对于①，取l 1：y ＝x ，则l 2：y ＝－x 与函数y ＝1x图象没有交点，①中M 不是“垂直对点集”；③中取l 1：y ＝0，则l 2：x ＝0与函数y ＝log 2x 图象没有交点，③中M 不是“垂直对点集”；如图所示，作出②④中两个函数的图象知：过原点任作一直线l 1与该函数的图象相交，再过原点作与l 1垂直的直线l 2也与该函数的图象相交．故②④中的集合M 是“垂直对点集”．。

优化方案(新课标)2016高考数学一轮复习第二章第7讲知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第二章第7讲知能训练轻松闯关1．(2014·洛阳市高三年级统一考试)函数f (x )＝ln （x ＋3）1－2x的定义域是( ) A ．(－3，0) B ．(－3，0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3，0)解析：选A ．∵f (x )＝ln （x ＋3）1－2x，∴要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>01－2x >0，即－3<x <0． 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．12xC ．log 12x D ．2x －2解析：选A ．f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1．∴a ＝2．∴f (x )＝log 2x ．3．(2014·高考山东卷)已知函数y ＝loga (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1解析：选D ．由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0<a <1，0<c <1．4．(2014·高考天津卷)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >b >a解析：选C ．因为π>2，所以a ＝log 2π>1．因为π>1，所以b ＝log 12π<0．因为π>1，所以0<π－2<1，即0<c <1．所以a >c >b ．5．已知函数f (x )＝ln e x －e－x 2，则f (x )是( )A ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减解析：选A ．要使函数有意义，则e x >e －x，解得x >0，即函数的定义域是(0，＋∞)，故函数是非奇非偶函数．又y ＝e x －e－x 2在(0，＋∞)上递增，所以f (x )在(0，＋∞)上递增，故选A ．6．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．解析：令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u ．∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x (u ＞0)的减区间是(－∞，0)，∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)．答案：(－∞，0)7．(2014·高考重庆卷)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．解析：f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14．故f (x )的最小值为－14．答案：－148．计算下列各题： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)log 34273·log 5[412log 210－(33)23－7log 72]．解：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg (2×5)＝12． (2)原式＝log 33343·log 5[2log 210－(332)23－7log72]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1·log 55＝－14． 9．已知f (x )＝log a (a x－1)(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的单调性．解：(1)由a x －1>0，得a x>1，当a >1时，x >0；当0<a <1时，x <0．∴当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)；当0<a <1时，f (x )的定义域为(－∞，0)． (2)当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2，故0<a x 1－1<a x2－1， ∴log a (a x1－1)<log a (a x2－1)．∴f (x 1)<f (x 2)．故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．综上知，函数f (x )在定义域上单调递增．1．已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )解析：选B ．∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除A ．若a ＞1，则0＜b ＜1，此时f (x )＝a x是增函数， g (x )＝－log b x 是增函数，结合图象知选B ．2．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 解析：选A ．当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1． 3．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________．解析：由2a＝5b＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1b ＝2，即1log 2m ＋1log 5m ＝2， ∴1lg m＝2，即m ＝10．答案：104．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n ＋m ＝________．解析：根据已知函数f (x )＝|log 2x |的图象知，0<m <1<n ，所以0<m 2<m <1，根据函数图象易知，当x ＝m 2时取得最大值，所以f (m 2)＝|log 2m 2|＝2，又0<m <1，解得m ＝12．再结合f (m )＝f (n )求得n ＝2，所以n ＋m ＝52．答案：525．(2015·辽宁沈阳模拟)设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a 1．解：(1)由f (x )＝1，得lg x ＝±1，所以x ＝10或110．(2)证明：结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0，1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1．又a ＋b 2＝1b ＋b2，令φ(b )＝1b＋b (b ∈(1，＋∞))，任取1φ(1)＝2．∴a ＋b2>1．6．(选做题)已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵f (1)＝1， ∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0，得－1<x <3，即函数f (x )的定义域为(－1，3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1，1)上递增，在(1，3)上递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，递减区间是(1，3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a＝1，解得a ＝12．故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0．。

优化方案(新课标)高考数学一轮复习第2讲知能训练轻松闯关(选修44)

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第2讲知能训练轻松闯关（选修4-4）1．(2014·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－82．所以AB ＝|t 1－t 2|＝82．2．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求|AB |的最小值．解：曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1，知C 1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2：ρ＝1的直角坐标方程是x 2＋y 2＝1，可知C 2是以原点为圆心，1为半径的圆，题意就是求分别在两个圆C 1和C 2上的两点A ，B 的最短距离．由圆的方程知，这两个圆相离，所以|AB |min ＝（3－0）2＋（4－0）2－1－1＝5－1－1＝3．3．(2015·东北三校联合模拟)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，直线l 的极坐标方程为ρ＝42sin θ＋cos θ．(1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(2)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．解：(1)C 1：x 2＋2y 2＝2，l ：2y ＋x ＝4．(2)设Q (2cos θ，sin θ)，则点Q 到直线l 的距离d ＝|2sin θ＋2cos θ－4|3＝|2sin （θ＋π4）－4|3≥23＝233，当且仅当θ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即θ＝2k π＋π4(k ∈Z )时取等号．4．(2015·山西省忻州市第一次联考)在直角坐标平面内，直线l 过点P (1，1)，且倾斜角α＝π4．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ．(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求|PA |·|PB |的值．解：(1)∵ρ＝4sin θ，∴ρ2＝4ρsin θ，则x 2＋y 2－4y ＝0，即圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0． (2)由题意，得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t y ＝1＋22t (t 为参数)．将该方程代入圆C 方程x 2＋y 2－4y ＝0，得(1＋22t )2＋(1＋22t )2－4(1＋22t )＝0，即t 2＝2，∴t 1＝2，t 2＝－2．即|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2．5．(2015·石家庄第一次模拟)在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2cos αy ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为：ρ＝cos θ．(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求|PQ |的最小值．解：(1)∵ρ＝cos θ， ∴x 2＋y 2＝x ，即(x －12)2＋y 2＝14．(2)设P (2cos α，2sin α)，易知C 2(12，0)，∴|PC 2|＝（2cos α－12）2＋（2sin α）2＝4cos 2α－2cos α＋14＋2sin 2α＝2cos 2α－2cos α＋94，当cos α＝12时，|PC 2|取得最小值，|PC 2|min ＝72，∴|PQ |min ＝7－12． 6．(2015·河北唐山模拟)极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)．(1)求C 的直角坐标方程；(2)直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t (t 为参数)与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于E ，求|EA |＋|EB |的值．解：(1)在ρ＝2(cos θ＋sin θ)中，两边同乘ρ，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，则C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化简得t 2－t －1＝0，点E 对应的参数t ＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝1，t 1t 2＝－1，所以|EA |＋|EB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝5．1．(2015·新乡许昌平顶山第二次调研)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝32t (t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)． (1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的32，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1．联立方程⎩⎨⎧y ＝3（x －1）x 2＋y 2＝1，解得l 与C 1的交点为A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则|AB |＝1．(2)C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos θy ＝32sin θ(θ为参数)．故点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ，32sin θ．从而点P 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝34⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin （θ－π4）＋2，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为64(2－1)．2．(2013·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos (θ－π4)＝22．(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0．解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －2）2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为(4，π2)，(22，π4)．注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1．所以⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab 2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.3．(2015·贵州省六校联考)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解：(1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2＝2ax (a >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y 2＝2ax (a >0)，x －y －2＝0． (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)代入y 2＝2ax ，整理得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0．设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )，∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2，∴8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )，∴a ＝1．4．(2015·吉林长春调研)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－3t2，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)点P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围．解：(1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ．又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0． (2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t代入z ＝3x ＋y ，得z ＝－t ，又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2，所以－2≤t ≤2，所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是[－2，2]．。

