一元二次不等式及其解法导学案

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导学案032一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法考纲要求1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式.考情分析1.一元二次不等式的解法及三个二次间关系问题是命题热点．2.考查题型多为客观题，有时会在解答中出现交汇命题，着重考查二次不等式的解法，属中、低档题.教学过程基础梳理一元二次不等式的解集若a <0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．双基自测1．(教材习题改编)不等式x 2－3x ＋2<0的解集为 ( )A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)B ．(－2，－1)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1,2)2．设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <13，则ab 的值为( )A ．－3B ．－5C ．6D ．5 3．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 4．若a <0，则关于x 的不等式x2－4ax －5a2>0的解是____________．5．(教材习题改编)不等式x 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解一元二次不等式应注意的问题：(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数；(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数为零的情况． (3)一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号；(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标相同．典例分析考点一、一元二次不等式的解法[例1] (2011·江西高考)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)在本例中，若f (x )变为：f (x )＝x 2－2x ＋ln(x ＋1)，则f ′(x )>0的解集________．[冲关锦囊]1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)； (2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.考点二、一元二次不等式恒成立问题[例2] (2012·湖州模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围为 ( ) A ．(－∞，23] B ．[23，＋∞) C ．(－∞，23]∪[23，＋∞) D ．[23，23] [巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1.．(2012·南宁模拟)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则 ( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2C ．－21<a <23D ．－23<a <212．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________________．[冲关锦囊]1．对于二次不等式恒成立问题．恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方．恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方． 2．解决恒成立问题还可以利用分离参数法.考点三、一元二次不等式的应用[例3 ]。

一元二次不等式及其解法导学案

§3.2一元二次不等式及其解法【学习目标】1、掌握一元二次不等式的定义.2、理解一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象解一元二次不等式.3、能利用一元二次不等式解决有关问题：解简单的分式不等式及高次不等式，对一般二次方程的根进行讨论，解决实际问题.4、对给定的一元二次不等式，能设计求解的程序框图.【学习重点】：解一元二次不等式【学习难点】：三个“二次”之间的关系.【学习过程】：自主学习：自学课本74p ，完成下列问题：考察下面含未知数的不等式130152-+x x ＞0，342+-x x ≥0，62--x x ＜0和1632-+x x ≤0说出这四个不等式的共同特点：1、一元二次不等式（1）定义：（2）一般表达形式：（3）一元二次不等式)(x f ＞0或)(x f ＜0（)0()(2≠++=a c bx ax x f ）的解集是：2、作出函数)(x f =62--x x 的图象，回答下列问题：（1）当自变量x 在什么范围内取值时，函数值等于0？（2）当自变量x 在什么范围内取值时，函数值大于0？（3）当自变量x 在什么范围内取值时，函数值小于0？小结1：利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是： .小结2：二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系是： . 合作探究：考察下面含未知数的不等式（1）32-+x x ≥0 （2）32-+x x ≤0 （3）324+-x x ＜0 这些不等式都是分式不等式，那这些不等式怎么解呢？3.分式不等式0)()(〉x g x f ⇔ ,分式不等式⇔≥0)()(x g x f . 高次不等式的解法一般用穿根法.例1：解下列不等式：（1）062>--x x ；（2）01442>+-x x ；（3）解不等式0322>++-x x解：（1）因为025)6(14)1(2>=-⨯⨯--=∆,方程062=--x x 的两根是2,321-==x x ，所以，原不等式的解集是{}23-<>x x x 或。

3.2 一元二次不等式及其解法(导学案)

§3.2 一元二次不等式及其解法学习目标1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式；3. 掌握一元二次不等式的解法。

学习过程一、课前预习1、阅读教材7679~P P ，回答下列问题（1）什么叫一元二次不等式？（2）一元二次不等式250x x -≤所对应的一元二次方程250x x -=与所对应的一元二次函数25y x x =-零点的关系怎样？（3）你能从一元二次函数25y x x =-的图象中看出不等式250x x -≤的解吗？（4）不等式250x x -+≥与不等式250x x -≤解集相同吗？（5）书本上讨论一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<时，为什么只讨论0a >情况？0a <的情况不要求掌握吗？（6）解一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<（0a >）的方法和步骤是什么？（7）一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<（0a <）能化归到（6）求解吗？（8）完成课本77页底部的表格二、例题例1 求不等式0232>+-x x 的解集.类推：不等式0)4)(3(>--x x 的解集为 . 不等式0)6)(5(>+-x x 的解集为 .不等式0))((21>--x x x x 的解集为（其中12x x <）.例2 求不等式2320x x -+<的解集.类推：不等式(3)(4)0x x --<的解集为 .不等式(5)(6)0x x -+<的解集为 .不等式12()()0x x x x --<的解集为（其中12x x <）.例3 求不等式2320x x -+-≤的解集.例4 求不等式0122>+-x x 的解集.类推：不等式0)3(2>-x 的解集为 .不等式2(6)0x +≥的解集为 .不等式2(6)0x +<的解集为 .不等式2(3)0x -≤的解集为 .不等式0)(21>-x x 的解集为 .例5 求不等式2230x x -+->小结：1、解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断∆的符号.（3）求方程c bx ax ++2=0的根.（4）画出与不等式对应的函数c bx ax y ++=2的图象；（5）根据图象写出不等式的解集.※ 动手试试解下列关于x 的不等式：（1）0322>-+x x （2）0)12)(13(≤-+x x（3）012≥+-x x （4）0122<++x x（5）0))(1(2>-+a x x （6）172153-+≥--x x x x§3.2 一元二次不等式及其解法(解析版)§3.2 一元二次不等式及其解法（1）学习目标1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式；3. 掌握一元二次不等式的解法。

