数理统计的概念

i=1 n
总体、样本、样本实现的关系 总体 样本
推断 样本实现
解：总体X 的概率函数为P { X = x} = p x (1 − p )1− x x = 0,1
所以P { X i = xi } = p xi (1 − p )1− xi xi = 0,1 i = 1, 2,⋯ , n
例5.1 设总体X 服从0 -1分布，X 1 , X 2 ,⋯ , X n是抽自总体 X 的iid 样本，求样本分布。 设样本任意一组实现为x1 , x2 ,⋯, xn，由于样本为iid 于是，样本分布的概率函数为 P {( X 1 , X 2 ,⋯, X n ) = ( x1 , x2 ,⋯ , xn )}
f ( x; n )
α
2 χα ( n )
上侧分位数表求得。例如：自由度 2 为12的χ 2分布关于0.05的上侧分位数 χα (n) = 21.026。
χ 分布上侧分位数χα (n)的概率意义 2 如图所示，χα (n)可以通过查χ 2分布
2 2
x
t分布(学生氏t分布)
1.Def 设 机 量 ~ N(0,1)， ~ χ2 (n)， 与 相 随 变 X Y X Y 互 独 ， 随 变 T = X / Y / n所 从 分 称 自 立 则 机 量 服 的 布 为 由 为 的分 ， 为 ~ t(n). 度 n t 布 记 T
χ 分布
2
统计三大分布
1.Def 设 机 量 1, X2,⋯, Xn 相 独 ， 都 从 随 变 X 互 立 且 服 N(0,1)， 随 变 X = ∑Xi2所 从 分 称 自 则 机 量 服 的 布 为 由 为 的 2分 ， 为 ~ χ2 (n). 度 n χ 布 记 X
这个分布是由Helmet于1875年提出，K.Pearson于 1900年重新提出。理论推导可得概率密度函数为
数理统计
第五章 数理统计的概念
• 数理统计 f ( y x)
E(Y x)
• 总体与总体特征数 y 样本与统计量 • • 统计三大分布与抽样分布
x1 x2
回归关系图
x3
x
数理统计
一、数理统计及其任务 数理统计是一门以概率论为基础的应用学科。 它是研究 数理统计 如何有效地收集、 整理、分析带有随机性的数据，以便对所 考察的问题作出推断和预测，从而为决策提供依据。 数理统计的任务就是研究有效地收集数据，科学地整理 与分析所获得的有限的资料，对所研究的问题, 尽可能地作 出精确而可靠的结论。 数理统计研究问题的方式，不是对所研究对象的全体 ( 称 为总体)进行观察，而是抽取其中的部分(称为样本)进行观察 获得数据(抽样)，并通过这些数据对总体进行推断。 数理统计方法具有“部分推断整体”的特征。 数理统计方法具有“部分推断整体”的特征。
1 N µ = E ( X ) = ∑ xi N i =1 1 N σ 2 = D( X ) = ∑ ( xi − µ ) 2 N i =1 如 总 容 为 ， 有 特 总 单 数 M， 果 体 量 N 具 某 点 体 元 为 则 M p= N 称 总 频 或 体 数 为 体 率 总 重 。 µ ,σ 2 , p统称为总体特征数。显然，它们是由总体唯一 决定的常数。实践中，由于它们的值未知又称为参数。
它反映了总体 均值的信息 它反映了总体 方差的信息
1 n 样本方差 S2 = ( Xi − X )2 ∑ n −1 i=1
1 n 2 = Xi − nX 2 ∑ n −1 i=1
它反映了总体k 1 n 2 它反映了总体 样本标准差 S = ∑(Xi − X) 阶矩的信息 n −1 i=1 1 n k 样本k阶原点矩 k 样本 阶原点矩 A = ∑Xi k =1 ⋯ ,2, n i=1 1 n 样本k阶中心矩 样本 阶中心矩 Bk = ∑( Xi − X )k k =1 ⋯ ,2, n i=1
X1 +σ X2 + X32 解：由统计量的定义知X1 + X 2 + 3µ X 3，X12 + 3µ X 2 X 3 是统计量；X1 + σ X 2 + X 32则不是统计量。
X1 + X2 + 3µ X3 X12 + 3µ X 2 X3
几个常用的统计量 1 n 样本平均值 X = ∑Xi n i=1
P {( X 1 , X 2 ,⋯ , X n ) = ( x1 , x2 ,⋯ , xn )} = ∏ pxi
i =1
如 总 X的 率 度 数 fX (x)， 1, X2,⋯, Xn为 果 体 概 密 函 为 X 抽 总 X的 样 ， 样 分 的 率 度 自 体 iid 本 则 本 布 概 密 为 f (x1, x2,⋯, xn ) = ∏fXi (xi )
二、统计量 统计量(Statistic) Def 设 1, X2 ,⋯ Xn是 自 体 的 个 本 X , 来 总 X 一 样 ， T( X1, X2 ,⋯ Xn )是 1, X2 ,⋯ Xn的 数 且 含 , X , 函 ， 不 未 参 ， 称 ( X1, X2 ,⋯ Xn )是 个 计 。 知 数 则 T 一 统 量 , 注 ： X1, X2,⋯, Xn是 自 体 的 个 本 而 意 设 来 总 X 一 样 ， x1, x2 ,⋯, xn是 本 一 实 ， T(x1, x2,⋯, xn )也 样 的 个 现 则 是 统 量 (X1, X2 ,⋯, Xn )的 个 现 计 T 一 实 . 例5.3 设是 X 1 , X 2 , X 3 从正态总体 N ( µ , σ 2 ) 中抽取的 一个样本，其中µ 为已知参数， 为未知参数，确定 σ 下列那些量是统计量
二、数理统计研究问题的一般流程 分析问 收集 题 确定总 体 数据 整理 数据
试验设计 抽样
统计推断
参数估计 假设检验
我们这门课所学的数理 统计实际上是统计推断 及其应用（ 及其应用（方差分析与 回归分析） 回归分析）的一部分内 容。
为什么要用数理统计方法研究问题？随机现象有它的规律 性，随机现象的特点注定了进行足够多次观察，其规律性才 能清楚地呈现出来。但是，客观上只允许对随机现象进行有 限次观察试验，只能获得局部观察资料.
