二诊综合训练二2012.3.17(教师)

二诊综合训练二 姓名：______________2012.3.17例1 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________.解析：根据已知条件，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，而由等差数列性质得，a 3＋a 6＝a 4＋a 5，所以，a 4＋a 5＝0，又a 4＝1，所以a 5＝－1.点评：（1）根据基本量用方程思想求解；（2）注意结合性质与巧设未知数求解. 再练1：(2011·湖北高考)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．[解] (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)， 故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2，再练2：(2011·四川高考)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝ ( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．43D ．43＋1解析：由a n ＋1＝3S n ⇒S n ＋1－S n ＝3S n ，即S n ＋1＝4S n ，又S 1＝a 1＝1，可知S n ＝4n －1.于是a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44.再练3：已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝m ，a n ＋1＝λa n ＋n ，b n ＝a n －2n 3＋49.(1)当m ＝1时，求证：对于任意的实数λ，数列{a n }一定不是等差数列；(2)当λ＝－12时，试判断数列{b n }是否为等比数列．解：(1)证明：当m ＝1时，a 1＝1，a 2＝λ＋1，a 3＝λ(λ＋1)＋2＝λ2＋λ＋2.假设数列{a n }是等差数列，由a 1＋a 3＝2a 2，得λ2＋λ＋3＝2(λ＋1)， 即λ2－λ＋1＝0，Δ＝－3<0，∴方程无实根．故对于任意的实数λ，数列{a n }一定不是等差数列．所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2. 因此{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．(2)当λ＝－12时，a n ＋1＝－12a n ＋n ，b n ＝a n －2n 3＋49. b n ＋1＝a n ＋1－2(n ＋1)3＋49＝⎝⎛⎭⎫－12a n ＋n －2(n ＋1)3＋49＝－12a n ＋n 3－29＝－12⎝⎛⎭⎫a n －2n 3＋49＝－12b n ，b 1＝a 1－23＋49＝m －29. ∴当m ≠29时，数列{b n }是以m －29为首项，－12为公比的等比数列；当m ＝29时，数列{b n }不是等比数列．再练4：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，判断{1S n}与{a n }是否为等差数列，并说明你的理由．解：∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又∵a n ＋2S n S n －1＝0，∴S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)．∴1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又∵S 1＝a 1＝12，∴{1S n}是以2为首项，2为公差的等差数列．∴1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n .∴a 1＝12，a 2＝－14，a 3＝－112. 显然a 2－a 1≠a 3－a 2. ∴数列{a n }不是等差数列．综上可知，{1S n}是等差数列，{a n }不是等差数列．再练5：已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于 ( ) A ．2B ．4C ．8D ．16[解析] 由已知数列的性质得a 3a 11＝a 27，则a 3a 11＝a 27＝4a 7,即a 7(a 7－4)＝0.∵a 7≠0，∴a 7＝4.∴b 7＝4. 由等差数列的性质得b 5＋b 9＝2b 7＝8.再练6： (2011·广东高考)已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 解析：由题意得2q 2－2q ＝4，解得q ＝2或q ＝－1.又{a n }单调递增，得q ＞1，∴q ＝2. 再练7：已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在解析：∵S 20＝a 1＋a 202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10.∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a 7＋a 142)2＝25. 当且仅当a 7＝a 14时取等号．例2 (2011·新课标全国卷)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和．[解] (1)设数列{a n }的公比为q . 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q ＞0，故q ＝13. 由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，得a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)． ∴1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2n n ＋1. 所以数列{1b n }的前n 项和为－2n n ＋1.例3 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图像过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *. (1)求f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′(1a n )，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式；(3)记b n ＝a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：43≤T n <2.[解] (1)由f ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2n ，16n 2a －4nb ＝0，解得a ＝12，b ＝2n ，即f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *)．(2)由条件得1a n ＋1＝1a n ＋2n ，∴1a n ＋1－1a n＝2n ，累加得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝2＋2(n －1)2(n －1)＝n 2－n ⇒1a n ＝(n －12)2⇒a n ＝1(n －12)2＝4(2n －1)2(n ∈N *)． (3)b n ＝a n a n ＋1＝4(2n －1)(2n ＋1)＝2(12n －1－12n ＋1)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1 ＝2⎣⎡⎦⎤(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)＝2(1－12n ＋1)<2.∵2n ＋1≥3，故2(1－12n ＋1)≥43， ∴43≤T n <2.例4 已知直线y ＝3x ＋a 与曲线f (x )＝x 3＋1相切，则a 的值为________．解析：据题意设切点为(x 0，y 0)，由于f ′(x )＝3x 2，由导数的几何意义可知⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＝3，x 30＋1＝3x 0＋a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝3.或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1a ＝－1再练1：(2011·辽宁高考)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，＋∞)解析：令函数g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2＞0，因此，g (x )在R 上是增函数，又因为g (－1)＝f (－1)＋2－4＝2＋2－4＝0.所以，原不等式可化为：g (x )＞g (－1)，由g (x )的单调性，可得x ＞－1.再练2：若函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，则m 的取值范围为________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0⇒m ≥－(3x 2＋4x )＝－3 (x 2＋43x )＝－3(x ＋23)2＋43. ∴m ≥43.再练3：(2011·江西高考)设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a 的取值范围；(2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．[解] (1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a ，当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a ；令29＋2a ＞0，得a ＞－19.所以，当a ＞－19时，f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间(2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a2. 所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)，又f (4)－f (1)＝－272＋6a ＜0，即f (4)＜f (1)．所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163. 得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.再练4：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′(23)＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0，②由①②解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4，∴1＋a ＋b ＋c ＝4.∴c ＝5. (2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4. 令f ′(x )＝0，解之得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，y ，y ′的取值及变化情况如下表：∴y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为27.。