优化方案(新课标)高考数学一轮复习专题讲座二知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习专题讲座二知能训练轻松闯关1．(2015·吉林长春调研)对于非空实数集A ，记A *＝{y |∀x ∈A ，y ≥x }．设非空实数集合M ，P 满足：M ⊆P ，且若x >1，则x ∉P .现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M ，P ，必有P *⊆M *；②对于任意给定符合题设条件的集合M ，P ，必有M *∩P ≠∅；③对于任意给定符合题设条件的集合M ，P ，必有M ∩P *＝∅；④对于任意给定符合题设条件的集合M ，P ，必存在常数a ，使得对任意的b ∈M *，恒有a ＋b ∈P *，其中正确的命题是( )A ．①③B ．③④C ．①④D ．②③解析：选C.对于②，假设M ＝P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0<x <12，则M *＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≥12，则M *∩P ＝∅，因此②错误；对于③，假设M ＝P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤12，则12∈M ，又12∈P *，则M ∩P *≠∅，因此③也错误；而①和④都是正确的．2．(2015·贵州省六校联考)给出定义：若x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤m －12，m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做与实数x “亲密的整数”，记作{x }＝m ，在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题：①函数y ＝f (x )在x ∈(0，1)上是增函数；②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k2(k ∈Z )对称；③函数y ＝f (x )是周期函数，最小正周期为1；④当x ∈(0，2]时，函数g (x )＝f (x )－ln x 有两个零点．其中正确命题的序号是( )A ．②③④B ．①③C ．①②D ．②④解析：选A.由函数定义可知当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12时，f (x )＝|x －{x }|＝|x －0|；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32时，f (x )＝|x －{x }|＝|x －1|；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，52时，f (x )＝|x －{x }||x －2|；….可以作出函数的图象(如图)，根据函数的图象可以判断①错误，②③是正确的，④由函数的图象再作出函数y ＝ln x ，x ∈(0，2]的图象，可判断有两个交点，故④也正确．3．若有穷数列a 1，a 2，…，a n (n 是正整数)满足a 1＝a n ，a 2＝a n －1，…，a n ＝a 1，即a i ＝a n －i ＋1(i 是正整数，且1≤i ≤n )，就称该数列为“对称数列”．已知数列{b n }是项数为7的“对称数列”，且b 1，b 2，b 3，b 4成等差数列，b 1＝2，b 4＝11，则{b n }的项为________．解析：设数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，则b 4＝b 1＋3d ＝2＋3d ＝11，解得d ＝3，所以数列{b n }的项为2，5，8，11，8，5，2.答案：2，5，8，11，8，5，24．(2015·海淀区第二学期期中练习)已知向量序列：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…满足如下条件：|a 1|＝4|d |＝2，2a 1·d ＝－1且a n －a n －1＝d (n ＝2，3，4，…)．若a 1·a k ＝0，则k ＝________；|a 1|，|a 2|，|a 3|，…，|a n |，…中第________项最小．解析：因为a n －a n －1＝d ，所以a 2－a 1＝d ，a 3－a 2＝d ，…，a n －a n －1＝d ，利用叠加法可得a n ＝a 1＋(n －1)d .因为a 1·a k ＝0，所以a 1·[a 1＋(k －1)d ]＝0，a 21＋(k －1)a 1·d ＝0，即4＋(k －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，k ＝9.又a 2n ＝a 21＋(n －1)2d 2＋2(n －1)a 1·d ＝（n －1）24－(n －1)＋4＝14(n －3)2＋3，所以当n ＝3时，a 2n 取最小值，即|a n |取最小值．答案：9 35．(2015·海淀区第二学期期中练习)在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横、纵坐标都是整数的点)A (n )：A 1，A 2，A 3，…，A n 与B (n )：B 1，B 2，B 3，…，B n ，其中n ≥3，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段A i A i ＋1⊥B i B i ＋1，其中i ＝1，2，3，…，n －1，则称A (n )与B (n )互为正交点列．(1)求A (3)：A 1(0，2)，A 2(3，0)，A 3(5，2)的正交点列B (3)；(2)判断A (4)：A 1(0，0)，A 2(3，1)，A 3(6，0)，A 4(9，1)是否存在正交点列B (4)？并说明理由；(3)∀n ≥5，n ∈N ，是否都存在无正交点列的有序整点列A (n )？并证明你的结论．解：(1)设点列A 1(0，2)，A 2(3，0)，A 3(5，2)的正交点列是B 1，B 2，B 3，由正交点列的定义可知B 1(0，2)，B 3(5，2)，设B 2(x ，y )，由A 1A 2→＝(3，－2)，A 2A 3→＝(2，2)，B 1B 2→＝(x ，y －2)，B 2B 3→＝(5－x ，2－y )，由正交点列的定义可知A 1A 2→·B 1B 2→＝0，A 2A 3→·B 2B 3→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －2（y －2）＝02（5－x ）＋2（2－y ）＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5，所以点列A 1(0，2)，A 2(3，0)，A 3(5，2)的正交点列是B 1(0，2)，B 2(2，5)，B 3(5，2)．(2)由题可得A 1A 2→＝(3，1)，A 2A 3→＝(3，－1)，A 3A 4→＝(3，1)，设点列B 1，B 2，B 3，B 4是点列A 1，A 2，A 3，A 4的正交点列，则可设B 1B 2→＝λ1(－1，3)，B 2B 3→＝λ2(1，3)，B 3B 4→＝λ3(－1，3)，λ1，λ2，λ3∈Z ，因为A 1与B 1，A 4与B 4相同，所以有－λ1＋λ2－λ3＝9，①3λ1＋3λ2＋3λ3＝1，②因为λ1，λ2，λ3∈Z ，方程②显然不成立，所以有序整点列A 1(0，0)，A 2(3，1)，A 3(6，0)，A 4(9，1)不存在正交点列．(3)∀n ≥5，n ∈N ，都存在整点列A (n )无正交点列．∀n ≥5，n ∈N ，设A i A i ＋1――→＝(a i ，b i )，其中a i ，b i 是一对互质整数，i ＝1，2，3，…，n－1，若有序整点列B 1，B 2，B 3，…，B n 是点列A 1，A 2，A 3，…，A n 的正交点列，则B i B i ＋1――→＝λi (－b i ，a i )，i ＝1，2，3，…，n －1，则有∑n －1i ＝1 （－λi b i ）=∑n －1i ＝1a i , （*） ∑n －1i ＝1 λi a i , = ∑n －1i ＝1b i (**) ①当n 为偶数时，取A 1(0，0)，a i ＝3，b i ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，i 为奇数－1，i 为偶数， i ＝1，2，3，…，n －1.由于B 1，B 2，B 3，…，B n 是整点列，所以有λi ∈Z ，i ＝1，2，3，…，n －1.等式(**)中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列A 1，A 2，A 3，…，A n 无正交点列；②当n 为奇数时，取A 1(0，0)，a 1＝3，b 1＝2，a i ＝3，b i ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，i 为奇数－1，i 为偶数，i ＝2，3，…，n －1，由于B 1，B 2，B 3，…，B n 是整点列，所以有λi ∈Z ，i ＝1，2，3，…，n －1. 等式(**)中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列A 1，A 2，A 3，…，A n 无正交点列．综上所述，∀n ≥5，n ∈N ，都存在无正交点列的有序整点列A (n ).。

优化方案(新课标)2016高考数学一轮复习第2讲知能训练轻松闯关(选修4_1)

