几个经典概率故事的解读

几个经典概率故事的解读摘要伴随着社会科学的迅猛发展，数学在生活中的应用越来越广泛，在我们的身边可以说是“无所不在”的；作为数学的一个重要部分——概率论，同样也具备着十分重要的作用.概率论是数学的一个重要分支，是专门研究讨论和揭示自然界中随机发生的现象及规律的数学学科,在实际生活有广泛的应用,把条件概率的知识运用到生活中，提出并解决问题.关键词：条件概率；贝叶斯公式；诚信；坚持不懈AbstractWith the rapid development of social sciences ,mathematics has widely used in our daily life ,can to say no wherever ,whatever as an important part of mathematics, probability theory，and also play a very important role .Probability theory as an important branch of mathematics, it is a specialized research and reveal the random phenomenon and its regularity in mathematics discipline, has widely application in real life, can only be better reasonable use conditional probability knowledge to practice. Using probability knowledge to explain the case in real life.Keywords：Conditional Probability；Bayes formula；integrity；persistence目录摘要 (I)Abstract........................................................................................................................ I I 目录 . (III)1.引言 (1)2.《范进中举》故事及其概率解读 (1)2.1《范进中举》的故事概述 (1)2.2概率乘法公式解读《范进中举》 (1)2.2.1条件概率 (1)2.2.2 概率乘法公式 (1)2.2.3 用概率乘法公式解读《范进中举》 (2)2.3 用概率思想解释水滴石穿 (2)2.4用概率思想解释的现实问题 (3)2.5《范进中举》引申的社会意义 (3)3．《狼来了》故事及其概率解读 (5)3.1《狼来了》故事概述 (5)3.2 用贝叶斯公式解读《狼来了》 (5)3.2.1贝叶斯公式 (5)3.2.2 用贝叶斯公式解读《狼来了》 (5)3.3用概率思想解释银行贷款问题 (6)3.4用概率思想解释现实问题 (7)3.5《狼来了》引申的社会意义 (9)4.总结 (11)参考文献 (12)谢辞 (13)1.引言条件概率是概率论知识的一个重要部分，它是在解决各种实际问题的实践过程中发展起来的，而利用条件概率知识也可以解释我们熟悉的故事或者身边的实例.本文从概率论的角度出发，用概率乘法公式对熟悉的《范进中举》故事进行概率解读，用贝叶斯公式对《狼来了》故事进行概率解读，并用故事中包含的概率思想解释现实生活中的问题.从故事本身出发引申出社会意义，对读者有一定的启发.2.《范进中举》故事及其概率解读2.1 《范进中举》的故事概述《范进中举》出自《儒林外史》，主人公范进，一生穷困潦倒，但却不愿放弃科考，想要金榜题名，光宗耀祖，可一考就是二十多次，都屡试落第，直至年过半百才迎来他人生中的第一大喜事——中秀才，继而他乘胜追击，参加乡试，获得举人这个士子都梦寐以求的称号.