D4_2换元法1

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换元法积分法1

1 x2
dx

d
(
1 x
)
注：1.凑微分法适用于被积表达式呈 f [(x)](x)dx
的积分；
两部分相乘的形式
2.用凑微分法关键在于把被积函数适当地分成繁简
两部分，并将简单部分凑成繁的部分的导数形式。
练习：1. (2x 1)15 dx
2.
1 3x
2
dx
4.1
x x2
dx
5.
在一般情况下：
设 F(u) f (u) ，则 f (u)du F(u) C.
如果 u (x) （可微）
dF[(x)] f [(x)](x)dx
f [(x)](x)dx F[(x)] C
[ f (u)du]u(x)
由此可得换元法定理:
2.x dx 1 d (x1)
1 exdx d (ex )
cos xdx d (sin x)
6. 1 sin 2
x
dx

d
(
ctgx )
1 dx d( tgx) cos2 x
7.
1 1
x2
dx

d
(arcsin
x)
1 dx d(arctgx) 1 x2
例：填写空白，使下列等式成立
定理：设f(u)有原函数，u (x)可导，则有
u (x)
f [(x)](x)dx
[
(x)dx du
f (u)du]u(x)
凑微分
注：1.虽然 f [(x)](x)dx 是一个整体符号，但其
中的dx可以看成是x的微分，从而等式(x)dx du
可以应用到积分的表达式当中。

高等数学-4_2换元法

4
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x

(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )

tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）

sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x

(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x

1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1

1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )

D4_2换元法

2. 求
提示:
法1
法2
法3
术喂侵殴漳椒亿铝眶蹬谅蜕惧裙握辅骨搓馒韦户化嗅映攫奄玄航犊责趾哪D4_2换元法D4_2换元法
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
难求
易求
若所求积分
易求,
则得第二类换元积分法 .
难求，
产讼恫哥款递娠芯勒道钾捞弗蛤母笔刃述涨工贾执囤绝介痉酱资哦邯拙巩D4_2换元法D4_2换元法
陡咨泥姨氮茨沧冗讶憎唾焊俄券宾病器子耸肃琢落芋关谭霸矩芍租尖层炼D4_2换元法D4_2换元法
备用题 1. 求下列积分:
煞鬃袄等秋悍钦恩柯瘟邱野顾姐囚脉跨恤背寨碗妥盂篓驻贱恩赎宽局兹厌D4_2换元法D4_2换元法
2.
求不定积分
解：
利用凑微分法 ,
原式 =
令
得
罢吵瑚朱温淳烤陵斧摹颗邪蜕驻震灿渣享畦涣筒趋螟摘封决郝耻枉骂睁吟D4_2换元法D4_2换元法
诸玲约溺考赚徒负鸳邓允严挣火队晋吵乏扦芍买汲楚措底蚂绅秆左巍综丘D4_2换元法D4_2换元法
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
令
令
令
或
令
或
令
或
第四节讲
栅庇疮蓑琳抓窜励闲讨灿几总策卉穷和攻肿它淤鲸爷棵念肝闸锨碗潘尝庆D4_2换元法D4_2换元法
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换
骸刀涌瘩荫桶鸽霞特毒悔霸般斜诬渔婶矿儿锈新潮赠爬八及堆惠渍覆涅撤D4_2换元法D4_2换元法
例10. 求
解法1
座趴亏甸贤镍念权段毒间谦晴又腾夫厚辐赖摘加锯琢蛋汁保祥怨郎洼闭脖D4_2换元法D4_2换元法
解法 2
同样可证

4.2 换元积分法

解：
(1)
a2
1
x2
dx

1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a

C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx

arcsin
x a

C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分

f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)

dx x 1
解：令 x 1 u 则 dx du，于是

dx x 1

du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x

ln
1
x

C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)

ln x x
dx
解：
(2)