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第2讲知能训练轻松闯关（选修4-1）1．如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点E ．(1)求证：E 是AB 的中点； (2)求线段BF 的长．解：(1)证明：由题意知，AB 与圆D 和圆O 相切，切点分别为A 和B ，由切割线定理有：EA 2＝EF ·EC ＝EB 2，∴EA ＝EB ，即E 为AB 的中点．(2)由BC 为圆O 的直径，易得BF ⊥CE ，∴S △BEC ＝12BF ·CE ＝12CB ·BE ，∴BF BE ＝CB CE ，∴BF ＝55a ． 2．(2015·郑州市质量预测) 如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F ．(1)证明：A 、E 、F 、M 四点共圆； (2)若MF ＝4BF ＝4，求线段BC 的长．解：(1)证明：如图，连接AM ，由AB 为直径可知∠AMB ＝90°，又CD ⊥AB ，所以∠AEF ＝∠AMB ＝90°，因此A 、E 、F 、M 四点共圆．(2)连接AC ，由A 、E 、F 、M 四点共圆，可知BF ·BM ＝BE ·BA ，在Rt △ABC 中，BC 2＝BE ·BA ，又由MF ＝4BF ＝4，知BF ＝1，BM ＝5，所以BC 2＝5，BC ＝5．3．(2015·山西省四校联考) 如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于B ，C 两点，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E ．(1)求证：AB AC ＝PA PC；(2)求AD ·AE 的值．解：(1)证明：∵PA 为圆O 的切线，∴∠PAB ＝∠ACP ，又∠P 为公共角， ∴△PAB ∽△PCA ，∴AB AC ＝PA PC．(2)∵PA 为圆O 的切线，PC 是过点O 的割线，∴PA 2＝PB ·PC ， ∴PC ＝20，BC ＝15，又∵∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225，又由(1)知AB AC ＝PA PC ＝12，∴AC ＝65， AB ＝35，连接EC (图略)，则∠CAE ＝∠EAB ， ∴△ACE ∽△ADB ，AB AE ＝ADAC，∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝35×65＝90．4．(2015·河北石家庄质量检测)如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于C ，D 两点，交圆O 于E ，F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．(1)求证：B ，D ，H ，F 四点共圆；(2)若AC ＝2，AF ＝22，求△BDF 外接圆的半径．解：(1)证明：因为AB 为圆O 的一条直径，所以BF ⊥FH ．又DH ⊥BD ，故B ，D ，F ，H 四点在以BH 为直径的圆上．所以，B ，D ，F ，H 四点共圆．(2)由题意得AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得AF 2＝AC ·AD ，即(22)2＝2·AD ，AD ＝4，所以BD ＝12(AD －AC )＝1，BF ＝BD ＝1．又△AFB ∽△ADH ，则DH BF ＝AD AF，得DH ＝2．连接BH (图略)，由(1)可知BH 为△BDF 外接圆的直径．BH ＝BD 2＋DH 2＝3，故△BDF 的外接圆半径为32． 5．(2014·高考辽宁卷) 如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ．(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED ．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD ．由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ．又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PFA ．由于AF ⊥EP ，所以∠PFA ＝90°，于是∠BDA ＝90°，故AB 是直径． (2)连接BC ，DC ．由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°．在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ．于是∠DAB ＝∠CBA ．又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB ．由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角．于是ED 为直径．由(1)得ED ＝AB ．6．(2015·山西省忻州市联考)如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD ．(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠CED ＝12，⊙O 的半径为3，求OA 的长．解：(1)证明：如图，连接OC ，∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，∴OC ⊥AB ．∵OC 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．(2)∵ED 是直径，∴∠ECD ＝90°，∴∠E ＋∠EDC ＝90°，又∠BCD ＋∠OCD ＝90°，∠OCD ＝∠EDC ，∴∠BCD ＝∠E ，又∠CBD ＝∠EBC ， ∴△BCD ∽△BEC ，∴BC BE ＝BD BC，BC 2＝BD ·BE ．∵tan ∠CED ＝CD EC ＝12，△BCD ∽△BEC ，∴BD BC ＝CD EC ＝12，设BD ＝x ，则BC ＝2x ，∵BC 2＝BD ·BE ，∴(2x )2＝x (x ＋6)，∴BD ＝2， ∴OA ＝OB ＝BD ＋OD ＝2＋3＝5．)}1．(2015·兰州市、张掖市联考)如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M ．(1)求证：O 、B 、D 、E 四点共圆；(2)求证：2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB ．证明：(1)连接BE 、OE (图略)，则BE ⊥EC ．又D 是BC 的中点，所以DE ＝BD ，又OE ＝OB ，OD ＝OD ，所以△ODE ≌△ODB ．所以∠OED ＝∠OBD ＝90°，所以O 、B 、D 、E 四点共圆．(2)延长DO 交圆O 于点H (图略)．因为DE 2＝DM ·DH ＝DM ·(DO ＋OH )＝DM ·DO ＋DM ·OH ，所以DE 2＝DM ·(12AC )＋DM ·(12AB )，所以2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB ．2．(2015·云南省第一次统一检测)已知：如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，割线PCD 交⊙O 于C 、D 两点，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，CF 与AB 交于点E ．(1)求证：PA ·PB ＝PO ·PE ；(2)若DE ⊥CF ，∠P ＝15°，⊙O 的半径等于2，求弦CF 的长．解：(1)证明：连接OD ．∵AB 是⊙O 的直径，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，C 在⊙O 上， ∴∠DOA ＝∠DCF ，∴∠POD ＝∠PCE ．又∵∠DPO＝∠EPC，∴△PDO∽△PEC，∴PDPE＝POPC，即PD·PC＝PO·PE．由割线定理得PA·PB＝PD·PC，∴PA·PB＝PO·PE．(2)由已知，直线AB是弦DF的垂直平分线，∴ED＝EF，∴∠DEH＝∠FEH．∵DE⊥CF，∴∠DEH＝∠FEH＝45°．由∠PEC＝∠FEH＝45°，∠P＝15°，得∠DCF＝60°．由∠DOA＝∠DCF，得∠DOA＝60°．在Rt△DHO中，OD＝2，DH＝OD sin∠DOH＝3，∴DE＝EF＝DHsin∠DEH＝6，CE＝DEtan∠DCE＝2，∴CF＝CE＋EF＝2＋6．3．(2015·沈阳市教学质量监测)如图，已知圆O1与圆O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A、B两点，AC是圆O1的直径，过C作圆O2的切线，切点为D．(1)求证：C、P、B三点共线；(2)求证：CD＝CA．证明：(1)连接PC，PA，PB，BO2，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC＝90°．连接O1O2必过点P，∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴∠BAP＝∠ACP＝α，∴∠AO1P＝2α．由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α．又∠ABP＋∠O2BP＝90°，∴∠ABP＋∠BAP＝90°，∴C、P、B三点共线．(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB．在△ABC中，∠CAB＝90°，又∵AP⊥BC，∴CA2＝CP·CB，故CD＝CA．4．如图，点A是以线段BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，连接AF 并延长与CB的延长线相交于点P．(1)求证：BF＝EF；(2)求证：PA是⊙O的切线．证明：(1)∵BE是⊙O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可以得知△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴BFDG＝CFCG，EFAG＝CFCG，∴BFDG＝EFAG，又∵G是AD的中点，∴DG＝AG．∴BF＝EF．(2)如图，连接AO，AB．∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．在Rt△BAE中，由(1)得知F是斜边BE的中点，∴AF＝FB＝EF．∴∠FBA＝∠FAB．又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°．∴∠EBO＝∠FBA＋∠ABO＝∠FAB＋∠BAO＝∠FAO＝90°，∴PA是⊙O的切线．。

