5.6二元一次方程与一次函数111
八年级数学上册 5.6 二元一次方程与一次函数课时练 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中八年级上
二元一次方程与一次函数【教材训练】 5分钟(1)以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.(2)一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.(1)方程组的解是相应的两个一次函数图象的交点坐标.(2)两个一次函数图象的交点坐标是相应的方程组的解.(1)代入消元法.(2)加减消元法.(3)图象法:要强调的是由于作图的不准确性,由图象法求得的解是近似解.(填“近似”或“准确”)先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法.5.判断训练(打“√”或“×”)(1)二元一次方程与一次函数可以相互转化. (√)(2)都是函数y=7-2x相应的二元一次方程的解. (×)(3)点(1,1),(5,-1),(2,)都在二元一次方程x+2y=3相应一次函数的图象上.(√)(4)在一次函数y=x-3的图象上任取一点,它的坐标适合方程3x+2y=6. (×)(5)方程组的解是一次函数y=-x+3和y=2x+1图象的交点坐标.(×)【课堂达标】 20分钟训练点一:二元一次方程与一次函数1.(3分)二元一次方程的图象如图所示,则这个二元一次方程为( )A.x-3y=3B.x+3y=3C.3x-y=1D.3x+y=1【解析】选A.设直线关系式为y=kx+b,直线过点(3,0),(0,-1).代入y=kx+b,得解得即y=x-1,得到x-3y=3.所以答案A正确.2.(3分)无论m取何实数,直线y=x+3m与y=-x+1的交点不可能在第________象限.【解析】因为一次函数y=-x+1的图象经过一、二、四象限,所以,交点不会在第三象限. 答案:三3.(8分)若二元一次方程kx-y=-b的两组解为和求对应的一次函数的表达式.【解析】将x=2,y=0;x=1,y=-1分别代入kx-y=-b,得解得所以x-y=2,所以y=x-2.训练点二:用二元一次方程组确定一次函数表达式1.(4分)如果是方程组的解,则一次函数y=mx+n的表达式为( )A.y=-x+2B.y=x-2C.y=-x-2D.y=x+2【解析】代入得解得所以表达式为y=x+2.2.(3分)如图,直线AB对应的函数表达式是( )A.y=-x+3B.y=x+3C.y=-x+3D.y=x+3【解析】选A.设直线AB的表达式为y=kx+b,将(0,3),(2,0)代入上式,得解得所以y=-x+3.3.(4分)已知一次函数y=kx+b的图象经过两点A(1,1),B(2,-1),求这个函数的表达式.【解析】根据题意得解得所以函数的表达式是y=-2x+3.4.(5分)一辆警车在高速公路的A处加满油,以每小时60km的速度匀速行驶.已知警车一次加满油后,油箱内的余油量y(L)与行驶时间x(h)的函数关系的图象是如图所示的直线l上的一部分.求直线l的函数表达式.【解析】设直线l的表达式是y=kx+b(k≠0),由题意得解得所以y=-6x+60.【课后作业】 30分钟一、选择题(每小题4分,共12分)1.如图,以两条直线l1,l2的交点坐标为解的方程组是( )A. B.C. D.【解析】l1经过(2,3),(0,-1),解得函数表达式为y=2x-1;直线l2经过(2,3),(-1,0),其函数表达式为y=x+1;因此以两条直线l1,l2的交点坐标为解的方程组是,故选C.2.下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解是( )【解析】选C.二元一次方程x-2y=2变形得y=x-1,而一次函数y=x-1的图象经过(0,-1),(2,0)两个点.有无穷多组解,则2k+b2的值为( )【解析】选B.由题意知一次函数y=kx+b,y=(3k-1)x+2的一次项系数和常数项相同,即k=3k-1,且b=2,则k=,故2k+b2=2×+22=5.二、填空题(每小题4分,共12分)4.(2012·某某中考)如图,已知函数y=x-2和y=-2x+1的图象交于点P,根据图象可得方程组的解是________.【解析】因两函数图象的交点坐标是(1,-1),故是方程组的解.答案:的解的情况为________,则一次函数y=2-2x,y=5-2x的图象的位置关系是________.【解析】因方程组无解,所以,一次函数y=2-2x与y=5-2x的图象无交点,是两条平行直线.答案:无解平行的过程中,错把b看成了6,他其余的解题过程没有出错,解得此方程组的解为又已知直线y=kx+b过点(3,1),则b的正确值应该是________.【解析】把代入y=kx+6,得2=-k+6,解得k=4,把(3,1)代入y=4x+b,得1=4×3+b,即b=-11.答案:-11三、解答题(共26分)7.(8分)如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b).(1)求b的值.(2)不解关于x,y的方程组请直接写出它的解.(3)直线l3:y=nx+m是否也经过点P?请说明理由.【解析】(1)因为(1,b)在直线y=x+1上,所以当x=1时,b=1+1=2.(2)方程组的解是(3)直线y=nx+m也经过点P.理由如下:因为当x=1时,y=mx+n=m+n=2,(1,2)满足函数y=nx+m的关系式,则直线经过点P.8.(8分)(2012·某某中考)甲、乙两地相距300km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图,线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系.根据图象,解答下列问题:(1)线段CD表示轿车在途中停留了________h.(2)求线段DE对应的函数关系式.(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车.【解析】(1)2.5-2=0.5(h).(2)设DE:y=kx+b.因为点D(2.5,80)和E(4.5,300)在DE上,所以解得≤x≤4.5).(3)设OA:y=mx,则300=5m,m=60,y=60x,根据题意,得解得3.9-1=2.9(h).所以轿车从甲地出发后经过2.9h追上货车.9.(10分)(能力拔高题)小颖和小亮上山游玩,小颖乘坐缆车,小亮步行,两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍,小颖在小亮出发后50min才乘上缆车,缆车的平均速度为180m/min.设小亮出发xmin后行走的路程为ym.图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系.(1)小亮行走的总路程是______m,他途中休息了______min.(2)①当50≤x≤80时,求y与x的函数表达式;②当小颖到达缆车终点时,小亮离缆车终点的路程是多少?【解析】(1)3600 20(2)①当50≤x≤80时,设y与x的函数表达式为y=kx+b.根据题意,当x=50时,y=1950;当x=80时,y=3600.所以解得所以y与x的函数表达式为y=55x-800.②缆车到山顶的路线长为3600÷2=1800(m),缆车到达终点所需时间为1800÷180=10(min).小颖到达缆车终点时,小亮行走的时间为10+50=60(min).把x=60代入y=55x-800,得y=55×60-800=2500.所以当小颖到达缆车终点时,小亮离缆车终点的路程是3600-2500=1100(m).。
二元一次方程与一次函数关系
y y
1 的解为 3
y 7 .