4.2_换元积分法

x x
dx 3
t2
t
3
2tdt
2
t2 3 dt 2 t3 6t C 3
再将t x 3代回整理得
x dx 2 x3 3
3
x3 6 x3C
补充例：求
1 dx
ex 1
解: 令 ex 1 t 则x ln(1 t 2 )
dx
2t 1 t2
dt , 于是
1 dx
ex 1
Fu C
Fx C
由此可得换元法定理P103定理4.3
P103定理4.3 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
2
2
xex2dx 1 ex2 x2 dx（直接凑微分） 2
1 ex2dx 2
2
1 2
eudu
堂上练习 P108-习题4.2----4、5、6、
4、
2x 1 x2 dx
1 1 x2
1 x2
dx
1
1 x2
d1
x
2
ln
1
x
2
C
5、 x x2 5dx 1 2
x2
1 t
2t 1 t2
dt
2
1 1 t 2 dt
2arctant C
2arctan ex 1 C
课堂练习：求
x 1dx . x
解 : 令 x 1 t,则x 1 t 2 , dx 2tdt;于是有
x-1 dx. 2 x
t2 1 t 2 dt

4-2 换元法1-第一换元法

1 1 − cos x 1 1− u + C. = ln + C = ln 2 1 + cos x 2 1+ u
类似地可推出
∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C .
例20. 求 sec6 xdx. ∫
2 d tan xdx 解: 原式 = ∫ (tan x +1) ⋅ sec 2 2
1 1 1 1 = ∫ du = ln u + C = ln 1 + 2 ln x + C. 2 u 2 2
例9. 求
∫
e3
x
x
dx.
3 x
2 3 x 解: 原式 = 2 ∫ e d x = ∫ e d(3 x) 3 2 3 x = e +C 3
例10 求
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1 1 x dx = ∫ d 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1 − arcsin 2 2 2
第二节
第四章四
换元积分法
一、第一类换元想
∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx = ∫ f [ϕ(x)]d(ϕ(x))
做变量替换 = ϕ(x) u
已知
[∫ f (u)du]u=ϕ ( x)
定理1 定理1
具有原函数， u 可导，设 f (u) 具有原函数， = ϕ ( x ) 可导，
小结1 小结
• 求不定积分时，首先要与已知的基本积求不定积分时，分公式相对比，并利用简单的变量代换，分公式相对比，并利用简单的变量代换，把要求的积分化成已知的形式，把要求的积分化成已知的形式，求出以再把原来的变量换回。后，再把原来的变量换回。 • 前5个例子中采用代换 u=ax+b, 个例子中采用代换 du与dx只相差一个常数 du=a dx 。与只相差一个常数 • 注意例3，4与例解法差别。注意例，与例5解法差别。与例解法差别

第二类换元法

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说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.
例4. 求
解:
I
2x3 5x x4 5x2
4
dx

x4
2x2 5x2
5
4
dx
1 2
d(x4 5x2 5) x4 5x2 4
R(x , n ax b , m ax b) dx ,
令 t p ax b , p为m, n的最小公倍数 .
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例11. 求
1

dx 3x

2
.
解: 令 u 3 x 2 , 则
原式

3u 1
2
u
du

3
(u2 1) 1 u
1 du
则得第二类换元积分法 .
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定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1(x) 是 x (t)的反函数 .
证: 设 f [ (t)] (t)的原函数为 (t), 令
F(x) [ 1(x)] (t) f [ (t)] (t)
t

1
12

t

1

1 t2
dx

t3 1
dt t2

1 2

t 2 dt 2 1 t2
u t2

1 2

u 1
u
du

高等数学 4-2换元积分法

说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.
4
例 12
求 cos 3 x cos 2 xdx.
∫
解： cos A cos B =
1 [cos( A − B ) + cos( A + B )], 2
cos 3 x cos 2 x =
1 (cos x + cos 5 x), 2 1 1 1 ∫ cos 3x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5x)dx = 2 sin x + 10 sin 5 x + C.
第一类换元公式（凑微分法）第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的关键在于将说明：使用此公式的关键在于将 g ( x ) dx 化为
∫
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx.
∫
解（一） sin 2 xdx =
∫ ∫ ∫
1 1 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C; 2
=
1 1 − cos x ln + C. 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C. 例 14
2 2 设 f ′(sin x) = cos x, 求 f (x) .
∫
解：令 u = sin x ⇒
2
cos 2 x = 1 − u ,
f ′(u ) = 1 − u , 1 f (u ) = ∫ (1 − u )du = u − u 2 + C , 2 1 f ( x) = x − x 2 + C. 2 1 例 15 求 ∫ dx. x 2 4 − x arcsin 2

