VaR
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含义： 个月内， 含义：在1个月内，该银行有 ％概率确信其损失 个月内 该银行有99％ 不大于372万美元，或者说损失大于 万美元， 不大于 万美元 或者说损失大于372万的可能性 万的可能性 只有1％。 只有 ％。
12
解析法的计算公式
由上面的例子我们不难发现
若某个持有期内（1个小时，1天，1个月...) 回报率为 r ~ N (µ ,σ 2 ) 则 r∗ − µ
2
如何理解VaR：金融风险的“天气预报” ：金融风险的“天气预报” 如何理解
A银行 银行2004年12月1日公布其持有期为 天、 日公布其持有期为10天 银行 年 月 日公布其持有期为 置信水平为99%的VaR为1000万元。这意 万元。 置信水平为 的 为 万元 味着如下3种等价的描述 种等价的描述： 味着如下 种等价的描述：
2. 历史模拟法（Historical Simulation） 历史模拟法（ ）
基本思想：历史可以再现， 基本思想：历史可以再现，明天的情形可能是历史 上的所有情形中的一种。 上的所有情形中的一种。 非参数方法，区别于参数法，不需要估计均值、 非参数方法，区别于参数法，不需要估计均值、方 差等参数
证券明日的99％置信水平下的VaR。 例：计算S证券明日的 ％置信水平下的 计算 证券明日的 。
pr
1-C
V
损失
V*
VaR
V0u
16
解析法的计算实例
假定A银行期初的资产市值 假定 银行期初的资产市值V0＝$8,000,000，根据 银行期初的资产市值 ， 历史资料，其资产月回报率服从正态分布， 历史资料，其资产月回报率服从正态分布，即1个 个 月内该银行的回报率为
r ~ N (0.01, 0.04)
VaR = V0 − V = −V0 r ∗
已知的量
*
( V0 > V )
*
= V0 − V0 (1 + r ∗ )
需要估计的未知量
约定俗成， 一般以正数表示； 计算 注：(1)约定俗成，VaR一般以正数表示；(2)计算 约定俗成 一般以正数表示 VaR就相当于计算最小的 *值或回报率 *。 就相当于计算最小的V 就相当于计算最小的 值或回报率r
8
VaR的另一种表达：以回报的均值为参照——相对损失， 的另一种表达：以回报的均值为参照 相对损失， 的另一种表达 相对损失 称为相对 称为相对VaR。假定A银行未来（1个月）回报的概率分布 。假定 银行未来（ 个月） 相对 银行未来 个月 如下图所示 累计分布达到5％ 累计分布达到 ％所 对应的资产价值变 化为-$25,800,000。 化为 。
VaR = V0 ( zcσ T − µT ) % % V0 ( zcσ − µ )
每单位资产偏离了正常的状态 的程度，或者异常——风险。 风险。 的程度，或者异常 风险 在解析法下，资产的 在解析法下，资产的VaR等于期初资产的盯市价值 等于期初资产的盯市价值 乘上方差和某个置信水平下的分位数， 乘上方差和某个置信水平下的分位数，减去资产 的平均价值。 的平均价值。 15
6
第二节 VaR计算的基本模型 计算的基本模型
不妨将A银行的全部资产看成 个资产组合 期初（ 不妨将 银行的全部资产看成1个资产组合，期初（比如 银行的全部资产看成 个资产组合， 2004.12.6）的盯市价值为 0，10天后其资产价值如下图 ）的盯市价值为V 天后其资产价值如下图
持有期＝ 天 持有期＝10天
JP Morgan的CEO Weathstone要求每天《4.15 报 要求每天《 的 要求每天 告》只产生一个数字的风险计量方法，计量不同 只产生一个数字的风险计量方法， 交易工具，不同部门综合后的风险。 交易工具，不同部门综合后的风险。 截止到1999年，BCBS监管下的 家银行中有 家 监管下的71家银行中有 截止到 年 监管下的 家银行中有66家 对公众披露VaR 对公众披露
明日（12月7日）可能的价格 7.88 8.82 8.24 8.43 9.18 7.86 7.79 8.59 7.63 8.58 8.26 8.26 7.9 8.25 8.36 8.55 8.15 8.51 8.41 8.1 7.96