优化方案(新课标)高考数学一轮复习专题讲座四知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习专题讲座四知能训练轻松闯关1．设x 、y 为实数，集合A ＝{(x ，y )|y 2－x －1＝0}，B ＝{(x ，y )|16x 2＋8x －2y ＋5＝0}，C ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋b }，问是否存在自然数k ，b 使(A ∪B )∩C ＝∅？解：因为抛物线y 2－x －1＝0和16x 2＋8x －2y ＋5＝0在y 轴上的截距分别为±1，52，所以取b ＝2．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2y 2＝x ＋1无实数解，得1－32<k <1＋32，从而k ＝1，此时方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2y ＝8x 2＋4x ＋52无实数解．故存在k ＝1，b ＝2满足(A ∪B )∩C ＝∅．2． (2015·江西南昌模拟)如图，多面体ABC A 1B 1C 1中，三角形ABC 是边长为4的正三角形，AA 1∥BB 1∥CC 1，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝BB 1＝2CC 1＝4．(1)若O 是AB 的中点，求证：OC 1⊥A 1B 1；(2)在线段AB 1上是否存在一点D ，使得CD ∥平面A 1B 1C 1？若存在，确定点D 的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：取线段A 1B 1的中点E ，连接OE ，C 1E ，CO ，已知等边三角形ABC 的边长为4，AA 1＝BB 1＝2CC 1＝4，AA 1⊥平面ABC ，AA 1∥BB 1∥CC 1，∴四边形AA 1B 1B 是正方形，OE ⊥AB ，CO ⊥AB ．∵CO ∩OE ＝O ，∴AB ⊥平面EOCC 1．又A 1B 1∥AB ，OC 1⊂平面EOCC 1，∴OC 1⊥A 1B 1．(2)设OE ∩AB 1＝D ，连接CD ，则点D 是AB 1的中点，∴ED ∥AA 1，ED ＝12AA 1，又∵CC 1∥AA 1，CC 1＝12AA 1， ∴四边形CC 1ED 是平行四边形，∴CD ∥C 1E ，∴CD ∥平面A 1B 1C 1，即存在点D ，使得CD ∥平面A 1B 1C 1，且点D 是AB 1的中点．3．(2015·江苏盐城期中考试)设数列{a n }的各项均为正实数，b n ＝log 2a n ，若数列{b n }满足b 2＝0，b n ＋1＝b n ＋log 2p ，其中p 为正常数，且p ≠1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若p ＝2，设数列{c n }对任意的n ∈N *，都有c 1b n ＋c 2b n －1＋c 3b n －2＋…＋c n b 1＝－2n 成立，问数列{c n }是不是等比数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由．解：(1)因为b n ＋1＝b n ＋log 2p ，所以b n ＋1－b n ＝log 2p ，所以数列{b n }是以log 2p 为公差的等差数列，又b 2＝0，所以b n ＝b 2＋(n －2)(log 2p )＝log 2p n －2，故由b n ＝log 2a n ，得a n ＝2b n ＝2log 2p n －2＝p n －2．(2)因为p ＝2，由(1)得b n ＝n －2，所以c 1(n －2)＋c 2(n －3)＋c 3(n －4)＋…＋c n (－1)＝－2n ，①则c 1(n －1)＋c 2(n －2)＋c 3(n －3)＋…＋c n ＋1(－1)＝－2(n ＋1)，②由②－①，得c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n －c n ＋1＝－2，③所以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＋c n ＋1－c n ＋2＝－2，④再由④－③，得2c n ＋1＝c n ＋2，即c n ＋2c n ＋1＝2(n ∈N *)，所以当n ≥2时，数列{c n }为等比数列，又由①式，可得c 1＝2，c 2＝4，则c 2c 1＝2，所以数列{c n }一定是等比数列，且c n ＝2n ． 4．(2015·贵阳市适应性考试) 如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上某定点M ，若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意|OB |＝83，据对称性知∠BOy ＝30°．设点B (x ，y )，则x ＝83×sin 30°＝43，y ＝83×cos 30°＝12，所以B (43，12)在抛物线上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2，抛物线E 的方程为x 2＝4y ．(2)设点P (x 0，y 0)(x 0≠0)，因为y ＝14x 2，y ′＝12x ，直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0y ＝－1，所以Q (x 20－42x 0，－1)．设满足条件的定点M 存在，坐标为M (0，y 1)，所以MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝(x 20－42x 0，－1－y 1)，又因为MP →·MQ →＝0，所以x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，又y 0＝14x 20(x 0≠0)，联立解得y 1＝1，故以PQ 为直径的圆过y 轴上的定点M (0，1)．。

北师大版数学必修1：第二章 §5 知能演练轻松闯关

1．下面四个结论：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定过原点；③偶函数的图像一定关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的一定是y＝0(x∈R)．其中正确的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：选A.可结合我们已学过的函数及奇、偶函数的图像特征来判断．偶函数的图像一定关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如函数y＝x0，y＝x－2都是偶函数，但它们的图像不与y轴相交，故①错误，③正确；奇函数的图像关于原点对称，但不一定过原点，如y＝x－1，故②错误；若函数y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但未必x∈R，如x∈(－1,1)，只要其定义域关于原点对称即可，故④错误，所以，四个结论中只有③正确，故选A.2．(2011·高考上海卷)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是() A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝1 3 x解析：选A.∵y＝x－1和y＝13x都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误，y＝x－2＝1x2在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．3．下图是根据y＝f(x)绘出来的，则表示偶函数的图像是图中的________．(把正确图像的序号都填上)解析：观察四个图像可以看出，只有图(3)关于y轴对称，其相应的函数是偶函数．答案：(3)4．若函数y＝(a2－3a－3)x2为幂函数，则a的值为________．解析：根据幂函数的定义，若函数y＝(a2－3a－3)x2为幂函数，则x2的系数必为1，即a2－3a－3＝1，所以a2－3a－4＝0，解得a＝－1或a＝4.答案：－1或4[A级基础达标]1．函数f (x )＝1x－x 的图像关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：选C.∵f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f (－x )＝1－x－(－x )＝－⎝⎛⎭⎫1x －x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，它的图像关于原点对称，故选C.2．已知函数f (x )(x ∈R)是偶函数，则下列各点中必在函数y ＝f (x )图像上的是( ) A ．(－a ，f (a )) B ．(－a ，－f (a )) C ．(－a ，－f (－a )) D ．(a ，－f (a ))解析：选A.因为函数f (x )(x ∈R)是偶函数，所以，若点(a ，f (a ))在函数y ＝f (x )的图像上，由偶函数的图像关于y 轴对称可知，点(a ，f (a ))关于y 轴的对称点(－a ，f (a ))必在函数图像上．3．(2012·宝鸡调研)函数y ＝1－x 2|x ＋3|－3是( )A ．偶函数不是奇函数B ．奇函数不是偶函数C ．奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：选B.y ＝1－x 2|x ＋3|－3的定义域为{x |－1≤x ≤1且x ≠0}，关于原点对称，又当x ∈[－1,0)∪(0,1]时，x ＋3>0.∴y ＝1－x 2x是奇函数，故选B.4．比较大小(填“>”“<”或“＝”)：(1)⎝⎛⎭⎫250.5________⎝⎛⎭⎫130.5； (2)(－π)3________(－3)3.解析：(1)因为幂函数y ＝x 0.5在区间[0，＋∞)上是增函数，又25>13，所以⎝⎛⎭⎫250.5>⎝⎛⎭⎫130.5. (2)因为幂函数y ＝x 3在区间(－∞，＋∞)上是增函数，又－π<－3，所以(－π)3<(－3)3. 答案：(1)> (2)<5．幂函数y ＝(k 2－2k －2)x 1－k 在(0，＋∞)上是减函数，则k ＝________.解析：∵y ＝(k 2－2k －2)x 1－k 是幂函数， ∴k 2－2k －2＝1， ∴k ＝3或k ＝－1，当k ＝－1时，y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数，不合题意，舍去．当k ＝3时，y ＝x －2在(0，＋∞)上是减函数，故k ＝3. 答案：36．已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点A ⎝⎛⎭⎫12，2.(1)求实数α的值；(2)求证：f (x )在区间(0，＋∞)内是减函数．解：(1)∵f (x )＝x α的图像经过点A ⎝⎛⎭⎫12，2， ∴⎝⎛⎭⎫12α＝2，即2－α＝122，解得α＝－12. (2)证明：由(1)可知，f (x )＝12-x ，任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝121-x －122-x＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＝x 2－x 1x 1x 2·()x 1＋x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )＝12-x在区间(0，＋∞)内是减函数．[B 级能力提升]7．幂函数y ＝x α中α的取值集合C 是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1，2，3的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，3 解析：选C.根据幂函数y ＝x －1，y ＝x 0，y ＝12-x ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3的图像和解析式可知，当α＝－1，12，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．8．(2012·合肥质检)已知偶函数f (x )在区间(0，＋∞)单调增加，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23 解析：选A.f (x )在(0，＋∞)为增，则在(－∞，0)为减．f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，∴－13<2x －1<13，∴13<x <23. 9．(2012·南昌质检)幂函数y ＝21322-+p p+x (p ∈Z)为偶函数，且f (1)<f (4)，则实数p ＝________. 解析：由f (1)<f (4)可知幂函数在(0，＋∞)上为增函数．∴－12p 2＋p ＋32>0，∴p 2－2p －3<0.∴(p －3)(p ＋1)<0，∴－1<p <3.又∵p ∈Z ，当p ＝0时，或p ＝2时，y ＝32x 不是偶函数，p ＝1，y ＝x 2适合题意．答案：110．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域是[a －1,2a ]，求f (x )的值域．解：∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是[a －1,2a ]上的偶函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋2a ＝0，b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝0.∴f (x )＝13x 2＋1.∴f (x )＝13x 2＋1在⎣⎡⎦⎤－23，23上的值域是⎣⎡⎦⎤1，3127. 11．(创新题)已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ＋y )(x ，y ∈R)，f (1)＝－1.(1)求f (0)和f (－2)的值；(2)若f (5)＝m ，试用m 表示f (－5)；(3)试判断f (x )的奇偶性(要写出推理过程)．解：(1)取x ＝y ＝0得f (0)＝2f (0)，∴f (0)＝0.取x＝y＝1得f(2)＝2f(1)＋2×2＝2.取x＝2，y＝－2得f(0)＝f(2)＋f(－2)，∴f(－2)＝－2.(2)取x＝5，y＝－5得f(0)＝f(5)＋f(－5)．∴f(－5)＝－m.(3)取y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)．从而f(x)是奇函数．。

