灰色模型应用举例

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灰色预测模型及MATLAB实例

灰⾊预测模型及MATLAB实例

下⾯将主要从三⽅⾯进⾏⼤致讲解，灰⾊预测概念及原理、灰⾊预测的分类及求解步骤、灰⾊预测的实例讲解。

⼀、灰⾊预测概念及原理：

1.概述：

关于所谓的“颜⾊”预测或者检测等，⼤致分为三⾊：⿊、⽩、灰，在此以预测为例阐述。

其中，⽩⾊预测是指系统的内部特征完全已知，系统信息完全充分；⿊⾊预测指系统的内部特征⼀⽆所知，只能通过观测其与外界的联系来进⾏研究；灰⾊预测则是介于⿊、⽩两者之间的⼀种预测，⼀部分已知，⼀部分未知，系统因素间有不确定的关系。细致度⽐较：⽩>⿊>灰。

2.原理：

灰⾊预测是通过计算各因素之间的关联度，鉴别系统各因素之间发展趋势的相异程度。其核⼼体系是灰⾊模型（Grey Model，GM），即对原始数据做累加⽣成（或者累减、均值等⽅法）⽣成近似的指数规律在进⾏建模的⽅法。

⼆、灰⾊预测的分类及求解步骤：

1.GM（1,1）与GM（2,1）、DGM、Verhulst模型的分类⽐较：

预测模型适⽤场景涉及的序列

GM（1,1）模型⼀阶微分⽅程，只含

有1个变量的灰⾊模

型。适⽤于有较强指

数规律的序列。累加序列均值序列

GM（2,1）模型适⽤于预测预测具有

饱和的S形序列或者

单调的摆动发展序列

缺陷。累加序列累减序列均值序列

DGM模型累加序列

累减序列

Verhulst模型累加序列

均值序列

2.求解步骤思维导图：

其中预测过程可能会涉及以下三种序列、⽩化微分⽅程、以及⼀系列检验，由于⼤致都相同，仅仅是某些使⽤累加和累减，⽽另外⼀些则使⽤累加、累减和均值三个序列的差别⽽已。于是下⾯笔者将对其进⾏归纳总结再进⾏绘制思维导图，帮助读者理解。

《灰色系统建模》课件

1
财务预测
使用灰色系统建模进行企业财务预测的实际案例。
2
环境预测
探讨灰色系统建模在环境预测中的应用。
3
人口统计
灰色模型在人口统计领域的实际应用案例。
灰色理论的历史与发展
1 理论渊源
灰色理论的起源和发展。
3 新兴方法
探讨新兴的灰色系统建模方法。
2 经典模型
介绍经典的灰色模型。
灰色模型GM(1,1 )
灰色系统建模
这个PPT课件将介绍灰色系统建模及其在实践中的应用。你将了解灰色关联分析、灰色预测模型以及与其他建模方法的比较。通过实际案例，了解灰色系统建模的局限性和发展方向。
灰色关联分析
基本原理
探索变量之间的关联性，揭示隐藏信息。
发展趋势
结合神经网络和灰色关联分析进行建模。
实际应用
在融合数据中应用灰色关联分析。
基本原理
灰色模型GM(1,1)的数学基础和原理。
实际应用
灰色模型GM(1,1)在实际问题中的应用。
灰色关联度分析模型
基本概念
灰色关联度分析模型的核心概念。
实现方法
如何实现灰色关联度分析模型。
源自文库
灰色预测模型
1
构建方法
基于灰色模型GM(1,1)进行预测。
2
实践应用
市场营销中的灰色预测模型应用案例。