§4.2-换元积分法(第一类换元法)

§ 4.2 -换元积分法（第一类换元§ 4.2 换元积分法I 授课题目§ 4.2 换元积分法(第一类换元法)n 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分"，d (x) (x)dx.2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. 皿教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分.W 讲授内容：一、第一类换元积分法设f(u)具有原函数F(u)， f(u)du F(u) C .若u 是中间变量，u (x)，(x)可微，则根据复合函数求导法则，有所以根据不定积分的定义可得:dF( (x))dxd£du du dxf(u)乎 dxf[ (x)] (x)。

f[ (X)] (x)dx F[ (x)] C u (x)F[u] C [ f(u)du]以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有f[ (x)] (x)]dx u (x)[ f (u)du] F u C F (x) C .以上就是第一换元积分法。

从以上可以看出，虽然f[ (x)] (x)dx是一个整体记号，但是被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而上式中的(x)dx可以看成是(x)的微分，通过换兀u(X)，应用到被积表达式中就得到(x)dx du .定理1设f(u)具有原函数F(u) , u (x)可导，du (x)dx , 则f[ (x) (x)dx f(u)du F(u) C F[ (x)] C (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分g(x)dx时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx (x) u[ f(u)du] F(u) C u (x)F[ (x)] C.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积f[ (x)] (x)来.例 1 求3e3x dx角军3e3x dx e3x3dx= e3x(3x) dx，可设中间变量u 3x，du d (3x) 3dx 3dx du，1 5 1 63dx 二一(3x 2) d(3x 2)(3x 2) 3183 2x^^以^^ e 3xdxe 3x 3dxe u du e u C e 3x C .首先观察被积函数的复合函数是什么样的，看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。

4_2二重积分的计算

2
2
例3
计算二重积分 x yd x d y .其中积分区域 D 分
D
别如下图所示： ⑴ 三角形；⑵ 四分之一椭圆。解 ⑴因为下图所示的三角形区域的斜边方程是所以 D 可表示为
a 0
y
b
x a

y b
1
D : 0 x a , 0 y b (1
x a
)
( xy 2
b
2
x a
) xdx
a 0
o
a
x
1 2 1 2
x
2

2
x
)
2 b (
2
4a a
a
)
1 8
a b
2
2
2
4a
y 5x
例4 计算二重积分 ( x 6 y ) d x d y,其中 D 是由三条线 y x , y 5 x , x 1 所围成
D
y x
的区域.
x 1
解
易知积分区域可表为
xd x
1 0
1 1 1 yd y 2 2 4

（ⅲ）上面所讨论的积分区域 D 是
型或
Y 型区域，即平行于 y
X
轴或
x
轴
y
D1
的直线与区域 D 边界曲线的交点不多
于两点.若
D 不满足这个条件,可将 D
D2
D3
分块.再应用积分的分域性质来计算.
0
x
由于二重积分归结于计算两个定积分,因此计算重积分本身没有新困难,感到困难的是如何根据区域去确定两次积分的上、下限. 建议先将区域 D 的图形画出，再写出区域 D 上的点的坐标所要满足的不等式以确定积分的上、下限. 定限法则:就 X 型区域而言