1000 种 可能 的价格 局部） （局部）
证券未来1000种可能的价格由小到大排 将S证券未来 证券未来 种可能的价格由小到大排 那么99％ 序，那么 ％置信水平下的最大损失就是对 应于第10种最坏的情形 种最坏的情形。 应于第 种最坏的情形。 将今天（ 月 日 的价格－明天（估计的） 将今天（12月6日）的价格－明天（估计的） 1000种中第 个最坏情形的价格，就得到了 种中第10个最坏情形的价格， 种中第 个最坏情形的价格 99％置信水平下、持有期为 天的 天的VaR。 ％置信水平下、持有期为1天的 。
VaR = V0 zcσ T − V0 µT
若每日回报为ri , T 天的平均回报就是E (rT ) = E (∑ ri ) =µT
i =1 T
若每天的方差为σ 2，且各天之间相互独立，则T天的方差为 D (rT ) = D (∑ ri ) =σ 2T ⇒ D ( rT ) = σ T
i =1 T
解析法释义
得到S证券今日之前 个交易日的收盘价， 得到 证券今日之前1001个交易日的收盘价，并由此 证券今日之前 个交易日的收盘价 计算得到1000个交易日的涨跌幅。 个交易日的涨跌幅。 计算得到 个交易日的涨跌幅 假定这1000种涨跌幅在明天都有可能发生，以今日 种涨跌幅在明天都有可能发生， 假定这 种涨跌幅在明天都有可能发生 价格为基础，那么明天的价格就有1000种可能。 种可能。 价格为基础，那么明天的价格就有 种可能
3
2. VaR的优点 的优点
精确性：借助于数学和统计学工具， 精确性：借助于数学和统计学工具，VaR以定 以定 量的方式给出资产组合下方风险（ 量的方式给出资产组合下方风险（Downside Risk）的确切值。 ）的确切值。 综合性：将风险来源不同、 综合性：将风险来源不同、多样化的金融工 具的风险纳入到一个统一的计量框架， 具的风险纳入到一个统一的计量框架，将整 个机构的风险集成为一个数值。 个机构的风险集成为一个数值。 通俗性：货币表示的风险， 通俗性：货币表示的风险，方便沟通和信息 披露
A银行从 月1日开始，未来 天内的资产组合 银行从12月 日开始 未来10天内的资产组合 日开始， 银行从 的损失大于1000万元的概率小于 ； 万元的概率小于1%； 的损失大于 万元的概率小于 银行在未来10天内的损 以99％的概率确信，A银行在未来 天内的损 ％的概率确信， 银行在未来 失不超过1000万元； 万元； 失不超过 万元
现在求其1个季度（3个月 个月） 99％置信水平的VaR 现在求其1个季度（3个月）的99％置信水平的VaR 个季度
VaR = V0 zcσ T − V0 µT =8,000,000 × 2.33 × 0.2 × 3 − 8,000,000 × 0.01× 3 =6,217,085.41062
计算方法之二： 第三节 VaR计算方法之二：历史模拟法 计算方法之二
10
例子： 例子：假定回报服从正态分布
假定A银行期初的资产市值 假定 银行期初的资产市值V0＝$10,000,000，根据 银行期初的资产市值 ， 历史资料，其资产月回报率r服从正态分布 服从正态分布， 历史资料，其资产月回报率 服从正态分布，即1 个月内该银行的回报率为
r * − 0.01 r ~ N (0.01, 0.04) ⇒ = z1−c 0.2 若c = 99%, 可以查正态分布表得到 z1−c = z1% = −2.33, 所以 r ∗ = −2.33 × 0.2 + 0.01 = −0.465
VaR = ∆V − ∆V * = $8, 000, 000 − (−$25,800, 000) = $33,800, 000
计算之一： 第三节 VaR计算之一：解析法 计算之一
1. 解析法（方差-协方差法、参数法） 解析法（方差 协方差法 参数法） 协方差法、
借助统计学，利用历史数据拟合回报率 的统 借助统计学，利用历史数据拟合回报率r的统 计分布，如正态分布、 分布 分布、 计分布，如正态分布、t分布、广义误差分布 分布） （GED分布）等 分布 由分布的参数来估计回报率r在某个置信水平 由分布的参数来估计回报率 在某个置信水平 下的最小值