【优化方案】(新课标)高考数学一轮复习第三章第5讲知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第三章第5讲知能训练轻松闯关1．函数y ＝cos x －32的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z D ．R解析：选C.∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 2．函数f (x )＝(1＋sin x )(sin 2x ＋cos 2x －sin x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数解析：选B.f (x )＝(1＋sin x )(1－sin x )＝1－sin 2x ＝cos 2x ＝12cos 2x ＋12，所以f (x )是最小正周期为π的偶函数．3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．－1－ 3B ．－1C ．0D ．2－ 3 解析：选D.∵0≤x ≤9，∴－π3≤πx 6－π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.4．如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选A.依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.5．(2014·高考安徽卷)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32C ．0D ．－12解析：选A.∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数．又f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12. ∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.6．比较大小：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. 解析：因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数且－π18＞－π10，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.答案：＞7．(2014·高考山东卷)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________．解析：∵y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π8．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1，1]，且当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即x ＝π12时，y 取最大值．答案：[－1，1]π129．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x . (1)求f (x )的单调减区间；(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标．解：f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )得，k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )． ∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．(2)由sin(2x ＋π6)＝0，得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π2－π12(k ∈Z )． ∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)．10．(2014·高考天津卷)已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值.解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数． f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以，函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.1．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，且|φ|<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )A.12B.22C.32D ．1解析：选C.由题意得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝cos π6＝32.2．(2015·开封市第一次摸底)已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(x ∈R )，其中φ为实数，且f (x )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9对任意实数R 恒成立，记p ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，r ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，则p 、q 、r 的大小关系是( )A ．r <p <qB ．q <r <pC ．p <q <rD ．q <p <r解析：选C.f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ＝sin(2x ＋φ)， ∴f (x )的最小正周期T ＝π.∵f (x )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9是最大值．∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π18，∴p ＝sin 25π18，q ＝sin 31π18，r ＝sin 7π18，∴p <q <r .3．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：7824．(2015·内蒙古包头一模)给出下列命题：①函数f (x )＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0； ②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22； ③若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β.其中所有真命题的序号是________．解析：对于①，令x ＝－512π，则2x ＋π3＝－56π＋π3＝－π2，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π，0为f (x )的一个对称中心，①为真命题；对于②，结合图象知f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°＞60°，但sin390°＝12＜sin 60°＝32，故③为假命题，所以真命题为①②. 答案：①②5．(2015·辽宁省五校联考)设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，又x ∈R ，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z .即x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z .(2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ，又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，此时其最小正周期为π.6．(选做题)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

优化方案(新课标)高考数学一轮复习第一章第2讲知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第一章第2讲知能训练轻松闯关1．不等式(x －1)(3－x )<0的解集是( ) A ．(1，3) B ．[1，3] C ．(－∞，1)∪(3，＋∞) D ．{x |x ≠1且x ≠3} 解析：选C ．根据题意，(x －1)(3－x )<0⇔(x －1)(x －3)>0，所以其解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)．故选C ．2．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2 D ．3∶2∶1 解析：选B ．∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －b a．∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3．3．(2015·湖北八校联考)“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a <0.故ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 等价于0≤a <1．因此，“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的充分而不必要条件．4．(2015·上海八校联合调研)已知关于x 的不等式x ＋1x ＋a<2的解集为P ．若1∉P ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．[－1，0]C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－1，0]解析：选B ．1∉P 有两种情形，一种是1＋11＋a≥2，另一种是x ＝1使分母为0，即1＋a ＝0，解得－1≤a ≤0．5．定义区间长度m 为这样的一个量：m 的大小为区间右端点的值减去左端点的值．若关于x 的不等式x 2－x －6a <0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长度，则实数a 的取值范围是( )A ．(－124，1]B ．(－∞，－124]∪[1，＋∞)C ．(0，1]D ．[－24，1)解析：选A ．因为关于x 的不等式x 2－x －6a <0有解，所以Δ＝1＋24a >0，则a >－124．设方程x 2－x －6a ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－6a ，又|x 1－x 2|≤5，即（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋24a ≤5，解得a ≤1，故选A ．6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2．答案：{x |0<x <2}7．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式即(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a ．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |a <x <1a8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是__________．解析：七月份：500(1＋x %)，八月份：500(1＋x %)2．所以一至十月份的销售总额为：3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，解得1＋x %≤－2．2(舍)或1＋x %≥1．2， ∴x min ＝20．答案：209．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是{x |12<x <2}．(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2．(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为(－3，12)．10．某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP 公司可供选择．公司A 每小时收费1．5元；公司B 在用户每次上网的第1小时内收费1．7元，第2小时内收费1．6元，以后每小时减少0．1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP 公司较省钱？解：假设一次上网x (x <17)小时，则公司A 收取的费用为1．5x 元，公司B 收取的费用为1．7＋(1．7－0．1)＋(1．7－0．2)＋…＋[1．7－(x －1)×0．1]＝x （35－x ）20(元)．由x （35－x ）20>1．5x (0<x <17)，整理得x 2－5x <0，解得0<x <5，故当0<x <5时，A 公司收费低于B 公司收费，当x ＝5时，A ，B 两公司收费相等，当5<x <17时，B 公司收费低，所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A 的费用少；为5小时时，选择公司A 与公司B 费用一样多；超过5小时小于17小时，选择公司B 的费用少．1．(2015·陕西西安质检)在R 上定义运算：＝ad －bc ．若不等式≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32C ．13D ．32解析：选D ．原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，－12≤a ≤32．故选D ．2．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4，5) B ．(－3，－2)∪(4，5) C ．(4，5] D ．[－3，－2)∪(4，5]解析：选D ．原不等式可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a ≤5，当a <1时得a <x <1，则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4，5]．3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1x <1，x 13 x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2．当x ≥1时，x 13≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8．综上可知x ∈(－∞，8]．答案：(－∞，8]4．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2；若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．解析：当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0， f (x )max ＝f (－2)＝1，∴m ＝1，n ＝0，m －n ＝1．答案：15．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1．(1)若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1，3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意可得m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇔m ＝0或－4<m <0⇔－4<m ≤0．故m 的取值范围是(－4，0]．(2)法一：要使f (x )<－m ＋5在[1，3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1，3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]．当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，则0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0．综上所述：m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67．法二：∵f (x )<－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)<6，∵x 2－x ＋1>0，∴m <6x 2－x ＋1对于x ∈[1，3]恒成立，只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1，3]，记h (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈[1，3]上为增函数，则g (x )在[1，3]上为减函数，∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m <67．所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67． 6．(选做题)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0．当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0，1－an ＋ax >0． ∴f (x )－m <0，即f (x )<m ．。