D4_2换元法

de
x
dln x
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例7. 求
x 2 3 x 解: 原式 e d(3 x ) 3 2 3 x e C 3
例8. 求 sec 6 xdx .
2 tan xd x 解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d sec

e3
x
dx .
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x

解法2
e x d(1 e x ) dx x x 1 e 1 e ln(1 e x ) C
x x x
ln(1 e ) ln[e (e 1)] 两法结果一样
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例10. 求解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x 1 1 1 dsin x 2 1 sin x 1 sin x 1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x

cos x dx
4 3 2
1 4
3 2 cos 2 x 1 cos 4 x ) dx ( 2 2
1 cos 4 x d ( 4 x) cos 2 x d( 2 x ) d x 8
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例13. 求
思考：
3 4 sin x cos x dx . 2 解: sin 2 x cos 2 3x [ 1 (sin 4 x sin 2 x )] 2
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第二类换元法

令u =
ex
−1,
则
d
x
=
1
2u + u2
d
u
∫ = 2x ex −1− 4
u22+u12 − 1+ u2
1
d
u
− 4(u − arctan u) + C
= 2x ex −1 − 4 ex −1 + 4arctan ex −1 + C
方法2 (先换元,再分部)
令 u=
ex
−1,
则
x
=
ln(1 +
u2),
积分得: uv = ∫ u′vdx + ∫ uv′dx ∫ uv′dx = uv − ∫ u′v dx 分部积分公式
或 ∫uv′dx =∫udv = uv − ∫ vdu
选取 u 及 v′(或dv) 的原则: 1) v’ 容易积，u求导简单 ;
2) ∫ u′v dx 比 ∫ u v′ dx 容易计算 .
2
2
∫ 2. 求 I =
dx . 4x2 + 9
解:
I
=
1 2
∫
d (2x) = 1 ln 2x + (2x)2 + 32 2
4x2 + 9 + C
∫ 3. ∫ x2
1 dx x3 +1
=1 3
1 d (x3 +1) x3 +1
= 2 x3 +1+ C 3
∫ 4.
∫
2x + 3 dx 1+ 2x+ a2 = a2 tan2 t + a2 = a sect
dx = a sec2 t d t

42换元积分法1

dx 12xx2
d(12xx2) 5 d(x1)
12xx2
2(x1)2
212xx25arcsxin1C
2019/7/15
2
18
3. 求不定积分
解：利用凑微分法 , 得
原式 = 令
2019/7/15
19
复习引入 (Introduction)
上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”
给出了“基本积分公式表” 。
但是，对于形如
2sin2xdx; 1x2dx;
这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表
我们就无能为力了。
为此，……
2019/7/15
1
第四章
第二节换元积分法(1)
（Integration by Substitution）
故原式 =
1 4
dx
614co8xsd8(x)
1 2si2n 2xd(s2 ix)n312co4xsd4(x)
2019/7/15
15
内容小结常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项;
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
co 2x s1 2(1co 2x)s ; si2x n 1 2(1co 2x)s ;
x2a2
a2 C
x2 a2
2019/7/15
13
例15 求 co4sxdx.
解: 由cos4x(cos2x)2(1cos2x)2 2
1 4(1 2 c2 o x s c2 o 2 x )s
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
(5)

4
dx x2

第2节换元积分法

或
因为 { F [ ( x )]} f [ ( x )] ( x )
若 f ( u) , ( x )及 ( x )均为连续函数，且
f (u)du F (u) C
则
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C
1/28/2019 6:06 AM
f ( x) f ( x ) f ( x ) [1 ]d x 2 f ( x ) f ( x) f ( x ) f 2 ( x ) f ( x ) f ( x ) [ ]d x 2 f ( x ) f ( x)
1/28/2019 6:06 AM
1 f ( x) 2 f ( x) f ( x) ] C d[ ] [ f ( x ) f ( x ) 2 f ( x )
1 令 u x 3 , 则 xdx du 2 1 1 2 2 x x 3 dx u du 2
2
1 2 1 u C ( x 3) C 3 3
3 2
3 2
1/28/2019 6:06 AM
第5章
不定积分
当运算熟练时，可以不必将 u 写出来。例3 求不定积分解
2 6t 5dt t 3 4 6 dt t t 1 t
1 t2 1 1 dt 6 dt 6 ( t 1)dt 6 1 t 1 t
3t 6t 6ln t 1 C
2
3 3 x 6 6 x 6ln
1/28/2019 6:06 AM
cot xdx ln sin x C
第5章
不定积分
例5
解
dx 求不定积分 2 2 (a 0) a x 1 1 1 dx a 2 x 2 2a ( a x a x )dx 1 1 1 ( dx dx ) 2a a x a x 1 (ln a x ln a x ) C 2a 1 a x ln C 2a a x

