lllx-I-06

VE
E
F
O1
C
例6–10：图示机构，已知在图示瞬时，杆OA角速度为ω0，求杆 BD的角速度以及C点的速度。
OA = AB = r
BD = 3r
O
30 o
ω0
A
D
60 o
B
C
O
30 o
ω0
A
[解]：AB杆的瞬心E位于杆BD的中点。
D
60 o
VA
ω AB =ຫໍສະໝຸດ VA AE=ω0 ⋅ r
r 2
= 2ω 0
两点速度同向平行(二)
VA VB
A
B
VA VB
B
瞬心无穷远，瞬时平动
例6–9：试画出下列各图中作平面运动构件的速度瞬心位置及角 速度转向。
ECD
ω
VC
D
C
VD
O1 B O1 O2
OA
A B O
VB C OBC ω VC
VA
A
ω
ω
O
VA OCE
VC
A
E
VE
C
O AB B
A O B
VB
VA
y
B
C
60 o
o A
VA x
例6–8：在图示机构中，滑块A和B分别沿坐标轴运动。在图示位 置，已知滑块A的速度VA=50cm/s，求滑块B及AB中点C的速度。
y
B
VB
C
30
o
[解]：B点速度方向如图
VB cos30 o = V A cos60 o
VB = VA tan30o = 50 3 = 28.8 cm s
y
S
B
ϕ A (xA , yA )
对平面图形S，可通过其上任意 一条直线段AB来描述其位置。 确定直线段AB需要三个参数
o
x 平面图形的运动方程，刚体平面运动的运动方程：
x A = f1 (t ) y A = f 2 (t )
ϕ = f 3 (t )
6—2 平面图形运动分解成平动和转动
一. 平面图形运动的分解
6—3 平面图形内各点的速度
一. 速度合成法，基点法
Vr =V MO Va =V M Ve =V O
点M作复合运动 牵连运动：以基点O为原点的动系的 平动，Ve=VO。
VM = Va = VMO + VO
M
ω
O
r
VO
相对运动：点M绕基点O的圆周运动， Vr= ω ·r，方向如图。 合成法，基点法：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与 该点绕基点转动的速度的矢量和。
n a rn = a MO
牵连运动：以基点 O 为原点的 动系的平动，ae=aO。 相对运动：点 M 绕基点 O 的圆 周运动，相对加速度有法向和 切向分量。方向如图。
n τ a M = a a = a O + a MO + a MO = a O + a MO n a MO = ω 2 r τ a MO = rε
例6–5：如图所示曲柄连杆机构，OA长r=30cm，以n=50rpm作逆 时针转动，试求图示位置时滑块B的速度。
A
ω
O
75o
B
VA
A
75o
VA VB V BA
ω
O
B
[解]：对连杆AB，以A为基点，A点速度如图 50 × 2 × π V A = r ⋅ ω = 30 × = 157 cm s 60 V B = V A + V BA B点速度矢量图如上
n 2 a BA = AB ⋅ ω AB = 30 × tan 75o × 0.376 2 = 15.83 cm s 2
将加速度矢量式投影到AB方向
n a B = a BA cos15o = 16.38 cm s 2
o τ 将加速度矢量式投影到aA方向 a B sin15 = a A − a BA τ aBA a A − aB sin15o ε AB = = 7.31 rad s 2 = tan 75o × 30 AB
ω
确定速度瞬心的方法 已知图形上两点速度不平行
VA
ω
B
C
A
VB
V A // − V B A
VA
C为瞬心
图形上两点速度反向平行
VB
C
ω
B
V A // V B V A ≠ VB
A
两点速度同向平行(一)
VA VB
B
ω
C为瞬心
V A // V B V A = VB
V A // V B V A = VB
A
VA = 163 cm s VB = o cos15
例6–6：平面机构如图，已知杆O1A、O2B的角速度分别为ω1和ω2， 转向如图。在图示瞬时，杆O1A铅直，杆AC、O2B水平，且