优化方案(新课标)高考数学一轮复习第五章第5讲知能训

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第五章第5讲知能训练轻松闯关1．(2015·山西省四校联考)设等差数列{a n }和等比数列{b n }首项都是1，公差与公比都是2，则ab 1＋ab 2＋ab 3＋ab 4＋ab 5＝( )A ．54B ．56C ．58D ．57解析：选 D.由题意，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，∴ab 1＋…＋ab 5＝a 1＋a 2＋a 4＋a 8＋a 16＝1＋3＋7＋15＋31＝57.2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为( )A ．{4，5}B ．{4，32}C ．{4，5，32}D ．{5，32}解析：选C.a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时，注意递推的条件是a n (而不是n )为偶数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32.3．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0解析：选C.设b n ＝2a 1 a n ，则b n ＋1＝2a 1 a n+1 ，由于{2 a 1 a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2 a 1a n >2 a 1 a n+1 .∵y ＝2x是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0.4．在数列{a n }中，若a 1＝－2，a n ＋1＝a n ＋n ·2n，则a n ＝( )A ．(n －2)·2nB ．1－12nC.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n解析：选A.因为a n ＋1＝a n ＋n ·2n ，所以a n ＋1－a n ＝n ·2n，所以a n －a 1＝(a n －a n －1)＋(a n－1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)．设T n ＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)，则2T n ＝(n －1)×2n＋(n －2)×2n －1＋(n －3)×2n －2＋…＋2×23＋1×22，两式相减得T n ＝(n －2)·2n＋2(n ≥2)，所以a n ＝(n －2)·2n ＋2＋a 1＝(n －2)·2n (n ≥2)．又n ＝1时，上式成立，所以选A.5．(2015·湖南澧县一中等三校联考)在等比数列{a n }中，0<a 1<a 4＝1，则能使不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≤0成立的最大正整数n 是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等比数列，其公比为1q，因为0<a 1<a 4＝1，所以q >1且a 1＝1q3.又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≤0，所以a 1＋a 2＋…＋a n≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n，即a 1（1－q n ）1－q≤1a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1q n 1－1q，把a 1＝1q3代入，整理得q n ≤q 7，因为q >1，所以n ≤7，故选C.6．(2013·高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64，27＝128.则n ＋1≥7，即n ≥6.答案：6 7．在等比数列{a n }中，若a n >0，且a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则a 4＋a 5的最小值为________．解析：由等比数列性质得，a 1a 2…a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，又a n >0，∴a 4a 5＝2.再由基本不等式，得a 4＋a 5≥2a 4a 5＝2 2.∴a 4＋a 5的最小值为2 2.答案：2 28．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．若数列{2b n}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n }__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．解析：数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b n ＝2·4n －1＝22n －1，b n ＝2n －1.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n 2，T 2n ＝4n 2，所以T 2nT n＝4，因此数列{b n }是“和等比数列”．答案：是9．在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n . 解：(1)证明：∵b n ＝log 2a n ，∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n＝log 2q 为常数， ∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)设数列{b n }的公差为d ，∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2. ∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0. ∵b 1b 3b 5＝0，∴b 5＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1.∴S n ＝4n ＋n （n －1）2×(－1)＝9n －n22.∵⎩⎪⎨⎪⎧log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝25－n (n ∈N *)．10．(2014·高考浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…·a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n . 解：(1)由题意知a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2n －1，而n （n ＋1）2n －（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0，得n （n ＋1）2n ≤5×（5＋1）25<1，所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.。

优化方案(新课标)2016高考数学一轮复习第六章第5讲知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第六章第5讲知能训练轻松闯关1．若a b ＋1aC ．b ＋1a >a ＋1b D.b a 1b. 由不等式的同向可加性知b ＋1a >a ＋1b. 2．(2014·高考山东卷)用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故应选A.3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析：选C.b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.故选C.4．(2015·宁夏银川模拟)设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b ，a 0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：选A.由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.6．用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________．解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故应假设“a ，b 中没有一个能被5整除”．答案：a ，b 中没有一个能被5整除 7．(2015·福建福州模拟)如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是__________．解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a ，即(a －b )2(a ＋b )＞0，需满足a ≥0，b ≥0且a ≠b .答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b8．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n， ∴c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1<c n .答案：c n ＋1<c n9. 如图，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．(1)求证：EC ∥平面PAD ；(2)求证：平面EAC ⊥平面PBC .证明：(1)作线段AB 的中点F ，连接EF ，CF (图略)．则AF ＝CD ，AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，则CF ∥AD .又EF ∥AP ，且CF ∩EF ＝F ，∴平面CFE ∥平面PAD .又EC 在平面CEF 内，∴EC ∥平面PAD .(2)∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC ⊥AC ，∵ABCD 是直角梯形，且AB ＝2AD ＝2CD ＝2，∴AC ＝2，BC ＝ 2.∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴AC ⊥BC ，∵PC ∩BC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ，∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC .10．已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点(0，0)处有公共切线．(1)求a ，b ；(2)证明：f (x )≤g (x )．解：(1)f ′(x )＝11＋x，g ′(x )＝b －x ＋x 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝f （0），f ′（0）＝g ′（0），解得a ＝0，b ＝1. (2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x >－1)． h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1. h (x )在(－1，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x )．。

