简明应用统计学夜大第三章第一节 描述数据：如何用少量数字概括数据

方米和130平方米，前面已经讨论得出均值92.67平方米 不是一个很好的代表值，因为极大值130平方米的出现使 得均值可能会超过样本中的大多数观测值，使得集中趋势 的测度发生偏差。而中位数m=76平方米则更能代表实际 的平均住房面积。
• 定性数据也有中位数：如，对于某个市场调查问 题的回答，一人认为“好极了”，一人认为“很 好”，一人认为“一般”和一个人认为“差”， 那么回答的中位数就是“好”，一般的回答在 “好”之上，一半的回答在“好”之下。
其中，n为样本数据的数据个数（样本量），Xi 为样本的第i个数据
样本均值
X
具有以下重要性质：
（1）一组数据只有一个样本均值，样本均值具有唯一性。 （2）样本均值是比较两个戒多个总体时一个非常有用的工具。 如它可以用于比较我国东西不农民收入的差异；两个班级的成 绩优异度等； （3）每一数值相对于均值的偏离之和总是0，样本均值是唯一 一种具有此性质的集中趋势度量方法。用符号表示为
2.中位数的确定
对未分组资料确定中位数。 • 将总体各单位的标志值按 照大小顺序排列， • 当总体单位数n为奇数时
me x n 12Fra bibliotek• 当总体单位数n为偶数时
xn xn me
2 2
1
2
中位数具有稳健性，即，不易受极端值影响的性质。
• 例如：假设三户人家的住房面积分别为72平方米，76平
x
n i 1
i
-x
0
因此，我们可以将均值视为一组数据的平衡点。 值得注意的是，样本均值容易受到极大戒极小值得影响。例如， 假设三户人家的住房面积分别为72平方米，76平方米和130平方 米，则均值为（72+76+130）÷3=92.67 很明显，130这个数字影响了均值 ，使其不能够恰当地代表数 据的平均数了。
第三章
描述数据：如何用少量数字概括数据
3、1 引言
•
在第二章，我们介绍了使用统计图和统计表来显示数据
的基本方法。然而在许多情况下，我们常常需要用几个简 单的数字来浓缩概括具有很多数字的变量或指标。比如， 我们说北京人的人均收入是多少，大学生占人口的百分比 等等。这些“人均收入”、“百分比”的数字就是对大量 观测数据的概括。这种概括使得人们对数据有一个简单而 又直接的认识。由于定性变量主要用于计数，常用的概括 方法就是比例、百分比以及频数等。这些在第二章中已经 涉及，在这里我们主要介绍定量变量的数字描述。
联系： （1） 三者都是作为反映总体一般水平（或集中趋 势）的平均指标： （2） 三者之间存在着一定的数量关系， A.在对称的正态分布条件下：算术平均数等于众数等 于中位数： B.在非对称正态分布的情况下，众数、中位数和平均 数三者的差别取决于偏斜的程度，偏斜的程度越大， 它们之间的差别越大 • 当次数分配呈右偏(正偏)时：算术平均数受极大 值的影响
下面我进一步了解平均数----加权平均数
• 加权平均数是平均数的一种特殊形式，它应用在以下情 况：如果数据已经分组得到了频数分布，一些观测可能 具有相同的数值，此时一个较为简便的计算均值的方法 是计算加权平均数。即，我们将每个观测值与它出现的 次数相乘。用 X 来代表加权平均数。一般的，用 x • x1， 2 - - - -xn 表示的一组数据，它们相应的频数分别为
当次数分配呈左偏(负偏)时，算术平均数受极小值 的影响 ；
• 中位数则总是介于众数和平均数之间
x Me Mo Mo Me x
数据类型与集中趋势测度值
※为该数据类型最适合用的测度值.
