创新设计2011高考数学理一轮复习随堂演练--74空间中的平行关系

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高三数学一轮复习---高中数学人教A版必修2《空间中的平行关系》复习课教学设计

课题：《空间中的平行关系》复习课一、教学目标：1、知识与技能目标：通过复习三个平行的关系，使学生在《立体几何》的证明中能够正确运用定理证明三个平行，从而使学生重新认识学习立体几何的目的，明确立体几何研究的内容；使学生初步建立空间观念，会看空间图形的直观图；使学生知道立体几何研究问题的一般思想方法。

2、过程与方法目标：通过背定理、小组互相讨论等环节，使学生形成自主学习、语言表达等能力，以及相互协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助图形，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式，完善思维结构，发展空间想象能力。

3、情感、态度、与价值观目标：在教学过程中培养学生创新意识和数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣并注意在小组合作学习中培养学生的合作精神。

二、教学重点与难点：重点：培养空间想象能力，明确证明空间中的平行关系的一般思想方法，并会应用。

难点：在证明的过程中做辅助线或辅助平面。

三、教学方法：合作探究教学法、引导式教学法四、学情分析：1、由于这是复习课，学生已经系统学习了立体几何的知识，本节课就是让学生更深入地对空间中几何图形的平行位置和数量关系进行推理和计算；2、学生在学习过程中将会遇到一些问题：不能很好地使用直观图来表示立体图形、不能准确的做出辅助线、证明过程书写不规范等等。

五、教学过程：4. 如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PD的中点，F是线段CD上任意一点(不包括端点)，平面PBF与平面ACE交于直线GH. 求证：PB∥GH..AB DEBC EF =证明：BE//面α6.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?检测题：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的中点。

高三数学一轮复习---高中数学人教A版必修2《空间中的平行关系》复习课教学设计

二、教学重点与难点：重点：培养空间想象能力，明确证明空间中的平行关系的一般思想方法，并会应用。

难点：在证明的过程中做辅助线或辅助平面。

高考数学一轮总复习第八单元立体几何课时4空间中的平行关系课后作业文含解析新人教A版

高考数学一轮总复习第八单元立体几何课时4空间中的平行关系课后作业文含解析新人教A版空间中的平行关系1．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(B)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件因为m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α⇒l⊥m.但l⊥m l∥α，因为l⊥m时，l可能在α内．故“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．2．α，β，γ为不同的平面，a，b为不同的直线，给出下列条件：①α∥a，β∥a; ②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，a⊥β.其中能使α∥β成立的条件的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4只有②④正确，选B.3．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(A)A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.因为QD∩平面MNQ＝Q，所以QD与平面MNQ相交，所以直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，所以AB∥NQ.又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.4．(2018·广州市二测)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为(C)A.352B.358C.92D.98如图，取AA 1的中点N，则四边形BC1MN为所求截面．此截面是两腰为5，上底为2，下底为22的等腰梯形，其面积S ＝2＋222×32＝92. 5．在单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1上的点，若BD 1∥平面ACE ，则DE ＝12 . 连接BD 交AC 于O ，连接EO ，可知EO ∥BD 1，故E 为DD 1的中点，所以DE ＝12. 6．下列命题：①一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②一条直线和一个平面内无数条直线平行，这条直线与这个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，则与另一个也相交；④一条直线与两个平行平面中的一个平行，则与另一个也平行．其中为真命题的序号是 ③ .7．(2017·蒙自市校级模拟节选)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 是等边三角形，BC ＝CC 1＝4，D 是A 1C 1的中点．求证：A 1B ∥平面B 1CD .(方法一)连接BC 1，交B 1C 于O ，连接DO .在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BB 1C 1C 为平行四边形，则BO ＝OC 1，又D 是A 1C 1的中点，所以DO ∥A 1B ，而DO ⊂平面B 1CD ，A 1B ⊄平面B 1CD ，所以A 1B ∥平面B 1CD .(方法二)取AC 的中点E ，连接A 1E ，EB ，易证A 1E ∥DC ，EB ∥DB 1，所以A 1E ∥平面DB 1C ，EB ∥平面DB 1C ，又A 1E ∩EB ＝E ，所以平面DB 1C ∥平面A 1EB ，因为A 1B ⊂平面A 1EB ，所以A 1B ∥平面B 1CD .8．(2018·威海二模)设a，b是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(D)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，aα，a∥βC．存在两条直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α对于A，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a，a∥α，a∥β，所以A是α∥β的一个必要条件；同理B也是α∥β的一个必要条件；易知C不是α∥β的一个充分条件，而是一个必要条件；对于D，可以通过平移两条异面直线到一个平面中成为相交直线，则有α∥β，所以D是α∥β的一个充分条件．9．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有 6 条．记AC，BC，A 1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．10．(2017·北京卷·理节选)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝6，AB＝4.求证：M为PB的中点．设AC，BD交于点E，连接ME，因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.因为四边形ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点．。

