考研数学概率论和数理统计备考指南

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[指南]怎样学好《概率论与数理统计》（1）：预备知识

怎样学好《概率论与数理统计》(1)：预备知识怎样学好《概率论与数理统计》（1）：预备知识《概率论与数理统计》是研究和揭示随机现象的统计规律性的数学学科，是理工、经管、文各专业本科生必修的公共基础课，是考研数学的重要组成部分。

该课程需要《高等数学》（或称为《微积分》）的基础，又为高年级的有关专业课和硕士、博士阶段的数学课做知识准备，一般在第三学期开设。

以盛骤等编著的《概率论与数理统计》（高教出版社，第四版）为例，考研的基本要求是前七章及第八章中关于参数的假设检验这部分。

不同学校、专业因学时多少的不同而对教学内容各有侧重或延伸。

如果你《高等数学》（或称为《微积分》）的基础不是很扎实，最好开课前做好相关复习（如果来不及，至少把复习分散到学习各章之前），否则微积分会成为你学习概率统计的拦路虎。

其实，用到的都是微积分中非常基本的知识和运算。

下面是《概率统计》各章所需要的预备知识，供大家参考。

第一章“概率论的基本概念”用到集合的关系与运算，以及排列、组合的知识。

第二章“随机变量及其分布”用到定积分（包括无穷区间上的广义积分）的基本运算，定积分对积分区间的可加性，特别要熟悉被积函数是分段函数时的定积分运算。

第三章“多维随机变量及其分布”用到二重积分的基本运算，二重积分对积分区域的可加性，特别要熟悉化二重积分为二次积分时如何确定积分上、下限。

第四章“随机变量的数字特征” 用到数项级数求和，定积分（包括无穷区间上的广义积分）、二重积分的基本运算。

讲到n维随机变量时会用到《线性代数》中矩阵运算的记号，但只是稍稍提及，是为日后深入学习做准备的，一般不作为考试重点。

第五章“大数定律及中心极限定理”用到极限的概念，是借助于数列极限来定义随机变量序列的收敛、以及函数序列的收敛。

第六章“样本及抽样分布”基本用不到《高等数学》（或称为《微积分》）的知识。

第七章“参数估计”中矩估计部分用到数项级数求和，定积分（包括无穷区间上的广义积分），最大似然估计部分用到对数运算的性质、求导（包括求偏导）、求极值点的基本运算。

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则交换律结合律分配律德•摩根律B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率.(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+…2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) .(4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件.(1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B ,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kkii i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n相互独立.第二章随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX kk P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0) 三.连续型随机变量1.定义如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数). 2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布 (1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . (2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0). (3)X~N (μ,σ2)参数为μ,σ的正态分布222)(21)(σμσπ--=x ex f -∞<x<∞, σ>0. 特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(zα)=1-α , z 1- α= -z α.四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质(1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y ,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-yxdudv v u f ),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-d x d y y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y) 关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i·( i =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p·j( j =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义若对一切实数x,y ,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j= p i ··p ·j( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X(x)f Y(y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立.六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称 P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称,}{},{jj i j j i p p y Y P y Y x X P ∙=====P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X)∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) .二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2D(X) . 2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X)1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p)2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/12 5.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ2 6.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E {[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l}第六章样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i XX n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1( k=1,2,…),}{},{∙=====i j i i j i p p x X P y Y x X P二.抽样分布即统计量的分布 1.X 的分布不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n .特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2/n) .2.χ2分布 (1)定义若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2).③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点. 3. t 分布(1)定义若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) .③两个正态总体相互独立的样本样本均值样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2Y S22则212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点.注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意:.).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章参数估计一.点估计总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p (x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,Xn的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧kθθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由似然方程组0=∂∂i L θ 或对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量.文 - 汉语汉字编辑词条文，wen ，从玄从爻。

考研数学一大纲重点梳理概率论与数理统计部分

考研数学一大纲重点梳理概率论与数理统计部分概率论和数理统计是考研数学一科目中的重要部分，本文将针对概率论与数理统计这一大纲进行重点梳理。

首先，我们将介绍概率论的基本概念和理论，然后详细讨论数理统计的相关内容。

一、概率论的基本概念和理论1. 概率的基本概念概率是研究随机现象的定量描述，用来描述事件发生的可能性大小。

概率可以用数值表示，范围在0到1之间，其中0代表不可能事件，1代表必然事件。

2. 概率的运算规则概率的运算规则包括加法规则和乘法规则。

加法规则适用于互斥事件，乘法规则适用于独立事件。

3. 随机变量和概率分布随机变量是用来描述随机现象的变量，可以分为离散随机变量和连续随机变量。

概率分布描述了随机变量的取值与概率之间的关系，常见的概率分布包括二项分布、泊松分布和正态分布等。

4. 期望和方差期望是随机变量的平均值，用来描述随机变量的集中趋势；方差是随机变量与期望之间的差异程度，用来描述随机变量的离散程度。

二、数理统计的相关内容1. 抽样与抽样分布抽样是指从总体中选取一部分个体进行观察和研究的过程，抽样分布是指样本统计量的概率分布。

常见的抽样分布包括正态分布、t分布和F分布等。

2. 参数估计参数估计是利用样本数据来估计总体参数的值，常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。

点估计是用单个数值来估计参数的值，区间估计是用一个区间来估计参数的值。

3. 假设检验假设检验是根据样本提供的信息，对总体的某个参数是否满足某种假设进行判断。

假设检验可以分为单侧检验和双侧检验，常见的假设检验方法包括z检验和t检验等。

4. 方差分析方差分析是用来比较两个或多个总体间均值差异是否显著的统计方法。

方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析，常用的方法包括单因素方差分析和双因素方差分析等。

5. 回归分析回归分析是用来研究自变量与因变量之间的关系的方法。

简单线性回归是一种自变量和因变量之间存在线性关系的回归分析方法，多元线性回归是多个自变量和一个因变量之间的回归分析方法。

概率论与数理统计考研备考攻略

概率论与数理统计考研备考攻略概率论与数理统计是考研数学一科目中的重要内容之一，也是备考中的难点之一。

在备考概率论与数理统计时，我们需要有一定的策略和方法，以提高备考效果。

本文将为大家分享一些概率论与数理统计考研备考攻略，希望能够帮助到正在备考的同学。

一、了解考纲在备考概率论与数理统计之前，首先要仔细研读考纲，了解考试的要求和考点。

考纲中会明确列出各个知识点的具体要求，包括掌握的程度和考察的重点。

通过了解考纲，我们可以有针对性地进行备考，更加高效地掌握概率论与数理统计的知识。

二、系统学习基础知识在备考概率论与数理统计时，要系统学习基础知识。

包括概率论的基本概念、概率分布、随机变量及其分布、大数定律和中心极限定理等；数理统计的基本概念、参数估计、假设检验、方差分析等。

掌握这些基础知识是学好概率论与数理统计的基础，也是备考的关键。

三、刷题巩固知识刷题是备考的重要环节。

通过大量的习题训练，可以巩固知识，提高解题能力。

可以选择一些历年考研真题和模拟试题进行刷题，熟悉考试题型和题目难度，同时可以将知识应用到实际问题中，增强解题的能力。

四、注重理论与实践相结合在备考概率论与数理统计时，不仅仅要理论学习，还要注重与实践相结合。

可以通过实例分析，将理论知识应用到实际问题中，提高解题和分析问题的能力。

同时，可以结合实际数据进行统计分析，加深对理论知识的理解和应用。

五、做好总结和归纳在备考概率论与数理统计过程中，及时总结和归纳所学的知识是非常重要的。

可以将知识点进行分类整理，形成知识框架和思维导图，方便复习和回顾。

同时，要记录解题方法和技巧，以备不时之需。

六、培养时间管理能力备考概率论与数理统计需要花费大量的时间和精力，因此合理安排时间是非常重要的。

要制定合理的备考计划，合理分配时间，不仅要保证充分的学习时间，还要注意休息和娱乐，保持身心健康。

合理的时间管理能力可以提高备考的效果。

七、多种复习方法结合备考概率论与数理统计时，可以尝试多种复习方法的结合，以提高效果。

考研概率论与数理统计教材

一、引言概率论与数理统计是考研数学中的重要组成部分，对于理工科专业考生而言，这部分内容尤为重要。

为了帮助考生更好地复习考研概率论与数理统计，本文将为您推荐几本优秀的教材，并提供相应的使用指南。

二、教材推荐1. 《概率论与数理统计教程》（茆诗松）本书为普通高等教育“十二五”规划教材，由著名概率论与数理统计专家茆诗松教授主编。

全书共八章，前四章为概率论部分，后四章为数理统计部分。

本书注重基本概念和统计思想的讲解，强调各种方法的应用，适合初次接触概率统计的读者阅读。

2. 《概率论与数理统计》（王松桂）本书是一本高等学校非数学专业的概率论与数理统计教材，共9章，内容包括随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理、样本与统计量、参数估计、假设检验，回归分析与方差分析。