优化方案(新课标)高考数学一轮复习第1讲知能训练轻松闯关(选修4-5)-人教版高三选修4-5数学

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第1讲知能训练轻松闯关（选修4-5）1．求不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集．解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－x －3＋x －2≥3 或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，解得1≤x <2或x ≥2，故原不等式的解集为{x |x ≥1}．2．在实数X 围内，解不等式||x －2|－1|≤1．解：依题意得－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，解得0≤x ≤4．故x 的取值X 围是[0，4]．3．(2015·某某省某某市联考)已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]．(1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1．解：(1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，解得1≤x ≤2，∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3．(2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1．4．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值X 围．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2．所以f (x )≥2．(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |．当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212．当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3．综上，a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212． 5．(2015·某某市模拟)设不等式|x －2|＋|3－x |<a (a ∈N *)的解集为A ，且2∈A ，32∉A ． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．解：(1)由题可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1a ≤2，所以1<a ≤2，因为a ∈N *，所以a ＝2．(2)因为|x ＋2|＋|x －2|≥|(x ＋2)－(x －2)|＝4，所以f (x )的最小值是4．6．(2015·某某某某某某调研)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |．若a >1，∀x ∈R ，f (x )＋|x －1|≥1，某某数a 的取值X 围．解：令F (x )＝f (x )＋|x －1|，则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2＋a ，x <1x －2＋a ，1≤x <a ，3x －2－a ，x ≥a所以当x ＝1时，F (x )有最小值F (1)＝a －1，只需a －1≥1，解得a ≥2，所以实数a 的取值X 围为[2，＋∞)．1．(2015·某某五校协作体联考)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a ．(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，某某数a 的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数t ，使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2≤m －f (－t )成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)由|2x －a |＋a ≤6，得|2x －a |≤6－a ，∴a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3，∴a －3＝－2，∴a ＝1．(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2≤m －f (－t )，∴|t －1|＋|2t ＋1|＋2≤m ，令y ＝|t －1|＋|2t ＋1|＋2，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3t ＋2，t ≤－12，t ＋4，－12<t <1，3t ＋2，t ≥1.∴y min ＝72，∴m ≥72． 2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3．(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈[－a 2，12)时，f (x )≤g (x )，求a 的取值X 围．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x－3<0．设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y <0，所以原不等式的解集是{x |0<x <2}． (2)当x ∈[－a 2，12)时，f (x )＝1＋a ，不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3，所以x ≥a －2对x ∈[－a 2，12)都成立，故－a 2≥a －2，即a ≤43．从而a 的取值X 围是(－1，43]． 3．(2015·某某省统考)已知a 、b 都是实数，a ≠0，f (x )＝|x －1|＋|x －2|．(1)若f (x )>2，某某数x 的取值X 围；(2)若|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对满足条件的所有a 、b 都成立，某某数x 的取值X 围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ≤11，1<x ≤2.2x －3，x >2由f (x )>2得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤13－2x >2或⎩⎪⎨⎪⎧x >22x －3>2，解得x <12或x >52． ∴所某某数x 的取值X 围为(－∞，12)∪(52，＋∞)． (2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )．又∵|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2， ∴f (x )≤2．∵f (x )>2的解集为{x |x <12或x >52}， ∴f (x )≤2的解集为{x |12≤x ≤52}， ∴所某某数x 的取值X 围为[12，52]． 4．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a <3)的最小值为2．(1)解关于x 的方程f (x )＝a ；(2)若存在x ∈R ，使f (x )－mx ≤1成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|x －4－(x －a )|＝|a －4|(当(x －4)(x －a )≤0时取等号)，知|a －4|＝2，解得a ＝6(舍去)或a ＝2．方程f (x )＝a 即|x －4|＋|x －2|＝2，由绝对值的几何意义可知2≤x ≤4．(2)不等式f (x )－mx ≤1即f (x )≤mx ＋1，由题意知y ＝f (x )的图象至少有一部分不在直线y ＝mx ＋1的上方，作出对应的图象观察可知，m ∈(－∞，－2)∪[14，＋∞)．。

优化方案(新课标)2016高考数学一轮复习第1讲知能训练轻松闯关(选修4_4)

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第1讲知能训练轻松闯关（选修4-4）1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解：设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝3y ′， ∴4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1．∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．2．(2015·江苏扬州质检)求经过极点O (0，0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，9π4三点的圆的极坐标方程．解：将点的极坐标化为直角坐标，点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)，故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3，3)，半径为32，圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18，即x 2＋y 2－6x －6y ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程，得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0，即ρ＝62cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4． 3．(2014·高考重庆卷改编)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，求直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ．解：参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t 化为普通方程为y ＝x ＋1．由ρsin 2θ－4cos θ＝0，得ρ2sin2θ－4ρcos θ＝0，其对应的直角坐标方程为y 2－4x ＝0，即y2＝4x ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝4x 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故直线和抛物线的交点坐标为(1，2)，故交点的极径为12＋22＝5． 4．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标；(2)点B 经过φ变换得到点B ′⎝⎛⎭⎪⎫－3，12，求点B 的坐标；(3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得到的直线l ′的方程．解：(1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)即为所求．(2)设B (x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′.由于点B ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，于是x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1，∴B (－1，1)即为所求．(3)由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入直线l ：y ＝6x ，得到经过伸缩变换后的方程y ′＝x ′，因此直线l ′的方程为y＝x ．5．(2015·福建泉州质检)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0．(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1．化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22． 6．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数．证明：建立如图所示的极坐标系，设抛物线的极坐标方程为ρ＝p1－cos θ(p >0)．PQ 是抛物线的弦，若点P 的极角为θ，则点Q 的极角为π＋θ，因此有|FP |＝p1－cos θ，|FQ |＝p 1－cos （π＋θ）＝p1＋cos θ．所以1|FP |＋1|FQ |＝1－cos θp ＋1＋cos θp＝2p(常数)．原命题得证．1．(2015·唐山市统一考试)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2．(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2，得ρρ1＝ρ22．又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0．所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0．(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)． 3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1，从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2．θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)．θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2．(2)由(1)得点M 的直角坐标为(2，0)，点N 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233．所以点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．4．(2015·太原市模拟试题)在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，且曲线C 1上的点M (2，3)对应的参数φ＝π3．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π4与曲线C 2交于点D (2，π4)．(1)求曲线C 1的普通方程，C 2的极坐标方程；(2)若A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)是曲线C 1上的两点，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)将M (2，3)及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝a cos π33＝b sin π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2，∴曲线C 1的普通方程为x 216＋y 24＝1，设圆C 2的半径为R ，则圆C 2的方程为ρ＝2R cos θ，将点D (2，π4)代入得2＝2R ·22，解得R ＝1，∴圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)代入得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1，∴1ρ21＋1ρ22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ16＋sin 2θ4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ16＋cos 2θ4＝516．。

优化方案(新课标)2016高考数学一轮复习第1讲知能训练轻松闯关(选修4_1)