高考一轮复习第七章第四节空间中的平行关系

[答案] 2
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012· 抚顺模拟)已知 m，n 表示两条不同直线，α，β，γ 表示不同平面，给出下列三个命题：
m⊥α (1) n⊥α m⊥α (3) n∥α
⇒m∥n；
m⊥α (2) m⊥n
⇒n∥α
⇒α∥β
行，那么这两个平
面平行
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2.两平面平行的性质定理：文字语言性如果两个平行平面时质与第三个平面相交，定那么它们的交线平理行图形语言符号语言 α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b
⇒a∥b
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1．(教材习题改编)下列条件中，能判断两个平面平行的是 ( )
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[考题范例] (12分)(2012· 太原模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，已知底面 ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90° ，SA⊥底面 ABCD，SA＝AB＝BC＝2.tan∠SDA＝ (1)求四棱锥S－ABCD的体积； (2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明． 2 3
⇒a∥α
定理
2．性质定理：文字语言性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条 a∥α a⊂β α∩β＝b
⇒a∥b
图形语言
符号语言
直线的平面和这个平
面相交，那么这条直线就和交线平行.
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四、平面与平面平行 1．判定定理：文字语言如果一个平面内有判定定理两条相交直线平行于另一个平面平图形语言符号语言 a⊂α b⊂α a∩b＝P a∥β b∥β
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[步步满分] 2 (1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝3，SA＝2， ∴AD＝3.(3分) 由题意知四棱锥S－ABCD的底面为直角梯形，且SA＝AB＝BC＝2， 1 1 VS－ABCD＝3×SA×2×(BC＋AD)×AB 1 1 10 ＝3×2×2×(2＋3)×2＝ 3 .(6分)