本书注重概率统计概念的阐释，并注意举例的多样性。

3. 《21世纪高等院校教材：概率论与数理统计》（经济、管理类）本书根据教育部颁布的经济、管理本科专业《经济数学》教学大纲编写，共11章。

内容包括随机事件及其概率、随机变量及其分布、多维随机向量及其概率分布、随机变量（向量）的数字特征、大数定律与中心极限定理等概率论基础，以及数理统计的基本概念、参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等数理统计基础。

本书注重基本知识、基本技能、基本方法的训练以及实际应用能力的培养。

4. 《新核心理工基础教材：概率论与数理统计学习指导与习题精解》本书紧扣教材，共分10章，第1章至第5章是概率论，第6章至第10章是数理统计。

每一章由精选习题、习题精解、阅读与提高三部分组成，并将一些新的研究成果融入本书之中。

本书可作为高等院校统计学专业以及理工类等其他专业师生阅读参考，也可作为考研参考用书。

三、使用指南1. 熟悉教材内容：在复习过程中，要全面了解教材内容，掌握各个章节的基本概念、定理和公式。

2. 注重基础知识：概率论与数理统计是一门基础学科，要注重基础知识的学习，为后续的深入学习打下坚实的基础。

考研数学《概率论与数理统计》知识点总结

第一章概率论的基本概念定义：随机试验E 的每个结果样本点组成样本空间S ，S 的子集为E 的随机事件，单个样本点为基本事件．事件关系： 1．A ⊂B ，A 发生必导致B 发生．2．A B 和事件，A ，B 至少一个发生，A B 发生． 3．A B 记AB 积事件，A ，B 同时发生，AB 发生． 4．A －B 差事件，A 发生，B 不发生，A －B 发生．5．A B=Ø，A 和B 互不相容(互斥)，A 和B 不能同时发生，基本事件两两互不相容． 6．A B=S 且A B=Ø，A 和B 互为逆事件或对立事件，A 和B 中必有且仅有一个发生，记B=A S A -=．事件运算：交换律、结合律、分配率略．德摩根律：B A B A =，B A B A =．概率：概率就是n 趋向无穷时的频率，记P(A)．概率性质:1．P (Ø)=0．2．(有限可加性)P (A 1 A 2 … A n )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n )，A i 互不相容． 3．若A ⊂B ，则P (B －A)=P (B)－P (A)．4．对任意事件A ，有)A (1)A (P P -=．5．P (A B)=P (A)+P (B)－P (AB)．古典概型：即等可能概型，满足：1．S 包含有限个元素．2．每个基本事件发生的可能性相同．等概公式：中样本点总数中样本点数S A )A (==n k P ．超几何分布：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n N k n D N k D p ，其中ra C r a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛．条件概率： )A ()AB ()A B (P P P =．乘法定理：)A ()A B ()AB C ()ABC ()A ()AB ()AB (P P P P P P P ==．全概率公式： )B ()B A ()B ()B A ()B ()B A ()A (2211n n P P P P P P P +++= ，其中i B 为S 的划分．贝叶斯公式： )A ()B ()B A ()A B (P P P P i i i =，∑==nj j j B P B A P A P 1)()()(或)()()()()()()(B P B A P B P B A P B P B A P A B P +=．独立性：满足P (AB)=P (A)P (B)，则A ，B 相互独立，简称A ，B 独立．定理一： A ，B 独立，则．P (B |A)=P (B)．定理二： A ，B 独立，则A 和B ，A 和B ，A 和B 也相互独立．(0—1)分布： k k p p k X P --==1)1(}{，k =0，1 （0<p <1）．伯努利实验：实验只有两个可能的结果：A 及A ．二项式分布：记X~b （n ，p ），kn k k n p p C k X P --==)1(}{． n 重伯努利实验：独立且每次试验概率保持不变．其中A 发生k 次，即二项式分布．泊松分布：记X~π（λ），!}{k e k X P k λλ-==， ,2,1,0=k ．泊松定理： !)1(lim k e p p C k kn k knn λλ--∞→=-，其中λ=np ．当20≥n ，05.0≤p 使用泊松定理近似效果颇佳．随机变量分布函数： }{)(x X P x F ≤=，+∞<<∞-x ．)()(}{1221x F x F x X x P -=≤<．连续型随机变量： ⎰∞-=xt t f x F d )()(，X 为连续型随机变量，)(x f 为X 的概率密度函数，简称概率密度．概率密度性质：1．0)(≥x f ；2．1d )(=⎰+∞∞-x x f ；3．⎰=-=≤<21d )()()(}{1221x x x x f x F x F x X x P ；4．)()(x f x F ='，f (x )在x 点连续；5．P {X=a }=0．均匀分布：记X~U(a ，b )；⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它，，01)(bx a ab x f ；⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ，，，10)(．性质：对a ≤c <c +l ≤b ，有 a b l l c X c P -=+≤<}{ 指数分布：⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它，，001)(x e x f x θθ；⎩⎨⎧>-=-其它，，001)(x e x F x θ．无记忆性： }{}{t X P s X t s X P >=>+>．正态分布：记),(~2σμN X ；]2)(ex p[21)(22σμσπ--=x x f ；t t x F xd ]2)(ex p[21)(22⎰∞---=σμσπ．性质： 1．f (x )关于x =μ对称，且P {μ-h <X ≤μ}=P {μ<X ≤μ+h }；2．有最大值f (μ)=(σπ2)-1．标准正态分布：]2exp[21)(2x x -=πϕ；⎰∞--=Φxt t x d ]2ex p[21)(2π．即μ=0，σ=1时的正态分布X ~N(0，1)性质：)(1)(x x Φ-=-Φ．正态分布的线性转化：对),(~2σμN X 有)1,0(~N X Z σμ-=；且有)(}{}{)(σμσμσμ-Φ=-≤-=≤=x x X P x X P x F ．正态分布概率转化： )()(}{1221σμσμ-Φ--Φ=≤<x x x X x P ；1)(2)()(}{-Φ=-Φ-Φ=+<<-t t t t X t P σμσμ．3σ法则： P =Φ(1)－Φ(-1)=68.26%；P =Φ(2)－Φ(-2)=95.44%；P =Φ(3)－Φ(-3)=99.74%，P 多落在(μ-3σ，μ+3σ)内．上ɑ分位点：对X~N(0，1)，若z α满足条件P {X>z α}=α，0<α<1，则称点z α为标准正态分布的上α分位点．常用上ɑ分位点： 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10 3.0902.5762.3261.9601.6451.282Y 服从自由度为1的χ2分布：设X 密度函数f X (x )，+∞<<∞-x ，若Y=X 2，则⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=000)]()([21)(y y y f y f y y f X XY ，，若设X ~N(0，1)，则有⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--00021)(221y y e y y f y Y ，，π定理：设X 密度函数f X (x )，设g (x )处处可导且恒有g ′(x )>0(或g ′(x )<0)，则Y=g (X)是连续型随机变量，且有⎩⎨⎧<<'=其他，，0)()]([)(βαy y h y h f y f X Y h (y )是g (x )的反函数；①若+∞<<∞-x ，则α=min{g (−∞)，g (+∞)}，β=max{g (−∞)，g (+∞)}；②若f X (x )在[a ，b ]外等于零，g (x )在[a ，b ]上单调，则α=min{g (a )，g (b )}，β=max{g (a )，g (b )}．使用： Y=aX +b ~N(a μ+b ，(|a |σ)2)．二维随机变量的分布函数：分布函数(联合分布函数)：)}(){(),(y Y x X P y x F ≤≤= ，记作：},{y Y x X P ≤≤．),(),(),(),(},{112112222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤<．F （x ，y ）性质： 1．F （x ，y ）是x 和y 的不减函数，即x 2>x 1时，F （x 2，y ）≥F （x 1，y ）；y 2>y 1时，F （x ，y 2）≥F （x ，y 1）．2．0≤F （x ，y ）≤1且F （−∞，y ）=0，F （x ，−∞）=0，F （−∞，−∞）=0，F （+∞，+∞）=1．