文章中对主人公范进的描写生动形象，大量运用夸张的措辞，深刻揭露了古代仕人渴望官职的丑恶灵魂，同时也批露了世态的炎凉.2.2概率乘法公式解读《范进中举》2.2.1条件概率一般来说，条件概率就是 在“已知某事件B 发生”的条件下，求事件A 发生的概率，这个概率称为在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率，表示为()B A P |.定义：设A 与B 是样本空间Ω中的两事件，若0)(>B P ，则称()()()B P AB P B A P =|为“在B 发生下A 的条件概率”，称为条件概率.2.2.2 概率乘法公式对∀的两个事件B A ,,若0)(>B P ,则有()()()B P B A P AB P ⋅=|,推广有，若0)...(121>-n A A A P ,则()()()()()1-n 21n 213121n 21|||A A A A P A A A P A A P A P A A A P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅即为概率乘法公式.2.2.3 用概率乘法公式解读《范进中举》在故事中范进前20多次都未能考中，直到老年，最后一次中的举人，求他中举的可能性为多少，关于这个问题我们可以用概率论的知识来解决，即用乘法公式来解释：假设每一次考试，范进考中的概率为0.3（可能性很小），令j A 表示“第j 次考试并未考中”⋅⋅⋅=3,2,1j 则连续十次他都不中的概率()()()()()0282.03.01||10921101211021≈-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅A A A A P A A P A P A A A P , 即考中的概率为9718.00282.0-1=，即为%18.97，所以他最后一次中举是肯定的.2.3 用概率思想解释水滴石穿以前，每逢下雨，屋檐下就会出现一个一个的小坑.原来，这是雨水击打地面，时间久了就会出现小坑,如果在雨水击打地面的地方放一块石头，一段时间的连阴雨过后，石块上雨水击打的部位就会陷下去，随后即会出现一个小坑.在海边经常会出现一块石块中间部位有一个或两个圆形的小洞.原来啊，这是由于海水击打岸边的碎石，时间久了，石块中间就会被海水击打出小洞，这就是水滴石穿.而在概率论里，我们可以用概率的乘法公式来解释这一现象，为什么“弱小”的水滴可以穿透“强大”的石块？假设水滴每次落下的概率为0.2（非常小），令i A 表示“第i 次水滴落下未打穿”⋅⋅⋅=2,1i ，则它连续十次都未能打穿的可能性用概率乘法公式表示为()()1074.02.01101021≈-=⋅⋅⋅A A A P ，即打穿的可能性为8926.01074.01=-，即为%26.89，所以如果水滴击打石块次数越多，石块被打穿的可能性就越大.所以当水滴击打石块的次数到达一定的时候，石块就会被穿透。

这就是我们所谓的“水滴石穿”的道理.2.4用概率思想解释的现实问题案例 某家商店出售某种零件，每箱装有100只，且已知每箱中都混杂有4只不合格零件，商店为了提高人气，采用“假一赔十”的销售方式：即顾客买一箱这种零件，如果随机的取出一只零件发现是不合格品，商店要立刻把10只合格的零件放在箱子里，不合格的那只零件不再放回，如果某一顾客在一个箱中随机地先后取出3只零件进行测试，求他发现的全是合格零件的概率. 假设事件i A 表示“顾客在第i 次测试时发现零件不合格”，于是()()()11821010982|109310993|100421312i =++==+==A A A P A A P A P ，，, 由概率乘法公式推得，所求得概率为 ()()()()00002.0118109100234||213121321=⨯⨯⨯⨯==A A A P A A P A P A A A P . 2.5《范进中举》引申的社会意义《范进中举》这篇课文，告诉我们学习要持之以恒，坚持不懈才能获取成功果实这个道理.现在这种坚持不懈的精神依然存在，无论是在我们的学习还是生活中，我们依然需要这种持之以恒、坚持不懈的精神支柱.而这种精神支柱从古至今一直延续着，上至夸父追日，愚公移山，精卫填海等，下至世界巨富施正荣等,他们不惜耗费毕生精力，只为到达成功的彼岸，摘取甘甜的果实.如果不是他们的坚持不懈，持之以恒，就不会有他们现在的成功.