高考数学一轮复习专题41 空间中的平行关系教学案理-人教版高三全册数学教学案

专题41 空间中的平行关系1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题．1．直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥b a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α1．平行直线(1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．(2)基本性质4(空间平行线的传递性)：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(3)定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．(4)空间四边形：顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形．2．直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b3.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b4.与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b．(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β．高频考点一直线与平面平行的判定与性质例1、如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD . 证明 (1)连接EC ，(2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面PAD .又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， ∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面PAD .又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.【举一反三】如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．(1)证明因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)解如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，从而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK＝4＋82×3＝18. 【变式探究】(1)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，E 为PD 的中点，AB ＝1，求证：CE ∥平面PAB ；(2)如图所示，CD ，AB 均与平面EFGH 平行，E ，F ，G ，H 分别在BD ，BC ，AC ，AD 上，且CD ⊥AB .求证：四边形EFGH 是矩形．证明 (1)由已知条件有AC ＝2AB ＝2，AD ＝2AC ＝4，CD ＝2 3. 如图所示，延长DC ，AB ，设其交于点N ，连接PN ，因为∠NAC ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥CD ，所以C 为ND 的中点，又因为E为PD的中点，所以EC∥PN，因为EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，所以CE∥平面PAB.高频考点二平面与平面平行的判定与性质例2、如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【方法技巧】证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．【变式探究】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明(1)如图，连接SB，∵E 、G 分别是BC 、SC 的中点，∴EG ∥SB . 又∵SB ⊂平面BDD 1B 1，EG ⊄平面BDD 1B 1， ∴直线EG ∥平面BDD 1B 1.(2)连接SD ，∵F 、G 分别是DC 、SC 的中点， ∴FG ∥SD .又∵SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1， ∴FG ∥平面BDD 1B 1，又EG ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.高频考点三平行关系的综合应用例4、如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大？解 ∵AB ∥平面EFGH ，平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG 、EH .∴AB ∥FG ，AB ∥EH ， ∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ， ∴截面EFGH 是平行四边形．设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)．又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba(a －x )，∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α ＝x ·ba ·(a －x )·sin α＝b sin αax (a －x )．∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值， ∴当且仅当x ＝a －x 时，b sin αa x (a －x )＝ab sin α4，此时x ＝a 2，y ＝b2.即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大．【感悟提升】利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．【变式探究】如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面PAD .解如图所示，在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ，连接AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ， ∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ， ∴四边形FEGA 为平行四边形， ∴FE ∥AG .又AG ⊂平面PAD ，FE ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD . ∴F 即为所求的点．又PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，∴BC ⊥面PAB . ∴PB ⊥BC .∴PC 2＝BC 2＋PB 2＝BC 2＋AB 2＋PA 2.设PA ＝x 则PC ＝2a 2＋x 2，由PB ·BC ＝BE ·PC 得：a 2＋x 2·a ＝2a 2＋x 2·63a ， ∴x ＝a ，即PA ＝a ，∴PC ＝3a . 又CE ＝a 2－63a 2＝33a ， ∴PE PC ＝23，∴GE CD ＝PE PC ＝23，即GE ＝23CD ＝23a ，∴AF ＝23a .即AF ＝23AB .故点F 是AB 上靠近B 点的一个三等分点．1.【2016高考某某理数】在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O 的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（II ）已知EF =FB =12AC =23，AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；7【解析】（II ）解法一：连接'OO ,则'OO ⊥平面ABC ，又,AB BC =且AC 是圆O 的直径，所以.BO AC ⊥以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由题意得(0,23,0)B ，(23,0,0)C -，过点F 作FM OB 垂直于点M ，所以223,FM FB BM =-=可得(0,3,3)F故(23,23,0),(0,3,3)BC BF =--=-.设(,,)m x y z =是平面BCF 的一个法向量.由0,0m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得23230,330x y y z ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩ 可得平面BCF 的一个法向量3(1,1,),3m =- 因为平面ABC 的一个法向量(0,0,1),n =所以7cos ,7||||m n m n m n ⋅<>==. 所以二面角F BC A --的余弦值为77.又AB BC =,AC 是圆O 的直径，所以6sin 45,2MN BM == 从而422FN =，可得7cos .7FNM ∠= 所以二面角F BC A --的余弦值为77. 2.【2016高考某某卷】如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】（1）详见解析（2）详见解析（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111111111111,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=，平面平面所以11AC ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=F ，平面平面所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面3.【2016高考某某理数】如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2.