线性代数(同济大学第五版)二次型讲义、例题

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线性代数课件(完整版)同济大学

a11 a12 a13
a21 a22 a23
引进记号
a31 a32 a33
原则：横行竖列
主对角线 a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
副对角线 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
p1 p2 L pn
4. 当 p1 p2 L是p偶n 排列时，对应的项取正号；当 p1 p2 L是奇pn排列时，对应的项取负号.
思考题： 1 1成立吗？答：符号 1可以有两种理解： ✓若理解成绝对值，则 1 ；1 ✓若理解成一阶行列式，则 1 . 1
注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 1 1 .
线性代数（第五版）
在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等.
我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形. 在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具.
例：写出四阶行列式中含有因子a11a的23 项.
解：a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 .
例：计算行列式
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0
0 0 0 a44
0 0 0 a14
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
a41 0 0 0
a11 a12 a13 a14
(a a a a )x a b b a

线性代数同济第五版课后习题答案详解

1
2
第一章行列式
(3) 逆序数为 5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
(4) 逆序数为 3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)
逆序数为
n(n−1) 2
:
3 2...........................................................................1 个 5 2, 5 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个 7 2, 7 4, 7 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 个 .................................................................................. (2n − 1) 2, (2n − 1) 4, (2n − 1) 6, . . . , (2n − 1) (2n − 2). . . . . . . . . . . . . .(n − 1) 个
(2)
abc
b c a = acb + bac + cba − bbb − aaa − ccc = 3abc − a3 − b3 − c3.

同济第五版线性代数课后题解析第二章

第二章矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A TB .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T.4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA . 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148,但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗? 解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0; 解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ; 解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k.解⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k.解首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA k k kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫. 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以 AB =(AB)T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解 ⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθc o s s in s in c o s A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程: (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ;解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ;解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解11110210132141--⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012.13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1. 证明由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-. 证明由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得|A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2,故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆.由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-. 16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A)-1-5A*|. 解因为*||11A A A =-, 所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16.17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以(A*)-1=|A|-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*.18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明:(1)若|A|=0, 则|A*|=0;(2)|A*|=|A|n -1.证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到 |A||A*|=|A|n .若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立.因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B . 解由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011321330. 20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B . 解由AB +E =A 2+B 得(A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B .解由A*BA =2BA -8E 得(A*-2E)BA =-8E ,B =-8(A*-2E)-1A -1=-8[A(A*-2E)]-1=-8(AA*-2A)-1=-8(|A|E -2A)-1=-8(-2E -2A)-1=4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-= =2diag(1, -2, 1). 22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2.由ABA -1=BA -1+3E 得AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114. 25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆. (A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解 41001200210100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A , 故 |||||||| D C B A D C B A ≠.28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A ,故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A , 1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2500380000120025; 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--853*******B . 于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A . (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4121031200210001. 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A B C O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=411212458103161210021210001.。

线性代数(同济大学第五版)行列式讲义例题

线性代数（同济大学第五版）行列式讲义例题线性代数（同济大学第五版）行列式讲义、例题第一章行列式行列式就是研究线性方程组的一个有力工具,本章得出了行列式的定义、性质及其计算方法.§1全排列及其逆序数一、排序及其逆序数定义对于n个不同的元素,可以给它们规定一个次序,并称这规定的次序为标准次序.例如1,2,?,n这n个自然数,一般规定由小到大的次序为标准次序.定义1由n个自然数1,2,?,n共同组成的一个有序数组i1,i2,?,in,称作一个n元全排序,缩写为排序.例如由1,2,3这三个数组成的123,132,213,231,312,321都是3元（全）排列.定义2在一个排序里,如果某一个很大的数码排在在一个较小的数码前面,就说道这两个数码形成一个逆序（反序）,在一个排序里发生的逆序总数叫作这个排序的逆序数,用?(i1,i2,?,in)则表示排序i1,i2,?,in的逆序数.根据定义2,可按如下方法计算排列的逆序数：设于一个n级排序i1i2?in中,比it(t?1,2,?,n)小的且位列it前第1页面的数共有ti个,则it的逆序的个数为ti,而该排列中所有数的逆序的个数之和就是这个排序的逆序数．即为n?(i1i2?in)?t1?t2tn??ti.i?1基准1排序排序45321的逆序数.解因为4排在首位,故其逆序数为0；比5大且位列5前面的数有0个,故其OMO序数为0；比3大且位列3前面的数有2个,故其OMO序数为2；比2大且位列2前面的数有3个,故其OMO序数为3；比1大且位列1前面的数有4个,故其OMO序数为4．可知所求排序的逆序数为(45321)002349．定义3逆序数为偶数的排序叫作偶排序,逆序数为奇数的排序叫作奇排序.(i1,i2,,in)=i2前面大于i2的元素个数+i3前面大于i3的元素的个数in前面大于in的元素的个数,比如:(2341)0033,逆序数为3,?(2341)为奇排列.?(4321)?1?2?3?6,逆序数为6,?(4321)为偶排列.定义4把一个排序中某两个数码i和j交换边线,而其余数码不颤抖,就第2页获得一个崭新排序.对一个排序所颁布的这样一个转换叫作一个重新排列.例如排列2341经过元素2,4对换变成排列4321,可记为2341??(2?,4)?4321定理1对换改变排列的奇偶性.证明先证相连重新排列设排列为a1?alabb1?bm对换a与b.a1?albab1?bm当a?b时,经对换后a的逆序数增加1,b的逆序数不变;当a?b时,经对换后a的逆序数不变,b的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性.再证非相连重新排列,现设排序为a1?alab1?bmbc1?cn现来重新排列a与bam次相邻对换1?alab1?bmbc1?cna1?alabb1?bmc1?cnam?1次相邻对换1?alabb1?bmbc1?cna1?albb1?bmac1?cna2m1次相连重新排列1?alab1?bmbc1?cna1?albb1?bmac1?cn因此对换两个元素,排列改变奇偶性.也就是说,只要经过一次重新排列,奇排序变为偶排序,而也时排序变为奇排第3页列.推断奇排序变为标准排序的重新排列次数为奇数,偶排序变为标准排序的重新排列次数为偶数.二、排列及其逆序数性质与定理性质1设i1i2?in和j1j2?jn就是n个数码的任一两个排序,那么总可以通过一系列重新排列由i1i2?in得出结论j1j2?jn.引理1对换的可逆性――即对同一排列连续施行两次同一对换排列还原.所以任意n 元排列i1i2?in可经过一系列对换变为自然排列12?n.而自然排列12?n可经一系列对换变为任意一个n元排列j1j2?jn.事实上,由定理1所述：任一一个n元排序j1j2?jn可以经一系列重新排列变为自然排列12?n,由引理1对换的可逆性,故自然排列可经（同样的）一系列对换变为任一排列.定理2n?2时,n个数码的排序中,奇排序与也时排序的个数成正比,均为n!2个.证明：设n个数的排序中,奇排序存有p个,偶排序存有q个,则p?q?n!,对p个雷排序,颁布同一重新排列,则由定理1获得p个偶排序.（而且就是p个不同的偶排列）因为总共有q个偶排列,所以p?q.同理q?p.第4页所以p?q?n！2.§2行列式的定义开场白三阶行列式的形成规律为：a11a12a13a21a22a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32a31a32a33?a13a22a31?a12a21a33? a11a23a32a11a12a13其中：符号aa22a22123是由3个元素aij构成的三行、三列方表,a31a32a33纵排叫行,横排叫列；在上述形式下元素aij的第一个负号叫行负号,第二个负号叫列负号.从形式来看,三阶行列式就是上述特定符号则表示的一个数,这个数由一些项的和而得：1）项的构成：由取自不同的行又于不同的列上的元素的乘积；2）项数：三阶行列式就是3！=6项的代数和；3）项的符号：每项的一般形式可以写成a1j1a2j2a3j3时,即行标为自第5页然排序时,该项的符号为(?1)?(j1j2j3),即为由列标排序j1j2j3的奇偶性然定.一、n阶行列式的定义定义5n阶行列式定义为a11a12?a1na?a21a22?a2nj1j2?jn)??(i1i2?in)(?1)?(ai1j1ai2j2?ainjni1i2?inaj 1j2?jnn1an2?anna11a12?a1n用符号a21a22?a2n2表示由n个数aij所组成的n阶行列an1an2?ann式,直和为a或d,这就是一个数,其中i1i2?in和j1j2?jn都是n级排列,?表示对所有的n级排列于议和.由定义可以看出,n阶行列式的值等于所有取自不同的行、不同的列上的n个元素的乘积ai1j1ai2j2?ainjn的代数和,共有n!项,每一项前面的符号由排序i1i2?in和j1j2?jn的逆序数?(i1i2?in)+?(j1j2?jn)同意.第6页另外行列式的还可以定义为a11a12?a1na?a21a22?a2n(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjnan1an2?ann或a11a12?a1na?a21a22?a2n(?1)?(i1i2?in)ai11ai22?ainnan1an2?ann以上两个定义式分别以行列的排序为标准序列,其每一项前面的符号存有j1j2?jn和i1i2?in的逆序数同意.例2在四阶行列式中,a21a32a14a43应带什么符号？求解1）按行列式定义5排序,因为a21a32a14a43?a14a21a32a43,而4123的逆序数为?(4123)?0?1?1?1?3,所以a21a32a14a43的前面应当拎负号.2）按行列式定义5计算,因为a21a32a14a43行指标排序的逆序数为?(2314)?0?0?2?0?2,第7页列指标排列的逆序数为?(1243)?0?0?0?1?1.所以a21a32a14a43的前面应带负号.a11a1200基准3排序行列式a210a2300a.3200000a44分析按行列式定义,每一项都就是源自相同行相同列于的4个元素的乘积,共计4!项.但此行列式中存有很多零元素,因此有的项为零,故只需找到C99mg零元素的项,何不设立各个字母则表示的都不为零元素.于是在第一行中只有两个非零元素a11和a12.当第一行挑a11时,第二行就可以挑a23（a21与a11同列,故无法挑）,第三行就可以挑a32,第四行就可以挑a44,即a11a23a32a44就是其中的一项.另外,当第一行挑a12时,第二行可以挑a21和a23,但当第二行取a23,第三行只能取零元素,故第二行只可以取a21,第三行取a33,第四Charlieua44,即为另一非零项为a12a21a33a44.解d?(?1)?(1324)a?(2134)11a23a32a44?(?1)a12a21a33a44??a11a23a32a44?a12a21a33a44第8页例4证明n行列式a110?0a11a12?a1n(1)a21a22?00a22?a2na11a22?ann,an1an2?ann00?anna1n(2)a2,n?1an(n?1)2n(?1)2a1na2,n?1?an1an1?an,n?1anna110?0a11a12?a1n证(1)记da22?0a22?a2n1?a21d02?an1an2?ann00?ann由于当j?i时,aij?0,故d1中可能不为0的元素aipi,其下标应有pi?i,即p1?1,p2?2,?,pn?n.在所有排列p1p2?pn中,能满足上述关系的排列只有一个自然排列12?n,所以d?1中可能将不为0的项只有一项(?1)a11a22?ann,此项的符号(?1)??(?1)0?1,所以第9页d1?a11a22?ann.由于当j?i时,aij?0,故d2中可能不为0的元素aipi,其下标应有pi?i,即p1?1,p2?2,?,pn?n.在所有排序p1p2?pn中,能够满足用户上述关系的排序只有一个自然排在列12?n,所以d?2中可能不为0的项只有一项(?1)a11a22?ann,此项的符号(?1)??(?1)0?1,所以d2?a11a22?ann得证.a1n(2)根据行列式定义a2,n?1a2nt(?1)a1na2,n?1?an1an1?an,n?1ann其中t为排序n(n?1)?21的逆序数,故t?0?1?2n?n(n?1)2证毕.二、子式、余子式与代数余子式第10页。