2、已知
x
y
2 是方程组
4
7x 2x
3y 2的解，
y 8
那么一次函数
y
7x
3
2 3
和 y82x的
图象交点坐标为 （2 ，4）.
总结 升华
1) 二元一次方程与一次函数的关系是： 二元一次方程的解就是对应的一次函数图象的 点的坐标;一次函数图象上的点的坐标就是对应 的二元一次方程的解.
2)二元一次方程组与对应的一次函数图象的两 条直线的关系是：
方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；两 条直线的交点坐标是对应的方程组的解；
完
数无形时少直觉 形无数时难入微
做一做：
在同一直角坐标 系中画出 y=-x+5 与y=2x-1的图像 并标出交点坐标.
｛ x+y=5 2x-y=1
解得：
x y
2 3
｛ y=-x+5 x+y=5
y=2x-1 2x-y=1
y
5 yx5
4
3
A2,3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
1 2 3 4 5x
一次函数Y=-X-2 +5和Y=2X-1的 图y象的2x交1点坐-3标(2,3)就是相 应方程组的解-4
x 1
x+y=5
的解有
y
6
x 1
y
4
x 3
y
2
……….
二、探究新知： 1、二元一次方程与一次函数的关系：
5.6二元一次方程与一次函数(正式版)详解
2.方程组
a1 x b1 y c1, 当 a 2 x b 2 y c 2 .
a1 b1 时， a 2 b2
方程组无解；反之也成立。
即时练习
2 x y 2 4．方程组 无解，则一次函 2 x y 5
数 y 2 2 x 与 y 5 2 x 的图象之间的关
x 2, y 3.
2．在同一直角坐标系内分别作出一次 函数y=-x+5 和y=2x-1的图象，并标出两个 图象的交点．
答案：
y=5-x的图象： 在图象上取两点 （0,5)，(5,0)．
5 4 3 2
y
y 2x 1
(2,3)
1
0 -1 1 2 3 4 5 x
y=2x-1的图象： -2 在图象上取两点 （0.5,0)，(0,-1)．
y 5 x
３．方程组的解和 这两个函数图象的 交点坐标有什么关 系?
x y 5 方程组 2 x y 1 的解 x 2 y 3
y 3
y 2x 1
(2，3)
2
1 0 -1 -2 1 2 3 4 5 x
y 5 x
对应两直线 的交点坐标（2,3）
数
A．重合 C．相交
B．平行 D．无法判断
5．如图，两条直线 l1与l2 的交点坐标可以看 作方程组 的解．
答案：
l2
３
y
y 1 x 1, 3 y 3 x 3. l1 2
l1 : y x 1
l2 : y x 2
3
x
解的情况如何？
探究三、二元一次方程组与对应的平行直线的关系
你发现了什么？
二元一次方程和一次函数的关系
二元一次方程和一次函数的关系
一次函数可以看成二元一次方程，两者图形一样，但意义不同。
二元一次方程的图形表示的是点的运动轨迹。
而一次函数图像表示的是x，y通过图像的依赖关系。
二元一次方程中，x，y是平等的两个未知数，而一次函数中y是依赖于x的。
任何一个二元一次方程都可化成一次函数关系式的形式。
以一个二元一次方程的解为坐标点组成的图像与相应的一次函数的图像相同，是一条直线。
即以二元一次方程的解为坐标的点一定在相应的一次函数的图像上，一次函数的图像上的点的坐标一定是相应的二元一次方程的解。
一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。
特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。
适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
每个二元一次方程都有无数对方程的解，由二元一次方程组成的二元一次方程组才可能有唯一解。
二元一次方程组和一次函数的关系：一般的，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定两条直线交点坐标。
5.6二元一次方程与一次函数
y
l1 : y = x 1
a1 b1 = 当 a 2 b 2 时，
3 2 -2 -1 0 1
l2 : y = x 2
1 2 3
x
方程组无解；反之也成立。
-1 -2
随堂练习：
y 5 4 3 2 1 -3
P124-2T
两直线平行
方程组： X+y=2 无解 X+y=5
y=5-x
2 3 4 5 6 x
1 -1 -2 -3
∴点P(2,3)
-4 两直线的交点坐标 -5 是对应方程组的解
• 2).两直线l1 : y = k1 x b1 , l2 : y = k 2 x b2 当 l1 // l2 时，则：k1 = k 2 ；反之也成立。 •
a1 x b1 y = c1, 3).方程组 a 2 x b2 y = c 2.
