北师大版一元一次方程知识点复习及习题
北师大版初中数学七年级上册知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：第五章 一元一次方程(基础)
第五章一元一次方程（基础）方程的意义（基础）知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立， 如x ＝0中，两边加上得x ＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念1．下列各式哪些是方程？①3x-2＝7； ②4+8＝12； ③3x-6；④2m-3n ＝0； ⑤3x 2-2x-1＝0； ⑥x+2≠3； ⑦； ⑧． 【答案与解析】解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧． 【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个． 举一反三：【变式】（2018春•宜宾县期中）下列四个式子中，是方程的是（ ）A. 3+2=5B. x=1C. 2x ﹣3＜0D. a 2+2ab+b 2【答案】B ．2．（2018春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（ ） A. 4x ﹣1=3x+2 B. 4x+8=3（x+1）+1 C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1 D. x+4=3（2x ﹣1） 【答案】C ．【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是． 举一反三：【变式】下列方程中，解是x=3的是( )A ．x+1＝4B ．2x+1＝3C ．2x-1＝2D ．类型二、一元一次方程的相关概念3．（2019春•南江县期末）在下列方程中①x 2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（ ）个．251x =+28553x x -=2173x +=A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程，可以逐一判断. 【答案】B.【解析】解：①x 2+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤=y+是一元一次方程；一元一次方程的有2个，故选：B ． 【总结升华】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．举一反三：【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）． ①2x-1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④． 【答案】①②.类型三、等式的性质4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的． (1)如果，那么________； (2)如果ax+by ＝-c ，那么ax ＝-c +________； (3)如果，那么＝________． 【答案与解析】解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11； (2).（-by ）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by ； (3).； 根据等式的性质2，等式两边都乘以．【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．举一反三：【变式】下列说法正确的是( )．A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c.B ．在等式a ＝b 两边除以c 2+1，可得. 151x-=-41153x -=453x =+4334t -=t 916-34-2211a bc c =++C ．在等式两边都除以a ，可得b ＝c. D ．在等式2x ＝2a-b 两边都除以2，可得x ＝a-b. 【答案】B.类型四、设未知数列方程5．根据问题设未知数并列出方程：一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？ 【答案与解析】解：设小明要做对x 道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80． 可以采用列表法探究其解显然，当x ＝21时，4x-(25-x)×1＝80． 所以小明要做对21道题．【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式． 举一反三：【变式】根据下列条件列出方程． (l)x 的5倍比x 的相反数大10； (2)某数的比它的倒数小4； (3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？ 【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x ，则；(3)设甲用x 分钟追上乙，由题意得．方程的意义（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2018春•衡阳校级月考）下列叙述中，正确的是（ ）A. 方程是含有未知数的式子B. 方程是等式C. 只有含有字母x ，y 的等式才叫方程D. 带等号和字母的式子叫方程 2．下列方程是一元一次方程的是( )．b ca a=341344x x -=11(5)3020x x +=A ．x 2-2x+3＝0 B ．2x-5y ＝4 C ．x ＝0 D ．3．下列方程中，方程的解为x ＝2的是( )．A ．2x ＝6B ．(x-3)(x+2)＝0C ．x 2＝3 D ．3x-6＝0 4．x 、y 是两个有理数，“x 与y 的和的等于4”用式子表示为( )． A ． B ． C ． D ．以上都不对 5．（2019•香坊区模拟）一艘轮船从甲码头到乙码头顺水航行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆水航行，用了2.5小时．已知水流速度为3千米/时．设轮船在静水中的速度为x 千米/时，可列出的方程为（ ）A ．2x+3=2.5x ﹣3B ．2（x+3）=2.5（x ﹣3）C ．2x ﹣3=2.5x=3D ．2（x ﹣3）=2.5（x+3） 6．如果x ＝2是方程的根，则a 的值是( )． A ．0 B ．2 C ．-2 D ．-6 7．下列等式变形中，不正确的是( )．A ．若 x ＝y ，则x+5＝y+5B ．若(a ≠0)，则x ＝yC ．若-3x ＝-3y ，则x ＝yD ．若mx ＝my ，则x ＝y 8．等式的下列变形属于等式性质2的变形是( )． A ．B ．C ．D ．二、填空题9．下列各式中，是方程的有 ，是一元一次方程的是 .（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）；（8）；（9）．10．（2018春•宜阳县期中）若3x 2m ﹣3+7=1是关于x 的一元一次方程，则m 的值是_____. 11. (1)由a ＝b ，得a+c ＝b+c ，这是根据等式的性质_______在等式两边________．(2)由a13x=13143x y ++=143x y +=1()43x y +=112x a +=-x ya a=31124x x +-=31214x x +=+31214x x +-=3148x x +-=311244x x +-=1153x x +=+220x x --=23x x+=-y x =-13x =-2)13(1=++p n m 213=-1x >03=+t＝b ，得ac ＝bc ，这是根据等式的性质________在等式的两边________． 12．是下列哪个方程的解：①3x+2＝0；②2x-1＝0；③；④_______(只填序号)．13. 若，则 ．14.（2019春•简阳市校级期中）比a 的3倍大5的数是9，列出方程式是 ．三、解答题15．（2018秋•恩施市期末）已知x=﹣1是关于x 的方程8x 3﹣4x 2+kx+9=0的一个解，求3k 2﹣15k ﹣95的值．16.已知方程，试确定下列各数：，谁是此方程的解？17．七年级(1)班举行了一次集邮展览，展出的邮票的数量为每人3枚剩余24枚，每人4枚还少26枚，这个班有多少学生？(只列方程)【答案与解析】 一、选择题1．【答案】B 2．【答案】C【解析】依据一元一次方程的定义来判断． 3．【答案】D【解析】把x ＝2代入A 、B 、C 、D 选项逐一验证． 4．【答案】C 【解析】 “x 与y 的的和”与“x 与y 的和的”的区别是：前者是与x 求和，即，后者是的，即，两者运算顺序是不同的． 5．【答案】B【解析】解：设轮船在静水中的速度为x 千米/时，可列出的方程为：2（x+3）=2.5（x ﹣3）， 故选：B ．6．【答案】C【解析】把x ＝2代入方程得，解得a ＝-2． 7. 【答案】D【解析】D 中由mx ＝my 左右两边需同时除以m ，得到x ＝y ，但当m ＝0时，左右两边不能同时除以m ，所以D 项中等式变形不正确，利用性质2对等式两边同时进行变形，特别注意等式两边同时除以一个式子时，一定先确定这个式子不是0．12x =122x =1124x =0)2(432=-+-y x =+y x 22316x x x -=+12342,2,3,4x x x x ==-=-=131313y 13x y +x y +131()3x y +1212a ⨯+=-8. 【答案】C 二、填空题9. 【答案】（1）、(2) 、(3)、 (4)、（5）、（6）、（9）；（1）、（5）、（9）． 【解析】由方程与一元一次方程的定义即得答案． 10．【答案】 2【解析】根据题意得：2m ﹣3=1，解得：m=2． 11．【答案】1，同时加上c ；2，同时乘以c ．【解析】等式的性质 12．【答案】②④【解析】代入计算即得答案． 13.【答案】【解析】由平方和绝对值的非负性，并由题意得：，，即可求出． 14.【答案】3a+5=9．【解析】解：由题意得：比a 的3倍的数大5的数为：3a+5，所以列出的方程为：3a+5=9． 故答案为3a+5=9．三、解答题 15. 【解析】解：将x=﹣1代入方程得：﹣8﹣4﹣k+9=0， 解得：k=﹣3，当k=﹣3时，3k 2﹣15k ﹣95=27+45﹣95=﹣23．16. 【解析】分别将代入原方程的左右两边得：当时，则左=，右= 当时，则左=，右=当时，则左=，右=当时，则左=，右=综上可得：是此方程解的是：．17．【解析】设这个班有学生x 人，由题意得3x+24＝4x-26．114043=-x 02=-y 12342,2,3,4x x x x ==-=-=2x =222322322x x -=⨯-⨯=1621618x +=+=∴≠左右-2x =22232(2)3(2)14x x -=⨯--⨯-=1621614x +=-+=∴左=右3x =-22232(3)3(3)27x x -=⨯--⨯-=1631613x +=-+=∴≠左右4x =2223243420x x -=⨯-⨯=1641620x +=+=∴左=右242,4x x =-=一元一次方程的解法（基础）知识讲解【学习目标】1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法. 【要点梳理】要点一、解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号(2)不要丢项合并同类项把方程化成ax ＝b(a ≠0)的形式 字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或. 2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论： （1）当a ≠0时，；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解．