三角函数的恒等变换

1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。

2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。

3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=。

（2）辅助角公式()22sin cos sin a x b x a b x ϕ+=+⋅+， 2222sin cos b a a ba bϕϕ==++其中，。

4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明分析：由韦达定理可得到tan tan tan tan αβαβ+⋅及的值，进而可以求出()tan αβ+的值，再将所求值的三角函数式用tan ()βα+表示便可知其值。

解法一：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =⋅=+βαβα，，（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明题型1：两角和与差的三角函数例1．已知0cos cos 1sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。

分析：因为）（βα+既可看成是的和，也可以与βα看作是2βα+的倍角，因而可得到下面的两种解法。

解法一：由已知sin α+sin β=1…………①， cos α+cos β=0…………②， ①2＋②2得 2+2cos 1=-）（βα；∴ cos 21-=-）（βα。

①2－②2得 cos2α+cos2β+2cos （βα+）=－1， 即2cos （βα+）〔1cos +-）（βα〕=－1。

∴()1cos -=+βα。

解法二：由①得12cos2sin 2=-+βαβα…………③由②得02cos2cos2=-+βαβα…………④④÷③得，02cot =+βα ()112cot 12cot 2tan 12tan 1cos 2222-=++-+=+++-=+∴βαβαβαβαβα 例2．已知2tan tan 560x x αβ-+=，是方程的两个实根根，求()()()()222sin 3sin cos cos αβαβαβαβ+-++++的值。

所以tan ().1615tan tan 1tan tan -=-=⋅-+=+βαβαβα()()()()()()22222sin 3sin cos cos sin cos αβαβαβαβαβαβ+-++++=+++原式 ()()()()222tan 3tan 1213113tan 111αβαβαβ+-++⨯-⨯-+===+++解法二：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =⋅=+βαβα，， 所以tan ().1615tan tan 1tan tan -=-=⋅-+=+βαβαβα()34k k Z αβππ+=+∈于是有，223333312sin sin 2cos 13422422k k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭原式。

题型2：二倍角公式例3．化简下列各式：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+-ππαα2232cos 21212121，， （2）⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-απαπαα4cos 4cot 2sin cos 222。

解析：（1）因为αααπαπcos cos 2cos 2121223==+<<，所以， 又因2sin 2sin cos 2121243αααπαπ==-<<，所以， 所以，原式=2sin α。

（2）原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-απαπααπαπα4cos 4sin 22cos 4cos 4tan 22cos 2=12cos 2cos 22sin 2cos ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-αααπα。

例4．若的值求，x x x x x tan 1cos 22sin ,471217534cos 2-+<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ。

分析：注意224442x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，及的两变换，就有以下的两种解法。

解法一：由πππππ2435471217<+<<<x x ，得， 34cos sin .4545x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因，2cos cos cos cos sin sin 44444410x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，72sin tan 7.10x x =-=从而， 2272272221010102sin cos 2sin 28.1tan 1775x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭===---原式解法二：()2sin cos 1tan sin 2tan 1tan 4x x x x x x π+⎛⎫==-+ ⎪-⎝⎭原式，27sin 2sin 2cos22cos 1424425x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦而sin 44tan 43cos '4x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+==- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，7428.25375⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭所以，原式()()()=--+=+--+=βαββαβαβαβαβ2222，，()ββα+-2，()()()()αβαβαβαβββααββαα+--=-+=+-=-+=，，，等。

题型3：辅助角公式例5．已知正实数a,b 满足的值，求a b b a b a 158tan 5sin5cos 5cos5sinπππππ=-+。

分析：从方程 的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a ，则已知等式可化为关于的方a b 程，从而可求出由ab，若注意到等式左边的分子、分母都具有θθcos sin b a +的结构，可考虑引入辅助角求解。

解法一：由题设得⇒=-+ππππππ158cos 158sin 5sin 5cos 5cos 5sin a b a b .33t a n 5158cos 5158sin 5sin 158sin 5cos 158cos 5sin158cos 5cos 158sin ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅+⋅⋅-⋅=πππππππππππππa b 解法二：22sincossin 555a b a b πππϕ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭因为，22cossincos tan 5558tan tan .51585153tan tan tan 3.33b a b a b a k k b k a πππϕϕππϕππϕππϕπππϕπ⎛⎫-=++= ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭+=+=+⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，其中，由题设得所以，即，故解法三：tan 85tan 151tan 5ba b a πππ+=-原式可变形为：，()()tantan 85tan tan tan 5151tan tan 58,5153tan tan tan 3333b a k k Z k k Z b k a παπααππαππαππαπππαπ+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭-⋅+=+∈=+∈⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭令，则有，由此可所以，故，即题型4：三角函数式化简例6．求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值。

解析：原式＝21（1－cos40°）＋21（1＋cos100°）＋21（sin70°－sin30°） ＝1＋21（cos100°－cos40°）＋21sin70°－41 ＝43－sin70°sin30°＋21sin70°＝43－21sin70°＋21sin70°＝43。

例7．已知函数12sin(2)4()cos x f x xπ--=. （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α的第四象限的角，且tan α43=-，求()f α的值。

解析：（Ⅰ）由 cos 0x ≠得()2x k k Z ππ≠+∈，故()f x 在定义域为},,2x x k k Z ππ⎧≠+∈⎨⎩（Ⅱ）因为4tan 3α=-，且α是第四象限的角, 所以43sin ,cos ,55αα=-=故12sin(2)4()cos f x παα--=2212(sin 2cos 2)22cos ααα--=1s i n 2c o s 2c o s ααα-+=22cos 2sin cos cos αααα-=2(cos sin )αα=-145=。

∴函数y=cos(x+4π) cos(x －4π)+3sin2x 的值域是[－2,2],最小正周期是π。

题型5：三角函数综合问题例8．已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππθθθ==-<<（I ）若,a b ⊥求;θ（II ）求a b +的最大值。

解析：（1）,a b ⊥⇒0a b =⇒sin cos 0θθ+=4πθ⇒=-；22(2).(sin 1,cos 1)(sin 1)(cos 1)a b θθθθ+=++=+++22sin 2sin 1cos 2cos 12(sin cos )3θθθθθθ=+++++=++22sin()34πθ=++ 当sin()4πθ+=1时a b +有最大值,此时4πθ=，最大值为22321+=+。