3．F （x +0，y ）=F （x ，y ），F （x ，y +0）=F （x ，y ），即F （x ，y ）关于x 右连续，关于y 也右连续．4．对于任意的(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 2>x 1，y 2>y 1，有P {x 1<X ≤x 2，y 1<Y ≤y 2}≥0．离散型（X ，Y ）：0≥ij p ，111=∑∑∞=∞=ij j i p ，ij yy x x p y x F i i ∑∑=≤≤),(．连续型（X ，Y ）：v u v u f y x F y xd d ),(),(⎰⎰∞-∞-=．f (x ，y )性质：1．f (x ，y )≥0．2．1),(d d ),(=∞∞=⎰⎰∞∞-∞∞-F y x y x f ．3．y x y x f G Y X P G⎰⎰=∈d d ),(}),{(．4．若f (x ，y )在点(x ，y )连续，则有),(),(2y x f yx y x F =∂∂∂． n 维： n 维随机变量及其分布函数是在二维基础上的拓展，性质和二维类似．边缘分布： F x (x )，F y (y )依次称为二维随机变量（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘分布函数，F X (x )=F (x ，∞)，F Y (y )=F (∞，y )．离散型： *i p 和j p *分别为（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘分布律，记}{1i ij j i x X P p p ==∑=∞=*，}{1j ij i j y Y P p p ==∑=∞=*．连续型：)(x f X ，)(y f Y 为（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘密度函数，记⎰∞∞-=y y x f x f X d ),()(，⎰∞∞-=x y x f y f Y d ),()(．二维正态分布：]})())((2)([)1(21exp{121),(2222212121212221σμσσμμρσμρρσπσ-+-------=y y x x y x f ．记(X ，Y )~N (μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)]2)(exp[21)(21211σμσπ--=x x f X ，∞<<∞-x ．]2)(exp[21)(22222σμσπ--=y y f Y ，∞<<∞-y ．离散型条件分布律： jij j j i j i p p y Y P y Y x X P y Y x X P *=======}{},{}{． *=======i ij i j i i j p p x X P y Y x X P x X y Y P }{},{}{．连续型条件分布：条件概率密度：)(),()(y f y x f y x f Y Y X =|| 条件分布函数：x y f y x f y Y x X P y x F xY Y X d )(),(}{)(⎰∞-==≤=||| )(),()(x f y x f x y f X X Y =||y x f y x f x X y Y P x y F yX X Y d )(),(}{)(⎰∞-==≤=||| 含义：当0→ε时，)|(d )|(}|{||y x F x y x f y Y y x X P Y X xY X =≈+≤<≤⎰∞-ε．均匀分布：若⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Gy x Ay x f ，则称(X ，Y)在G 上服从均匀分布．独立定义：若P {X ≤x ，Y ≤y }=P {X ≤x }P {Y ≤y }，即F (x ，y )=F x (x )F y (y )，则称随机变量X 和Y 是相互独立的．独立条件或可等价为：连续型：f (x ，y )=f x (x )f y (y )；离散型：P {X =x i ，Y =y j }=P {X =x i }P {Y =y j }．正态独立：对于二维正态随机变量（X ，Y ），X 和Y 相互对立的充要条件是：参数ρ=0．n 维延伸：上述概念可推广至n 维随机变量，要注意的是边缘函数或边缘密度也是多元(1~n -1元)的．定理：设（X 1，X 2，…，X m ）和（Y 1，Y 2，…，Y n ）相互独立，则X i 和Y j 相互独立．又若h ，g 是连续函数，则h （X 1，X 2，…，X m ）和g （Y 1，Y 2，…，Y n ）相互独立．Z=X+Y 分布：若连续型(X ，Y )概率密度为f (x ，y )，则Z=X+Y 为连续型且其概率密度为⎰∞∞-+-=y y y z f z f Y X d ),()(或⎰∞∞-+-=x x z x f z f Y X d ),()(．f X 和f Y 的卷积公式：记⎰∞∞-+-==y y f y z f z f f f Y X Y X Y X d )()()(*⎰∞∞--=x x z f x f Y X d )()(，其中除继上述条件，且X 和Y相互独立，边缘密度分别为f X (x )和f Y (y )．正态卷积：若X 和Y 相互独立且X ~N (μ1，σ12)，记Y ~N (μ2，σ22)，则对Z=X+Y 有Z ~N (μ1+μ2，σ12+σ22)．1．上述结论可推广至n 个独立正态随机变量．2．有限个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布．伽马分布：记),(~θαΓX ，0>α，0>θ．⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其他，，00)(1)(1x e x x f x θαααθ，其中⎰+∞--=Γ01d )(t e t t αα．若X 和Y 独立且X ~Γ(α，θ)，记Y ~Γ(β，θ)，则有X+Y~Γ(α+β，θ)．可推广到n 个独立Γ分布变量之和．XY Z =： ⎰∞∞-=x xz x f x z f X Y d ),()(，若X 和Y 相互独立，则有⎰∞∞-=x xz f x f x z f Y X X Y d )()()(．XYZ =分布： ⎰∞∞-=x xzx f x z f XY d ),(1)(，若X 和Y 相互独立，则有⎰∞∞-=x x z f x f x z f Y X XY d )()(1)(．大小分布：若X 和Y 相互独立，且有M =max{X ，Y }及N =min{X ，Y }，则M 的分布函数：F max (z )=F X (z )F Y (z )，N 的分布函数：F min (z )=1－[1－F X (z )][1－F Y (z )]，以上结果可推广到n 个独立随机变量的情况．第四章随机变量的数字特征数学期望：简称期望或均值，记为E (X )；离散型：k k k p x X E ∑=∞=1)(．连续型：⎰∞∞-=x x xf X E d )()(．定理：设Y 是随机变量X 的函数：Y =g (X )(g 是连续函数)．1．若X 是离散型，且分布律为P {X =x k }=p k ，则： k k k p x g Y E )()(1∑=∞=．2．若X 是连续型，概率密度为f (x )，则：⎰∞∞-=x x f x g Y E d )()()(．定理推广：设Z 是随机变量X ，Y 的函数：Z =g (X ，Y )(g 是连续函数)．1．离散型：分布律为P {X =x i ，Y =y j }=p ij ，则：ij j i i j p y x g Z E ),()(11∑∑=∞=∞=． 2．连续型：⎰⎰∞∞-∞∞-=y x y x f y x g Z E d d ),(),()(期望性质：设C 是常数，X 和Y是随机变量，则：1．E (C )=C ．2．E (CX )=CE (X )．3．E (X +Y )=E (X )+E (Y )． 4．又若X 和Y 相互独立的，则E (XY )=E (X )E (Y )．方差：记D (X )或Var(X )，D (X )=V ar(X )=E {[X －E (X )]2}．标准差(均方差)：记为σ(X )，σ(X )= ．通式：22)]([)()(X E X E X D -=． k k k p X E x X D 21)]([)(-∑=∞=，⎰∞∞--=x x f x E x X D d )()]([)(2．标准化变量：记σμ-=x X *，其中μ=)(X E ，2)(σ=X D ，*X 称为X 的标准化变量． 0)(*=X E ，1)(*=X D ．方差性质：设C 是常数，X 和Y 是随机变量，则： 1．D (C )=0． 2．D (CX )=C 2D (X )，D (X +C )=D (X )．3．D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2E {(X －E (X ))(Y －E (Y ))}，若X ，Y 相互独立D (X +Y )=D (X )+D (Y )．4．D (X )=0的充要条件是P {X =E (X )}=1．正态线性变换：若),(~2i i i N X σμ，i C 是不全为0的常数，则),(~22112211i i n i i i n i n n C C N X C X C X C σμ∑∑+++== ．切比雪夫不等式： 22}{εσεμ≤≥-X P 或221}{εσεμ-≥<-X P ，其中)(X E =μ，)(2X D =σ，ε为任意正数．