-（I ）求证：EG ∥平面ADF ；（II ）求二面角O -EF -C 的正弦值；（III ）设H 为线段AF 上的点，且AH =23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.【答案】37 【解析】依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF 的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.（I ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-.设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则1100n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ .不妨设1z =，可得()10,2,1n =，又()0,1,2EG =-，可得10EG n ⋅=，又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面. （III ）解：由23AH HF =，得25AH AF =.因为()1,1,2AF =-，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此2227cos ,21BH n BH n BH n ⋅<>==-⋅.所以，直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721. 1.【2015高考新课标2，理19】（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4515．【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==，因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是226MH EH EM =-=，所以10AH =．以D 为坐标原点，DA 的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =，(0,6,8)HE =-．设(,,)n x y z =是平面EHGF 的法向量，则0,0,n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3)n =．又(10,4,8)AF =-，故45cos ,15n AFn AF n AF ⋅<>==⋅．所以直线AF 与平面α所成角的正弦值为4515． 2.【2015某某高考，16】（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11 .求证：（1）C C AA DE 11//平面；（2）11AB BC ⊥.D D 1 C 1A 1 EF A B CB 1【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）由题意知，E 为1C B 的中点，又D 为1AB 的中点，因此D //C E A ．又因为D E ⊄平面11C C AA ，C A ⊂平面11C C AA ，所以D //E 平面11C C AA ．3.【2015高考某某，理19】如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F. （Ⅰ）证明：1//EF B C ；（Ⅱ）求二面角11E A D B --余弦值.【答案】（Ⅰ）1//EF B C ；（Ⅱ）63【解析】（Ⅰ）证明：由正方形的性质可知11////A B AB DC ，且11A B AB DC ==，所以四边形11A B CD 为平行四边形，从而11//B C A D ，又1A D ⊂面1A DE ，1B C ⊄面1A DE ，于是1//B C 面1A DE ，又1B C ⊂面11B CD ，而面1A DE 面11B CD EF =，所以1//EF B C .（Ⅱ）因为四边形11AA B B ，11ADD A ，ABCD 均为正方形，所以11,,AA AB AA AD AD AB ⊥⊥⊥，且1AA AB AD ==，以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 为轴，y 轴，轴单位正向量建立，如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标111(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1)A B D A B D .而E 点为11B D 的中点，所以E 点的坐标为(0.5,0.5,1).设面1A DE 的法向量1111(,,)n r s t =.而该面上向量11(0.5,0.5,0),(0,1,1)A E A D ==-，由1111,n A E n A D ⊥⊥得111,,r s t 应满足的方程组11110.50.500r s s t +=⎧⎨-=⎩，(1,1,1)-为其一组解，所以可取1(1,1,1)n =-.设面11A B CD 的法向量2222(,,)n r s t =，而该面上向量111(1,0,0),(0,1,1)A B A D ==-，由此同理可得2(0,1,1)n =.所以结合图形知二面角1E A D B --的余弦值为1212||6||||32n n n n ⋅==⋅⨯. 1．（2014·某某卷）如图15，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，且AD ＝2BC .过A 1，C ，D 三点的平面记为α，BB 1与α的交点为Q .图15(1)证明：Q为BB1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．(2)如图1所示，连接QA，QD.设AA1＝h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC＝a，则AD＝2a.图1V 三棱锥Q A 1AD ＝13×12·2a ·h ·d ＝13ahd ，V 四棱锥Q ABCD ＝13·a ＋2a 2·d ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12h ＝14ahd ，所以V 下＝V 三棱锥Q A 1AD ＋V 四棱锥Q ABCD ＝712ahd .又V 四棱柱A 1B 1C 1D 1 ABCD ＝32ahd ，所以V 上＝V 四棱柱A 1B 1C 1D 1 ABCD －V 下＝32ahd －712ahd ＝1112ahd ，故V 上V 下＝117.方法二：如图2所示，以D 为原点，DA ，DD 1→分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系．设∠CDA ＝θ，BC ＝a ，则AD ＝2a . 因为S 四边形ABCD ＝a ＋2a2·2sin θ＝6，所以a ＝2sin θ.图2从而可得C (2cos θ，2sin θ，0)，A 1⎝⎛⎭⎪⎫4sin θ，0，4，所以DC ＝(2cos θ，2sin θ，0)，DA 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4sin θ，0，4.设平面A 1DC 的法向量n ＝(x ，y ，1)，由⎩⎨⎧o (DA 1,sup 6(→))·n ＝4sin θx ＋4＝0，DC →·n ＝2x cos θ＋2y sin θ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－sin θ，y ＝cos θ，所以n ＝(－sin θ，cos θ，1)．又因为平面ABCD 的法向量m ＝(0，0，1)，所以cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝22，故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为π4.2．（2014·卷）如图13，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H . (1)求证：AB ∥FG ；(2)若PA ⊥底面ABCDE ，且PA ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．图13解：(1)证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE . 又因为AB ⊄平面PDE ，所以AB ∥平面PDE .因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ，所以AB ∥FG .(2)因为PA ⊥底面ABCDE ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AE .建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (2，1，0)，P (0，0，2)，F (0，1，1)，BC →＝(1，1，0)．设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·o (AB,sup 6(→))＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0. 令z ＝1，则y ＝－1.所以n ＝(0，－1，1)．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝||f (n ·o (BC,sup 6(→)),|n ||BC →|)＝12.因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6.设点H 的坐标为(u ，v ，w )．因为点H 在棱PC 上，所以可设PH →＝λPC →(0<λ<1)．即(u ，v ，w －2)＝λ(2，1，－2)，所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ. 因为n 是平面ABF 的一个法向量，所以n ·AH →＝0，即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，解得λ＝23，所以点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，23. 