线性代数(同济大学第五版)线性方程组讲义、例题

第四章线性方程组本章以矩阵的理论作为工具,研究线性方程组有解的条件及其解法.§1 线性方程组的几种表示一、一般形式n m ⨯的齐次线性方程组的一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* （1）二、向量形式n m ⨯的齐次线性方程组的向量形式为βααα=+++n n x x x 2211,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mi i i i a a a 21α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m b b b 21β.三、矩阵形式n m ⨯的齐次线性方程组的矩阵形式为β=Ax其中n m ⨯矩阵][ij a A =是方程组的系数矩阵,T n x x x x ],,,[21 =是n 维未知数向量,特别地,当0=β时,0=Ax 称为齐次线性方程组,而当0≠β时,β=Ax 称为非齐次线性方程组,并称0=Ax 为β=Ax 的导出组.§2 齐次线性方程组的解任何一个齐次线性方程组一定有解,因为当021====n x x x 就是它的一个解,通常称为零解或平凡解.一、齐次线性方程组有非零解的充分（或必要）条件(1) 0=Ax 有非零解的充分必要条件是A 的列向量组相性相关 (2) 若方程个数小于未知向量个数,则0=Ax 必有非零解.(3) 当n m =,即A 为方阵时,则0=Ax 有非零解的充分必有条件是.0=A二、齐次线性方程组解的性质性质 1 如果 1ξ=x ,2ξ=x 是方程组0=Ax 的解,那么21ξξ+=x 也是方程组0=Ax 的解.性质 2 如果是1ξ=x 方程组0=Ax 的解,k 为实数,那么也1ξk x =是方程组0=Ax 的解.推论：如果m ξξξ,,,21 都是方程组0=Ax 的解,m k k k ,,,21 是常数,那么m ξξξ,,,21 的线性组合m m k k k ξξξ+++ 2211也是方程组0=Ax 的解.性质3 n 维向量ξ是n 齐次线性方程组0=Ax 的解,ξ一定与A 的每一个行向量均正交.由于0=ξ必是0=Ax 解向量,所以有性质1、2可知0=Ax 全体解向量的集合对于通常意义上的向量加法和数乘运算可构成向量空间,称为解空间.三、齐次线性方程组解的结构设s ξξξ,,,21 是0=Ax 的一组线性无关解向量,如果0=Ax 的任一解向量均可由s ξξξ,,,21 线性表示出,则称s ξξξ,,,21 为0=Ax 的解空间的一个基.亦即是0=Ax 的一个基础解系.对于0=Ax ,若n r A R <=)(,则下面将证明0=Ax 的基础解系,并给出了求基础解系的方法:不妨设A 的前r 个列向量线性无关,则A 经若干初等变换可得行最简形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--000000001001,1,111r n r r r n b b b b B0=Bx 与0=Ax 同解,而0=Bx ,即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=---=-+-+-+nr n r r r n n r n r n r n r x b x b x x b x b x x b x b x ,11,21212,11111其中n r r x x x ,,,21 ++称为自由未知数,显然任给自由未知数的一组值,由上即可唯一确定r x x x ,,,21 的值,于是就得0=Bx 的一个解,也就是0=Ax 的一个解,现在分别取.100,,010,00121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ n r r x x x （n r r x x x ,,,21 ++的r n -组取值形式线性无关的向量组）可得0=Ax 的r n -个线性无关的解向量.,0011111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= r b b ξ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0012122 r b b ξ,, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-100212 r r n b b ξ下面证明0=Ax 的任一解向量()T n r r ,,1,21,,,,λλλλλξ +=均可由r n -ξξξ,,,21 线性表示.作向量r n n r r -+++++=ξλξλξλη 2211则由于r n -ξξξ,,,21 是0=Ax 的解,所以η也是0=Ax 的解,而η的后面r n -个分量与ξ的刚好对应相等,于是知η与ξ的前r 个分量也对应相等,所以ξη=,即r n n r r -+++++=ξλξλξλξ,2,211所以,r n -ξξξ,,,21 是0=Ax 的一个基础解系,亦即是解空间的一个基,从而知解空间的维数是r n -,此时,0=Ax 的解向量可表示为r n n k k k x -+++=ξξξ 2211,其中r n k k k -,,,21 为任意常数,此式称为=Ax 的通解,而解空间可表示为|{2211r n n k k k x -+++=ξξξ },,,21R k k k r n ∈- .例1 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++,0,0,0543321521x x x x x x x x x 的基础解系.解：设系数矩阵为A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=010001010010011~111000*********A25125545322521,0c x c x x x x x x x x x x x ==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==--=∴令∴基础解系为：。