俗语有“夏练三伏，冬练三九”、“只要功夫深，铁杵磨成针”、“冰冻三尺非一日之寒”、“台上一分钟，台下十年功”、“千里之行，始于足下”、“水滴石穿”等等,无一不例证了只有持之以恒才能获得成功这钢铁一般的真理.当今许多大学毕业生追寻着前人的脚步，放弃安逸的生活条件，选择自主创业这一艰辛的道路，所以无论是成功亦或是失败都是值得的，因为这是自己的选择，自己的坚持，自己的梦想，梦想是奋斗的动力，有梦想就要坚持，坚持就会赢得成功.可是，光有梦想，空有一番热情，却没有充分的准备和坚持不懈的精神，梦想都永远都只能梦想，永远都触不可及,“坚持才会胜利”就永远变成一种口号，一个空头支票.欧立希——著名细菌学家，“阿托什尔”的发现者,这种药品治愈了当时流行的“昏睡病”，而有利就有弊，这种药品却导致患者失去光明，尽管如此，他并没有就此放弃，他和他的助手们坚持不懈，不断试验，失败了605次，终于在第606次的时候，研发出了既可以治疗昏睡病，又不会损害患者视力的可以双管齐下的药品，这就是后来的“六零六”.试想如果当时他在刚开始研发失败的时候就放弃了，亦或者在第605次失败时放弃了，那么就不会有“六零六”的问世，就不会有治疗昏睡病的良药.米开朗琪罗——意大利伟大的雕塑家、画家和诗人，1508年，他接受了为罗马西斯廷教堂绘屋顶壁画的这一非常艰巨任务.高达20米的屋顶，2300m的面积，340多个画中人物，这无疑是一个无法完成的任务.可是他没有因为困难而退缩，坚定信念，夜以继日的工作，甚至多次从脚手架上摔下来，摔成重伤也要坚持奋斗在第一线，相信自己，永不放弃，终于经过四年的努力，完成了任务，给自己交了一份满意的答卷.但在此时，他的身体却已了摔成畸形.然而，就是因为他的坚持，他的执着，我们才得以看到这副优秀的，撼动人心的伟大作品.这一个个的例子，无一不说明只有坚持，才有成功，只要坚持，就会成功.现在的人们只注重成功者光辉闪耀的身影，只看成功者流露在大众面前自信十足的笑容，只羡慕成功者成功后拥有的一切“荣华富贵”；却看不到他们为成功所付出的艰辛和在成功路上因屡屡失败而落下的伤心之泪.所有的成功都需要付出百倍的努力，然后换来“一朝成名”，所有的“光环”都是饱含泪水和汗水的，没有谁人的成功是理所当然或是与生俱来的.坚持梦想就是选择了一条艰苦奋斗的道路,成功不仅需要追梦者自身的才华与能力，更需要的是永不言弃和永不言败的执着拼搏精神，愿意将自己的梦想或者想法付诸行动.在追梦路上为什么有人能够到达辉煌的顶峰，而为什么有的人却还是站在原地？原因就在于失败者没有成功者的那份坚持，没有成功者的那份执着，没有成功者那份选择迎难而上，一路披荆斩棘，就算受伤也把它当做一种人生的历练的坚持，只有经历了过程才知其中苦乐与酸甜，而失败者或者选择知难而退，又或者选择一味等待，就如守株待兔一般，等待所谓的适合自己的时机，适合自己的机遇，永远不会向前迈出艰难的一步，因为他们怕失败，怕失败后带来的种种打击，恐惧前方的荆棘，所以坚持的人成功了，他们实现了自己的梦想，逃避的人失败了，他们只一味在乎他们失败后的感受，从来没有考虑如何成功，如何能获得成功.有人说过，“一个人无论做任何事，在采取行动之前，都要谨慎考虑，严谨思路，一旦认定目标就要付出行动，不断前进，而不是迟疑，前怕狼后怕虎，畏首畏尾”.要相信，只有坚持才会让一切不可能变为可能，只有坚持才是硬道理.3．《狼来了》故事及其概率解读3.1《狼来了》故事概述《狼来了》选自《伊索寓言》，从前，在一个僻静遥远而又淳朴的山村里，有一个小孩，每天都会赶着成群的羊到山间的草丛里吃草.因为山里经常会有狼出没，所以山民对狼的警惕性很高.有一天，他闲的无聊，想要做点“刺激”的事情，于是在山上喊：“狼来了！狼来了！”，山下的村民闻声便拿起“武器”冲出去打狼，可是到了山上，并没有发现有狼的踪迹，山民奇怪而又无奈的回去了；第二天小孩故伎重施，又一次欺骗山民，喊到“狼来了，狼来了”；到了第三天，狼果真来了，可此时，无论小孩怎么喊叫，也没有人上山来救他，最后羊群被狼所“追杀”.3.2 用贝叶斯公式解读《狼来了》3.2.1贝叶斯公式设j 21B B B⋅⋅⋅为一完备事件组，则∃事件A ()()0≠A P 有 ()()()()()()()n j B A P B P B A P B P A P A B P A B P n j jj j j j ,,2,1,|||1j ⋅⋅⋅===∑=，右边的公式为分母，为全概率公式，是n 项之和，分子是分母中的某一项.