灰色理论模型

则称 x(0) (k) 为数列 x (1) 的１- 次累减生成。
一般地，对于r- 次累加生成数列 x ( r ) x ( r ) ( 1 ) x ( r ) ( 2 , ) , x , ( r ) ( n ) ( r 1 )
则称 x ( r 1 ) ( k ) x ( r ) ( k ) x ( r ) ( k 1 )k 2 , 3 ,, n 为数列 x (r ) 的
对于常数：[0,1]
称：z (0 )(k )x (0 )(k ) ( 1 )x (0 )(k 1 )
为数列 x (0) 在生成系数（权）下的邻值生成数
（或生成值）。特别地，当生成系数 0.5 时，则称：
z (0 )(k ) 0 .5 x (0 )(k ) 0 .5 x (0 )(k 1 )
2. 数据的生成方式有多种，常用的方法有累加生成、累减生成和均值生成等.
9
例如: x(0)=（1，3，2，5，8） x(1)=（1，4，6，11，19） x(2)=（1，5，11，22，41）
一、累加生成〔AGO〕
设原始数列为 x ( 0 ) x ( 0 ) ( 1 ) x ( 0 ) ( , 2 ) , x , ( 0 ) ( n )
令 k
x(1)(k) x(0)(i) (k1,2, ,n)
i1
则称 x (1) (k ) 为数列 x (0) 的１- 次累加生成，数列

灰色预测模型及应用论文

管理预测与决策的课程设计报告

灰色系统理论的研究

专业：计算机信息管理

姓名：XXX

班级：xxx

学号：XX

指导老师：XXX

日期2012年11月01 日

摘要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。本文详细推导GM（1,1）模型，

另外对灰关联度进行了进一步的改进，让改进的计算式具有唯一性和规范性[]4。通过给

出的实例高校传染病发病率情况，建立了GM(1,1)预测模型，并预测了1993年的传染病发病率。另外对传染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。

关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论

1、引言1

1.1、研究背景 (1)

1.1.1、国内研究现状 1

1.1.2、国外研究现状 1

1.2、研究意义 (2)

2、灰色系统及灰色预测的概念2

2.1、灰色系统理论发展概况2

2.1.1、灰色系统理论的提出2

2.1.2、灰色系统理论的研究对象 2

2.1.3、灰色系统理论的应用范围 2

2.1.4、三种不确定性系统研究方法的比较分析 3

2.2、灰色系统的特点.4

2.3、常见灰色系统模型 5

2.4、灰色预测 (5)

3、简单的灰色预测——GM(1,1)预测6

灰色预测模型GM(1_1)及其应用

灰色预测模型GM(1,1)的应用

一、问题背景：

蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。

为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。

二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测

下面是对Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。

在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm 2）情况下的蠕

变断裂时间见下表。

数列序数 K

1 2 3 4 5

载荷应力（kg/mm 2） 37 36 35 34 33 断裂时间（)(100)0(K X ⨯小时）

2.38 2.80 4.25 6.85 11.30 一次累加数列)()1(K X 2.38 5.18 9.43 16.28 27.58

1、建立GM （1,1）模型

（1）数据处理：将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素。即根据断裂时间数列)()0(k X 由∑==k

线性回归和灰色预测模型案例

预测未来2015年到2020年的货运量

灰色预测模型

是通过少量的、不完全的信息,建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题,制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时,都必须对未来进行科学的预测. 预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律,借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析,并形成科学的假设和判断.

灰色系统的定义

灰色系统是黑箱概念的一种推广;我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端,我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系;

建模原理模型的求解

原始序列为：

)

16909 15781 13902 12987 12495 11067 10149

9926 9329 10923 7691())6(),...1(()0()0()0(==x x x

构造累加生成序列

)

131159,114250,98469,84567,71580,59085,

48018,37869,27943,18614,7691())6(),...1(()1()1()1(==x x x

归纳上面的式子可写为

称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成,简称为一次累加生成.

对(1)X 作紧邻均值生成

,....

2))

1()((21)()1()

1()

1(=-+=k k z k z k z

MATLAB 代码如下：

x=7691 18614 27943 37869 48018 590857 71580 84567 98469 114250 131159; z1=x1; for i=2:6 zi=xi+xi-1; end

灰色预测模型原理

灰色预测模型（Grey Prediction Model）是一种基于灰色系统理论和数学建模方法的预测模型。灰色系统理论是我国学者黄金云教授于1982年提出的一种系统理论，它是研究非确定性和不完备信息系统的一种新方法，可用于研究多变量、小样本和非线性系统。

灰色预测模型主要基于灰色数学建模方法，通过对已知的部分序列数据进行建模和预测，来推测未知的序列数据趋势。它适用于研究数据量小、信息不完备、非线性关系复杂的系统。下面将简要介绍灰色预测模型的原理、模型建立过程以及一些应用案例。