线性代数同济大学第五版5-5

2
2
2
解设 f = xTAx, 则
1 1 A 2 3 1 3 4 2 2 4 1 0 3 2 0 4
R( A) 4.
上页下页
定义如果一个二次型只含变量的平方项，
则称这个二次型为标准形(或法式) .
如果标准形的系数只在 1 , -1 , 0 三个数中
取值，则称之为规范形. 对于二次型，我们讨论的主要问题是，寻求可逆的线性变换 x = Cy，把二次型化为标准形.
二次型的秩的意义：一个二次型
的标准形中所含的项数即为该二次型的秩.
上页下页
三、合同矩阵
1. 定义定义 9 设 A 和 B 是 n 阶方阵，若有可逆
矩阵 C，使 B = CTAC，则称矩阵 A 与 B 合同.
显然，二次型的秩为 R( A) 2.
上页
下页
例 23 已知二次型
f ( x1,x2 ,x3 ,x4 ) x 3x x 4 x
2 1 2 2 2 3 2 4
2 x1 x2 4 x1 x3 6 x1 x4 8 x2 x3 4 x2 x4,
写出二次型的矩阵 A ，并求出二次型的秩.
把方程化为标准形
2 ny2 1. mx
上页下页
二、二次型的概念
定义 8 称 n 个变量的二次齐次式
f(x1 , x2 , · , xn ) = a11x12 + a22x22 + · + annxn2 + · · · · 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + · + 2an-1,nxn-1xn · · 为二次型. 取 aij = aji , 则 2aijxixj = aijxixj + ajixjxi , 于是 (2) 式可写成

同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型

p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3

线性代数(同济大学第五版)向量讲义、例题

第三章向量§1 向量的概念及运算一、n 维向量的概念定义1：n 个数n a a a ,,,21 组成的有序数组称为n 维向量，其中),2,1(n i a i =称为n 维向量的第i 个分量。

分量是实数的向量称为n 维实向量，分量是复数的向量称为n 维复向量。

n 维向量可写成一行，称为行向量；即),,,(21n T a a a =α.也可写成一列，称为列向量，即⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α.用小写的黑体希腊字母 ,,,γβα来代表向量。

每一个分量都是0的向量称为n 维零向量。

记为O ，即)0,,0,0( =O向量),,,(21n a a a --- 称为向量),,,(21n a a a ---= α的负向量，记为-α。

在n 维向量中，两个向量),,,(21n a a a =α，),,,(21n b b b =β相等，是指它们的各个分量对应相等，即),2,1(n i b a i i ==这时，记为βα=.如干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.二、n 维向量的线性运算定义2：设向量组),,,(21n a a a =α,),,,(21n b b b =β，则βα+=),,,(2211n n b a b a b a +++ 称为向量βα,的和，记为βαγ+=.加法满足下列运算规律： 1）交换律：αββα+=+2）结合律：γβαγβα++=++)()(3）存在零向量O ，对一切向量α，使ααα=+=+O O 4）对第一向量α，存在-α，使O =-+)(αα 向量减法：)(βαβα-+=- 定义3：向量),,,(21n a a a =α与数k 的数量乘积为向量),,,(21n k k k ααα ，记为αk .数量乘法满足的运算规律。

1）结合律：αα)()(kl l k = 2）分配律：βαβαk k k +=+)( 3）分配律：αααl k l k +=+)( 4）对任何向量α，恒有αα=⋅1§2向量组的线性关系一、线性表示出定义1：若m ααα ,,21是m 个n 维向量，m k k k ,,,21 是一组数，则向量αααm k k k +++ 2211称为这m 个向量的线性组合.对于n 维向量m ααα ,,21及β，若存在一组数m k k k ,,,21 使得m m k k k αααβ+++= 2211那么β称为m ααα ,,21的线性组合，或称β可由m ααα ,,21线性表示.定理1：如果有两个向量组Ⅰ: m ααα ,,21、Ⅱ: n βββ ,,21,向量组Ⅰ中的每个向量均可由向量组Ⅱ线性表示，向量组Ⅱ中的每个向量也均可由向量组Ⅰ线性表示，则称两个向量组等价. 二、线性相关与线性无关定义2：设m ααα ,,21是m 个n 维向量，如果存在不全为零的数m k k k ,,,21 使得O k k k m m =+++ααα 2211那么m ααα ,,21称为线性相关，否则称为线性无关.所谓线性无关，即只有021====m k k k 时，才有O k k k m m =+++ααα 2211.三、向量组线性关系的判定1).仅含一个零向量的向量总是线性相关的，与此相反，任意一个非零向量总是线性无关的.任何含有零向量的向量组线性相关.2).向量组m ααα ,,21线性相关的充分必要条件是它构成的矩阵),,(21m A ααα =的秩小于向量个数m ；向量组线性无关的充分必要条件是m A R =)((n 个n 维向量线性无关的充分必要条件是以n 个向量作为行的n 阶行列式0||≠A ).例研究下列向量组是线性相关还是线性无关(1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211α,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5202α,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2013α(2) (),1,1,1,21T--=β(),0,2,3,02T -=β()T 1,3,4,23--=β分析给出一个n 维向量组m ααα ,,21，就有一个相应的矩阵),,(21m A ααα =，首先求出)(A R ，若m A R =)(，则m ααα ,,21线性无关，若m A R <)(，则m ααα ,,21线性相关.解(1) 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211α,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5202α,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2013α得到矩阵 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==253022101),,(321αααA 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000220101~253022101A 所以32)(<=A R故向量组321,,ααα线性相关. (2) 因为(),1,1,1,21T--=β(),0,2,3,02T -=β()T 1,3,4,23--=β得到矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----==101321431202),,(321βββB 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=000000110202~101321431202B 所以32)(<=B R故向量组321,,βββ线性相关. 推论1：n 个n 维向量),,,(112111n a a a =α；),,,(222212n a a a =α；……),,,(21nn n n n a a a =α线性相关⇔行列式n m ij a A ⨯=)det(||=0.证：必要性：设m ααα ,,21线性相关，当n=1时，结论显然成立。

线性代数(同济大学第五版)第五章

十、化二次型为标准形
定理1: 任给可逆矩阵C, 令B=CTAC(A与B为合同矩阵), 如果A为对称矩阵, 则B也为对称矩阵. 说明1: 若A与B是合同矩阵，则： 1.正(负，零）特征值的个数相同，2.具有相同的秩. 说明2: 二次型 f 经可逆变换 x=Cy 后, 其秩不变, 但 f 的矩阵由A变为B=CTAC; 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 将二次型表示成矩阵形式 f = xTAx, 求出A; 2. 求出A的所有特征值1, 2, ·, n ; · · 3. 求出对应特征值i 的正交单位化的特征向量组, 从而有正交规范向量组 1, 2, ·, n ; · · 4. 记P=(1, 2, ·, n ), 作正交变换x=Py, 则得 f 的 · · 标准形: f = 1y12+2y22+·+nyn2 . · ·
十二、正定二次型
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)>0, 则称 f 为正定二次型, 并称对称矩阵A为正定矩阵; 如果对任意的 x 0, 都有 f(x)<0, 则称 f 为负定二次型, 并称对称矩阵A为负定矩阵. 概念：正惯性指数，负惯性指数推论: 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为正. 定理3(霍尔维茨定理): (1)对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的各阶主子式为正, 即
七、相似矩阵
P-1AP = B 定理1: 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项式相同, 从而A与B的特征值亦相同. 推论: 若n阶方阵A与对角阵=diag(1, 2,·, n ) · · 相似, 则1, 2,·, n 既是A的n个特征值. · · 相似矩阵的性质: 若A与B相似, 则Am与Bm相似(m为正整数). (A)与 (B) 相似当矩阵A与对角阵=diag(1, 2,·, n )相似时, · · 则 (A)= P()P-1. 而