这个就是在概率乘法公式和全概率公式的基础上得出的著名的贝叶斯公式,也叫逆概公式.3.2.2 用贝叶斯公式解读《狼来了》在故事中记事件A 为“小孩说谎”，记事件B 为“小孩的话可信”， 设山民对这个小孩的最初印象为()()2.08.0==B P B P ，.用贝叶斯公式来求这个小孩说慌后山民对小孩的可信度()A B P |，(即小孩说谎的条件下，小孩的话可信的可能性），在这个计算过程中需要知道()()B A P B A P |,|.前者解释为在小孩说话可信()B 的条件下孩子说谎()A 的可能性；后者解释为在小孩说话不可信()B 的条件下孩子说谎()A 的概率；设()()5.0|1.0|==B A P B A P ，,小孩第一次说谎，山民对他的信任度()()()()()()()444.05.02.01.08.01.08.0||||=⨯+⨯⨯=+⋅=B A P B P B A P B P B A P B P A B P 这个数据表明，山民对小孩的信任度由原来的8.0下降到444.0，所以下降后()()556.0444.0==B P B P ，. 当小孩第二次说谎时，山民对他的信任度()138.05.0556.01.0444.01.0444.0|=⨯+⨯⨯=A B P , 此时的数据说明，山民对小孩的信任度由444.0下降到138.0，所以下降后()()862.0138.0==B P B P ，. 小孩第三次喊“狼来了”，山民对他的信任度()%30308035,.05.0862.01.0138.01.0138.0|≈=⨯+⨯⨯=A B P , 这个数据表明，山民对小孩的信任度由138.0下降到%3，由于前两次小孩对山民的欺骗，所以山民们第三次听到喊声没有上山救小孩.3.3用概率思想解释银行贷款问题某人向银行申请贷款，前两次未还清银行贷款，那么银行第三次还会给予他贷款吗？记事件A 为“贷款人未还清贷款”，事件B 为“此贷款人可信”，设银行对贷款人的印象为()()25.0,75.0==B P B P ,则()A B P |(即在未还清贷款的条件下，银行对贷款人的信任度)，这里需要()()B A P B A P |,|,前者为可信的贷款者未还清贷款的概率，后者为不可信的贷款者未还清贷款的概率.设()()5.0|1.0|==B A P B A P ，, 第一次未还清贷款，银行对贷款者的信任度为()()()()()()()375.05.025.01.075.01.075.0||||=⨯+⨯⨯=+=B A P B P B A P B P B A P B P A B P , 表明银行在贷款者第一次未还清贷款后，信任度由原来的75.0下降到375.0，下降后()()625.0375.0==B P B P ，.贷款者第二次未还清贷款，银行对贷款者的信任度为 ()1071428.05.0625.01.0375.01.0375.0|=⨯+⨯⨯=A B P , 这时银行对贷款者的信任度又由之前的375.0下降到107.0，此时()()893.0107.0=≈B P B P ，. 当贷款者第三次贷款时，银行对他的信任度为()%20234033.05.0893.01.0107.01.0107.0|≈≈⨯+⨯⨯=A B P , 所以第三次，银行不再相信贷款者有能力还清贷款，便不会给予贷款者贷款.3.4用概率思想解释现实问题案例一 游乐场经常有打气球的游戏，现在假设有3把枪同时对气球射击，射中气球概率分别为5.0,3.0,2.0，一枪射中气球的的概率为2.0，两枪射中气球的概率为6.0,3枪均射中气球的概率为9.0，求3枪一次射中气球的概率大概为？ 设 A ={3枪一次射中气球}j B ={恰有j 发击中目标}，j =1，2，3……{j B }为互斥的完备事件组. 