一元二次不等式及其解法(导学案)

3.2.1一元二次不等式及其解法（导学案）活动一、问题.有A 、B 两家网吧，为了竞争市场，都调整了资费标准：A ：学生每小时收费1.5元；B ：学生上网的第一小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第二小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若一次上网时间超过17小时，按17小时计算）<不妨设一次上网时间不超过17小时>如果你去上网X 小时，你如何选择？什么情况下在A 网吧上网才比较划算？分析：假设一次上网x 小时，则A 网吧的收取费用为元（用含x 的式子表示）；根据题意知，B 网吧收费1.7 ，1.6，1.5 ，1.4，……1.7，1.6，1.5，1.4，……的特征是什么？， B 网吧的收取费用为元（用含x 的式子表示）；如果能够保证选择A 网吧比选择B 网吧所需费用少，你能用数学的方法来解决吗？。

（用含x 的式子表示）活动二、什么样的不等式叫做一元二次不等式？活动三、同学们阅读教材76--78例2，完成如下表格及程序框图：判别式ac b 42-=∆0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 无实根问:若a<0，又该如何求解？活动四、例．解下列不等式（1）x2+4x+4>0.（2）1－3x－4x2>0（3）－2x2+4x－3>0你能结合上表及程序框图，总结解一元二次不等式的一般方法吗？活动五、6 (3)032 (2)044 (1)222>-->-+->+ -x x xx xx x的不等式解下列关于。

(原创绝靓)3.2《一元二次不等式及其解法》导学案定稿

x §3.2 《一元二次不等式及其解法》导学案【学习目标】1.了解一元二次不等式及其解。

2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

3.能在具体的问题情境中，抽象出一元二次不等式模型。

【重点】一元二次不等式的解法。

【难点】一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

一.复习回顾一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的情况：（用判别式=∆ 判别）当0>∆，则；当0=∆，则；当0<∆，则；思考：求一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的方法有哪些？二、一元二次不等式的概念1、情景引入：一水产养殖户想挖一周长为100米的矩形水池搞养殖，要求水池面积不小于600平方米，假设水池一边长为 x 米，则x 应满足什么关系？解：依题意可得，需满足化简得2、定义：只含有未知数，并且未知数的是的，称为一元二次不等式。

一元二次不等式（a ≠0）的一般形式有：ax 2 + bx + c > 0、 ___________________、___________________、___________________3、一元二次不等式的解集：使一元二次不等式成立的未知数的取值范围（结果用集合或区间表示）三、一元二次不等式的解法1、225050x x x x -≥-≤探究一元二次不等式、的解集2、根据上述方法，请将下表填充完整：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系四、自学例题：课本P78 例1、例2尝试解答：解下列不等式（1）0322>+-x x ；（2）0562≥-+-x x ；总结：解一元二次不等式的一般步骤是:这个可以课堂上解决，或者写解一元二次不等式的方法总结：求根，因式分解五、课堂练习：解下列不等式：这些不用打在学案上222+-≤-+>-+-> x x x x x x(1)410(2)4410(3)230六、知识迁移：求下列函数的定义域2 ==--y y x x (1)(2)lg(6)。

一元二次不等式的解法导学案

一元二次不等式及其解法导学案（一）一、基础知识1、解一元二次不等式的一般步骤：当a>0时，解形如)0(02≥>++c bx ax 或)0(02≤<++c bx ax 的一元二次不等式，一般可分为三步：（1）；（2）；（3）。

判别式△=b 2-4ac △>0△=0 △<0 二次函数y=ax 2+bx+c(a>0)的图像一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a>0)的根一元二次不等式的解集 ax 2+bx+c>0(a>0)ax 2+bx+c<0(a>0)3、关于一元二次方程根的分布设方程ax 2+bx+c=0(a>0)的两根分别为x 1, x 2(x 1<x 2)④ ⑤ ⑥二、典型例题例1、解不等式x x x 32232->+例2、解关于x 的不等式：0)12(22<+++-m m x m x 。

例3、若关于x 的不等式23242<+-+x x m x 对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

例4、关于x 的方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，求实数m 的取值范围。

例5、解关于x 的不等式)0(0]2)1)[(2(>>+---a a x a x三、课堂练习1、解不等式0122<++-x x 。

2、已知一元二次方程012>++bx ax 的解集为}12|{<<-x x ，求a, b 的值。

3、若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 恒成立，求a 的取值范围。

4、已知关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一根大于1另一根小于1则实数a 的取值范围。

（选做）5、已知函数]1)1()1lg[()(22+-+-=x a x a x f（1）f(x)的定义域为R ，求实数a 的取值范围（2）f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围。