课件：2 第一换元积分法(1)

1du u
1 ln u C 2
1 ln 3 2x C.
2
1
(1)
f (ax b)dx a
d(ax b)
例3 计算
x(1
1 2ln
x
dx. )
解
x(1
1 2
ln
dx x)
1
1 2ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2ln
d x
(1
2ln
x)
u 1 2 ln x
1 2
1 du u
1 2
1 [ln x a ln x a ] C 2a
1 ln x a C. 2a x a
例8 计算
1
1 e
x
dx.
解
1
1 e
x dx
1
ex 1
e ex
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
ex
dx 1 e xdx
dx
1
1 e
x
d
(1
e
x
)
x ln(1 e x ) C.
(11) f (ex ) exdx f (ex )dex
dx
1 sin2
x
dx
cos sin2
x x
dx
1 sin2
x
dx
1 sin2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
例12 计算 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin 2 x cos4 xd (sin x )
sin2 x (1 sin2 x)2d(sin x)

第一讲换元法

第一讲换元法第一讲换元法第一讲换元法与主元法一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元) ，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．【例1】分解因式：(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3) +10思路点拨视x 4+x 2为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】多项式x 2y -y 2z +z 2x -x 2z +y 2x +z 2y -2xyz 因式分解后的结果是( ) ．A ．(y－z)(x+y)(x－z)B ．(y－z)(x－y)(x＋z)C ． (y+z)(x一y)(x+z)D ．(y十z)(x+y)(x一z) 思路点拨原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x＋2)(x+3)(x+6)+ x2； (2)1999x2一(19992一1)x 一1999；(3)(x+y－2xy)(x+y－2) ＋(xy－1) 2； (4)(2x－3y) 3十(3x－2y) 3－125(x－y) 3．思路点拔 (1)是形如abcd+e型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a2(b一c)+b2(c－a)+c2 (a一b) ；(2)x2+xy－2y 2－x+7y－6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy4+12y5．思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组： (2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果：（1）a 3±b 3=(a ±b )(a 2 ab +b 2) ；(2)a 3+b 3+c 3-3abc =(a +b +c )(a2+b 2+c 2-ab -bc -ac )1．分解因式：(x2+3x)2-2(x2+3x)－8＝2．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y=4．已知二次三项式x 2-mx -8在整数范围内可以分解为两个一次因式的积, 则整数m 的可能取值为．5．将多项式x 4-2x 2-3分解因式，结果正确的是（）．A ．(x 2+3)(x 2-1)B ．(x 2+1)(x 2-3)C ．(x 2+3)(x -1)(x +1)D ．(x2+1)(x -3)(x +3)6．下列5个多项式：①a 2b 2-a 2-b 2-1；②x 3-9ax 2+27xa 2-27a 3；③x (b +c -d ) -y (d -b -c ) -2c +2d -2b ；④3m (m -n ) +6n (n -m ) ；⑤(x -2) 2+4x其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（）．A ．①、②、③B ．②、③ 、④C ．①③ 、④、⑤D ．①、②、④7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( ) ．A ．x 3-9x 2+27x -27B ．x 3-x 2+27x -27C ．x 4-x 3+27x -27D ．x 3-3x2+9x -27138．若a +b =-，a +3b =1，则3a 2+12ab +9b 2+的值为( ) ． 55A ．224B ．C ．D ．0 9359．分解因式:（1）(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2； (2)(2x2－3x+1)2一22x 2+33x－1；(3)x4+2001x2+2000x+2001；(4)(6x－1)(2 x－1)(3 x－1)( x－1)+x2； (5)a 2+2b 2+3c 2+3ab +4ac +5bc ；(6)x 2+xy -6y 2+x +13y -6．10．分解因式：(x 2-1)(x +3)(x +5) +12．11．分解因式：x 2+5xy +x +3y +6y 212．分解因式：(x -2) 3-(y -2) 3-(x -y ) 3．13．在1~100之间若存在整数n ，使x 2+x -n 能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n 有个． 14．2x 3+x 2-13x +6的因式是( )A ．2x -1B ．x +2C ．x -3D ．x 2+1E ．2x +115．已知a >b >c ，M=a 2b +b 2c +c 2a ，N=ab 2+bc 2+ca 2，则M 与N 的大小关系是( )A ．M N C ．M ＝N D ．不能确定16．把下列各式分解因式：1 (1)(a 2+a +1)(a 2-6a +1) +12a 2； (2)(2a +5)(a 2-9)(2a -7) -91； (3)xy (xy +1) +(xy +3) -2(x +y +) -(x +y -1)2 2(4)(x 4-4x 2+1)(x 4+3x 2+1) +10x 4； (5)2x 3-x 2z -4x 2y +2xyz +2xy 2-y2z ．17．已知乘法公式：a 5+b 5=(a +b )(a 4-a 3b +a 2b 2-ab 3+b 4) ； a 5-b 5=(a -b )(a 4+a 3b +a2b 2+ab 3+b 4) ．利用或者不利用上述公式，分解因式：x 8+x 6+x 4+x 2+118．已知在ΔABC 中，a 2-16b 2-c 2+6ab +10bc =0(a、b 、c 是三角形三边的长) ．求证：a +c =2b。