（二）、方程组和对应的两条直线的关系
1、方程组的 解是对应的两条直线的 交点坐标.
2、：两平行直线的k相等；方程组中两方程 未知数的系数对应成比例方程组无解,对应的两 直线平行。
（15分钟）
1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),
x = 2 x y = 5 则方程组 的解为 y = 3 . 2 x y = 1
自学检测1：8分钟 1、想一想：
y
1.方程x +y = 5的解有多少个? 无数个
x = 0, x = 5, x = 2, 是这个方程的解吗？ 都是 -4 -3 -2 -1 O y = 5; y = 0; y = 3
5 4 3 2 1
y=5-x
x
2 ．点(0,5), (5,0), (2,3) 在
2017-2018学年北师大版八年级数学上册教师用书(pdf版)：5.6二元一次方程与一次函数
{
{
ｘ＝２
ｙ ＝ －ｘ ＋１
的解是
ｙ ＝ －１
.
探求二元一次方程组与一次函数的对应 ʌ 例 ２ɔ 已知一次函数 ｙ ＝ ａｘ ＋ ２ 与 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ 的 图 像 如 图 所 示ꎬ 且 方 程 组 关系
{
７
ｙ ＝ ａｘ ＋ ２ ｘ＝２ 的解为 ꎬ 点 Ｂ 的坐标 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ ｙ＝１ 为(０ꎬ － １) ꎬ你能确定这两个一次函
( 第 １ 题)
一. 选择题
Ａ 组㊀ 夯实基础
１. 下面四条直线ꎬ其中直线上每个点的坐标都是二元一 次方程 ｘ － ２ｙ ＝ ２ 的解的是 ( ㊀ Ｃ㊀ )
２. 小亮用作图像的方法解二元一次方程组时ꎬ 在同一直 如图所示ꎬ他解的这个方程组是 ｙ ＝ － ２ｘ ＋ ２ ｙ ＝ － ２ｘ ＋ ２ Ａ. Ｂ. １ ＝ － ｙ ｘ １ ｙ ＝ －ｘ ２ ｙ ＝ ３ｘ － ８ ｙ ＝ － ２ｘ ＋ ２ Ｃ. ( ㊀ Ｄ㊀ )
ʑ ４ｋ －６ ＝ ０ꎬ即 ｋ ＝ ３ ꎻ ２
三. 解答题
若这一交点坐标适合方程 ａｘ ＋ ｙ ＝ ６ꎬ则 ａ ＝ ㊀ －２３㊀ .
( 第 ２ 题) ( －２ꎬ４) ㊀ .
二. 填空题
３. 如图ꎬ已知函数 ｙ ＝ ａｘ ＋ ｂ 和 ｙ ＝ ｃｘ ＋ ｄ 的图像交于点 Ｍ ꎬ 则根 据 图 像 可 知ꎬ 关 于 ｘꎬ ｙ 的 二 元 一 次 方 程 组 ｙ ＝ ａｘ ＋ ｂ ｘ ＝ －２ 的解为㊀ ㊀ . ｙ＝３ ｙ ＝ ｃｘ ＋ ｄ ４ｘ ＋ｙ ＝ ７ ｘ＝２ ４. 二元一次方程组 的解是 ꎬ则一次函数 ｙ ｘ ＋ｙ ＝ １ ｙ ＝ －１ ＝ １ － ｘ 和 ｙ ＝ ７ － ４ｘ 的图像的交点为㊀ ( ２ꎬ－１) ㊀ .