一元二次不等式及其解法导学案

1第2课时《一元二次不等式及其解法》导学案【知识点回顾】画二次函数图象应画清楚：1.开口方向，2.对称轴，3.顶点，4.与x 轴的交点（如果有的话）问题1. 二次函数的图像和性质，如223y x x =--的开口方向、顶点坐标、与x 轴的交点坐标及对称轴分别是什么？并作出它的草图.（1）开口方向：；（2）顶点坐标：；（3）与x 轴的交点坐标：；（4）对称轴为： . 问题2. 根据草图填空：1. 当x = 或时，0y =，即2230x x --=；2. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的下方，则y 0，即223x x -- 0；所以不等式2230x x --<的解集是；3. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的上方，则y 0，即223x x -- 0；所以不等式2230x x -->的解集是；上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a > 的解集；问题3：完成下表格，并回答思考问题：c）的图象（1）2340x x --≥ （2）24410x x -+> （3）2230x x -+-> 解：解：解：基础训练：1．不等式x (1－2x )>0的解集是 ( )A ．(－∞，21)B ．(0，21)C ．(－∞，0)∪(21，＋∞)D ．(21，＋∞)2．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( ) A ．A ⊆B B ．B ⊆A C ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅3．不等式0292>--x x 的解集是__________________4．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集( ) A ．{x |－1<x <21} B ．{x |x <－1或x >21} C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1} 5.不等式xx 1+≤3的解集为______________．。

3.3一元二次不等式及其解法学案

f ( x) 〉0 ⇔ g ( x) f ( x) ≥0⇔ g ( x) f ( x) 〉a ⇔ g ( x)
三、例题研究【例 1】解不等式：（1）x
2
x 2 + 2x − 3 <0 1、解不等式 − x2 + x + 6
2、解不等式 x
2
− (a + a 2 ) x + a 3 > 0
a>0
导学案 3.3 一元二次不等式及其解法
组编：
审核：
4、分式不等式
日期：
四、深入探究
【学习目标】理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的学习目标】关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法。重点】【重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。难点】【难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。一、知识回顾一元一次不等式（最简）的解集如下表：一元一次不等式（最简） ax > b 的解集如下表：
（a > 0）的图象有两相异实根有两相等实根
4、已知不等式 ax 【例 3】解不等式 x
2
2
+ 5 x + c > 0 的解集为 x < x < 求
+ 4x + 4 > 0
1 3
1 2
a, c 的范围。
一元二次方程
【例 4】解不等式 − 2 x
2
+ 4x − 3 > 0
【例 2】解不等式 1 − x − 4 x
2
3、不等式 ( a + 1) x 数 a 的取值范围。

3,2一元二次不等式及其解法(导学案)

3、2 一元二次不等式及其解法（导学案）（集美中学杨正国）一、学习目标1、理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；二、本节重点熟练掌握一元二次不等式的解法三、本节难点理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系四、知识储备1、提问：你能回顾一下以前所学的一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程吗？2、比较,,a b c 的大小：22,5a b c ==-五、通过预习掌握的知识点① 若判别式240b ac ∆=->，设方程20ax bx ++=的二根为1212,()x x x x <，则：0a >时，其解集为{}12|,x x x x <>或；0a <时，其解集为{}12|x x x x <<. ② 若0∆=，则有：0a >时，其解集为|,2b x x x R a ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭；0a <时，其解集为∅. ③ 若0∆<，则有：0a >时，其解集为R ；0a <时，其解集为∅.. ④ 一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关，从而可数形结合法分析其解集.我们由此总结出解一元二次不等式的三部曲“方程的解→函数草图→观察得解”六、知识运用1、求不等式2610x x --≤的解集. 2、不等式22ax bx ++>的解集是}11|23x x ⎧-<<⎨⎩，则a b +的值是_________ 3、变式训练：已知不等式20ax bx c ++>的解集为(,)αβ，且0αβ<<，求不等式20cx bx a ++<的解集.4、若01a <<，则不等式1()()0a x x a-->的解是___________5、解关于x 的不等式：2(1)10ax a x -++<七、重点概念总结解一元二次不等式的步骤：① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2>0(或<0)(a>0) ② 计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ.∆>0时，求根1x <2x ，⎩⎨⎧<<<><>.002121x x x A x x x A ，则若；或，则若ⅱ.∆=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩⎪⎨⎧=≤∈<≠>.00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；，则若φⅲ.∆<0时，方程无解，⎩⎨⎧∈≤∈>.00φx A R x A ，则若；，则若 ③ 写出解集.一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：有两相异实根有两相等实根。

(word完整版)一元二次不等式及解法导学案

金华六中“导学案”高效课堂建设-—数学学科导学案专题名不等式课题名一元二次不等式及其解法编者: 高一数学组时间：2013年12月 23 日班级：________小组：________姓名：__________学号：______一、明确目标二、新课预习，提出疑惑1。

