SIR方法在小型二次电池市场分析上的应用

SIR 方法在小型二次电池市场分析上的应用周文琴1 冯鸣鸣2 王惠文3（1．北京航空航天大学理学院，北京 100083 ） （2．北京航空航天大学经管学院，北京 100083 ） （3．北京航空航天大学经管学院，北京 100083 ）摘要：在新型电池的研究与发展过程中，日本小型电池市场发展最具代表性。

本文采用分片逆回归方法（Sliced Inverse Regression ，简称SIR ），在非线性模型的假设下，利用日本小型二次电池市场的数据，对影响小型二次电池市场销售额的主要因素进行综合与提炼，以较高的精度将高维自变量集合综合成一维变量，并建立了镍镉电池、镍氢电池和锂离子电池市场年销售额的预测模型。

由于经SIR 降维后，三种电池的预测模型均为一元回归模型，因此更容易观察和比较三种电池市场的发展趋势。

关键字：SIR 方法，主成分，预测模型，小型二次电池市场一. 引 言随着经济、技术和通信设备的发展，以及对环保重视程度的提高，电池行业的发展在工业和科技发展过程中起着越来越重要的作用。

有人预测高性能电池将是二十一世纪最具活力的十大产业之一。

日本小型二次电池市场相对于其它各国发展比较成熟，它的发展很大程度上代表了世界小型二次电池的发展。

目前，Cd-Ni 电池正逐渐被淘汰掉，MH-Ni 电池将会取代其位置，并且随着各种电池制造工艺及熟练程度的提高和方法的改进，各种电池的价格会逐年下降，LiB 电池将成为比较普遍的家用电池，其市场会非常广阔。

本文采用日本小型二次电池市场的数据，对影响日本小型二次电池市场年销售额的主要因素和发展趋势进行分析和预测。

由于预测中涉及多个解释变量，并且模型具有非线性性，因此文中采用简单而又十分有效的SIR 方法进行信息筛选和变量降维。

以较高的精度将高维自变量集合综合成一维变量，并建立了镍镉电池、镍氢电池和锂离子电池市场年销售额的预测模型。

最后得到与实际情况相符合的预测模型和分析结果。

二. SIR 方法的原理和算法Ker-Chau Li （1991年）提出的分片逆回归方法（Sliced Inverse Regression ，简称SIR ）[1]，是一种十分有效的非参数模型降维技术。

它一经提出，便受到统计理论研究人员的广泛重视，并已被大量应用于实际工作的分析和研究中。

SIR 的主要特点是能够在非线性模型的假设下，对高维自变量系统进行综合降维，得到一个“有效降维空间”（Effective Dimension Reduction Space ，简称e.d.r 空间），使得在e.d.r 空间中，信息成分更有效，而建模分析也变得更简洁。

在SIR 分析中，设数据模型为y =f(1βX T,2βX T,…,k βX T,ε)，其中y 是因变量，X 为p 维自变量的数据矩阵，f （∙） 是 R p: R 1上的一个非线性算子。

SIR 的工作目标就是要求参数向量 β=[1β,2β,…,k β]T， 使得 Z={[z 1,…,z k ]T┃z j =j βX T,1≤j ≤k}张成e.d.r 空间。

SIR 是一种基于逆回归思想的非参数统计方法。

它的工作过程是 在X 已标准化的前提下首先将因变量y 的数值进行排序，同时，对标准化后的X 也按对应的y 值重新排序。

再将排序后的y 数值分成若干片，同时，自变量也被相应分片。

[Zhu and Fang （1996）证明SIR 的分片个数对其计算结果有很好的稳定性。

]。

对每一片X 求平均值，再对X 分片平均值的数据表应用主成分分析方法，从而得到降维子空间，即e.d.r 空间。

SIR 方法的主要特点是在运用时无须对f （∙）的函数形式做任何估计，这为复杂非线性模型的降维和建模提供了一种有效的途径。

对于样本容量为n 的数据集合 Ｓ＝{（y ，X ）┃ y =[n y y ,,1 ]T , X=[x 1,…,x n ]T; 其中 ],,[1ip i i x x =x ,1≤i ≤n }，SIR 方法的工作步骤如下[1]。

1. 标准化X ：∑--=1/2xx)x (x x i i ~， ( i =1,….n )，其中∑xx是X 的协方差阵，x 是X 的平均值向量。

为方便起见，仍记X=[1~x ,…,n x ~]T。

2. 将y 排序分片，同时对于X 也做相应排序分片：将排序后的y 的取值区间分成H 片(H I I ,...,1)，记h pˆ为i y 落入第h 片的比例，即h pˆ=(1/n)∑=ni i h y 1)(δ，其中当h i I y ∈时1)(=i h y δ, 当h i I y ∉时0)(=i h y δ。

3. 计算分片后X 各片的样本平均值h mˆ(h =1,…, H )： ∑∈=hi I y i h hpn x m ~)ˆ/1(ˆ。

4. 对X 分片平均值数据表进行主成分分析，得出对应K 个最大特征值的特征向量：由∑='=H h h h h m m pV 1ˆˆˆˆ来形成加权协方差阵，然后求出相应的特征值和特征向量。