b x a=ax b c +=0c <0c =0ax b +=0c >ax b c +=ax b c +=-b x a=【典型例题】类型一、解较简单的一元一次方程1．（2018•广州）解方程：5x=3（x ﹣4） 【答案与解析】解：方程去括号得：5x=3x ﹣12， 移项合并得：2x=﹣12， 解得：x=﹣6．【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．(2)合并：即通过合并将方程化为ax ＝b(a ≠0)的形式．(3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a ，即得方程的解． 举一反三：【变式】下列方程变形正确的是( )． A ．由2x-3＝-x-4，得2x+x ＝-4-3 B ．由x+3＝2-4x ，得5x ＝5 C ．由，得x ＝-1 D ．由3＝x-2，得-x ＝-2-3【答案】D类型二、去括号解一元一次方程2．解方程：【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程． 【答案与解析】（1）去括号得： 移项合并得： 解得： （2）去括号得： 移项合并得：解得： 【总结升华】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“-”，各项均变号． 举一反三：b x a=2332x -=42107x x +=+65x -=56x =-32226x x --=-47x -=-74x =()()()232123x x -+=-()()1221107x x +=+【变式】解方程： 5(x-5)+2x ＝-4． 【答案】解： 去括号得：5x-25+2x ＝-4． 移项合并得： 7x ＝21．解得： x ＝3．类型三、解含分母的一元一次方程3．（2019春•新乡期末）解方程﹣2=．【思路点拨】方程按照去分母，去括号，移项合并同类项，把x 系数化为1的步骤，即可求出解．【答案与解析】解：去分母得：2（2x ﹣1）﹣12=3（3x+2）， 去括号得：4x ﹣2﹣12=9x+6， 移项合并得：5x=﹣20， 解得：x=﹣4．【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解． 举一反三：【变式】（2018•岳池县模拟）解方程：x+=﹣．【答案】解：去分母得：12x+30=24x ﹣8﹣3x+24， 移项合并得：﹣9x=﹣14， 解得：x=．类型四、解较复杂的一元一次方程4．解方程：【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误． 【答案与解析】原方程可以化成：． 去分母，得：30x-7(17-20x)＝21．去括号、移项、合并同类项，得：170x ＝140． 系数化成1，得：． 【总结升华】解此题的第一步是利用分数基本性质把分母、分子同时扩大相同的倍数，以使分母化整，与去分母方程两边都乘以分母的最小公倍数要区分开．5. 解方程： 【答案与解析】0.170.210.70.03x x --=101720173x x--=1417x =112[(1)](1)223x x x --=-解法1：先去小括号得：再去中括号得：移项，合并得： 系数化为1，得： 解法2：两边均乘以2，去中括号得： 去小括号，并移项合并得：，解得： 解法3：原方程可化为： 去中括号，得 移项、合并，得 解得 【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由里到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x 变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算． 举一反三：【变式】 【答案】解：去中括号得： 去小括号，移项合并得：，解得x ＝-8 11122()22233x x x -+=-1112224433x x x -+=-5111212x -=-115x =14(1)(1)23x x x --=-51166x -=-115x =112[(1)1(1)](1)223x x x -+--=-1112(1)(1)(1)2243x x x -+--=-51(1)122x --=-115x =32[(1)2]2234x x ---=3(1)2242x x --⨯-=364x -=类型五、解含绝对值的方程6．解方程|x|-2＝0 【答案与解析】解：原方程可化为：当x ≥0时，得x=2，当x ＜0时，得-x=2，即，x ＝-2．所以原方程的解是x ＝2或x ＝-2．【总结升华】此类问题一般先把方程化为的形式，再根据的正负分类讨论，注意不要漏解．【巩固练习】 一、选择题 1．（2018春•唐河县期末）方程|2x ﹣1|=2的解是（ ）A. x=B. x=﹣C. x=或x=﹣D. x=﹣2．下列解方程的过程中，移项错误的是( )． A ．方程2x+6＝-3变形为2x ＝-3+6 B ．方程2x-6＝-3变形为2x ＝-3+6 C ．方程3x ＝4-x 变形为3x+x ＝4 D ．方程4-x ＝3x 变形为x+3x ＝4 3. 方程的解是 （ ）． A ． B ． C ． D ． 4．对方程2(2x-1)-(x-3)＝1，去括号正确的是( )．A ．4x-1-x-3＝1B ．4x-1-x+3＝1C ．4x-2-x-3＝1D ．4x-2-x+3＝1 5．方程可变形为( )． A ．3-x-1＝0 B ．6-x-1＝0 C ．6-x+1＝0 D ．6-x+1＝2 6．3x-12的值与互为倒数，则x 的值为( )． A ．3 B ．-3 C ．5 D ．-5 7．（2019•株洲）在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（ ）2x =ax b =ax 1143x =12x =112x =43x =34x =1302x --=13-A ．2x ﹣1+6x=3（3x+1）B ．2（x ﹣1）+6x=3（3x+1）C ．2（x ﹣1）+x=3（3x+1）D ．（x ﹣1）+x=3（x+1）8.某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（ ）． A ．54盏 B ．55盏 C ．56盏 D ．57盏二、填空题9．(1)方程2x+3＝3x-2，利用________可变形为2x-3x ＝-2-3，这种变形叫________． (2)方程-3x ＝5，利用________，把方程两边都_______，把x 的系数化为1，得x ＝________． 10．方程2x-kx+1＝5x-2的解是x ＝-1，k 的值是_______． 11．（2018秋•铜陵期末）如果|a+3|=1，那么a= ． 12．（2019春•南江县校级月考）在解方程﹣=2时，去分母得 ．13．在有理数范围内定义一种运算“※”，其规则为a ※b ＝a-b ．根据这个规则，求方程(x-2)※1＝0的解为________．14．一列长为150m 的火车，以15m/s 的速度通过600m 的隧道，则这列火车完全通过此隧道所需时间是________s ． 三、解答题15．解下列方程：(1)4(2x-1)-3(5x+2)＝3(2-x)； (2)； (3)．16.（2018春•宜阳县期中）当k 取何值时，关于x 的方程2（2x ﹣3）=1﹣2x 和8﹣k=2（x+）的解相同？17．小明的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨汁污染了，成为，他翻看了书后的答案，知道了这个方程的解是，于是他把被污染了的数字求出来了，请你把小明的计算过程写出来．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C.【解析】由题意，2x ﹣1=2，或2x ﹣1=﹣2，解这两个方程得：x=，或x=﹣ 2. 【答案】A【解析】A 中移项未改变符号． 3. 【答案】C12323x x x ---=-0.10.2130.020.5x x -+-=31155x x ++∙=-14【解析】系数化为1，两边同乘以4即可． 4. 【答案】D【解析】A 中，去掉第1个括号时第二项漏乘，去掉第2个括号时，-3没变号；B 中，去掉第1个括号时第二项漏乘；C 中，去掉第2个括号时，-3没变号． 5．【答案】C【解析】A 中，去分母时3没有乘以2，-1没变号；B 中，去分母时-1没变号；D 中，等号右边0乘以2应是0，而不应是2． 6．【答案】A【解析】-3x-12与互为倒数，所以3x-12＝-3，x ＝3． 7. 【答案】B【解析】解：方程两边同时乘以6得：2（x ﹣1）+6x=3（3x+1），故选B ． 8. 【答案】B【解析】设有盏，则有个灯距，由题意可得：，解得：．二、填空题9．【答案】(1)等式性质1，移项； (2)等式性质2，除以-3， 10．【答案】k ＝-6【解析】将代入得：，解得：． 11.【答案】﹣2或﹣4．【解析】∵|a+3|=1，∴a+3=1或a+3=﹣1，∴a=﹣2或﹣4． 12．【答案】3（x+1）﹣2（2x ﹣3）=24．【解析】解：方程两边都乘以12，去分母得，3（x+1）﹣2（2x ﹣3）=24．故答案为：3（x+1）﹣2（2x ﹣3）=24．13．【答案】x ＝3【解析】根据规则得：x-2-1＝0，x ＝3． 14．【答案】50 【解析】(秒) ．三、解答题 15．【解析】解：(1)8x-4-15x-6＝6-3x 8x-15x+3x ＝6+4+6 -4x ＝16x ＝-4 (2) 13-x (1)x -36(1061)70(1)x -=-55x =53-1x =-2152k -++=--6k =-6001505015+=12323x x x ---=-6x-3(1-x)＝18-2(x-2) 11x ＝25 (3)原方程可化为：，约分得：5x-10-(2x+2)＝3，去括号得5x-10-2x-2＝3，移项及合并，得3x ＝15，系数化为1，得x ＝5．16.【解析】解2（2x ﹣3）=1﹣2x ，得 x=，把x=代入8﹣k=2（x+），得 8﹣k=2（+）， 解得k=4，当k=4时，关于x 的方程2（2x ﹣3）=1﹣2x 和8﹣k=2（x+）的解相同． 17．【解析】 解：将代入，得： ． 解得：．所以被污染的数字为3．一元一次方程应用（一）--水箱变高了与打折销售（基础）知识讲解【学习目标】1.能分析简单问题中的数量关系，并建立方程解决问题；体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系．2.进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会数学的应用价值. 【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释：2511x =10201010325x x -+-=14x =113144155⨯++∙=-3∙=−−−→分析抽象−−−→求解检验（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 要点二、水箱变高了（等积变形问题） “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积. 常用的面积、体积公式：长方形的周长公式：(长+宽)×2；面积公式：长×宽 长方体的体积公式：长×宽×高正方形的周长公式：边长×4； 面积公式：边长×边长 正方体体积公式：边长×边长×边长圆的周长公式：C=；面积公式：；圆柱的体积公式：V 柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V 锥=×底面积×高 要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住两个等量关系：第一，形变体积不变；第二，形变体积也变，但重量不变.