形如或不等式叫一元二次不等式。

（其中）2。

二次函数y = ax2 + bx + c的是相应方程ax2 + bx + c=0的 .3. 提出疑惑：三、创设情境,引入课题学校要在长为8，宽为6 的一块长方形地面上进行绿化,计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，中间种植草坪(图中阴影部分）为了美观，现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉带的宽度的取值范围是什么?探究（一）：一元二次不等式2760-+>的解集x x（1）一元二次方程2760-+=的根与二次函数276x x=-+的零点的关系?y x x(2）当x 时,0y =？当x 时，0y >? 当x 时,0y <？（3)由图象得：不等式2760x x -+>的解集为；不等式2760x x -+<的解集为探究（二）:设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， ac b 42-=∆，不等式的解的各种情况如下表：思考：（1）对于一元二次不等式20,(0)ax bx c a ++>≠或20,(0)ax bx c a ++<≠ 当二次项系数0a <时如何求解?（2）不等式20,(0)ax bx c a ++>≠的解集与不等式20,(0)ax bx c a ++≥≠的解集有差异吗？四、典例剖析规范步骤例1：解不等式22320x x --> 例2：解不等式24410x x -+>五、达标检测，及时巩固（由易到难分为A 、B 组）A 组1．不等式22150x x +-<的解集是 ;2．在下列不等式中，解集为∅的是（）(A ）02322>+-x x (B)0442≤++x x（C)0442<--x x （D ）02322>-+-x xB 组3.已知关于x 的不等式0622>++m x mx⑴若不等式的解集为{|23}x x <<,求实数m 的值; ⑵若不等式的解集为}1|{mx x -≠，求实数m 的值; ⑶若不等式的解集为R ，求实数m 的取值范围；（4）若不等式的解集为Φ,求实数m 的取值范围。

一元二次不等式导学案

教学重点：教学重点：
一元二次不等式的解法
教学难点：
弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系及其各类形如一元二次不等式的不等式的解法
引
导入新课】一.【情境引入导入新课】【情境引入,导入新课
问题： ①解方程 3 x + 2 = 0 ②作函数 y = 3 x + 2 的图像 ③解不等式 3 x + 2 > 0 【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图像上！）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？．二、探索与研究我们现在就结合不等式 x − x − 6 > 0 的求解来试一试。（师生共同活动用
导
精
【应用概念，强化训练】三、应用概念，强化训练】概念 . 解不等式： (1 ) -3x2+3x+2＜0 解不等式：
(2) x 2 - 5 > x(2x+6)
讲
四强化 M={x︱x2+2x-15＜0}, ︱＜ N={x︱(1+x)(3-x) ＜0}。︱。求 M∪N，M∩N ∪ ， ∩
1、 3 + 5 x − 2 x 2 ≤ 0
2 x 2 + 4x + 5 > 0
3.
x 2 − 8 x + 16 < 0
3. 若集合
MU N

导学案1：3.3 一元二次不等式及其解法

3.3 一元二次不等式及其解法【学习目标】1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式的方法.3.培养利用数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力．【重、难点】重点：一元二次不等式的解法，及从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系．【知识链接】一元二次函数的图像与性质和一元二次方程的根【新知探究】探究一. 一元二次不等式的解集引例. 画出二次函数 y＝x2－2x－3 的图像，回答下列问题.1. 该函数的图像与 x 轴的交点的坐标是什么？2. 当 x 取什么值时，y＝0？3. 当 x 取什么值时，y<0？4. 当 x 取什么值时，y>0？问题1.根据思考2确定满足不等式x2－2x－3<0 的x的取值范围的思路，怎样确定满足一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)与ax2＋bx＋c<0(a>0)的x的取值范围？答:先求出一元二次方程的根，再根据函数图像与x轴的相关位置，确定满足一元二次不等式的x的取值范围．【概念】(1) 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解．(2) 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．问题2. 设 a>0 ，根据以上讨论，请将下表补充完整.有两相等实根答: 二次函数的图像与x轴交点的横坐标为相应一元二次方程的根，即一元二次方程的根为相应二次函数的零点；二次函数的图像在x轴上方或下方的部分所对应x的范围是不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)与ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集．例1. 解不等式：3x2＋5x－2>0.解:∵3x2＋5x－2=(x+2)(3x−1).∴3x2＋5x－2=0的两根是x1＝－2，x2＝13，0)，又函数 y=3x2＋5x－2的图像是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－2,0)和(13如下图：，+∞)．∴观察图像，不等式的解集为(−∞，−2)∪(13【解题反思】如何求解一元二次不等式的解集？答：对于一般形式的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)与 ax2＋bx＋c<0(a> 0)，求解步骤一般为：第一步：求出相应方程的根；第二步：画出相应二次函数的图像；第三步：观察图像得不等式的解集.变式1.解不等式：−2x2+x+1<0.，x2=1，解：方法一∵方程2x2－x－1=0的根为x1=−12又函数 y=2x2－x－1的图像是开口向下的抛物线，如下图：)∪(1，+∞).观察图像，不等式的解集为(−∞，−12方法二由不等式的两边同乘以－1，得2x2－x－1>0.，x2=1.∵方程2x2－x－1=0的两个根为x1=−12又函数 y=2x2－x－1的图像是开口向上的抛物线，如下图：)∪(1，+∞).观察图像，原不等式的解集为(−∞，−12【解题反思】如何求解非一般形式的一元二次不等式？答：（1）当所给一元二次不等式为非一般形式时，应先化为一般形式；（2）对于二次项系数a<0的一元二次不等式，一般有两种解法：①结合开口向下的抛物线求解；②不等式的两边同乘以－1，使二次项系数变为正数，然后求解. 但通常采用方法二．探究二. 含参数的一元二次不等式的解法例2．解关于x的不等式：x2−(2m+1)x+m2+m<0解：∵x2−(2m+1)x+m2+m=(x−m)(x−m−1)∴方程x2−(2m+1)x+m2+m=0的根为x1=m，x2=m+1，且m<m+1.又二次函数y=x2−(2m+1)x+m2+m的图像可口向上，且与x轴有两个交点∴不等式x2−(2m+1)x+m2+m<0的解集为{x|m<x<m+1}.【解题反思】含参数的一元二次不等式的求解步骤：(1) 讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向；(2) 讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x轴交点的个数；(3) 当Δ>0 时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4) 最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．变式2.1. 关于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0.解：方程x2＋(1－a)x－a=0 的解为x1=－1，x2=a.又函数y=x2＋(1－a)x－a的图像开口向上，∴(1) 当a<－1 时，原不等式的解集为(a，－1)；(2) 当a=－1 时，原不等式的解集为∅；(3) 当a>－1 时，原不等式的解集为(－1，a)．变式2.2设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0.解：(1) 当m＝0时，－3<0 恒成立，所以x∈R.(2) 当 m>0 时，不等式变为(mx＋3)(mx－1)<0，即(x+3m )(x−1m)<0，解得−3m<x<1 m .(3) 当m<0 时，原不等式变为(x+3m )(x−1m)<0，解得1m<x<−3m..综上所述，当m＝0 时，不等式的解集为R；当m>0 时，不等式的解集为{x|−3m <x<1m}；当m<0 时，不等式的解集为{x|1m <x<−3m}.。