所以PH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝2.3．（2014·某某卷）如图14，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ .(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．图14解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1，所以BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .图① 图②(2)如图②，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF ＝12BD .又DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ ＝BD ，从而EF ∥PQ ，且EF ＝12PQ .在Rt△EBQ 和Rt△FDP 中，因为BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1，于是EQ ＝FP ＝1＋λ2，所以四边形EFPQ 也是等腰梯形．同理可证四边形PQMN 也是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ，则GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°. 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF ＝MN 知四边形EFNM 是平行四边形．连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以GH ＝ME ＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝λ2＋12，OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝(2－λ)2＋12，由OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．(1)证明：当λ＝1时，FP ＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)，所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .4．（2014·新课标全国卷Ⅱ）如图13，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D AE C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E ACD 的体积．图1318．解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD ，AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A xyz ，则D ()0，3，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12.设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎨⎧n 1·o (AC,sup 6(→))＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量，由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12，解得m ＝32. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD 的高为12.三棱锥E ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38. 5．（2014·某某卷）如图13所示，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．图13(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝3，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．17．解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB＝2CD，所以AB∥DC，又M是AB的中点，所以CD∥MA且CD＝MA.连接AD1.因为在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，CD∥C1D1，CD＝C1D1，所以C1D1∥MA，C1D1＝MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，因此，C1M∥D1A.又C1M⊄平面A1ADD1，D1A⊂平面A1ADD1，所以C1M∥平面A1ADD1.所以A (3，0，0)，B (0，1，0)，D 1(0，0，3)．因此M ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以MD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0.设平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·o (D 1C 1,sup 6(→))＝0，n ·MD 1→＝0，得⎩⎨⎧3x －y ＝0，3x ＋y －2 3z ＝0，可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)．又CD 1→＝(0，0，3)为平面ABCD 的一个法向量．因此cos 〈CD 1→，n 〉＝CD 1sup 6(→)·n |CD 1→||n |＝55，所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 方法二：由(1)知，平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB ，点过C 向AB 引垂线交AB 于点N ，连接D 1N .1.有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确.学——答案 A2.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n ∥β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.答案 A3.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.答案 B4.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )A.①③B.①④C.②③D.②④解析①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图).④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.答案 B5.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α6.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.解析如图，取CD的中点E.连接AE，BE，由于M，N分别是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分别过M，N，则EM∶MA ＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.因为AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABC， MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.答案平面ABD与平面ABC7.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.解析在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝12AC ＝ 2. 答案 28.如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析连接HN ，FH ，FN ，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ，∴MN ∥平面B 1BDD 1.答案点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合)9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论.解 (1)点F ，G ，H 的位置如图所示.10.如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P －ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离. (1)证明设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点.又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .又因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)解 V ＝16PA ·AB ·AD ＝36AB . 由V ＝34，可得AB ＝32.作AH ⊥PB 交PB 于H . 由题设知AB ⊥BC ，PA ⊥BC ，且PA ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面PAB .又AH ⊂平面PAB ，所以BC ⊥AH ，又PB ∩BC ＝B ，故AH ⊥平面PBC .∵PB ⊂平面PBC ，∴AH ⊥PB ，在Rt △PAB 中，由勾股定理可得PB ＝132，所以AH ＝PA ·AB PB ＝31313. 所以A 到平面PBC 的距离为31313.。