O2 B = b O1 A = 3b 求C点速度大小
y
30 o
A
C
B
ω2
x
O2
ω1
O1
[解]：以A为基点，C点速度矢量图如图
A1
B
S
平面II与平面I平行，与物体B相 交，得平面图形S。 物体B上任意一条与平面I垂直的 直线A1A2都作平动，因此该直线 与平面图形S的交点A代表了该直 线的运动。
II
A
A2
I
刚体的平面运动，可以简化成平面图形在自身平面内的运动 来研究。
例6–4：刚体平面运动简化实例
二. 对平面图形的运动描述
2 2 VC = V A + VCA
二. 速度投影定理
Vr =V MO
Va =V M β Ve =V O
M
ω
O
由基点法
r
αV
O
VM = VO + VMO
投影到OM方向 VM ⋅ nOM = (VMO + VO ) ⋅ nOM = VMO ⋅ nOM + VO ⋅ nOM = VO ⋅ nOM 速度投影定理： 平面图形上任意两点的速度在此两点连线上的投影彼此相等。
ω AB
VBA VA ⋅ tan15o = 0.376 rad s = = o AB OA ⋅ tan 75
ω
O
aA
A
75 ω AB
o
ε AB
n a BA
aA
aB
B
τ a BA
对连杆AB，以A为基点，A点加速度如图 50 × 2 × π 2 2 a A = r ⋅ ω = 30 × ( ) = 822.5 cm s 2 60 n τ B点加速度矢量图如上 a B = a A + a BA + a BA
VA
VO
αV
O
VO
VC = VCO − VO =
VO
ω ω − VO = 0
结论：若平面图形的角速度不为零，则在该 VB 瞬时，图形 ( 或延伸部分 ) 上总有速度为零的 点，该点称为瞬时速度中心，简称瞬心。平 面图形作定轴转动，瞬心就是转动轴；若平 动，则瞬心在无穷远。 在每一瞬时，可认为平面图形绕其速度瞬心作定轴转动
θ VE P ω BC
B
VEN
ω BC = VB PB = 0.25 rad s
以B为基点，研究N点速度
V N = V B + V NB
以N为基点，研究E点速度 V E = V N + V EN = V B + V NB + VEN 向EN方向投影 VE cos30 o = −VB cos60 o + VNB
VB
A
ω0
VNB = NB ⋅ ω BC = 30 mm s
VE = 21.65 mm s
ω DE = VE DE = 0.258 rad s
6—4 平面图形内各点的加速度
基点法求平面运动加速度
τ a rτ = a MO
a a =a M 根据平面图形运动的分解，点 M作复合运动。
M
ω ε
O
r
aO
a e =a O
[解]：杆BC的瞬心如图为D
ω
O
V VC o C r V A 30 30 o A
b
以铰链A为动点，BC为动系，A的 速度矢量图如图
Ve
B
60
o
b
O1
D
ω V B O1 B
3R ω BC = Ve AD = Rω AD = ω 2b 3R VC = ω BC ⋅ CD = ω × 2b = 3 Rω 2b 3R 2b VB = ω BC ⋅ BD = ω× = Rω 2b 3 Rω ω O1 B = VB BO1 = 方向如图 r
例6–15：轮子在水平地面上作纯滚动，轮心的速度和加速度分别 为VA和aA，试计算竖直直径上B、C的加速度。
ε
B r
A aA V A
C
τ a BA
ω
aA
[解]：由于轮纯滚动，C是轮子的瞬心 ω = VA r 两边同时求导 ε = a A r 以A为基点，可得B点的加速度矢量图 n τ a B = a A + a BA + a BA
例6–7：如图所示曲柄连杆机构，OA长r=30cm，以n=50rpm作逆 时针转动，式求图示位置时滑块B的速度。
VA
A
ω
O
75o
VB
B
[解]：A点和B点速度方向如图 根据速度投影定理，将两点速度投影到AB连线上
VB cos15o = V A
VA = 163 cm s VB = o cos15
例6–8：在图示机构中，滑块A和B沿坐标轴运动。在图示位置， 已知滑块A的速度大小VA=50cm/s，求滑块B及AB中点C的速度。