协方差：记)]}()][({[),Cov(Y E Y X E X E Y X --=．X 和Y的相关系数：)()(),Cov(Y D X D Y X XY =ρ．D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2Cov(X ，Y )，Cov(X ，Y )=E (XY )－E (X )E (Y )．性质： 1．Cov(aX ，bY )=ab Cov(X ，Y )，a ，b 是常数．2．Cov(X 1+X 2，Y )=Cov(X 1，Y )+Cov(X 2，Y )．系数性质：令e =E [(Y －(a +bX ))2]，则e 取最小值时有)()1(]))([(2200min Y D X b a Y E e XY ρ-=+-=，其中)()(00X E b Y E a -=，)(),Cov(0X D Y X b =．1．|ρXY |≤1．2．|ρXY |=1的充要条件是：存在常数a ，b 使P {Y =a +bX }=1．|ρXY |越大e 越小X 和Y 线性关系越明显，当|ρXY |=1时，Y =a +bX ；反之亦然，当ρXY =0时，X 和Y 不相关． X 和Y 相互对立，则X 和Y 不相关；但X 和Y 不相关，X 和Y 不一定相互独立．定义： k 阶矩(k 阶原点矩)：E (X k )． n 维随机变量X i的协方差矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c c c c c c c c212222111211C ，),Cov(j i ij X X c ==E {[X i －E (X i )][X j －E (X j )]}． k +l 阶混合矩：E (X k Y l)．k 阶中心矩：E {[X －E (X )] k }．k +l 阶混合中心矩：E {[X －E (X )]k [Y －E (Y )]l }．)(x Dn 维正态分布：)}()(21ex p{det)2(1),,,(1T221μXCμXC---=-nnxxxfπ，T21T21),,,(),,,(nnxxxμμμ==μX．性质：1．n维正态随机变量(X1，X2，…，X n)的每一个分量X i (i=1，2，…，n)都是正态随机变量，反之，亦成立．2．n维随机变量(X1，X2，…，X n)服从n维正态分布的充要条件是X1，X2，…，X n的任意线性组合l1X1+l2X2+…+l n X n服从一维正态分布(其中l1，l2，…，l n不全为零)．3．若(X1，X2，…，X n)服从n维正态分布，且Y1，Y2，…，Y k是X j (j=1，2，…，n)的线性函数，则(Y1，Y2，…，Y k)也服从多维正态分布．4．若(X1，X2，…，X n)服从n维正态分布，则“X i 相互独立”和“X i 两两不相关”等价．弱大数定理：若X1，X2，…是相互独立并服从同一分布的随机变量序列，且E(X k)=μ，则对任意ε>0有11lim1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμknknXnP或→μPX，knkXnX11=∑=．定义：Y1，Y2，…，Y n ，…是一个随机变量序列，a是一个常数．若对任意ε>0，有1}|{|lim=<-∞→εaYPnn则称序列Y1，Y2，…，Yn，…依概率收敛于a．记aY Pn−→−伯努利大数定理：对任意ε>0有1lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εpnfP An或0lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→εpnfP An．其中f A是n次独立重复实验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率．中心极限定理定理一：设X1,X2,…,X n ,…相互独立并服从同一分布，且E(X k)=μ，D(X k)=σ2 >0，则n→∞时有σμnnXknk)(1-∑=N(0，1)或nXσμ-~N(0，1)或X~N(μ，n2σ)．定理二：设X1,X2,…,X n ,…相互独立且E(X k)=μk，D(X k)=σk2 >0，若存在δ>0使n→∞时，}|{|1212→-∑+=+δδμkknknXEB，则nknkknkBX)(11μ==∑-∑~N(0，1)，记212knknBσ=∑=．定理三：设),(~pnbnη，则n→∞时，Npnpnpn~)1()(--η(0，1)，knknX1=∑=η．第六章样本及抽样分布定义：总体：全部值；个体：一个值；容量：个体数；有限总体：容量有限；无限总体：容量无限．定义：样本：X1,X2,…,X n 相互独立并服从同一分布F的随机变量，称从F得到的容量为n的简单随机样本．频率直方图：图形：以横坐标小区间为宽，纵坐标为高的跨越横轴的几个小矩形．横坐标：数据区间（大区间下限比最小数据值稍小，上限比最大数据值稍大；小区间：均分大区间，组距Δ=大区间/小区间个数；小区间界限：精度比数据高一位）．图形特点：外轮廓接近于总体的概率密度曲线．纵坐标：频率/组距（总长度：<1/Δ；小区间长度：频率/组距）．定义：样本p分位数：记x p，有1．样本x i中有np个值≤x p．2．样本中有n(1－p)个值≥x p．箱线图：x p选择：记⎪⎩⎪⎨⎧∈+∉=++NnpxxNnpxxnpnpnpp当，当，][211)()()1]([．分位数x0.5，记为Q2或M，称为样本中位数．分位数x0.25，记为Q1，称为第一四分位数．分位数x0.75，记为Q3，称为第三四分位数．图形：图形特点：M为数据中心，区间[min，Q1]，[Q1，M]，[M，Q3]，[Q3，max]数据个数各占1/4，区间越短数据密集．四分位数间距：记IQR=Q3－Q1；若数据X<Q1－1.5IQR或X>Q3+1.5IQR，就认为X是疑似异常值．抽样分布：样本平均值：iniXnX11=∑=样本方差：)(11)(11221212XnXnXXnSiniini-∑-=-∑-===样本标准差：2SS=样本k阶(原点)矩：kinikXnA11=∑=，k≥1 样本k阶中心矩：kinikXXnB)(11-∑==，k≥2~ 近似的min Q1 M Q3 max经验分布函数： )(1)(x S nx F n =，∞<<∞-x ． )(x S 表示F 的一个样本X 1,X 2,…,X n 中不大于x 的随机变量的个数．自由度为n 的χ2分布：记χ2~χ2（n ），222212n X X X +++= χ，其中X 1,X 2,…,X n 是来自总体N (0，1)的样本．E (χ2 )=n ，D (χ2 )=2n ．χ12+χ22~χ2（n 1+n 2）．⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其他，，00)2(21)(2122y e x n y f y n n ．χ2分布的分位点：对于0<α<1，满足αχχαχα==>⎰∞y y f n P n )(222d )()}({，则称)(2n αχ为)(2n χ的上α分位点．当n 充分大时(n >40)，22)12(21)(-+≈n z n ααχ，其中αz 是标准正态分布的上α分位点．自由度为n 的t 分布：记t ~t (n )，nY Xt /=，其中X~N (0，1)，Y~χ2(n )，X ，Y 相互独立．2)1(2)1(]2[]2)1([)(+-+Γ+Γ=n n t n n n t h π h (t )图形关于t =0对称；当n 充分大时，t 分布近似于N (0，1)分布．t 分布的分位点：对于0<α<1，满足ααα==>⎰∞t t h n t t P n t )(d )()}({，则称)(n t α为)(n t 的上α分位点．由h (t )对称性可知t 1－α(n )=－t α(n )．当n >45时，t α(n )≈z α，z α是标准正态分布的上α分位点．自由度为(n 1，n 2)的F 分布：记F ~F (n 1，n 2)，21n V n U F =，其中U~χ2(n 1)，V~χ2(n 2)，X ，Y 相互独立．1/F ~F (n 2，n 1)⎪⎩⎪⎨⎧>+ΓΓ+Γ=+-其他，，00]1)[2()2()](2)([)(2)(21211)2(221212111x n y n n n y n n n n y n n n n ψF 分布的分位点：对于0<α<1，满足αψαα==>⎰∞y y n n F F P n n F ),(2121d )()},({，则称),(21n n F α为),(21n n F 的上α分位点．重要性质：F 1－α(n 1，n 2)=1/F α(n 1，n 2)．定理一：设X 1,X 2,…,X n 是来自N (μ，σ2)的样本，则有),(~2n N X σμ，其中X 是样本均值．定理二：设X 1,X 2,…,X n 是来自N (μ，σ2)的样本，样本均值和样本方差分别记为 X ，2S ，则有1．)1(~)1(222--n S n χσ；2．X 和2S 相互独立．定理三：设X 1,X 2,…,X n 是来自N (μ，σ2)的样本，样本均值和样本方差分别记为X ，2S ，则有)1(~--n t nS X μ．定理四：设X 1,X 2,…,X n 1 和Y 1,Y 2,…,Y n 2分别是来自N (μ1，σ12)和N (μ2，σ22)的样本，且相互独立．设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为 X ，Y ，21S ，22S ，则有1．)1,1(~2122212221--n n F S S σσ．2．