二元一次方程与一次函数
自主学习
达标4：
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
综合建模
1.请概括本节所学知识，尝试画出本 节所学知识的结构图。
2.通过本节课的学习，你有哪些疑问？
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
数
二元一次方程 （无数个解） 二元一次方程组 唯一解
形
一次函数（一条直 线） （无数个点） 两条直线 一个交点
自主学习
达标2： 1、已知一次函数 y =2x-1 与 y =3x+4图象如图所示，则方程组 的解为（ ）。 的解为 2、方程组
，则直线y=-x+15和y=x-7的 交点坐标是（ ）。
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
例题：直线l1：y=x+2和直线l2：y=2x-2的图象如图所示，则直线l1与l2 的交点坐标是 ．
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
小结2： （1）求二元一次方程组的解可以转化 为求两条直线的交点的横纵坐标． （2）求两条直线的交点坐标可以转化 为求这两条直线对应的函数表达式联 立的二元一次方程组的解．
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
活动一：二元一次方程和一次函数的关系
1．方程x+y=5的解有 无数个
个；
是这个方程的解吗？ 2．画出一次函数 y=-x+5的图像。
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
3.（0，5），（5，0），（2，3） 在一次函数y＝的图像上吗？ 4.在一次函数y=的图像上任取一点， 它的坐标适合方程x+y=5吗？
《二元一次方程与一次函数》教学设计
5.6二元一次方程与一次函数教学设计深圳市龙岗中学姚颖妍一、教材分析《二元一次方程与一次函数》是北师大版教科书八年级（上）第五章第六节内容。
该节内容是二元一次方程（组）与一次函数及其图像的综合应用．通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过二元一次方程方程组的图像解法，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像（直线））之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力。
本节要注意的是由两条直线求交点，其交点的横纵坐标为二元一次方程组的近似解，要得到准确的结果，应从图像中获取信息，确立直线对应的函数表达式即方程，再联立方程应用代数方法求解，其结果才是准确的。
二、学情分析在八年级上册第四章第3节学生已经学习了如何根据已知条件准确画出一次函数的图象，初步掌握了一次函数及其图象的基础知识，已经具备了函数的初步思想，对于数形结合的数学思想也有所接触。
同时，在本章中的第二节“求解二元一次方程组”中学生已经能够正确解方程（组），能够认识和接受函数解析式与二元一次方程之间的互相转换。
在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的相互转化的认识，有小组合作学习经验。
三、教学目标1、知识目标：（1）初步理解二元一次方程和一次函数的关系。
（2）掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系。
（3）掌握二元一次方程组的图象解法。
2、能力目标：（1）教材以“问题串”的形式，揭示方程与函数间的相互转化，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法。
（2）通过自主探究，进一步发展学生数形结合的意识和能力。
3、情感态度和价值观目标;（1）让学生积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲，.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程。
（2）在经历同一数学知识可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识和变式能力。
四、教学重难点1、教学重点：（1）二元一次方程和一次函数的关系。
二元一次方程与一次函数课件
想一想
在同一直角坐标系内，一次函数y=x+1和y=x-2的图
象有怎样的位置关系？
方程组 ቊ − = −1 ，
解的情况如何？
− =2
你发现了什么？
1.对于两不重合的直线
当l1平行于l2时，k1=k2；反之也成立.
2.对于方程组
，当
方程组无解；反之也成立.
2
为 （2,2）.
3. 如图，已知数 y=ax+b和y=kx 的图象交于点 P，则
根据图象可得,关于x,y的二元一次方程组 ቊ = + ，
=
= −4 ，
的解是 ቊ = −2 .
3.根据下列图象，你能说出哪些方程组的解?这些解
是什么?
y
y 2x 1
1
1
O
x
1
3
8
分0.05元的价格按上网时间计费，那么上网多久两种计费方式所
收费用相等?
解：用一次函数表示方式A，B的收费费用y与时间x的关系，
方式A：y=0.1x, 方式B: y=0.05x+20.
当方式A和B的所收费用相同时 ，0.1x=0.05x+20,
解得x=400.
故上网400分，两种计费方式所收费用相等.
且c1≠c2时，
随堂练习
1.一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),
=2，
+ =5，
则方程组 ቊ
的解为 ቊ = 3 .
2 − = 1
2.若二元一次方程组ቊ − 2 = −2 ，
的解为ቊ = 2，
= 2，
2 − = 2
1
北师版八年级数学 5.6 二元一次方程与一次函数(学习、上课课件)
确，可以将得到的解代入方程组中进行检验，如果方程
组中的两个方程同时成立，则得到的解是准确的.
感悟新知
知2－练
例2 [中考·济宁] [母题教材P124习题T3]数形结合是解决数 学问题常用的思想方法. 如图5-6-1，直线y＝x＋5和直 线y＝ax＋b相交于点P，根据图象可知，方程组
ቊyy＝＝axx＋＋5b， 的解中x的值是(
第五章 二元一次方程组
5.6 二元一次方程与一次函数
学习目标
1 课时讲解 二元一次方程与一次函数
二元一次方程组与一次函数
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 二元一次方程与一次函数
知1－讲
1. 二元一次方程与一次函数的联系 一般地，以二元一次方程 kx－y+b=0 的解为坐标的
图象 ( 即直线 ) 上有无 数个点
联系
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的 点组成的图象与相应的一次函数的图象相同， 是一条直线
感悟新知
知1－讲
ห้องสมุดไป่ตู้
感悟新知
例1 下列四条直线，其中直线上每个点的坐标都 是二元一次方程x－2y＝2 的解的是( )
知1－练
感悟新知
解题秘方：根据两点确定一条直线，对于方程x－ 2y＝2 ，令x=0，求出 y 的值，再令 y=0，求出 x 的值，即可得出与之相对 应的一次函数图象与坐标轴的交点， 即可得出图象 .
ቊxy＝＝12，，点B为直线y＝kx＋b与y轴的 交点，点B的坐标为(0，－1)，请你 确定这两个一次函数的表达式.
感悟新知
知2－练
解题秘方：把点 A 的坐标代入 y=ax+2，把 点 A， B 的坐标代 入 y=kx+b，运 用待定系数 法即可求出两个一次函数的表达式 .