风险价值（ 风险价值（VaR） ）
南京大学金融学系 林辉 linhui@
1
第一节 风险价值的定义
1. VaR的含义 的含义
Value at Risk 译为风险价值或在险价值， 译为风险价值或在险价值， 风险的货币表示。 风险的货币表示。
VaR是指在某一给定的置信水平下，资产组 是指在某一给定的置信水平下 是指在某一给定的置信水平 合在未来特定的一段时间内可能遭受的最大 一段时间内可能遭受的 合在未来特定的一段时间内可能遭受的最大 损失（ 损失（Jorion，1997）。 ， ）。
收盘价格 11.55 11.15 11.69 11.65 11.8 12.7 12.28 11.79 12.1 11.45 11.75 8.63 8.61 8.23 8.2 8.28 8.55 8.42 8.65 8.78 8.6 8.28
涨跌幅 -0.4 0.54 -0.04 0.15 0.9 -0.42 -0.49 0.31 -0.65 0.3 -0.02 -0.02 -0.38 -0.03 0.08 0.27 -0.13 0.23 0.13 -0.18 -0.32
4
3.VaR的数学表示 的数学表示
损失： 损失：盯市计算
Pr( ∆V ≤ −VaR ) = 1 − c
置信水平
∫
−VaR
−∞
f ( x)dx =1 − c
5
pr
1-C
损失
收益
∆V *
VaR
∆V
VaR计量的是资产组合的下方风险 计量的是资产组合的下方风险(Downside 计量的是资产组合的下方风险 Risk)，虽然这种风险发生的概率只有 ％或者 ％， ，虽然这种风险发生的概率只有5％或者1％， 但是危害性大，所以银行要加以防范。 但是危害性大，所以银行要加以防范。
18
20001021 20001022 20001023 20001024 20001025 20001028 20001029 20001030 20001031 20001101 20001104 20041122 20041123 20041124 20041127 20041128 20041129 20041130 20041201 20041204 20041205 20041206
正态分布具 有对称性
σ
= z1−c ⇒ r ∗ = z1−cσ + µ , 故
VaR = −V0 r ∗ = −V0 ( z1−cσ + µ ) = V0 zcσ − V0 µ
平方根法则
假定资产回报率是在1天 假定资产回报率是在 天（月）的持有期上计算 出来的，现在要计算T天 持有期下的VaR， 出来的，现在要计算 天（月）持有期下的 ， 此时就要采用平方根法则
置信水平C：通常为 ％（ ％（BCBS，1997）或95％ 置信水平 ：通常为99％（ ， ） ％ ），置信度越大 （JP Morgan），置信度越大 ），置信度越大VaR越大 越大 持有期： 个交易日 个交易日（ ），持有期越 持有期：10个交易日（BCBS，1997），持有期越 ， ）， 长VaR越大 越大
V0
V0（1＋r） 1＋r）
随机变量
其中， 是持有期的回报率 如果在某个置信水平C 是持有期的回报率， 其中，r是持有期的回报率，如果在某个置信水平 下，第10天资产组合的某个置信水平的最低价值为 天资产组合的某个置信水平的最低价值为 V*，则 ，
V = V0 (1 + r )
∗
∗
回忆： 回忆：资产组合在未来一段时间内可能的最大 损失。若以绝对损失定义（绝对VaR） 损失。若以绝对损失定义（绝对 ）
这里我们也可以发现方差计量风险的缺点， 这里我们也可以发现方差计量风险的缺点，在回报率方差 的条件下， 为0.004的条件下，但回报率可以低到 的条件下 但回报率可以低到-46.5%。 。
11
参数
若以绝对VaR来计算 来计算 若以绝对
VaR = V0 − V * = V0 − V0 (1 + r ∗ ) =0.465) = $4, 650, 000
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解析法的计算公式
由上面的例子我们不难发现