当σ12=σ22=σ2时，)2(~)()(21121121-++-----n n t n n S Y X w μμ，其中2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w，2w w S S =．第七章参数估计定义：估计量：),,,(ˆ21n X X X θ，估计值：),,,(ˆ21nx x x θ，统称为估计．矩估计法：令)(ll X E =μ=li n i l X n A 11=∑=(k l ,,2,1 =)(k 为未知数个数)联立方程组，求出估计θˆ．设总体X 均值μ及方差σ2都存在，则有 X A ==1ˆμ，212212122)(11ˆX X nX X n A A in i i n i -∑=-∑=-===σ．最大似然估计法：似然函数：离散：);()(1θθi n i x p L =∏=或连续：);()(1θθi ni x f L =∏=，)(θL 化简可去掉和θ无关的因式项．θˆ即为)(θL 最大值，可由方程当多个未知参数θ1，θ1，…，θk 时：可由方程组0)(d d =θθL 或0)(ln d d =θθL 求得． 0d d =L iθ或0ln d d=L i θ（k i ,,2,1 =）求得．最大似然估计的不变性：若u =u (θ)有单值反函数θ=θ(u )，则有)ˆ(ˆθu u=，其中θˆ为最大似然估计．截尾样本取样：定时截尾样本：抽样n 件产品，固定时间段t 0内记录产品个体失效时间(0≤t 1≤t 2≤…≤t m ≤t 0)和失效产品数量．定数截尾样本：抽样n 件产品，固定失效产品数量数量m 记录产品个体失效时间(0≤t 1≤t 2≤…≤t m )．结尾样本最大似然估计：定数截尾样本：设产品寿命服从指数分布X~e （θ），θ即产品平均寿命．产品t i 时失效概率P {t =t i }≈f (t i )d t i ，寿命超过t m 的概率θm t m et t F -=>}{，则)(}){()(1i mi mn m mnt P t t F C L =-∏>=θ，化简得)(1)(m t s m e L ---=θθθ，由0)(ln d d =θθL 得：mt s m )(ˆ=θ，其中s (t m )=t 1+t 2+…+t m +(n －m )t m ，称为实验总时间．定时截尾样本：和定数结尾样本讨论类似有s (t 0)=t 1+t 2+…+t m +(n －m )t 0，)(01)(t s m e L ---=θθθ，mt s )(ˆ0=θ，．无偏性：估计量),,,(ˆ21nX X X θ的)ˆ(θE 存在且θθ=)ˆ(E ，则称θˆ是θ的无偏估计量．有效性：),,,(ˆ211n X X X θ和),,,(ˆ212n X X X θ都是θ的无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D ≤，则1ˆθ较2ˆθ有效．相合性：设),,,(ˆ21nX X X θθ的估计量，若对于任意0>ε有1}|ˆ{|lim =<-∞→εθθP n ，则称θˆ是θ的相合估计量．置信区间：αθθθ-≥<<1)},,,(),,,({2121n n X X X X X X P ，θ和θ分别为置信下限和置信上限，则),(θθ是θ的一个置信水平为α-1置信区间，α-1称为置信水平，10<<α．正态样本置信区间：设X 1，X 2，…，X n 是来自总体X ~N (μ，σ2)的样本，则有μ的置信区间：枢轴量W W 分布 a ，b 不等式置信水平置信区间)1,0(~N n X σμ-⇒ασμα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-12z n X P ⇒)(2ασz n X ± 其中z α/2为上α分位点θ置信区间的求解： 1．先求枢轴量：即函数W =W (X 1，X 2，…，X n ；θ)，且函数W 的分布不依赖未知参数．如上讨论标注2．对于给定置信水平α-1，定出两常数a ，b 使P {a <W <b }=α-1，从而得到置信区间． (0－1)分布p 的区间估计：样本容量n >50时，⇒--∞→)1,0(~)1()(lim N p np np X n n {}⇒-≈<--αα1)1()(2z p np np X n P0)2()(222222<++-+X n p z X n p z n αα⇒若令22αz n a +=，)2(22αz X n b +-=，2X n c =，则有置信区间(a ac b b 2)4(2---，a ac b b 2)4(2-+-）．单侧置信区间：若αθθ-≥>1}{P 或αθθ-≥<1}{P ，称(θ，∞)或(∞-，θ)是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间．待估其他枢轴量W 的分布置信区间单侧置信限一个正态总体μσ2已知)1,0(~N nX Z σμ-=)(2ασz nX ±ασμz nX +=，ασμz nX -=μσ2未知 )1(~--=n t nS X t μ⎪⎭⎫ ⎝⎛±2αt n S X αμt n S X +=，αμt nSX -=σ2μ未知)1(~)1(2222--=n S n χσχ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2212222)1(,)1(ααχχS n S n 2122)1(αχσ--=S n ，222)1(αχσS n -=两个正态总体μ1－μ2σ12，σ22已知)1,0(~)(22212121N n n Y X Z σσμμ+---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±-2221212n n z Y X σσα2221212122212121n n z Y X n n z Y X σσμμσσμμαα+--=-++-=-μ1－μ2 σ12=σ22=σ2 未知)2(~)()(21121121-++---=--n n t n n S Y X t w μμ2)1()1(212222112-+-+-=n n Sn S n S w()12112--+±-nn S tY X wα2w w S S =121121121121----+--=-++-=-n n S t Y X n n S t Y X w w ααμμμμσ12/σ22μ1，μ2未知)1,1(~2122212221--=n n F S S F σσ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212221222211,1ααF S S F S S ασσ-=1222122211F S S ，ασσF S S 122212221=1122第八章假设实验定义： H 0：原假设或零假设，为理想结果假设；H 1：备择假设，原假设被拒绝后可供选择的假设．第Ⅰ类错误：H 0实际为真时，却拒绝H 0．第Ⅱ类错误：H 0实际为假时，却接受H 0．显著性检验：只对犯第第Ⅰ类错误的概率加以控制，而不考虑第Ⅱ类错误的概率的检验．P {当H 0为真拒绝H 0}≤α，α称为显著水平．拒绝域：取值拒绝H 0．临界点：拒绝域边界．双边假设检验：H 0：θ=θ0，H 1：θ≠θ0．右边检验：H 0：θ≤θ0，H 1：θ>θ0．左边检验：H 0：θ≥θ0，H 1：θ<θ0．正态总体均值、方差的检验法(显著性水平为α)原假设H 0备择假设H 1检验统计量拒绝域 1 σ2已知μ≤μ0μ>μ0 n X Z σμ0-=z ≥z α μ≥μ0 μ<μ0 z ≤－z α μ=μ0 μ≠μ0 |z |≥z α/2 2 σ2未知μ≤μ0μ>μ0 nS X t 0μ-=t ≥t α(n －1) μ≥μ0 μ<μ0 t ≤－t α(n －1) μ=μ0 μ≠μ0 |t |≥t α/2(n －1)3σ1，σ2已知μ1－μ2≤δμ1－μ2>δ 222121n n Y X Z σσδ+--=z ≥z αμ1－μ2≥δ μ1－μ2<δ z ≤－z α μ1－μ2=δ μ1－μ2≠δ |z |≥z α/24 σ12=σ22 =σ2未知μ1－μ2≤δμ1－μ2>δ 1211--+--=n n S Y X t w δ2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S wt ≥t α(n 1+n 2－2) μ1－μ2≥δ μ1－μ2<δ t ≤－t α(n 1+n 2－2) μ1－μ2=δ μ1－μ2≠δ |t |≥t α/2(n 1+n 2－2) 5 μ未知σ2≤σ02σ2>σ02 2022)1(σχSn -=χ2≥χα2(n －1)σ2≥σ02 σ2<σ02 χ2≤χ21－α(n －1)σ2=σ02σ2≠σ02χ2≥χ2α/2(n －1)或χ2≤χ21－α/2(n －1)6 μ1，μ2未知σ12≤σ22σ12>σ222221SSF=F≥Fα(n1－1，n2－1) σ12≥σ22σ12<σ22F≤F1－α(n1－1，n2－1)σ12=σ22σ12≠σ22F≥Fα/2(n1－1，n2－1)或F≤F1－α/2(n1－1，n2－1)7 成对数据μD≤0 μD>0nSDtD-=t≥tα(n－1) μD≥0 μD<0 t≤－tα(n－1)μD=0 μD≠0 |t|≥tα－2(n－1)检验方法选择：主要是逐对比较法（成对数据）跟两个正态总体均值差的检验的区别，如上表即7跟3、4的区别，成对数据指两样本X和Y之间存在一一对应关系，而3和4一般指X和Y相互对立，但针对同一实体．关系：置信区间和假设检验之间的关系：未知参数的置信水平为1－α的置信区间和显著水平为α的接受域相同．定义：施行特征函数(OC函数)：β(θ)=Pθ(接受H0)．功效函数：1－β(θ)．功效：当θ*∈H1时，1－β(θ*)的值．。