高中数学必修5《一元二次不等式及其解法》导学案

&3.2.《一元二次不等式的解法》（第一课时）学案班别：座号：姓名：一、创设情境、引入新课学校要在长为8米,宽为6 米的一块长方形地面上进行绿化。

计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪(图中阴影部分)。

为了美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉带的宽度x 的取值范围是什么?一元二次不等式定义：标准形式：二、探究交流，发现规律思考：1.一元二次方程2760x x -+=的实根为2.画出函数276y x x =-+的图象，并根据图象回答：当x 取时，y>0 ？即不等式2760x x -+>的解集为当x 取时，y<0 ？即不等式2760x x -+<的解集为三、启发引导，形成结论完成下列表格 ⊿=b 2-4ac0>∆ 0=∆ 0<∆ c bx ax y ++=2（0>a ）的图象()的根002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx axxx xxxx xx四、典例剖析，规范步骤例1：解不等式（1）x 2-x-2<0 （2）4x 2-4x+1>0变式：?)0?,0(01442≤<≥+-x x 的解集分别是？（3）0322<+-x x （4）322-<+-x x五、当堂检测、巩固基础解不等式：4)1(2>x0)9()2(>-x x六、回顾小结，加深印象本节课学习的重点：学习难点：七、课后作业、提升深化1.求函数2.解不等式2(1)940x ->(2)(2)0x x -<(3)()(1)0(1)x a x a --<<3.设计求解一元二次不等式 20(0)ax bx c a ++>>的程序框图.。

高中数学《一元二次不等式及其解法》导学案 (2)

第三章不等式§3.2一元二次不等式及其解法一、学习目标1.体会一元二次不等式与二次函数的关系,掌握一元二次不等式的解法.2.运用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式.3.解决简单一元二次不等式与函数的综合性问题.【重点，难点】教学重点：掌握一元二次不等式的解法.教学难点：运用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式。

二、学习过程【情景创设】炮弹发射后运行的高度h(km)与时间t(s)的关系可以用函数h=-t2+20t-1表示,试问炮弹运行到50 km以上的高空所需的时间是多少?上述问题就是通过解不等式-t2+20t-1≥50求出不等式解集的区间长度问题,该不等式是一个一元二次不等式,也就是我们这节课探究的重点——一元二次不等式的解法.【导入新课】1:解一元二次不等式的基本思想(1)形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫作.(2)基本思想:画出二次函数y=ax2+bx+c的图象,图象与x轴的交点对应的横坐标的集合就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解集,图象在x轴上方的点对应的横坐标的集合就是一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集,图象在x 轴下方的点对应的横坐标的集合就是一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集.2:二次函数、二次方程、二次不等式间的关系如下表,设f(x)=ax2+bx+c(a>0).Δ=b2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0y=f(x)的示意图f(x)=0的根x1,x2x0=-错误!未找到引用源。