若某个持有期内（1个小时，1天，1个月...) 回报率为 r ~ N (µ ,σ 2 ) 则 r∗ − µ
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如何理解VaR：金融风险的“天气预报” ：金融风险的“天气预报” 如何理解
A银行 银行2004年12月1日公布其持有期为 天、 日公布其持有期为10天 银行 年 月 日公布其持有期为 置信水平为99%的VaR为1000万元。这意 万元。 置信水平为 的 为 万元 味着如下3种等价的描述 种等价的描述： 味着如下 种等价的描述：
2. 历史模拟法（Historical Simulation） 历史模拟法（ ）
基本思想：历史可以再现， 基本思想：历史可以再现，明天的情形可能是历史 上的所有情形中的一种。 上的所有情形中的一种。 非参数方法，区别于参数法，不需要估计均值、 非参数方法，区别于参数法，不需要估计均值、方 差等参数
证券明日的99％置信水平下的VaR。 例：计算S证券明日的 ％置信水平下的 计算 证券明日的 。
pr
1-C
V
损失
V*
VaR
V0u
16
解析法的计算实例
假定A银行期初的资产市值 假定 银行期初的资产市值V0＝$8,000,000，根据 银行期初的资产市值 ， 历史资料，其资产月回报率服从正态分布， 历史资料，其资产月回报率服从正态分布，即1个 个 月内该银行的回报率为
r ~ N (0.01, 0.04)
VaR = V0 − V = −V0 r ∗
已知的量
*
( V0 > V )
*
= V0 − V0 (1 + r ∗ )
需要估计的未知量
约定俗成， 一般以正数表示； 计算 注：(1)约定俗成，VaR一般以正数表示；(2)计算 约定俗成 一般以正数表示 VaR就相当于计算最小的 *值或回报率 *。 就相当于计算最小的V 就相当于计算最小的 值或回报率r
8
VaR的另一种表达：以回报的均值为参照——相对损失， 的另一种表达：以回报的均值为参照 相对损失， 的另一种表达 相对损失 称为相对 称为相对VaR。假定A银行未来（1个月）回报的概率分布 。假定 银行未来（ 个月） 相对 银行未来 个月 如下图所示 累计分布达到5％ 累计分布达到 ％所 对应的资产价值变 化为-$25,800,000。 化为 。
VaR = V0 ( zcσ T − µT ) % % V0 ( zcσ − µ )
每单位资产偏离了正常的状态 的程度，或者异常——风险。 风险。 的程度，或者异常 风险 在解析法下，资产的 在解析法下，资产的VaR等于期初资产的盯市价值 等于期初资产的盯市价值 乘上方差和某个置信水平下的分位数， 乘上方差和某个置信水平下的分位数，减去资产 的平均价值。 的平均价值。 15
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第二节 VaR计算的基本模型 计算的基本模型
不妨将A银行的全部资产看成 个资产组合 期初（ 不妨将 银行的全部资产看成1个资产组合，期初（比如 银行的全部资产看成 个资产组合， 2004.12.6）的盯市价值为 0，10天后其资产价值如下图 ）的盯市价值为V 天后其资产价值如下图
持有期＝ 天 持有期＝10天
JP Morgan的CEO Weathstone要求每天《4.15 报 要求每天《 的 要求每天 告》只产生一个数字的风险计量方法，计量不同 只产生一个数字的风险计量方法， 交易工具，不同部门综合后的风险。 交易工具，不同部门综合后的风险。 截止到1999年，BCBS监管下的 家银行中有 家 监管下的71家银行中有 截止到 年 监管下的 家银行中有66家 对公众披露VaR 对公众披露
明日（12月7日）可能的价格 7.88 8.82 8.24 8.43 9.18 7.86 7.79 8.59 7.63 8.58 8.26 8.26 7.9 8.25 8.36 8.55 8.15 8.51 8.41 8.1 7.96
1000 种 可能 的价格 局部） （局部）