考研数学数理统计基础知识点总结

考研数学数理统计基础知识点总结在准备考研数学的过程中，掌握数理统计基础知识是非常重要的。

本文将为您总结一些常见的数理统计基础知识点，帮助您更好地备考。

一、概率论基础知识1. 事件与样本空间：事件是指样本空间中的某个子集，样本空间则是指随机试验的所有可能结果的集合。

2. 概率的定义：概率是指事件发生的可能性大小，其取值范围在0到1之间。

3. 概率的运算：包括加法公式和乘法公式。

加法公式适用于互斥事件的概率计算，乘法公式则适用于独立事件的概率计算。

4. 条件概率：指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

5. 贝叶斯定理：用于计算事件的后验概率，在已经得到一些信息的情况下，通过先验概率和条件概率计算出事件的后验概率。

二、随机变量与概率分布1. 随机变量的概念：随机变量是指随机试验结果的某个函数，可以是离散的或连续的。

2. 概率质量函数与概率密度函数：对于离散型随机变量，其概率可以通过概率质量函数来描述；对于连续型随机变量，则需要使用概率密度函数。

3. 常见的离散型随机变量：包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

4. 常见的连续型随机变量：包括均匀分布、正态分布、指数分布等。

三、统计推断1. 抽样与抽样分布：抽样是指从总体中选取一部分个体进行研究，抽样分布则是指统计量在大量抽样下的分布情况。

2. 参数估计：根据样本数据对总体的某个参数进行估计，可以使用点估计和区间估计两种方法。

3. 假设检验：对总体参数的某个假设进行检验，包括设置原假设和备择假设，以及计算检验统计量和判断拒绝域。

4. 方差分析：一种用于比较两个或多个总体均值是否有显著差异的统计方法，适用于独立样本、配对样本和重复测量样本。

四、相关与回归分析1. 相关分析：用于判断两个变量之间的相关性强弱，包括计算相关系数和进行假设检验。

2. 简单线性回归分析：用于建立一个自变量与因变量之间的线性关系模型，通过最小二乘法来估计回归系数。

3. 多元线性回归分析：在简单线性回归的基础上，将多个自变量引入回归模型中进行分析，以探究多个变量对因变量的影响。

考研数学概率论备考技巧

考研数学概率论备考技巧概率论是考研数学中的一门重要课程，备考概率论需要一定的技巧和方法。

本文将为大家介绍一些备考概率论的技巧，希望对广大考生有所帮助。

一、理清概念，掌握基础知识备考概率论首先需要理清相关概念，掌握基础知识。

概率论中有很多重要的概念，如随机变量、概率分布、期望、方差等。

考生应该通过自习课，查阅资料等方式，对这些概念进行了解和掌握。

在备考过程中，可以结合习题进行巩固与训练。

通过做一些基础的计算题，来提高对概念的理解和记忆。

此外，还可以通过解析一些真题，加深对概念的理解。

理清概念，掌握基础知识是备考概率论的基础。

二、掌握解题方法，深入理解定理备考概率论需要掌握解题方法，深入理解相关定理。

掌握解题方法包括掌握基本的计算方法和分析方法。

在具体解题过程中，可以通过分类讨论、利用条件概率、使用特殊的概率分布等方法，来解决具体的问题。

深入理解相关定理，可以帮助考生在解题中灵活运用。

在备考过程中，每个定理都需要仔细学习和理解，对于证明过程可以简单了解，重点是理解定理的意义和应用范围。

灵活运用定理可以帮助考生解决一些复杂的问题。

三、多做题，注重题型变化备考概率论需要多做题，注重题型变化。

在备考过程中，可以选择一些经典教材，重点学习其中的习题。

多做一些经典题目，可以提高考生的解题能力，加深对知识点的理解。

同时，注重题型变化也是备考的重要方面。

在概率论中，题型比较丰富，如计算题、证明题、应用题等。

考生应该注重这些不同题型的变化，提前进行准备。

通过做一些模拟题，熟悉不同题型的解题思路和方法。

四、分析解题思路，举一反三备考概率论，考生应该注重分析解题思路，举一反三。

对于一道题目的解法，不仅要知其然，更要知其所以然。

通过分析解题思路，可以帮助考生理解概率论的基本原理和计算方法。

举一反三的方法在备考中也是很重要的。

通过对一类问题的深入探讨和解答，可以帮助考生对其他类似的问题作出推断和推广。

通过将知识应用到实际问题中，可以提高解题能力和分析能力。

考研数学概率论与数理统计复习技巧

考研数学概率论与数理统计复习技巧考研数学中，除数学二外，数一和数三都考查概率统计的知识，而且分值占比很高，我们需要掌握好复习技巧。

为大家精心准备了考研数学概率论与数理统计复习指南，欢送大家前来阅读。

根本公式要掌握首先必须会计算古典型概率，这个用高中数学的知识就可解决，如果在解古典概率方面有些薄弱，就应该系统地把高中数学中的概率知识复习一遍了，而且要将每类型的概率求解问题都做会了，虽然不一定会考到，但也要预防万一，而且为后面的复习做准备。

随机事件和概率是概率统计的第一章内容，也是后面内容的根底，根本的概念、关系一定要分辨清楚。

条件概率、全概率公式和贝叶斯公式是重点，计算概率的除了上面提到的古典型概率，还有伯努利概型和几何概型也是要重点掌握的。

第二章是随机变量及其分布，首先随机变量及其分布函数的概念、性质要理解，常见的离散型随机变量及其概率分布：0-1分布、二项分布B(n,p)、几何分布、超几何分布、泊松分布P(λ);连续性随机变量及其概率密度的概念;均匀分布U(a,b)、正态分布N(μ,σ2)、指数分布等，以上它们的性质特点要记清楚并能熟练应用，考题中常会有涉及。

第三章是多维随机变量及其分布，主要是二维的。

大纲中规定的考试内容有：二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，随机变量的独立性和不相关性，常用二维随机变量的分布，两个及两个以上随机变量简单函数的分布。

第四局部随机变量的数字特征，这局部内容掌握起来不难，主要是记忆一些相关公式，以及常见分布的数字特征。

大数定律和中心极限定理这局部也是在理解的根底上以记忆为主，再配合做相关的练习题就可轻松搞定。

把握常考侧重点数理统计这局部的考查难度也不大，首先根本概念都了解清楚。

χ2分布、t分布和F分布的概念及性质要熟悉，考题中常会有涉及。

参数估计的矩估计法和最大似然估计法，验证估计量的无偏性是要重点掌握的。

概率论与数理统计复习提纲

概率论与数理统计复习提纲概率论与数理统计总复习第⼀讲随机事件及其概率⼀随机事件，事件间的关系及运算 1.样本空间和随机事件 2.事件关系,运算和运算律⑴事件的关系和运算⑶运算律:交换律,结合律,分配律；对偶律: B A B A ?=?,B A B A ?=?；⼆概率的定义和性质 1.公理化定义(P7)2.概率的性质(P8.五个) ⑴)(1)(A P A P -=；⑵)()()()(AB P B P A P B A P -+=?；3.古典概型和⼏何概型4.条件概率 )()()|(A P AB P A B P =三常⽤的计算概率的公式1.乘法公式 )()()()()(B A P B P A B P A P AB P ==2.全概率公式和贝叶斯公式(P17-20.) 四事件的独⽴性1.定义:A 和B 相互独⽴ )()(B P A B P =或)()()(B P A P AB P ?=，2.贝努利试验在n 重贝努利试验中，事件=k A {A 恰好发⽣k 次})0(n k ≤≤的概率为：k n nk n k p p C A P --=)1()(第⼆讲随机变量及其概率分布⼀随机变量及其分布函数1.随机变量及其分布函数 )()(x X P x F ≤=)(+∞<<-∞x2.分布函数的性质(P35.四个)⑴0)(lim =-∞→x F x ；1)(lim =+∞→x F x ；(常⽤来确定分布函数中的未知参数)⑵)()()(a F b F b X a P -=≤<(常⽤来求概率) ⼆离散型随机变量及其分布律1.分布律2.常⽤的离散型分布三连续型随机变量 1.密度函数 ?∞-=xdt t f x F )()(2.密度函数的性质(P39.七个) ⑴1)(=?+∞∞-dx x f ；（常⽤来确定密度函数中的参数）⑵?=≤adx x f b X a P )()(；（计算概率的重要公式）⑶对R x ∈?，有0)(==c X P (换⾔之,概率为0的事件不⼀定是不可能事件). 3.常⽤连续型分布重点:正态分布:)0,(21)(22)(>=--σσµσπσµ都是常数，x ex f标准正态分布)1,0(N :2221)(x ex -=π四随机变量函数的分布1.离散情形设X 的分布律为则)(X g Y =的分布律为2.连续情形设X 的密度函数为)(x f X ,若求)(X g Y =的密度函数,先求Y 的分布函数,再通过对其求导,得到Y 的密度函数。