同济版线性代数课件--§7正定二次型

f Ce s k s 0 .
显然 Ce s , 这与 f 为正定相矛盾 .
故推论
k i 0 i 1 , , n .
对称矩阵 A 为正定的充要条件是： A 的
特征值全为正．
定理11(霍尔维茨定理) 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是： A
的各阶主子式为正，即
a 11 0 ,
a 11 a 21
a 12 a 22
a 11

a1n a nn 0;
0,
,
a n1
对称矩阵 A 为负定的充要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即
a 11 a1r 0, a rr
1
r
ar1
r 1 , 2 , , n .
即知 A 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3
判别二次型
f 5 x 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz
2 2
的正定性. 解
5 A 2 2 2 6 0 2 0 , 4
f 的矩阵为
a 11 5 0 ,
A 80 0 ,
f x f Cy
k i yi .
2 i 1
n
充分性设 k i 0 i 1, , n .
任给 x , 则 y C
n 2 i 1
1
x ,
故 f x k i y i 0.
即 f 为正定的 .
必要性
假设有 k s 0 , 则当 y e s ( 单位坐标向量 ) 时 ,
例1
判别二次型
2 2 2
f x1 , x 2 , x 3 5 x1 x 2 5 x 3 4 x1 x 2 8 x1 x 3 4 x 2 x 3

线性代数二次型讲义

证
证设实对称方阵 A 的特征值为
1 2 n
（重根计算在内），则由定理3 知，
对于A的某个k重特征值 i1 i2
i
，
k
恰有k个线性无关的实特征向量，将它们正交化，
所得的k个正交向量仍是对应于的特征向量.
则
f = X TAX = (CY )TA(CY) = Y T(C TAC ) Y .
而
(C TAC )T = C TAT(C T )T = C TAC ,
所以 f = Y T(C TAC ) Y 仍是关于新变量 Y 的二次型, 且二次型的矩阵为对称矩阵 B=C TAC .
f = X TAX
满秩变换 X = CY F = Y TBY B = C TAC
AX1 1X1, AX 2 2 X 2.
因为 A 的对称性，得
2
X
T 1
AX
2
( AX 1)T X 2
从而，因此，
(1 X1)T X 2
1
X
T 1
X
2,
(1
2
)
X
T 1
X2
0,
X
T 1
X2
0,即X1,
X
正
2
交.
定理 3
若是 n 阶实对称方阵 A 的 k 重特征值，则 A 对应于的线性
ax2+2bxy+cy2=f
(1)
方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于研究这个二次曲线的几何性质, 通过基变换(坐标变换), 把方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程
a'x'2+c'y'2=f

同济大学线性代数第五章

上式左端的第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，当 1 , 2 ,, m 互不相等时，该行列式不等于0，从而该矩阵可逆. 于是有
特征向量的性质的证明
( x1 p1 , x2 p2 ,, xm pm ) (0,0,,0)
xi pi 0, ( i 1,2,, m ) 又 pi 0, 因此必有 xi 0 (i 1,2,, m ). 所以 p1 , p2 ,, pm向量组线性无关. 证毕
4、施密特（Schmidt）正交化法（P114，自学）设 1 , 2 , , r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单位向量 1 , 2 , , r ，使 1 , 2 , , r 与 1 , 2 , , r 等价，此问题称为把 1 , 2 , , r 这组基标准正交化. 1）正交化令 1 1
则 1 , 2 , , r 两两正交，且与 1 , 2 , , r 等价. 2）标准化令 1
1
1
1 , 2
1
2
2 , , r
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组. 如果 1 , 2 , , r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 , , r 就是
1
２、证ｎ阶方阵Ａ的满足 A2 A，则Ａ的特征值为０或１．（幂等阵Am＝A）３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则 2 E 3 A2 （） 2解：设x是A的一个特征向量，则A2x－Ax＝0 3解：思路令B＝2E＋3A2, 求出B的全部特征值即可。书上例题9自己看看。P122
n
即 12 n A .
（2）略
定义方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i .

考研同济五版线性代数习题解读

考研同济五版《线性代数》习题解读（四）首先说一下，第四章的精华就在于勾勒出了向量组、矩阵和线性方程组之间的关系，它们共同形成一个线性代数的知识网络，习题四中的证明题基本上都是对思维的锻炼，做好这些证明题有助于加深对线代知识点相互关系的理解，要重点对待。

1、涉及一个重要的知识转换，即一个向量能否被另一个向量组线性表出的问题实际上就是一个线性方程组是否有解的问题，同时，一个向量组是否能被另一个向量组线性表出的问题实际上就是两个向量组的秩的比较问题，所以此题即转化为考察两个向量组的秩的大小。

因为我们知道一个重要的事实：一个向量组不可能由比它秩更小的向量组来线性表出，例如，三维空间里的向量(秩是3)永远不可能由平面上的向量(秩是2)来表出。

2、考察向量组的等价，搞清楚何为向量组等价，直接验证即可，基本题。

另外可以发散一下思维，向量组等价和矩阵等价有何不同?哪个命题的结论更强?实际上向量组等价则对应矩阵一定等价，反之未必。

3、与线性表出有关的命题，一般用反证法，这类题目可以有效的锻炼解题思路，如果不会要重点体会答案给出的方法和思路。

4、5题涉及线性相关和线性无关的判断，实际上还是转化为方程组有解无解的问题，基本题。

6题考察对两个向量线性相关的理解，实际上就是对应成比例，但实际上很多类似的题目不仅仅局限于两个向量，此题不是太有代表性，了解一下即可。

7、8涉及到一些相关和无关的命题判断，重点在于理解题干的意思，如8(1)的错误在于放大了线性相关的结论，因为线性相关只需要至少有一个向量可由其余向量表示，而不一定能确定到底是哪个向量能用其余向量表示，类似的去理解清楚其余几个说法要表达的意思，这是第一要务。

至于反例倒在其次，可以通过参考书的答案看看，了解下有这样的反例即可。

9、10题是证明线性相关线性无关的经典题，可先假设其线性组合为零，然后推证系数的情况，若系数可不全为零则线性相关，若系数必须全为零则线性无关，重点题型。

线性代数(同济大学第五版)矩阵讲义、例题

第二章矩阵矩阵及其运算是线性代数的核心,是后续各章的基础,本章主要讨论矩阵的概念、矩阵运算、初等矩阵、逆矩阵与伴随矩阵以及矩阵方程.§1 矩阵的概念定义1 由n m ⨯个数),,2,1;,2,1(n j m i a ij ==排成的m 行n 列的数表：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211称为m 行n 列矩阵,其中ij a 称为矩阵A 的第i 行第j 列元素.矩阵可用大写字母 ,,B A 来表示,简记为n m A ⨯或n m ij a A ⨯=)(. 当n m =时, ()n a a a A 11211 =,则称A 称为m 阶方阵或m 阶矩阵；当1=m 时, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12111m a a a A ，则称A 称为行矩阵当1=n 时,A 称为列矩阵。