没有实数根f(x)>0的解集(-∞,x1)∪(x2,+∞)(-∞,-错误!未找到引用源。

)∪(-错误!未找到引用源。

,+∞)(-∞,+∞)f(x)<0的解集(x1,x2) ⌀⌀3:解含参数的一元二次不等式的一般步骤对字母系数分类讨论时,要注意确定分类的标准,而且分类时要不重不漏.一般方法是:(1)当二次项系数不确定时,按二次项系数、、三种情况进行分类.(2)判别式大于零时,还需要讨论两根的.(3)判别式不确定时,按判别式、、三种情况讨论.结合方程的根、函数的图象得到解集.4:(1)函数f(x)=ax2+bx+c>0在R上恒成立,则且.(2)若函数f(x)=log m(ax2+bx+c)的定义域为R,则或者.(3)若函数f(x)=log m(ax2+bx+c)的值域为R,则或者.【典型例题】例1.解下列一元二次不等式(1)x2+2x-15>0;(2)x2>2x-1解：(1)x2+2x-15>0⇔(x+5)(x-3)>0⇔x<-5或x>3,∴不等式的解集是{x|x<-5或x>3}.(2)x2>2x-1⇔x2-2x+1>0⇔(x-1)2>0⇔x≠1,∴不等式的解集是{x|x≠1}.【小结】解一元二次不等式可先将二次项系数化为正,再求对应方程的根,并根据根的情况画出草图,观察图象写出解集.例2. 含参数型的一元二次不等式已知a≠0,解关于x的一元二次不等式ax2+(a+2)x+2>0.解：由ax2+(a+2)x+2=0得方程的根为x=-错误!未找到引用源。