证券未来1000种可能的价格由小到大排 将S证券未来 证券未来 种可能的价格由小到大排 那么99％ 序，那么 ％置信水平下的最大损失就是对 应于第10种最坏的情形 种最坏的情形。 应于第 种最坏的情形。 将今天（ 月 日 的价格－明天（估计的） 将今天（12月6日）的价格－明天（估计的） 1000种中第 个最坏情形的价格，就得到了 种中第10个最坏情形的价格， 种中第 个最坏情形的价格 99％置信水平下、持有期为 天的 天的VaR。 ％置信水平下、持有期为1天的 。
VaR = V0 zcσ T − V0 µT
若每日回报为ri , T 天的平均回报就是E (rT ) = E (∑ ri ) =µT
i =1 T
若每天的方差为σ 2，且各天之间相互独立，则T天的方差为 D (rT ) = D (∑ ri ) =σ 2T ⇒ D ( rT ) = σ T
i =1 T
解析法释义
得到S证券今日之前 个交易日的收盘价， 得到 证券今日之前1001个交易日的收盘价，并由此 证券今日之前 个交易日的收盘价 计算得到1000个交易日的涨跌幅。 个交易日的涨跌幅。 计算得到 个交易日的涨跌幅 假定这1000种涨跌幅在明天都有可能发生，以今日 种涨跌幅在明天都有可能发生， 假定这 种涨跌幅在明天都有可能发生 价格为基础，那么明天的价格就有1000种可能。 种可能。 价格为基础，那么明天的价格就有 种可能
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2. VaR的优点 的优点
精确性：借助于数学和统计学工具， 精确性：借助于数学和统计学工具，VaR以定 以定 量的方式给出资产组合下方风险（ 量的方式给出资产组合下方风险（Downside Risk）的确切值。 ）的确切值。 综合性：将风险来源不同、 综合性：将风险来源不同、多样化的金融工 具的风险纳入到一个统一的计量框架， 具的风险纳入到一个统一的计量框架，将整 个机构的风险集成为一个数值。 个机构的风险集成为一个数值。 通俗性：货币表示的风险， 通俗性：货币表示的风险，方便沟通和信息 披露
A银行从 月1日开始，未来 天内的资产组合 银行从12月 日开始 未来10天内的资产组合 日开始， 银行从 的损失大于1000万元的概率小于 ； 万元的概率小于1%； 的损失大于 万元的概率小于 银行在未来10天内的损 以99％的概率确信，A银行在未来 天内的损 ％的概率确信， 银行在未来 失不超过1000万元； 万元； 失不超过 万元
现在求其1个季度（3个月 个月） 99％置信水平的VaR 现在求其1个季度（3个月）的99％置信水平的VaR 个季度
VaR = V0 zcσ T − V0 µT =8,000,000 × 2.33 × 0.2 × 3 − 8,000,000 × 0.01× 3 =6,217,085.41062
计算方法之二： 第三节 VaR计算方法之二：历史模拟法 计算方法之二
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例子： 例子：假定回报服从正态分布
假定A银行期初的资产市值 假定 银行期初的资产市值V0＝$10,000,000，根据 银行期初的资产市值 ， 历史资料，其资产月回报率r服从正态分布 服从正态分布， 历史资料，其资产月回报率 服从正态分布，即1 个月内该银行的回报率为
r * − 0.01 r ~ N (0.01, 0.04) ⇒ = z1−c 0.2 若c = 99%, 可以查正态分布表得到 z1−c = z1% = −2.33, 所以 r ∗ = −2.33 × 0.2 + 0.01 = −0.465
VaR = ∆V − ∆V * = $8, 000, 000 − (−$25,800, 000) = $33,800, 000
计算之一： 第三节 VaR计算之一：解析法 计算之一
1. 解析法（方差-协方差法、参数法） 解析法（方差 协方差法 参数法） 协方差法、
借助统计学，利用历史数据拟合回报率 的统 借助统计学，利用历史数据拟合回报率r的统 计分布，如正态分布、 分布 分布、 计分布，如正态分布、t分布、广义误差分布 分布） （GED分布）等 分布 由分布的参数来估计回报率r在某个置信水平 由分布的参数来估计回报率 在某个置信水平 下的最小值