《5.6二元一次方程与一次函数》课堂教学专家点评
《5.6二元一次方程与一次函数》课堂教学专家点评
马秀才老师在这节课的教学过程中，突出了学生的主体地位，教学目标准确、具体、可操作性强。
引入恰当新颖过、渡自然、内容环节紧凑。
留给学生充分的参与和交流时间与空间。
在完成每一个教学目标过程中大致可以分为“提出问题—探究问题—问题解决”三个阶段。
如在解决二元一次方程与一次函数关系时，设置五个问题让学生自主、合作、探究、交流，最后达成共识。
在解决问题过程中，不仅让学生学会了有条理地表述自己的观点想法，还使学生接纳、赞赏、互助并不断对自己和别人的观点进行诊断与反思，最后作出正确的判定。
马老师这一节课在课堂教学中呈现出许多的亮点值得老师们学习和借鉴。
1、通过小故事引起学生学习兴趣，鼓励学生积极参与，从而很自然地引入新课。
2、学生课堂表现积极，交流和谐，互补融洽。
3、老师能真正放手给学生而学生能自主探究，相互合作，坦率交流。
这样老师把自主地，有效地课堂还给了学生。
4、这节课还交给学生“数形结合”“转化”等数学思想。
总之，数学教学是数学活动的教学，而不是数学结果的教学，是师生之间，学生之间，学生之间相互交往、积极互动、共同发展的过程，是“沟通”“合作”的过程，是平等“对话”的过程。
在这样“宽松”“和谐”的环境中，不仅能培养学生自主学习，而且能使学生养成探究习惯，形成创新的能力。
点评专家：
工作单位：
职务：数学教研组长。
5.6二元一次方程与一次函数
1 X【知识回顾】1.、方程组有____个解；2、方程组有___个解；3、方程组有_____个解；4.两条直线互相平行，有_____交点；两条直线重合，有 _____交点；两条直线相交，有 _____交点；【自主探究一】1.请画出一次函数y=5—x的图象2.方程x+y=5的解有多少个？写出其中的3个_____ _____ _____3.在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5—x的图象上吗？小结：以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的___________上。
【自主探究二】2. 上述方程移项变形转化为一次函数y=______________ 和y=______________ 在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图象并写出它们交点的坐标（，）3.比较他们的交点与所对应的二元一次方程组的解他们存在怎样的关系呢？结论：方程组的解是对应的__________________的交点.两条直线的交点坐标是对应的__________________解。
1.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+.12,5yxyx24.做一做：一次函数y=3x-5与y=2x+b 的图象的交点坐标为P （1，-2）试确定方程组和b 的值【巩固练习1】1.直线y=-2x+3 与直线y=2x 的交点坐标是）23，43（则方程组232y x y x =-+⎧⎨=⎩ 的解是_____2.方程组 的解是 ，则直线y=-x+4 与直线y=x+4的交点坐标是___ 3、图中的两条直线的交点坐标是（1,3），则该坐标可以看作方程组_____ 的解。
4.利用函数图象解二元一次方程组5.和y=x-2的图像有着怎样的关系?【巩固练习2】1.以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图形，所得两条直线（ ） A. 有无数个交点 B.没有交点 C. 只有一个交点 D. 以上都有可能2. 若方程组没有解,由此一次函数y=2-x 与y=-x 的图像必定 ( ). A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断3.求两条直线y=x-2 ，y=-x+4与x 轴所围成图形的面积？【小结反思】画出凝练图【达标检测】1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在一次函数_________的图像上.2、方程组的解是_________由此可知一次函数y=x+4与y=-3x+16的图像必有一个交点，且交点坐标是_________ 3、函数y=x-1的图象与函数y=-2x+5的图象的交点坐标是_________4、已知直线y=2x+k 与直线y=kx-2的交点横坐标为2，则k 的值是6 , 交点坐标为______y=-x+4y=x+4x=4y=03。
5.6 二元一次方程与一次函数 公开课
计费；方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元
的价格按上网时间计费。顾客选择那种收费方式
更划算呢？
你能用不同的方法解决 吗？
方法一：设上网时间为x分钟，收费为y元。 方式Ａ: y=0.01x元； y=(0.05x+20)元。 方式Ｂ: y =0.1x x =400 解方程组 y=0.05x+20 得 y =40 y(元) 故交点坐标为 (400,40) 。 40 由图象知： 20 选方式A省钱； 当0 < x < 400时， 当x = 400时， 选方式A或 B都一样； 0 当x > 400时， 选方式B省钱。
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.二元一次方程组与一次函数的关系
2.利用图像法解二元一次方程组
3.二元一次方程组无解的原因
达标测试 1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在
一次函数 y=2x-1 ______的图像上.