创新设计2011届高考数学理一轮复习随堂演练75空间中的垂直关系

7.5直线与平面垂直、选择题 1.设m 、n 是两条不同的直线， a,丫是二个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（） ①若 m 丄 a , n // a,贝 U m ± n ;②若 all 3, Y m 丄 a,贝 U m 丄 Y ③若 m //a , n // a,贝 U m // n ;④若 a 丄Y , 3丄Y 贝V al 3A .①和②B .②和③C .③和④D .①和④ 答案：A2 .二面角 a — 1—3的大小为锐角， P € I , PA? a, PB? 3且PA 丄I ，则（）A . Z APB 的最大值等于二面角的平面角B . Z APB 的最小值等于二面角的平面角C .二面角的平面角既不是Z APB 的最大值，也不是Z APB 的最小值D . Z APB 就是二面角的平面角内作 PC 丄I ,贝U Z APC 为二面角的平面角，cos Z APB =答案：B解析：如下图：作DF 丄AB 垂足为F ,连结CF 由三垂线定理知 Z CFD 为二面角的平面角，可知Z CED , Z DEB 均为锐角，cos Z CEB = cos Z DEB c os Z CED v cos Z DEB ，即 Z CEB > Z DEB .答案：A4. 矩形ABCD 中，AB = 4, BC = 3,沿AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B — AC — D ,则四面体 ABCD 的外接球的体积为（）答案：C 解析：如右图，在平面 3 3. 二面角a — AB — 3的平面角是锐角,与Z DEB 的大小关系为C € a, CD 丄3,垂足为 D ,E € AB ,且Z CEB 是锐角，则Z CEB A . Z CEB >Z DEBB .Z CEB vZ DEBC . Z CEB <Z DEBCEB 与Z DEB 的大小关系不确定A. 125 12 nC.^ n 7t cos Z BPC c os Z APC < cos Z APC , B.、填空题5. a B是两个不同的平面，m、n是平面a及B之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m丄n；②a丄③n丄3；④m丄a,以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题答案：可填①③④？②与②③④？①中的一个6. 一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内，则这条线段与这两个平面所成的角的和的范围是_________ .解析：作AC丄|垂足为C,作BD丄I垂足为D，连结BC、AD ,则/ BAD和/ ABC分别为直线AB和平面a和3所成角.由cos/ ABD = cos/ ABC c os/ DBC < cos/ ABC ,即 / ABD >/ ABC , / ABC + / BAD </ ABD + / BAD = 90 °答案：(0 ° 90°7 .已知P是厶ABC所在平面a外一点，0是点P在平面a内的射影(1)若P到厶ABC的三个顶点的距离相等，贝U O是厶ABC的____________ ;⑵若PA、PB、PC与平面a所成的角相等，贝U O是厶ABC的 ______________ ;(3) 若P到厶ABC三边距离相等，且O在厶ABC的内部，贝U O是厶ABC的 ____________ ;(4) 若平面PAB、PBC、PCA与平面a所成的角相等，且O在厶ABC的内部，则O是厶ABC的 ___________(5) 若PA、PB、PC两两垂直，则O是厶ABC的 __________ .答案：⑴外心(2)外心(3)内心(4)内心(5)垂心三、解答题&若P ABC所在平面外一点，且PA丄平面ABC，平面PAC丄平面PBC，求证：BC丄AC.证明：•••平面PAC丄平面PBC，作AD丄PC垂足为D,根据平面与平面垂直的性质定理知：AD丄平面PBC，则BC丄AD ,又PA丄平面ABC，贝U BC丄PA,••• BC丄平面PAC.因此BC丄AC.9. 如右图，在四棱锥V —ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD丄底面ABCD ,(1) 证明AB丄平面VAD ;(2) 求面VAD与面VBD所成的二面角的正切值.解答：⑴证明：•••平面VAD丄底面ABCD ,又AB丄AD，贝UAB丄平面VAD.⑵取VD中点E,连结AE、BE ,•••△VAD是正三角形，则AE 丄VD ,由三垂线定理知BE丄VD.•••/ AEB为面VAD与面VBD所成二面角的平面角.设AB = 1，在Rt △ AED 中, AE = ADsi n 60• tan / AEB AB _症AE=310. 如下图所示，在正方体ABCD —A i B i C i D i中，P是棱AD的中点，求二面角A —BD 1P的大小.解答：•/ AB丄平面AD i P,.・.平面AD i P丄平面AD i B. 过P作PE丄AD i垂足为E,则PE丄平面AD i B,作EF丄BD i,连结PF ,则由三垂线定理知PF丄BD i,则/ PFE为二面角A —BD i —P的平面角，设AB = i ,•/ Rt △AEP s Rt △ADD i, AP PE AP DD i . 2 = …PE = = AD i DD i AD i 4在等腰△ PBD i 中，BP =于BF = ^BD i=23，PF = BP2—BF 〜，在Rt △ PEF 中,2 sin / PFE =圧PF丄，./ PFE = 30°21如图，四棱锥 S — ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC 丄底面ABCD .已知/ ABC = 45 °AB = 2, BC = 2 2, SA = SB = .'3.（1）证明SA 丄BC ;(2)求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值.解答：(1)证明：作SO 丄BC ,垂足为O ,连结A0,由侧面SBC 丄底面ABCD ，得SO 丄底面ABCD.因为SA = SB ,所以AO = B0.又/ ABC = 45°故厶AOB 为等腰直角三角形， AO 丄BO ,由三垂线定理，得 SA 丄BC.⑵由（1）知SA 丄BC ,依题设 AD // BC ,故SA 丄AD ,由 AD = BC = 2 ,2, SA = ■, 3, AO = ■, 2，得 SO = 1, SD = . 11.△ SAB 的面积：S 1 = 1AB • .SA 2—（2A B ）2= 2.连结 DB ，得△ DAB 的面积 S 2= 2AB ADsin 135 = 2.1 1设 D 到平面 SAB 的距离为 h ，由 V D —SAB = V s -ABD ，得"h S 1 = "SO S 2,3 3解得h =迈.设SD 与平面SAB 所成角为a,则sin a= SD ==斗2j2. 2.如下图，已知四棱锥 P — ABCD , PB 丄AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面 ABCD 为菱形, 侧面PAD与底面ABCD 所成的二面角为120°(1)求点P 到平面ABCD 的距离；⑵求面APB 与面CPB 所成二面角的余弦值.解答：⑴如下图，作 PO 丄平面ABCD,所以，直线SD 与平面SAB 所成的角正弦值为11 -•/ AD 丄 PB ,「. AD 丄 OB ,v PA = PD ,「. OA = OD ,于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，••• PE 丄AD.由此知/ PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角，•••/ PEB = 120° / PEO = 60°由已知可求得 PE = 3,• PO = PE sin 60 °寸3 X 爭=号，即点P 到平面ABCD 的距离为|(2)如右图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点小轴平行于DA. P(0,0,-|-), B(0■專,0), PB 中点G 的坐标为(0,乎申,连结AG 又知 A(l,^f 0),C(-2,^f 0),由此得SlGA=(l,-^,—|-), PB=(o,^,--1-),二矗丄玮，朮丄玮，矗，荒的夹角8等于所求二面角的平面角，A . GA • BC 2 J?9 Vf 于是cos 8= ― = ，仁所求二面角的余弦值为 ---- ・IGAIIBCI 7 7 垂足为0,连结OB 、OA 、OD,。

高考数学一轮总复习第七章立体几何7_4空间中的平行关系课件理新人教A版

(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD. 证明如下：如图，连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP. MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.
∴AC＝2AB＝2，CD＝tanAC30°＝2 3.
∴VP－AEC＝VE－PAC＝VF－PAC＝VP－ACF＝
1 3
×
1 2
×S△ACD·PA＝
1 3
×
1 2
×
1 2
×2×2
3 ×2＝
2 3 3.
考点二|面面平行的判定与性质 (易错突破)
【例2】 (1)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一
又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF. 又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF. ②因为AC⊥平面BDEF，又易知AO＝ 2，S矩形BDEF＝3×2 2＝6 2，
所以四棱锥A－BDEF的体积V1＝13·AO·S矩形BDEF＝4.
跟踪训练 (2018·高考全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧垂直，M是上异于C，D的点．
所在平面
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC； (2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
解析：(1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM. 因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM. 又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC. 而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
结论证明一些有关空间图形的平较强的推理论证能力，广泛应用转化与化