要点三、打折销售（利润问题） (1) (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住价格升降对利润的影响来考虑． 【典型例题】类型一、水箱变高了（等积变形问题）1．一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离．【思路点拨】先求得两个圆柱的体积，进而求得体积差，等量关系为：体积小的底面积×高度=体积差，把相关数值代入即可求解． 【答案与解析】2d r ππ=2S r π=13-=100%=100%⨯⨯利润售价成本利润率成本成本解：底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内体积为：V1=π×（）2×18=（立方厘米），底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃体积为：V2=π×（6÷2）2×10=（立方厘米），因为V2＜V1，所以装不下.设瓶内水面还有xcm．π×（）2×x=，解得：x=3.6．答：装不下，瓶内水面还有3.6厘米．【总结升华】解决本题的难点是判断出哪个容器的体积大；关键是得到倒满较小的容器后的体积的等量关系．2．一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其它三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米，你认为谁的设计符合实际按照他的设计，鸡场的面积是多少？【答案与解析】解：根据小王的设计可以设宽为x米，则长为（x+5）米，根据题意得：2x+（x+5）=35解得： x=10．因此小王设计的长为x+5=10+5=15（米），而墙的长度只有14米，小王的设计不符合实际的．根据小赵的设计可以设宽为y米，长为（y+2）米，根据题意得2y+（y+2）=35解得： y=11．因此小赵设计的长为y+2=11+2=13（米），而墙的长度只有14米，显然小赵的设计符合要求，此时鸡场的面积为11×13=143（平方米）．答：小赵的设计符合实际按照他的设计，鸡场的面积是143平方米.【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，但要注意所得的结果应满足实际情况的需要.类型二、打折销售（利润问题）3．（2019•潮南区模拟）某商场销售的一款空调机每台的标价是3270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．（1）求这款空调每台的进价？（利润率==）．（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？【思路点拨】（1）利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．【答案与解析】解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：3270×0.8﹣x=9%x，解得：x=2400，答：这款空调每台的进价为2400元；（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×2400×9%=21600（元），答：商场销售了这款空调机100台，盈利21600元．【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意．分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要．举一反三：【变式】（2019•滦平县二模）一家商店将某种商品按进货价提高100%后，又以6折优惠售出，售价为60元，则这种商品的进货价是（）A．120元B．100元C．72元D．50元【答案】D．解：设进货价为x元，由题意得：（1+100%）x•60%=60，解得：x=50.4．（2019•怀柔区二模）列方程或方程组解应用题：周末小明和爸爸准备一起去商场购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商场都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价30元，茶杯每把定价5元，且两家都有优惠．甲商场买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯）；乙商场全场九折优惠．小明的爸爸需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．当去两家商场付款一样时，求需要购买茶杯的数量．【思路点拨】由题意可知，在甲店买一把茶壶赠送茶杯一只，故需付5只茶壶的钱和x﹣5只茶杯的钱，已知茶壶和茶杯的钱，可列出付款关于x的式子；在乙店购买全场9折优惠，同理也可列出付款关于x的式子；若两种优惠办法付款一样，则两式子的值相等，计算出x 的值即需购买茶杯的数目．【答案与解析】解：设购买茶杯x只，依题意得5x+125=4.5x+135，解得：x=20．所以购买茶杯20只时，两种优惠办法付款一样．【总结升华】本题考查了一元一次方程在经济问题中的运用以及买东西的优惠问题．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．举一反三：【变式】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所买书籍的原价．【答案】解：设李明上次购买书籍的原价为x元，由题意得：0.8x+20＝x-12，解得：x＝160．答：李明上次所买书籍的原价是160元．【巩固练习】一、选择题1．有一个底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径A．B．C．D．3．图（①）为一正面白色，反面灰色的长方形纸片．今沿虚线剪下分成甲、乙两长方形纸片，并将甲纸片反面朝上黏贴于乙纸片上，形成一张白、灰相间的长方形纸片，如图（②）所示．若图（②）中白色与灰色区域的面积比为8：3，图（②）纸片的面积为33，则图（①）纸片的面积为（）．B．C为140元，那么这种商品的原价是（）A．160元 B．180元 C．200元 D．220元5．某个体商贩在一次买卖中同时卖出两件上衣, 每件售价均为135元, 若按成本计算, 其中一件盈利25%, 一件亏本25%, 则在这次买卖中他 ( )A．不赚不赔 B．赚9元 C．赔18元 D．赚18元6．（2019•大庆）某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同．2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元．2月份与1月份的销售总额相同，则1月份的售价为（）A．880元B．800元C．720元D．1080元二、填空题7．用长为1米，直径是40毫米的圆钢能锻拉成直径为4毫米的圆钢丝米．8．一只直径为90毫米的圆柱形玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个底面积为131×131平方毫米、高为81毫米的长方体铁盒中，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度大约下降了多少设大约下降了x毫米，则可列方程．9．如图，将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条（阴影部分）后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条，若两次剪下的长条面积正好相等，则每一个长条的面积为cm2．10．（2019•孝义市三模）五一期间，某商厦为了促销，将一款每台标价为1635元的空调按标价的八折销售，结果仍能盈利9%，则是这款空调机每台的进价为元．11．五•一期间，某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了折优惠．12．商场打折促销时，张老师买了一件衣服和一条裤子，共用了284元．其中衣服按标价打六折，裤子按标价打八折，衣服的标价为300元，则裤子的标价应为元.三、解答题13．（2019•泰州）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？14．若进货价降低8%，而售出价不变，那么利润可由目前的p%增加到（p+10）%，求p．15．在一次春游中，小明、小亮等同学随家人一同到江郎山游玩．如图所示是购买门票时，小明与他爸爸的对话：。
北师大版七上第22讲 一元一次方程复习(基础)
《一元一次方程》全章复习【知识网络】【要点梳理】知识点一、一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．要点诠释：（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式．（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．知识点二、等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式．等式的性质2：等式两边乘同一个数，（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式．2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax ＝b(a ≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解b x a=(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.等积变形：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.2.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价3.行程问题：路程＝速度×时间4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数7.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.8.方案问题：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．【典型例题】类型一、一元一次方程的概念1．如果方程（k ﹣1）x |k|+3=0是关于x 的一元一次方程，那么k 的值是 ．举一反三：【变式】下列说法中正确的是( ).A ．2a-a=a 不是等式B ．x 2-2x-3是方程C ．方程是等式D ．等式是方程2. 若方程3(x-1)+8＝2x+3与方程253x k x +-=的解相同，求k 的值．举一反三：【变式】当x= 时，代数式2x+1与5x ﹣8的值相等．类型二、一元一次方程的解法3．解方程2351 46y y+--=举一反三：【变式】解方程：解方程：0.10.050.20.0550.20.54x x+--+=4．解方程：113(1)(1)2(1)(1)22x x x x+--=--+类型三、一元一次方程的应用5．甲车从A地出发以60 km／h的速度沿公路匀速行驶，0.5 h后，乙车也从A地出发，以80 km／h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车．6.如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为10cm，原容器内水的高度为12cm，把一根半径为2cm的玻璃棒垂直插入水中后，问容器内的水将升高多少cm？（圆柱的体积=底面积×高）7.某商品的进价为1500元，提高40%后标价，若打折销售，使其利润为20%，则此商品是按几折销售的？（结果精确到0.1）举一反三：【变式】“五一”期间，某商场搞优惠促销活动，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按原销售价70%销售）和九折，共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元，问两种商品原销售价分别为多少元？