多元函数积分的换元法

多元函数积分的换元法在计算多元函数的积分时，经常会遇到比较复杂的函数形式，这时候使用换元法是一个非常有效的方法。

多元函数的积分也可以通过类似于一元函数的换元法来简化问题，使得积分计算更加方便。

本文将介绍多元函数积分的换元法，并通过具体的例子展示如何应用该方法。

1. 二重积分中的换元法对于二重积分$$ \\iint_D f(x,y)dxdy $$可以通过变换x=g(u,v),y=ℎ(u,v)将积分区域D映射到uv平面上的一个新区域D∗，令$y=h(u,v), dy=\\frac{\\partial h}{\\partial u}du+\\frac{\\partialh}{\\partial v}dv$，$x=g(u,v), dx=\\frac{\\partial g}{\\partialu}du+\\frac{\\partial g}{\\partial v}dv$。

则有$$ \\iint_{D^*} f(g(u,v), h(u,v))|J|dudv = \\iint_D f(x,y)|J|dxdy $$其中J为Jacobi行列式。

2. 三重积分中的换元法对于三重积分$$ \\iiint_V f(x,y,z)dxdydz $$类似地，可以通过变换x=u(s,t),y=v(s,t),z=w(s,t)将积分区域V映射到st 平面上的新区域V∗。

令 \begin{aligned} x&=u(s,t) \\ y&=v(s,t) \\ z&=w(s,t)\end{aligned} 则有$$ \\iiint_{V^*} f(u(s,t),v(s,t),w(s,t))|J|dsdt = \\iiint_{V} f(x,y,z)|J|dxdydz $$其中J为Jacobi行列式。

3. 常用的换元公式在具体的计算中，常用的换元公式包括：极坐标、柱坐标、球坐标等。

例如，对于极坐标 \begin{aligned} x&=r\cos\theta \\ y&=r\sin\theta \end{aligned} 则有$$ dxdy = rdrd\\theta $$通过这些换元公式，可以将复杂的多元函数积分问题转化为简单的一元函数积分问题，从而更容易求解。

D4_2换元法1

换元法积分法1

高等数学-4_2换元法

D4_2换元法

4.2 换元积分法

4.2_换元积分法

4-2 换元法1-第一换元法

第二类换元法

高等数学 4-2换元积分法

§4.2-换元积分法(第一类换元法)

4_2二重积分的计算

D4_2换元法

第二类换元法

42换元积分法1

第2节换元积分法

课件：2 第一换元积分法(1)

第一讲 换元法

多元函数积分的换元法

第一讲换元法