新课改地区高考数学一轮复习：空间中的平行关系

【迁移应用】如图所示,侧棱与底面垂直,且底面为正方形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,M,N分别在AD1,BC上移动,始终保持MN∥平面DCC1D1,设 BN=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是 ( )
【解析】选C.过M作MQ∥DD1,交AD于点Q,连接QN.
因为MQ⊄平面DCC1D1,DD1⊂平面DCC1D1,
提示：(1) ×.若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α或a⊂α. (2)×. 一条直线与一个平面平行,那么它与平面内的直线可能平行,也可能是异面直线. (3)×.如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. (4)×.若平面外的一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面. (5)√.这两条直线没有公共点. (6)×.平行于同一条直线的两个平面平行或相交.
【解析】选D.若α∩β=l,a∥l,a⊄α,a⊄β,则a∥α,a∥β,故排除A.若 α∩β=l,a⊂α,a∥l,则a∥β,故排除B.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,则 a∥β,b∥α,故排除C.
2.(必修2 P46练习AT1改编)下列命题中正确的是 ( ) A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α
所以截面EFGH是平行四边形.
设AB=a,CD=b,∠FGH=α (α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角).
又设FG=x,GH=y,则由平面几何知识可得x CG，y B两G式，相加得
a BC b BC
即y= b(a-x),