如果一只脚放在摄氏1度的水里， 另一只脚放在摄氏79度的水里， 平均水温40度。你感觉舒服极了 ！？
3、2、3 众数
• 1、定义 • 众数是另一种集中趋势度量方法，是数据中重复 出现次数最多的数。 • 当样本的观测值没有重复时，众数就没有意义。 但是在离散定量变量和定性变量情况下，它能明 确反映数据分布的集中趋势，因此在这种情况下 ，众数常常有意义。
众数的优缺点
• 优点：众数不受极端值得影响。 • 在某些情况下，众数是一个较好的代表值，如 ，在了解大多数家庭的收入状况是，就可以用众 数。 • 缺点：1、并非所有数据都有众数； • 2、有些情况下会出现存在多个众数 • 3、对于某些数据，众数会不存在，因为观 测值可能会出现一次； • 例如，年龄的数据22,26,27,27，31,35,35。其,27 和35都是众数，这样的数据称为双众数，从而会 导致人们对于众数对这组年龄数据集中趋势的代 表性产生质疑。
w
w1，w 2 - - - -wn
则它们的加权平均数计算公式为：
w1 x1 w2 x2 w3 x3 wn xn xw w1 w2 w3 wn
权数的意义和作用
• 权数：各组次数（频数）的大小所对应的标志值 对平均数的影响具有权衡轻重的作用。 • 当各组的次数都相同时，即当f1=f2=f3=…=fn时： • 加权算术平均数就等于简单算术平均数。 • 需要注意的是：通常使用频数分布数据计算的平 均数存在一定误差，这是因为频数分布中没有包 含完整的数据信息。
•
在描述定量变量的数据时，我们一般用汇总统计量或概括 统计量来描述。 这些数字是从样本数据得来的，因而也是样本的函数，任 何样本的函数，只要不包含总体的未知参数，都称为统计量 。
•
由于样本是随机的，因而作为其函数的统计量也是随机 变量。对于不同的样本，统计量的取值也不同。 • 当样本确定时，统计量有且仅有一个值，不再是随机的 了，它是相应统计量的实现值。
3、2、1 均值
• 最常用的位置统计量就是小学时所学到的算术平均数，它在统 计中叫做均值；均值反映同类现象在特定条件下所达到的平均 水平，是总体分布的一个重要特征。严格地说均值叫做样本均 值，以区别于总体均值。 总体均值：研究全部数据而得到的平均值，即总体的全部数 值之和除以总体中数值的个数。当数据比较大时，可以进行随 机抽样的方法获得样本，进而得到有关总体的某一方面特征的 信息，此时得到的均值就是样本均值，（均值）。 如果记样本中的观测值为x1,…,xn，则样本均值定义为
3、2、4 均值、中位数和众数的相对位置
• • • • • • 选择哪种集中趋势度量将依赖于所分析数据集的 性质和应用要求。因此，了解均值、中位数和众 数之间的关系很重要。 三者的区别： 1） 三者的含义不相同； 2） 三者的计算（确定）方法不同； 3） 对资料的要求不同， 4) 对数据的“灵敏度”、“抗耐性”和“概括能 力”不同。
3、2、2 中位数
• 在前面我们应经提到，当一组数据中存在一个 或多个过大或者过小的数值时，均值可能就不具 有代表性了。对于这样的数据我们使用另一种度 量方法来描述其集中趋势。 • 1.定义： • 中位数m是将总体各个单位按其标志值的大小顺 序排列，处于数列中点的那个单位的标志值，在 总体中，标志值小于中位数的单位占一半；标志 值大于中位数的单位也占一半。
3、2 集中趋势的数字度量
• 有些汇总统计量是描述数据“位置”的，其实数 据的每个点都有自己的位置，不可能一 一列举， 很多时候也没有必要这样做。能够做的就是描述 数据的“中间”或“中心”在哪里，数据离中心 多远，或者数据的百分之几的数据点小于哪个数 ，等等。 • 中心位置（集中趋势）这种和“位置”有关的统 计量我们称为位置统计量。后面学到的均值、中 位数、众数都是位置统计量。