高中数学《一元二次不等式及其解法》导学案

第1课时一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式的定义□01只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集□02使一元二次不等式成立的x的值叫做一元二次不等式的□03解，□04所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根x1，x2x0＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集□05{x|x<x1或x>x2}□06{xx≠⎭⎬⎫－b2a□07Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集□08{x|x1<x<x2}□09∅□10∅1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一元二次方程的根就是相应函数的图象与x轴的交点．()(2)(x＋a)(x＋a＋1)<0是一元二次不等式．()(3)不论实数a取什么值，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集一定与相应方程ax2＋bx ＋c ＝0的解有关．( )(4)设二次方程f (x )＝0的两解为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式f (x )>0的解集不可能为{x |x 1<x <x 2}．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．做一做(1)(教材改编P 80T 1(1))不等式x (x ＋1)≤0的解集为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,0) C ．(－∞，－1]D ．[－1,0](2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(3)当a >0时，若ax 2＋bx ＋c >0的解集为R ，则Δ应满足的条件为________． (4)已知不等式ax 2－bx ＋2<0的解集为{x |1<x <2}，则a ＋b ＝________. 答案 (1)D (2){x |－4<x <1} (3)Δ<0 (4)4探究1 不含参数的一元二次不等式的解法例1 求下列不等式的解集： (1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－x 2＋8x －3>0； (3)x 2－4x －5≤0；(4)－4x 2＋18x －814≥0； (5)－12x 2＋3x －5>0；(6)－2x 2＋3x －2<0.解 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12，又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3. (2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不等实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13，又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}．(3)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(4)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(5)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，因为Δ＝62－40＝－4<0，所以原不等式的解集为∅.(6)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以原不等式的解集为R .拓展提升解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集．【跟踪训练1】求下列不等式的解集： (1)x 2－3x ＋1≤0； (2)3x 2＋5x －2>0； (3)－9x 2＋6x －1<0； (4)x 2－4x ＋5>0； (5)2x 2＋x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝9－4＝5>0，所以方程x 2－3x ＋1＝0有两个不等实数根x 1＝3－52，x 2＝3＋52，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3－52≤x ≤3＋52. (2)原不等式可化为(3x －1)(x ＋2)>0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >13或x <－2. (3)原不等式可化为(3x －1)2>0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠13，x ∈R .(4)因为Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0，所以原不等式的解集为R . (5)因为Δ＝12－4×2＝－7<0，所以原不等式的解集为∅. 探究2 含参数的一元二次不等式的解法例2 解关于x 的不等式(a ∈R )： (1)2x 2＋ax ＋2>0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R .②当Δ≥0，即a ≥4或a ≤－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为 x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}；当a >4或a <－4时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a2－16)；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1}． (2)若a ＝0，原不等式⇒－x ＋1<0⇒x >1；若a <0，原不等式⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0⇒x <1a 或x >1；若a >0，原不等式⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，(*)其解的情况应由1a 与1的大小关系决定，故 ①当a ＝1时，式(*)⇒x ∈∅； ②当a >1时，式(*)⇒1a <x <1； ③当0<a <1时，式(*)⇒1<x <1a .综上所述，当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. 拓展提升解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式，分类讨论的结果最后不能合并．【跟踪训练2】 (1)解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0； (2)解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0. 解 (1)原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.方程x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2. 由a 2－a ＝a (a －1)可知： ①当a <0或a >1时，a 2>a . 解原不等式得x >a 2或x <a .②当0<a <1时，a 2<a ，解原不等式得x >a 或x <a 2. ③当a ＝0时，原不等式为x 2>0，∴x ≠0. ④当a ＝1时，原不等式为(x －1)2>0，∴x ≠1. 综上可知：a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}；当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}．(2)方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式的解集为∅；当a ＞－1时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜a }．探究3 “三个二次”之间的转化关系例3 若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，求不等式bx 2＋2ax －c －3b <0的解集．解因为ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，所以a <0且－3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋4＝－ba ，－3×4＝ca ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a .所以不等式bx 2＋2ax －c －3b <0，即为－ax 2＋2ax ＋15a <0，即x 2－2x －15<0，故所求的不等式的解集为{x |－3<x <5}．[变式探究] 本例中把{x |－3<x <4}改为{x |x <－3或x >4}，其他条件不变，则不等式的解集又如何？解因为ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－3或x >4}，所以a >0且－3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋4＝－ba ，－3×4＝c a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a ，所以不等式bx 2＋2ax －c －3b <0，即为－ax 2＋2ax ＋15a <0，即x 2－2x －15>0，解得x <－3或x >5，故所求不等式的解集为{x |x <－3或x >5}．拓展提升三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：【跟踪训练3】 (1)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－2或x >－12，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________；(2)已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，则不等式ax 2＋bx －1>0的解集为________．答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2 (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1 解析 (1)由题意可得－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a <0，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－b a ，(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝c a ，解得a ＝c ，b ＝52c ，所以不等式ax 2－bx ＋c >0即为2x 2－5x ＋2<0，解得 12<x <2.(2)∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a ，－12×2＝2a ，∴a ＝－2，b ＝3，故ax 2＋bx －1>0可变为－2x 2＋3x －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.[规律小结]1.对一元二次不等式概念的三点说明(1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可．(2)“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制．(3)必须是整式不等式．2.解含参数的不等式时应注意的问题(1)解含参数的不等式时，必须注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论．(2)了解哪些情况需要分类讨论．①二次项系数为字母时，要分等于零、大于零、小于零三类讨论． ②对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论．③若判别式含参数，则在确定解的情况时需分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况进行讨论．[走出误区]易错点⊳解含参数的不等式时分类讨论不全出错 [典例] 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0.[错解档案] 当a ＝0时，原不等式化为x －2<0，其解集为{x |x <2}；当a ≠0时，方程(x －2)(ax －2)＝0的两根为x 1＝2，x 2＝2a . (1)当2a ＝2，即a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2，x ∈R }； (2)当2a >2，即0<a <1时，原不等式的解集为{|x x >2a 或x <2； (3)当2a <2，即a <0或a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a或x >2.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2，x ∈R }；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a 或x <2；当a <0或a >1时，原不等式的解集为{|x x <2a 或x >2.[误区警示] 当a <0或a >1时，只注意到了2a <2，而忽略了当a <0时，原不等式二次项系数为负数，此时不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2. [规范解答] 以上同错解． (3)当2a <2，即a <0或a >1时，①当a <0时，原不等式的二次项系数为负数，因此原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2； ②当a >1时，原不等式的二次项系数为正数，因此原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a 或x >2. 综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2，x ∈R }；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a 或x <2；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a 或x >2；当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2. [名师点津] 解ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论.1．在下列不等式中，解集是∅的是( ) A ．2x 2－3x ＋2>0 B ．x 2＋4x ＋4≤0 C ．4－4x －x 2<0 D ．－2＋3x －2x 2>0答案 D解析 A 的解集为R ；B 的解集是{x |x ＝－2}；C 的解集为{x |x >－2＋22或x <－2－22}，D 选项中Δ＝9－4×2×2＝－7<0，解集为∅，故选D.2．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( ) A.{|x －23≤x ≤12 } B.{|x x ≤－23或x ≥12} C.{|x x ≥12 }D.{|x x ≤－32}答案 B解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.故选B. 3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) A.{|x x ≠－13} B ．{|x －13≤x ≤13}C ．∅D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13答案 D解析原不等式可变形为(3x ＋1)2≤0.∴x ＝－13.故选D.4．若不等式x 2＋(m －3)x ＋m ≤0的解集不是空集，则m 的取值范围是________．答案 m ≥9或m ≤1解析由题意知Δ＝(m －3)2－4m ≥0，即m 2－10m ＋9≥0，∴m ≥9或m ≤1. 5．解不等式1<x 2－3x ＋1<9－x . 解由x 2－3x ＋1>1，得x 2－3x >0， ∴x <0或x >3.由x 2－3x ＋1<9－x ，得x 2－2x －8<0， ∴－2<x <4，∴原不等式的解集为{x |x <0或x >3}∩{x |－2<x <4} ＝{x |－2<x <0或3<x <4}．A 级：基础巩固练一、选择题1．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是( ) A ．{x |x ＜－4或x ＞3} B ．{x |－4＜x ＜3} C ．{x |x ≤－4或x ≥3} D ．{x |－4≤x ≤3}答案 C 解析使y ＝x 2＋x －12有意义，则x 2＋x －12≥0.∴(x ＋4)(x －3)≥0，∴x ≤－4或x ≥3.2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案 B解析 ∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0，∴x 2＋x －2<0.∴－2<x <1. 3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0. 所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．4．已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－13或x >12C ．{x |－3<x <2}D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >13答案 B解析由题意可知，ax 2－5x ＋b ＝0的两个根分别为－3，2，利用根与系数的关系可得，－3＋2＝5a ，－3×2＝ba ，解得a ＝－5，b ＝30，则所求不等式可化为30x 2－5x －5>0，即(2x －1)(3x ＋1)>0，解得x <－13或x >12.故选B.二、填空题5．已知M ＝{x |－9x 2＋6x －1<0}，N ＝{x |x 2－3x －4<0}，则M ∩N ＝________. 答案⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <4且x ≠13解析由－9x 2＋6x －1<0，得9x 2－6x ＋1>0. 所以(3x －1)2>0，解得x ≠13，即M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠13.由x 2－3x －4<0，得(x －4)(x ＋1)<0，解得－1<x <4，即N ＝{x |－1<x <4}．所以M ∩N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <4且x ≠13.6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：答案 {x |x ＜－2或x ＞3}解析由表知x ＝－2时y ＝0，x ＝3时，y ＝0. ∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 可化为y ＝a (x ＋2)(x －3)，又当x ＝1时，y ＝－6，∴a ＝1. ∴不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x <－2或x >3}．7．已知A ＝(1,2)，B ＝{x |x 2－2ax ＋a 2－1<0}，若A ⊆B ，则a 的取值范围是________．答案 [1,2]解析方程x 2－2ax ＋a 2－1＝0的两根为a ＋1，a －1，且a ＋1>a －1，∴B ＝{x |a －1<x <a ＋1}．∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤1，a ＋1≥2，解得1≤a ≤2.三、解答题8．已知函数f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋m ，g (x )＝－(m ＋4)x －4＋m ，m ∈R . (1)比较f (x )与g (x )的大小； (2)解不等式f (x )≤0.解 (1)由于f (x )－g (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋m ＋(m ＋4)x ＋4－m ＝x 2＋3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋74>0， ∴f (x )>g (x )．(2)不等式f (x )≤0，即x 2－(m ＋1)x ＋m ≤0，即(x －m )(x －1)≤0，当m <1时，其解集为{x |m ≤x ≤1}，当m ＝1时，其解集为{x |x ＝1}，当m >1时，其解集为{x |1≤x ≤m }．9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B . (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集．解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴A ＝(－1,3)．由x 2＋x －6<0，得－3<x <2， ∴B ＝(－3,2)，∴A ∩B ＝(－1,2)． (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0， ∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .10．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集．解原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0，由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0，所以a <－1或a >32.若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)>5，所以3－2a >a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ＋12<x <3－2a；若a >32，由－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)<－54，所以3－2a <a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3－2a <x <a ＋12. 综上，当a <－1时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12，3－2a ；当a >32时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2a ，a ＋12.B 级：能力提升练1．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1(i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3答案 B解析由(1－a i x )2<1，得1－2a i x ＋(a i x )2<1，即a i ·x (a i x －2)<0. 又a 1>a 2>a 3>0.∴0<x <2a i，即x <2a 1，x <2a 2且x <2a 3.∵2a 3>2a 2>2a 1>0，∴0<x <2a 1. 2．若关于x 的不等式x 2－ax －6a <0的解集的区间长度不超过5个单位，求实数a 的取值范围．解 ∵x 2－ax －6a <0有解，∴方程x 2－ax －6a ＝0的判别式Δ＝a 2＋24a >0， ∴a >0或a <－24.解集的区间长度就是方程x 2－ax －6a ＝0的两个根x 1，x 2的距离，由x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－6a ，得 (x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋24a . ∵|x 1－x 2|≤5，∴(x 1－x 2)2≤25， ∴a 2＋24a ≤25，∴－25≤a ≤1. 综上可得－25≤a <－24或0<a ≤1，即a 的取值范围是[－25，－24)∪(0,1]．。