1. 灰色预测模型的原理

灰色预测模型的核心思想是通过对已知数据进行灰色关联度的度量，从而建立出合适的数学模型，进行未来数据的预测。其基本原理可以概括为以下五个步骤：

（1）建立灰色微分方程：根据原始数据的特点，确定合适的灰色微分方程，通常使用一阶或高阶灰色微分方程。

（2）求解灰色微分方程：根据所选择的灰色微分方程，求解其参数，得到模型的特征参数。

（3）模型检验：检验所建立的灰色预测模型的拟合程度和误差是否符合要求。

（4）进行灰色关联度分析：根据已知数据的变化规律，计算各个因素的灰色关联度，确定相关因素的重要性。

（5）进行预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测和分析，得出预测值。

2. 模型建立过程

灰色预测模型的建立过程中，通常包括以下几个步骤：

（1）数据的建立与处理：对原始数据进行筛选、预处理和归一化处理，以满足模型的要求。

（2）建立灰色微分方程：从已知数据中提取主要特征，并根据数据的特点选择合适的灰色微分方程。

灰色模型原理

灰色系统理论是由我国学者邓聚龙教授于1982年创立的一门横断面大、渗透性强、应

用面极广的边缘学科。它以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确

定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实

现对系统运行规律的正确认识和有效控制。如人口系统涉及因素太多，具有明显的灰色性，

适宜采用灰色模型去发掘和认识其原始时间序列综合灰色量所包涵的内在规律。下面以灰色

模型中应用广泛的GM(l ，l)模型为例，介绍灰色建模方法

设)0(X = [)0(x (1), )0(x (2), …, )0(x (n)]为系统输出的非负原始数据序列，对序列)

0(X 进行一阶累加生成，得生成序列)1(X ，即)()1(k x =)(1)0(i x k

i ∑= (k = 1, 2, …, n)

GM(1, 1)预测模型是一阶单变量的灰色微分方程动态模型

)()0(k x + )()1(k az = b (k = 1, 2, …, n) (1)

其中)()1(k z 为)()1(k x 的紧邻均值生成，即)()1(k z = 0.5[)()1(k x +)1()1(-k x ]，

式(1)白化方程形式为:b ax dt

dx =+)1()

1( 其中a ,b 为待定系数，分别称之为发展系数和灰色作用量,a 的有效区间是(-2, 2)。应用

最小二乘法可经下式求得：

ˆ = T b a ),(= n T T Y B B B ⋅⋅-1)( 其中 B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--+-+-111)),()1((2/1)),3()2((2/1 )),2()1((2/1)1()1()1()1()1()1( n x n x x x x x n Y = [)0(x (2), )0(x (3), …, )0(x (n)] 方程的解即时间响应函数为⎪⎩⎪⎨⎧-+=++⋅-=+-)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ))1(()1(ˆ)1()1()0()0()1(k x k x k x

灰色模型建模例题

灰色模型是一种基于时间序列数据的预测方法，通过对序列数据的灰度化和建模，可以对未来的趋势进行预测和分析。下面是一个灰色模型建模的例题：

假设有一家服装公司，过去3年的销售额数据如下：

年份销售额

2018 100万

2019 120万

2020 135万

现在需要利用灰色模型对2021年的销售额进行预测。

解答步骤如下：

1. 灰度化处理：

将原始数据进行一次累加得到累加数据：100, 220, 355。

可以发现累加数据的增长幅度不稳定，不适合直接进行建模，因此需要进行灰度化处理。

利用紧邻平均法进行灰度化处理，得到灰度数据：100, (100+220)/2 = 160, (220+355)/2 = 287.5。

2. 建立灰色模型：

根据得到的灰度数据，可以建立灰色模型进行预测。

常用的灰色模型有GM(1,1)模型和GM(0,1)模型。

假设选取GM(1,1)模型，根据灰度数据建立差分方程：x(k+1) + a * x(k) = b，其中x(k)为累加数据，a为发展系数，b为灰色作用量。

代入灰度数据可得：160 + a * 100 = b，287.5 + a * 160 = b。

解上述方程组可以得到a ≈ 0.5754，b ≈ 100.0128。

进一步求取预测模型：x(k+1) = (x(0) - b/a) * exp(-a * k) + b/a。

代入x(0) = 355，k = 3，a ≈ 0.5754，b ≈ 100.0128可得：x(4) = (355 - 100.0128 / 0.5754) * exp(-0.5754 * 3) + 100.0128 / 0.5754 ≈ 140.36。