(2)设X =X 1 +X 2且已知X 1与X 2相互独立，X ~ χ 2 (n) X 1 ~ χ 2 (n1 )，则X 2 ~ χ 2 (n − n1 ).
(3)若X ~ χ 2 (n), 则X 的数学期望与方差为 E( X ) = n D ( X ) = 2n
X − n n→+∞ (4)若 ~ χ (n)， X 则 ~ N(0,1). 2n
= ∏ P { X i = xi }
i =1 n i =1 n
= ∏ p xi (1 − p )1− xi
= p i =1 (1 − p )
∑ xi
n
n−
∑ xi
i =1
n
例5.2 设总体X ~ e(λ )，X 1 , X 2 ,⋯ , X n是抽自总体X 的iid 样本，求样本分布。 λe-λx x > 0 解：总体 X ~ e(λ)，即有 f X (x)= x≤0 0 设样本任意一组实现为x1 , x2 ,⋯, xn，由于样本为iid λ e- λ xi xi > 0 所以 f X i ( xi )= i = 1, 2,⋯ , n xi ≤ 0 0 于是，样本分布的概率密度为 n -λ x n ∏ λ e i min { x1 , x2 ,⋯, xn } > 0 1≤i ≤n f ( x1 , x2 ,⋯, xn ) = ∏ f X i ( xi ) = i =1 i =1 0 其他 n − λ ∑ xi n = λ e i =1 min { x1 , x2 ,⋯, xn } > 0 1≤i ≤n 0 其他
如果总体为有限总体，指标值的全体为x1 , x2 ,⋯ , xN，则
样本与统计量
一、样本 样本(Sample) 样本 Def 按一定规则从总体中抽取一部分总体单元进行观 测或试验，这一抽取过程称为“抽样”，所抽取的部 分总体单元的整体称为总体的一个样本(子样)。 样本 中所包含的总体单元称为样本单元，样本中样本单元 的数目称为样本容量。
样本 X 1 , X 2 ,⋯ , X n
抽定
样本实现 x1 , x2 ,⋯ , xn
样本应满足的性质 样本 (1) 代表性；(2) 随机性。 简单随机样本( 简单随机样本(Independence identical distribution) distribution) X 总 X 一 样 ， 果 Def 设 1, X2,⋯, Xn为 体 的 个 本 如 X1, X2,⋯, Xn 相 独 ， 均 总 X具 相 的 布 则 X1, X2 ,⋯, 互 立 且 与 体 有 同 分 ， 称 Xn为 单 机 本 简 iid样 。 简 随 样 ， 称 本 例如： 例如：要通过随机抽样了解一批产品的次品率，如果每 次抽取一件产品观测后放回原来的总量中再抽第二件产 品，则这样获得一个简单随机抽样。 实际抽样中，往往是不再放回产品，则这不是一个 简单随机抽样。但当总量N很大时，可近似看成 可近似看成是简单 可近似看成 随机抽样。 样本分布 样本 X 总 X 一 样 ， ( Def 设 1, X2,⋯, Xn为 体 的 个 本 则 X1, X2,⋯, Xn ) 的 布 为 本 布 分 称 样 分 。
总体与总体特征数
一、总体与总体标志 总体(Population) Def 在数理统计中，把研究对象的全体称为总体或母 体，而把组成总体的每个单元称为总体单元。 个体 … 总 … 体
研究某批灯泡的质量 描述总体单元在某方面特性的名称称为总体指标； 每个总体单元对总体指标的响应称为指标值。 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量。
n x −1 − 1 x2 e 2 n2 f (x; n) = 2 Γ(n 2) 0