一元二次不等式及其解法导学案22

一元二次不等式及其解法导学案一、学习目标理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；二、本节重点难点熟练掌握一元二次不等式的解法问题1：请同学们画出一次函数72-=xy的图象，从图象上观察y=0 ,y>0 ,y<0时x 的取值范围？当x=3.5时，y=0，即2x－7 0当x<3.5时，y<0，即2x－7 0当x>3.5时，y>0，即2x－7 0得出以下三组重要关系：①2x-7=0的解恰是函数y=2x-7的图象与x轴交点的横坐标。

②2x-7>0的解集正是函数y=2x-7的图象在x轴的上方的点的横坐标的集合。

③2x-7<0的解集正是函数y=2x-7的图象在x轴的下方的点的横坐标的集合。

（二）比旧悟新，引出“三个二次”的关系问题2为此我引导学生作出函数y=x2-x-6的图象，看函数y=x2-x-6的图象并说出：①方程x2-x-6=0的解是；②不等式x2-x-6>0的解集是；③不等式x2-x-6<0的解集是。

总结归纳：上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式20ax bx c++>或20ax bx c++<(0)a>的解集；例1、解不等式2x2－3x－2>0讨论：若a < 0时，怎样求解不等式ax 2+bx+c > 0 （< 0）？例2 解不等式－3x 2+6x > 2解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地解一元二次不等式的“四部曲”： (1)把二次项的系数化为正数 (2)计算判别式Δ(3)解对应的一元二次方程(4)根据一元二次方程的根，结合图像(或口诀)，写出不等式的解集。

概括为：一化正→二算Δ→三求根→四写解集注：解一元二次不等式要结合二次函数的图象，尽量使用配方法和因式分解法．练习解不等式(1)4x 2－4x+1>0 (2)－x 2+2x －3>0(3)23520x x +->. (4)29610x x -+≥.(5)2450x x -+>. (6)2210x x -++<.例3：解下列不等式：（1）(1)()0x x a +-< （2）22560x ax a -+>(0)a ≠1．22{|160},{|430},A x xB x x x =-<=-+>求A B ⋂.2. 求下列函数的定义域.(2)《菜根谭》中说：花看半开，酒饮微醉。