28.05.07.08.0)(1=⨯⨯=B P 47.05.07.08.05.03.08.05.07.02.0)(2=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=B P22.05.03.08.05.07.02.05.03.02.0)(3=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=B P03.05.03.02.0)(4=⨯⨯=B P2.0)|(0)|(21==B A P B A P ，9.0)|(6.0)|(43==B A P B A P ，故 253.09.003.06.022.02.047.0)|()()(j 41j j =⨯+⨯+⨯==∑=B A P B P A P所以3枪一次射中气球的概率大概为0.253案例二 某一项肝病血液准确度的检测( 即真正患肝病的人检查显示为阳性) 为95%, 而对没有得这种病的人，这种检测的准确率( 即没有患肝病的人检查显示为阴性) 为99%,这种准确度检测同样也可以检测是否患有艾滋病. 美国是一个发达国家，同时艾滋病也流行,据不完全统计大约有10001的人患有这种病，（也就是说没1000个人中就有1位患有艾滋病）.为了能够很好地遏制、减慢艾滋病的蔓延与传播,曾有人提出建议，对申请结婚登记的夫妇进行血液准确度检查，确定新婚夫妇是否患有艾滋病.这个计划一经提出,在征询专家们的意见和建议时,遭到专家们的一致强烈反驳,计划没有得到专家们的认可.我们可以用贝叶斯公式解释为什么专家不能认可这项计划.设A = { 检查显示为阳性} ,B = {某人患病} .根据前文叙述可以得出 001.0)(=B P ,95.0)|(=B A P ,999.0001.01)(=-=B P ,01.099.01)|(=-=B A P , 由)|()()|()(B A P B P B A P A P +=可得01094.001.0999.095.00001.0)(=⨯+⨯=A P根据)()|()()|(A P B A P B P A B P =可得 087.001094.095.0001.0)|(≈⨯=A B P 也就是说被检测者的确患有艾滋病，而且可能性为087.0.这个结果好像与实际情况并不相符，但从资料来看，又是准确性极高.因此有人猜测，如果某人检测结果是阳性，那他患病的可能性很大，然而计算的结果却只有8.7%，如果专家采纳这个意见，定会给结婚登记的夫妇带来恐慌，因为大约有%3.9113.987.0-1≈=的人并没有患病，为什么结果会与直觉相悖呢？原因在与忽略了患病的几率很低，仅为千分之一，因此在检查出阳性的大部分人是没有患病的.通俗来说就是1000个人中，只有1人患病，其他人并为患病，但是检查后，约有94.1001.099995.01=⨯+⨯个人显示阳性，而在这些人中，真正患病的只有1人，虽然结果不是很理想，但是这个结果页为我们提供了一些新的信息，如果某个检测结果显示阳性的人患有艾滋病的概率从最初的001.0增加到087.0，00006.098906.005.0001.0)()|()()|(≈⨯==A P B A P B P A B P 因此检查显示阴性的患者大可放心，他患有艾滋病的概率从10001降低到00006.0 上面通过概率论中的贝叶斯公式的对几个案例进行了分析和解释.说明叶贝斯公式在实际生活中有着重要意义，可以解释实际生活中些许问题.同时在医疗、侦测、诉讼、企业资质评判等等方面有着同样重要的作用.3.5《狼来了》引申的社会意义《狼来了》是一则人人耳熟能详的寓言故事，放羊的孩子为了自娱两次欺骗因担心他而冲出来打狼的村民，第三次终于失信于山民，最终无人理睬，这告诉我们“做人一定要诚信”,不能为了一己私欲而造成他人的困难.所谓诚信，从道德方面来讲，即为人处事敦厚老实、待人真诚、讲信誉，若言必行、则行必果，有君子一言，驷马难追的风范，有一言九鼎的承诺，古有天子一言九鼎.诚信在《说文解字》中的解释是：“诚，即信也”，“信，即诚也”.可见，诚信的本身的意思就是做人要诚恳、做人诚实、守信、讲信，反对假冒伪劣、反对隐瞒欺诈、反对弄虚作假.古有曾子杀猪，只是为了在儿子面前树立威信，劝妻并教育儿子做人要诚信；亦有春秋商鞅守信立木重金悬赏有胆之士，在战事纷飞、人心惶惶之际树立威信，推进革新，变法才得以实施；亦有秦末季布，一向说话算话，在他得罪汉高祖时，往日朋友不被重金所惑，冒着灭九族的危险来保护他，使他免遭祸殃.