定义2 设n m A ⨯中每个元素都是零的矩阵称为零矩阵,记为：n m O ⨯ 或O . 定义3 矩阵n m ij a ⨯-)(称为矩阵n m ij a A ⨯=)(的负矩阵,记作A -. 定义4 如果n m ij a A ⨯=)(与m xn ij b B )(=,有ij ij b a =),,2,1;,2,1(n j m i ==,那么称这两矩阵相等,记为B A =.几个特殊矩阵(1) 设方阵n n ij a A ⨯=)(中, ),,2,1,,(0n j i j i a ij =≠=,则称它为对角矩阵,记为：),,,(2211nn a a a diag ；特别地,当12211====nn a a a 时,即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001 A 时,称A 为n 阶单位矩阵,记作n E 或E .（2）设方阵nn ij a A ⨯=)(中,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a a a A 022211211时,当j i >时0=ij a ,称为上三角阵.（4）设方阵nn ij a A ⨯=)(中,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a a a A 21222111时,当j i <时0=ij a ,称为下三角阵.§2 矩阵的运算一、矩阵的加法定义 5 设两个同型矩阵n m ij n m ij b B a A ⨯⨯==)(,)(,可以相加,其和是同型矩阵n m ij c C ⨯=)(,其元素是B A ,对应元素之和,称为矩阵B A ,之和,记为B AC +=.即 n m ij ij n m ij b a c ⨯⨯+=)()(由于矩阵的加法归结为两个数表对应元素相加,因而与数的加法有相同运算性质；;A O A =+ A B B A +=+ .)()(C B A C B A ++=++例1 已知.212111320112B A B A +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，求，解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++--+=+5322012312201111)1(2B A . 二、数与矩阵的乘法定义6：数k 与矩阵n m ij a A ⨯=)(相乘,即以数k 乘A 的每个元素,即n m j i ka kA ⨯=)(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka 212222111211称为矩阵()nm ij a A ⨯=与数k 的数量乘积,记为kA .由此可知,若矩阵A 的所有元素有公因数,则公因数可提到矩阵A 外作为系数.矩阵=-⨯nm ij a )(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为矩阵A 的负矩阵,记为A -显然有O A A =-+)( 数量乘积满足以下规律：A kl lA k )()(=;OA =0;AA =1;lAkA A l k +=+)(;kB kA B A k +=+)(三、矩阵的乘法定义7设矩阵s m ik a A ⨯=)(与矩阵n s kj b B ⨯=)(可以相乘,其积AB 是n m ⨯矩阵n m ij c C ⨯=)(,其元素ij c 是矩阵A 的第i 行元素与矩阵B 的第j 列元素对应乘积之和,即AB C =,其中∑==+++=SK kj ik sj is j i j i ij b a b a b a b a c 12211 ,),,2,1;,2,1(n j m i ==.单位矩阵E 与数k 相乘所得矩阵称为数量矩阵,简称数量阵.例2 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=213012A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=051231B ,则AB C =. 解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==81570051231213012AB C如果n m ij a A ⨯=)(是一线性方程组的系数矩阵,而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b B 21,分别是未知量和常数项所成的1⨯n 和1⨯m 矩阵,那么线性方程组可以写成矩阵形式,B AX =.矩阵乘法满足运算规律（1）矩阵的乘法满足结合律,即)()(BC A C AB =（2）矩阵乘法和加法适合分配律,即BC AC C B A +=+)(,CB CA B A C +=+)(（3）矩阵的乘法不适合交换律,即：一般AB ≠BA例3 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1111B ,求.AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000011111111AB .而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=222211111111BA （4）数乘矩阵与所有的n n ⨯矩阵相乘是可交换的.)()(kE A A kE kA ==对于矩阵的乘法,请特别注意：(1) 乘积AB 只有当左矩阵A 的列数等于右矩阵的行数时才有意义.同理,仅当A 为方阵时,2A 才有意义.(2) 矩阵乘法一般不满足交换律.实际上,AB 有意义时,BA 未必有意义,即使AB 与BA 都有意义,二者也未必相等.当BA AB =时,称B A ,相乘是可交换的.特别地,当E AB =时,E BA =也成立.(3)矩阵乘法与数的乘法不同,有O AB =不能得出B A ,至少有一个为O 的结论,由此又得AY AX =及O A ≠不能得出Y X =的结论,这又使得在解矩阵方程时不能像解通常代数方程那样约去非零的因子.四、方阵的幂(1)设A 为n 阶方阵,定义A 的幂为,1A A =,,2 AA A = .1A A A k k -=对于正整数l k ,成立kl l K l k l k A A A A A ==+)(;对于0≠A 时,定义,0E A =,)(1k kA A --=则这两个运算公式可推广于任何整数l k ,.(2) 对任何正整数k ,求方阵的幂kA ,往往需要一定的技巧,常用的几种方法：① 用乘法算出,,32A A 以此观察或通过递推得出kA 的结构,写出一般表达式.必要时用数学归纳法证明.例4 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ,(1)求);2(E A A -(2)求).2(21≥--n A A n n解 (1) =-)2(E A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101000101101020101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000000(2) =--12n nAA =--)2(1E A A n O E A A An =--)2(2例5 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010101001A ,证明E A A A n n -+=-22)3(≥n ,并由此计算100A.证明利用数学归纳法,当3=n 时,由于,1010110010101010010101010012⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A,0111020010101010011011110013⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A可直接验证E A A A -+=23成立. 设k n =时,E A AA k k-+=-22成立,则对于1+=k n 时：A E A A A A A k k k )(221-+==-+AA A k -+=-31A E A A A k --++=-)(21E A A k -+=-21即对于1+=k n 等式也成立,故对于一切3≥n 成立.利用已经证明的等式计算100A,可得：E A A A -+=298100E A E A A -+-+=2296)()(2296E A A -+= )(3294E A A -+= =)(4922E A A -+=E A 49502-=故.105001500011000100014910101100150100⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A② 利用结合律,若方阵的各行对应成比例，则矩阵可写成T αβ的形式,由于αβT是一个数，所以将矩阵的幂归结为数的幂与矩阵之积.例6 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=963321642A ,求nA .解因为矩阵A 的各行对应成比例，设矩阵TA αβ=,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=312α(1,2,3)=Tβ(1,2,3)312(1,2,3)312(1,2,3)312(1,2,3)312963321642⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= nn A)(1,2,3)312(1,2,3)312(1,2,3)312((1,2,3)312⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= (1,2,3)313121-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n (1,2,3)312311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n.311A n -=③ 若矩阵A 是数量矩阵与幂零矩阵之和,即B E A +=λ,且存在l,使0=l B ,则利用公式kn n k n n k n k n k B C B E C B E C E C B E ++++=+---11110)()()()(λλλλ例7设,000000⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b c a A 求).,3,2( =n A n解,000000000000000000002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ab b c a b c a A,0000000000000000000000023⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==b c a ab A A A于是,000000002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ab A O A n =).3(≥n注若存在正整数k 使O A k=,则称A 为幂零矩阵,本题中的A 是3阶幂零矩阵,一般主对角线及其下方元素全为0的n 阶矩阵是n 阶幂零矩阵,对一切n k ≥,O A k=.例8 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求).,3,2( =n A n 解令,000100010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B 则B E A +=λ,而B 是幂零矩阵.,0000001000001000100001000102⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O B k =).3(≥k于是n n B E A )(+=λkn n k n n k n k n B C B E C B E C E C ++++=---11110)()()(λλλB n n B n E n n n 212)1(---++=λλλ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---nn nn n n n n n n λλλλλλ0002)1(121.④ 当矩阵Q P A Λ=,且E PQ =时，求矩阵A 的幂问题.例9设,110111121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=P ,11121133031⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=Q ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ066,Q P A Λ=求n A .解：E QP =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=10001000111011112111121133031QP Q QP P A n ΛΛΛ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-111211330310661*********n ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1112113303106611011112111n n .211121112622⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=-n五、矩阵的转置定义8设矩阵n m A ⨯的第),2,1(m i i =行写成第i 列,也将第),,2,1(n j j =列写成第j 行当⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nm n nm m T a a a a a a a a a A 212221212111. 注 n m ⨯矩阵转置所得到的矩阵是m n ⨯矩阵满足条件A A T=的矩阵A 称为对称矩阵. 满足条件A A T -=的矩阵A 称为反对称矩阵. 矩阵的转置规律 (1) A A TT =)((2) TTTB A B A +=+)( (3)TTTA B AB =)((4) T T kA kA =)((k 为实数)证明(3)：设s m ij a A ⨯=)( n s ij b B ⨯=)( 则AB 中),(j i 的元素为∑=sk kj ik b a 1所以TAB )(中),(j i 的元素为∑=Sk kijk b a1 （1）其次,TB 中),(k i 的元素为ki b TA 中),(j k 的元素为jk a 故TTA B 中),(j i 的元素即为：∑∑===sk ki jk sk jk kib a a b11（2）比较（1）,（2）即得（3）例10设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231102A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=102324171B ,求T AB )(. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1013173140102324171231102AB⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=213012TA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=131027241T BT T T AB A B )(1031314170213012131027241=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=六、方阵的行列式n 阶方阵A 的2n 个元素按原来的相对位置所成的n 阶行列式称为A 的行列式,记为A 或)det(A .特别需要注意,矩阵与行列式的区别(1) 矩阵A 是2n 个元素按某个规律排成的数表,而行列式A 则是这2n 个元素按某种规则运算所得的数.(2) 两个矩阵当且仅当它们同型且对应元素相等时才相等,而两个行列式相等是指它们经计算所得的值相等,并不要求对应元素相等,甚至阶数都可以不同.(3) 两个同型矩阵相加是对应元素相加,而两个行列式相加必须求得它们的值而后相加,一般不能归结为对应元素之间的运算.(4) 对于矩阵一般不满足A A T=,而行列式A AT=却成立.(5) 当n 阶矩阵A 的每个元素都乘以同一个数l 时,得到的是lA ,而组成行列式A 的每个元素都乘以同一个数l 时,得到的却是A l n .(6) 一般而言BA AB ≠,但却有A B B A AB ==. 例11 设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足E B BA 2+=,则求B .分析化简方程乘积形式,两边再取行列式.解：由E B BA 2+=,得E E A B 2)(=-,两边取行列式,得42==-E E A B又,21111=-=-E A 因此2=B . §3 逆矩阵一、逆矩阵定义定义9 对于n 阶矩阵A ,若存在矩阵B ,使,E BA AB ==则称矩阵A 是可逆矩阵或者称A 为非奇异矩阵,矩阵B 为A 的逆矩阵,记为1-=A B .于是E AA A A ==--11.在矩阵运算中,可根据不同情况将单位矩阵E 写成A A 1-或1-AA 是常用的有效技巧.二、逆矩阵的性质① 对于可逆矩阵A ,逆矩阵1-A 是唯一的.证明：假设矩阵C B ,都是矩阵A 的逆矩阵,则有.,E AC E BA ==C EC BAC AC B BE B =====∴)(所以可逆矩阵A 的逆矩阵是唯一的.② 可逆矩阵乘以非零常数为可逆矩阵,可逆矩阵的乘积是可逆矩阵,但可逆矩阵之和未必是可逆矩阵.③ 逆矩阵的运算性质设矩阵B A ,都是可逆矩阵,k 为不为零的常数,则;)(11A A =--111)(---=A B AB ;111)(--=A kkA ;;)()(11T T A A --=.11AA =- 三、伴随矩阵定义10 设ij A 是矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211中元素ij a 的代数余子式,则矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn nnn n A A A A A A A A A A212221212111*称为A 的伴随矩阵。