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第1讲知能训练轻松闯关（选修4-1）1．如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，求BC 的长．解：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED⇒E 为AD 的中点，M 为BC 的中点．又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ，∴BC ＝2MC ＝24 cm ．2．(2015·湖南岳阳模拟)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：AE ·AB ＝AF ·AC ．证明：∵AD ⊥BC ，∴△ADB 为直角三角形．又∵DE ⊥AB ，由射影定理知，AD 2＝AE ·AB ．同理可得AD 2＝AF ·AC ， ∴AE ·AB ＝AF ·AC ．3．(2015·广东广州模拟)如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP ．证明：在正方形ABCD 中， ∵Q 是CD 的中点，∴AD QC＝2．∵BP PC ＝3，∴BC PC＝4．又∵BC ＝2DQ ，∴DQ PC＝2．在△ADQ 和△QCP 中，AD QC ＝DQCP，且∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP ．4．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，若S △BEC ＝1，S △ADE ＝3，求S △CDE 的值．解：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ， ∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ， ∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED ．∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝3．5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 的延长线交AC 、CF 于E 、F 两点，求证：PB 2＝PE ·PF ．证明：如图，连接PC ．易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP ．∵CF ∥AB ， ∴∠F ＝∠ABP ．从而∠F ＝∠ACP ．又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角，从而△CPE ∽△FPC ，∴CP FP ＝PEPC．∴PC 2＝PE ·PF ．又PC ＝PB ，∴PB 2＝PE ·PF ． 6．如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E ．求证：AE ·BF ＝2DE ·AF ．证明：取AC 的中点M ，连接DM 交CF 于点N ．在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ， ∴DN ＝12BF ．∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ， ∴AE AF ＝DE DN．又∵DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DEBF ，即AE ·BF ＝2DE ·AF ．)}1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ．试证明：(1)AB ·AC ＝BC ·AD ；(2)AD 3＝BC ·CF ·BE ．证明：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD ．∴AB ·AC ＝BC ·AD ．(2)在Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得BD 2＝BE ·AB ，同理CD 2＝CF ·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC ．又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC ，∴AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC ．又AB ·AC ＝BC ·AD ，即AD 3＝BC ·CF ·BE ．2．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F ．(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BAF ＝∠BCD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB ．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF ． ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2，S △DEF S △ABF ＝(DE AB)2．又DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE ． ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14． ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8．∴S 四边形ABCD ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24．3．已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F ．(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠1．又因为AD ＝AC ，所以∠2＝∠ACB ．所以△ABC ∽△FCD ．(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M ．因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，所以S △ABC S △FCD ＝(BC CD)2＝4．又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20．因为S △ABC＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4．因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BD BM ．因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，BD ＝12BC ＝5，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83．4．如图，在梯形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF ∥AD ，假设EF 做上下平行移动．(1)若AE EB ＝12，求证：3EF ＝BC ＋2AD ；(2)若AE EB ＝23，试判断EF 与BC ，AD 之间的关系，并说明理由；(3)请你探究一般结论，即若AE EB ＝mn，那么你可以得到什么结论？解：过点A 作AH ∥CD 分别交EF ，BC 于点G ，H (图略)．(1)证明：因为AE EB ＝12，所以AE AB ＝13，又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ＝13，即3EG ＝BH ．又EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝EF ，从而EF ＝13(BC －HC )＋AD ，所以EF ＝13BC ＋23AD ，即3EF ＝BC ＋2AD ．(2)EF 与BC ，AD 的关系式为5EF ＝2BC ＋3AD ，理由和(1)类似． (3)因为AE EB ＝m n ，所以AE AB ＝m n ＋m ．又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ，即EG ＝mm ＋nBH ．所以EF ＝EG＋GF ＝EG ＋AD ＝mm ＋n(BC －AD )＋AD ，所以EF ＝mm ＋n BC ＋nm ＋n ·AD ，即(m ＋n )EF ＝mBC ＋nAD ．。

优化方案(新课标)2016高考数学一轮复习第八章第5讲知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第八章第5讲知能训练轻松闯关1．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(12，2)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(12，1)解析：选C ．由题意可得，2k －1＞2－k ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1＞2－k ，2－k ＞0，解得1＜k ＜2． 2．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．2 6C ．4 2D ．4 3解析：选D ．依题意得|AC |＝5，所以椭圆的焦距为2c ＝|AB |＝4，长轴长2a ＝|AC |＋|BC |＝8，所以短轴长为2b ＝2a 2－c 2＝216－4＝43．3．(2015·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A ．x 28＋y 26＝1B ．x 216＋y 26＝1C ．x 28＋y 24＝1D ．x 216＋y 24＝1解析：选A ．设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a2＋3b 2＝1．又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6．4．(2015·豫西五校联考)已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B ． 2C ．32D ． 3 解析：选D ．由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3．所以b 2＝3，即b ＝3．5．(2015·内蒙古包头调研)椭圆x 236＋y 29＝1上有两个动点P 、Q ，E (3，0)，EP ⊥EQ ，则EP →·QP →的最小值为( )A ．6B ．3－ 3C ．9D ．12－6 3解析：选A ．设P 点坐标为(m ，n )，则m 236＋n 29＝1，所以|PE |＝（m －3）2＋（n －0）2＝34m 2－6m ＋18＝34（m －4）2＋6，因为－6≤m ≤6，所以|PE |的最小值为6，所以EP →·QP →＝EP →·(EP →－EQ →)＝EP →2－EP →·EQ →＝|EP →|2，所以EP →·QP →的最小值为6．6．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝3，c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.∴椭圆方程为x 212＋y 29＝1或y 212 ＋x 29＝1．答案：x 212＋y 29＝1或y 212 ＋x 29＝1 7．(2015·福州质检)若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是________．解析：不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则由题意知，2a ＋2c ＝2×2b ，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，解得e ＝35或e ＝－1(舍去)．答案：358．(2015·宜昌调研)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．解析：由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1y ＝2x －2，解得交点A (0，－2)，B (53，43)，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×|－2－43|＝53．答案：539．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b ．解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac ．将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a＝－2(舍去)．故C 的离心率为12．(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a ．① 由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |．设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1．②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a ＝1．解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，e ＝c a ＝63．解得a ＝23．又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1．(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋mx 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0．①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4．因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ，所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1．解得m ＝2．此时方程①为4x 2＋12x ＝0．解得x 1＝－3，x 2＝0．所以y 1＝－1，y 2＝2．所以|AB |＝32．此时，点P (－3，2)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92．1．(2015·山西省第三次四校联考)已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B ．∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根，∴e ＝2或e ＝12．mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y 2m ＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时，有4－m 2＝12，∴m ＝3；当它表示焦点在y 轴上的椭圆时，有m －4m＝12，∴m ＝163；当它表示焦点在x 轴上的双曲线时，可化为x 24－y 2－m ＝1，有4－m 2＝2，∴m ＝－12．∴满足条件的圆锥曲线有3个．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为( )A ．53B ．23C ．22 D ．59 解析：选A ．如图所示，设线段PF 1与圆切于点M ，则|OM |＝b ，|OF 1|＝c ，故|MF 1|＝c 2－b 2，所以|PF 1|＝2|MF 1|＝2c 2－b 2．又O 为F 1F 2的中点，M 为PF 1的中点，所以|PF 2|＝2|OM |＝2b ．由椭圆的定义，得2c 2－b 2＋2b ＝2a ，即c 2－b 2＝a －b ，即2c 2－a 2＝a －a 2－c 2，即2e 2－1＝1－1－e 2，两边平方，整理得3e 2－3＝－21－e 2，再次平方，整理得9e 4－14e 2＋5＝0，解得e 2＝59或e 2＝1(舍去)，故e ＝53．3．(2015·贵阳模拟)已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________．解析：由题意可得a ＝10，b ＝8，c ＝6．由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20①，在Rt △PF 1F 2中，由勾股定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝144②，①2－②，得2|PF 1|·|PF 2|＝400－144＝256，∴|PF 1|·|PF 2|＝128，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×128＝64．答案：644．(2014·高考安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．解析：设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)．∴x 0＝－53 1－b 2，y 0＝－b 23．∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23．将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23．∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1．答案：x 2＋32y 2＝15．(2015·山西省第二次四校联考)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0，1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为c ＝1，e ＝c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ＞0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM →＝2MB →，得x 1＝－2x 2．又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k3＋4k2x 1·x 2＝－83＋4k 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k 3＋4k2－2x 22＝－83＋4k 2，消去x 2得(8k 3＋4k 2)2＝43＋4k 2．解得k 2＝14，k ＝±12．所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0．6．(选做题)(2014·高考北京卷)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4． (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．解：(1)由题意得，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2．因此a ＝2，c ＝2．故椭圆C 的离心率e ＝c a＝22． (2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0．因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0．又x 2＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2（4－x 20）x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4)．因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8．故线段AB 长度的最小值为22．。