风险价值（ 风险价值（VaR） ）
南京大学金融学系 林辉 linhui@
1
第一节 风险价值的定义
1. VaR的含义 的含义
Value at Risk 译为风险价值或在险价值， 译为风险价值或在险价值， 风险的货币表示。 风险的货币表示。
VaR是指在某一给定的置信水平下，资产组 是指在某一给定的置信水平下 是指在某一给定的置信水平 合在未来特定的一段时间内可能遭受的最大 一段时间内可能遭受的 合在未来特定的一段时间内可能遭受的最大 损失（ 损失（Jorion，1997）。 ， ）。
收盘价格 11.55 11.15 11.69 11.65 11.8 12.7 12.28 11.79 12.1 11.45 11.75 8.63 8.61 8.23 8.2 8.28 8.55 8.42 8.65 8.78 8.6 8.28
涨跌幅 -0.4 0.54 -0.04 0.15 0.9 -0.42 -0.49 0.31 -0.65 0.3 -0.02 -0.02 -0.38 -0.03 0.08 0.27 -0.13 0.23 0.13 -0.18 -0.32
4
3.VaR的数学表示 的数学表示
损失： 损失：盯市计算
Pr( ∆V ≤ −VaR ) = 1 − c
置信水平
∫
−VaR
−∞
f ( x)dx =1 − c
5
pr
1-C
损失
收益
∆V *
VaR
∆V
VaR计量的是资产组合的下方风险 计量的是资产组合的下方风险(Downside 计量的是资产组合的下方风险 Risk)，虽然这种风险发生的概率只有 ％或者 ％， ，虽然这种风险发生的概率只有5％或者1％， 但是危害性大，所以银行要加以防范。 但是危害性大，所以银行要加以防范。
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20001021 20001022 20001023 20001024 20001025 20001028 20001029 20001030 20001031 20001101 20001104 20041122 20041123 20041124 20041127 20041128 20041129 20041130 20041201 20041204 20041205 20041206
正态分布具 有对称性
σ
= z1−c ⇒ r ∗ = z1−cσ + µ , 故
VaR = −V0 r ∗ = −V0 ( z1−cσ + µ ) = V0 zcσ − V0 µ
平方根法则
假定资产回报率是在1天 假定资产回报率是在 天（月）的持有期上计算 出来的，现在要计算T天 持有期下的VaR， 出来的，现在要计算 天（月）持有期下的 ， 此时就要采用平方根法则
置信水平C：通常为 ％（ ％（BCBS，1997）或95％ 置信水平 ：通常为99％（ ， ） ％ ），置信度越大 （JP Morgan），置信度越大 ），置信度越大VaR越大 越大 持有期： 个交易日 个交易日（ ），持有期越 持有期：10个交易日（BCBS，1997），持有期越 ， ）， 长VaR越大 越大
V0
V0（1＋r） 1＋r）
随机变量
其中， 是持有期的回报率 如果在某个置信水平C 是持有期的回报率， 其中，r是持有期的回报率，如果在某个置信水平 下，第10天资产组合的某个置信水平的最低价值为 天资产组合的某个置信水平的最低价值为 V*，则 ，
V = V0 (1 + r )
∗
∗
回忆： 回忆：资产组合在未来一段时间内可能的最大 损失。若以绝对损失定义（绝对VaR） 损失。若以绝对损失定义（绝对 ）
这里我们也可以发现方差计量风险的缺点， 这里我们也可以发现方差计量风险的缺点，在回报率方差 的条件下， 为0.004的条件下，但回报率可以低到 的条件下 但回报率可以低到-46.5%。 。
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参数
若以绝对VaR来计算 来计算 若以绝对
VaR = V0 − V * = V0 − V0 (1 + r ∗ ) =0.465) = $4, 650, 000