【巩固练习】一、选择题1．下列方程中，是一元一次方程的为（）A．3x+2y=6B．x2+2x﹣1=0C．=x D．﹣3=2.下列变形错误的是( ).A.由x + 7= 5得x+7－7 = 5－7B.由3x－2 =2x + 1得x= 3C.由4－3x = 4x－3得4+3 = 4x+3xD.由－2x= 3得x= －323. 某书中一道方程题：213xx++=，□处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是 2.5x=-，那么□处应该是数字( )．A．-2.5 B．2.5 C．5 D．74. 将(3x＋2)－2(2x－1)去括号正确的是( ).A 3x＋2－2x＋1B 3x＋2－4x＋1C 3x＋2－4x－2D 3x＋2－4x＋25. 当x=2时，代数式ax－2x的值为4，当x=－2时，这个代数式的值为（）.A.－8B.－4C.－2D.86．解方程121153x x+-=-时，去分母正确的是( )．A．3(x+1)＝1-5(2x-1) B．3x+3＝15-10x-5C．3(x+1)＝15-5(2x-1) D．3x+1＝15-10x+57．某球队参加比赛，开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队获胜的场数为( )．A．4 B．5 C．6 D．78．某超市选用每千克28元的甲种糖3千克，每千克20元的乙种糖2千克，每千克12元的丙种糖5千克混合成杂拌糖后出售，在总销售额不变的情况下，这种杂拌糖平均每千克售价应是( )．A．18元 B．18.4元 C．19.6元 D．20元二、填空题9．在0，－1，3中，是方程3x－9=0的解.10．如果3x＝－6是关于x的一元一次方程，那么a＝，方程的解 . 11．若x＝－2是关于x的方程的解，则a＝ .12．由3x＝2x＋1变为3x－2x＝1，是方程两边同时加上 .13．“代数式9－x的值比代数式－1的值小6”用方程表示为 . 14．当x＝时，代数式与互为相反数.15．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班的学生有人．16．某商场把彩电按标价的8折出售，仍可获利20%，若该彩电的进价为2000元，则标价是 .三、解答题17．（1）310.10.35 42x x-=+；（2）122(1)(3)23x x x--=+．52a-=x324=-axx32223x-32x-18．已知代数式11213yy---+的值为0，求代数式312143y y---的值．19．某水果销售店用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：进价（元/千克）售价（元/千克）甲种58乙种913（1）这两种水果各购进多少千克？（2）若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？20．学校校办工厂需制作一块广告牌，请来师徒二人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配?。
北师大版七年级上册(新版)-第五章《一元一次方程》各知识点复习导学
第五章《一元一次方程》期末复习基础知识梳理一、主要概念1．方程的概念：含有未知数的等式叫方程.2．一元一次方程的概念：只含有一个未知数，未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程.3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.5．同类项：如果两项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，那么这样的两项叫做同类项.二、主要性质1．等式的性质等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.2．合并同类项法则同类项相加（减），把它们的系数相加（减）作为结果的系数，字母部分不变.3．去括号法则（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反.三、解一元一次方程的注意事项1．分母是小数时，根据分数的基本性质，分子、分母都扩大相同的倍数，把分母转化成整数，此时和不含分母的项无关，不要和去分母相混淆.2．去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号.3．去括号时，不要漏乘括号内的项，要依据法则，不要弄错符号.4．移项时切记要变号，不要丢项，另外合并同类项和移项要灵活运用，如：有时去括号后等号的某一边或两边有同类项，可先合并，再移项，以免丢项.5．系数化为1时，不要弄错符号，分子、分母不要颠倒.6．不要生搬硬套解方程的步骤，要根据具体题目灵活运用，以便找到一个最简便的解法.四、列一元一次方程解决实际问题的步骤1．审：审题，多读几次，理清题中各量之间的关系.2．设：把题中某个未知数用字母代替，有时直接设元，有时间接设元.为了比较容易列方程或列出的方程比较简单易解，不直接把题目的问题设成未知数，而间接地把和题目中要求的问题有关的量设成未知数，即间接设元.3．找：把已知数和未知数放在一起找出一个相等的关系，有时可借助图形来找相等关系.4．列：根据等量关系列出方程.5．解：求出方程的解.6．验：检验方程的解是否符合问题的实际意义.7．答：写出答案（包括单位）巩固练习一、选择题：1. 下列各题中正确的是（ ）A. 由347-=x x 移项得347=-x xB.由231312-+=-x x 去分母得)3(31)12(2-+=-x x C.由1)3(3)12(2=---x x 去括号得19324=---x xD.由7)1(2+=+x x 移项、合并同类项得x =52．方程2－2x 4x 7312－－＝－去分母得（ ）。
北师大版七年级上册数学[《一元一次方程》全章复习与巩固(基础版)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《一元一次方程》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1．经历建立方程模型、解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会模型思想；2．了解一元一次方程、方程的解等基本概念，会解数字系数的一元一次方程，感受转化思想；3．能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的合理性．【知识网络】【要点梳理】知识点一、一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．要点诠释：（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式．（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．知识点二、等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式．等式的性质2：等式两边乘同一个数，（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式．2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax ＝b(a ≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解b x a=(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.等积变形：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.2.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价3.行程问题：路程＝速度×时间4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数7.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.8.方案问题：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．【典型例题】类型一、一元一次方程的概念1．（2014•郸城县校级模拟）如果方程（k ﹣1）x |k|+3=0是关于x 的一元一次方程，那么k 的值是 ．【思路点拨】根据一元一次方程的定义知|k|=1且未知数是系数k ﹣1≠0，据此可以求得k 的值．【答案】 ﹣1．【解析】解：∵方程（k﹣1）x|k|+3=0是关于x的一元一次方程，∴|k|=1，且k﹣1≠0，解得，k=﹣1；故答案是：﹣1．【总结升华】本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1，且未知数的系数不为零．举一反三：【变式】下列说法中正确的是( ).A．2a-a=a不是等式 B．x2-2x-3是方程 C．方程是等式 D．等式是方程【答案】C2. 若方程3(x-1)+8＝2x+3与方程253x k x+-=的解相同，求k的值．【答案与解析】解：解方程3(x-1)+8＝2x+3，得x＝-2．将x＝-2代入方程253x k x+-=中，得22253k-++=．解这个关于k的方程，得263k=．所以，263k=．【总结升华】由于两个方程的解相同，所以可以将其中一个方程的解代入另一个方程中，从而求得问题的答案．举一反三：【变式】（2015春•泉州期中）当x=时，代数式2x+1与5x﹣8的值相等．【答案】3．解：根据题意得：2x+1=5x﹣8，∴2x﹣5x=﹣8﹣1，∴﹣3x=﹣9，∴x=3.类型二、一元一次方程的解法3．解方程2351 46y y+--=【思路点拨】通过方程的同解原理(去分母，去括号，合并同类项，系数化为1)，一步一步将一个复杂的方程转化成与它同解的最简的方程，从而达到求解的目的．【答案与解析】解：去分母，得3(y+2)-2(3-5y)＝12去括号，得3y+6-6+10y＝12合并同类项，得13y＝12未知数的系数化为1，得1213 y=【总结升华】转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题，将未知转化为已知．事实上解一元一次方程就是利用方程的同解原理，将复杂的方程转化为简单的方程直至求出它的解．举一反三：【变式】解方程：解方程：0.10.050.20.0550.20.54x x+--+=【答案】解：把方程可化为：0.520.550 254x x+--+=再去分母得：232x=-解得：16x=-4．解方程：113(1)(1)2(1)(1)22x x x x+--=--+【思路点拨】本题按常规方法求解，比较繁锁，如能根据题目的特点，巧用“整体思维”，就能算得又快又对，起到事半功倍的效果．【答案与解析】解：113(1)(1)2(1)(1)22x x x x+++=-+-75(1)(1)22x x+=-7(1)5(1)x x+=-7755x x+=-212x=-x＝-6【总结升华】直接去括号太繁琐，若将(x+1)及(x-1)看作一个整体，并移项合并同类项，解答十分巧妙，可免去去分母的步骤及简化去括号的过程．类型三、一元一次方程的应用5．甲车从A地出发以60 km／h的速度沿公路匀速行驶，0.5 h后，乙车也从A地出发，以80 km／h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车．【答案与解析】解：设乙车出发后x小时追上甲车，依题意得60×0.5+60x＝80x，解得 x＝1.5．答：乙车出发后1.5小时追上甲车．【总结升华】此题的等量关系为：甲前0.5 h的行程+甲后来的行程＝乙的行程．6.