2、方程组
x-y=4 的解是 3x-y=16
y=-3x+16 (6，2)
x=6 y=2 ，由此可知
7 6 5 y= － x+5 y= － x+2 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2
x
归纳
（1）对应关系
二元一次方 程组的解
两个一次函数 图的交点坐标
两个一次函数
(2)图象法解方程组的步骤：
①将方程组中各方程化为y=kx+b的形式；
②画出各个一次函数的图象； ③由交点坐标得出方程组的解．
课前回顾
一次函数的关系式_________ 一次函数的图象___________
课前回顾
x y 2 1、方程组 x y 5 x y 3 2、方程组 2 x 2 y 6
北师大版数学八年级上册教学设计：5.6二元一次方程与一次函数
-作业的批改和反馈将作为学生知识掌握情况的重要依据，我会及时给予学生反馈，帮助他们发现并改正错误。
2.培养学生的团队协作意识，提高学生的沟通能力。
通过小组讨论、合作学习等方式，培养学生团队协作意识，提高学生在解决问题过程中的沟通能力。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高学生的数学应用能力。
教学过程中，强调数学知识在实际生活中的应用，使学生认识到数学学习的实用价值，提高学生的数学应用能力。
4.团队合作题：
-分组进行一次小组讨论，每组选择一个较复杂的实际问题，共同探讨解决方案，并在课堂上进行分享。
作业布置的目的是为了让学生在课后能够自主复习和深化理解，同时也是为了培养学生的独立思考和团队协作能力。在布置作业时，我会强调以下几点：
-作业完成过程中，要求学生保持良好的学习习惯，书写工整，步骤清晰。
（三）学生小组讨论
在这一环节，我将组织学生进行小组讨论。首先，将学生分成若干小组，每组选定一个组长，确保每个小组成员都能积极参与讨论。
然后，给出几个实际问题，让学生运用二元一次方程和一次函数进行分析和求解。例如：“某商店进行打折活动，原价为100元，打八折后的价格为80元。请问打几折时，价格最低？”
在此基础上，教师应关注学生个体差异，针对不同学生的学习需求，提供有针对性的指导，激发学生的学习兴趣，帮助他们克服学习中的困难，从而提高学生的数学素养和应用能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：二元一次方程的解法及其与一次函数的关系。
学生需要掌握代入法、消元法等解二元一次方程的方法，并理解一次函数图像与二元一次方程解的关系。
二元一次方程与一次函数
04
实例分析
实例一：二元一次方程的解法与应用
详细描述
1. 介绍二元一次方程的概念和定义
3. 举例说明二元一次方程在实际问题中的应用，如计算时间、速度等问题
2. 解析二元一次方程的解法，包括代入消元法和加减消元法等
详细描述Biblioteka 总结词：了解二元一次方程与一次函数在投资理财中的应用，掌握投资策略
详细描述
1. 介绍投资理财的基本概念和二元一次方程、一次函数在其中的应用
2. 分析如何利用二元一次方程和一次函数制定投资策略，如计算收益率、风险等
3. 举例说明二元一次方程和一次函数在股票、基金等投资中的具体应用技巧
实例三
05
代数法
几何法
例如
通过图形方法求解二元一次方程。
对于方程 `3x + 2y = 18`，可以通过代数法求解x或y的值。
03
二元一次方程的解法
02
01
如行程问题、价格问题等都可以转化为二元一次方程问题进行求解。
实际生活中的问题
如几何问题、代数问题等也可以通过二元一次方程进行求解。
数学问题
二元一次方程的应用
总结词：理解二元一次方程的解法，掌握应用技巧
实例二：一次函数的图像与性质分析
3. 举例说明一次函数在实际问题中的应用，如计算时间、速度等问题
2. 分析一次函数的图像特点，包括与x轴、y轴的交点、斜率等
1. 介绍一次函数的概念和定义，包括解析式、定义域和值域等
总结词：掌握一次函数的图像特点，理解并应用其性质
总结与回顾
01
02
二元一次方程的概念
56二元一次方程与一次函数
56二元一次方程与一次函数二元一次方程与一次函数是数学中的两个重要概念，它们在代数中起着重要的作用。
二元一次方程是一次方程的一种特殊形式，而一次函数是多项式函数中最简单的一种形式。
本文将详细介绍二元一次方程与一次函数的概念、性质、解法、应用等内容。
一、二元一次方程1.概念：二元一次方程是形如ax+by+c=0的方程，其中a、b和c是已知常数，且a与b不同时为0，x和y是未知数。
2.性质：（1）二元一次方程有且仅有两个变量；（2）二元一次方程与一次方程一样，都是线性方程；（3）在二元一次方程中，当a、b或c有任何一个为0时，方程都不再是一元一次方程了；（4）二元一次方程有无穷多个解，解集是由满足方程的有序数对组成的集合。
3.解法：解二元一次方程的常用方法有：（1）代入法：将一个变量的值用另一个变量表达，并代入方程中求解；（2）消元法：通过适当的运算，将一个变量的系数变为零，从而使方程简化为只含一个变量的一次方程；（3）克莱姆法则：利用克莱姆法则，通过求解系数矩阵的行列式可以得到方程组的解；（4）图像法：将方程表示为平面上的一条直线，通过观察直线与坐标轴的交点得到方程的解。
4.应用：二元一次方程在实际生活中有广泛的应用。
例如，在平面几何中，利用二元一次方程可以描述直线的性质和位置关系。
在经济学中，利用二元一次方程可以描述供需关系和市场均衡等问题。
另外，二元一次方程还可以用来解决运动和路径问题等。