线性代数(同济大学第五版)行列式讲义、例题

第1页第2页第一章行列式行列式是研究线性方程组的一个有力工具,本章给出了行列式的定义、性质及其计算方法.§1 全排列及其逆序数一、排列及其逆序数定义对于n 个不同的元素,可以给它们规定一个次序,并称这规定的次序为标准次序.例如1,2,,n 这n 个自然数,一般规定由小到大的次序为标准次序.定义 1 由n 个自然数n ,,2,1 组成的一个有序数组n i i i ,,,21 ,称为一个n 元全排列,简称为排列.例如由1,2,3这三个数组成的123,132,213,231,312,321都是3元（全）排列.定义 2 在一个排列里,如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面,就说这两个数码构成一个逆序（反序）,在一个排列里出现的逆序总数叫做这个排列的逆序数,用),,,(21n i i i τ表示排列n i i i ,,,21 的逆序数.根据定义2,可按如下方法计算排列的逆序数：设在一个n 级排列12n i i i 中,比(1,2,,)t i t n =大的且排在t i 前面的数共有i t 个,则t i 的逆序的个数为i t ,而该排列中所有数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数．即12121().nn n i i i i i t t t t τ==+++=∑例1 计算排列45321的逆序数.解因为4排在首位,故其逆序数为0；比5大且排在5前面的数有0个,故其逆序数为0；比3大且排在3前面的数有2个,故其逆序数为2；比2大且排在2前面的数有3个,故其逆序数为3；比1大且排在1前面的数有4个,故其逆序数为4．可见所求排列的逆序数为(45321)002349τ=++++=．定义 3 逆序数为偶数的排列叫做偶排列, 逆序数为奇数的排列叫做奇排列.),,,(21n i i i τ=2i 前面大于2i 的元素个数+3i 前面大于3i 的元素的个数++ n i 前面大于n i 的元素的个数,例如:3300)2341(=++=τ, 逆序数为3,)2341(τ为奇排列. 6321)4321(=++=τ, 逆序数为6,)4321(τ为偶排列.定义4 把一个排列中某两个数码i 和j 互换位置,而其余数码不动,就第3页第4页得到一个新排列.对一个排列所施行的这样一个变换叫做一个对换.例如排列2341经过元素2,4对换变成排列4321,可记为43212341)4,2(−−→−定理1 对换改变排列的奇偶性. 证明先证相邻对换设排列为m l b b ab a a 11对换a 与b .m l b b ba a a 11 当b a <时, 经对换后a 的逆序数增加1 ,b 的逆序数不变; 当b a >时, 经对换后a 的逆序数不变,b 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性.再证非相邻对换,现设排列为 n m l c bc b ab a a 111现来对换a 与bn m l m n m l c c b abb a a c bc b ab a a 111111−−−−→−次相邻对换nm l m n m l c ac b bb a a c bc b abb a a 1111111−−−−→−+次相邻对换nm l m n m l c ac b bb a a c bc b ab a a 11112111−−−−−→−∴+次相邻对换因此对换两个元素,排列改变奇偶性.也就是说,只要经过一次对换,奇排列变成偶排列,而偶排列变成奇排列.推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数,偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.二、排列及其逆序数性质与定理性质1设n i i i 21和n j j j 21是n 个数码的任意两个排列,那么总可以通过一系列对换由n i i i 21得出n j j j 21.引理1 对换的可逆性——即对同一排列连续施行两次同一对换排列还原.所以任意n 元排列n i i i 21可经过一系列对换变为自然排列n 12.而自然排列n 12可经一系列对换变为任意一个n 元排列n j j j 21.事实上,由引理1可知：任意一个n 元排列n j j j 21可经一系列对换变为自然排列n 12,由引理1对换的可逆性,故自然排列可经（同样的）一系列对换变为任一排列.定理2 2≥n 时,n 个数码的排列中,奇排列与偶排列的个数相等,均为2!n 个. 证明：设n 个数的排列中,奇排列有p 个,偶排列有q 个,则!n q p =+,对p 个奇排列,施行同一对换,则由定理1得到p 个偶排列.（而且是p 个不同的偶排列）因为总共有q 个偶排列,所以q p ≤.同理 p q ≤.第5页第6页所以 2！n q p ==.§2行列式的定义引言三阶行列式的构成规律为：322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++= 322311332112312213a a a a a a a a a ---其中：符号333231232221131211a a a a a a a a a 是由23个元素ij a 构成的三行、三列方表,横排叫行,纵排叫列；在上述形式下元素ij a 的第一个下标叫行下标,第二个下标叫列下标.从形式上看,三阶行列式是上述特定符号表示的一个数,这个数由一些项的和而得：1）项的构成：由取自不同的行又于不同的列上的元素的乘积； 2）项数：三阶行列式是3！=6项的代数和；3）项的符号：每项的一般形式可以写成321321j j j a a a 时,即行标为自然排列时,该项的符号为)(321)1(j j j τ-,即由列标排列321j j j 的奇偶性决定.一、n 阶行列式的定义定义5 n 阶行列式定义为∑+-==nn nn n n j j j i i i j i j i j i i i i j j j nnn n nna a a a a a a a a a a a A212122112121)()(212222111211)1(ττ用符号nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211表示由2n 个数ij a 所组成的n 阶行列式,简记为A 或D ,这是一个数,其中n i i i 21和n j j j 21都是n 级排列,∑表示对所有的n 级排列求和.由定义可以看出,n 阶行列式的值等于所有取自不同的行、不同的列上的n 个元素的乘积n n j i j i j i a a a 2211的代数和,共有!n 项,每一项前面的符号由排列n i i i 21和n j j j 21的逆序数)(21n i i i τ+)(21n j j j τ决定.第7页第8页另外行列式的还可以定义为∑-==nn nj j j j j j nnn n nna a a a a a a a a a a a A 212121)(212222111211)1(τ或∑-==n i i i i i i nnn n nnn n a a a a a a a a a a a a A 21)(2122221112112121)1(τ以上两个定义式分别以行列的排列为标准序列,其每一项前面的符号有n j j j 21和n i i i 21的逆序数决定.例2 在四阶行列式中,21321443a a a a 应带什么符号？解 1）按行列式定义5计算,因为2132144314213243a a a a a a a a =,而4123的逆序数为 (4123)01113τ=+++=,所以21321443a a a a 的前面应带负号. 2）按行列式定义5计算,因为21321443a a a a行指标排列的逆序数为 (2314)00202τ=+++=,列指标排列的逆序数为 (1243)00011τ=+++=. 所以21321443a a a a 的前面应带负号.例3 计算行列式44322321121100000000a a a a a a .分析按行列式定义,每一项都是取自不同行不同列的4个元素的乘积,共有!4项.但此行列式中有很多零元素,因此有的项为零,故只需找出不含零元素的项,不妨设各个字母表示的都是非零元素.于是在第一行中只有两个非零元素11a 和12a .当第一行取11a 时,第二行只能取23a （21a 与11a 同列,故不能取）,第三行只能取32a ,第四行只能取44a ,即44322311a a a a 是其中的一项.另外,当第一行取12a 时,第二行可以取21a 和23a ,但当第二行取23a ,第三行只能取零元素,故第二行只可以取21a ,第三行取33a ,第四行取44a ,即另一非零项为44332112a a a a .解 44332112)2134(44322311)1324()1()1(a a a a a a a a D ττ-+-= 4433211244322311a a a a a a a a --=第9页第10页例4 证明n 行列式(1)nn nnnnnnn n a a a a a a a a a a a a a a a 22112221121121222111000==,(2)11,212)1(1,121,21)1(n n n n n nn n n n n n na a a a a a a a a-----=证 (1) 记nnn n a a a a a a D21222111100=nnnna a a a a a D 0222112112=由于当i j >时,0=ij a ,故1D 中可能不为0的元素i ip a ,其下标应有i p i ≤,即,11≤p ,22≤p .,n p n ≤在所有排列n p p p 21中,能满足上述关系的排列只有一个自然排列n 12,所以1D 中可能不为0的项只有一项nn a a a 2211)1(τ-,此项的符号所以,1)1()1(0=-=-τnn a a a 22111D =.