如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为10cm，原容器内水的高度为12cm，把一根半径为2cm的玻璃棒垂直插入水中后，问容器内的水将升高多少cm？（圆柱的体积=底面积×高）【思路点拨】根据题意，得等量关系为：容器的底面积×容器中水的原来高度+玻璃棒的截面积×（容器中水的高度+水增加的高度）=容器的底面积×（容器中水原来的高度+水增加的高度）．【答案与解析】解：解：设容器内的水将升高xcm，据题意得：π•102×12+π•22（12+x）=π•102（12+x），1200+4（12+x）=100（12+x），1200+48+4x=1200+100x，96x=48，x=0.5．答：容器内的水将升高0.5cm．【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题也可以根据水面上升部分的体积等于插入水中玻璃棒的体积来列等量关系进行求解.7.某商品的进价为1500元，提高40%后标价，若打折销售，使其利润为20%，则此商品是按几折销售的？（结果精确到0.1）【答案与解析】举一反三：【变式】“五一”期间，某商场搞优惠促销活动，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按原销售价70%销售）和九折，共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元，问两种商品原销售价分别为多少元？【答案】解：设甲种商品原价x元，则乙种商品原价为（500-x）元，则：70%x+90%（500-x）=386，0.7x+450-0.9x=386，0.2x=64，x=320；乙种商品原价为500-320=180（元）；答：甲种商品原价为320元，乙种商品原价为180元．。
专题 一元一次方程章末重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.8 一元一次方程章末重难点题型汇编【举一反三】【北师大版】【考点1 一元一次方程的定义】【方法点拨】一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.【例1】（2019秋•南岗区校级月考）在方程①3x+y＝4，②2x﹣＝5，③3y+2＝2﹣y，④2x2﹣5x+6＝2（x2+3x）中，是一元一次方程的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．【答案】解：①3x+y＝4中含有2个未知数，属于二元一次方程，不符合题意，②2x﹣＝5是分式方程，不符合题意；③3y+2＝2﹣y符合一元一次方程的定义，符合题意；④由2x2﹣5x+6＝2（x2+3x）得到：﹣11x+6＝0符合一元一次方程的定义，符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．【变式1-1】（2018秋•赣州期末）已知关于x的方程（m﹣2）x|m﹣1|＝0是一元一次方程，则m的值是（）A．2B．0C．1D．0或2【分析】根据一元一次方程的定义，得到关于m﹣1的绝对值的方程，利用绝对值的定义，解之，把m 的值代入m﹣2，根据是否为0，即可得到答案．【答案】解：根据题意得：|m﹣1|＝1，整理得：m﹣1＝1或m﹣1＝﹣1，解得：m＝2或0，把m＝2代入m﹣2得：2﹣2＝0（不合题意，舍去），把m＝0代入m﹣2得：0﹣2＝﹣2（符合题意），即m的值是0，故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，正确掌握一元一次方程的定义，绝对值的定义是解题的关键．【变式1-2】（2019春•南关区校级期中）下列方程：①2x+6＝7；②x﹣4＝；③x+0.3x＝4；④3x2﹣4x ＝9；⑤x＝0；⑥3x﹣2y＝8；⑦x＝1；⑧＝2中是一元一次方程的个数是（）A．6个B．5个C．4个D．3个【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．【答案】解：①2x+6＝7、③x+0.3x＝4、⑤x＝0、⑦x＝1符合一元一次方程的定义；②x﹣4＝、⑧＝2是分式方程；④3x2﹣4x＝9是一元二次方程；⑥3x﹣2y＝8是二元二次方程，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．【变式1-3】（2019春•南关区校级月考）如果关于x的方程（m+1）x2+（m﹣1）x+m＝0是一元一次方程，则m的值为（）A．1B．﹣1C．0D．1或﹣1【分析】由一元一次方程的定义可知：m+1＝0，从而可求得m的值．【答案】解：∵关于x的方程（m+1）x2+（m﹣1）x+m＝0是一元一次方程，∴m+1＝0．解得：m＝﹣1．故选：B．【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．【考点2 等式的基本性质】【方法点拨】等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等.【例2】（2019春•西湖区校级月考）设x，y，c是实数，则下列判断正确的是（）A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．C．若x＝y，则D．若，则2x＝3y【分析】根据等式的性质，可得答案．【答案】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意；B、分子分母都除以c，故B符合题意；C、c＝0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；D、两边乘6c，得到，3x＝2y，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键．【变式2-1】（2019春•西湖区校级月考）如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．图（1）、（2）所示的两个天天平处于平衡状态，要使第3个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（）A．3个球B．4个球C．5个球D．7个球【分析】题目中的图形实际是说明了两个相等关系：设球的质量是x，小正方形的质量是y，小正三角形的质量是z．根据第一个天平得到：5x+2y＝x+3z；根据第二个天平得到：3x+3y＝2y+2z，把这两个式子组成方程组，解这个关于y，z的方程组即可．【答案】解：设球的质量是x，小正方形的质量是y，小正三角形的质量是z．根据题意得到：，解得：，第三图中左边是：3x+2y+z＝7x，因而需在它的右盘中放置7个球．故选：D．【点睛】考查了等式的性质，本题的难点是解关于y，z的方程，解题的基本思想是消元．【变式2-2】（2019春•新罗区期中）如图，其中图（a）（b）中天平保持左右平衡，现要使图（c）中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（）A．25克B．30克C．40克D．50克【分析】根据等式的性质即可求出答案．【答案】解：设三角形重为x，圆形重为y，∴3x+2y＝80，3y+2x＝70，∴x+y＝30，∴3y+2x﹣（x+y）＝70﹣30∴x+2y＝40，故选：C．【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．【变式2-3】（2018秋•鄂城区期末）已知等式3a＝b+2c，那么下列等式中不一定成立的是（）A．3a﹣b＝2c B．4a＝a+b+2c C．a＝b+c D．3＝+【分析】根据等式的基本性质逐一判断即可得．【答案】解：A、原等式两边都减去b即可得3a﹣b＝2c，此选项正确；B、原等式两边都加上a即可得4a＝a+b+2c，此选项正确；C、原等式两边都除以3即可得a＝b+c，此选项正确；D、在a≠0的前提下，两边都除以a可得3＝+，故此选项不一定成立；故选：D．【点睛】本题主要考查等式的性质，解题的关键是掌握等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．【考点3 一元一次方程的解】【方法点拨】方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”。
北师大版七年级数学上册第5章：一元一次方程知识点及经典例题(1)
（1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+ =2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2) [变式 2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6＝0 是一元一次方程，求 a 的值。
[变式 3]（2011 重庆江津）已知 3 是关于 x 的方程 2x－a=1 的解,则 a 的值是( )
例 5 解：原方程逆用分数加减法法则，得
移项、合并同类项，得
。
系数化为 1，得
。
例 6 解：原方程化为 去分母，得 100x－(13－20x)＝7 去括号、移项、合并同类项，得 120x＝20
6
两边同除以 120，得 x＝
∴原方程的解为
总结升华：应用分数性质时要和等式性质相区别。可以化为同分母的，先化为同分母， 再去分母较简便。 举一反三
一、知识要点梳理
知识点一：方程和方程的解
1.方程：含有_____________的______叫方程
注意：a.必须是等式
b.必须含有未知数。
易错点：（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；（2）.方程中的未知数可以用 x 表示，
也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。
考法：判断是不是方程：
例 3 、解方程知识与绝对值知识综合题型
解方程： | 2x 1| 7 3
2
二、经典例题透析 类型一：一元一次方程的相关概念
1、已知下列各式：
①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④ x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦ ＝8；⑧x＝0。其中方程的个数是( )
A、5 B、6 C、7 D、8
北师大版七年级一元一次方程专题复习