考研数学中的概率论与数理统计知识点总结

考研数学中的概率论与数理统计知识点总结随着社会的发展，考研越来越受到广大学子的关注和追捧。

为了帮助考研学子们更好地备考，本文将对考研数学中的概率论与数理统计知识点进行总结和梳理。

一、概率论1.基本概念概率是研究随机事件发生可能性的一种数学方法。

其中，随机事件是指在相同的条件下可能出现也可能不出现的事件。

2.概率的计算概率有三种计算方法：古典概型、几何概型和统计概型。

其中，古典概型适用于有限个等可能性事件的概率计算；几何概型适用于连续性问题的概率计算；统计概型适用于大量重复实验的概率计算。

3.条件概率条件概率是指在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。

其计算公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)。

4.独立事件当事件A和事件B的发生没有相互影响时，称它们是独立事件。

根据概率乘法公式可以得到独立事件的计算公式为P(AB)=P(A)P(B)。

5.随机变量随机变量是指一个随机试验结果所对应的数值，可以分为离散型和连续型两种。

其中，离散型随机变量是指取到有限个或无限个可数值的随机变量，例如掷骰子的点数；连续型随机变量是指取到某一区间内任意一个数值的随机变量，例如人的身高。

二、数理统计1.基本概念数理统计是利用概率论在统计学中进行数据分析和研究的一种数学方法。

其中，总体是指含有可度量或可观察的某种特征的全部个体群体；样本是指对总体的部分观测数据。

2.参数估计参数估计是指通过样本中的数据对总体中某个或某些参数进行估计的方法。

其中，点估计是指通过样本数据直接估计总体参数的值；区间估计是指通过样本数据估计总体参数的值所在的区间。

3.假设检验假设检验是指在已知总体参数的情况下，通过样本所得到的样本统计量来推断总体参数是否符合某种假设的方法。

其中，显著性水平是指假设检验中犯错误的概率，一般取0.05或0.01。

4.方差分析方差分析是指通过方差比较来确定组间差异和组内差异及其大小的方法。

其中，单因素方差分析是指只考虑一个因素对结果影响的方差分析；双因素方差分析是指考虑两个因素对结果影响的方差分析。

考研数学三必背知识点概率论与数理统计

概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率1、随机事件及其概率2、概率的定义及其计算二、随机变量及其分布1、分布函数性质bP=≤)FX(b)()P-aX≤b<=)F(()bF(a2、离散型随机变量3..连续型随机变量三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布 ∑∑======⋅jjijjii i py Y x X P x X P p ),()(∑∑======⋅iiijjij j py Y x X P y Y P p ),()(2、离散型二维随机变量条件分布Λ2,1,)(),()(=========⋅i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p jij j j i j i j iΛ2,1,)(),()(=========⋅j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰∞-+∞∞-=yY dudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(5、二维随机变量的条件分布 +∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()( +∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()(四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：∑+∞==1)(k k k p x X E 连续型随机变量：⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(2、数学期望的性质(1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E =(2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E ΛΛ+=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -<(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov6、相关系数：)()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY ==ρρ 若XY 相互独立则：0=XY ρ即XY 不相关7、协方差和相关系数的性质(1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y Cov Y X Cov =(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++8五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2)(})({ξξX D X E X P ≤≥-或2)(1})({ξξX D X E X P -≥<-2、大数定律：若n X X Λ1相互独立且∞→n 时，∑∑==−→−ni iDni i X E nX n11)(11(1)若n X X Λ1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2σ则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11(2)若n X X Λ1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ−→−∑=Pn i i X n 11 3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：)1,0(~1N n n XY nk kn −→−-=∑=σμ(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n Λ=η则对任意x 有： ⎰∞--+∞→Φ==≤--xt n x x dtex p np np P )(21})1({lim 22πη(3)近似计算：)()()()(11σμσμσμσμσμn n a n n b n n b n n Xn n a P b Xa P nk knk k-Φ--Φ≈-≤-≤-=≤≤∑∑==六、数理统计1、总体和样本总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X Λ的联合分布为)(),(121k nk n x F x x x F =∏=Λ2、统计量(1)样本平均值：∑==ni i X nX 11(2)样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11(3)样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11(4)样本k 阶原点距：Λ2,1,11==∑=kXn A ni ki k(5)样本k 阶中心距：∑==-==ni k ik k k X XnM B 13,2,)(1Λ(6)次序统计量：设样本),(21n X X X Λ的观察值),(21n x x x Λ，将n x x x Λ21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(n x x x ≤≤≤Λ，记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ，则称)()2()1(n X X X ≤≤≤Λ为样本),(21n X X X Λ的次序统计量。

考研数学概率论与数理统计笔记知识点(全)

2）在离散型上的体现（1.出现0，一一定不不独立立；2.行行行或列列成比比例例）
三二二维连续型随机变量量（积分积出来的就是连续的）
1.定义：概率密度积分（二二重积分）
2.联合概率密度
1）性质：1.非非负性；2.规范性
2）应用用：求P，就是求二二重积分
在f（x，y）的连续点上，分布求二二阶倒数就是概率密度
步骤：1）画图（为了了解不不等式）
2）讨论
3）代入入（注意端点）
第三章多维随机变量量及其分布
知识点：一一二二维随机变量量及其分布函数二二二二维离散型随机变量量三二二维连续型随机变量量四二二维随机变量量函数的分布
一一二二维随机变量量及其分布函数
1.二二维随机变量量就是一一个（X，Y）向量量
要注意是一一维的（是用用一一个变量量表示）
4.离散+连续（一一定是使用用全概率公式的）
定义：X为离散型，Y为连续型，且相互独立立
六全概率公式与⻉贝叶斯公式（关键在于完备事件组）
1.完备事件组：互斥是对立立的前提条件
2.全概率公式：由因到果（推导，画图）（全部路路径）
3.⻉贝叶斯公式：由果到因（推导，画图）（所占的比比例例）
Note：关键是1.完备事件组必须完备；2.要画图3注意抽签原理理
题型一一：概率的基本计算
1.事件决定概率，但是概率推不不出事件
3.边缘概率密度
1）具体就是边缘分布函数求导（详⻅见笔记）
Note：注意边缘的公式，在求时，注意取值范围，以及上下限（一一根直线传过去）（类似于二二重积分的先积部分——后积先定限，限内画条线）
2）G是从几几何看出来的，不不要死记公式，要结合图像（G为非非零区域）
Note：1.在写公式之前要先保证分⺟母不不为0，即要先确定范围

考研数学概率论与数理统计知识点终极梳理

考研数学概率论与数理统计知识点终极梳理概率论与数理统计是硕士研究生入学考试（除数二）的一个重要组成部分，从研究必然问题到研究随机问题，不仅大多数初学者感到困难, 即使是对于曾学过这门学科的考生也有不少问题，特别是在做习题以及解决实际问题方面遇到的困难会更多一些。

从近几年硕士研究生入学考试数学阅卷结果来看，概率论这一部分得分率普遍较低。

在最后几天，建议大家，加强数学基本计算联系，熟练、严谨、规范非常至关重要。

此外，要注意回顾一遍大纲考点，查漏补缺。

第一章随机事件和概率1、随机事件的关系与运算2、随机事件的运算律3、特殊随机事件（必然事件、不可能事件、互不相容事件和对立事件）4、概率的基木性质5、随机事件的条件概率与独立性6、五大概率计算公式（加法、减法、乘法、全概率公式和贝叶斯公式）7、全概率公式的思想8、概型的计算（古典概型和几何概型）第二章随机变量及其分布1、分布函数的定义2、分布函数的充要条件3、分布函数的性质4、离散型随机变量的分布律及分布函数5、概率密度的充要条件6、连续型随机变量的性质7、常见分布（0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布）8、随机变量函数的分布（离散型、连续型）第三章多维随机变量及其分布1、二维离散型随机变量的三大分布（联合、边缘、条件）2、二维连续型随机变量的三大分布（联合、边缘和条件）3、随机变量的独立性（判断和性质）4、二维常见分布的性质（二维均匀分布、二维正态分布）5、随机变量函数的分布（离散型、连续型）第四章随机变量的数字特征1、期望公式（一个随机变量的期望及随机变量函数的期望）2、方差、协方差、相关系数的计算公式3、运算性质（期望、方差、协方差、相关系数）4、常见分布的期望和方差公式第五章大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式2、大数定律（切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大数定律）3、中心极限定理（列维林德伯格定理、棣莫弗拉普拉斯定理）第六章数理统计的基本概念1、常见统计量（定义、数字特征公式）2、统计分布3、一维正态总体下的统计量具有的性质4、估计量的评选标准（数学一）5、上侧分位数（数学一）第七章参数估计1、矩估计法2、最大似然估计法3、区间估计（数学一）第八章假设检验（数学一）1、显著性检验2、假设检验的两类错误3、单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。

考研指导：概率论与数理统计复习十问

考研指导：概率论与数理统计复习十问1. 概率的公式、概念比较多，怎么记？答：我们看这样一个模型，这是概率里经常见到的，从实际产品里面我们每次取一个产品，而且取后不放回去，就是日常生活中抽签抓阄的模型。

现在我说四句话，大家看看有什么不同，第一句话”求一下第三次取到十件产品有七件正品三件次品，我们每次取一件，取后不放回”，下面我们来求四个类型，第一问我们求第三次取得次品的概率。

第二问我们求第三次才取得次品的概率。

第三问已知前两次没有取得次品第三次取到次品。

第四问不超过三次取到次品。

大家看到这四问的话我想是容易糊涂的，这是四个完全不同的概率，但是你看完以后可能有很多考生认为有的就是一个类型，但实际上是不一样的。

先看第一个”第三次取得次品”，这个概率与前面取得什么和后面取得什么都没有关系，所以这个我们叫绝对概率。

第一个概率我想很多考生都知道，这个概率应该是等于十分之三，用古代概率公式或者全概率公式求出来都是十分之三。

这个概率改成第四次、第五次取到都是十分之三，就是说这个概率与次数是没有关系的。

所以在这里我们可以看出，日常生活中抽签、抓阄从数学上来说是公平的。

拿这个模型来说，第一次取到和第十次取到次品的概率都是十分之三。

下面我们再看看第二个概率，第三次才取到次品的概率，这个事件描述的是绩事件，这是概率里重要的概念，改变表示同时发生的概率。

但是这个与第三次的概率是容易混淆的，如果表示的可以这样表述，如果用A1表示第一次取到次品，A2表示第二次取到次品，A3是第三次取到次品。

如果A表示第一次不取到次品，B表示第二次不取到次品，C表示第三次不取到次品，求ABC绩事件发生的概率。

第三问表示条件概率，已知前两次没有取到次品，第三次取到次品P(C|AB)，第三问求的就是一个条件概率。

我们看第四问，不超过三次取得次品，这是一个和事件的概率，就是P(A＋B＋C)。

从这个例子大家可以看出，概率论确实对题意的理解非常重要，要把握准确，否则就得不到准确的答案。

数学一概率论考研大纲

数学一概率论考研大纲（实用版）目录一、考研数学概率论与数理统计大纲概述二、考研数学概率论与数理统计大纲内容详解三、如何备考考研数学概率论与数理统计四、考研数学概率论与数理统计的重难点分析正文一、考研数学概率论与数理统计大纲概述考研数学概率论与数理统计大纲是针对考研数学一的考试内容制定的，它为考生提供了一个全面的复习指导。

