2015年朝阳二模理科

北京市朝阳区2015学年度第二学期高三综合练习
数学（理科）
2015．5
第一部分（选择题共40 分）
一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．已知集合，集合，则＝（）．
B． C． D．
2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）．
A．7 B．10 C．66 D．166
3．设为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的（）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知平面上三点A，B，C，满足，则
= （）．
A．48 B．-48 C．100 D．-100
5．已知函数，若对任意的实数x，总有，则的最小值是（）．
A．2 B．4 C． D．2
6．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若，则双曲线的渐近线方程为（）．
7．已知函数，若对任意，都有
成立，则实数m的取值范围是（）．
8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）．
第Ⅱ卷（非选择题共110 分）
二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
9．展开式中含项的系数是__________．
10．已知圆C的圆心在直线x－y=0上，且圆C与两条直线x＋y=0和x＋y－12=0都相切，则圆C的标准方程是__________．
11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B．若AM=2，，则AD=__________．
12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为__________．
13．已知点在函数的图像上，则数列的通项公式为__________；设O为坐标原点，点，则
，中，面积的最大值是__________．
14．设集合，集合A中所有元素的个数为__________；集合A 中满足条件“”的元素个数为
__________．
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题共13分）
在梯形ABCD中，
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）求梯形ABCD的高．
16．（本小题共13分）
某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：
（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，
C题作答的答卷中各抽出多少份？
（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及
其数学期望EX．
如图，在直角梯形ABCD中，．直角梯
形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面平面ABCD．（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；
（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线平面MNH，求MH的长．
18．（本小题共13分）
已知点M为椭圆的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于
点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为1
4
．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；
（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．
已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数成立，求的取值范围；
（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：．
20．（本小题共13分）
已知数列，是正整数1，2，3，，n的一个全排
列．若对每个都有或3，则称为H数列．
（Ⅰ）写出满足的所有H数列；
（Ⅱ）写出一个满足的数列的通项公式；
（Ⅲ）在H数列中，记．若数列是公差为d的等差数列，求证：或．
参考答案及评分标准
高三数学（理科）
一、选择题：
题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 A B B C A C D B
二、填空题：
题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）
答案
三、解答题：
15．（本小题共13 分）
解：（Ⅰ）在中，因为，所以．由正弦定理得：
，即．
（Ⅱ）在中，由余弦定理得：，
整理得，解得（舍负）．
过点作于，则为梯形的高．
因为，，所以．
在直角中，．
即梯形的高为．
16．（本小题共13 分）
解：（Ⅰ）由题意可得：
题 A B C
答卷数180 300 230 抽出的答卷数 3 5 2
应分别从题的答卷中抽出份，份．
（Ⅱ）记事件：被抽出的三种答卷中分别再任取出份，这份答卷中恰有份得优，可知只能题答案为优，依题意．（Ⅲ）由题意可知，题答案得优的概率为，显然被抽出的题的答案中得优的份数的可能取值为，且．
；；
；；
；．
随机变量的分布列为：
所以．
17．（本小题共14分）
证明：（Ⅰ）由已知得，
．
因为平面平面，
且平面平面，
所以平面，
由于平面，所以．
（Ⅱ）由（1）知平面
所以，．
由已知，
所以两两垂直．
以为原点建立空间直角坐标系（如图）．
因为，
则，，，，
所以，，
设平面的一个法向量．
所以，即．
令，则．
设直线与平面所成角为，
因为，
所以．
所以直线和平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）在为原点的空间直角坐标系中，
，，，，．
设，
即．
，则，
，．
若平面，则．
即．
．解得．
则，．
18．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）椭圆的方程可化为，则，，．
故离心率为，焦点坐标为，．
（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为，，
，则，．
由得．
判别式．
所以，，
因为直线与直线的斜率之积为，
所以，
所以．
化简得，
所以，
化简得，即或．
当时，直线方程为，过定点．
代入判别式大于零中，解得．
当时，直线的方程为，过定点，不符合题意．
故直线过定点．
19．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）当时，，．
由，解得，．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的单调增区间为，
单调减区间为．
（Ⅱ）依题意即求使函数在上不为单调函数的的取值范围．，设，则，．
因为在上为增函数．
当，即当时，函数在上有且只有一个零点，设为，
当时，，即，为减函数；
当时，，即，为增函数，满足在上不为单调函数．当时，，，所以在上成立（因在上为增函数），所以在上成立，即在上为增函数，不合题意．
同理时，可判断在为减函数，不合题意．
综上．
（Ⅲ）．
因为函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，即方程
的判别式，解得．
由，解得，．
此时，．
随着变化，和的变化情况如下：
+ +
极大值极小值
所以是的极大值点，是的极小值点，所以是极大值，
是极小值所以
因为，所以，
所以．
20．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：．
（Ⅱ）由（1）知数列满足，把各项分别加后，所得各数依次排
在后，因为，所得数列显然满足或，
，即得数列．其中，
．如此下去即可得到一个满足的数列为：
（其中）
（写出此通项也可以（其中））
（Ⅲ）由题意知，，且．
有解：
①，，，则，这与
是矛盾的．
②时，与①类似可得不成立．
③时，，则不可能成立．
④时，
若或，则或．
若或，则，类似于③可知不成立．
④时，
若同号，则，由上面的讨论可知不可能；
若或，则或；
⑤时，
若异号，则，不行；
若同号，则，同样由前面的讨论可知与矛盾．
综上，只能为或，且（2）中的数列是的情形，将（2）中
的数列倒过来就是，所以为或．。