北师大版七年级一元一次方程专题复习一元一次方程复习一、知识梳理1、方程及一兀一次方程定义方程必须满足两个条件(1)., 1 x 1 =（2） 2 （3） 9X -83x-6x-1 （7） b=1 （8）厂3 = ° （9） z--1,其中方程有2步骤(变形名称)变形依据注意事项1、去分母1、 不要漏乘不含分母的项2、 去分母后，原分子要加括号2、去()1、 乘法分配律2、 去括号法则1、 括号前的数不要漏乘括号里面的项2、 不要弄错符号(变则都变，不变则都不变)3、移项(从等号一边移动 到另一边)1、 凡移项要变号2、 含未知数的项一般在方程左边，常数移到方程右 边 4、合并( )合并同类项法则1、 项数较多时，可以标记2、 系数相加时，注意符号3、 字母及其指数要照写5、化系数为()1、 系数是整数时，两边同除以这个数2、 系数是分数时，两边同乘以分数的倒数3、 符号要分清3、运用方程解决实际问题的一般过程(2)可借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系;二.典型例题例1:若(a — 1)x |a| + 3=— 6是关于x 的一元一次方程，则a=_______ ; x= ______ 例2：已知3是关于x 的方程2 x — a =1的解，则a 的值是() A 、— 5B 、5C 7D 21练：已知y = 3是6+ 4 (m — y ) = 2y 的解，那么关于x 的方程2m (x — 1) = ( m 卄1)(3 x — 4)的解是多少？⑵.元一次方程也有两个条件(1)（2） _______ ,式子（1）2一 一3 =5（4） x 3y 4（ 5） x 2 _0（ 6）_________ ________ , 一元一次方程有实际问题抽象数学问题分析已知量、未知 量、等量关系解释列出求出方程方法指导:(1 )可以借助表格分析复杂问题中的数量关系; 验证x_ 口2_匕例3:若代数式2与代数式5的值相等，求x 的值.例4:依据下列解方程0.3x 0.5=2^1的过程，请在前面的括号内填写变形步骤 ，在后面的括号内填写变形依据.3例5:铜仁市对城区主干道进行绿化 ，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树 ，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等•如果每隔 5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完•设原有树苗 x 棵，则根据题意列出方程正确的是( )A. 5(x 21 -1) = 6(x -1)B.5(x 21) = 6(x -1) C. 5(x 21 -1) =6x D. 5(x 21) = 6x例6 :儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打 8折优惠，能比标价省13.2元.已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？例某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共 2000件.已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的 2倍少400件.求该企业分别捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少件？，关键是设乙所学校的矿泉水 x 件，利用相等关系列方程；列方程解应用题是中考()()0.2解：原方程可变形为3x 5=2x -1练习:x -7 4 8(3x-1) - 9(5x - 11) - 2(2x - 7)=302x -1310x -1 2x 1 6~2(x+1)_5(x+1) -1 3 6小结：本题考查理解题意的能力 必考查的内容。
北师大版七年级一元一次方程专题复习
北师大版七年级一元一次方程专题复习一元一次方程复习一、知识梳理1、方程及一元一次方程定义方程必须满足两个条件(1)_________ (2)___________,一元一次方程也有两个条件(1)___________(2)___________,式子（1）()235--=（2）112x+=-（3）98x-（4）34x y+=-（5）20x≥（6）361x x--（7）1b=（8）30y+=（9）1z=-,其中方程有_________ _ ____,一元一次方程有______ _ _____. 23、运用方程解决实际问题的一般过程方法指导：（1）可以借助表格分析复杂问题中的数量关系；（2）可借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系；二．典型例题例1：若(a－1)x|a|＋3＝－6是关于x的一元一次方程,则a＝＿＿；x＝＿＿＿。
例2：已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是（）A、﹣5B、5C、7D、2练：已知y＝3是6＋14(m－y)＝2y的解,那么关于x的方程2m(x－1)＝(m＋1)(3x－4)的解是多少?例3：若代数式12x x --与代数式225x +-的值相等,求x 的值.例4：依据下列解方程0.30.521=0.23x x +-的过程,请在前面的括号内填写变形步骤,在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为3521=23x x +-（ ） 去分母,得3（3x +5）=2（2x ﹣1）．（ ） 去括号,得9x +15=4x ﹣2．（ ） （ ）,得9x ﹣4x =﹣15﹣2．（ ） 合并,得5x =﹣17．（ 合并同类项法则 ） （ ）,得x =175-．（ ） 练习：138547=+--x x 8(3x －1)－9(5x －11)－2(2x －7)=3014126110312-+=---x x x 2(x+1)5(x+1)=136－例5：铜仁市对城区主干道进行绿化,计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树,要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵,则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵,则树苗正好用完．设原有树苗x 棵,则根据题意列出方程正确的是（ ）A. )1(6)121(5-=-+x xB. )1(6)21(5-=+x xC. x x 6)121(5=-+D. x x 6)21(5=+ 例6：儿童节期间,文具商店搞促销活动,同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠,能比标价省13.2元.已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元,那么书包和文具盒的标价各是多少元？例某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2000件.已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件.求该企业分别捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少件？小结：本题考查理解题意的能力,关键是设乙所学校的矿泉水x 件,利用相等关系列方程；列方程解应用题是中考必考查的内容。
北师大版七年级数学上册认识一元一次方程及求解专题复习(含答案)
北师大版九年级数学上册认识一元一次方程及求解专题复习一、选择题1.已知(m2−1)x2+(m−1)x+7=0是关于x的一元一次方程，则m的值为()A. ±1B. −1C. 1D. 以上答案都不对2.下列说法错误的是()A. 若a=b，则ac=bcB. 若ab=a，则b=1C. 若ac =bc，则a=b D. 若a=b，则(a−1)c=(b−1)c3.代数式3x2−4x+6的值为9，则x2−43x+6的值为()A. 7B. 18C. 12D. 94.运用等式性质进行的变形，正确的是()A. 如果a=b，那么a+c=b−cB. 如果ac =bc，那么a=bC. 如果a=b，那么ac =bcD. 如果a2=3a，那么a=35.已知下列方程：①x−2=2x ；②0.3x=1；③x2=5x+1；④x2−4x=3；⑤x=6；⑥x+2y=0.其中一元一次方程的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 56.如图，“●、■、●”分别表示三种不同的物体.己知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡.如果在“⋅”处只放“■”，那么应放“■”()A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个7.下列运用等式的性质对等式进行变形，正确的是()A. 由x4=0，得x=4 B. 由2x+1=4，得x=5C. 由−2x=6，得x=3D. 由8x=5x+3，得3x=38.已知关于x的方程x−4−ax6=x+43−1解是正整数，则所有符合条件的整数a的积等于A. 12B. 36C. −4D. −129.若a，b是互为相反数(a≠0)，则关于x的一元一次方程ax+b=0的解是()A. 1B. −1C. −1或1D. 任意有理数10.已知关于x的方程3x−2=kx+7有整数解，则满足条件的所有整数k有()个．A. 4B. 5C. 6D. 811.若关于x的方程2x+a+5b=0的解是x=−3，则代数式6−2a−10b的值为()A. −6B. 0C. 12D. 1812.如果关于x的方程3x+2a=12和方程3x−4=2(x−3)的解相同，那么a为()A. 7B. 9C. 11D. 1313.若不论k取什么实数，关于x的方程2kx+a3−x−bk6=1(a、b是常数)的根总是x=1，则a+b=()A. 12B. 32C. −12D. −32二、填空题14.若(m+1)x|m|=6是关于x的一元一次方程，则m等于________．15.若关于x的方程x m−2−m+2=0是一元一次方程，则这个方程的解是______16.在梯形面积公式S=12(a+b)ℎ中，已知S=60，b=4，ℎ=12，则a=________．17.用符号●定义一种新运算a●b=ab+2(a−b)，若3●x=0，则x的值为________．18.若关于x的一元一次方程12021x+2021=2x+m的解为x=2021，则关于y的一元一次方程12021(y+1)+2021=2(y+1)+m的解为________．三、解答题19. 定义：对于一个有理数x ，我们把[x]称作x 的对称数．若x ≥0，则[x]=x −3；若x <0，则[x]=x +3.例：[1]=1−3=−2，[−2]=−2+3=1．(1)已知有理数m >0，n <0，且满足[m]=[n]，试求代数式(m −n)3−3m +3n 的值；(2)解方程：[2x]+[x +1]=1．20. 已知x =12是方程2x−m 4−12=x−m 3的解，求m 的值．21. 解方程：(1)3(x −2)=x −4 (2)x+12−1=2−x 3答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意，得m2−1=0且m−1≠0，解得m=−1，2.【答案】B【解析】解：A.若a=b，则ac=bc，此选项正确；B.若ab=a且a≠0，则b=1，此选项错误；C.若ac =bc，则a=b，此选项正确；D.若a=b，则ac=bc，继而可得ac−c=bc−c，即(a−1)c=(b−1)c，此选项正确；3.【答案】A【解答】解：∵3x2−4x+6=9，∴方程两边除以3，得x2−43x+2=3x2−43x=1，所以x2−43x+6=7．故选：A．4.【答案】B【解析】解：A、利用等式性质1，两边都加c，得到a+c=b+c，所以A不成立，故A选项错误；B、利用等式性质2，两边都乘以c，得到a=b，所以B成立，故B选项正确；C、成立的条件c≠0，故C选项错误；D、成立的条件a≠0，故D选项错误；5.【答案】B【解答】解：①x−2=2x是分式方程，故①错误；②0.3x=1，即0.3x−1=0，符合一元一次方程的定义．故②正确；③x2=5x+1，即9x+2=0，符合一元一次方程的定义．故③正确；④x2−4x=3的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程．故④错误；⑤x=6，即x−6=0，符合一元一次方程的定义．故⑤正确；⑥x+2y=0中含有2个未知数，属于二元一次方程．故⑥错误．综上所述，一元一次方程的个数是3个．故选：B．6.【答案】A【解答】解：根据图示，可得●×2=■+●…(1)，●+■=●…(2)，由(1)(2)，可得●=2■，●=3■，所以●+●=■×5，所以“？”处应放“■”的个数是5个．故选A．7.【答案】D【解答】解：A.由x4=0，方程两同乘以4，得x=0，故本选项错误；B.由2x+1=4，由移项、合并同类项得到2x=3，解得x=32，故本选项错误；C.由−2x=6，方程两同除以−2，得x=−3，故本选项错误；D.由8x=5x+3，由移项、合并同类项得到3x=3，故本选项正确．故选D．8.【答案】D【解答】解：由x−4−ax6=x+43−1得：6x−(4−ax)=2(x+4)−6解得x=64+a，∵解是正整数，∴4+a的值可能为1，2，3，6，∴a的值可能为−3，−2，−1，2，∴符合条件的所有整数a的积是：−3×(−2)×(−1)×2=−12，故选D．9.