灰色预测模型的研究及其应用

灰色预测模型（Grey System Prediction Model）是指在不能得到完

全的定性分析或定量关系的基础上，根据历史数据观察研究发展趋势的一

种统计学的预测模型。灰色预测模型由灰色系统理论的预测和模糊系统理

论的分析组成，灰色理论是一种动态系统理论，它可以把一般现象用数学

模型很好地表示出来，从而模拟现象并预测它们的未来发展趋势。目前，

灰色系统理论已经广泛地应用于经济学、管理学、决策学、社会学等领域，用以对复杂系统的研究和预测。例如，可以应用灰色预测模型来预测某一

地区的经济发展情况；可以应用灰色预测模型来预测一种货币的发行情况；可以应用灰色预测模型来预测某一社会团体的发展趋势；还可以应用灰色

预测模型来预测某一股票市场的发展趋势等。灰色预测模型的研究和应用

越来越广泛，已经成为现代管理学领域的一种热门研究话题。

灰色模型介绍及应用

灰色理论基本知识

概言

有关名词概念

建模机理

灰色理论模型应用

（1，1）模型的应用——污染物浓度问题

GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题 GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题

本章小结

思考题

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第十章灰色模型介绍及应用

灰色理论基本知识

概言

客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。

灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。信息不完全是“灰”的基本含义。

灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。

目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。

灰色预测模型的优化及其应用

04
灰色预测模型优化的未来研究方向
提高预测精度的方法研究
改进数据预处理
通过改进数据预处理方法，如去噪、填充缺失值等，提高灰色预
测模型的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ测精度。
模型参数优化
通过优化灰色预测模型的参数，如累加生成序列的长度、灰色关联度分析中的阈值等，提高预测精度。
考虑非线性因素
将非线性因素引入灰色预测模型，如神经网络、支持向量机等，以更准确地描述实际系统。
灰色马尔科夫预测模型的优化
灰色马尔科夫预测模型的基本原理
利用马尔科夫链的随机过程理论，对灰色预测模型进行优化。
优化方法一
选择合适的转移矩阵：根据历史数据选择合适的转移矩阵，可以更准确地描述原始数据序列的状态转移。
优化方法二
考虑多种状态转移可能性：在计算转移概率时考虑多种状态转移可能性，可以提高预测精度。
环境科学领域的应用
总结词
在环境科学领域，灰色预测模型被用于预测环境质量指标、污染物排放等。
详细描述
灰色预测模型可以处理有限的数据信息，因此在环境科学领域中具有广泛的应用。例如，可以使用灰色预测模型来预测大气污染物浓度、水质指标等环境质量数据。此外，灰色预测模型还可以用于预测污染物排放趋势、生态保护状况等环境问题。
03
灰色预测模型在各领域的应用
经济学领域的应用

灰色预测模型

1.模型建立

灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的系统。灰色系统的理论实质是将无规律的原始数据进行累加生成数列，再重新建模。由于生成的模型得到的数据通过累加生成的逆运算――累减生成得到还原模型，再有还原模型作为预测模型。

预测模型，是拟合参数模型，通过原始数据累加生成，得到规律性较强的序列，用函数曲线去拟合得到预测值。灰色预测模型建立过程如下：

1) 设原始数据序列()0X 有n 个观察值，()()()()()()(){}n X X X X 0000,...,2,1=，通过累加生成新序列 ()()()()()()(){}n X X X X 1111,...,2,1=，利用新生成的序列()1X 去拟和函数曲线。

2) 利用拟合出来的函数，求出新生序列()1X 的预测值序列(1)X 3) 利用(0)(1)(1)()()(1)X k X k X k =--累减还原：得到灰色预测值序列： ()()(){}00001,2,...,X X X X n m =+ (共n ＋m 个，m 个为未来的预测值)。将序列()0X 分为0Y 和0Z ，其中0Y 反映()0X 的确定性增长趋势，0Z 反映()0X 的平稳周期变化趋势。

利用灰色GM （1，1）模型对()0X 序列的确定增长趋势进行预测 2 模型求解

根据2006全国统计年鉴数据整理得到全国历年年度人口统计表如表1.