二、一次函数1.概念：一次函数是指一次多项式与未知数之间的关系，其一般形式为y=kx+b，其中k和b是已知常数，x和y是未知数。
2.性质：（1）一次函数的图像是一条直线，且经过原点（0，0）；（2）一次函数的斜率k表示了函数图像的斜率或变化率；（3）当斜率k为正数时，函数图像呈上升趋势；当斜率k为负数时，函数图像呈下降趋势；（4）当斜率k为零时，函数图像水平，表示函数为常数函数。
3.解法：解一次函数主要有两种方法：（1）由函数的形式进行解析：通过对一次函数进行变形或运算，得到函数的特定性质，如斜率、截距等；（2）通过函数图像进行解法：通过观察函数图像的趋势和性质，得到函数的特点和解的性质。
5.6 二元一次方程与一次函数
当堂训练：10分钟
《名师大课堂》53页当堂训练
1.方程x +y 5的解有多少个? 无数个
x 0, x 5, x 2, 是这个方程的解吗？ 都是 y 5; y 0; y 3
2 ．点(0,5), (5,0), (2,3) 在 一次函数y=-x+5的图象上吗？
5.6 二元一次方程与一次函数
主备人：侯亮 备课时间：2014.11.22
学习目标：1分钟
1.理解二元一次方程与一次函数的关系。
2.能运用求方程组的解的方法确定两个一次函数 图象的交点坐标。
自学指导1：5分钟
自学课本P123做一做之前的内容，并思考： 1、思考课本中的四个问题。 2、x+y=5是一次函数么？y=5-x是二元一次方程么？ 一个二元一次方程可以看成是一个 一次函数 。 一个一次函数也可以看成是一个 二元一次方程 。 3、二元一次方程组有几个二元一次方 程？ 2个 。对应着几个一次函数？ 2个 。
x
1 -2 o
1 y x 2
-4
自学指导3：5分钟
自学课本P124想一想，完成P124随堂练习—2T
没有。平行自学检测3 Nhomakorabea3分钟
有 0 个解；
x y 2 1、方程组 x y 5 x y 3 2、方程组 2 x 2 y 6
3 x y 7 3、方程组 2 x y 5
自学课本P123做一做，思考并完成下列问题： 1、求直线y=5－x与直线y=2x－1的交点坐标有几种方 法？ 有两种方法，一种可以通过画函数图象，另一种可 以通过解二元一次方程组。
2、二元一次方程组的解与两个一次函数图象的交点之 间有什么关系？
5.6二元一次方程与一次函数
1 2 3 4 , (2,3) 在一次函数 y=-x+5 的图象上吗？
３ 在一次函数y=-x+5的 图象上任取一点，它的 坐标适合方程x+y=5吗？
y
5 4 3 2 1
y=5-x
x
-4 -3 -2 -1 O
1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5
(2,3)
３．方程组的解和 这两个函数图象的 交点坐标有什么关 系
0 -1
1
2
3
4
5 x
x = 2， x y = 5， -2 方程组 的解 是 2 x y = 1 y =3
对应两直线的交点坐标(2,3).
１．方程组的解是对应的两条直线的 交点坐标.
２．两条直线的交点坐标是对应的 方程组的解.
5.6 二元一次方程
与一次函数
x+y=5这是什么？
二元一次方 程
一次函数
这是怎么 回事？
想一想：
y
1.方程x +y = 5的解有多少个?
无数个
-4 -3 -2 -1 O
5 4 3 2 1
y=5-x
x
x = 0, x = 5, x = 2, 是这个方程的解吗？ y = 5; y = 0; y = 3
l2
3 2 1 -2 -1 0 -1 -2
y
l1
3 1 2 3
x
4 x= , y = x 2, 3 联立 解得 y = 2 x 2, y = 2 . 3 4 2 直线l1与l2的交点坐标是 ( , ). 3 3
1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点(2,3),
有
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2、两条线的交点坐标 是对应的方程组的 解.
特别的：两平行直线的k相等；方程组中两方程 未知数的系数对应成比例方程组无解,对应的两 直线平行。
小结
拓展
知识的升华
1) 二元一次方程与一次函数的区别与联系
二元一次方程的解就是一次函数图象上的点的坐标; 一次函数图象上的点的坐标就是二元一次方程的解.
②画：画出各个一次函数的图象；
③得：由交点坐标得出方程组的解．
用图像的方法可以 解决方程的问题。
二元一次方程(组） 和一次函数的关 系
数形结合方法
x = 2 x 2 y = 2 1、若二元一次方程组 的解为 y = 2 2 x y = 2
则函数
1 y = x 1 2
作出图象：
y=2/3 - 4
o y
观察图象得：交点(3,-2) ∴方程组的解为 x=3 y=-2
y=-2x+4
讨论、更正、点拨：（4分钟） （一）、二元一次方程和一次函数图象的关系
1、以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的函数 图象上. 2、一次函数图象上的点的坐标都适合对应的二元 一次方程.
（二）、方程组和对应的两条直线的关系
1 2 3 4 5 x
-1 一次函数 y=5-x与 y=2x-1的图象的交点为(2,3), 因此 x=2 就是方程组 x+y=5 的解 y=3 2x-y=1
知识源于悟
“解”与“点”
二元一次方程组的解与对应的两条直线交点的关系
从数的角度看：
方程组的解是对应的两条直线 的交点坐标.
从形的角度看：
两条直线的交点坐标是对应的方 程组的解.