【答案】A【解析】解：移项得，ax=−b，，系数化为1得，x=−ba∵a，b是互为相反数(a≠0)，=−1，∴ba∴x=−b=1．a10.【答案】C【解答】解：∵3x−2=kx+7，∴3x−kx=7+2，∴(3−k)x=9，，解得：x=93−k∵方程3x−2=kx+7有整数解，∴9为整数，3−k∴k=0，2，−6，6，4，12共6个．故选C．11.【答案】A【解答】解：∵关于x的方程2x+a+5b=0的解是x=−3，∴−6+a+5b=0，即a+5b=6，∴6−2a−10b=6−2(a+5b)=6−2×6=−6．故选A．12.【答案】B【解答】解：解方程3x+2a=12，得：x=12−2a，3解方程3x−4=2(x−3)，得：x=−2，∴12−2a3=−2，解得：a=9．故选B．13.【答案】C 【解答】解：把x=1代入得：2k+a3−1−kb6=1，去分母得：4k+2a−1+kb−6=0，即(b+4)k=7−2a，∵不论k取什么实数，关于x的方程2kx+a3−x−bk6=1的根总是x=1，∴b+4=0，7−2a=0，解得：a=72，b=−4，∴a+b=−12，故选：C．14.【答案】1【解答】解：依题意得：|m|=1且m+1≠0，解得m=1，15.【答案】x=1【解析】解：由题意可知：m−2=1，∴m=3，∴x−3+2=0，∴x=1，故答案为：x=116.【答案】6.【解答】解：把S=60，b=4，ℎ=12代入公式S=12ℎ(a+b)得：60=12×12×(a+4)，解得：a=6，故答案为6．17.【答案】−6【解答】解：由题意得：3●x =3x +2(3−x)=0， 整理得：3x +6−2x =0，解得：x =−6．故答案为−6．18.【答案】y =2020【解答】解：∵关于x 一元一次方程12021x +2021=2x +m 的解为x =2021， ∴关于(y +1)的一元一次方程12021(y +1)+2021=2(y +1)+m 的解为y +1=2021，解得y =2020， 即关于y 的一元一次方程12021(y +1)+2021=2(y +1)+m 的解为y =2020． 故答案为y =2020． 19.【答案】解：(1)m >0，n <0，[m]=[n]， 即m −3=n +3，解得：m −n =6，故(m −n)3−3m +3n =(m −n)3−3(m −n)=(6)3−18=198；(2)当x ≥0时，方程为：2x −3+x +1−3=1， 解得：x =2；当−1≤x <0时，方程为：2x +3+x +1−3=1， 解得：x =0(舍弃)；当x <−1时，方程为：2x +3+x +1+3=1， 解得：x =−2；故方程的解为：x =2或−2．20.【答案】解：把x =12代入方程2x−m 4−12=x−m 3， 得：1−m 4−12=12−m 3，去分母，得：3(1−m)−6=4(12−m)，去括号，得：3−3m −6=2−4m ，移项、合并同类项，解得：m=5．21.【答案】解：(1)去括号得：3x−6=x−4，移项合并得：2x=2，解得：x=1；(2)去分母得：3x+3−6=4−2x，移项合并得：5x=7，．解得：x=75。
北师大版一元一次方程最终复习
一元一次方程第一部分 知识梳理1. 概念：在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。
注意：判断一个方程是不是一元一次方程应从概念入手，抓住一元一次方程的几个必要条件进行判断：①只含有一个未知数；②未知数的指数是1；③分母中不含未知数；④是一个等式；⑤化简后未知数的系数不为0.2. 方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3. 等式的基本性质①性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。
②性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
4. 解一元一次方程1）移项法则：方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，移项的根据是等式性质1. 2）解一元一次方程点的基本步骤：①去分母：方程两边同时乘各分母的最小公倍数；②去括号：根据去括号的法则去掉括号； ③移项：把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边（通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边）； ④合并同类项:把方程化为ax b =的形式；⑤ 把系数化为1：方程两边同时除以系数a ，把方程化为bx a=的形式。
3）解方程应注意的几个问题：① 去分母时，不仅含有分母的各项要乘分母的最小公倍数，而且不含分母的各项，也要乘这个最小公倍数。
同时，当分子有多项时，分子应先添括号后，再与公分母相乘；②去括号时，特别是当括号前面是“—”号时，去掉括号和它前面的“—”号，括号里的各项都要变成原来的相反数。
③移项一定要变号。
5．一元一次方程的应用列一元一次方程解实际问题的一般步骤审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系； 找：找出能够表示应用题全部含义的一个数量关系； 设：设未知数列：根据这个等量关系列出需要的代数式，从而列出方程； 解：解所列出的方程，求出未知数的值； 检：检验所求角是否符合题意； 答：写出答案（包括单位）第二部分 精讲点拨考点1 一元一次方程的概念例1．有下列方程：①32x x -=；②0.31x =；③512x x =-；④243x x -=；⑤0x =；⑥20x y +=。
(完整word版)北师大版七年级一元一次方程专题复习
北师大版七年级数学一元一次方程复习一、知识梳理1、方程及一元一次方程定义方程必须满足两个条件 (1)_________(2)___________ ，一元一次方程也有两个条件(1)___________(2)___________ ，式子（ 1）2 3 5 （2）x1（ 3）9 x 8 12 2（ 4）x 3y 4 （ 5）x0 3x 6 x 1 b 1（ 8）y 3 0（ 9）z 1，此中方程有 _________ （ 6）（ 7）_ ____ ，一元一次方程有 ______ _ _____.2、解一元一次方程步骤 ( 变形名称 ) 变形依照注意事项1、去分母1、不要漏乘不含分母的项2、去分母后，原分子要加括号2、去 ( ) 1、乘法分派律1、括号前的数不要漏乘括号里面的项2、去括号法例2、不要弄错符号 ( 变则都变，不变则都不变 )1、凡移项要变号3、移项 ( 从等号一边挪动2、含未知数的项一般在方程左侧，常数移到方程右到另一边 )边1、项数许多时，能够标志4、归并 ( ) 归并同类项法例2、系数相加时，注意符号3、字母及其指数要照写1、系数是整数时，两边同除以这个数5、化系数为 ( ) 2、系数是分数时，两边同乘以分数的倒数3、符号要分清3、运用方程解决实质问题的一般过程实质问题抽象剖析已知量、未知量、数学识题等量关系[ 根源 :Z&xx&] 不合理列出合理考证方程的解求出解说解的合理性方程方法指导：（ 1）能够借助表格剖析复杂问题中的数目关系；（ 2）可借助“线段图”剖析复杂问题中的数目关系；二．典型例题例 1：若 (a － 1)x |a|＋ 3＝－ 6 是对于 x 的一元一次方程，则a＝＿＿； x＝＿＿＿。
例 2：已知 3 是对于x的方程 2 x－a =1 的解，则a的值是（）A、﹣5B、 5C、 7D、 2练：已知 y＝3是6＋1( m－ y)＝2y 的解，那么对于x 的方程2m( x－1)＝( m＋1)(3 x－4)的解是多少? 4例 3：若代数式x 1 x 2x 的值. x 与代数式 2 的值相等，求2 5例 4：依照以下解方程0.3x 0.5 = 2 x 1的过程， 请在前方的括号内填写变形步骤， 在后边的括号内填写变形依照．3解：原方程可变形为 3x 5 = 2 x 1 （）23去分母，得 3（ 3 x +5） =2（ 2 x ﹣1）．（ ）去括号，得 9 x +15=4 x ﹣ 2．（）（），得 9 x ﹣ 4 x =﹣ 15﹣2．（）归并，得 5 x =﹣ 17．（ 归并同类项法例 ）（），得 x = 17 ．（）5练习：x7 5 x 8 18(3x － 1) － 9(5x －11) － 2(2x － 7)=304 32 x 1 10 x 12 x 1 2(x+1)=5(x+1) －3 6 13146例 5：铜仁市对城区骨干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧所有栽上桂花树，要求路的两头各栽一棵，而且每 两棵树的间隔相等．假如每隔5 米栽 1 棵，则树苗缺 21 棵；假如每隔6 米栽 1 棵，则树苗正好用完．设原有树苗 x棵，则依据题意列出方程正确的选项是（ ）A. 5(x 21 1) 6( x 1)B.5( x 21) 6(x1)C. 5( x 21 1) 6x D. 5(x 21)6x例 6：小孩节时期，文具商铺搞促销活动，同时购置一个书包和一个文具盒能够打 8 折优惠，能比标价省13.2 元 . 已知书包标价比文具盒标价的3 倍少 6 元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？例某公司为严重缺水的甲、 乙两所学校捐献矿泉水共 2000 件 . 已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2 倍少400 件 . 求该公司分别捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少件？小结：此题考察理解题意的能力，重点是设乙所学校的矿泉水x 件，利用相等关系列方程；列方程解应用题是中考必考察的内容。
北师大版七年级数学上册第五章一元一次方程认识方程课件
D项,把x=1代入方程,得左边=1 1 =1,右边=1-2=-1,左边≠右
2
边,即x=1不是此方程的解. 故选B.
知识点4 根据实际问题列方程
4.(教材变式·P137T1(1))(2021吉林中考)古埃及人的“纸草
x+ 1 =1,③ 1 x= 1 ,④x2-3=0,其中是一元一次方程的个数为( A )
x
22
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ①x-y=0中含有两个未知数,不是一元一次方程;
②x+ 1 =1不是整式方程,不是一元一次方程;
x
③ 1 x= 1 是一元一次方程;
22
④x2-3=0中未知数的次数是2,不是一元一次方程.
3 72
解析 由题意可得 2 x+ 1 x+ 1 x+x=33.故选C.
327
5.根据所给问题,设未知数,列出方程. 从60 cm的木条上截去2段同样长的木条,还剩下10 cm长的 短木条,截去的每段长为多少?
解析 设截去的每段长为x cm, 根据题意可列方程为60-2x=10.
能力提升全练
6.(2024辽宁沈阳辽中期末,7,★★☆)下列各方程:①x-y=0,②
书”中记载了一个数学问题:一个数,它的三分之二,它的一
半,它的七分之一,它的全部,加起来总共是33.若设这个数
是x,则所列方程为 ( C )
A. 2 x+ 1 x+x=33
37
B. 2 x+ 1 x+ 1 x=33
327
C. 2 x+ 1 x+ 1 x+x=33
北师大版七年级上册第五章《一元一次方程》复习资料：行程问题
行程问题
往返问题（去的路程=回的路程）变速重复行走（第一次走的路程=第二次走的路程）
两次不同方式表示同一个量
例1：一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了2小时;从乙码头返回甲码头逆流行驶,用了2.5小时.已知水流的速度是3千米/时,求船在静水中的平均速度.
例2：甲从A城去B城,第一天甲车每小时行驶35千米,感觉到的比较晚，第二天甲车每小时行驶40千米,结果发现比第一天提前半小时到达B城.则A,B两城间相距多少千米?
例3.甲、乙两车同时从A城去B城,甲车每小时行驶35千米,乙车每小时行驶40千米,结果乙车比甲车提前半小时到达B城.则A,B两城间相距多少千米?