根据上述数据，建立含有20个观察值原始数据序列()0X ：

()[]

09625998705105851112704

127627128453129988130756X =

数学建模之灰色预测模型

一、灰色预测模型

简介（P372）

特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。

优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。

缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。

1、GM(1,1)预测模型

GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。 1.1模型的应用 ①销售额预测

②交通事故次数的预测

③某地区火灾发生次数的预测

④灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报。（百度文库）

⑤基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析（下载的文档） ⑥网络舆情危机预警（下载的文档） 1.2步骤

①级比检验与判断

由原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())x x x x n =计算得序列的级比为

(0)(0)(1)(),2,3,

,.()

x k k k n x k λ-==

若序列的级比()k λ∈ 221

(,)n n e e

-++Θ=，则可用(0)x 作令人满意的GM(1,1)建

模。

光滑比为

(0)1

(0)

()

()()

k i x k p k x

i -==

∑

若序列满足

[](1)

1,2,3,,1;()

()0,,3,4,

,;0.5.

p k k n p k p k k n ϕϕ+<=-∈=<

则序列为准光滑序列。

否则，选取常数c 对序列(0)x 做如下平移变换

(0)(0)()(),1,2,

,,y k x k c k n =+=

序列(0)y 的级比

0(0)(1)

(),2,3,

,.()

y y k k k n y k λ-=∈Θ=

灰色模型GM1,N及其应用

GM(1,n)
考虑多个变量的一阶累加，更适用于多因素分析。
与机器学习模型的比较
机器学习模型
侧重于数据的分类和预测，强调模型的泛化能力。
VS
GM(1,n)
侧重于数据序列的预测，强调数据间的内在关系和发展趋势。
05
灰色模型GM(1,n)的改进与发展
模型参数优化
参数选择
在灰色模型GM(1,n)中，参数的选择对模型的预测精度和稳定性具有重要影响。优化参数可以提高模型的预测精度和稳定性。
预测经济增长
建立灰色预测模型GM(1,n)，通过分析历史数据，预测未来经济增长趋势。
选取关键经济指标，如GDP、工业增加值等，作为模型输入，以准确反映经济运行状况。
对比实际数据与预测数据，评估模型精度，不断调整参数以提高预测准确性。
预测股票价格
利用灰色模型GM(1,n)分析股票市场历史数据，预测未来股票价格走势。
限制
对于一些具有明显非线性和随机性的数据，灰色模型GM(1,n)可能预测精度有限，需要与其他模型结合使用。
02
灰色模型GM(1,n)的建立
数据准备与预处理
数据清洗
01
去除异常值、缺失值和重复值，确保数据质量。
数据转换
02
将原始数据进行适当的转换，如对数转换或标准化处理，以改
善模型性能。

例题灰色预测

某开发区2007年四个季度的用电量如下表：

试用灰色预测模型进行预测，并进行模型精度的后验差检验与预测结果的相对误差检验。解：第一步，计算原始数列)0(x 的累加生成值。

(0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),(3),(4)x x x x x ⎡⎤=⎣⎦

=（19.67,18.22,18.56,19.22）

则)0(x 的1—AGO 为

(1)(0)(1)(1)19.67x x ==

(1)(1)(0)(2)(1)(2)37.89x x x =+=

(1)(1)(0)(3)(2)(3)56.45x x x =+=

(1)(1)(0)(4)(3)(4)75.67x x x =+= （3分）

第二步，计算数据矩阵B 和数据向量Yn 。采用GM （1，1）模型所对应的数据矩阵为

(1)(1)

(1)(1)(1)(1)1(1)(2)1228.7811(2)(3)147.171266.0611(3)(4)12x x B x x x x ⎛⎫⎡⎤-+ ⎪⎣⎦-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤=-+=-⎣

⎦ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎡⎤-+ ⎪⎣⎦⎝⎭

18.2218.5619.22Yn ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭ （3分）

第三步，计算GM （1，1）微分方程的参数a

ˆ和u ˆ。将B 、Yn 代入式可得

0.02686ˆ17.39515A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

（3分）

第四步，建立灰色预测模型

至此，可求解白化微分方程，首先得到累加数列)1(x 的灰色预测模型为

a u e a u x k x k a ˆˆˆˆ)1()1(ˆˆ)0()1(+