由于当i j <时,0=ij a ,故2D 中可能不为0的元素i ip a ,其下标应有i p i ≥,即,11≥p,22≥p .,n p n ≥在所有排列n p p p 21中,能满足上述关系的排列只有一个自然排列n 12,所以2D 中可能不为0的项只有一项nn a a a 2211)1(τ-,此项的符号所以,1)1()1(0=-=-τnn a a a 22112D = 得证.(2) 根据行列式定义11,211,121,21)1(n n n t nnn n n n n n a a a a a a a a a----=其中t 为排列21)1( -n n 的逆序数,故2)1(210-=++++=n n n t 证毕. 二、子式、余子式与代数余子式第11页第12页（1）k 阶子式：设nij a D =,在D 中取定某k 行k 列,位于这些行列相交处的元素构成的k 阶行列式,叫做D 的一个k 阶子式.（2）余子式：设nija D =)1(>n ,将元素ij a 所在的行、所在的列的元素划掉后余下的1-n 阶子式,叫做元素ij a 的余子式,记为ij M .nnj n j n n n ni j i j i i i n i j i j i i i n j j n j j ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a M1,1,21,11,11,12,11,1,11,11,12,11,121,21,2222111,11,11211+-+++-+++-+-----+-+-= （3）代数余子式：设nija D =)1(>n ,元素ij a 的余子式ij M 附以符号ji +-)1(后,叫做元素ij a 的代数余子式,记为ij A .即ij A =ji +-)1(ij M .三、行列式展开式定理定理3 设nij a D =,则D 等于它的任意一行（列）的所有元素与各自对应的代数余子式的乘积的和.即⎩⎨⎧++++++=nj nj j j jj inin i i i i A a A a A a A a A a A a D 22112211 ),,2,1,(n j i =.例5 已知,3256411222245233355554321=A求(1)55545552515432A A A A A ++++,(2)333231A A A ++及3534A A +.解：由行列式的性质可知(1) 55545552515432A A A A A ++++=05432111222245233355554321=(2) 5A 31+5A 32+5A 33+3A 34+3A 35 =03256411222335553355554321=第13页第14页2A 31+2A 32+A 33+A 34+A 35 =03256411222112223355554321=解出A 31+A 32+A 33=0,A 34+A 35 =0 .§3行列式的性质设行列式nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211=nnn nn n Ta a a a a a a a a D 212221212111=行列式TD 叫做行列式D 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等,即TD D =.证明用数用归纳法证明,对于二阶行列式性质1显然成立,假设对于n-1阶行列式性质1成立,把n 阶行列式Ｄ按第一行展开,依据归纳法假设可得∑∑=+=+=-=-=nj T j T j j nj j j jD M a M a D 11111111)1()1(右端恰为T D 按第一列的展开式.性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.证：先证明邻行互换时行列式变号,设1D 是由n 阶行列式D 的第i 行与第1+i 行互换得到的行列式:行行1,1,,11,1,11,11+=++--i i a a a a a a D n i i ni i n i i把1D 按第1+i 行展开∑∑=+=++-=--=-=nj ij ij j nj ij ij ji D M a M a D 11111)1()1(设2D 是由n 阶行列式D 的第i 行与第j 行互换得到的行列式,不妨设j i <,于是2D 可看成D 的第i 行依次经过i j -个邻行互换后到第j 行位置,而原第j 行又依次经过1--i j 邻行互换后到第i 行位置,因此D D D i j i j -=-=--+-)1()(2)1(推论：如果行列式有两行（列）完全相同,那么此行列式为零.第15页第16页性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ,等于用数k 乘此行列式.即111211112112121212.n n i i in i i in n n nnn n nna a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 第i 行(或列)乘以k ,记为k i ⨯γ(或i c k ⨯).推论：行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例,则此行列式为零. 性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和.nnn inin i i n a a a a a a a a D111111'+'+= 那么D 等于下列两个行列式之和nnn ini n nn n in i n a a a a a a a a a a a a D1111111111''+= 若n 阶行列式每个元素都表示成是两数之和，则它可分解成2n个行列式.如a xb y a b yx b yc zd w c d w z d w ++++=+++++a b ayx b xyc dc wz dz w=+++性质6 把行列式的某一行（列）各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应元素上去,行列式的值不变,即j i ≠时nnn in i nnn n jn in j i n a a a a a a a a ka a ka a a a 11111111111=++性质7 行列式任一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即第17页第18页)(02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++或)(02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++§4行列式的计算在计算三阶以上的行列式时,一般要注意观察其结构特点,利用行列式的有关性质,结合使用定义法、数学归纳法、递推法、换元法、析因子法、加边法等方法简化计算.一、直接利用行列式定义的证明例6 证明行列式000000000055544544353425242322211514131211==a a a a a a a a a a a a a a a a D 证按行列式定义,每一项都是取自不同行不同列的5个元素的乘积,在第一列中只有两个非零元素11a 和21a ,当第一列取元素11a ,第二列只能取22a ,而第三列所能够取的元素只有零元素,故这一项为零.同理,当第一列取21a 时,这一项也为零.行列式其它项也都为零因子,所以.0=D注 (1) 用n 阶行列式的定义直接计算行列式是相当麻烦的,因此仅当一个行列式的每一行（列）上n 个元素中有少数元素不为零,才用定义计算.其关键是处理好每一项前的符号,求出逆序数.一般方法是按行序排好,计算列排列的逆序数.(2) 结论：在一个n 阶行列式中,等于零的元素如果比)(2n n -还多,那么这个n 阶行列式必为零.二、利用行列式的性质化成三角形行列式计算例7 计算n 阶行列式ab b b b abbb b a bb b b aD=.解这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等,根据行列式的性质,从第2列开始到第n 列都加到第1列上得ab b b n a babbn a b b a b n a b b b b n a D)1()1()1()1(-+-+-+-+=第19页第20页ab b b abb b a b b b b n a1111])1([-+=ba b a b b a b bbb n a ----+=0001])1([1)]()1([---+=n b a b n a注行列式每行（列）元素的和相等时,可将行列式的各行（列）加至第一行（列）,利用行列式性质提取公因子后化简计算.三、降阶法：利用行列式按行（列）展开定理,化成较低行列式的计算例8 计算n 阶行列式)1(10)2(00000220000111321--------=n n n n n D n.解注意到第2,3n ,, 行的元素之和都是零,将第2,3n ,, 列都加到第1列上去,然后按第1列展开,得：)1(10)2(00000220000101322)1(--------+=n n n n n n n D n)1(10)2(0000033000022000012)1(--------+=n n n n n)!1()1(211+-=-n n 四、递推公式法：应用行列式的性质,把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关系式,再根据此关系式递推得n 阶行列式的值.第21页第22页例9 计算n 阶行列式xyx y x ya a a a xa D n ---+= 0000000. 