记对应前k 个最大特征值的特征向量为kηˆ(k =1, ⋯, K )。

5. 输出e.d.r 方向k β：∑-=1/2xxηβkkˆ(k = 1,…, K )。

6. 得到e.d.r 空间： Z={[z 1,…,z k ]T ┃z j =j βX T ,1≤j ≤k} 。

三. 小型二次电池市场分析和SIR 成分提取目前日本市场上小型二次电池主要是指镍镉电池（Cd –Ni 电池）、镍氢电池（MH –Ni 电池）和锂离子电池（LiB 电池）。

通过相关分析和变量筛选后，本文选取了影响日本小型二次电池市场各电池年销售额i y （i=1,2,3）的七个自变量)](),(),(),(),(),(),([)(7654321t x t x t x t x t x t x t x t X =。

自变量X 主要包括四个方面：第一是使用市场方面，包括当年手机使用量1x (t)和当年笔记本电脑使用量2x (t)；第二是产品价格，包括当年Cd-Ni 电池价格3x (t)、当年MH-Ni 电池价格4x (t)和当年LiB 电池价格5x (t)；第三是经济发展水平，用当年的人均国民生产总值指标6x (t)表示；第四是时间变量7x (t)。

因变量y 主要包括镍镉电池的销售额1y (t)、镍氢电池的销售额2y (t)和锂离子电池的销售额3y (t)。

在经过数据查询及整理后，得到各变量在1993年——1999年之间的统计数据（[3]、[4]、[5]）。

假设电池年销售额函数为 )f(21,εX ,β,X ,βX βy Tk T T =， 本文的目标是找出k 个SIR 主成分 ,,,,21kzz z （其中j z =Tj Xβ，1≤j ≤k ），使得能用这k 个主成分代替X ，然后对y 作回归分析，确定函数f （∙），得出电池的预测模型。

根据1993年——1999年的统计数据，下面分别对日本三种小型二次电池市场进行SIR 降维分析，并对SIR 的主成分的含义进行解释。

首先根据SIR 方法的工作步骤，对自变量进行标准化处理，以消除各变量的量纲影响。

然后，利用标准化后的数据进行SIR 成分提取。

如果每一次SIR 分析均取一个主成分（称为SIR 第一主成分，记1i z 为第i 种电池市场的SIR 第一主成分，i =1,2,3），则三种电池市场SIR 分析的累计贡献率如表1所示：表1 SIR 分析累计贡献率一览表从镍镉电池市场的第一主成分765432111111909.00001.0002.00107.00046.00003.00006.0x x x x x x x Xz T--+++--==β可以看出11z 与价格成正相关；同时11z 与手机及笔记本电脑使用量成负相关，说明随着这些信息通信设备的发展，11z 值将越来越小；此外，11z 与时间t 及人均国民生产总值成反比，说明随着经济、科技发展，11z 会越来越小。

从镍氢电池市场的第一主成分765432121211505.000016.00154.00108.00002.00005.0x x x x x x x X z T+⋅+---+==β 可以发现21z 与价格因素成负相关；而21z 与手机、笔记本电脑的使用量成正相关，说明随着科技的发展，手机使用量、笔记本电脑使用量的增多，21z 也会随之增加；并且从21z 与t 成正相关，说明了21z 与科技同步增长。

由上可以看出21z 与Cd-Ni 电池模型中11z 的含义完全不同，这是由于不同的电池市场具有不同的代表市场的主成分。

从锂离子电池市场的第一主成分765432131311505.000016.00154.00108.00002.00005.0x x x x x x x Xz T+⋅+---+==β可以看出此处31z 与MH-Ni 电池模型中21z 的含义是完全一样的，这是由于MH-Ni 电池市场和LiB 电池市场发展趋势是基本近似的。

四． 建立回归分析模型在原始数据中，三种电池市场的年销售额是用七个指标变量来解释的。

而在运用SIR 方法后，这三种电池市场模型均可以以较高的精度，用一维SIR 主成分1i z （i=1,2,3）来替代原始的七维自变量，这为建立回归预测模型创建了良好的条件。

下面分别对这三种电池市场的年销售额进行回归建模分析。

镍镉电池市场的拟合曲线见图1。

其回归模型如下31132113112311058.31024.11080.11015.1z z z y ⨯+⨯+⨯+⨯=图1 Cd-Ni 电池拟合曲线图镍镉电池市场模型各年的残差平方和为 5.380E+02, 估计标准差为 1.339E+01,同时由模型的测定系数2r =0.99371,可见模型的解释变量与被解释变量之间的相关程度很高，说明可以用此模型来成功地进行预测。

从镍镉电池市场模型的拟合曲线可以看出，1y 与11z 的取值是正相关的。

由于11z 随着经济、科技的发展而变小，说明Cd-Ni 电池年销售额会随科技、信息通信设备的发展而逐渐减少。

事实上，在实际生活中，Cd-Ni 电池已逐渐被淘汰出高档电子产品市场和中档电子产品市场，目前它已主要用于低档电子产品市场[6]，其年销售额正在逐步减少。

因此该模型具有较强的解释意义。

2、MH-Ni 电池市场的分析镍氢电池市场模型的拟合曲线见图2。

其拟合模型如下：213321023.41027.1z y ⨯+⨯=图2 MH-Ni 电池拟合曲线图镍氢电池市场模型的残差平方和为1.476E+04, 估计标准差为5.434E+01,模型的测定系数2r =0.99323。

因此可见模型的解释变量与被解释变量之间的相关程度很高，可以用此模型来进行预测分析。