在那时流传一句话“宁得季布一诺，不得黄金千斤”，这就是后世所谓的“一诺千金”.在《郁离子》中，富翁第一次失信于渔夫，而在第二次他落水之后无人问津，最后淹死.可见，如果某人为了贪图一时的安逸或者是小便宜，而失信于子女、朋友、百姓，表面看是得到了“实惠”，实际上是为了所谓的“实惠”而毁了自己的声誉.所以，失信于人无异于猴子掰玉米——捡了芝麻丢了西瓜，得不偿失.在接人待物、为人处事上要讲究诚信，在做生意的时候也应该讲究诚信.以诚信辅助职场，这样才能赢得客户或者对手的信任，这样的生意才会长久.在我们的现实生活中，已有很多家银行为用户推出信用卡服务，信用卡就是银行提供给用户的一种可以先消费然后再还款的小额信贷工具，是一种特殊信用凭证.它为顾客提供的一种便捷消费模式,是银行提供给消费者的便利，可有的人却利用这种便利，钻法律的空子.之前有媒体报道，某地一男子为了炫富，利用信用卡可以透支消费这一优势，在多家银行办理信用卡，为满足自己爱慕虚荣的心理欲望，大肆挥霍，但是最后，由于无力偿还信用卡上的大数目的贷款，最终没有躲过法律的制裁.信用卡是为了给我们的生活提供方便，如果不守信用，你的信誉度便会降低，必然会失去银行对你的信任，那么如果你想再次向银行贷款的难度便会增大.在我们的学校教育中也出现了诚信考试、诚信就业，其目的在于教育学生做人要诚信.所谓诚信考试，即在每次考试前与学生签订诚信协议书，保证考生在考试时能够做到诚信考试、不作弊，能够自觉遵守学校制定的考试制度；所谓诚信就业就是在就业时让毕业生与就业单位签订三方协议（就业协议书），一是保证学校的就业率，二是为了培养学生的诚信意识，三是为了保证就业单位和毕业生能够签订正规的就业合同，保证就业单位和毕业生的合法权益.在杭州师范大学，在学校设立“诚信考场”，即在考场内老师只负责分发试卷和回收试卷，考试进行过程中老师并不在考场之内，考场内考生依靠自我约束完成考试.学校这样做，一方面学生会产生被信任的感觉，进而更加规范自己和约束自己；另一方面希望老师改进教学模式，将往日的传统教学变为激发学生思维和提高学生自主学习的能力模式，同时在校园中营造诚实守信的大氛围.诚信，是每一个人的第二个“身份证”，是做人的基本准则.同勤俭节约一样，是中华民族的传统美德.，诚实，就是忠诚老实，接人待物真诚最好,不掩饰、不造作；守信，则是信守诺言，讲求信用.诚实守信是为人之本.诚实即不爱慕虚荣，不夸大其词，不能为了“义气”，就随便答应别人的请求.答应朋友的事情之前考虑自己的实际能力，一旦答应了，就应该尽全力去完成，这样才能不失信与人，才能值得别人信任，才能得到别人的尊重.信人者人自信.4.总结概率在现实生活中有着广泛的应用，它不会随着人的意志而转移，概率的思维是一种文化修养，是人们正确观察事物所具备.即能够用概率的思维分析并解释现实问题.通过学习概率，然后加以应用对我们做出正确的判断和决策有极大作用.虽然这些数学知识在我们看起来是那么微不足道，却在我们的实际生活中有着极其重要的地位.无论是在医学还是在建筑等等方面都有着极其重要的作用.参考文献[1] 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.上海：上海科技出版社,1988谢辞本论文完成之际，我的大学生活也即将划上一个圆满的句号.虽然只是一篇论文，却让我的大学生活更加充实.我要感谢所有帮助过我的老师、同学，是你们让我的大学生活不再孤单.我最要感谢的是我的指导老师李长涛老师，感谢老师的悉心指导和热情关怀.在论文的写作过程中，我得到了李长涛老师的真诚帮助和指导，在我对如何进行毕业论文的写作还是一头雾水的时候，老师帮助我整理思路并且告诉我如何查找跟我论文相关的资料，使我在后面的写作中有了一个清晰的思路.在写作过程中又对我的每一个问题给了精心的指导.李老师知识体系之完整，学识之渊博，治学态度之严谨都让我为之惊讶.在老师对这篇论文的多次审阅修改之后，文章才得以成型.在此，对李长涛老师表示衷心的谢意，对老师严谨的治学态度、深厚的专业修养和平易近人的待人方式表示深深的敬意.由于本人水平有限，文章中难免会有纰漏之处，恳请老师指正.。