解：将行列式按第n 列展开,可得yx xyx ya xD D nn n ----+=+-11)1(11--+=n n ay xD=++=+=∴-----12211)(n n n n n n ay ay xD x ay xD D22111----++++=n n n n ayx x ay ay D x )(221---++++=n n n n yx x y y a x注：此题可按第一行展开即得结果.例10 计算n 阶行列式312300000310023100023=n D .解：将行列式按第1列展开,可得2123---=n n n D D D (1)设)(211----=-n n n n xD D y xD D …….……(2) 比较（1）式与（2）式系数得⎩⎨⎧==+23xy y x所以⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==12212211y x y x 或. 分别代入（2）式得⎩⎨⎧=-==-=-=-==-=--------1)2()2(22)(2)(212211122211D D D D D D D D D D D D n n n n nn n n n n (3)其中7,321==D D消去(3)式中的1-n D 得：.121-=+n n D第23页第24页注 (1) 若行列式的某一行（列）至多有两个非零元素一般按此行（列）展开计算.(2) 递推法是计算或证明高阶行列式的惯用方法,有时和数学归纳法结合使用.五、用数学归纳法进行计算或证明. 例11 用数学归纳法证明θθθθθθθsin )1sin(cos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 2+==n D n证明当1=k 时,θθθθθθsin 2sin sin sin cos 2cos 21===D 等式成立. 假设1-≤n k 时,等式成立,则只需证明当n k =时,等式也成立. n D 按第一行展开有θθθθθθcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 2cos 2=n Dθθθθcos 211cos 200000cos 210001cos 2000011)1(21+-+21cos 2---=n n D D θ.根据归纳假设得：θθθθθθθsin )1sin(sin ]1)2sin[(sin sin cos 2+=---=n n n D n . 例12 证明n 阶行列式)(1000001000100011βαβαβαβααββαβααββααββα≠--=+++++=++n n n D证明当1=n 时,βαβαβαβα--=+=+=221D 结论成立.当2=n 时,第25页第26页βαβααββαβααββα--=-+=++=3322)(1D 结论成立. 假设k n <时,等式成立,则只需证明当k n =时,把k D 按其第1行展开,有βααββαβααββααββα+++++=100000010001000k D110000010001000)(-++++++=k βααββαβααββααββαβα210000010001000-+++++=k βααββαβααββααββααβ21)(---+=k k D D αββαβαβααββαβαβα-----+=--11)(k k k kβαβα--=++11k k故对一切自然数n ,结论都成立.六、利用已知行列式,进行计算,其中最重要的已知行列式是范德蒙行列式.例13计算n 阶行列式1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+. 解：把D n+1的第n+1行换到第1行,第n 行换到第2行,…,同时将D n+1的第n+1列换到第1列,第n 列依次换到第2列,…,再有范德蒙行列式,得第27页第28页nn nn a n a n a a n a n a D)1()(11111+--+--=+)(!2)!1(!11j i n n n i j -=-=∏+≤<≤ .七、加边升阶法，即不改变行列式的值的前提下适当增加一行一列或m 行m 列,以便容易求值.例14计算n 阶行列式1112212221212121+++=n n n nn n x x x x x x x x x x x x x x x D.解 1010101221222121212121+++=n n n n nnn x x x x x x x x x x x x x x x x x x D从第二行开始依次减去第一行的),,2,1(n i x i =倍,得10001000112121 nn x x x x x x ---=上式从第二列开始依次乘),,2,1(n i x i =倍加到第1列上的,得1010000112112n nj jx x x x ∑=+=上式∑=+=n j j x 121 例15计算n 阶行列式nn n n n n n n D n n n n n n n n -------------=----2313131311244444463333332222222 . 解：对原行列式加边,增加第1行全为1,第一列除11a 外全为0,构造新的行列式为：第29页第30页nn n n n n D n n n n n n -------=---211106333302222201111将第1行乘以i 加到第),,3,2(n i i =行,第i 行提取因数),,3,2(n i i =,得：nn n n D n n n n n n 2121211333122211111!------=将第n 列逐列移到第2列,第1-n 逐列移到第3列,等等,即得范德蒙德行列式,故∏=---=nk n n k D 12)2)(1()!()1(.例16 计算n 阶行列式).0(,212121≠+++=x a x a a a a x a a a a x D nnn解：nn nn a x a a a a x a a a a x a a a D +++=212121210001 xx x a a a i i n100100111n ,2,3,121---+=行行减第第 xx x a a a xa i xi n nj j100000011n ,2,3,11211-++=∑=列上加到第列乘以第 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∑=n j jn x a x 11. 八、析因子法,若行列式D 中一些元素是x （或某个参变量）的多项式常用析因子法.第31页第32页例17 计算行列式 229132513232213211x x D --=解 D 可以看作关于x 的多项式)(x f .观察D 的一次因式, 当1±=x 时,08132513232113211)1(==±f当2±=x 时,05132513232213211)2(=-=±f可见)(x f 有因子：2,2,1,1+-+-x x x x另外,从行列式定义可知,D 中含有x 的最高次数为4. 故)2)(2)(1)(1(+-+-=x x x x C D 令0=x ,直接计算得,12-=D 于是3-=C故)2)(2)(1)(1(3+-+--=x x x x D .例18 计算行列式 11111321321121121221nn n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x D---=解观察行列式的特点,当x 取n a a a ,,,21 时,行列式都有两行相同,且此时的行列式值为零.故可将行列式看作关于x 的多项式,且此多项式有因子n a x a x a x ---,,,21 .故可设)())((21n a x a x a x C D ---=D 中最高项为n x ,系数为1.故1=C即行列式为)())((21n a x a x a x D ---= .以上方法,前三种方法是最基本的,需要指出的是：行列式的计算方法往往不是唯一的,有时需要多种方法交叉使用.由于行列式的计算方法很多,但具体到一个题目用什么方法去解往往不是一件容易决定的事情,必须首先观察行列式的具体特征,根据行列式的具体特征选择方法.第33页第34页§5 克莱姆（Cramer ）法则本节作为行列式的应用,完满地解决了含n 个未知量n 个方程的线性方程组,在其系数行列式不为零时,其解的存在性、个数及求解（公式）问题；理论完整且重要,定理的证明可按消元法的思想运用行列式的依行依列展开公式为之.设给定一个含n 个未知量n 个方程的线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* （1）其系数构成的行列式nnn n in i i n a a a a a a a a a D212111211=叫做方程组（1）的(系数)行列式.克莱姆（Cramer 法则）对线性方程组(1),当它的(系数)行列式0≠D 时有且仅有一个解:DD x D Dx D D x n n ===,,,2211 .其中j D 是把D 的第j 列的元素换以方程组的常数项n b b b ,,21 而得到的n 阶行列式.推论含有n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （2）当它的(系数)行列式0≠D 时仅有零解. 例19求一个一元二次多项式f (x ),使满足,0)1(=f ,3)2(=f .28)3(=-f解：设所求多项式为c bx ax x f ++=2)(, 由条件,0)1(=f ,3)2(=f .28)3(=-f可知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++28393240c b a c b a c b a,401328123110,201391241111-=-=-=-=D A 20283932411,60128913410132-=-===D D由克莱姆法则,得,1,3-,2===c b a 知13-2)(2+=x x x f .。