1
例4：甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米。
途中甲车因故障修车用了3小时，结果甲车比乙车迟1小时到达目的地。
两地间的路程是多少千米？
例5：家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息：
(1)他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米；
(2)他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米；
(3)抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米；
(4)下山用1小时．
根据上面信息，他做出如下计划：
(1)在山顶游览1小时；
(2)中午12：00回到家吃中餐．
若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学应该在什么时间从家出发？
2。
北师大版一元一次方程知识点复习及习题.doc
一元二次方程知识点复习及习题考点1: 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，米知数的最高次数是2,且系数不为0, 这样的方程叫一元二次方程.一般形式：ax2 + bx+c=0(a#0)。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2: —元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a) 2=b 的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=± jx, =-a+ 4b x2 =-a- 4b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2 + bx+c=0(k关0)的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的衣边；③化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a) 2=6的形式；⑤如果b彡0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0,则原方程无解.3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出來的.一元二次方程的求根公式是4ac>0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2-4ac的值，当b2—4ac^0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.理论根据：若ab=0,则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0;②将方程左边分解为W个一次因式的乘积；③令每个因式等于0,得到W个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5. 一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a#0. 项，即不是一元二次方程.(2) 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a, b,c 的值；②若b 2-4ac<0,则方程无解.练习：x 2 + 5x + 6 x 2 + x — 2 x 2 - 5x + 6 x 2 + 5x - 6 -5x - 6x 2 -4x-12 x 2 + 2x - 63 x" — 8x + 15x 2 4- 12x + 32 2x 2 + 7x + 3 x 2 + lOx + 9 x 2 — 3x — 10 x 2 -2x-152x 2 — 7x + 3 2x 2 — 7x + 6 2x 2 — 7x + 63x~ 4- 7x — 6 5x~ + 6x — 8 3x 2 - 5x + 2 6x 2 - 5x - 25 6x — 3x — 2一 7x + 3因当a=0时，不含有二次(3) 利用因式分解法解方程吋，方程两边绝不能随便约去含冇未知数的代数式.如 —2(x+4)2 =3 (x+4)屮，不能随便约去x+4。
北师大版初一上册第五章一元一次方程知识点总结和例题讲解
（一）、方程的有关概念1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x ）=5等都是一元一次方程. （例1）3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. （例2）注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.（二）、等式的性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b ，那么a±c=b±c等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b ，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么a c =b c（三）、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．（例3）（四）、去括号法则1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．（五）、解方程的一般步骤（例4）1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x=b a). 一．列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．二、一元一次方程的实际应用1. 和、差、倍、分问题：增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.例1：兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？解：设x 年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，则x 年后兄的年龄是15+x ，弟的年龄是9+x ．由题意，得2×（9+x ）=15+x18+2x=15+x ，移向得：2x-x=15-18∴x=-3答：3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍．（点拨：-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3•年后具有相反意义的量）1.一个数的3倍比它的2倍多10，若设这个数为x ，可得到方程__________.2. 用一根长80厘米的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10厘米，则这个长方形的长和宽各是_______、________.面积是_______.2. 等积变形问题：（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积.（2 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S ·h ＝h r 2π②长方体的体积 V ＝长×宽×高＝abc例2 将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，π≈3.14）． 解：设圆柱形水桶的高为x 毫米，依题意，得 π ·（2002）2x=300×300×801. 一根内径为3㎝的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8㎝、高为1.8㎝的圆柱形玻璃杯中，当玻璃杯装满水时，试管中的水的高度下降了＿＿＿＿㎝.3. 工程问题：工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1例3. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？解：设乙还需x 天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，(115+112)×3+x 12=1 1. 甲、乙工程队从相距100m 的马路两端开始挖沟，甲工程队每天挖沟的进度是乙工程队的2倍少1m ，若5天完工，两队每天各挖几米？4.行程问题：路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．例4. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
北师大版七年级数学课件：第五章一元一次方程复习
250x
A
B
2000
小聪 500 小明
200x
250x=2000+500+200x
在一条笔直的公路上,小聪和小明骑自行车同时从相距 500米的A.B两地出发,小聪每分钟行200米,小明每分行 250米,问多少时间后,两人相距2000米?
☺ 当两人相背向行时,需x分钟相距2000米
A
B
小聪
小明
500
☺ 当小明在前,同向而行时,需x分钟相距2000米
A 500 B
小聪
小明
200x
250x
2000
250x+500=2000+200x
在一条笔直的公路上,小聪和小明骑自行车同时从相距 500米的A.B两地出发,小聪每分钟行200米,小明每分行 250米,问多少时间后,两人相距2000米?
☺ 当小聪在前,同向而行时,需x分钟相距2000米
一元一次方程复习
回顾与思考 本章内容框架图：
一 解一元一次方程
元 一 次
方
程 一元一次方程的应用
下列各方程中，哪些是一元一次方程？
(1) 2x+1=3
(3) x 3 2
(2) 2 3 x
(4)x2 2x 1 0
(5)x y 10
（1）（3）
若关于x的方程（m－1）x2+x=2是一元
A. 1 ， B. －1 ， C. 5 ， D. －5 ；
3、方程 x 3 1 2x
去分母后可得-----（，B. 3 x－9 =1＋2 x ，
C. 3 x－3 =2＋2 x ，D. 3 x－12=2＋4 x ；
解下列方程
（1） 4 3x 3 2x
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一元二次方程知识点复习及习题考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a acb b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
练习：652++x x 652+-x x 652-+x x 652--x x22-+x x 1242--x x 6322-+x x 1582+-x x32122++x x 9102++x x 1032--x x 1522--x x3722++x x 3722+-x x 6722+-x x 6722+-x x6732-+x x 3832-+x x 2532+-x x 2352--x x8652-+x x 25562--x x 3762+-x x5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。
⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．6．一元二次方程解的情况⑴b 2－4ac ≥0⇔方程有两个不相等的实数根；⑵b 2－4ac=0⇔方程有两个相等的实数根；⑶b 2－4ac ≤0⇔方程没有实数根。
解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b 2－4ac 解题。
主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。
考点3：根与系数的关系:韦达定理对于方程ax 2＋bx+c=0(a ≠0）来说，x1 +x2 =—a b ，x1●x2= a c。
解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。
二、经典考题剖析：【考题1－1】（2009、青岛，6分）已知方程5x 2+kx －10=0一个根是－5，求它的另一个根及k 的值．三、针对性训练：1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）2222211.3(1)2(1) .20.0 .21A x x B x yC ax bx cD x x x +=++-=++=+=-2、若22324x ( )x x +-与互为相反数，则的值为A ．12B 、2C 、±2D 、±123、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25C.2t2-7t-4=0化为1681)47(2=-tD.3y2-4y-2=0化为910)32(2=-y 4、关于x 的一元二次方程22(1)2m x x m m +++-30-=的一个根为x=0，则m 的值为（ ）A ．m=3或m=－1B ．m=－3或m= 1C ．m=－1D ．m=－35、(2009济南)若x1 ，x2 是方程x2 －5x+6=0的两个根，则x1 +x2的值是（ ）A .1 B.5 C. －5 D.66、(2009眉山) 若x1 ，x2 是方程x2 －3x －1=0的两个根，则2111x x +的值为（ ）A.3B.－3C.31 D －317、(2009潍坊) 若x1 ，x2 是方程x2 －6x+k －1=0的两个根，且242221=+x x ，则k 的值为（）A.8B. －7C.6D.58、(2009成都) 若关于x 的方程kx 2 －2x －1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k ＞－1B. k ＞－1且k ≠0C. k ＜1D. k ＜1且k ≠09、已知一元二次方程x 2 +2x －8=0的一根是2，则另一个根是______________.10、(2009泰安) 若关于x 的方程－x 2 +（2k+1）x+2－k 2=0有实数根，则k 的取值范围是_______11、解方程：(1)32)32(22=-x ; (2)3(1)2(1)y y y -=-;(3) 3(4x2 －9)－(2x －3)=0; (4) x2 －6x+8=012、(2009鄂州)关于x 的方程kx 2+(k+2)x+4k=0有两个不相等的实数根，(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k 的值；不存在说明理由。
考点：一元二次方程的应用一、考点讲解：1．构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：⑴ 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等；⑵ 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量关系是a(1±x ）2=b ，其中a 表示增长（降低）前的数据，x 表示增长率（降低率），b 表示后来的数据。
注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1。
⑶ 经济利润问题：总利润=（单件销售额－单件成本）×销售数量；或者，总利润=总销售额－总成本。
⑷ 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。
2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．二、经典考题剖析：【考题1】（2009、深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图1－2－1），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．解：设与墙相接的两边长都为x 米，则另一边长为()332x -米，依题意得()332130x x -= ，22331300x x -+=∴110x = 2132x =又∵ 当110x =时，()33213x -= 当2132x =时，()33220x -=＞15∴132x =不合题意，舍去．∴10x =答：花圃的长为13米，宽为10米．【考题2】（2009、襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（）A.9﹪B.10﹪C. 11﹪D.12 ﹪解：设年增长率为x ，根据题意得10(1+x)2=12.1，解得x1=0.1，x2 =－2.1．因为增长率不为负，所以x=0.1。
故选D 。
【考题3】（2009、海口）某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解：设每千克水果应涨价x 元，依题意，得(500－2 0 x)（10+x ）=6000．整理，得x 2－15x ＋50=0．解这个方程，x 1=5，x 2=10．要使顾客得到实惠，应取x=5．答：每千克应涨价5元．．点拨：①此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数；②应根据“要使顾客得到实惠”来取舍根的情况．【考题4】如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=7，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 点以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.（1）如果点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ 的面积等于4？（2）如果点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，经过几秒钟，PQ 的长度等于5？解：（1）设经过x 秒钟，△PBQ 的面积等于4，则由题意得AP=x ，BP=5－x ，BQ=2x,由21BP ·BQ=4，得21（5－x ）·2x=4，解得，x 1=1，x 2=4．当x=4时，BQ=2x=8＞7=BC ，不符合题意。
故x=1（2）由BP 2+BQ 2=52得（5－x ）2+（2x ）2=52,解得x1=0（不合题意），x2=2．所以2秒后，PQ 的长度等于5。
三、针对性训练：1．小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0．5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？2．合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。
为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。
经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。
要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？3．在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？4．小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）5．如图12-3，△ABC 中，∠B=90°，点P 从A 点开始沿AB 向点B 以1cm/s的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向C 点以2cm/s 的速度移动。