从大纲中可以看出，考研数学概率论与数理统计主要考察的内容包括随机事件和概率、概率的基本性质、古典型概率、几何型概率、条件概率、概率的基本公式等。

二、考研数学概率论与数理统计大纲内容详解1.随机事件和概率：这部分主要考察考生对随机事件和概率的理解，要求考生了解随机事件与样本空间的关系、事件的关系与运算、完备事件组等概念，熟练掌握概率的基本性质和古典型概率、几何型概率等。

2.概率的基本公式：这部分要求考生熟练掌握概率的基本公式，包括事件的独立性、独立重复试验等。

3.条件概率：这部分主要考察考生对条件概率的理解和应用，要求考生掌握条件概率的计算方法以及如何利用条件概率判断事件的独立性。

三、如何备考考研数学概率论与数理统计1.掌握基本概念和公式：考生需要认真学习考研数学概率论与数理统计大纲中所规定的内容，掌握基本概念和公式，加强对知识点的理解。

2.多做练习题：通过大量的练习题来巩固所学知识，提高解题能力。

可以参考历年真题和模拟题，进行针对性训练。

3.分析重难点：根据大纲和近几年的考试情况，分析概率论与数理统计的考试重难点，有针对性地进行复习。

4.及时总结和反馈：在复习过程中，考生需要及时总结自己的学习情况，发现问题及时调整，确保学习效果。

四、考研数学概率论与数理统计的重难点分析1.随机事件和概率：这部分是考研数学概率论与数理统计的基础，重难点在于理解概率的基本性质和掌握古典型概率、几何型概率等。

2.概率的基本公式：这部分重难点在于掌握事件的独立性、独立重复试验等概念及其计算方法。

3.条件概率：这部分重难点在于理解条件概率的概念及其计算方法，学会利用条件概率判断事件的独立性。

考研数学(三)概率论与数理统计第一章复习重点总结

2018考研数学（三）：概率论与数理统计第一章复习重点总结一、第一章随机事件与概率1.重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式。

2.难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算。

3.常考题型事件、概率与独立性是本章给出的概率论中最基本、最重要的三个概念。

事件关系及其运算是本章的重点和难点，概率计算是本章的重点。

注意事件与概率之间的关系。

本章主要考查随机事件的关系和运算，概率的性质、条件概率和五大公式，注意事件的独立性。

近几年单独考查本章的试题相对较少，但是大多数考题中将本章的内容作为基本知识点来考查。

相当一部分考生对本章中的古典概型感到困难。

大纲只要求对古典概率和几何概率会计算一般难度的题型就可以。

考生不必可以去做这方面的难题，因为古典型概率和几何型概率毕竟不是重点。

应该将本章重点中的有关基本概念、基本理论和基本方法彻底理解和熟练掌握。

【评注】本题是典型的根据全概率公式及条件概率的解题的题型，这类题型一直都是考查的重点。

三、注意事项与线性代数一样，概率也比高数容易，花同样的时间复习概率也更为划算。

但与线代一样，概率也常常被忽视，有时甚至被忽略。

一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的，概率被放在最后，复习完高数和线代以后有可能时间所剩无多；而且因为前两部分分别占60%和20的分值，复习完以后多少会有点满足心理；这些因素都可能影响到概率的复习。

概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。

在高数部分，公式、定理和性质虽然有很多，但其中相当大一部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆；在线代部分，需要记忆的公式定理少，而需要通过推导相互联系来理解记忆的多，所以记忆量也不构成难点；但是在概率中，由大量的概念、公式、性质和定理需要记清楚，而且若靠推导来记这些点的话，不但难度大耗时多而且没有更多的用处（因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过程及联系并没有什么要求，一般不会在更深的层次上出题）。

考研数学《概率论与数理统计》知识点总结

考研数学《概率论与数理统计》知识点总结引言《概率论与数理统计》是考研数学中的一个重要分支，它不仅要求学生掌握理论知识，还要求能够运用这些知识解决实际问题。

本文档旨在对《概率论与数理统计》的核心知识点进行总结，帮助考生系统复习。

第一部分：概率论基础1. 随机事件与样本空间随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

样本空间：所有可能结果的集合。

2. 概率的定义古典定义：适用于有限样本空间，每个样本点等可能发生。

频率定义：长期频率的极限。

主观定义：基于个人信念或偏好。

3. 概率的性质非负性：概率值非负。

归一性：所有事件的概率之和为1。

加法定理：互斥事件概率的和。

4. 条件概率与独立性条件概率：已知一个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。

独立性：两个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。

5. 随机变量及其分布离散型随机变量：可能取有限个或可数无限个值。

连续型随机变量：可能取无限连续区间内的任何值。

分布函数：随机变量取值小于或等于某个值的概率。

第二部分：随机变量及其分布1. 离散型随机变量的分布概率质量函数：描述离散型随机变量取特定值的概率。

常见分布：二项分布、泊松分布、几何分布等。

2. 连续型随机变量的分布概率密度函数：描述连续型随机变量在某区间的概率密度。

常见分布：均匀分布、正态分布、指数分布等。

3. 多维随机变量及其分布联合分布：描述多个随机变量联合取值的概率。

边缘分布：从联合分布中得到的单一随机变量的分布。

条件分布：给定一个随机变量的条件下，另一个随机变量的分布。

第三部分：数理统计基础1. 数理统计的基本概念总体与样本：总体是研究对象的全体，样本是总体中所抽取的一部分。

统计量：根据样本数据计算得到的量。

2. 参数估计点估计：用样本统计量估计总体参数的单个值。

区间估计：在一定概率下，总体参数落在某个区间的估计。

3. 假设检验原假设与备择假设：研究问题中的两个对立假设。

检验统计量：用于决定是否拒绝原假设的量。

概率论与数理统计专硕考研科目

概率论与数理统计专硕考研科目摘要：一、概率论与数理统计专硕考研科目简介1.概率论与数理统计的定义2.专硕考研科目的意义3.考试大纲与要求二、概率论的基本概念与方法1.随机试验与样本空间2.事件与概率3.概率公理体系4.条件概率与独立性5.贝叶斯定理与先验概率三、数理统计的基本概念与方法1.统计量与抽样分布2.参数估计3.假设检验4.回归分析与相关分析四、概率论与数理统计在实际应用中的案例1.概率论在金融领域的应用2.数理统计在医学研究的应用3.概率论与数理统计在其他领域的应用五、备考策略与建议1.制定合理的学习计划2.注重理论与实践相结合3.积累解题技巧与方法4.参加模拟考试与辅导课程正文：概率论与数理统计专硕考研科目是对硕士研究生入学考试的一门重要科目，涉及概率论与数理统计的基本概念、方法和应用。

本篇文章将对此进行详细介绍，并提供备考策略与建议。

首先，概率论与数理统计是研究随机现象的理论基础。

概率论主要研究随机现象的规律性，包括随机试验、样本空间、事件与概率、概率公理体系、条件概率与独立性以及贝叶斯定理与先验概率等基本概念与方法。

数理统计则主要研究如何从有限的观测数据中提取信息、推断总体特征和做出科学决策，包括统计量与抽样分布、参数估计、假设检验、回归分析与相关分析等方法。

其次，概率论与数理统计在实际应用中具有广泛的应用价值。

例如，概率论在金融领域可以用于风险管理、资产定价等方面；数理统计在医学研究中可以用于疗效评价、疾病预测等方面。

此外，概率论与数理统计还广泛应用于工业生产、质量管理、市场营销等领域。

针对概率论与数理统计专硕考研科目的备考，建议考生制定合理的学习计划，注重理论与实践相结合。

在学习过程中，要积累解题技巧与方法，通过参加模拟考试与辅导课程不断提高自己的应试能力。

同时，要关注考试大纲与要求，确保自己的学习内容符合考试要求。

总之，概率论与数理统计专硕考研科目是一门具有挑战性的科目，需要考生具备扎实的基本功和良好的应试心态。