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7-4
直线与平面平行平面与平面平行
、选择题
中点，G ABC 的重心，从K 、H 、G 、B '中取一点作为 P ,使得该棱柱恰有 2条棱与平面PEF 平
行，则P 为（
）
C . G 答案：C 2.
给出下列命题，其中正确的两个命题是（）
① 直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的
中点连线平行于这两个平面；③直线 m 丄平面a,直线n 丄m ，则n // a;④a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面a,使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等. A .①与②
B .②与③
C .③与④
D .②与④
解析：直线上有两点到平面的距离相等，直线可能和平面相交；直线 m 丄平面a,直线m 丄直线n ,直
线n 可能在平面a 内，因此①③为假命题. 答案：D 3.
设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是（）
A .过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和 a 、b 都相交
B .过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和 a 、b 都垂直
C .过a 一定可以作一个平面与 b 垂直
D .过a 一定可以作一个平面与 b 平行解析：可证明过a 一定有一个平面与 b 平行. 答案：D
4. （2009南京质检）已知平面a//平面3, P 是a 、B 外一点，过点 P 的直线m 与a 、B 分别交于A 、C ,过点P 的直线n 与a 、3分别交于 B 、D 且PA = 6, AC = 9, PD = 8，则BD 的长为（）
解析：根据题意可出现以下如图两种情况
1如图所示，在三棱柱
ABC — A ' B ' C '中，点 E 、F 、H 、K 分别为 AC CB '、A ' B 、B ' C '的 A . 16
B . 24 或 24
C . 14
D . 20
可求出BD的长分别为丁或24.
答案：B
5. 设 a 丫为两两不重合的平面，I、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题，其中真命题的
个数是（）
①若a丄Y3-L Y 贝V all②若m? a, n? a, m // n // 3,贝9 a// B;③若a// I? a,贝V I // 3
④若 a Q A 1, 3门尸m, 丫门a= n, I // Y,贝V m // n.
A . 1
B . 2 C. 3 D. 4
答案：B
、填空题
6•至悴间不共面的四点距离相等的平面个数为
解析：如右图分类，一类如图⑴将四点视为三棱锥四个顶点，取棱中点，可以做如图⑴平面平行于三棱锥的底面，并到另一顶点距离与底面距离相等，这样的平面有4个；另一类如图（2）取各段中点，四个中点形成平面平行于三棱锥相对棱，这样的平面有3个，共7个.
答案：7
7.下列命题中正确的命题是___________ .
①直线I上有两点到平面a距离相等，则I // a；
②平面a内不在同一直线上三点到平面3的距离相等，则 a // 3；
③垂直于同一直线的两个平面平行；
④平行于同一直线的两平面平行；
⑤若a、b 为异面直线，a? a, b // a, b? 3, a // 3,贝U all 3
答案：③⑤ 三、解答题
& 如下图，在正方体ABCD —A i B i C i D i中，M、N、P、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面AMN //平面PQDB.
证明：如图连结NQ ，由NQ 綊A I D I 綊AD 知：四边形ADQN 为平行四边形, 同理AM // BP ,又AM A AN = A ，根据平面与平面平行的判定定理可知，平面
AMN //平面PQDB .
9.（原创题）如图在四面体 S — ABC 中，E 、F 、O 分别为SA 、SB 、AC 的中点，G 为0C 的中点，证明: FG //
平面 BEO .
证明：证法一：如图，取 BC 中点M ，连接FM , GM ，贝U GM // OB , FM // SC // EO , 又FM A GM = M ，则平面 FGM //平面 BEO ，因此FG //平面 BEO.
证法二：设认「山 2八c ,
抨+就+花=去在-囲+奁-寺应
yRC-OE-yOC = y(OC-6B)-OE-jCr
1
2b — a ,因此FG 与b , a 共面，二FG //平面 BEO.
10.已知：如右图，平面 a//平面3,线段AB 分别交a B 于点M 、N ，线段AD 分别
交 a 3于 C 、D ，线段 BF 分别交 a 、3 于 F 、E ,且 AM = BN ，试证：S ^ CMF = S ^ DNE .
贝U AN //
DQ 则
⑵判断四边形EFGH 是哪一类四边形；
⑶若AC = BD = a ,求四边形 EFGH 的周长.
解答：⑴证明：由AB , AD 确定的平面，与平行平面
B
和丫的交线分别为EF 和BD ,
证明：•••a//3直线AD 与AB 确定的平面与 a B 分别交于 CM 、DN , ••• CM // DN ，同理 NE // MF
CMF =Z DNE ,
CM = AM NE = BN DN
= AM + MN .M F = BN + MN
CM NE
1
1 又 AM = BN ,• CM =徑，即 CM MF = DN NE , • 1CM MF sin / CMF = 1
DN MF 2 2
DN NE sin / DNE .因此 S^CMF = DNE .
★选犠题
1.如果all 3, AB 和CD 是夹在平面 a 与B 之间的两条线段， AB 丄CD ,且AB = 2,
直线AB 与平面a 所成的角为30°,那么线段CD 的取值范围是( )
2 ,3
3
B . [1 ,+^ )
2,3
口 ,寸]
解析：如图，过A 点作平面丄AB ,⑴3= I ，过A 作AC 丄I. 垂足为C ,连结AC ,可以证明AC 即为线段CD 的最小值. 在 Rt △ ABC 中，/ ABC = 30； AB = 2, • AC = AB tan / ABC 2“3 3
答案：D 2.如图，已知平面
a// 3〃 Y A , C € a, B , D € 丫，异面直线 AB 和
CD 分别与 3交于
E 和G ,连结AD 和BC 分别交3于
F , H.
(1)求证:
AE
EB
CG ； GD
C .
知EF // BD.所以H =語同理有FG // AC,因而A! = GD•所以A! = if.
⑵面CBD分别交3, 丫于HG和BD.由于训Y,所以HG // BD.同理EH // AC.故EFGH 为平行四边形.
,――…EF AF AF , _一…FG DF DF
(3)由EF // BD，得BD = AD =AF + FD.由FG〃AC，得AC=AD =DF + FA.
又因为BD = AC = a, 所以ED + AC = EF : FG = = 1•即卩EF + FG = a.
故四边形EFGH的周长为2a.
3.如下马图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PA丄平面ABCD , E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P—
CD —B 为45°
(1) 求证：AF //平面PEC ;
(2) 求证：平面PEC丄平面PCD ;
(3) 设AD = 2, CD = 2、2，求点A到平面PEC的距离.
解答：⑴证明：取PC的中点G,连EG、FG ,
1
••• F为PD的中点，••• GF綊^CD , CD綊AB，又E为AB的中点,
••• AE綊GF，•四边形AEGF为平行四边形，• AF // GE,因此AF //平面PEC .
⑵证明：PA丄平面ABCD，则AD是PD在底面上的射影，又ABCD为矩形
• CD丄AD，贝U CD丄PD，因此CD丄AF，/ PDA为二面角P—CD —B的平面角，即/ PDA = 45° F 为Rt△ PAD 斜边PD 的中点，AF 丄PD , PDA CD= D ,
• AF丄平面PCD，由(1)知AF // EG , • EG丄平面PDC ,
•/ EG?平面PEC,•平面PEC丄平面PCD.
(3)由(1)知AF //平面PEC，平面PCD丄平面PEC,过F作FH丄PC交PC于H，贝U FH丄平面PEC ,
• FH为F到平面PEC的距离，即A到平面PEC的距离，在△ PFH与厶PCD中，/ P为公共角，
/ FHP =/ CDP = 90°PFH PCD , FH= ,
CD PC
•/ AD = 2, PF = .2, PC = ,CD2+ PD2= 8+ 8= 4,
FH = 42 2 2 = 1,.・.A到平面PEC的距离为1.。

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