思路2：由解方程组，得到交点坐标． (把形的问题归结为数的解决，便捷准确)
练习
函数y=-x+4和y=2x+1图象的交点为(1,3),
y+x=4 则方程组 y-2x=1 x=1 的解为 y=3
.
x-2y=-2 x=2 若二元一次方程组 2x-y=2 的解为 y=2 ，
则函数y=0.5x+1与y=2x-2的图象的交点坐标 为
与
x 2 y = 2, ∴方程组 2 x y = 2
1 y = x 1 2
的图象的交点，
y=3 的解是__________.
x=2
例题:用图象法解方程组：
2x+y=4 2x-3y=12
解：
①
②
x
由①得: y = 2 x 4 y=2/3 - 4 o
2 由②得: y = x 4 3
自学检测1：8分钟 1、想一想：
y
1.方程x +y = 5的解有多少个? 无数个
x = 0, x = 5, x = 2, 是这个方程的解吗？ 都是 -4 -3 -2 -1 O y = 5; y = 0; y = 3
5 4 3 2 1
y=5-x
x
2 ．点(0,5), (5,0), (2,3) 在
两条直线相交，有 1个 交点；
上一页
例. 求如图的两条直线的交点：
8
y
解:由图可知: 两条直 线的交点坐标为(3,3)
6
检验: 代(3,3)分别入函数
-10 -5
4
3
2
y=2/3x+1和
o
-2
y=3/5-2中,都适合.
2 y = x 1 3 y=
3
5
x
5 x2 3
-4 -6
• 当几个一次函数中的k相同时,函数的图象互 相平行,两条直线没有交点. 因此,没有一组 数同时适合方程x+y=2和x+y=5.
函数y=x-1的图象上有一点为
(2,1)
.
一次函数y=2x-4上有一点坐标为(3,2), 则方程2x-y=4有一个解为
x=3 y=2
.
做一做
①
:
②在 同一坐标系中画图象
y
5 4 3 2 1
0
解方程组
y=5-x
y=2x-1
(2, 3)
x+y=5
2x-y=1
作出图象： 观察图象得：交点(3,-2) x=3 ∴方程组的解为 y=-2
y
y=-2x+4
用图象可以 解决方程问题
说一说，怎样用图象法解方程组呢？
探究展示
活动三：解二元一次方程组的新方法—图象法
用图象法解方程组：
2x+y=4 2x-3y=12
① ②
x
解：由①得: y = 2 x 4
2 由②得: y = x 4 3
5.6 二元一次方程与一次函数
十七世纪法国数学家笛卡尔有一次生病卧床，他看见屋顶上 的一只蜘蛛顺着左右爬行，笛卡尔看到蜘蛛的“表演”猛的灵机 一动。他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运 动，能不能知道蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？ 在蜘蛛爬行的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系，直角坐标 系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁。在坐标系下几何图 形（形）和方程（数）建立了联系。笛卡尔坐标系起到了桥梁和 纽带的作用，而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图象 来研究方程。 这节课我们就来研究二元一次方程（组）与一次函数（形）的 关系。
都在 一次函数y=-x+5的图象上吗？
1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5
４ ．以方程x+y=5的解为 ３ ．在一次函数y=-x+5 坐标的所有点组成的图象 的图象上任取一点，它 的坐标适合方程x+y=5吗？ 与一次函数y=-x+5的图象 相同 适合 相同吗？
二元一次方程x+y=5的解 是一次函数y=5-x图象上点的坐标， 反之 一次函数y=5-x图象上点的坐标 是二元一次方程x+y=5的解
2) 二元一次方程组的解法总共学习了哪几种? 加减法;代入法;图象法. 3) 方法归纳 用图象法解二元一次方程组 优点:方法简便,形象直观;体现了数形结合思想. 不足:一般情况下求出的是近似数;要想精确还要
用代数方法,进行细致计算.
图象法解方程组的步骤：
①变：将方程组中各方程化为y=kx+b的形式；
方程x+y=5可以化为一次函数y=5-x
知识源于悟
“解”与“点”
二元一次方程的解与一次函数图象上点的关系
从数的角度看：
以二元一次方程的解为坐标的点 都在对应的函数图象上;
从形的角度看：
一次函数 的图象上的点的坐标都适 合对应的二元一次方程.
练习
x=2 方程x-y=1有一个解为 ，则一次 y=1
(2,2)
.
知识重于用
学以致用
x y = 5, 的解， 是方程组 2 x y = 1
1、∵
x = 2, y = 3
∴在一次函数 y = 5 x 与 y = 2 x 1
（2 ,3） ； 的图象的交点为_________
2、∵通过作图象得：点（2，2）是一次函数
y = 2x 2
二元一次方程组的解与以 这两个方程所对应的一次函 数图象的交点坐标相对应。
由此可得:
二元一次方程组的图象解法.
求直线y = 2 x 7 与 y = 3x 9 直线的交点坐标。 你有哪些方法 ? 与同伴交流，并一起分析各种方 法的利弊．
思路l：画出图象找出交点，确定交点坐标近似值．
(因作图误差可能有较大差别)
1
0
1
3 8 y = x 5 5
x+2y=0 x-y=-3
x
-2
0
x
2x-y=1 3x+5y=8
方程组 x+y=2 的解是什么？ 无解
x+y=5 你能从函数的角度解释一下吗？
y
5 4 3 2 1 -2 -1 O -1 1 2 3 4 5
x
y=2-x y=5-x
两条直线互相平行，有
0个
交点；
两条直线重合，有 无数个 交点；
y = 2x 2
与
的图象的交点
坐标为 （2，2） .
2.如图，已知函数 y = ax b 和 y = kx的图象交于点P, 则
y = ax b 根据图象可得，关于 的二元一次方程组的解是 y = kx x=-4
y=-2
3．根据下列图象，你能说出是哪些方程组的解 ?这些解是什么? y y = 2x 1 1 y y = x3 y= x 2 1